SEGUNDA PARTETEORIA ELECTROMAGNETICA Campo magnético Un campo magnético es el campo de las fuerzas producidas por un material magnético (ej.: imán permanente, la tierra) o por la inducción de una corriente eléctrica. Una tercera fuente de campos magnéticos es la variación de un campo eléctrico. Para efectos de la teoría de circuitos, nos limitaremos a los campos magnéticos inducidos por una corriente eléctrica que circula en un conductor. La parte de la teoría electromagnética que estudia las variaciones de los campos eléctricos y magnéticos en el espacio y en los materiales se aplica al estudio de los fenómenos atmosféricos, transmisión de ondas, semiconductores, a la física cuántica y otros campos tecnológicos. representa un vector unitario en la dirección de r. Se aplica la regla de la mano derecha para determinar la dirección del vector resultante. Ley de Ampère El campo magnético a lo largo de un lazo de flujo es proporcional a la corriente que atraviesa la superficie envuelta por el lazo: ∮ B dl= I lo cual coincide con los resultados de la ley de BiotSavart. Ilustración de la Ley de Ampere Cada lazo de flujo la cumple Campo magnético inducido por una corriente eléctrica Según la ley de Biot-Savart, el campo magnético dB producido por una corriente I que circula por un segmento infinitesimal dL de un hilo conductor es perpendicular al plano formado por el conductor y el vector lineal entre el segmento conductor y el punto donde se mide el campo. La magnitud del campo magnético se mide en tesla (T), 1 Tesla <=> 1 weber / m2 (Wb / m2) , lo que da la idea también de “densidad de flujo magnético”. Casos especiales Para un conductor infinitamente largo (caso de un hilo conductor), la integral de la ecuación de BiotSavart para el campo magnético es: B= Representación de la ley de Biot-Savart I xa 2 r Wb 2 (T) m => líneas de flujo circulares alrededor del conductor. Para un conductor en forma de anillo circular de radio R, el campo magnético en el centro es: B= Wb 2 o Tesla (T) m Wb Para el vacío: μ 0 =4 π 10−7 A−m d B= μ a IdL x 2 4π r μI xa 2R Wb (T) m2 µ es la permeabilidad magnética del medio y a => líneas de flujo perpendiculares al plano del anillo. Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 15 Si el anillo consta de N vueltas de radio R, todas muy juntas (una bobina simple) y con aproximadamente el mismo radio: Donde lm = 2π(R1+R2)/2 es la longitud de la circunferencia media del toroide. Toroide con sus lazos de flujo por el centro B= μN I xa 2R Wb (T) m2 => líneas de flujo por el centro de la bobina simple. Para un solenoide (bobina alargada) de N vueltas, y una longitud l mucho mayor que el radio, las líneas de flujo pasan por su centro: En un toroide con núcleo feromagnético, no es necesario que el embobinado cubra todo el núcleo, ya que por la alta permeabilidad de este, los lazos de flujo se agruparán en el núcleo, excepto por unos pocos flujos de dispersión. Los flujos de dispersión son lazos que no quedan confinados al núcleo del circuito magnético. Debido a que el núcleo está rodeado de aire, y el aire tiene también permeabilidad magnética, una pequeña parte de los lazos de flujo se dispersan por el aire que rodea al núcleo. En el análisis algunas veces se consideran despreciables. B= N I l Wb 2 (T) m Toroide Si comenzamos a cerrar el solenoide en círculo llegamos a construir un toroide. Las líneas o lazos de flujo van buscando la ruta más corta, agrupándose casi totalmente en el centro del núcleo. Flujo magnético Es la integral de las líneas del campo magnético que fluyen cruzando una superficie S. Entonces podemos decir que la magnitud del campo magnético equivale a la densidad del flujo magnético. =∫ B dS Wb Para un solenoide o un toroide, se puede suponer que la magnitud del campo magnético o densidad de flujo es uniforme dentro del núcleo, entonces: =B S Wb donde S es la sección transversal del núcleo. B= N I lm Wb 2 (T) m Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 2 Para un núcleo redondo: S =π d =π 4 ( R2 −R1 )2 4 16 Circuito magnético Fuerza magnetomotriz Es la ruta cerrada que sigue un flujo magnético. La ruta puede pasar por materiales de diferente permeabilidad magnética. Ejemplos: el núcleo de un toroide; un electromagneto; un transformador. Se define como el producto de la corriente y el no. de vueltas que inducen un campo magnético. Circuito magnético formado por un núcleo ferromagnético con un entrehierro de aire Fmm = NI (A-vueltas o A-v) => en la dirección del campo Intensidad magnética Se define como la densidad del campo magnético dividida entre la permeabilidad magnética del medio. La permeabilidad del vacío es 1,257 x 10-6 Wb/A-m, mientras la permeabilidad de un acero para transformadores dentro del rango de utilización es de unos 8 x 10-3 Wb/A-m. Hay aleaciones con mucho mayor permeabilidad magnética que se usan en aplicaciones de alta tecnología. B H=μ Efecto marginal H= NI l μN I l A−v m donde B= A−v m donde N I =F mm En un entrehierro de un circuito magnético, efecto marginal es el abultamiento de los lazos de flujo al cruzar el aire entre las dos caras de material ferromagnético. Su efecto es disminuir la densidad de flujo en el entrehierro, ya que la sección S al cruzar el centro del entrehierro aumenta. En general: El efecto marginal debe estudiarse en forma experimental y gráfica, sin embargo para entrehierros cortos de longitud LE se puede aproximar así: Para circuitos magnéticos formados por diferentes materiales en secciones, siendo cada una uniforme: H= d F mm dl ∫ H dl = F mm n F mm=N I =∑1 H j l j Si las dos caras del núcleo cortadas por el entrehierro son paralelas y rectangulares iguales de aristas A y B: SE = (A+LE) (B+LE) Si las secciones son distintas, A y B son las aristas de la cara menor y: Fuerza magnetomotriz neta de un segmento del circuito magnético Es la fuerza magnetomotriz producida por una bobina devanada en el segmento j, menos la caída de fuerza magnetomotriz que produce dicho segmento. SE = (A+2LE) (B+2LE) F mmj =N j I j −H j l j Para secciones transversales circulares iguales: SE = π (D+LE)2 Para secciones circulares distintas, D es el diámetro de la cara menor y: SE = π (D+2lE)2 Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 Reluctancia En un circuito magnético, es la relación entre la fuerza magnetomotriz y el flujo magnético. La reluctancia es análoga a la resistencia de un circuito eléctrico, así como la fuerza magnetomotriz es análoga al voltaje, y el flujo magnético es análogo al amperaje. 17 Combinaciones de reluctancias y de permeancias F mm N I NI l R= = = = BS N I S S l A−v Wb En cada segmento del circuito magnético en serie: B j l j Bj S jl j H j l j= = =R j j jS j n ∑ 1 n H j l j = ∑1 R j Los instrumentos o sensores de reluctancia variable se basan en la variación del entrehierro de un núcleo ferromagnético por la acción de un agente mecánico externo, tal como las ondas sonoras. Permeancia El inverso de la reluctancia se llama permeancia. P= 1 R Wb A−v n Rserie =∑1 R i R paralelo= 1 n ∑1 1 Ri n P paralelo=∑1 P i P serie = 1 ∑1 P1 n i Analogía entre un circuito eléctrico y uno magnético Variable eléctrica magnética Circuito eléctrico Circuito magnético Resistencia - Reluctancia R=V/I R = Fmm / Ø V=IR Fmm= Ø R E=V/L H = Fmm / L Corriente - Flujo I=JS Ø=BS Resistencia - Reluctancia R = L / sS R = l / µS Conductancia - Permeancia G=1/R P=1/ R Fuerza (electro) – (magneto) motriz Campo eléctrico – Intensidad magnética RESUMEN DE MAGNITUDES DE UN CIRCUITO MAGNETICO DE 3 SEGMENTOS ELECTROMAGNETO DE FORMA “C-I” Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 18 Materiales ferromagnéticos Son materiales que presentan un alta permeabilidad magnética y por esa razón son muy utilizados en los aparatos electromagnéticos. Su permeabilidad no es lineal sino que depende del grado de magnetización alcanzado, siguiendo una curva experimental llamada curva de magnetización. Curvas de magnetización para 0 < H < 140 A-v/m (Gourishankar) permeabilidad que los materiales ferromagnéticos pero mayor linealidad en su curva de magnetización. Inducción electromotriz Según los experimentos de Faraday, al mover un campo magnético cerca de un conductor, o un conductor cerca de un campo magnético, se produce una fuerza electromotriz (voltaje) que es proporcional a la variación del flujo magnético total cortado por el conductor por unidad de tiempo. La dirección del voltaje inducido es tal que si se permite que circule una corriente, el flujo inducido por dicha corriente se opondrá al flujo existente (Ley de Lenz). v t =− d dt La variación del flujo magnético puede deberse a: 1. El movimiento del elemento que produce el campo en la proximidad del conductor: generadores de corriente alterna. 2. El movimiento del conductor dentro del campo, cortando las líneas de flujo magnético: generadores de corriente directa. 3. La variación del campo magnético causada por la corriente alterna: transformadores y motores de inducción. 4. La variación del campo magnético inducido por la variación de la corriente que circula en el mismo elemento: autoinductancia. Curvas de magnetización para 0 < H < 2250 A-v/m (Gourishankar) En los dos primeros casos, el análisis de cada elemento conductor dentro del campo magnético, deberá tomar en cuenta la velocidad del movimiento, de manera que: v (t )=− dΦ dd =−B L =−B L u(t ) dt dt donde d es la distancia transversal recorrida por el elemento conductor de largo L en un elemento de tiempo, la cual equivale a la velocidad u(t). En el tercer caso la velocidad de la variación del campo magnético dependerá de la frecuencia de la corriente alterna. En la construcción de bobinas, solenoides y toroides que requieran un núcleo de alta permeabilidad magnética pero a la vez una respuesta lineal, se utilizan materiales ferrimagnéticos, como la ferrita y aleaciones más modernas que tienen menor Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 Para la última instancia, estudiaremos los conceptos de inductancia y autoinductancia. 19 Inductancia En un elemento electromagnético, es la relación entre la variaciones del flujo magnético y la variación de la corriente enlazada. La causa de esta relación es la autoinductancia, el efecto que la variación del propio flujo magnético tiene sobre la corriente que lo produce. La corriente que circula por una espira (vuelta) produce un flujo magnético cuya variación induce un voltaje en las demás espiras de un embobinado, el cual se opone a la corriente que circula por la bobina. Cuando no hay variación de la corriente tampoco varía el flujo y no hay voltaje inducido. Cuando hay variación, el efecto es una función de crecimiento o decrecimiento de la corriente, el flujo magnético, y el voltaje, con respecto al tiempo Una corriente I que circula por un embobinado de longitud media l de N vueltas produce un flujo total Φ: N I S =B S = (Wb) l Por la inducción electromotriz: v t =− d = voltaje inducido en cada vuelta dt El signo negativo indica que el voltaje inducido por el flujo magnético producido por la misma corriente se opondrá al voltaje externo aplicado. Para un solenoide de N vueltas: v (t )=− Entonces: L= v (t )=−L μN2S l NΦ I Φ= (H) L= LI N ΦN2 F mm I= (H) NΦ L Casos especiales (simplificados): Un solo cable al aire: L= H m 8 Dos conductores paralelos: L= d ln Y a H m a es el radio del conductor y d ≥ 2a es la separación entre ambos. Y = 0 para corriente sobre la superficie del conductor (alta frecuencia, efecto de piel), Y = 1/4 para corriente distribuida uniformemente en la sección del conductor (baja frecuencia). Nótese que a mayor separación, mayor ln(d/a) y mayor es la inductancia. Dos conductores muy entrelazados reducen la autoinductancia al mínimo, como ocurre en los cables UTP. Cable coaxial en alta frecuencia: L= a1 ln 2 a2 H m a1 y a2 son los diámetros exterior e interior del cable. μ N S di μ N 2 S di N dΦ =−N =− dt l dt l dt llamando inductancia a: L= henry (H) di dt Podemos concluir que la inductancia: • Es proporcional a la permeabilidad magnética del núcleo • Es proporcional al cuadrado del no. de vueltas • Es proporcional a la sección del núcleo • Es inversamente proporcional a la longitud media Bobina apretada: L= μN2πR 2 H m Finalmente, L es una característica que se determina por medición de cada bobina fabricada dentro de una tolerancia. Inductancias comerciales con núcleo de hierro y con núcleo de ferrita Y también encontramos: Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 20 Aplicaciones de las inductancias Las inductancias se usan, entre otras cosas, como reactores (balastros) de lámparas de descarga, filtros en UPSs, para almacenar energía en fuentes de poder conmutadas, como circuitos osciladores en conjunto con condensadores, y muchas otras aplicaciones electromecánicas (solenoides, motores, generadores). Esta fuerza debe tomarse en cuenta para el cálculo de soportes de barras conductoras que puedan conducir intensidades de corriente muy altas bajo cortocircuitos. La fuerza mecánica entre dos conductores paralelos que lleven la misma corriente pero en sentido contrario será de repulsión, mientras si la llevan en el mismo sentido, será de atracción: Energía almacenada en una inductancia La energía almacenada en un campo magnético se puede interpretar como el trabajo necesario para hacer circular la corriente inductora en el campo eléctrico del conductor. dW =v t i t dt =N dW =N i t d =N it d i t dt dt L di t=L i t di t N I W =L ∫0 i t di t 1 W = L I2 2 Fuerza magnética sobre cargas en movimiento Una carga eléctrica en movimiento dentro de un campo magnético está sujeta a una fuerza (fuerza de Lorentz) perpendicular a su velocidad y a las líneas del campo magnético: f =q v x B donde: dl q v=di dt =di dl dt F =I l B= l I2 (N) en sentido perpendicular 2 d La fuerza mecánica de un campo magnético sobre un conductor que lleva corriente es el principio de funcionamiento de los motores de inducción y de los altoparlantes. Fuerzas mecánicas en un circuito magnético En un circuito magnético con partes móviles se produce una fuerza mecánica que tiende a acortar la ruta del campo magnético y a reducir la energía acumulada en el flujo, produciendo una fuerza de atracción entre las partes móviles. Este es el principio de funcionamiento de los electromagnetos, y de algunos motores eléctricos como los motores de reluctancia y los motores paso a paso (step motor). En el desarrollo supondremos que, para un cambio muy pequeño (diferencial) de la longitud del entrehierro, el flujo se mantiene constante. Electroimán o electromagneto usado típicamente en contactores La fuerza total para un conductor de largo l será: F=I l x B Dentro de un conductor esta fuerza sobre los electrones será perpendicular a la longitud del mismo, y por el equilibrio de las fuerzas subatómicas de la estructura del metal, no podrán separarse del conductor (excepto que tenderán a acumularse a un lado, lo que se conoce como efecto Hall), con el resultado de que la fuerza será ejercida sobre todo el conductor. Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 La energía almacenada en un circuito magnético es: 1 1 N 2Φ 2 1 1 2 2 W= LI = I = N I Φ= Φ R 2 2 NI 2 2 21 Suponiendo un flujo constante Φ, la fuerza f ejercida sobre la armadura (parte móvil) del electroimán para moverla una distancia diferencial dLE será: f= dW 1 2 d R = Φ d LE 2 d LE La reluctancia varía sólo en función de LE: d R= d LE μ0 S E dR 1 = d L E μ0 S E Entonces: 2 1 ΦE f= 2 μ0 S E En cada entrehierro, la fuerza ejercida será: f i= 2 i Si B 2μ 0 Análisis de circuitos con inductancias Combinación de inductancias Se puede demostrar que las combinaciones de inductancias en un circuito eléctrico se comportan en forma similar a las combinaciones de resistencias, de manera que: Dos inductancias en serie: di di v1 (t )=−L1 y v2 (t)=−L2 dt dt v (t )=v1 (t )+v 2 (t )=−( L1 +L2 ) n F=∑1 f i Cuando LE=0, no hay entrehierro (o es mínimo), B es máximo, y se produce la fuerza máxima. Se llega a un tope práctico para una estructura cuando se satura magnéticamente el acero, cuando H se aproxima a 500 A-v/m. Se considera que para B=1,6 T se llega al límite teórico con una presión de 106 N/m2. di dt Y como: v (t)=−L S Entonces: L S =L 1+L 2 La fueza mecánica total será la suma de las fuerzas ejercidas en todos los entrehierros: di dt Para inductancias en paralelo la demostración es más complicada porque hay que utilizar la ley de las corrientes de Kirchoff. En resumen: En serie: n L S =∑1 Li En paralelo: n 1 1 = ∑1 LP Li 2 inductancias en paralelo: L L LP= 1 2 L1 +L2 Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 22 Circuito de carga R-L Circuito de descarga R-L Curva de corriente en el tiempo para un circuito de carga R-L para t=T1 : v (0)=V ; i (0)=0 Curva de corriente en el tiempo para un circuito de descarga R-L para t=T1: v (0)=V ; i(0)= V R En la inductancia: v=R i (t ) en la resistencia v (t )=V −R i (t ) N v (t )=V −R Φ (t ) L v=−L Derivando: L dv(t ) N d Φ(t ) N v (t ) =−R =−R dt L dt L N di =−R i(t ) dt di R =− dt i (t ) L dv (t ) R =− dt v (t) L Integrando: di en la inductancia dt Integrando: R R − t L v (t)=v (0) e =V e R − t L R − t V −v (t ) V i (t )= = (1−e L ) R R Cuando t → oo, v(t) =0, i(t)=V/R, y la inductancia actúa como conductor (cortocircuito), mateniendo energía almacenada como flujo magnético. Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 i (t)= V −L t e R v (t)=V e R − t L Cuando t → oo, v(t)=0, i(t)=0, la energía almacenada en la inductancia se ha disipado en la resistencia. 23 Oscilaciones – Circuitos R-L-C Descarga de un circuito R-L-C en serie Los circuitos que incluyen inductancias y capacitores tienden a oscilar al conectarlos y al desconectarlos, produciendo diferentes tipos de respuesta. Como ejemplo, observaremos un circuito serie R-L-C al ponerse en cortocircuito después de haberse cargado. Por la ley de las mallas de Kirchhoff para t > T1: V L+V R +V C =0 di 1 L +Ri+ ∫ idt =0 dt C 2 d i R di 1 + + i=0 2 L dt LC dt Si i(t )=K eSt (una función exponencial de t) usando transformadas de Laplace: R 1 S 2 K e St+S K e St + K e St =0 L LC R 1 K e St (S 2 +S + )=0 L LC R S = ± 2L √( 2 ) R 1 R − = ±D 2L LC 2L Resistencia crítica: R CR=2 √ L C Si R<RCR entonces D<0 y tendremos una componente imaginaria correspondiente a una oscilación con una 1 frecuencia natural: ω 0= √ LC Si R=0 la onda es sinusoidal pura Si D<0, R<RCR la onda es subamortiguada Si D>0, R>RCR la onda es sobreamortiguada Si D=0, R=RCR la onda es críticamente amortiguada Forma de la respuesta de la corriente al descargar un circuito R-L-C Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 24 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcule la magnitud del campo magnético en el aire alrededor de un conductor recto solitario que lleva una corriente continua de 50A a 0,1 mm, 1 mm y 10 mm del conductor, y explique la dirección del campo. Calcule la inductancia del conductor. Aunque el campo magnético es menor por la distancia media entre cada punto del núcleo y el conductor, debido al mayor radio R, en el centro se induce campo magnético por una longitud proporcionalmente mayor de conductor, y por lo tanto la autoinductancia es mayor. B = μ I / 2π r = (1,256x10-6 x 50 / (2 x 3.14159)) / r = 10.0 x 10-6 / r = Wb / m2 Para r=0,1 mm: B= 10 x 10-6 /10-4 = 0,1 Wb/m2 Para r=1 mm: B= 10 x 10-6 /10-3 = 0,01 Wb/m2 Para r=10 mm: B= 10 x 10-6 /10-2 = 0,001 Wb/m2 4. Calcule la inductancia para un solenoide de 10 cm de longitud con núcleo de aire formado por 100 vueltas y con diámetro de a) 1 cm b) 2,5 cm. El campo magnético sigue la dirección de las agujas del reloj viendo al conductor desde el extremo donde se origina la corriente positiva (regla de la mano derecha). L = μ / 8 π = 4 π x 10-7 / 8 π = 0,05 μH / m 2. Calcule la inductancia de dos conductores iguales de 4 mm de diámetro, paralelos, en baja frecuencia, separados el doble de su diámetro: L = (μ / π) ((ln(d/a)+1/4)=(4π x10-7 / π) x((ln(d/a) +1/4)=4 x10-7 (ln (0,008/0,004) + 0,25) =0,377 μH / m 3. Calcule la magnitud del campo magnético en el centro de una bobina apretada con núcleo de aire de 100 vueltas que lleva una corriente de 0,1A, con un radio medio de a) 1.25 cm b) 5 cm. B = μ N I / 2 R = 1,256x10-6 x 100 x 0,1 / 2Rm = 6,285 x 10-6 / Rm Wb / m2 a) B=6,285x10-6/(1,25x10-2)=0,503x10-3 Wb / m2 b) B=6,285x10-6/(5x10-2) = 0,126 x 10-3 Wb / m2 Calcule la inductancia en cada caso. Explique por qué la diferencia. L = μ N2 π R / 2 para una bobina apretada a) L=1,256x10-6x1002x1,25x10-2x3,1416/2 = 247 μH b) L=1,256x10-6x1002 x5x10-2 x3,1416/2 = 987 μH Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 L = μ N2 S / l = μ N2 π R2 / l a) L=1,256x10-6x1002x3,1416x((1/2)x10-2)2/0,1 = 9,87 μH b) L=1,256x10-6x1002x3,1416x((2,5/2)x10-2)2/0,1 = 61,7 μH 5. Calcule la inductancia para un toroide de 5 cm de radio medio con núcleo de aire formado por 100 vueltas y con radio del núcleo de a) 0,5 cm, b) 1 cm L = μ N2 π r2 / 2 π R = μ N2 r2 / 2 R a) L=1,256x10-6x1002x(0,5 x10-2)2 /0,1= 3,14 μH b) L=1,256x10-6x1002x(1 x10-2)2 /0,1 = 12,6 μH 6. Calcule la inductancia y el campo magnético para 1 mA en el toroide anterior si el núcleo es de ferrita con una permeabilidad magnética de 8 x 10-4 , como los usados en alta frecuencia. a) L = 8 x 10-4 x 1002 x (0,5 x10-2)2 / 0,1 = 2 mH B = μNI / 2π R = 8 x 10-4 x 100 x 10-3 / 2 / 3,14159 / (5 x10-2) = 2,55 x 10-4 Wb / m2 b) L = 8 x 10-4 x 1002 x ( 10-2)2 / 0,1 = 8 mH B = μNI / 2π R = 8 x 10-4 x 100 x 10-3 / 2 / 3,14159 / (5 x10-2)= 2,55 x 10-4 Wb / m2 La densidad de flujo no depende de la sección, únicamente de la permeabilidad, la fuerza magnetomotriz y la longitud del solenoide o toroide. 7. Un núcleo cuadrado de acero para transformadores tiene una sección de 15 x 15 cm, y cada lado una longitud exterior de 80 cm. Se desea que una bobina en uno de los brazos produzca un campo magnético (densidad de flujo) de 0,5 Wb/m2. Dibuje el núcleo y calcule la fuerza magnetomotriz necesaria, y el flujo total. 25 8. ¿Cuál es el voltaje inducido en la bobina de 9,2 H si se hace pasar una corriente “de rampa” que crece o decrece linealmente a razón de 0,5A cada 1/60 seg? V = L di/dt V = 9,2 x 0,5 x 60 = 276 V Repita el cálculo del voltaje inducido si no hay entrehierro y la bobina tiene 1638 vueltas con igual crecimiento de la corriente. Lm = (0,80 - 0,15/2 – 0,15/2) x 4 = 2,60 m De la curva de magnetización: para B = 0,5 Wb/m2 , H = 70 A-v/m Fmm = H Lm = 70 x 2,60 = 182 A-v Φ = B S = 0,5 x 0,15 x 0,15 = 0,01125 Wb Repita el cálculo introduciendo un entrehierro de 1 cm de espesor. Supondremos que el efecto marginal del entrehierro incrementa cada arista del entrehierro en una longitud igual a su espesor, o sea en 1 cm. L = N2 Φ / Fmm L = 1638 x 1638 x 0,01125 / 182 = 166 H V = L di/dt V = 166 x 0,5 x 60 = 4.975 V Esta es la razón de la importancia de que el entrehierro en un generador o en un motor sea lo más pequeño que la tecnología mecánica permita. Para fabricar inductancias de gran tamaño se usan también entrehierros que, aunque disminuyen el valor de la inductancia, mejoran notablemente la linealidad del inductor afectada por la histéresis del material ferromagnético. La=2,60-0,01=2,59 m Sección del entrehierro de 1 cm de espesor: S e = (0,15+0,01)2 = 0,0256 m2 B en el entrehierro: Be = Φ / Se = 0,01125 / 0,0256 = 0,439 Wb/ m2 He=Be / μ=0,439/1,256 x 10-6 = 349.600 A-v/m Fmm=Ha La+ He Le = 70 x 2,59 + 349.600 x 0,01= 3.677 A-v 9. Calcule la frecuencia natural de una inductancia de 10 mH en paralelo con una capacitancia de 100uF. ω0 = 1 / √LC = 1 / √10 x 10-3 x 500 x 10-6 = 447 radianes/seg f = ω0 /2π = 71 Hz 10.Calcule la fuerza en un electroimán tipo E para un acero con µ = 2000 µ0 (suponiendo µ constante) si la Fmm es de 250 A-v para a) c=0, b) c=1 mm, c) c=5 mm. Desprecie el efecto marginal. Calcule la inductancia y la corriente para a) N=164 b) N=1638 L = N2 Φ / Fmm I = Fmm / N a) L = 164 x 164 x 0,01125 / 3275 = 0,092 H I = 3275 / 164 = 20 A b) L = 1638 x 1638 x 0,01125 / 3275 = 9,2 H I = 3275 / 1638 = 2 A Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 Dividimos el flujo magnético en 2 ramas, una por cada lateral, de manera que la longitud media efectiva va a ser la de una rama, pero el área será el doble, consiguiéndose 2 entrehierros. 26 Be = Φ / S = Fmm / RS = NI / RS R=Rn + Re = μ Ln / S + μ0 Le / S F=SBe2 / 2μ0 =(S / 2μ0) (N I)2 / (Ln / μ + 2c / μ0)2 Ln = 3 -0,5 + 3 - 0,5 – 0,5 + 3 – 0,5 + 0,5 + 0,5 + 3 – 0,5 – 0,5 = 10 cm = 0,1 m La sección del núcleo será la de dos ramas o la del centro: S = 1 x 2 = 2 cm2 = 0,0002 m2 La sección del entrehierro será la misma del núcleo. La longitud del entrehierro será Le = 2c, ya que hay 2 entrehierros, el centro y los laterales en conjunto. La permeabilidad del hierro será 2000 x 1,257 x 10-6 = 0,002514 (S / 2μ0) (N I)2 = 2x10-4 x 2502 / 2 / 1,256 / 10-6 = 4,972 x 106 a) F= 2 x 4,972 x 106 / 0,12 x 0,0025142 = 6.284 N ≈ 640 Kg b) F = 2 x 4,972 x 106 / (0,1/ 0,002514 + .002 / 0,000001257)2 = 3,74 N c) F = 2 x 4,972 x 106 / (0,1 / 0,002514 + .01 / . 000001257)2 = 0,154 N 11. Circuito magnético con doble excitación Cálculo de flujos en circuito magnético con 3 brazos: Izquierdo-Central-Derecho, bobinas I y D y entrehierro en el brazo C. Intensidades magnéticas iguales: F mm I− H I L I = H CH L CH H CE L CE =F mm D− H D L D Convirtiendo a fuerza magnetomotriz neta: F mm C = H CH LCH H CE LCE H I L I = F mmI − F mmC Suma de flujos: y H D L D= F mm D− F mmC C = I D F mmC F mm I − F mm C F mm D− F mmC = RC RI RD F mmC R I R D= F mm I − F mm C R C R DF mm D− F mmC RC R I F mmC = F mm I R C R D F mm D RC R I R I R D R C R I RC R D Ya se pueden calcular BC , H I y H D y los flujos Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 27 12.Dibuje circuitos equivalentes al de la figura para t=0 y para t oo. Formule el voltaje y la corriente en R1, R2, R3, R4, C1, C2, L1 Y L2 en cada caso, en función de V y R1-R4. VL1=VL2=VR3 IR2=0 IR3=VR3 / R3 IR4 = 0 IC1=IR3 IC2=IR3 Circuito propuesto Circuito equivalente cuando t → oo – C1 cargado, R3 y R4 no conducen corriente y tienen voltaje igual a cero, C2 no tiene voltaje ni carga Circuito equivalente cuando t=0 – C1 y C2 son un cortocircuito, L1 y L2 son un circuito abierto IR1=IR2=V/(R1+R2) IC1=0 VR1=IR1 R1 VR2=IR2 R2 VC1=VR2 VC2=0 VL1=0 VL2=0 IR1=V/(R1 + R3) VR1=IR1 R1 VR2=0 VR4=0 VR3=V-VR1 VC1=0 VC2=0 Electrotecnia – Parte 2 – Prof. Ing. Horacio Fabres – Octubre 2011 28