ELECTROTECHNIQUEPréparé et Animé par : Dr. BELALI Said Octobre 2008 DIRECTION RESSOURCES HUMAINES Formations pour les cadres africains dans le cadre de la coperation entre l'ONE & la Banque Arabe de Developpement Economique en Afrique (BADEA) Préambule Ce manuel support de formation a été élaboré dans le cadre de la coopération entre la Banque Africaine pour le Développement Economique en Afrique (BADEA) et l’Office National d’Electricité (ONE). L’électrotechnique va constituer le module n°1 du programme de la formation intitulé « Maintenance des réseaux électriques HT-MT & BT ». Il est constitué de 12 chapitres & une brève histoire de l’électrotechnique. L’électrotechnique c’est la partie de la physique qui regroupe les technologies de : Production, Transport, Distribution (ou transformation), Exploitation (ou consommation) de l’énergie électrique. Cette formation va consolider et acquérir les connaissances de base sur l’électrotechnique, relatives à l’activité maintenance du réseau électrique pour développer la performance dans le métier de la population issue des pays Africains Francophones. Une brève histoire de l'électrotechnique 1864 Travaux du professeur Pacinotti (1841-1912) sur les machines électriques cinq ans avant Gramme, il publie dans Nuovo Cimento une communication sur un anneau tournant dans un champ magnétique, qui préfigure l'induit des machines électriques, dont il envisage l'utilisation aussi bien en génératrices qu'en moteurs. N'ayant pu dépasser le stade expérimental, ses réalisations restent sans suite. 1868 L'anglais Wilde réalise la première machine dynamoélectrique ou dynamo. Il remplace, à la suite des travaux de Ernst Siemens, l'aimant permanent par un électro- aimant alimenté par une machine auxiliaire. 1869 L'inventeur belge Zénobe Gramme (1826-1901) né à Jehay-Bodegnée (province de Liège), rend possible la réalisation des génératrices à courant continu en imaginant le collecteur. Il améliore les premières versions archaïques d'alternateurs (1867) et devient célèbre en retrouvant le principe de l'induit en anneau de Pacinotti. En 1871, il présentera à l'Académie des Sciences de Paris la première génératrice industrielle de courant continu, que l'on appela machine de Gramme et qui était en fait une magnéto. 1878 Thomas Alva Edison, inventeur américain, fonde l'Edison Electric Light Co. à New York. 1879 Edison présente sa première lampe électrique à incandescence (avec filaments de carbone) qui reste allumée 45 heures. 1879 Une centrale hydraulique de 7 kW est construite à St-Moritz. 1881 La France organise, entre le 1 er août et le 15 novembre une Exposition internationale de l'Electricité qui consacre la naissance de l'Electrotechnique, soulignée par un Congrès international des Electriciens qui siège à Paris du 15 septembre au 19 octobre. La grande nouveauté est l'emploi industriel de la dynamo Gramme. 1882 Edison inaugure les premières "usines électriques" (production de tensions continues) construites à Londres (Holborn Viaduct) et New York (Pearl Street : 110 V, 30 kW). Première ligne de transport d'énergie électrique en Allemagne en courant continu : 2400 V, 59 km. 1884 Lucien Gaulard (1850-1888), jeune électricien français, chimiste de formation, présente à la Société française des Electriciens un "générateur secondaire", dénommé depuis transformateur. Devant le scepticisme de ses compatriotes, il s'adresse à l'anglais Gibbs et démontre le bien-fondé de son intervention à Londres. En 1883, Lucien Gaulard et John Dixon Gibbs réussissent à transmettre pour la première fois, sur une distance de 40 km, du courant alternatif sous une tension de 2000 volts à l'aide de transformateurs avec un noyau en forme de barres. En 1884 Lucien Gaulard met en service une liaison bouclée de démonstration (133 Hz) alimentée par du courant alternatif sous 2000 volts et allant de Turin à Lanzo et retour (80 km). On finit alors par admettre l'intérêt du transformateur qui permet d'élever la tension délivrée par un alternateur et facilite ainsi le transport de l'énergie électrique par des lignes à haute tension. La reconnaissance de Gaulard interviendra trop tardivement. Entre-temps, des brevets ont été pris aussi par d'autres. Le premier brevet de Gaulard en 1882 n'a même pas été délivré en son temps, sous prétexte que l'inventeur prétendait pouvoir faire "quelque chose de rien" ! Gaulard attaque, perd ses procès, est ruiné, et finit ses jours dans un asile d'aliénés. Le transformateur de Gaulard de 1886 n'a pas grand chose à envier aux transformateurs actuels, son circuit magnétique fermé (le prototype de 1884 comportait un circuit magnétique ouvert, d'où un bien médiocre rendement) est constitué d'une multitude de fils de fer annonçant le circuit feuilleté à tôles isolées. Ainsi, en 1885, les Hongrois Károly Zipernowsky, Miksá Déry et Otto Titus Bláthy mettent au point un transformateur avec un noyau annulaire commercialisé dans le monde entier par la firme Ganz à Budapest. Aux USA, W. Stanley développe des transformateurs. 1885 Galileo Ferraris, ingénieur italien, introduit le principe du champ tournant dans la construction des moteurs électriques. 1886 Georges Westinghouse (1846-1914), inventeur et industriel américain né à Central Bridge (Etat de New York), fonde la Westinghouse Electric Corporation. Il s'intéresse à l'électricité industrielle et fonde la Westinghouse Electric Corporation. Ce groupe américain producteur de matériel électrique et électronique est devenu le numéro deux américain du secteur, derrière General Electric. Il fabrique également des appareils ménagers et des postes de télévision, et a développé ses activités dans le nucléaire : le groupe a détenu le procédé PWR (Pressured Water Reactor) de production d'énergie nucléaire, qui est l'ancêtre du procédé mis en oeuvre en France par EDF. Après avoir obtenu en 1887 un brevet pour un transformateur, il réalise à Buffalo un premier réseau à courant alternatif pour l'éclairage. 1887 Nikola Tesla (1856-1943), ingénieur en électronique yougoslave né à Smiljan, en Croatie, fonde une société pour la construction des alternateurs. Grâce à ses travaux, le courant alternatif va gagner la bataille du transport à distance et de l'utilisation du courant alternatif. Tesla préconise d'abord l'utilisation des courants polyphasés (1882) et réussit à créer un champ magnétique tournant qui permet d'entraîner en rotation une armature mobile tournante. La première expérience pour le transport d'énergie à grande échelle est faite en Allemagne. C'est la réalisation d'une ligne longue de 175 kilomètres entre Lauffen- sur-le-Neckar et Francfort-sur-le-Main. Et le rendement atteint est déjà de 75 % ! Il imagine en 1890 le premier montage produisant un courant à haute fréquence. Tesla poursuit des travaux de recherches. On lui doit le fameux montage Tesla dans le domaine de la radioélectricité mais cela n'empêche pas, comme pour d'autres inventions qu'il peut faire, qu'il ne finisse lui aussi ses jours dans la misère. On a donné son nom à l'unité d'induction magnétique dans le système SI, le tesla (symbole T). 1887 François Borel, ingénieur constructeur suisse, conçoit le premier compteur à induction à courant triphasé. 1888 Friedrich Wilhelm Schindler-Jenny résidant en Autriche conçoit le premier fer à repasser électrique. 1889 Michail Ossipowitsch Doliwo-Doborwolski, électricien russe, invente le premier moteur asynchrone à courant triphasé à cage d'écureil (construit industriellement à partir de 1891). En fait le moteur asynchrone était "dans l'air". Qui fut réellement sont inventeur ? Tesla, Ferraris ou Doliwo-Doborwolski ? Première ligne de transport en courant alternatif aux USA : Oregon city - Portland, 21 km, sous 4 kV. 1890 Mise en service de la première locomotive électrique de métro à Londres. 1891 Suisse : première installation de transmission de courant triphasé (15 kV, 40 Hz) entre une centrale hydraulique située à Lauffen sur le Neckar et Francfort sur une distance de 175 km (pertes de transport de 25 %). Première ligne de transport triphasé en Allemagne : 12 kV, 179 km. 1893 Friedrich Wilhelm Schindler-Jenny présente la première cuisinière électrique à l'exposition mondiale de Chicago. Première ligne de transport triphasé aux USA en Californie, 12 km, sous 2,3 kV. 1894 Electrification des trams zurichois. 1896 Les entreprises électriques installent les premiers compteurs à tarif unique chez leurs clients. 1899 Premier chemin de fer d'Europe entièrement électrifié des Chemins de fer Berthoud-Thoune (40 km; 750 V; 40 Hz). 1903 La firme Landis & Gyr fabrique le premier compteur à double tarif. 1906 Le premier aspirateur électrique est commercialisé sous le nom de "pompe à dépoussiérage". 1920 Les machines à laver sont équipées d'un moteur électrique. 1923 Une ligne aérienne à 220 kV est mise en service pour la première fois aux Etats- Unis. 1924 Début de la construction d'une ligne aérienne nord-sud à 110 kV reliant les centrales allemandes à charbon situées près du Rhin aux centrales hydrauliques alpines. Le premier tronçon de Neuenahr à Rheinau est équipé de pylônes à 380 kV - une augmentation ultérieure de la puissance étant ainsi garantie (mise en service partielle en 1929 avec 110 kV et en 1930 avec 220 kV). 1937 Le premier turbo-alternateur refroidi à l'hydrogène est mis en service aux Etats- Unis (puissance de 100 MVA). 1955 En Angleterre, mise en exploitation commerciale de la première centrale nucléaire (9 MW) à Calder Hall. 1965 Plus grand "black-out" jamais enregistré dans l'approvisionnement en électricité: le 9 novembre, New York est restée 13 heures sans électricité après que la foudre fût tombée sur une ligne à 345 kV. 1966 Mise en service de la première ligne aérienne (380 kV) vers l'Allemagne, de Beznau à Tiengen. 1967 Raccordement au réseau de la première centrale marémotrice du monde (240 MW) située sur l'estuaire de la Rance (France). 1967 Les réseaux à très haute tension (380 kV) de la France, de la République Fédérale d'Allemagne et de la Suisse sont interconnectés pour la première fois à Laufenbourg. 1978 Un grave incident survient dans la centrale nucléaire de Three Mile Island près de Harrisburg/USA (sans conséquences pour l'environnement). 1983 Mise en service de la première grande installation éolienne à Growian près Brunsbüttel (Allemagne) (rotor de 100 m de diamètre; arrêt en 1986 à la suite de problèmes de matériau). 1986 Un accident très lourd de conséquences survient dans la centrale nucléaire de Tchernobyl (République d'Ukraine). 2003 14 août 2003 : lors de la plus grande panne de courant de l'histoire américaine, environ 50 millions de personnes sont restées sont électricité durant deux jours. Le 28 septembre 2003 : 57 millions d'Italiens sans électricité. INDICE Chapitre 0 : LES UNITES ET LES CONSTANTES PHYSIQUES 6 I. REGLES D’EMPLOI DES UNITES I.1. Noms d’unités I.2. Symboles d’unités I.3 Symboles composés I.4. Grandeurs 7 I.5. Unités de mesure I.6. Grandeurs fondamentales. I.7. Remarque sur l’Unité de force 8 II. LE SYSTÈME INTERNATIONAL ET UNITES III. VALEURES DES CONSTANTES UNIVERSELLES 9 IV. GRANDEURS MESURABLES - DIMENSIONS ET UNITES 10 Chapitre 1 : LES DIPÔLES. 14 I. DÉFINITIONS. CLASSIFICATION. I.1. Dipôle passif. I.2. Dipôle actif. I.3. Source de tension parfaite. I.4. Source de courant parfaite. 15 I.5. Sources réelles. I.6. Dipôle linéaire. I.7. Convention générateur I.8. Convention récepteur 16 II. ASSOCIATION DE DIPÔLES. II.1. Association passif / actif. II.2. Association actif / actif. III. CARACTÉRISTIQUE STATIQUE D’UN DIPÔLE. 17 III.1. Définition. III.2. Dipôle passif. 1. Résistance. III.3. Dipôle passif non linéaire. 18 III.4. Dipôle actif utilisé comme récepteur. III.5. Source de tension continue parfaite. III.6. Source de tension avec résistance série. III.7. Source de courant continu parfaite. 19 III.8. Source de courant avec résistance parallèle. IV. LES QUADRIPÔLES. IV.1. Définition. IV.2. Paramètres hybrides. 20 IV.3. Schéma équivalent. IV.4. Représentation des schémas 1 Préparé et animé par M. Said BELALI V. ASSOCIATION DE RÉSISTANCES. 22 V.1. En parallèle. V.2. En série. VI. THÉORÈMES FONDAMENTAUX. VI.1. Lois de Kirchof. 1) Loi des mailles. 23 2) Théorème de superposition. 24 3) Théorème de thevenin. 26 CHAPITRE 2 : ELECTROCINETIQUE 28 I. INTRODUCTION : LIEN AVEC COURS D'ÉLECTRONIQUE. II. STRUCTURE DE LA MATIÈRE. III. LES LIAISONS INTER-ATOMIQUES. 29 IV. LA CONDUCTION ÉLECTRIQUE. 29 IV.1. Définition. IV.2. Les isolants. 30 IV.3. Les conducteurs. IV.4. Interprétation de la loi d'Ohm. IV.5. Mobilité des charges. IV.6.Courant. 31 IV.7. Densité de courant. IV.8. Conductivité et résistivité. V. COURANT, CONDUCTIVITE, RESISTIVITE, RESISTANCE 32 V.1. Notion de courant V.2. Définitions V.3. Champ électrique et potentiel V.4. Expression intégrale de la loi d'Ohm 33 V.5. Energie (effet Joule) V.6. Validité de la loi d'Ohm à hautes fréquences CHAPITRE 3 : CIRCUITS TRIPHASES 35 I. DISCUSSION II. TENSIONS TRIPHASEES III. BRANCHEMENT AVEC DES EXEMPLES 36 III.1. Branchement en étoile III.2. Branchement en triangle 2 Préparé et animé par M. Said BELALI IV. CHARGES RACCORDEES EN ETOILE OU EN TRIANGLE 37 V. PUISSANCES DANS LES CIRCUITS TRIPHASES. 39 V.1. Charges résistives V.2. Mesure de la puissance active en triphasé 40 V.3. Triangle des puissances VI. FACTEUR DE PUISSANCE 41 VII. SEQUENCE DES TENSIONS DE PHASES 42 VIII. TRANSFORMATEURS TRIPHASES VIII.1. Couplage triangle-étoile VIII.2. Couplage triangle-triangle 43 VIII.3. Branchement des transformateurs monophasés 44 CHAPITRE 4 : LA COMPENSATION DE L’ENERGIE REACTIVE 45 I. ENERGIE RÉACTIVE II. FACTEUR DE PUISSANCE II.1. Etude du Cos II.2. Inconvénient d'avoir un mauvais facteur de puissance 46 1) Pour le producteur 2) Pour le consommateur III. LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES 47 IV. L’AMELIORATION DU FACTEUR DE PUISSANCE IV.1. Les différents types de compensation IV.2. Calcul de la puissance des condensateurs de compensation 48 CHAPITRE 5 : TRANSFORMATEUR 49 1- DESCRIPTION - EXEMPLE DE CONSTITUTION 50 2- MODELISATION DU TRANSFORMATEUR 51 2.1- Symboles 2.2- Transformateur idéal 3 Préparé et animé par M. Said BELALI 2.2.1-Équations 51 2.2.2-Observations 52 2.3- Transformateur réel 3- CAS DU TRANSFORMATEUR DE DISTRIBUTION 3.1- Modélisation à partir de l’hypothèse de Kapp 53 3.1.1-Hypothèse de Kapp 3.2- Détermination expérimentale des paramètres du transformateur 54 4- CAS DU TRANSFORMATEUR D’INTENSITE 55 4.1- Symbole du transformateur d’intensité 4.2- Modèle du transformateur d’intensité 56 4.3- Structure pour améliorer le comportement du transformateur d’intensité 64 5- TRANSFORMATEUR D’IMPULSIONS 5.1. Modèle du transformateur d’impulsions 5.3. LES DIAGRAMMES 58 CHPITRE 6 : LES CIRCUITS MAGNETIQUES EN REGIME SINUSOIDAL : BOBINE A NOYAU DE FER 63 I. INTRODUCTION I.1. Le comportement en régime sinusoïdal I.2. La bobine à noyau de fer II. COMPORTEMENT DE LA BOBINE EN APPROXIMATION LINEAIRE II.1. Résistance de l’enroulement II.2. Coefficient d’auto-induction (inductance) II.4. Mise en équation complète et modèle 64 III. COMPORTEMENT DE LA BOBINE LINEAIRE EN REGIME SINUSOÏDAL III.1. Mise en place III.3. Comportement simplifié : modèle de Kapp 65 III.3.1. Relation entre le flux (ou l’induction) et la tension IV. COMPORTEMENT NON LINEAIRE IV.1. Influence de la saturation IV.2. Illustration du comportement temporel des différentes grandeurs V. Considérations énergétiques dans la bobine à noyau de fer 66 V.1. Densité d’énergie V.2. Illustration : expression de l’énergie dans le cas du modèle linéaire 67 V.3. Les pertes dans les bobines à noyau de fer V.3.1. Pertes par courants de Foucault V.3.2. Pertes par hystérésis 68 V.3.3. Globalisation des pertes : pertes fer VI. DETERMINATION DU MODELE ELECTRIQUE EQUIVALENT 69 VI.1. Comportement du courant VI.2. Etablissement du schéma équivalent VI.3. Représentation de Fresnel 70 VI.4. Schéma équivalent complet VII. TECHNOLOGIE ET APPLICATIONS DES BOBINES A NOYAU DE FER 71 Préparé et animé par M. Said BELALI 5bis V. CHAMPS MAGNETIQUE TOURNANT 85 Chapitre 9: TRANSFORMATEURS ET RAPPORTS DE TRANSFORMATIONS 86 I. INTRODUCTION II. TRANSFORMATEUR MONOPHASE IDEAL III. TRANSFORMATEUR MONOPHASE REEL 87 IV. EXEMPLE 90 V. TRANSFORMATEURS TRIPHASES 91 VI. TYPES DE TRANSFORMATEURS 93 VI.1. Transformateurs à enroulements séparés et à tension primaire et secondaire unique VI.2. Transformateur à enroulements séparés à tensions primaires et secondaires multiples (fig 2) VI.3. Transformateur à plusieurs secondaires ( fig :3) VI.4. Auto-Transformateur ( fig :4) 94 VI.5. Transformateurs de mesure VI.5.1. Transformateur de tension VI.5.2. Transformateur de courant 95 Chapitre 10 : MACHINE SYNCHRONE COUPLES SUR UN RESEAU 97 I. EXEMPLE II. SYNCHRONISATION DE LA MACHINE SUR LE RESEAU III. REGLAGE DU POINT DE FONCTIONNEMENT 99 Chapitre 11 : EQUATIONS NECESSAIRES POUR LE DIMENSIONNEMENT D’UNE LIGNE 102 Chapitre 12 : EXERCICES ET RAPPELS 111 BIBLIOGRAPHIE 114 Chapitre 0 : LES UNITES ET LES CONSTANTES PHYSIQUES I. REGLES D’EMPLOI DES UNITES I.1. Noms d’unités Tous les noms d’unités, même ceux qui dérivent de noms de savants, sont considérés comme des noms communs :volt, ampère, henry, weber, watt, joule, pascal, newton, hertz, coulomb, etc. Les initiales s’écrivent en minuscules et ils prennent la marque du pluriel s’ils suivent un nombre égal ou supérieur à 2 : 1,9 volt, 3 ampères, 1,4 newton, 5 watts, 3 henrys Les noms des unités dérivées de noms de savants sont du genre masculin (un joule, un ampère, un henry). Aucun qualificatif ne doit être ajouté à un nom d’unité (on ne dit pas mètre linéaire). Lorsqu’une grandeur est le produit de deux autres, dont aucune n’est un quotient, le nom de l’unité est obtenu en réunissant les deux unités correspondantes par un trait d’union (et surtout pas en plaçant une barre oblique, symbole d’un quotient). Par exemple, l’énergie électrique qui est le produit d’une puissance et d’un temps peut être exprimée en tant que watt-heure. Dans le cas d’unités très courantes, les deux noms peuvent être accolés: un wattheure ou un watt-heure. La marque du pluriel s’ajoute aux deux noms composants en cas de trait d’union et au seul dernier en cas de noms accolés : des watts-heures ou des wattheures, des mètres-newtons. Lorsqu’une grandeur est le quotient de deux autres, qui ne sont pas elles-mêmes des quotients, le nom est obtenu en intercalant par (et non pas le symbole de la division) entre les unités du dividende et celles du diviseur : kilomètre par heure, mètre par seconde. I.2. Symboles d’unités À la suite d’un nombre, un nom d’unité peut être remplacé par son symbole : on peut écrire 5 mètres ou 5 m, mais il faut écrire cinq mètres (et non pas cinq m). Un symbole d’unité ne doit pas être modifié ; en particulier, il ne prend jamais la marque du pluriel : 15 kg (et non pas 15 kgs) et il ne doit pas être suivi d’un point, sauf à la fin d’une phrase. Un symbole est disposé obligatoirement à la suite du résultat numérique lorsqu’il s’agit d’unités décimales : 26,3 m (et non pas 26 m,3). Cette règle ne s’applique pas aux unités qui ne sont pas décimales : 12 h 15 mn 30 s. I.3 Symboles composés Dans le cas d'unités composées, le symbole est figuré par une expression algébrique dans laquelle chacun des symboles joue le même rôle que la grandeur correspondante de l'équation de définition; ainsi dans le cas de produit (vectoriel ou scalaire) ou de quotient, le symbole est le produit (vectoriel ou scalaire) ou le quotient des symboles des unités composantes. Par exemple à l'unité d'énergie électrique le wattheure correspond le symbole Wh. Une vitesse, quotient d'une longueur et d'un temps, peut s'exprimer avec une unité dont le symbole est m/s (barre oblique) ou m·s-1. Le moment d'une force étant numériquement égal au produit vectoriel de l'intensité d'une force et d'une longueur, le symbole de l'unité de moment peut s'écrire m.N ou N.m. Il est à noter que selon ISO 31, le point situé entre les deux symboles devrait être à mi hauteur : N·m II est à noter que l'expression obtenue peut être transformée en appliquant les règles de l'algèbre ; la 6 Préparé et animé par M. Said BELALI résistivité électrique étant définie par l'expression RS/l où R est une résistance, S une surface et l une longueur, l'unité correspondante a pour symbole (Ω.m2)/m ou Ω.m après simplification. Des exposants positifs ou négatifs peuvent également être employés dans ces expressions : la masse volumique est le quotient d'une masse et d'un volume, l'unité a pour symbole kg/m3 ou kg.m-3. I.4. Grandeurs Une grandeur est tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution comme, par exemple, une longueur, une surface, une puissance, etc. Mesurer une grandeur G (quelle que soit son espèce), c'est la comparer à une autre grandeur U, de même espèce, choisie pour unité. Le résultat de la mesure est un nombre entier (par ex. 5) si l'unité U est contenue un nombre entier de fois dans la grandeur G considérée (5 fois ici). Une grandeur est directement mesurable quand nous pouvons définir le rapport ou l'égalité et la somme de deux valeurs de cette grandeur. Une longueur, une surface sont des grandeurs mesurables. En revanche, une température repérée au moyen de l'échelle thermométrique Celsius n'est pas une grandeur mesurable: nous pouvons définir l'égalité de deux températures mais nous ne pouvons pas en faire la somme. I.5. Unités de mesure Pour mesurer les diverses grandeurs physiques, un certain nombre d'unités ont été définies. Des relations géométriques ou physiques (relation entre une surface et une longueur, relation entre une force et une masse, etc.) font que la plupart de ces unités dépendent de quelques-unes d'entre elles. Pour cette raison, dans un système d'unités de mesure, il faut distinguer les unités de base ou unités principales qui sont choisies arbitrairement (elles constituent les bases du système d'unités) et les unités secondaires définies à partir des précédentes. Les premières correspondent aux grandeurs fondamentales et les secondes aux grandeurs dérivées. À un système d'unités sont également adjointes quelques unités hors système ou unités auxiliaires d'usage courant mais limité à certains corps de métiers (l'électronvolt et le mille marin, par exemple). I.6. Grandeurs fondamentales. Les grandeurs fondamentales utilisées pour les divers systèmes réservés aux grandeurs géométriques et aux grandeurs mécaniques sont en général au nombre de trois : une longueur, une masse et un temps. Les unités correspondantes diffèrent selon le système: ce sont le mètre, le kilogramme et la seconde pour le Système International, le centimètre, le gramme et la seconde pour le système C.G.S. Ces systèmes ont dû être complétés pour définir des unités pour les grandeurs électriques, magnétiques, lumineuses, etc., et plusieurs grandeurs fondamentales supplémentaires ont souvent été nécessaires; par ex., pour le Système International, aux trois grandeurs fondamentales indiquées précédemment ont été ajoutées quatre autres: l'intensité du courant, la température thermodynamique, l'intensité lumineuse et la quantité de matière. L'élaboration de systèmes cohérents d'unité de mesure s'est faite progressivement à partir des unités du système métrique. Bien que les définitions de ces unités aient dû être précisées pour la mise au point des systèmes d'unités utilisés de nos jours, elles conservent néanmoins un intérêt historique certain. 7 Préparé et animé par M. Said BELALI I.7. Remarque sur l’Unité de force : Le poids d'un corps étant une force, il a été possible de prendre le poids du kilogramme étalon pour unité de force du système métrique (c'est la force avec laquelle cet étalon est attiré vers le centre de la Terre). Mais cette force d'attraction variant avec la latitude et l'altitude des points du globe, la Conférence générale des poids et mesures d'octobre 1907 a décidé que, par convention, cette unité de force n'était ainsi définie que pour tout point de latitude 45° et d'altitude zéro (niveau de la mer). La valeur correspondante de l'accélération de la pesanteur est g = 9,80616 m/s2 alors qu'à Paris, l'accélération de la pesanteur a pour valeur 9,81 m/s2. II. LE SYSTÈME INTERNATIONAL ET UNITES Un certain nombre de décrets précisent les dénominations, définitions et symboles des unités du système de mesures obligatoire en France. Ce système est le système métrique décimal à sept unités de base, appelé, par la Conférence générale des poids et mesures, système international SI. Les unités de base sont: La mole n’étant pas définie ci-après dans les tableaux des différentes unités, voici la définition de cette grandeur qui intéresse toute la chimie, c’est dire toute son importance pratique et scientifique ; elle intervient aussi en physique. L’unité de quantité de matière est la mole (mol), «quantité de matière d’un système contenant autant d’entités élémentaires qu’il y a d’atomes dans 0,012 kg de carbone 12». Une mole contient environ 6.1023 entités élémentaires: atomes, molécules, ions, etc., dont la nature doit être précisée. L’étalon (isotope 12 du carbone) permet de mesurer une quantité de matière avec une précision qui dépasse parfois le dix-millionième. La masse de 12 grammes a été choisie afin de conserver à l’unité la même valeur qu’à l’époque où la définition de la mole se référait à 1 gramme d’hydrogène. Les unités dénommées et définies dans le décret (unités principales, secondaires et hors système) sont les seules unités légales. Néanmoins, d’anciennes unités ont la vie longue et sont toujours utilisées comme le Cheval-Vapeur ou le kilogramme-force par cm2. 8 Préparé et animé par M. Said BELALI III. VALEURES DE QUELQUES CONSTANTES UNIVERSELLES Nom Symbole Valeur Origine Constantes universelles Vitesse de la lumière dans le vide c (ou c 0 ) ≡ 299 792 458 m/s définition Perméabilité du vide µ 0 ≡ 4π×10 -7 kg·m/A²s² (ou H/m) définition Permittivité du vide ε 0 = 1/35 950 207 149·π F/m ≡ 1/µ 0 c² Impédance caractéristique du vide Z 0 = 119,916 983 2·π Ω ≈ 376,730 313 461 770 68 kg·m²/A²s³ ≡ µ 0 c Constante de Coulomb κ = 8 987 551 787,368 1764 N/F ≡ 1/4πε 0 = c² × 10 -7 H/m Constante de Planck h = 1/1,509 190 474 744 000 159 717 5×10 33 J·s ≈ 6,626 069 3(11)×10 -34 kg·m²/s ≡ 4/K J ²R K Constante de Dirac ħ = 1/3,018 380 949 488 000 319 435×10 33 ·π J·s ≈ 1,054 571 68(18)×10 -34 kg·m²/s ≡ h/2π = 2/πK J ²R K Masse de Planck m p ≈ 2,176 45(16)×10 -8 kg ≡ (hc/2πG) 1/2 Longueur de Planck l p ≈ 1,616 24(12)×10 -35 m ≡ (hG/2πc³) 1/2 Temps de Planck t p ≈ 5,391 21(40)×10 -44 s ≡ (hG/2πch) 1/2 Température de Planck T p ≈ 1,416 79(11)×10 32 K ≡ (hch/2πGk B ²) 1/2 Electromagnétisme Charge électronique; Charge élémentaire e = 1/6 241 509 629 152 650 000 C ≈ 1,602 176 53(14)×10 -19 A·s ≡ 2/K J R K Gravitation Constante universelle de gravitation; Constante gravitationnelle de Newton G ≈ 6,674 2(10)×10 -11 m³/kg·s² mesure Accélération normale de la pesanteur g 0 ≡ 9,806 65 m/s² convention Constantes physico-chimiques Température du point triple de l'eau T 0 ≡ 273,16 K définition 9 Préparé et animé par M. Said BELALI Pression standard de l'atmosphère atm ≡ 101 325 Pa convention Constante des gaz parfaits R ou R 0 ≈ 8,314 472(15) J/K·mol = N A k B Volume molaire d'un gaz parfait, p = 1 atm, θ = 0°C V 0 ≈ 22,413 996(39) L/mol = Rθ/p Volume molaire d'un gaz parfait, p = 1 bar, θ = 0°C ≈ 22,710 981(40) L/mol = Rθ/p Nombre d'Avogadro N A ou L ≈ 6,022 141 99(47)×10 23 mol -1 Nombre d'atomes de C 12 dans leur état fondamental nécessaires pour obtenir une masse de 12 g Unité de masse atomique amu ≈ 1,660 538 86(28)×10 -27 kg 1/12 de la masse d'un atome de C 12 dans son état fondamental Constante de Boltzmann k ou k B ≈ 1,380 650 5(24)×10 -23 J/K = R/N A Constante de Wien (loi de Wien) b ou σ w ≈ 2,897 768 5(51)×10 -3 m·K Constante de Loschmidt N L ≈ 2,686 777 3(47)×10 25 m -3 ≡ N A /V 0 Constante de Faraday F ≈ 96485,3383(83) C/mol ≡ N A e IV. GRANDEURS MESURABLES - DIMENSIONS ET UNITES Toutes les grandeurs mesurables s'expriment en fonction de quelques grandeurs de base: Grandeurs de base dimension unité SI longueur (L) mètre (m) masse (M) kilogramme (kg) temps (T) seconde (s) courant électrique (I) ampère (A) température Kelvin (K) quantité de matière mole (mol) Par exemple, une surface s'exprime en fonction d'une longueur multipliée par une longueur: 10 Préparé et animé par M. Said BELALI L'expression d'une grandeur quelconque en fonction des grandeurs de base est sa dimension. Ainsi, la dimension d'une surface, que l'on note [surface], est L x L, soit L 2 . Par exemple: On construit un système d'unités en définissant les unités des grandeurs de base. On peut ainsi déterminer les unités de n'importe quelle grandeur, simplement à partir de sa dimension. Par exemple: Surface: Le système international (SI) utilise le mètre comme unité de longueur. L'unité SI de surface est donc le mètre carré (m 2 ). Force: pression: énergie: Une énergie est par exemple le travail associé au déplacement d'un objet soumis à une force. C'est une force multipliée par une longueur: Unités dérivées grandeur symbole dimensions unités SI autre nom surface S, A L 2 m 2 volume V L 3 m 3 densité d, Y M.L -3 kg.m -3 vitesse v L.T -1 m.s -1 accélération K , g L.T -2 m.s -2 force f, F M.L.T -2 kg.m.s -2 newton (N) pression P M.L -1 .T -2 kg.m -1 .s -2 = N.m -2 Pascal (Pa) énergie E, U M.L 2 .T -2 kg.m 2 .s -2 = N.m joule (J) puissance M.L 2 .T -3 kg.m 2 .s -3 = J.s -1 watt (W) charge électrique q I.T A.s coulomb (C) potentiel électrique V, U M.L 2 .T -3 .I -1 kg.m 2 .s -3 .A -1 = J.A -1 .s -1 volt (V) résistance électrique R M.L 2 .T -3 .I -2 Kg.m 2 .s -3 .A -2 ohm (A ) 11 Préparé et animé par M. Said BELALI Unités courantes non-SI et facteurs de conversions Longueur: 1 Å = 10 -10 m 1 pouce = 0.254 m Volume: 1 litre (L) = 1 dm 3 = 10 -3 m 3 1 m 3 = 1000 L Masse: 1 livre (lb) = 0.454 kg température: T (K) = T(°C) + 273.15 Pression: 1 atm = 101325 Pa 1 bar = 10 5 Pa 1 atm = 760 torrs 1 torr = 1 mm Hg Énergie: 1 calorie (cal) = 4.184 J 1 calorie alimentaire (Cal) = 1 kcal = 4184 J 1 électronvolt (eV) = 1.602176462x10 -19 J 1 nombre d'onde (cm -1 ) = 1.986447x10 -23 J moment dipolaire: 1 Debye (D) = 3.33564×10 -30 C.m polarisabilité: SI = 4 o CGS avec [ CGS ] = L 3 Valeur des constantes usuelles en unités SI (référence: National Institute of Standards and Technology charge de l'électron : Q e = -1.602176462×10 -19 C constante de Boltzmann : k = 1.3806503×10 -23 J.K -1 constante de Planck : h = 6.62606876×10 -34 J.s constante des gaz parfaits : R = k × N a = 8.314472 J.K -1 .mol -1 constante gravitationnelle : G = 6.673×10 -11 N.m 2 .kg -2 masse au repos du proton : m p = 1.67262158×10 -27 kg masse au repos de l'électron : m e = 9.10938188×10 -31 kg nombre d'Avogadro : N a = 6.02214199×10 23 mol -1 permittivité du vide: o = 8.854187817×10 -12 F.m -1 vitesse de la lumière dans le vide : c o = 2.99792458×10 8 m.s -1 12 Préparé et animé par M. Said BELALI Préfixes nom femto pico nano micro milli centi deci kilo mega giga symbole f p n µ m c d k M G représente: 10 -15 10 -12 10 -9 10 -6 10 -3 10 -2 10 -1 10 +3 10 +6 10 +9 13 Préparé et animé par M. Said BELALI Chapitre 1 : LES DIPÔLES. I. DÉFINITIONS. CLASSIFICATION. Un dipôle est un système accessible par deux bornes dans lequel peut circuler un courant électrique. Pour qu'un courant puisse circuler dans un dipôle, il faut brancher celui-ci sur un autre dipôle. La classification, (activf / passif) est difficile à faire, car quelle que soit la définition utilisée, on trouve toujours un contre exemple ! Par exemple, un critère énergétique (les actifs peuvent fournir de l'énergie, contrairement aux passifs) élimine les semi-conducteurs de la catégorie des actifs Les définitions proposées ne sont donc pas à prendre comme argent comptant. Elles donnent une tendance qui sera entachée d'exceptions ! Nous allons étudier ici des dipôles de base. Dans la pratique, on trouvera ces dipôles tels quels, mais on pourra aussi en construire d'autres en associant en série et en parallèle ces dipôles de base. Pour que l'élément ainsi créé soit un dipôle, il doit répondre à la définition donnée ci-dessus. I.1. Dipôle passif. Si on branche ensemble deux dipôles identiques et qu'aucun courant permanent ne passe entre les deux dipôles quel que soit le sens du branchement, ces dipôles sont passifs. Ex : résistances, thermistances, selfs, condensateurs… Il va circuler du courant dans un dipôle passif si on applique une différence de potentiel entre ses bornes. Réciproquement, si on fait circuler un courant dans ce dipôle, il va apparaître une tension à ses bornes. I.2. Dipôle actif. Si on branche un dipôle sur une résistance et qu'un courant permanent circule, alors ce dipôle est actif. ex : pile, accumulateur, alternateur … Bien qu'ils ne répondent pas intrinsèquement à la définition ci-dessus, on classera également dans cette catégorie les semi-conducteurs et circuits intégrés ayant des caractéristiques de générateurs : diodes zéners, transistors… I.3. Source de tension parfaite. La représentation est la suivante : Fig. 1. Sources de tension parfaites. Une source de tension est un dipôle actif ; elle peut être continue ou alternative. Dans tous les cas, un dipôle est une source de tension s'il maintient la même tension entre ses bornes, et ce quel que soit le courant qu'il débite ou qu'il absorbe ; c'est une source de tension continue si cette tension est fixe dans le temps, et une source de tension alternative si la tension varie dans le temps de façon périodique. 14 Préparé et animé par M. Said BELALI I.4. Source de courant parfaite. La définition est la même que pour la source de tension, sauf que la source de courant débite le même courant quel que soit la tension présente à ses bornes. Fig. 2. Sources de courant parfaites I.5. Sources réelles. Une source de tension réelle aura en réalité une impédance série non nulle, et une source de courant réelle une impédance parallèle non nulle. Les schémas deviennent : Fig. 3. Sources de tension et courant réelles. I.6. Dipôle linéaire. Un dipôle est linéaire si la relation entre la tension à ses bornes et le courant qui y circule est linéaire. Ex : résistance. CONVENTIONS DE SIGNE. Les conventions de signe communément admises pour représenter la tension aux bornes d'un dipôle et le courant y circulant font la différence entre générateurs et récepteurs. Il faut noter ici que le sens du courant ainsi défini est totalement arbitraire dans l'absolu , et ne représente qu'une convention. En pratique, physiquement, c'est la circulation des électrons qui forme le courant, et celle-ci se fait dans le sens opposé au sens de circulation conventionnel du courant ! Lorsqu'on calcule les éléments d'un circuit électrique, on peut se fixer une convention différente , mais il faut garder la même pour tout le circuit électrique étudié. I.7. Convention générateur Fig. 4. Dipôle générateur. Un dipôle est générateur lorsqu'il fournit de l'énergie (même de manière très temporaire) au circuit sur lequel il est connecté. Dans ce cas, le courant sort par le pôle positif du dipôle générateur. Les flèches représentant tension et courant sont dans le même sens. 15 Préparé et animé par M. Said BELALI I.8. Convention récepteur Un dipôle est un récepteur quand il consomme de l'énergie (fournie par le circuit sur lequel il est connecté). Dans ce cas, courant et tension sont orientés en sens inverse. Le pôle positif du dipôle est celui par lequel rentre le courant. Fig. 5. Dipôle récepteur Attention à la méprise ! Actif n'est pas synonyme de générateur, pas plus que passif n'est synonyme de récepteur, même si c'est le cas le plus fréquent. Il y a de nombreuses exceptions. Certains dipôles passifs (dits réactifs : selfs, condensateurs) peuvent avoir temporairement un comportement de générateur et suivront cette convention de signe, alors que des dipôles actifs sont parfois utilisés comme récepteurs : On utilisera alors cette convention. Si dans un schéma, le calcul du courant circulant dans un dipôle actif et de la tension présente à ses bornes indiquent que le courant rentre par le pôle positif, alors ce dipôle est utilisé en récepteur. Exemple de composant passif utilisé comme générateur : le condensateur réservoir, très utilisé en électronique (filtrage des alimentations, découplage ). Exemple de composant actif utilisé comme récepteur : batterie en phase de charge. II. ASSOCIATION DE DIPÔLES. Quand on connecte deux dipôles ensemble, ils présentent la même tension à leurs bornes (!), et le courant entrant dans l'un est égal au courant sortant de l'autre (dans une boucle fermée sans connections avec l'extérieur, le courant circule dans un seul sens !) II.1. Association passif / actif. Fig. 6. Association passif/actif Ce cas justifie la différence de conventions entre générateur et récepteur : la tension aux bornes des deux dipôles étant la même, il y en aura forcément un avec le courant dans le même sens que la tension et l'autre avec le courant en sens inverse ! L'un délivre de l'énergie que l'autre absorbe. II.2. Association actif / actif. Dans le cas où l'on brancherait deux dipôles actifs ensemble, on ne peut pas toujours dire à priori si un des deux était récepteur, et si oui, lequel. Dans ce cas, on fixe arbitrairement le sens du courant dans la boucle. Après le calcul, si le courant est positif, l'hypothèse était justifiée, sinon, le sens du courant réel est l'inverse de celui qui a été fixé. 16 Préparé et animé par M. Said BELALI Fig. 7. Association actif/actif Le courant ainsi orienté sortira par le pôle positif du dipôle générateur. L'autre dipôle actif est utilisé en récepteur (courant entrant par le pôle positif). III. CARACTÉRISTIQUE STATIQUE D’UN DIPÔLE. III.1. Définition. La caractéristique statique permet de décrire tous les points de fonctionnement possibles en continu du dipôle : quand on applique une tension à ses bornes, le courant est défini, et vice versa. La représentation de la caractéristique est une courbe dans le plan (I, U). Le domaine (I, U) est partagé par les axes en quatre quadrants : Fig. 8. Les 4 quadrants d'une caractéristique. Par habitude ou pour simplifier, on ne représente souvent que le premier quadrant (I>0, U>0). En fait, la plupart des dipôles ont une caractéristique qui occupe au moins deux quadrants. Les conventions I>0 et U>0 indiquent que les sens des courants sont conformes aux normes générateur ou récepteur selon le dipôle. Pour certains dipôles, on est amené à préciser la caractéristique complète : par exemple, certaines alimentations stabilisées réglables de laboratoire ont un domaine de fonctionnement spécifié dans un, deux ou quatre quadrants (on a des caractéristiques différentes en fonction du réglage) ; leur comportement en sera différent. III.2. Dipôle passif. 1. Résistance. Fig. 9. Caractéristique de résistance. 17 Préparé et animé par M. Said BELALI La relation I =f(U) est linéaire (loi d'Ohm). La pente de la droite est égale à 1/R. III.3. Dipôle passif non linéaire. Fig. 10. Caractéristique non linéaire. La relation I =f(U) est quelconque. Ex : varistance, certains capteurs utilisés en instrumentation III.4. Dipôle actif utilisé comme récepteur. Les composants actifs utilisés comme récepteurs sont très employés dans l'électronique analogique : on leur accordera une importance particulière. Les raisonnements qui suivent sont faits avec des sources continues. Le raisonnement est strictement le même avec des sources alternatives. III.5. Source de tension continue parfaite. Fig. 11. Source de tension continue parfaite. Une source de tension parfaite impose une tension constante aux bornes du dipôle sur lequel elle est branchée, et ce quel que soit le courant qu'elle absorbe. La caractéristique est verticale. III.6. Source de tension avec résistance série. La tension augmente quand le courant imposé au dipôle augmente. C'est la chute de tension créée aux bornes de R par le courant qui est responsable de cette augmentation. La pente de la courbe est égale à l'inverse de la résistance interne du générateur, soit 1 / R. Fig. 12. Source de tension quelconque. 18 Préparé et animé par M. Said BELALI Il convient de noter que dans ce cas, la caractéristique est contenue dans un seul quadrant : si on prolongeait la caractéristique dans le quadrant I<0, la source serait génératrice, et plus réceptrice comme on en a fait l'hypothèse ! III.7. Source de courant continu parfaite. Fig. 13. Source de courant parfaite. Un générateur de courant parfait impose un courant constant dans le dipôle sur lequel il est branché, quelle que soit la tension présente à ses bornes. La caractéristique obtenue est horizontale. III.8. Source de courant avec résistance parallèle. Lorsque la tension aux bornes de la source de courant augmente, le courant qu'elle absorbe augmente, avec une pente égale à 1 / R. En effet, la résistance interne en parallèle avec la source de courant absorbe un courant proportionnel à U qui vient s'ajouter à I o . Fig. 14. Source de courant quelconque. IV. LES QUADRIPÔLES. Nous n'allons pas entrer ici dans les détails de cette théorie, mais juste indiquer ce qui nous sera utile pour l'étude des transistors. IV.1. Définition. Un quadripôle est une boite noire à quatre bornes dans laquelle des courants électriques peuvent circuler ; cette boite comporte deux bornes d'entrée et deux bornes de sortie : Fig. 15. Représentation d'un quadripôle. La condition pour que cette boite noire soit un quadripôle est que le courant entrant par une des bornes d'entrée (resp. de sortie) soit égal au courant sortant par l'autre borne d'entrée (resp. de sortie). Quatre paramètres électriques caractérisent alors le quadripôle : tension et courant d'entrée v e et i e , et tension et courant de sortie v s et i s . Deux de ces variables sont indépendantes. Les autres y sont liées par les paramètres du quadripôle. 19 Préparé et animé par M. Said BELALI IV.2. Paramètres hybrides. Vu qu'on a quatre variables dont deux indépendantes, il y a plusieurs possibilités pour écrire les équations liant ces variables. Nous choisirons ici les équations faisant intervenir les paramètre hybrides, ce qui est le formalisme le plus simple pour décrire le fonctionnement des transistors. On démontre que l'on peut écrire : On peut mettre ce système sous la forme matricielle suivante : La matrice de transfert est appelée matrice hybride du quadripôle. La signification des paramètres est la suivante : - h 11 est l'impédance d'entrée du quadripôle avec la sortie en court-circuit. - h 12 est un coefficient dimensionnel quantifiant la réaction de la sortie sur l'entrée. - h 21 est le gain en courant avec sortie en court-circuit. - h 22 est l'admittance de sortie avec entrée à vide. IV.3. Schéma équivalent. A partir des paramètres définis précédemment, on peut donner un schéma électrique équivalent du quadripôle ; ce schéma ne fait intervenir que des composants classiques de l'électricité Fig16 : Schéma équivalent d'un quadripôle. IV.4. Représentation des schémas En général, et contrairement à ce qui se pratique en électricité, on ne représentera pas toutes les connections entre les composants d'un schéma électronique. On omettra souvent les générateurs de tension continue, et de ce fait, le rebouclage des points où ils sont connectés avec la masse. De même, pour mieux comprendre le fonctionnement d'un montage, on tâchera (dans la mesure du possible) de bâtir le schéma en mettant le potentiel le plus élevé en haut de la feuille et de respecter une échelle des potentiels décroissants lorsqu'on dessinera les éléments du haut vers le bas de la feuille. En procédant ainsi, on aura les flèches de représentation des potentiels dans le même sens, et des courants descendants : la compréhension en sera largement accrue. 1) MASSE. La masse est le potentiel de référence (fixé par convention à 0) du montage électronique : un potentiel n'est pas défini dans l'absolu, on parle toujours de différence de potentiel. 20 Préparé et animé par M. Said BELALI Dans un montage électronique, quand on parlera du potentiel d'un point, il sera sous entendu que ce potentiel est référencé à la masse du montage. La masse sera en général le pôle moins de l'alimentation continue servant à polariser le montage. Cette règle est uniquement une coutume, elle ne sera pas systématiquement respectée sur les schémas rencontrés ! Fig.17. Représentations de la masse. 2) TERRE. La terre est une connexion physique au sol (à la terre !). Contrairement aux croyances souvent énoncées, en aucun cas ce potentiel ne peut être considéré comme référence absolue, car il est différent d'un endroit de la Terre (la planète) à un autre. De plus, le câble de liaison du laboratoire au sol présente une impédance non nulle : si un courant parasite circule dans ce câble, il va y créer une chute de potentiel ; on aura une différence de potentiel entre la prise de terre du labo et le sol. La fonction d'une terre est la sécurité : elle permet de protéger les utilisateurs d'équipement sous tension , et aussi d'évacuer les courants induits par la foudre. Fig.18. Représentations de la terre. 3) INTERRUPTEURS. Ils permettent d'introduire une coupure dans un circuit électrique. Nous allons étudier ici le comportement d'un interrupteur parfait. Interrupteur ouvert. Lorsque l'interrupteur est ouvert, aucun courant ne circule dans la boucle, et toute la tension se retrouve sur l'interrupteur (U2 est nul, car le courant I est nul). Fig.19. Interrupteur ouvert dans une boucle. Fig.20. Interrupteur fermé dans une boucle. 4) DIVISEUR DE TENSION. C'est le montage fondamental de l'électronique : 21 Préparé et animé par M. Said BELALI Fig.21. Diviseur de tension. Plutôt que d'appliquer la loi des mailles, on utilisera cette propriété au maximum ; les calculs en seront très souvent simplifiés. La formule donnant la tension de sortie V s en fonction de la tension d'entrée du pont V e est la suivante : En fait, on s'affranchit des courants dans la formulation, ce qui revient implicitement à diminuer le nombre d'inconnues, donc d'équations du problème. On arrive ainsi beaucoup plus vite et plus sûrement à le résoudre. V. ASSOCIATION DE RÉSISTANCES. V.1. En parallèle. Fig. 22. Résistances en parallèle. V.2. En série. Fig. 23. Résistances en série. VI. THÉORÈMES FONDAMENTAUX. VI.1. Lois de Kirchof. Les lois de Kirchoff sont les lois fondamentales qui régissent le fonctionnement de tout circuit électrique. Néanmoins, en pratique, elles sont peu appliquées telles quelles en électronique ; on leur préférera souvent les propriétés du diviseur de tension, et les théorèmes de thévenin et de superposition pour faire les calculs. A noter qu'on a besoin des lois de Kirchoff pour démontrer ces théorèmes. 22 Préparé et animé par M. Said BELALI 1) Loi des mailles. Une maille est une boucle fermée composée d'éléments réels ou virtuels (immatériels) présentant une différence de potentiel entre leurs bornes. La somme des tensions rencontrées lorsqu'on parcourt une boucle fermée est nulle. Cette loi est en quelque sorte la relation de Chasles de l'électricité. Pratiquement, on impose d'abord le sens des courants dans chaque élément de la maille. Ensuite, on représente les tensions par des flèches en respectant les règles suivantes : - convention récepteur pour les dipôles passifs avec le sens du courant qu'on a imposé. - respect de la polarité des générateurs (flèche au pôle positif). Attention : cette règle est absolue, même si le générateur est utilisé comme récepteur ! (Exception notable : les fcem). - une tension rencontrée sur la boucle peut correspondre à un élément immatériel (qui n'est ni un générateur, ni un composant passif : cas de la tension U dans l'exemple ci-dessous). Cette astuce permet de casser une boucle trop grande et de simplifier les calculs. Le sens et le début du parcours n'importent pas. On met un signe positif à toute tension rencontrée en direct (la flèche la représentant est orientée dans le sens de parcours de la boucle), sinon, le signe est négatif. Fig. 24. Circuit à deux mailles. - boucle 1 : - boucle 2 Pour résoudre totalement le problème d'électricité posé, il va falloir déterminer autant d'équations indépendantes qu'on a d'inconnues (tensions et courants). La loi des mailles ne sera d'ailleurs pas suffisante pour définir toutes les équations nécessaires, il faudra aussi utiliser la loi des noeuds. Quand on a autant d'équations que d'inconnues, on peut résoudre le système. Il se peut alors qu'on obtienne des courants négatifs. Si le circuit ne comporte aucun élément appelé force contre électromotrice (fcem) en électricité, le courant circule en fait dans le sens opposé à celui défini arbitrairement. Ceci ne remet pas en cause les résultats obtenus. Par contre, si le circuit contient des fcem, et que des courants négatifs apparaissent dans la solution, il faut impérativement retraiter tout le problème en modifiant le sens arbitraire des courants, et ceci jusqu'à ce que tous les courants soient positifs. En pratique, dans les problèmes d'électronique abordés dans le cadre de ce cours, il n'y aura jamais d'ambiguités : on n'aura que des composants passifs simples, et des sources de tension utilisées soit comme générateurs, soit comme récepteurs, mais dans tous les cas, leur polarité ne dépendra pas du sens du passage du courant. Par contre, la polarité des fcem dépend du sens du courant les traversant, ce qui fait que si on inverse celui-ci, le problème d'électricité à résoudre est différent ! En électronique, on fera essentiellement attention aux inductances, qui ont un comportement de fcem. 23 Préparé et animé par M. Said BELALI Nota : on trouvera dans la littérature une autre méthode de résolution de ces problèmes appelée résolution matricielle. Elle consiste à définir un courant de maille totalement fictif et n'ayant rien à voir avec la circulation réelle des courants (qui sont mesurables à l'aide d'un ampèremètre). On obtient les courants réels en sommant les courants fictifs communs aux différentes branches. Cette méthode est très efficace pour faire du calcul de circuits sur ordinateur (résolution de systèmes d'équations). Elle est déconseillée ici, car elle ne permet pas d'y voir clair dans un circuit électronique, ni surtout pas d'intuiter son fonctionnement ! Loi des noeuds. Un noeud est la jonction d'au moins trois conducteurs. Fig. 25. Noeud de courant. La somme des courants entrant dans le nœud est égale à la somme des courants en sortant. Ici, on a : 2) Théorème de superposition. Définition. Ce théorème est fondamental. Il va permettre d'étudier des circuits comportant plusieurs générateurs (de tension ou de courant) en considérant l'influence de chaque générateur indépendamment des autres, ce qui va beaucoup simplifier la plupart des problèmes. Une des grandes applications est le schéma alternatif petits signaux, qu'on utilise très souvent sans même penser qu'il découle du théorème de superposition ! Dans un circuit comportant plusieurs générateurs, la solution du problème (les tensions et courants inconnus) est la somme des solutions trouvées en ne considérant qu'un générateur à la fois. Pour ce faire, on remplace chaque source de tension parfaite par un court circuit, et chaque source de courant par un circuit ouvert, à l'exception de la source dont on veut connaître l'influence. Fig. 26. Problème global. Dans l'exemple ci-dessus, on va commencer par supprimer E 2 et faire le calcul de la tension U avec E 1 seul. On a alors un diviseur de tension : 24 Préparé et animé par M. Said BELALI Fig. 27. 1 ère étape. Pour avoir la contribution de E 2 , on fait ensuite la même chose en supprimant E 1 : Fig. 28. 2 ème étape. La solution totale U est égale à la somme des deux solutions précédemment trouvées : On voit bien ici l'intérêt de ce théorème : on applique deux fois la formule du diviseur de tension et le tour est joué ! Il n'y a pas eu besoin de recourir aux équations lourdes de la loi des mailles. Tout comme pour le théorème de thévenin, on utilisera ce théorème avec une extrême prudence quand on aura affaire à des sources commandées Application au schéma équivalent alternatif petits signaux. En général, on conçoit un circuit électronique à éléments discrets en deux temps : on calcule d'abord les éléments nécessaires à sa bonne polarisation, et ensuite, on étudie son comportement en petits signaux alternatifs (la fonction principale du montage) indépendamment de la polarisation (qui est nécessaire au bon fonctionnement des semi conducteurs, mais ne constitue pas une fin en soi). Ce faisant, on utilise implicitement le théorème de superposition, car les tensions et courants du montage seront toujours la somme des tensions et courants de polarisation et des signaux alternatifs. Ainsi, dans un circuit, on pourra se focaliser sur l'effet d'un seul générateur. Il sera indépendant de la contribution du ou des autres générateurs du circuit. Pour construire un schéma équivalent en alternatif d'un montage, on appliquera les règles suivantes : - On remplacera toutes les sources de tension continue parfaites par des court-circuits. - On remplacera toutes les sources de courant continu parfaites par des circuits ouverts. - On remplacera toutes les sources de tension continue et de courant continu ayant une résistance interne par leur résistance interne. - Les condensateurs de découplage seront remplacés par des court-circuits. 25 Préparé et animé par M. Said BELALI - En général, on remplacera les condensateurs de liaison par des court-circuits. - Tous les dipôles non linéaires seront préalablement linéarisés pour nous permettre d'appliquer simplement la loi d'Ohm. 3) Théorème de thevenin. Il a été dit au début de ce chapitre qu'on pouvait associer des dipôles de base en série et en parallèle de manière à former des dipôles plus complexes. Le théorème de thévenin permet de remplacer un montage complexe par un générateur de tension équivalent avec sa résistance interne équivalente et de calculer ces éléments. On pourra ainsi considérer ce montage comme une source de tension réelle et étudier plus simplement son comportement lorsqu'on le connecte à un autre dipôle. On peut aussi grâce à ce théorème aborder un schéma compliqué en isolant des morceaux et en les transformant en générateurs de thévenin équivalents. Cela permet souvent d'y voir plus clair dans un schéma complexe, et de simplifier et bien faire ressortir des blocs clé du schéma. Dans l'exemple suivant, il pourrait être intéressant de réduire la partie gauche du schéma (en pointillés) à un seul générateur équivalent. Fig. 29. Dipôle complexe. Le théorème de thévenin va permettre de réduire cette partie à un générateur E Th et sa résistance interne R Th de la manière suivante : - E Th est la tension à vide de la partie gauche du schéma : R 3 est infinie. - R Th est la résistance équivalente vue entre les points A et B lorsque les sources de tension non commandées sont éteintes et que R 3 est infinie. La tension équivalente se calcule ici aisément par le théorème de superposition : Fig. 30. Générateur de tension équivalent. La résistance est obtenue en remplaçant les générateurs de tension par des court-circuits (s'il y avait eu des générateurs de courant, on les aurait remplacés par des circuits ouverts) : 26 Préparé et animé par M. Said BELALI Fig. 31. Résistance équivalente. Le circuit équivalent est le suivant, avec les valeurs de E Th et R Th calculées précédemment. Si maintenant, on veut utiliser la même partie gauche du schéma avec une charge différente de R 3 , le générateur de thévenin reste identique : il n'y a pas besoin de refaire de laborieux calculs avec les lois de Kirchoff ! Fig. 32.Générateur de thévenin équivalent. Il existe le théorème dual de celui de thévenin : c'est le théorème de norton. On raisonne alors en termes de source de courant. Il est plus rarement utilisé en électronique, et donc, nous ne l'étudierons pas ici (voir cours d'électricité). 27 Préparé et animé par M. Said BELALI CHAPITRE 2 : ELECTROCINETIQUE I. INTRODUCTION : LIEN AVEC COURS D'ÉLECTRONIQUE. Tout le secret de l'électricité réside dans la capacité de la matière à laisser circuler plus ou moins bien des charges électriques en son sein sous l'influence d'un champ électrique externe. Les composants électroniques obéissent aux lois générales de l'électricité, et donc répondent à la définition précédente. La différence avec les composants électriques traditionnels se situe dans le matériau conducteur utilisé, qui va autoriser un meilleur contrôle de la conduction électrique, et donc des fonctionnalités nouvelles. L'électronique va alors se distinguer de l'électricité par des composants dont on pourra moduler la conduction à l'aide de signaux électriques, chose impossible avec les composants simples de l'électricité. Il est par conséquent utile de rappeler en introduction que tout ce qu'on voit en électronique est totalement dépendant de la physique des solides, et qu'un aperçu de cette dernière est indispensable pour comprendre le fonctionnement des composants électriques et électroniques. II. STRUCTURE DE LA MATIÈRE. Les atomes sont des particules de base constituées d'un noyau autour duquel gravitent des électrons. Le noyau est composé de protons, particules élémentaires chargées électriquement à la valeur +e, et de neutrons, sans charge. Les électrons sont des particules chargées électriquement à la valeur -e. Ils tournent autour du noyau sur des orbites définies et ont une masse négligeable vis à vis des neutrons et protons (qui ont eux environ la même masse). La charge électrique élémentaire vaut e = 1,6E-19 C (C pour Coulomb, unité de charge électrique). Les orbites des électrons ont des dimensions très grandes vis à vis de celle du noyau, et l'ensemble de l'atome est électriquement neutre, car il comprend autant de protons que d'électrons. Les électrons se répartissent sur des orbites différentes qui forment des couches. Les couches sont remplies par les électrons dans un ordre bien déterminé. Dans la mesure du possible, ceux-ci s'assemblent par paires. Quand ce n'est pas possible, ils restent célibataires. Quand l'atome possède plusieurs couches d'électrons, les couches profondes contiennent un nombre d'électrons indépendant de l'atome considéré. C'est la couche périphérique qui fait la différence. Fig. 1. Structure d'un atome (silicium). 28 Préparé et animé par M. Said BELALI III. LES LIAISONS INTER-ATOMIQUES. Dans la matière, les atomes la constituant se combinent entre eux de manière à lui donner une certaine cohésion. Macroscopiquement, ces liaisons, appelées valences, vont donner la consistance du matériau : gaz, liquide, solide plus ou moins dur, structure cristalline Pour la suite de l'exposé, nous allons décrire seulement deux types de valences ; il en existe d'autres que nous n'aborderons pas. Ces deux liaisons sont : Les liaisons covalentes. Les atomes se lient entre eux en mettant en commun des électrons célibataires de la couche périphérique (électrons de valence). Ces électrons s'associent en paires et appartiennent en commun aux deux atomes participant à la liaison. De ce fait, les liaisons obtenues sont très robustes : il faut leur fournir une énergie importante pour les casser. Dans ce type de liaison, les électrons mis en commun restent très liés aux atomes qui les fournissent. Ils ne peuvent pas circuler facilement dans la matière. Les liaisons métalliques. Dans ce cas de liaison, ce ne sont pas deux atomes qui mettent en commun un ou plusieurs électrons pour se lier ; un grand nombre d'atomes mettent en commun des électrons célibataires. Les atomes ainsi dépouillés de leur(s) électrons(s) deviennent des particules non neutres du point de vue charge électrique (des ions). Ils forment un réseau cristallin et baignent dans un nuage d'électrons très mobiles appelés électrons libres. IV. LA CONDUCTION ÉLECTRIQUE. IV.1. Définition. Lorsqu'on applique un champ électrique extérieur sur un matériau, on a conduction si on observe la circulation d'un courant électrique dans le matériau. Ce courant est dû au déplacement de charges électriques dans le matériau. Fig. 2. Déplacement de charges dans un matériau. La figure 2 montre ce mécanisme : si on applique une différence de potentiel U AB entre deux points A et B d'un matériau distants d'une longueur L, on créé un champ électrique E dans le matériau : Ce champ va créer des forces sur les charges électriques présentes dans le matériau : 29 Préparé et animé par M. Said BELALI Si la charge q est positive, la force et le champ sont de même sens, si elle est négative, ils sont de sens opposés. Pour que des charges se déplacent dans un champ électrique, encore faut-il que ces charges mobiles existent. Les paragraphes qui suivent vont faire le lien avec les types de liaisons atomiques vues précédemment. IV.2. Les isolants. Dans le cas des matériaux isolants, on a affaire à des liaisons de type covalente : les électrons célibataires de la couche périphérique forment tous des liaisons avec leurs homologues issus d'autres atomes adjacents. Les liaisons sont robustes, et les charges potentiellement mobiles (les électrons) restent liées aux atomes auxquelles elles appartiennent. On a beau appliquer un champ électrique sur ces matériaux, aucun courant électrique ne circule, car il n'y a pas de charges mobiles. Il faut noter que les isolants sont aussi importants que les conducteurs en électricité et en électronique, car ce sont eux qui permettent de canaliser les courants électriques là où on le désire. Ils vont s'intercaler entre les conducteurs, et aussi assurer la protection des usagers (gaines isolantes, enrobages de câbles ). IV.3. Les conducteurs. Les liaisons des atomes composant les matériaux conducteurs sont de type métallique. Nous avons vu précédemment que dans ce type de liaisons, chaque atome libère un électron qui peut circuler librement dans le cristal. En l'absence de champ électrique extérieur, ces électrons se déplacent dans un mouvement désordonné, et, statistiquement, la somme de tous les déplacements est nulle : il n'y a pas de courant électrique généré spontanément (ce qui serait l'équivalent du mouvement perpétuel en mécanique !). Par contre, dès qu'on applique un champ électrique extérieur au matériau conducteur, les électrons vont circuler dans un sens bien déterminé par le sens du champ électrique, créant un courant important. IV.4. Interprétation de la loi d'Ohm. Tout le monde connaît la loi d'Ohm : Cette loi est interprétable au niveau atomique. Nous allons en donner les principales formulations ci-dessous. Certaines équations sont bien entendues parachutées, notamment celle qui paraît la plus simple, à savoir la mobilité des charges. Elle découle de la théorie du modèle, boules de billard, qui assimile les particules en mouvement à des boules de billard qui se déplacent aléatoirement et qui s'entrechoquent. Nous n'entrerons pas dans cette théorie. IV.5. Mobilité des charges. De tout ce qui a été dit précédemment, on se doute qu'un des principaux paramètres qui va décrire l'aptitude d'un matériau à conduire le courant électrique est la mobilité des charges électriques présentes dans ce matériau. On le définit dans la relation suivante : 30 Préparé et animé par M. Said BELALI µ est la mobilité des charges exprimée en m 2 /Vs, v la vitesse de déplacement de ces charges dans la matière, et E l'intensité du champ électrique appliqué sur le matériau (exprimé en V/m). IV.6.Courant. Le courant électrique est le débit de charges électriques circulant dans le conducteur d'une section S donnée, à savoir la quantité de charges électriques qui vont traverser cette section par unité de temps : où n est le nombre de charges traversant la section S de conducteur à la vitesse v. Chaque particule est chargée à la valeur élémentaire e = 1,6.10 -19 C Cette définition est tout à fait assimilable au débit d'eau dans une conduite. On voit ici que le courant dépend de la section du conducteur. Pour caractériser le matériau, on va utiliser une définition faisant abstraction de cette section : c'est la densité de courant. IV.7. Densité de courant. La densité de courant J est tout simplement le rapport de l'intensité à la section, soit : La densité est proportionnelle à la mobilité des charges, à leur nombre, et au champ électrique appliqué. IV.8. Conductivité et résistivité. Si on reprend l'équation [1] et la figure 2, on peut remplacer E par sa valeur dans l'équation [5], soit : C'est la loi d'Ohm. La résistance R du tronçon de matériau de section S et de longueur L est égale à : Par définition, on appelle la conductivité la valeur : La résistivité est l'inverse de la conductivité, à savoir : Une autre forme de la loi d'Ohm est dans ce cas : Exemples de valeurs de résistivité : - = 1E12 m pour le diamant (isolant) - = 1,7E-8 m pour le cuivre (conducteur) Influence de la température. La température, en augmentant, va accroître l'agitation des particules dans la matière, et ainsi gêner leur déplacement lors de l'application d'un champ électrique externe. La résistivité du matériau va augmenter. 31 Préparé et animé par M. Said BELALI Cette augmentation de la résistivité avec la température est une loi linéaire, et peut se mettre sous la forme : a est la constante du matériau, o la résistivité à To et la résistivité à la température T. a vaut 4E-3K -1 pour le cuivre. Cela signifie que la résistance d'un conducteur de cuivre va varier de 1% tous les 2,5°C. On en tiendra compte lorsqu'on fera de telles mesures ! V. COURANT, CONDUCTIVITE, RESISTIVITE, RESISTANCE V.1. Notion de courant Un courant électrique dans un matériau est un déplacement de charges libres. Il nécessite l’existence de : charges libres, c’est à dire non liées à la structure du matériau, donc libres de s’y déplacer, d’une force capable de les entraîner. V.2. Définitions La densité de courant (J, en A . m -2 ) est la quantité de charges traversant une section d’aire unitaire dans un intervalle de temps unitaire. L’intensité de courant (I, en A) est la quantité de charges traversant une section d’aire A S dans un intervalle de temps unitaire : La conductivité (en -1 . m -1 , ou S . m -1 ) d’un matériau est égale à : . où : n est la densité (concentration par unité de volume, en m -3 ) des charges libres dans ce matériau, , leur mobilité (en m -2 V -1 s -1 ) dans ce matériau, La charge de l’électron est q e- -0,16aC, (a = 10 -18 ), q est la charge unitaire (en C, Coulomb) : q = |q e- |. La résistivité (en . m) est égale à : La résistance (en ) d’un tube de longueur L et dont l’aire de la section est A S , dans un matériau de résistivité est : R = V.3. Champ électrique et potentiel Pour simplifier, il existe deux types de courant : le courant de diffusion et celui de conduction. La force de diffusion est due à un gradient de concentration de charges. Elle entraîne les porteurs libres vers les régions de moindre concentration, créant ainsi un courant de diffusion. C’est celle qui est utilisée pour la modélisation du courant dans la jonction PN et dans celle de l’effet bipolaire. 32 Préparé et animé par M. Said BELALI Le champ électrique (E = - , en V . m -1 ), engendre une force ( = q . E, en N) sur un porteur libre de charge q, qui ainsi se déplace à la vitesse ( = . , en m . s -1 ). Le courant de conduction ainsi créé, a une densité J, égale à : . Le travail fourni pour déplacer cette charge du point A au point B, contre l’effet de ce champ, est égal au produit de la charge par la différence de potentiel (en V) : . Le champ électrique est orienté du plus fort potentiel vers le plus faible. De ce fait les électrons, de charge négative, "remontent" ils le potentiel, mais le courant conventionnel est de même sens que le champ électrique. Ainsi nous pouvons modéliser un courant en connaissant : le matériau par : la mobilité de ses porteurs libres ( ), leur densité dans la région active (n), la charge unitaire de ces porteurs (q), l’action appliquée : ici le champ électrique (E). V.4. Expression intégrale de la loi d'Ohm Soit un conducteur délimité par deux surfaces équipotentielles à potentiel . On appelle ligne de courant le " trajet " suivi par les charges. suivant une ligne de courant, R est appelée résistance électrique Cette relation constitue l'expression intégrale de la très importante loi d'Ohm. Remarque Il y a ressemblance des formules entre la capacité d'un condensateur et la résistance d'un conducteur. L'analogie est plus complète si on remarque, qu'en électrostatique pour un diélectrique et en électrocinétique pour un conducteur, la fonction potentiel obéit à . Nous admettons (ce qui semble évident pour un mouvement continu de charges mobiles et sera montré dans le chapitre sur les équations de Maxwell chaque fois que la loi d'Ohm est applicable) que la densité volumique de l'ensemble de toutes les charges d'un conducteur est nulle. Pour un diélectrique et un conducteur de même forme, les équipotentielles donc les lignes de champ et les lignes de courant sont identiques et 33 Préparé et animé par M. Said BELALI V.5. Energie (effet Joule) Considérons un électron sur une ligne de courant, son sens est celui des potentiels croissants puisque sa charge est négative. Sa variation d'énergie potentielle électrique lorsqu'il passe d'un point M en un point M' infiniment voisin est égale à : Puisque : L'électron a perdu de l'énergie électrique, elle n'est pas devenue cinétique puisque le vecteur vitesse est constant sauf à l'établissement du régime. Cette énergie est devenue de l'énergie interne lors des chocs sur les ions (augmentation de leur agitation thermique, donc de la température qui peut se stabiliser si le conducteur échange de la chaleur avec l'extérieur). Le nombre d'électron à vitesse traversant un élément de surface par unité de temps est égal à . La perte d'énergie électrique est : (le signe – introduit est conventionnel : il compte positivement la perte d’énergie électrique, c’est à dire le gain d’énergie d’une autre forme). Ce phénomène est connu sous le nom d'effet Joule. L'expression locale de la puissance volumique dissipée par effet joule s'écrit donc . L'expression intégrale pour le conducteur conduit à une puissance P J dissipée par effet Joule égale à : V.6. Validité de la loi d'Ohm à hautes fréquences La mesure de la conductivité permet de connaître la valeur de la constante de temps , compte tenu du modèle proposé. Ainsi pour le cuivre de masse molaire égale à 63,6 g, de masse volumique 8800 Kg.m -3 , de conductivité égale à , qui dans la liaison métallique libère un électron par atome, on trouve . On conçoit alors que la loi d’Ohm soit valable jusqu'à des fréquences atteignant ce que l’on écrit sous la forme ou 34 Préparé et animé par M. Said BELALI La vitesse des électrons est intéressante à connaître : elle est pour un conducteur en cuivre de de section, parcouru pat un courant de 1 A, de . CHAPITRE 3 : CIRCUITS TRIPHASES I. DISCUSSION L’énergie est distribuée dans la plupart des installations industrielles par un système triphasé. Les tensions entre les lignes ont la même valeur et la même fréquence, mais elles sont déphasées l’une par rapport à l’autre de 120º. Pour une puissance donnée, une ligne de transport triphasée demande moins de cuivre qu’une ligne monophasée. De plus, les moteurs et les alternateurs triphasés sont plus petits et moins coûteux que les moteurs et les alternateurs monophasés de même capacité, tension et vitesse. La Figure 0-1 nous montre la construction simplifiée d’un alternateur triphasé ainsi que sa tension de sortie. Chaque enroulement est décalé de 120º, ce qui permet d’avoir trois tensions de sorties déphasées de 120º. 120° E a1 E a2 E a3 N S a b c 3 1 2 a) b) FI GURE 0- 1 ALTERNATEUR TRI PHASÉ II. TENSIONS TRIPHASEES On peut brancher les enroulements de l’alternateur de la figure précédente de deux façons: en étoile ou en triangle. 35 Préparé et animé par M. Said BELALI III. BRANCHEMENT AVEC DES EXEMPLES III.1. Branchement en étoile Dans un branchement en étoile, les extrémités des enroulements sont reliées à un même point qu’on appelle le neutre (Figure 0-2). Dans un tel branchement, les tensions E an , E bn , E cn , sont appelées tensions de phase. Chacune de ces tensions est déphasée de 120º, l’une par rapport à l’autre. 36 Préparé et animé par M. Said BELALI N a b c E ab E bn E cn E bn 30° a) b) E an FI GURE 0- 2 BRANCHEMENT EN ÉTOI LE La différence de potentiel entre deux tensions de phase nous donne la tension de ligne. ρ ρ ρ E E E ab an bn = − Le rapport entre la tension de ligne et la tension de phase est le suivant: E E L P = × 3 H EQUATI ON 0- 1 • E L = tension de ligne = E ab ; E ph = tension de phase = E an . III.2. Branchement en triangle Si l’on raccorde les enroulements comme indiqué à la Figure 0-3, on ne retrouve qu’une seule tension qui est la tension de ligne. Les trois tensions de ligne E ab , E bc , E ca sont décalées de 120º l’une par rapport aux autres. a b c a b c 3 1 2 FI GURE 0- 3 BRANCHEMENT EN TRI ANGLE IV. CHARGES RACCORDEES EN ETOILE OU EN TRIANGLE Dans un système triphasé, les charges peuvent être raccordées en étoile (Figure 0-4a) ou en triangle (Figure 0-4b). 37 Préparé et animé par M. Said BELALI a b c Z 1 Z 2 Z 3 I L1 I L2 I L3 I Z1 I Z2 I Z3 I L1 I N I L2 I L3 a N c b Z 1 Z 3 Z 2 a) b) FI GURE 0- 4 CHARGE EN ÉTOI LE ET EN TRI ANGLE Les caractéristiques d’un branchement en triangle sont les suivantes: • Le courant dans chaque élément est égal au courant de ligne divisé par √3. • La tension aux bornes de chaque élément est égale à la tension de ligne. • Les tensions aux bornes des éléments sont déphasées de 120º. • Les courants dans les éléments sont déphasés de 120º. Exemple 1 Trois charges de 100Ω sont raccordées en triangle sur une alimentation triphasée dont la tension de ligne est de 380 volts. Calculez le courant de ligne. Solution: I z = E L / Z I z = 380V / 100Ω I z = 3.8 ampères I L = I z × √3 I L = 3.8A × √3 I L = 6.57 ampères Les caractéristiques d’un branchement en étoiles sont les suivantes: • Le courant dans chaque élément est égal au courant de ligne. • La tension aux bornes de chaque élément est égale à la tension de ligne divisée par √3 • Les tensions aux bornes des éléments sont déphasées de 120º. • Les courants dans les éléments sont déphasés de 120º. • Le courant dans le neutre est égal à zéro si les charges sont équilibrées. Selon la loi de Kirchoff: In I I I Z Z = + + 1 2 3 Z ρ ρ ρ 38 Préparé et animé par M. Said BELALI Exemple 2 Si l’on raccorde les trois charges de l’exemple précédent en étoile, calculez le courant dans chacune des résistances. Solution: E z = E L / √3 E z = 380V / √3 E z = 220 volts I z = I L = E z / Z I L = 220V / 100Ω I L = 2.2 ampères V. PUISSANCES DANS LES CIRCUITS TRIPHASES. V.1. Charges résistives Si l’on fait le calcul de la puissance avec charges résistives identiques, nous avons dans un circuit en étoile: P R = (E L / √3) × I L P T = 3P R P T = 3 × (E L × I L ) × √3 P T = E L × I L × √3 Pour le montage en triangle: P R = E L × I R P R = E L × (I L / √3) P T = 3 × E L × (I L / √3) P T = E L × I L × √3 Que ce soit pour un montage en étoile ou en triangle, le résultat est le même. La puissance totale fournie par une ligne triphasée est appelée puissance apparente, cette puissance nous est donnée par l’Equation 0-2. S E I L L = × × 3 EQUATI ON 0- 2 • S = puissance apparente, en volts-ampère (VA); • E L = tension de ligne, en volt; • I L = courant de ligne, en ampère. 39 Préparé et animé par M. Said BELALI V.2. Mesure de la puissance active en triphasé Pour mesurer la puissance active dans un circuit triphasé, on peut utiliser trois wattmètres monophasés (un pour chaque phase). Il est possible d’utiliser deux wattmètres en réalisant le branchement de la Figure 0-5 La puissance totale est la somme de chaque wattmètre. P T = W1+W2 W1 E I W2 E I A B C R1 R2 R3 FI GURE 0- 5 MESURE DE LA PUI SSANCE PAR LA MÉTHODE DES WATTMÈTRES V.3. Triangle des puissances Les charges industrielles ne sont pas uniquement des charges résistives, elles peuvent-être aussi inductives ou même capacitives. Il est important de bien comprendre la relation entre les différentes puissances présentes dans des circuits triphasés. On utilise le triangle des puissances pour expliquer cette relation (Figure 0-6) S Q T P ϕ FI GURE 0- 6 TRI ANGLE DES PUI SSANCES • P = puissance active, en watts (W); • Q T = puissance réactive totale, en vars (VAR); • S = puissance apparente, en volts-ampères (VA); • ϕ = angle de déphasage entre la tension de ligne et le courant de ligne. S P Q T = + 2 2 Q Q Q T L C = − 40 Préparé et animé par M. Said BELALI VI. FACTEUR DE PUISSANCE Le facteur de puissance est le rapport entre la puissance active et la puissance apparente. Dans les industries où l’on retrouve de fortes charges inductives (ex.: moteurs électriques), il est essentiel de maintenir le facteur de puissance tout près de 100%, si l’on veut éviter des pénalités. Dans certaines situations, on utilise des bancs de condensateurs pour corriger le facteur de puissance. Le facteur de puissance nous est donné par la relation suivante: F P P S . . cos = = ϕ EQUATI ON 0- 3 • Le facteur de puissance est en retard lorsque le courant de ligne retarde sur la tension de ligne (charge inductive). • Le facteur de puissance est en avance lorsque le courant de ligne devance la tension de ligne (charge capactive). Il existe un appareil permettant de mesurer le facteur de puissance. Cet appareil porte le nom de cosphimètre. Exemple 2.3 Un moteur triphasé de 10KW est alimenté par une source de 380 volts. Le facteur de puissance mesuré avec un cosphimètre est de 85% arrière. Déterminez. a) la puissance apparente; b) la puissance réactive; c) le courant de ligne; d) Dessinez le triangle des puissances et déterminez le déphasage entre I L et E L . Solution: a) S = P / F.P. = 10KW / .85 = 11,76 KVA b) Q = √(S² - P²) = √(11.76² - 10²) = 6.18 KVAR c) I L = S / (E L × √3) = 11.76 / (380 × √3) = 17.88 ampères d) Triangle des puissances: Q = 6.18 KVAR S = 11.76 KVA P = 10 KW 5) ϕ = cos -1 × 0.85 = 31.8°arrière 41 Préparé et animé par M. Said BELALI VII. SEQUENCE DES TENSIONS DE PHASES La séquence des phases est l’ordre dans lequel se succèdent les trois tensions de phases ou de lignes. À la figure 2.1 cette séquence est E a - E b - E c . Si l’on change le sens de rotation du rotor, la nouvelle séquence devient E a - E c - E b . Dans certaines installations électriques, il est important de connaître cette séquence avant de brancher des éléments sur le réseau, afin d’éviter des problèmes majeurs. Dans le cas des moteurs triphasés, la séquence de phase détermine le sens de rotation du moteur. Lorsqu’on désire brancher deux lignes triphasées en parallèle, il est important que chaque ligne possède la même séquence de phase. Il existe un instrument spécial permettant de déterminer la séquence de phase d’une ligne triphasées. Cet instrument est appelé synchronoscope. VIII. TRANSFORMATEURS TRIPHASES Lorsqu’on désire augmenter ou abaisser la tension sur des lignes triphasées, on utilise des transformateurs triphasés ou des transformateurs monophasés. Pour une puissance donnée, le transformateur triphasé est moins dispendieux et plus petit que trois transformateurs monophasés. Dans certains cas, on préfère utiliser trois transformateurs monophasés plus une unité de réserve plutôt que deux transformateurs triphasés. Avec les transformateurs triphasés, nous pouvons réaliser quatre types de couplage: • le triangle -étoile; • le triangle - triangle; • l’étoile - triangle; • l’étoile - étoile. Les couplages qui sont les plus fréquemment utilisés sont: le triangle-étoile et le triangle- triangle. VIII.1. Couplage triangle-étoile Le couplage triangle-étoile (Figure 0-7) est très utilisé dans la distribution basse-tension. Cette configuration donne l’avantage d’avoir, au secondaire, une tension de ligne permettant de brancher des charges triphasées ainsi qu’une tension de phase-neutre pour des charges monophasées. L 1 L 2 L 3 I LP E LP I P I LS N E S E LS Charge FI GURE 0- 7 COUPLAGE TRI ANGLE- ÉTOI LE • E Lp = tension de ligne primaire; • I Lp = courant de ligne primaire; • I p = courant de l’enroulement primaire; • E Ls = tension de ligne secondaire; 42 • E s = tension de l’enroulement secondaire (tension de phase); Préparé et animé par M. Said BELALI • I ls = courant de ligne secondaire. La puissance nominale des transformateurs est donnée en KVA, et la relation des tensions et des courants, dans le cas d’un montage triangle-étoile, est la suivante: Au primaire: S = E LP × I LP × √3 I LP = I p × √3 E P = E LP Au secondaire: S = E LS × I LS × √3 E S = E LS / √3 I S = I LS Exemple 2.4 Un transformateur triphasé de 100KVA est branché au primaire en triangle et au secondaire en étoile. Il est alimenté par une source triphasée de 12KV, et la tension de ligne au secondaire est de 380 V. Si le transformateur fonctionne à sa puissance nominale, déterminez les valeurs suivantes: a) la tension de phase au secondaire; b) le courant de ligne au secondaire; c) le courant de ligne au primaire. Solution: a) E S = E LS / √3 = 380V / √3 = 220V b) I LS = S /(E LS × √3) = 100KVA / (380 × √3) = 152,11 ampères c) I LP = S / (E LP × √3) = 100KVA × 12KV × √3 = 4,81 ampères VIII.2. Couplage triangle-triangle Le montage triangle-triangle (Figure 0-8) est utilisé dans les installations électriques quand l’utilisation d’une tension monophasée n’est pas nécessaire. Ce montage n’occasionne aucun déphasage entre le courant de ligne primaire et celui de ligne secondaire, tandis que dans un montage triangle-étoile, il existe un déphasage de 30° entre ces deux courants. U 1 U 2 U 3 I LP E LP I P I LS I S H 1 H 2 H 3 X 1 X 2 X 3 Charge FI GURE 0- 8 COUPLAGE TRI ANGLE- TRI ANGLE 43 Préparé et animé par M. Said BELALI Au primaire: S = E P × I LP × √3 E P = E LP I LP = I P × √3 Au secondaire: S = E LS × I LS × √3 E LS = E P I S = I LS × √3 VIII.3. Branchement des transformateurs monophasés Lorsqu’ils sont utilisés dans un regroupement triphasé, les transformateurs monophasés conservent leurs propriétés de monophasés. Il est important que tout transformateur possède les mêmes caractéristiques. Lorsqu’on branche les transformateurs, il faut tenir compte de leurs polarités. Comme nous montre la Figure 0-9, dans un montage triangle - étoile, la borne H 2 du premier transformateur est reliée à la borne H 1 du second transformateur. Au secondaire, les bornes X 2 de chaque transformateur sont reliées ensemble pour former le neutre. Charge T1 T2 T3 U 1 U 2 U 3 N H 1 H 2 H 1 H 2 H 2 H 1 X 1 X 2 X 1 X 2 X 2 X 1 FI GURE 0- 9 BRANCHEMENT DE TRANSFORMATEURS MONOPHASÉS 44 Préparé et animé par M. Said BELALI CHAPITRE 4 : LA COMPENSATION DE L’ENERGIE REACTIVE I. ENERGIE RÉACTIVE Les réseaux électriques à courant alternatif fournissent l’énergie apparente qui correspond à la puissance apparente (ou puissance appelée). Cette énergie se décompose en deux formes d’énergie : - l’énergie active, transformée en énergie mécanique (travail) et en chaleur (pertes), - l’énergie réactive, utilisée pour créer des champs magnétiques. Les consommateurs d’énergie réactive sont les moteurs asynchrones, les transformateurs, les inductances (ballasts de tubes fluorescents) et les convertisseurs statiques (redresseurs). II. FACTEUR DE PUISSANCE Le facteur de puissance ou encore appelé Cosinus (lire cosinus Phi) est le déphasage angulaire entre la tension et l'intensité dans un circuit alternatif. II.1. Etude du Cos Dans son ensemble un réseau alternatif distribue de la puissance active et de la puissance réactive. Les puissances wattées s'additionnent entre elles : Pt = P1 + P2 + P3 + Pn… Les puissances réactives s'additionnent entre elles : Qt = Q1 + Q2 + Q3 + Qn… Il y a donc intérêt à avoir un bon Cos (Cos proche de 1 d'où un angle petit) car si le Cos est petit (déphasage important) pour une puissance wattée donnée, il faudra fournir une puissance "S" plus grande d'où une intensité plus grande. 45 Préparé et animé par M. Said BELALI Exemple : P = 1000 W P = 1000 W U = 200V U = 200V Cos = 0,9 Cos = 0,5 II.2. Inconvénient d'avoir un mauvais facteur de puissance 1) Pour le producteur - nécessité d'avoir des alternateurs et des transformateurs plus importants - posséder une tension plus élevée au départ de la ligne - d'avoir des lignes de plus forte section - pertes Joules plus élevées - appareils de contrôle, de protection et de coupure plus importants 2) Pour le consommateur - nécessité d'avoir des transformateurs, des moteurs, des appareillages de manœuvre plus importants - tension d'utilisation plus faible - intensité plus grande - pertes Joules plus élevées - rendement des appareils mauvais 46 Préparé et animé par M. Said BELALI III. LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES IV. LA TANGENTE Certaines factures d’électricité (abonnés tarif vert) indiquent la valeur de tg ϕ qui correspond à l’énergie réactive que le distributeur doit livrer pour fournir une puissance active donnée. V. L’AMELIORATION DU FACTEUR DE PUISSANCE Cette amélioration présente de nombreux avantages : diminution de la facture d’électricité en évitant la consommation d’énergie réactive au delà de la franchise allouée par le distributeur (40% de l’énergie active consommée) pour les abonnés au tarif vert (S > 250kVA) réduction de la puissance souscrite pour les abonnés au tarif jaune (36kVA < S < 250kVA) diminution de la section des câbles diminution des pertes en ligne réduction de la chute de tension augmentation de la puissance disponible du transformateur Pour améliorer le facteur de puissance, il faut installer des condensateurs (source d’énergie réactive). Cette opération est appelée : compensation. En préalable à la compensation, il faut éviter le surdimensionnement des moteurs asynchrones et leur marche à vide (le facteur de puissance d’un moteur asynchrone est d’autant plus faible que le moteur fonctionne en deçà de sa puissance nominale). V.1. Les différents types de compensation La compensation d’énergie réactive peut se faire : par condensateurs fixes (si la puissance des condensateurs est inférieure à 15% de la puissance du transformateur) 47 Préparé et animé par M. Said BELALI par batteries de condensateurs à régulation automatique (si la puissance des condensateurs est supérieure à 15% de la puissance du transformateur), qui permettent l’adaptation immédiate de la compensation aux variations de la charge La compensation peut être : globale, en tête d’installation partielle, par secteur, au niveau du tableau de distribution locale, aux bornes de chaque récepteur inductif où elle est consommée et en quantité ajustée à la demande (compensation locale). V.2. Calcul de la puissance des condensateurs de compensation Amélioration du facteur de puissance Détermination des capacités des condensateurs pour relever le facteur de puissance à une valeur donnée : Puissance réactive fournie par un condensateur : Sur une installation de puissance réactive Q, et de puissance apparente S, on installe une batterie de condensateurs de puissance Qc. La puissance réactive passe de Q à Q’ : Q’ = Q - Qc La puissance apparente passe de S à S’. La puissance apparente après compensation S’ est donc diminuée. La capacité des condensateurs se calcule par : Qc = 3 . U². C . w (u= 3 1/2 U ) 48 Préparé et animé par M. Said BELALI Exercice : Une source de tension sinusoïdale 230 v / 50 Hz fournit une puissance de 100 W et un courant de 1 A Déterminer les valeurs de R et de L et l’intensité des courants iL et iR Solution : 49 Préparé et animé par M. Said BELALI CHAPITRE 5 : TRANSFORMATEUR Le transformateur est un convertisseur d’énergie électrique AC / AC isolé. Les deux fonctions principales sont la transmission isolée d’énergie et la modification du niveau d’une source alternative. 1- DESCRIPTION - EXEMPLE DE CONSTITUTION Aspect extérieur Circuit magnétique seul Réalisation du circuit magnétique par empilement de tôles Les tôles ont une épaisseur entre 0,4 et 0,7 mm en fonction du soin qui est exigé par l’application. L’empilement de plan des tôles en " E " et en " I " avec alternance des joints entre le " E " et le " I " permet de fabriquer le circuit magnétique. L’ensemble forme un bloc cohérent quand cet ensemble est collé ou par serrage grâce aux systèmes vis écrous qui prennent place dans les trous. Les plans de tôle sont isolés entre eux par l’oxydation naturelle des tôles ou par un vernis. Ainsi les pertes par courant de Foucault sont limitées. 50 Préparé et animé par M. Said BELALI Position des enroulements sur la carcasse Chaque spire est isolée de sa voisine grâce au vernis isolant déposé sur le fil du bobinage. Une fois le bobinage constitué, la carcasse et ses enroulements sont déshydratés et imprégnés avec un vernis qui polymérise en étuve. 2- MODÉLISATION DU TRANSFORMATEUR 2.1- Symboles 2.2- Transformateur idéal Hypothèses pas de pertes dans les conducteurs pas de pertes dans le noyau magnétique perméabilité infinie du circuit magnétique couplage magnétique parfait des enroulements 2.2.1-Équations Le noyau magnétique de section droite S est homogène. Les deux contours C1 et C2 sont symétriques par rapport à l’axe XX’ et enlacent les mêmes courants et s’appuient sur des circuits magnétiques de mêmes dimensions. C’est donc la même induction B qui circule sur ces deux contours. ∫ C H.dl = ∑ i = N1.i1 - N2.i2 e1 = -N1.S.db/dt e2 = -N2.S.db/dt Dans l’hypothèse d’une perméabilité infinie, H = 0 et ∫ C H.dl = 0 = N1.i1 - N2.i2 Alors : e2/e1 = N2/N1 = i1/i2 = m où m est le rapport de transformation. 51 Préparé et animé par M. Said BELALI 2.2.2-Observations b = (-1/[N1.S]) ∫ C e1.dt, l’application d’une composante continue de tension sur les enroulement sature le matériau magnétique, dans ce cas le courant appelé tend vers l’infini. Le transformateur ne supporte pas les tensions continues. Si la source d’énergie est connecté à l’enroulement 1, ce dernier porte le nom de primaire, l’enroulement 2 s’appelle alors le secondaire. La forme d’onde de e2 est la même que celle de e1. La forme d’onde de i1 est la même que celle de i1. Les signaux doivent être alternatifs (sinusoïdaux, carrés, triangulaires,…). e1.i1 = e1.m.i2 = e2.i2, la puissance instantanée appliquée au primaire est directement transférée au secondaire sans accumulation d’énergie. D’autre par la puissance est conservée bien que les tensions et courants au primaire et au secondaire soient différents. Si la source d’énergie est une source de tension, la tension e1 est imposé et indirectement e2 telle que e2 = m.e1. La charge connectée au secondaire appelle un courant i2 (loi d’Ohm). Le courant i1 est alors la conséquence de i2 au rapport m près. Si la source d’énergie est une source de courant, le courant i1 est imposé et indirectement i2 tel que i2 = i1/m. La charge connectée au secondaire du fait de ses propriétés détermine la tension e2. La tension e1 est alors la conséquence de e2 au rapport m près. 2.3- Transformateur réel Bilan des imperfections Pertes par effet Joule dans les conducteurs Pertes dans le noyau magnétique par courant de Foucault et par hystérésis perméabilité finie du circuit magnétique couplage magnétique imparfait des enroulements Modélisation du transformateur réel Les éléments du modèles sont parfaits et chacun correspond à la prise en compte d’une imperfection autour d’un transformateur parfait de rapport de transformation m : R1 = résistance du fil de l’enroulement primaire R2 = résistance du fil de l’enroulement secondaire m = rapport de transformation Rpf est une résistance image des pertes fer (Pf) En sinusoïdal l’induction maximale (B m =E1/[4,44.N1.S.f]) est proportionnelle à E1. Et les pertes dans le fer varient proportionnellement à Bm 2 . Dans le modèle on vérifie que Rpf dissipe E1 2 /Rpf, il existe donc une valeur de Rpf telle que Pf = E1 2 /Rpf. Lm est l’inductance de magnétisation. ∫ C H.dl = ∑ i = N1.i1 - N2.i2 = ∫ C (b/µ 0. µ r ).dl 52 Préparé et animé par M. Said BELALI Avec dans le noyau magnétique réel µr finie, N1.i1 – N2.i2 ≠ 0 Alors N1.i1 – N2.i2 = R.Lm.i10 (R est la réluctance du noyau magnétique). lf1 et lf2 sont respectivement les inductances de fuite primaire et secondaire. Sur C3, ∫ C3 H.dl = N1.i1 Sur C4, ∫ C4 H.dl = N1.i2 Puisque la circulation de H sur les contours C3 et C4 est non nulle, C3 et C4 portent des lignes d’induction. Mais ces lignes d’induction ne sont pas enlacées simultanément par les enroulements primaire et secondaire. On les appelle des lignes d’induction de fuite. La loi de Faraday s’applique en tenant compte du flux commun φc (enlacé par tous les enroulements), du flux de fuite primaire φf1(enlacé par le primaire seul) et du flux de fuite secondaire φf2 (enlacé par le secondaire seul) : e’1 = -N1.(dφc/dt) –N1.(dφf1/dt) = e1 + lf1.(di1/dt) e’2 = -N2.(dφc/dt) –N2.(dφf2/dt) = e2 + lf2.(di2/dt) 3- CAS DU TRANSFORMATEUR DE DISTRIBUTION Les transformateurs utilisés dans la distribution d’énergie électrique (plus de 1kW) doivent fournir une tension au secondaire très stable (à 2 ou 3% près) quand I2 varie. Dans ce cadre l’hypothèse de Kapp est applicable. L’objectif de la modélisation est de prévoir cette variation avec précision. 3.1- Modélisation à partir de l’hypothèse de Kapp 3.1.1-Hypothèse de Kapp Le flux magnétique dans le circuit magnétique est invariant vis à vis de l’état de charge du transformateur. L’induction maximale dans le fer est Bm = E1/(4,44.N1.S.f). Faire l’hypothèse que Bm est constante vis à vis de i1 et i2 équivaut à considérer constante la tension sur l’inductance de magnétisation. Autre conséquence de l’hypothèse de Kapp, les pertes fer sont constantes. Cela revient à placer Lm et Rpf en tête du modèle. Vu des bornes du secondaire le transformateur est un générateur de tension La résistance Rs parcourue par i2 doit dissiper l’ensemble des pertes Joule du transformateur, 53 Préparé et animé par M. Said BELALI Rs.I2 2 = R2.I2 2 + R1.m 2 .I2 2 . Donc Rs = R2 + m 2 .R1 L’impédance Xs parcourue par i2 doit consommer la même puissance réactive que lf1 et lf2, Xs.I2 2 = lf2.w.I2 2 + lf1.m 2 .I2 2 . Donc Xs = (lf2 + m 2 .lf1).w Équation de la maille du modèle vue du secondaire : V2 = m.V1 – Rs.I2 – jXs.I2 Le diagramme de Fresnel associé est appelé diagramme de Kapp : En fait dans un transformateur de distribution Rs.I2 et Xs.I2 sont très petits devant V2 et m.V1. Alors les vecteurs mV1 et V2 ont pratiquement la même direction. Hypothèse d’Arnold : ces deux vecteurs mV1 et V2 ont même direction. Dans l’hypothèse d’Arnold les vecteurs V2 et mV1 sont colinéaires et la chute de tension au secondaire ∆U2 se calcule algébriquement. ∆U2 = mV1 – V2 Sur la figure ∆U2 correspond à OB = OA + AB OA = Rs.I2.cosϕ AB = Xs.I2.sinϕ ∆U2 = Rs.I2.cosϕ + Xs.I2.sinϕ 3.2- Détermination expérimentale des paramètres du transformateur Cette expérimentation s’effectue lorsqu’il faut prévoir le comportement d’un transformateur et que l’essai direct est impossible. Les essais ne doivent mettre en jeu que des faibles puissances : Essai à vide 54 Préparé et animé par M. Said BELALI On mesure sous V1 = V1n à f = fn, P1 0 , I1 0 ,V2 0 Rpf = V1 0 2 /P1 0 Cosϕ1 0 = P1 0 / (VI 0 .I1 0 ) Q1 0 = P1 0 .tgϕ1 0 Lm = V1 0 2 / Q1 0 m = V2 0 / V1 0 Essai en court circuit sous tension réduite On mesure à I2n = I2cc et f = fn, P1cc, V1cc, I1cc. Rs = Pcc / I2cc 2 cosϕcc = Pcc / (V1cc.I1cc) Xs = Rs.tgϕcc 4- CAS DU TRANSFORMATEUR D’INTENSITÉ Le transformateur d’intensité est utilisé dans les mesures de courant pour ses fonctions d’isolation et de mise à l’échelle. Exemple mesure du courant sur un réseau 5kV / 1000A. 4.1- Symbole du transformateur d’intensité Dans ce contexte la caractérisation du transformateur se fera au point de vue de la sécurité et de la précision dans le rapport des courants primaire et secondaire. Les courants qui traversent Rpf et Lm doivent être les plus petits possible pour que i1 / i2 s’approche de m. La fabrication du circuit magnétique emploie des matériaux nobles pour 55 Préparé et animé par M. Said BELALI augmenter Rpf. Par contre les paramètres R1, R2, lf1 et lf2 ont une influence modeste dans une chaîne de mesure de courant. Le modèle du transformateur en fera donc abstraction. 4.2- Modèle du transformateur d’intensité La résistance R est soit la résistance interne d’un appareil de mesure, soit un " shunt " de mesure qui a pour vocation de créer une tension v2 proportionnelle à i1. Mais v2 impose e1 qui détermine la consommation de Lm et Rpf. Il faut donc que v2 soit la plus faible possible. Pour des raisons de facilité d’exploitation V2 est choisi autour de 100mV. Le comportement en fréquence du transformateur est de type passe haut. 4.3- Structure pour améliorer le comportement du transformateur d’intensité Ici ε = 0 et le transformateur d’intensité fonctionne à merveille puisque les courants dans Lm et Rpf sont infimes. Vs = -R i1/m Les transistors permettent d’éviter un trop fort rapport m qui rendrait la fabrication du transformateur difficile. En effet le transformateur peut délivrer β fois le courant de l’ALI. 5- TRANSFORMATEUR D’IMPULSIONS Le transformateur d’impulsions est un composant électronique dont la vocation est de transmettre des signaux isolés. Le rapport de transformation est de 1, 2 ou 0,5. Il existe des version avec deux enroulements secondaires identiques. Le problème déterminant est d’éviter la saturation du noyau magnétique. Les résistances de bobinage, les fuites magnétiques ont peu d’effet dans les applications. Le soin apporté au choix du matériau magnétique rend les pertes fer négligeables. 5.1. Modèle du transformateur d’impulsions Exemple de structure utilisant un transformateur d’impulsions 56 Préparé et animé par M. Said BELALI K travaille en commutation à la période T avec un rapport cyclique α . Formes d’ondes : Justification des tracés : De 0 à αT vk = 0 donc v1 = Vcc Le courant magnétisant imag = (Vcc/Lm).t Au secondaire v2 = m.Vcc est positive donc la diode D2 conduit et Vs = m.Vcc Alors i2 = m.Vcc/R et i1 = m 2 .Vcc/R + (Vcc/Lm).t A αT imag = Im = (Vcc/Lm).αT De αT à βT Il y a du courant dans Lm avec D1 et Dz conductrice v1 = - Vz, imag = (-Vz/lm).(t-αT) + Im Alors v2 = -m.Vz est négative ce qui bloque la diode D2. Donc vs = 0. A βT, le courant imag = 0 et les diodes se bloquent. v1 = v2 = 0, i1 = i2 = ik =0 5.2.Conditions de fonctionnement Il faut que βT < T Dans le cas contraire, le courant magnétisant croît à chaque période jusqu’à la destruction d’un élément ! Il faut donc : (Vcc/Lm).αT < (Vz/Lm).(T-αT) et α < Vz/(Vz + Vcc) Il faut aussi éviter que Im sature le noyau magnétique du transformateur (Im = (Vcc/Lm).α T) Le constructeur connaît le courant Im maximum tolérable et Lm. 57 Préparé et animé par M. Said BELALI Comme Im maxi .Lm = Vcc.α T, le constructeur donne un paramètre en V/µs qui correspond à (Vcc.α T) maximum. 5.3. LESES DIAGRAMMES Cas simplifié La grandeur commune aux deux enroulement est le flux que l'on prendra pour origine des phases. La variation périodique de flux Φ engendrant dans le primaire une fem E 1 et dans le secondaire une fem E 2 déphasées de π/2 en retard sur le flux. Dans le cas simplifié du transformateur parfait on a vu - E 1 = U 1 U 2 = E 2 n 1 I 1 = - n 2 I 2 Si j'appelle ϕ 2 le déphasage entre U 2 et I 2 , il vient ϕ 1 = ϕ 2 , d'où le diagramme (1) diagramme (1) Si l'on ne tient pas compte des résistances des enroulements le courant à vide est en phase avec F d'où le diagramme (2) Si l'on tient compte des résistances des enroulements d'où le diagramme (3) 58 Préparé et animé par M. Said BELALI Si les pertes dans le fer sont non nulles : n 1 I 0 n'est plus en phase avec Φ (le déphasage est <π/2). La puissance active dépensée à vide qui n'est plus nulle s'exprime par U 1 I 0 cosϕ 0 et correspond aux pertes dans le fer fuites magnétiques et de même si l'on ramène tout au primaire On aboutit alors au schéma symbolique équivalent l'équation des volts secondaires est 59 Préparé et animé par M. Said BELALI Si dans cette expression on remplace E 1 par sa valeur liée de l'équation primaire on aboutit à l'équation symbolique du transformateur déjà rencontrée On en déduira le diagramme simplifié de Kapp. caractéristiques du transformateur rapport de transformation et chute de tension en charge rapport nominal m (U 1 au primaire et U 1 /m au secondaire à vide) U 1 /U 2 = rapport en charge d'où U 1 /m - U 2 = chute de tension en charge Pour la définir on utilise le diagramme de Kapp En fait il s'agit d'une simplification du cas général supposant I 0 (à vide) = 0, dans ces conditions l'équation symbolique devient Et la représentation vectorielle dite diagramme de Kapp 60 Préparé et animé par M. Said BELALI R représente la résistance ramenée au primaire, L l'inductance de fuite ramenée au primaire. Ce diagramme ne permet évidemment pas de déterminer I 1 et ϕ 1 , mais seulement la chute de tension. Il suppose aussi des pertes fer réduites. Le triangle OAB est défini par une mesure en court circuit donnant I 2 (avec un simple ampèremètre), on mesure U 1cc correspondant, alors U 2 =0 et C vient en B donc OB =U 1cc /m. R étant mesuré de même que I 2 donc OA est connu. La mesure de U 2 pour un certain I 2 permet de déterminer ϕ 2 (phase de I 2 par rapport à U 2 ) selon une relation du type U 2 =Z u I 2 et donc graphiquement U 1 /m et la chute de tension U 1 /m - U 2 Graphiquement cette chute de tension en 1ère approximation est équivalent à BH, or soit en posant : *chute résistive en %, u r telle que et chute inductive en %, us telle que il vient la chute de tension relative en % tension et impédance en court circuit En divisant les 3 vecteurs du diagramme de Kapp par U 1 /m on obtient en % u cc exprime (en % de la tension nominale) la tension qu'il faut appliquer à un enroulement pour que l'autre débite en court-circuit son courant nominal. La tension de court-circuit en % étant (U 1n étant la tension primaire nominale), l'impédance de court-circuit côté primaire sera donc soit encore côté secondaire c'est 61 Préparé et animé par M. Said BELALI Rendement En fait P 1 = P 2 + pertes joule + pertes fer. 62 Préparé et animé par M. Said BELALI belali, ctobre 2008 63 Les circuits magnétiqes en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer I. Introduction I.1. Le comportement en régime sinusoïdal Les circuits magnétiques ont été jusqu’à maintenant étudiés dans le cadre de l’approximation linéaire d’Hopkinson : les circuit magnétiques sont parfaits, c’est à dire linéaires (µ r constant) et exempts de fuites magnétiques (tout le flux créé par les enroulements apparaît dans le circuit magnétique). Dans les applications industrielles, l’approximation linéaire n’est plus de mise car l’exploitation des matériaux ne se cantonne pas aux inductions faibles, là où la linéarité est garantie. L’exploration des zones saturées permet de décrire plus justement les phénomènes observés. I.2. La bobine à noyau de fer Un bobinage associé à un circuit magnétique (matériau ferromagnétique) constitue une bobine à noyau de fer (BNF). Cet élément est essentiellement alimenté en régime sinusoïdal et la réponse des grandeurs électriques et magnétiques est fortement liée au comportement saturé ou non du matériau. Symbole de la bobine à noyau de fer : (la barre représente le noyau du circuit magnétique). II. Comportement de la bobine en approximation linéaire Dans cette partie, on analyse chaque phénomène linéaire indépendamment des autres, puis le tout est regroupé pour établir le modèle linéaire de la bobine en approximation linéaire. II.1. Résistance de l’enroulement La résistance propre du conducteur de l’enroulement de longueur l, de section s et constitué d’un matériau de résistivité ρ est : s l r ρ · II.2. Coefficient d’auto-induction (inductance) Dans la partie linéaire du matériau, la perméabilité relative µ r est constante, donc H B r µ µ 0 · . [1] Dans ces conditions, on peut définir la réluctance du circuit magnétique : S l r µ µ 0 1 · # . [2] La relation d’Hopkins relie le flux dans le circuit magnétique φ au courant i : φ # · Ni . [3] Le flux total à travers toutes les spires est alors : NSB N T · · φ φ . [4] En combinant les relations [3] et [4], on obtient : i N T # 2 · φ . Ce coefficient de proportionnalité entre flux et courant est le coefficient d’auto-induction : # 2 N L · . II.3. Inductance de fuite Toutes les lignes de champ créées par l’enroulement n’apparaissent pas dans le circuit magnétique. Pour des raisons essentiellement de fabrication, certaines d’entre-elles se rebouclent dans l’air proche des spires. On distingue le flux dans le matériau φ(t) du flux de fuite s’en échappant φ f (t) (Figure 1). CHAPITRE 6: LES CIRCUIT MAGNETIQUES EN REGIME SINUSOIDAL : BOBINE A NOYAU DE FER belali, octobre 2008 64 Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer N u(r) $ φ f (r) φ(r) |(r) φe(r) Le flux embrassé par l’enroulement s’écrit : ) ( ) ( ) ( t t t f e φ φ φ + · Par la loi de Faraday, la tension est : dt t d N dt t d N dt t d N t u f e ) ( ) ( ) ( ) ( φ φ φ + · · Le premier terme correspond à l’inductance propre de l’enroulement . Le second correspond à une inductance équivalente attachée au milieu de propagation du flux (l’air) parcourue par le courant i : c’est l’inductance de fuite l f . Figure 1 : les fuites dans la bobine. La tension peut donc s’écrire : dt t di l dt t di L t u f ) ( ) ( ) ( + · . II.4. Mise en équation complète et modèle La bobine laisse apparaître la résistance de l’enroulement, son inductance propre et l’inductance qui traduit les fuites magnétiques. La mise en équation complète s’effectue en écrivant la tension aux bornes de l’enroulement : dt t di l dt t di L t ri t u dt t di l l dt t di L L t ri r f f f ) ( ) ( ) ( ) ( donc ) ( : fuite de inductance l' de on Contributi ) ( : propre inductance l' de on Contributi ) ( : résistance la de on Contributi + + · ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ; ¹ u(t) i(t) L r lf De cette relation, on déduit le modèle électrique équivalent de la bobine à noyau de fer en régime linéaire présenté à la Figure 2. Figure 2 : modèle électrique linéaire de la bobine. III. Comportement de la bobine linéaire en régime sinusoïdal III.1. Mise en place Dans les applications technologiques (industrielles ou domestiques), les bobinages sont souvent alimentés par une tension sinusoïdale. La liaison entre le flux et la tension est déterminée par la loi de Faraday. La relation d’Hopkinson permet d’exprimer le lien entre le flux et le courant. L’élimination du flux fournit la relation entre la tension et le courant en régime sinusoïdal. III.2. Mise en équation Expression la plus générale de la tension : dt t d N t ri t u e ) ( ) ( ) ( φ + · . En isolant l’inductance de fuite : dt t d N dt t di l t ri t u f ) ( ) ( ) ( ) ( φ + + · . En conclusion : la tension et le courant ne sont pas reliés directement. Pour pouvoir exprimer directement le flux, on réalise l’hypothèse de Kapp 1 . belali, octobre 2008 65 Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer III.3. Comportement simplifié : modèle de Kapp Si l’effet des fuites magnétiques dt t di l f ) ( et de la résistance de l’enroulement ) (t ri influencent peu la tension u(t) vis à vis du terme prépondérant dt t d N ) ( φ , on réalise l’hypothèse de Kapp : dt t d N dt t di l f ) ( ) ( φ << et dt t d N t ri ) ( ) ( φ << , alors dt t d N t u ) ( ) ( φ · III.3.1. Relation entre le flux (ou l’induction) et la tension L’enroulement est alimenté par la tension sinusoïdale : t U t u ω cos 2 ) ( · . Après l’hypothèse de Kapp, dt t d N t u ) ( ) ( φ · , donc dt N t u t d ) ( ) ( · φ : ∫ · − t dt t u N t 0 ) ( 1 ) 0 ( ) ( φ φ . D’où l’expression du flux : t N U t ω ω φ φ sin 2 ) 0 ( ) ( · − . En considérant la démagnétisation initiale : t NS U S t t B ω ω φ sin 2 ) ( ) ( · · . L’identification des amplitudes fournit la relation de Boucherot : NSf B NSf B U max max 44 , 4 2 2 · · π Dans l’hypothèse de Kapp, la tension et le flux sont des grandeurs sinusoïdales. Cette hypothèse est d’autant plus intéressante que la tension u est imposée à la bobine, si bien que le flux découle directement de la tension : on travaille à flux forcé. III.3.2. Relation entre le flux et le courant Avec la relation d’Hopkinson et ) ( ) ( t t f φ φ << : ) ( ) ( t t Ni φ # · . Le circuit est initialement démagnétisé (φ(0) = 0) donc t N U t ω ω φ sin 2 ) ( · . Par conséquent : t U N t i ω ω sin 2 ) ( 2 # · soit en introduisant l’inductance ( 2 N # ), t L U t i ω ω sin 2 ) ( · On retrouve la définition de l’impédance de l’inductance en régime sinusoïdal : ω L Z · . IV. Comportement non linéaire IV.1. Influence de la saturation Dans les applications industrielles, les grandeurs sinusoïdales tensions et courants ont des amplitudes élevées. Par conséquent, la saturation est vite atteinte. On ne peut plus tenir compte de la linéarité du matériau (µ r n’est pas constant). La réluctance et l’inductance ne peuvent plus êtres définies. De plus, le parcours répétitif du cycle d’hystérésis nécessite de tenir compte des influences énergétiques. Cette nouvelle donne incite à reconsidérer l’étude des circuits magnétiques en régime saturé. IV.2. Illustration du comportement temporel des différentes grandeurs Comment passer de la tension au courant si les comportements ne sont pas linéaires ? Le schéma de la Figure 3 montre le cheminement qui permet de tracer l’allure du courant (Figure 4). belali, octobre 2008 66 Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer → → t t M ω φ sin ) ( Φ · → t B t B M ω sin ) ( · i(t) → H(t) t U t u ω cos 2 ) ( · Figure 3 : les étapes menant de la tension sinusoïdale au courant. t H(i) H B(t) t B(H) Figure 4 : tracé point par point du courant dans une bobine à noyau de fer en régime saturé Le courant dans la bobine est périodique mais non sinusoïdal. Il est d’autant plus « déformé » que le circuit magnétique est saturé. La distorsion du signal est marquée par le taux d’harmoniques. Si la déformation est faible, une approximation au premier harmonique est envisageable. On ne travaille alors qu’avec le courant fondamental. Dans le cas général, il faut envisager l’influence de toutes les harmoniques. Dans ces conditions, on recherche une représentation sinusoïdale du courant qui transporte la même puissance que le courant réel. Cette équivalence est obtenue en travaillant avec la puissance. V. Considérations énergétiques dans la bobine à noyau de fer V.1. Densité d’énergie dτ B H Un élément de volume dτ est soumis à un champ d’excitation. Il est alors le siège d’une induction (Figure 5). On définit la densité d’énergie H B d dW W . 2 1 · · τ ρ . L’énergie magnétique présente dans un volume de matériau Vmat : mat mat W V H B V W . 2 1 · · ρ . Figure 5 : l'élément de volume étudié. belali, joctobre 2008 67 Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer B H H B + dB B H + dH ld8 Energ|e Coenerg|e 8dl Puisque B et H sont colinéaires : ) ( 2 1 ) ( HdB BdH d dW d d W + · · τ ρ Pour H constant, dH = 0, donc : HdB d cte H W 2 1 · · ρ . De même, pour B constant : BdH d cte B W 2 1 · ρ . Figure 6 : pour définir l'énergie magnétique. Puisque B et H sont quelconques, les deux quantités précédentes sont différentes. On définit alors : • l’énergie ∫ ∫ · · · B B cte H W HdB d W 2 1 ρ • la coénergie ∫ ∫ · · · H H cte B W BdH d W 2 1 ' ρ Graphiquement, l’énergie est la portion de surface entre la courbe et l’axe de l’induction. La coénergie est portion de surface entre la courbe et l’axe du champ d’excitation. La somme de l’énergie et de la coénergie est le produit B.H (Figure 6). V.2. Illustration : expression de l’énergie dans le cas du modèle linéaire Pour les matériaux linéaires, on définit la réluctance, S l r µ µ 0 1 · # et l’inductance, # 2 N L · . 2 0 2 0 1 1 2 1 2 1 φ µ µ µ µ ρ S l Sl B BHSl V W r r W · · · · , donc 2 2 1 φ # · W . Mais aussi i L i N N T . 2 · · · # φ φ , donc 2 2 2 1 i N L W , _ ¸ ¸ · # , donc 2 . 2 1 i L W · . V.3. Les pertes dans les bobines à noyau de fer Avant d’entâmer une analyse énergétique plus fine, il est important de préciser l’origine des différentes pertes qui apparaissent dans le circuit magnétique d’une bobine. V.3.1. Pertes par courants de Foucault 2 Les matériaux ferromagnétiques ont souvent des propriétés conductrices pour le courant électrique : en présence d’un flux variable, la fem induite crée les courants de Foucault qui circulent dans le matériau. L’effet Joule dissipe l’énergie sous forme de chaleur, ce sont les pertes par courants de Foucault. Evaluation des pertes par courants de Foucault Les pertes par courants de Foucault sont de la forme (résultat non démontré) : P k B f F M · 2 2 . ρ Moyens de réduction des pertes • Utiliser un matériau plus résistif : fer avec addition de silicium, ferrite. • Augmenter la résistance au passage des courants (Figure 7 et Figure 8) : circuit magnétique composé de tôles (feuilletage) isolées entre elles par oxydation surfacique. Remarque : le chauffage par induction favorise ce phénomène en augmentant la fréquence. belali, octobre 2008 68 Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer B i i B Figure 7 : le circuit magnétique est massif. Figure 8 : le circuit magnétique est feuilleté. V.3.2. Pertes par hystérésis Sous l’effet des champs d’induction et d’excitation, les forces de Laplace créent des contraintes internes au matériau qui mettent en mouvement les domaines de Weiss. Leur frottement les uns contre les autres favorise l’échauffement du matériau : ce sont les pertes par hystérésis. Evaluation des pertes par hystérésis Les pertes proviennent de la différence entre l’énergie emmagasinée durant la croissance de H et celle restituée lors de la décroissance. Pour un parcours complet du cycle, l’énergie est proportionnelle à son aire ( H ) et au volume du matériau (V). Ces pertes sont d’autant plus importantes que le nombre de cycles par seconde est élevé. Une tension évoluant à la fréquence f, crée des grandeurs magnétiques évoluant à cette fréquence. Les pertes s’expriment par : W W/m 3 Hz m 3 f V H H P . . · Estimation expérimentale des pertes par hystérésis Dans la pratique, seule une évaluation approchée est possible. On dispose de deux modèles : • Modèle exponentiel de Steinmetz 3 : γ η M H B · avec η = cte et 1,6 ≤ γ ≤ 2. • Modèle quadratique de Richter 4 : 2 M M H bB aB + · avec a et b constants. Pour B M > 1T, A H M bB ≈ 2 . En règle générale, ces pertes sont globalisées : P k f B H H M · . . 2 où k H est la constante d’hystérésis. Moyens de réduction des pertes Puisque les pertes sont directement conditionnées par l’aire du cycle d’hystérésis, il faut les réduire en utilisant, par exemple, des matériaux ferromagnétiques doux. V.3.3. Globalisation des pertes : pertes fer Les pertes fer constituent l’ensemble des pertes dans le matériau : P P P k f B k f B fer F H F M H M · + ≈ + . . . . 2 2 2 On remarquera que les deux types de pertes sont proportionnelles au carré de l’induction maximale. Pour la fréquence, les pertes par hystérésis sont proportionnelles et celles par courants de Foucault dépendent du carré. Cette distinction permet d’effectuer des méthodes de séparation des pertes. 3 Steinmetz (Charles Proteus), ingénieur allemand, travaux sur les pertes dans les matériaux magnétiques, (1865-1923). 4 Richter (), belali, octobre 2008 69 Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer VI. Détermination du modèle électrique équivalent de la bobine saturée La mise en place du modèle équivalent de la bobine à noyau de fer saturée tend à considérer la tension, le flux et le courant sinusoïdaux, effectuer l’approximation de Kapp et compte du comportement énergétique par les puissances mises en jeu. VI.1. Comportement du courant Le courant réel dans la bobine i r (r pour réel) n’est pas sinusoïdal (Figure 9). Il est déformé et répond à une décomposition harmonique dont on conserve le fondamental. Le courant dans la bobine équivalente est sinusoïdal (Figure 10). Pour le distinguer, il est noté i e (e pour équivalent). P F P H φ(t) u(t) i r (t) i r (t) est périodique non sinusoïdal. P F P H u(t) i e (t) φ(t) i e (t) est sinusoïdal. Figure 9 : bobine à noyau de fer réelle. Figure 10 : bobine à noyau de fer équivalente. Mise en place du courant équivalent Bobine réelle Bobine équivalente t N U t t U t u ω ω φ ω sin 2 ) ( cos 2 ) ( Kapp de hyp. · ⇒ · t U t u ω cos 2 ) ( · Csq : le flux et l’induction sont sinusoïdaux Le flux et l’induction sont sinusoïdaux. Le courant i r (t) est non sinusoïdal (Cf §IV.2). Sa valeur efficace peut être déterminé par une mesure avec un appareil ferromagnétique ou efficace vrai 5 (TRMS, True Root Mean Square). Le courant i e (t) est sinusoïdal par hypothèse. Sa valeur efficace est identique à celle du courant réel i r (t) pour s’assurer de la conservation du comportement énergétique. La mesure de la puissance active avec un wattmètre fournit globalement la somme des pertes fer et des pertes par hystérésis : P f (f pour fer). La puissance P f est globalement celle consommée par une résistance que l’on notera R f sous la tension u(t). A terme, le modèle correspond à un courant sinusoïdal de même valeur efficace que le courant réel et la consommation d’une puissance active identique aux pertes fer. VI.2. Etablissement du schéma équivalent Détermination de la puissance apparente : r I U S . · (produit des valeurs efficaces). Puisque les valeurs efficaces des courants sont identiques : e I U S . · La mesure de la puissance active fournie les pertes fer : fer P P · . i Q (t) i P (t) i e (t) u(t) L f R f La puissance active P fer est consommée par une résistance R f soumise à la tension u(t) et parcourue par le courant actif i P : P P fer fer f I U I P P U R · · · 2 2 Figure 11 : schéma équivalent (appr. de Kapp). belali, octobre 2008 70 Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer La puissance réactive consommée traduit le déphasage entre le courant i e et la tension : elle est matérialisée par une inductance L f soumise à la tension u(t) parcourue par le courant réactif i Q : Q Q fer fer f f I U I Q Q U L X · · · · 2 2 ω On remarquera cependant que ce modèle est limité par différents facteurs : • R et L ne sont pas constantes : − R f et L f dépendent de la fréquence (effet de peau), − L dépend de la saturation du matériau. • Le modèle ne traduit pas toute la réalité physique : c’est une approximation. VI.3. Représentation de Fresnel La représentation n’est possible que pour des grandeurs sinusoïdales, donc pour la bobine équivalente. Puisque les grandeurs tension, courant, flux, induction et champ d’excitation sont sinusoïdales, toutes les écritures peuvent utiliser la représentation complexe : • t U t u ω cos 2 ) ( · donc t j e U U ω 2 · : la tension est prise comme référence des phases. • dt t d N t u ) ( ) ( φ · donc Φ · N j U ω : le flux est en quadrature arrière sur la tension. • S t B t ) ( ) ( · φ donc B S · Φ Ces différentes informations permettent de tracer le diagramme de Fresnel de la bobine équivalente dans l’approximation de Kapp (Figure 12). α Φ Ters|cr er rélérerce car « arraque » er lers|cr U e I Q I P I ϕ /rg|e d'écarl hyslérél|que Ccurarl réacl|l er phase avec |e l|ux : c'esl |e ccurarl ragrél|sarl er quadralure arr|ere sur |e ccurarl acl|l. Ccurarl acl|l er phase avec |a lers|cr 0éphasage erlre |a lers|cr el |e ccurarl rée| ϕ π α − · 2 Figure 12 : diagramme de Fresnel relatif à la bobine à noyau de fer en approximation sinusoïdale. VI.4. Schéma équivalent complet i Q (t) i P (t) i e (t) u(t) L f R f r l f Eléments absents dans l’approximation de Kapp La touche finale consiste à adjoindre au modèle issu de l’approximation de Kapp et l’assimilation du courant à un équivalent sinusoïdal, la résistance r de l’enroulement et l’inductance l f de fuite (Figure 13). Figure 13 : schéma équivalent complet. belali, octobre 2008 71 Les circuits magnétiques en régime sinusoïdal : bobine à noyau de fer VII. Technologie et applications des bobines à noyau de fer VII.1. Eléments de technologie de réalisation L’apparence d’une bobine à noyau de fer est différente suivant l’utilisation. En règle générale, il faut s’approcher des circuits magnétiques parfaits. Pour diminuer les fuites magnétiques, les enroulements sont plaçés au plus près du circuit magnétique. La disposition pratique consiste à utiliser un circuit magnétique cuirassé (Figure 14) ou torique (Figure 15). Pour limiter les pertes par courants de Foucault (§ V.3.1), le circuit magnétique est feuilleté en basse fréquence. Pour les utilisation à des fréquences plus élevées, on a recours à la ferrite dont la résistance électrique est importante. Errcu|ererl C|rcu|l ragrél|que Figure 14 : circuit magnétique cuirassé. Figure 15 : bobine à circuit magnétique torique. VII.2. Applications En Electrotechnique, on rencontre les bobines à noyau de fer dans les électro-aimants (relais, contacteurs, levage), les bobines de lissage du courant., les bobines d’usage courant, les plateau magnétique de machine-outil ou les paliers magnétiques. En électronique, on les trouvent dans les inductances de filtrage, les selfs HF ajustables ou non. Dans ces cas les noyaux en ferrite sont de mise. I. Linéarisation des circuits magnétiques I.1. Introduction • On dispose des grandeurs magnétiques B et H . • Ces deux grandeurs sont liées par le milieu dans lequel elles apparaissent : H B ) 1 ( 0 χ µ + · . • Lors de leur utilisation technologique, il est important de générer l’induction magnétique B avec un apport électrique minimum, c’est à dire en minimisant le champ d’excitation H donc le courant I. • Cette constatation conduit à utiliser des matériaux pour lesquels la susceptibilité χ donc la perméabilité magnétique relative µ r est élevée. Les matériaux ferromagnétiques répondent à cette condition. • Mais la susceptibilité, donc la perméabilité absolue µ est non linéaire : en conséquence la réponse B = f(H) n’est pas linéaire. En conclusion, pour étudier le comportement des différentes grandeurs, il faut trouver un modèle simplifiant ces comportements non linéaires : il faut linéariser la caractéristique B = f(H) du matériau. I.2. Courbe réelle des matériaux ferromagnétiques B H Zcre de salural|cr Zcre quas| ||réa|re La courbe d’aimantation traduit le comportement non linéaire des matériaux pour lesquels on observe le cycle d’hystérésis. On y distingue deux domaines essentiels : • une zone saturée ; • une zone quasi-linéaire. Figure 1 : la courbe d’aimantation réelle. I.3. Différentes linéarisations On peut effectuer des simplifications plus ou moins partielles qui conduisent chacune à leur modèle. Les simplifications sont classées en considérant les grandeurs conservées parmi B r , H c et B sat . B H 8r lc 8sat B H 8r = 8sat lc On conserve : • l’induction rémanente B r ; • le champ coercitif H c ; • l’induction de saturation B sat . On conserve : • l’induction rémanente B r et l’induction de saturation B sat en les identifiant ; • le champ coercitif H c . Figure 2 Figure 3 Mais on peut considérer que le champ coercitif est toujours nul comme l’indiquent les figures suivantes. belali, octobre 2008 72 Les circuits magnétiques lineaires CHAPITRE 7 : CIRCUITS MAGNETIQUES LINEAIRES B H 8sat B H 8sat H B 8r = 8sat Figure 4 Figure 5 Figure 6 H B Dans la dernière modélisation, le matériaux est totalement linéaire (Figure 7). On a alors : H B r µ µ 0 · [1], où la perméabilité relative µ r est constante. Si ce coefficient est très grand au point d’être considéré infini, on dit alors que le matériau est idéal. Cette hypothèse considérant le matériau linéaire est la plus avancée. Figure 7 : matériau linéaire. II. Les circuits magnétiques parfaits Dans un circuit magnétique réel, pour tendre vers un modèle simplifié, on vérifie une série d’hypothèses qui conduisent à la notion de circuit magnétique parfait (CMP). II.1. Hypothèses sur les lignes de fuite ||gre de charp pr|rc|pa|e ||grede lu|le I Le champ d’excitation est créé par un bobinage parcouru par un courant i (théorème d’Ampère). Si tout le champ créé est uniquement destiné au circuit magnétique, on dit qu’il n’y a pas de fuites. Dans la pratique, et pour des raisons de réalisation, il existe un intervalle entre le bobinage et le circuit magnétique. A cet endroit, le champ d’induction existe mais ne parcourt pas le fer du circuit magnétique mais l’air de l’interstice. Les fuites induisent des pertes car ce sont des ampères- tours qui ne créent pas d’induction dans le circuit magnétique et par conséquent dans l’entrefer pour lequel l’induction est destinée. Figure 8 : lignes principales et lignes de fuite Dans la pratique, on effectue un bobinage minimisant les fuites. Les spires sont enroulées au plus près du circuit magnétique et les spires sont jointives (coefficient de remplissage k r ≈ 1) ; Dans un circuit magnétique parfait, on considère que les fuites sont nulles. II.2. Hypothèses sur le vecteur induction B L’induction magnétique est uniforme, constante et orthogonale à chaque section droite du circuit magnétique. Conséquence : ∫∫ ∫∫ · · Φ ¹ ¹ ¹ ; ¹ · · Φ S B dS B B B n B or dS n B S . : uniforme avec donc . . ) ( [2] II.3. Dans l’entrefer… Au niveau de l’entrefer, les lignes de champ se déforment. On suppose donc que le champ reste dans le prolongement de l’entrefer, c’est à dire que la section de l’entrefer et du circuit magnétique sont les mêmes (Figure 9). C’est une autre manière de considérer que les fuites sont nulles au niveau de l’entrefer. belali, octobre 2008 73 Les circuits magnetiques lineaires B B Figure 9 : des lignes de champ réelles à leur simplification. II.4. Et le matériau ?… Le matériau est linéaire, la relation [1] s’applique, c’est à dire que la perméabilité relative µ r est constante, donc B et H sont proportionnels. II.5. Conclusion Pour comprendre et mémoriser le schéma général qui conduit de la grandeur électrique (courant) à l’induction (B), on peut retenir le schéma de la Figure 10. Champ d’induction magnétique B Champ d’excitation magnétique H Courant I Bobinage de N spires Circuit magnétique de longueur moyenne l Th. d'Arpere CHP Si le circuit est parfait, la relation B = f(H) est immédiate. On détermine le courant ou l’excitation suivant les données connues. Figure 10: schéma d’étude général. III. Traduction des différentes lois pour les CMP III.1. Mise en place I ||gre de charp rcyerre H B r µ µ 0 · N spires Figure 11 Dans le circuit magnétique de la Figure 11 , B est uniforme, constante sur une section droite du circuit magnétique et le long de la ligne de champ moyenne (l). D’après [2], le flux Φ de B à travers une section S : Φ = B.S. Théorème d’Ampère (sur la ligne moyenne) : NI Hl · · On a alors : S B H r r Φ · · µ µ µ µ 0 0 1 D’où la relation : Φ · · S l Hl r µ µ 0 1 . En conclusion, la mise en équation conduit à une relation linéaire entre la force magnétomotrice et le flux Φ. Le coefficient de proportionnalité dépend du matériau ( r µ µ 0 1 ) et de la géométrie du circuit magnétique ( S l ). Cette constatation est la base d’une modélisation linéaire similaire à celle des circuit électrique linéaires : le modèle d’Hopkinson. belali, octobre 2008 74 Les circuits magnétiques lineaires III.2. Relation d’Hopkinson 1 Force magnétomotrice (fmm) Un bobinage de N k spires parcourues par un courant i k créé la force magnétomotrice N k .i k . Si plusieurs bobinages coexistent, les forces magnétomotrices se superposent : ∑ · k k k k i N α [3] i 1 h 2 sp|res h 1 sp|res i 2 1 = h 1 i 1 2 = –h 2 i 2 Le coefficient α k traduit le sens de la fmm. Il est obtenu en appliquant la règle des points homologues : Des courants entrants par les points homologues de différents bobinages placés sur un circuit magnétique créent des forces magnétomotrices qui s’ajoutent (illustration pour deux enroulements à la Figure 12). Figure 12 : points homologues. Ecriture du flux dans le circuit magnétique B 4 S 4 B 3 S 3 B 2 S 2 B 1 S 1 Φ Φ Φ Φ Le flux est conservatif : il traverse les différentes portions du circuit magnétique dont les caractéristiques dépendent de la géométrie (longueur, section) tel que l’illustre la Figure 13. Avec [2], la conservation du flux est traduite par les relations Φ = B1 .S1 = … = Bi .Si [4] Figure 13 : conservation du flux. Application du théorème d’Ampère sur un contour identique à la ligne de champ moyenne Le champ d’excitation se décompose sur chaque portion du circuit, c’est à dire à chaque changement de section Si ou de matériau de perméabilité relative µri . Cette portion est alors de longueur li . Lien fmm/circulation du champ sur la ligne moyenne : ∑ ∫ ∑ · · · i i i C k k k k l H dl H i N ) ( . α [5] Avec [1] et [4], le champ Hi s’écrit : i ri ri i i S B H Φ · · µ µ µ µ 0 0 1 [6] En combinant [5] et [6], on obtient : Φ , _ ¸ ¸ · ∑ ∑ i i i ri k k k k S l i N µ µ α 0 1 [7] On définit la réluctance magnétique de la portion i : i i ri i S l µ µ 0 1 · # qui s’exprime en H -1 . Remarque : la perméance magnétique ! i est l’inverse de la réluctance. En résumé Dans un circuit magnétique composé d’une succession de réluctances # i où apparaissent différentes fmm k , on écrit la relation d’Hopkinson qui implique le flux Φ : Φ , _ ¸ ¸ · t ∑ ∑ i i k k # ) ( [8] avec i i ri i S l µ µ 0 1 · # [9] III.3. Analogie électrique L’observation des relations d’Hopkinson permet d’effectuer une analogie avec les circuits électriques linéaires (Figure 14). belali, octobre 2008 75 Les circuits magnétiques lineaires i N # Φ j E R ↔ E # ↔ R Φ ↔ j Φ · · # Ni E = R.j Figure 14 : base de l’analogie entre magnétisme et électrocinétique. De manière plus générale, les différents matériaux constituant les portions successives du circuit magnétique ou ses modifications dimensionnelles conduisent à différentes réluctances. Elles sont parcourues par le flux qui leur est commun. Le Tableau 1 reprend l’ensemble des grandeurs magnétiques et leur associe l’équivalent électrique. Grandeurs magnétiques Grandeurs électriques force magnétomotrice : NI · en A/m ou A.tr/m force électromotrice : E en Volts (V) flux d’induction : Φ en Webers (Wb) Courant électrique : i en Ampères (A) Réluctance : S l r µ µ 0 1 · # Résistance : S l R ρ · ddp magnétique : Φ · # & ddp électrique : U = R.I maille magnétique : 0 · ∑ maille m & Maille électrique : 0 · ∑ maille m U nœud magnétique : 0 · Φ ∑ noeud n nœud électrique : 0 · ∑ noeud n I Tableau 1 III.4. Association de réluctances Φ # 1 # 2 & & 1 & 2 Association série de réluctances (Figure 15) & = & 1 + & 2 & 1 = # 1 Φ et & 2 = # 2 Φ On a donc & = # 1 Φ + # 2 Φ = (# 1 + # 2 )Φ = #Φ De manière générale : ∑ · i # # Figure 15 : association série. Φ ! 1 ! 2 & Φ 1 Φ 2 Association parallèle de réluctances (Figure 16) Φ = Φ 1 + Φ 2 Φ 1 = ! 1 & et Φ 2 = ! 2 & On a donc Φ = ! 1 & + ! 2 & = (! 1 + ! 2 ) & = ! & De manière générale : ∑ · i ! ! Figure 16 : association parallèle. belali, octobre 2008 76 Les circuits magnétiques lineaires belali, octobre 2008 77 Les circuits magnétiques en régime impulsionnel I. Introductionn Le circuit magnétique de la Figure 1 a une longueur moyenne l et une section S constante. Il est muni d’un bobinage primaire de N 1 spires et secondaire de N 2 spires. Cet ensemble constitue un transformateur dont le symbole apparaît à la Figure 2. Flux ϕ¦ |} 8ec||cr S h1 sp| |es o2 ¦ |} o1 ¦ |} |1¦|} h2 sp| |es |2¦|} u 2 ¦|} u 1 ¦|} u 1 ¦|} u 2 ¦|} Figure 1 : schématisation du transformateur. Figure 2 : symbolisations. Si on se réfère à la loi de Faraday, un tel ensemble n’offre un intérêt technologique que si le flux dans le circuit magnétique est variable dans le temps. Le transformateur sera donc étudié lorsqu’il est alimenté par des grandeurs primaires transitoires. Dans ces conditions, les grandeurs instantanées sont seules capables de reproduire les phénomènes électriques et magnétiques notables. II. Hypothèses de travail L’étude du transformateur est fondée sur les hypothèses relatives aux circuits magnétiques parfaits auxquelles s’ajoutent quelques simplifications électriques. II.1. Résistance des enroulements Les résistances propres des enroulements constituent les résistance primaire r 1 et secondaire r 2 . Dans le cas de cette étude, ces résistances sont supposées nulles : r 1 = r 2 = 0. II.2. Matériau du circuit magnétique B H sat Zcre de fcrc||crrerer| ||réa||e Zcre de sa|u|a||cr Zcre de sa|u|a||cr H –H sat –B sat B sat Par extension du comportement strictement linéaire, ici le matériau magnétique est saturable : sa courbe d’aimantation est donnée à la Figure 3. 1. C’est uniquement dans la zone linéaire que la réluctance # est définie. 2. Dans la partie saturée, du fait de l’invariance des grandeurs, on peut considérer que la perméabilité relative est nulle. Ceci correspond à une réluctance infinie. Figure 3 : courbe d’aimantation du matériau magnétique du transformateur. II.3. Aspect énergétique Sur le plan énergétique, l’emploi de circuits magnétiques essentiellement en ferrite permet de considérer qu’aucune puissance n’est dissipée dans le matériau : le transfert d’énergie est total entre le primaire et le secondaire. Le rendement est unitaire. On dit du transformateur qu’il est sans pertes. II.4. Détermination des coefficients d’auto-induction (inductances) Dans la partie linéaire du matériau, la perméabilité relative µ r est constante, donc H B r µ µ 0 · . [1] Dans ces conditions, on peut définir la réluctance du circuit magnétique : S l r µ µ 0 1 · # . [2] Aucun courant ne parcourt le secondaire (il est à vide), la relation d’Hopkinson relie le flux dans le circuit magnétique φ au courant i 1 : ) ( ) ( 1 1 t t i N φ # · . [3] CHAPITRE 8 : LES CIRCUITS MAGNETIQUES EN REGIME IMPULSIONNEL belali, octobre 2008 78 Les circuits magnétiques en régime impulsionnel Le flux total à travers toutes les spires du primaire est alors : ) ( ) ( ) ( 1 1 t SB N t N t T · · φ φ . [4] En combinant les relations [3] et [4], on obtient : ) ( ) ( 1 2 1 t i N t T # · φ . On définit le coefficient d’auto-induction au primaire : # 2 1 1 N L · et au secondaire # 2 2 2 N L · . II.5. Inductances de fuite h1 o1¦|} S φ f1 ¦|} φ¦|} h2 φ f2 ¦|} o 2 ¦|} | 2 ¦|} R | 1 ¦|} φ 1 ¦|} φ 2 ¦|} Figure 4 : les fuites dans le transformateur. A partir de la Figure 4, on écrit le flux dans le primaire et dans le secondaire : ) ( ) ( ) ( 1 1 t t t f φ φ φ + · et ) ( ) ( ) ( 2 2 t t t f φ φ φ − · Par la loi de Faraday, les tensions primaire et secondaire sont : dt t d N dt t d N dt t d N t u f ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 φ φ φ + · · et dt t d N dt t d N dt t d N t u f ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 φ φ φ − · · Le milieu où apparaissent les fuites est linéaire puisque amagnétique (air). On définit donc l’inductance de fuite au primaire 1 2 1 1 f f N L # · et au secondaire 2 2 2 2 f f N L # · . Hypothèses simplificatrices En régime impulsionnel, les inductances de fuite du transformateur sont supposées nulles. Cette conclusion reprend celle relative aux circuits magnétiques parfaits supposant que les flux de fuite sont nuls. III. Mise en équation du transformateur III.1. Fonctionnement dans le domaine linéaire Les relations en tension et la loi d’Hopkinson de la partie précédente (Figure 4) donnent : dt t d N t u ) ( ) ( 1 1 φ · ; dt t d N t u ) ( ) ( 2 2 φ · et ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 t t i N t i N φ # · − La réluctance # s’exprime par : S l r µ µ 0 1 · # . Pour caractériser le circuit magnétique, on définit l’inductance spécifique : # 1 · AL (en H). Ce qui conduit aux deux relations essentielles : ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ · · · · · − µ µ dt (t) di L dt (t) di AL N dt (t) d N (t) u (t) i AL N (t) (t) i (t) i N N 1 2 1 1 1 1 2 1 . . 1 2 φ φ µ Le courant AL N (t) (t) i . 1 φ µ · est appelé courant de magnétisation du transformateur. C’est aussi le courant apparaissant au primaire lorsque le transformateur est à vide. belali, octobre 2008 79 Les circuits magnétiques en régime impulsionnel L’inductance AL N N L 2 1 2 1 1 · · # est appelée inductance de magnétisation. En tenant compte des hypothèses et de ces équations, le modèle retenu apparaît à la Figure 6. L’élément central est un transformateur parfait décrit à la Figure 5. i 2 (t) i 1 (t) u 1 (t) u 2 (t) 1 2 N N m · est le rapport de transformation. Elimination du flux φ des lois de Faraday : m t u t u · ) ( ) ( 1 2 . Le rendement est unitaire donc p 1 (t) = p 2 (t), en conséquence ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 t i t u t i t u · , soit m t i t i t u t u · · ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 2 soit ) ( . ) ( 2 1 t i m t i · . Figure 5 : définition et description d’un transformateur parfait. i µ (t) L1 u 2 (t) u 1 (t) m = N 2 /N 1 m.i 2 (t) i 1 (t) i 2 (t) L Rés|s|arce g|coa|e du p||ra||e E T r u 1 (t) u 2 (t) Crde Figure 6 : schéma équivalent en linéaire. Figure 7 : commande du transformateur. Remarque : le flux φ intervient sous forme dérivée, si bien qu’il est représenté par une fonction continue du temps. C’est un comportement similaire au courant dans une inductance (forme intégrale de la tension) ou à la tension aux bornes d’un condensateur (forme intégrale du courant). III.2. Incidence de la saturation Lorsque la saturation est atteinte, l’induction B(t) = B sat donc φ(t) = φ sat (= cte), donc : 0 ) ( 1 1 · · dt d N t u sat φ et de même u 2 (t) = 0 Ceci ne pose pas de problème au secondaire : en l’absence de variations, la tension aux bornes de la charge est nulle. Par contre, au primaire (Figure 7), l’annulation de la tension u 1 (t) conduit à une augmentation de la tension aux bornes de la résistance équivalente du circuit primaire. Cette dernière est plutôt faible si bien que le courant primaire est important. Ce courant dépasse bien souvent le courant nominal de collecteur du transistor T pouvant entraîner sa détérioration. En pratique, il faut prendre toutes les précautions nécessaires afin de ne pas atteindre la saturation. Cette remarque nous incite à définir une caractéristique limite du transformateur (Cf. §IV.1). belali,octobre 2008 80 Les circuits magnétiques en régime impulsionnel IV. Caractéristiques et comportement du transformateur IV.1. Produit E.τ Le transformateur est inséré dans un montage permettant d’alimenter son primaire (Figure 8) par un échelon de tension (Figure 9) en saturant le transistor T à l’instant t = 0. La tension u 2 (t) est dans le rapport de transformation donc u 2 (t) = m.u 1 (t) = m.E. Le flux φ s’exprime par : ∫ · − t dt t u N t 0 1 1 ) ( 1 ) 0 ( ) ( φ φ La démagnétisation initiale, φ (0) = 0, entraîne t N E t 1 ) ( · φ . La tension u 2 (t) s’annule dès que la saturation est atteinte. On définit le produit E.τ, de manière à ne pas atteindre la saturation : φ atteint φ sat à l’instant t = τ d’où 1 N E sat τ φ · . E T i 1 (t) u 1 (t) u 2 (t) Crde u 1 (t) E τ t u 2 (t) m.E t τ φ(t) φ sat t pente E / N 1 Figure 8 : alimentation du primaire. Figure 9 : chronogrammes. IV.2. Démagnétisation du circuit magnétique Une fois magnétisé et après avoir délivré l’impulsion de tension u 2 (t), il faut replacer le circuit magnétique dans un état initial non magnétisé : c’est l’opération de démagnétisation. IV.2.1. Montage de base Pour assurer la continuité du courant dans le primaire du transformateur au moment où le commutateur s’ouvre, on place une diode antiparallèle D (tension de seuil V D0 ) avec le primaire (Figure 10). Cette solution permet aussi de protéger le transistor qui réalise le commutateur. Résultat de la magnétisation de durée T 1 de durée inférieure à τ pour éviter la saturation, le flux atteint 1 1 1 T N E T · φ . L’origine temporelle est alors choisie à t = t 0 + T 1 . A cet instant, le transistor est bloqué : le courant i 1 force la diode D à conduire, donc u 1 (t) = –V D0 . Le flux s’exprime par : t N V dt N V t D T T D 1 0 1 1 1 0 ) ( ) ( − · + − · ∫ φ φ φ . On observe que le flux décroît. Son annulation entraîne celle du courant i D . D se bloque au bout de 1 0 1 0 1 T V E V N T D T D d · · φ . Les chronogrammes illustrant ce fonctionnement sont indiqués à la Figure 11. belali,octobre 2008 81 Les circuits magnétiques en régime impulsionnel E D T i C (t) u 1 (t) u 2 (t) i D (t) i 1 (t) Crde t 0 + T 1 u 2 (t) durée T d Pnase oe oemagne||sa||on –m.v D0 m.E t φ (t) φ t1 t Per|e -v 00 / h1 8|ccage de 0 Per|e E / h1 t0 + T 1 + T d t 0 T1 Figure 10 : diode de démagnétisation. Figure 11 : chronogrammes (à partir de t 0 ). IV.2.2. Remagnétisation prématurée Que se produit-il si on remagnétise le circuit avant sa démagnétisation complète ? Dans ce cas, la condition initiale sur le flux n’est pas nulle si bien qu’au blocage de T, le flux dépasse le flux maximal de la phase de magnétisation précédente. Au-delà de quelques périodes de commande du commutateur, le flux de saturation est atteint. On retrouve les inconvénients décrits au §III.2. Le phénomène est illustré à la Figure 12. T 1 u 2 (t) –m.v D0 m.E Vers la saturation t 3T 4T 2T T 4T+T 1 3T+T 1 2T+T 1 T+T 1 T 1 φ(t) φ t1b φ t1a t Figure 12 : chronogrammes illustrant la non démagnétisation du circuit magnétique. IV.2.3. Fréquence de fonctionnement limite — Remèdes Il est la nécessaire de remagnétiser le circuit après une période de « récupération » T d suffisante. Cette durée a l’inconvénient d’augmenter la période de commande du commutateur et donc de limiter la fréquence de fonctionnement : d T T f + · 1 max 1 Pour augmenter la fréquence de fonctionnement, il faut diminuer la durée de démagnétisation T d . Deux solutions sont proposées et étudiées. IV.2.4. Diode Zener de démagnétisation La première solution consiste à placer une diode Zener Dz en série avec la diode D (Figure 13). Ces diodes sont supposées idéales : tensions de seuil nulles et tension Zener V Z (comptée positivement). Durant la phase de magnétisation, les diodes sont bloquées, le fonctionnement est similaire à celui du montage de base. L’origine temporelle est choisie à l’instant d’ouverture de T. Le courant forcé dans les diodes les rend passantes : u 1 (t) = –V Z donc u 2 (t) = –m.V Z . Le flux s’exprime par : t N V dt N V t Z T T Z 1 1 1 1 ) ( ) ( − · + − · ∫ φ φ φ avec 1 1 1 T N E T · φ (fin de magnétisation). Le flux décroît. Son annulation entraîne celle du courant i D . D se bloque au bout de 1 1 1 ) ( T V E T V N T Z Z d · · φ marquant la fin de la démagnétisation. belali, octobre 2008 82 Les circuits magnétiques en régime impulsionnel Le temps de démagnétisation est inversement proportionnel à la tension Zener. Cette tension est supérieure à la tension de seuil d’une simple diode, ce qui rend ce procédé plus performant que le montage de base. Les chronogrammes illustrant ce fonctionnement sont indiqués à la Figure 14. E D Dz T i C (t) u 1 (t) u 2 (t) i 1 (t) i D (t) Crde t 0 + T 1 + T d u 2 (t) –m.V Z m.E t φ (t) t Per|e -v Z / h 1 8|ccage de 0 e| 0z T o|cqué T sa|u|é T 1 Commanoe t Per|e E / h1 T d t 0 t 0 + T 1 φ T1 Figure 13 : insertion d’une diode Zener. Figure 14 : chronogrammes. IV.2.5. Transformateur avec enroulement de démagnétisation Une seconde solution consiste à placer un troisième enroulement de N 3 spires sur le circuit magnétique (Figure 15). Pour simplifier, l’étude sera menée en fonctionnement à vide : i 2(t) = 0. Phase de magnétisation (origine en t 0 ) Durant cette phase : u 1(t) = E, E N N t u 1 2 2 ) ( · et E N N t u 1 3 3 ) ( · . Le flux s’exprime par : t N E t dt N E t 1 0 1 ) ( ) ( · + · ∫ φ φ (circuit initialement démagnétisé : φ(t 0) = 0). La tension E N N t u D ) 1 ( ) ( 1 3 + − · est négative : la diode D est bloquée et i 3(t) = 0. A l’issue de cette phase 1 1 1 1 0 ) ( T T N E T t φ φ · · + . Phase de démagnétisation (origine en t 0 + T 1 ) A l’instant t = t 0 + T 1, nouvelle origine temporelle, T bloqué force le courant i 1 à s’annuler. La relation d’Hopkinson s’écrit : N 1 i 1(t) – N 2 i 2(t) + N 3 i 3(t) = #φ(t), en conséquence, lee courant ) ( ) ( 3 3 t N t i φ # · force la conduction de la diode D. La tension u D est nulle, donc dt t d N E t u ) ( ) ( 3 3 φ · − · , donc t N E dt N E t T T 3 1 1 3 ) ( − · + − · ∫ φ φ φ Les tensions u 1 (t) et u 2 (t) sont le reflet de la tension u 3 (t) : E N N t u 3 2 2 ) ( − · et E N N t u 3 1 1 ) ( − · . Le flux décroît et s’annule au blocage de D : 1 1 3 1 3 T N N E N T T d · · φ . Le temps de démagnétisation est proportionnel au nombre de spires du troisième enroulement. Les chronogrammes illustrant ce fonctionnement sont indiqués à la Figure 16. belali,octobre 2008 83 Les circuits magnétiques en régime impulsionnel E D T N 2 N 3 N 1 v CE i 1 (t) u 1 (t) u 2 (t) i 3 (t) i 2 (t) u D ¦|} u 3 (t) Crde Figure 15 : troisième enroulement. u 2 (t) − N N E 2 3 t φ (t) t Per|e -E / h J 8|ccage de 0 T o|cqué T sa|u|é T 1 Commanoe t Per|e E / h 1 t 0 + T 1 t 0 u 1 (t) E N N 3 1 − E N N 1 2 t T d t 0 + T 1 + T d φ T1 E Figure 16 : chronogrammes. V. Principales applications V.1. Commande de thyristor u 2 (t) I G (t) Tl R Pour être amorcé, le thyristor a besoin d’une impulsion de courant à travers sa gachette. Cette dernière est donc reliée au secondaire d’un transformateur d’impulsions. Ce dernier assure aussi l’isolation galvanique entre la commande et la puissance (Figure 17). Figure 17 : circuit de commande de thyristor. V.2. Alimentations à découpage Pour améliorer le rendement des alimentations continues on utilise des alimentations à découpage. La tension continue de départ (éventuellement le réseau alternatif redressé et filtré) est découpée et transmise à travers un transformateur en régime impulsionnel pour être redressée, filtrée et régulée. L’intérêt d’un tel procédé provient : • de la possibilité d’élever la tension ; • du rendement favorable de l’alimentation obtenue ; • du volume limité du circuit magnétique si la fréquence de découpage est élevée (au delà de la plus haute fréquence audible pour un meilleur confort des utilisateurs). Les signaux de fréquence élevée entraînent des pertes par courants de Foucault accrues. L’usage d’un matériau magnétique à forte résistivité électrique tel que les ferrites est particulièrement recommandé ; • des éléments de filtrage (C et L) de taille limitée (car la fréquence est élevée) ; • de l’isolation galvanique. VI. Champ sur l'axe de bobines coaxiales Commentaires : Pour une bobine comportant N spires circulaires de rayon R parcourues par un courant I, le calcul de l'induction magnétique sur l'axe est très simple car, du fait de la symétrie axiale, seule la composante dB selon Ox doit être prise en compte . Un calcul simple (loi de Biot et Savart) donne pour l'induction sur l'axe la valeur suivante : Le programme trace l'induction qui résulte de la présence de deux bobines coaxiales parcourues par des courants égaux et de même sens ou de sens contraires dont on peut faire varier la position relative. Trouvez la position des bobines (dite position de Helmoltz) qui donne l'induction la plus uniforme sur l'axe du système. Le calcul de l'induction dans le cas général en dehors de l'axe est beaucoup plus complexe et ne peut être fait que par une simulation numérique. La force de Laplace : Une expérience simple permet de mettre en évidence l'action d'un champ magnétique sur un courant. Une tige mobile, suspendue au dessus d'une cuve à mercure est placée entre les pôles d'un aimant. Quand la tige est parcourue par un courant elle est soumise à une force et se déplace. La force est donnée par la loi de Laplace dF = i.dl ^ B. La direction de la force est telle que le trièdre dl, B, F est direct. On peut utiliser la règle du bonhomme d'Ampère : la force est dirigée vers la gauche d'un observateur qui est traversé par un courant allant des pieds vers la tête et qui regarde dans le sens et la direction de l'induction magnétique. On peut aussi utiliser la règle des trois doigts de la main droite : on forme un trièdre avec l'index orienté dans le sens du courant (index => intensité), le majeur dans le sens de l'induction (majeur => magnétique) le pouce indique la direction de la force (pouce => force qui pousse). Ce moyen mnémotechnique m'a été enseigné quand j'étais en 1ére belali, octobre 2008 84 Les circuits magnétiques en régime impulsionnel 85 V. Champs magnétique tournant On considère trois paires de bobines plates identiques équidistantes de l'axe du système et dont les axes font entre eux des angles de 120°. Elles sont parcourues par les courants : I 1 = Io.cos(ωt) I 2 = Io.cos(ωt + 2π/3) I 3 = Io.cos(ωt + 4π/3) (Courant triphasé) Dans la simulation, on trace l'évolution au cours du temps de l'induction magnétique due à Chaque bobine (trait de la couleur des bobines correspondantes) ainsi que l'induction résultante (trait noir). Le module du vecteur B reste constant mais ce vecteur tourne autour de O à la vitesse constante ωt. C'est sur ce principe que sont basés les moteurs triphasés. Mode mono ou diphasé On considère cette fois deux paires de bobines plates identiques équidistantes de l'axe du système et dont les axes font entre eux des angles de 90°. Elles sont parcourues par les courants : I 1 = Io.cos(ωt) I 2 = Io.cos(ωt + π/2) Comme l'énergie électrique est distribuée uniquement en triphasé ou en monophasé, on met en série avec une paire de bobines un condensateur dont la valeur est calculée pour produire un déphasage de 90° entre les inductions dans les deux paires de bobines. Préparé et animé par M. Said BELALI I. INTRODUCTION Sur les réseaux électriques, les tensions produites par les alternateurs, les tensions de distribution grandes distances et les tensions d’utilisations ne sont pas les mêmes. La gamme des tensions disponibles sur le réseau s'échelonne entre 12V et 750kV ! Par ailleurs, étant donné que les lignes de distribution grandes distances sont des lignes sans neutre, il est nécessaire de recréer le neutre au plus près des zones de consommation pour pouvoir disposer de lignes monophasées. Il est alors nécessaire d’utiliser un outil à très bon rendement, à bon marché et permettant la transformation des amplitudes des tensions ainsi que la création d’un neutre local. Cet outil est le transformateur. II. TRANSFORMATEUR MONOPHASE IDEAL Un transformateur monophasé est constitué de deux bobinages présents sur le même circuit magnétique. On représente ci-dessous le schéma de principe. φ I 1 N 1 V 1 I 2 V 2 N 2 L'utilisation des formules introduites précédemment permet d'écrire : v 1 (t)= N 1 .dφ/dt et v 2 (t)= N 2 .dφ/dt d'où la relation : v 2 (t) / v 1 (t) = N 2 /N 1 =m Ainsi que : N 1 .i 1 (t) – N 2 .i 2 (t) = (L/µS).φ(t) Quand I 2 est assez important, le terme (L/µS).φ devient négligeable, on écrit alors : En charge : i 2 (t)/i 1 (t) = N 1 /N 2 =m -1 NB : les bobinages présents sur un transformateur ont un sens, en conséquence il est possible de V 2 (t) = m.V 1 (t) ou que V 2 (t) = - m.V 1 (t). Pour lever le doute sur cette incertitude, et afin de noter les tensions avec une convention cohérente, le sens des bobinages doit être indiqué sur le symbole correspondant à un transformateur. Symbolisation et conventions : V 1 V 2 I 1 I 2 n 1 n 2 Bobinage Primaire Bobinage Secondaire Convention récepteur Convention générateur Bobinage Primaire Bobinage Secondaire Convention récepteur Convention générateur V 1 V 2 m I 1 I 2 Dans les deux cas : m n n V V = = 1 2 1 2 et en charge m n n I I 1 2 1 1 2 = = NB : On représente ci dessus deux manières de symboliser les transformateurs monophasés, avec deux cas de sens de tension de sortie. Le respect de la "convention du point" ne laisse aucune ambiguïté sur les sens des tensions et des courants théoriques à utiliser. 86 Chapitre 9: TRANSFORMATEURS ET RAPPORTS DE TRANSFORMATIONS Préparé et animé par M. Said BELALI Puissance : La puissance apparente complexe à l'entrée du transformateur vaut S 1 = V 1 .I 1 * A la sortie du transformateur, elle vaut S 2 = V 2 .I 2 * = m.V 1 .(1/m).I 1 * = V 1 .I 1 * = S 1 D'où : P 1 = P 2 et Q 1 = Q 2 Conclusion : Le transformateur idéal est absolument passif et sans pertes. Quand il élève la tension, il abaisse le courant (ou inversement) et ne modifie pas la puissance qui transite. III. TRANSFORMATEUT MONOPHASE REEL Dès lors qu'on parle de transformateur réel, c'est qu'on tient compte des pertes qu'il apporte ainsi que de son facteur de puissance. il est alors possible de considérer dans son schéma équivalent des éléments résistifs et réactifs équivalents. Les différents défauts des transformateurs sont les suivants : Résistances séries des bobinages : R 1 et R 2 Inductances dites "de fuites" séries des bobinages : L 1 et L 2 Echauffement du circuit magnétique appelé "pertes fer" sensiblement proportionnelles au carré de la tension d'entrée : on fait une équivalence avec une résistance appelée R f en parallèle avec l'entrée. Inductance équivalente du transformateur à vide dite "inductance magnétisante" qu'on notera L m . On représente donc, à partir d'un transformateur idéal, le schéma équivalent du transformateur réel : V 1 m.V 1 m I 2 I 1 L 1 R 1 R 2 L 2 R f L m R u : Charge V s Ce schéma, assez complet est lourd à manipuler et absolument inutilisable pour caractériser rapidement un transformateur. En revanche, et à la lumière de la remarque qui suit, il est simplifiable. Remarque : Considérons l'impédance Z au secondaire d'un transformateur idéal dont le rapport de transformation est : m. m Z I 1 V 2 V 1 On peut écrire : m.V 1 V 2 = mV 1 – Z.I 2 I 2 = m(V 1 – Z/m.I 2 ) et : I 2 = I 1 /m m Z/m² I 1 On écrit donc : V 2 V 1 V 2 = m(V 1 - (Z/m²).I 1 ) I 2 Ce qui est équivalent au schéma ci contre. 87 Préparé et animé par M. Said BELALI On montre, plus généralement, qu'une impédance Z au secondaire d'un transformateur idéal est équivalente à une impédance Z/m² au primaire de ce transformateur. En simplifiant le schéma équivalent du transformateur réel, on obtient le schéma dit "schéma équivalent au secondaire" représenté ci dessous : V 1 m.V 1 m I 2 I 1 R L R f L m R u : Charge V 2 Où on montre que : R = R 2 + m².R 1 L = L 2 + m².L 1 Détermination des éléments équivalents : On détermine habituellement ces éléments au cours de deux "essais" appelée "essai à vide" et "essai en cours circuit". - Essai à vide : Le transformateur n'est connecté à aucune charge et alimenté par le primaire. On mesure P 1 et S 1 =V 1 .I 1 sachant que P 1 = V²/R f et Q 1 = V²/(L m .ω) On calcule alors directement : R f = V²/P 1 et L m = V²/(ω.√(S 1 ²-P 1 ²)) - Essai en court circuit : Le transformateur est court-circuité au secondaire et alimenté au primaire sous tension réduite (ce qui permet de négliger R f et L m ). On mesure P 1 et S 1 =V 1 .I 1 sachant que P 1 = R.I 2 ² = R.I 1 ²/m² et Q 1 = L m ω.I 1 ²/m² On calcule alors directement : R = m².P 1 /I 1² et L m =√(S 1 ²-P 1 ²).m²/ωI 1 ² Représentation des tensions et courants dans le plan complexe : Afin de mener à bien des calculs sur le schéma équivalent du transformateur réel, il est habituel de représenter ses tensions et courants dans le plan complexe. On aboutit classiquement à la représentation ci dessous : V 2 R.I 2 jLω.I 2 m.V 1 V 1 I 2 I 1 ϕ θ Re Im ψ L'angle ϕ est le déphasage entre I 2 et V 2 , L'angle ψ est le déphasage entre I 1 et V 1 NB : Il est à noter d'après ce schéma qu'il existe en général, et à cause des imperfections, un déphasage entre V 2 et V 1 , on le note θ. Plus important : il existe une chute de tension entre V 2 et m.V 1 (la tension à vide). On exprime cette tension, en valeur efficace, comme étant : ∆V 2 = mV 1 – V 2 Après le calcul théorique et une légère approximation comme quoi θ est faible, on retiendra : ∆V 2 = mV 1 – V 2 ≅ R.I 2 .cosϕ + L.ω.I 2 .sinϕ Ce qui donne, habituellement, la famille de courbes suivante 2 : 2 Source : Electrotechnique industrielle Seguier, Notelet 88 Préparé et animé par M. Said BELALI -4% 4% ∆V 2 / V 20 cosϕ = 0.8 cosϕ = 0.9 cosϕ = 1 cosϕ = 0.9 cosϕ = 0.8 cosϕ = 0.6 I n courant nominal secondaire ϕ AV (déphasage avant) I 2 ϕ AR (déphasage arrière) Par ailleurs, le déphasage ψ entre I 1 et V 1 donne la valeur du facteur de puissance cosψ du transformateur, vu au primaire bien sûr. Rendements des transformateurs Le rendement classique du transformateur s'exprime facilement en fonction des données à courant I 2 constant : f u u f u u ertes u u R V I R R V R V R V I R I R I R P P P / ² ² . / ² / ² / ² ² . ² . ² . 2 2 2 2 2 2 + + = + + = + = η En revanche, pour les transformateurs de distribution, la charge est variable. Le rendement évolue donc dans le temps. On définit donc un rendement énergétique, sur un temps défini T, comme étant le quotient de l'énergie utilise sur l'énergie totale consommée pendant ce temps. On écrira donc : T temps le pendant T temps le sur e perdue Energie tile u Energie tile u Energie + = η NB : La plupart du temps, le calcul est effectué sur une durée T=24heures Tension à vide La tension au secondaire du transformateur lorsqu'il est à vide est notée fréquemment : V 20 =mV 1 Courant à vide Si on observe à l'oscilloscope le courant appelé par un transformateur dont le secondaire est ouvert, on observe une forme d'onde conforme au schéma ci dessous : v 1(t) i 10(t) n 1 ~ i 10(t) v 1(t) t i 10 ϕ Ce courant est entièrement justifié par la présence du "cycle d'hystérésis" du circuit magnétique également représenté sur le schéma. A vide, le courant primaire fait saturer le circuit magnétique. La saturation du flux impose des ampères-tour élevées, ce qui justifie la présence de courant élevé. L'hystérésis, lui, impose la dissymétrie du courant. On retiendra qu'à vide le transformateur est un dipôle fortement non-linéaire. NB :Ce courant a son fondamental à 50Hz et des harmoniques impairs à 150, 250, 350Hz, etc… 89 Préparé et animé par M. Said BELALI IV. EXEMPLE On considère un transformateur monophasé 2200VA, 220V / 1160V dont le schéma équivalent est représenté ci dessous : V 1 m.V 1 m=5.5 I 2 I 1 R L R f L m R u : Charge V 2 On souhaite déterminer la valeur des éléments d'imperfection d'après deux essais : 1) essai à vide : V 1 =220V P 1 =90W I 1 =0.8A On calcule R f et L m d'après les formules R f = V²/P 1 = 537.7Ω Puis Q 1 =√(S 1 ²-P 1 ²)=151.24 VAR et L m = V²/(ω.Q 1 ) = 1.01Ω 2) essai en c-c : V 1 =8.5V P 1 =80W I 1 =10A On sait que m=5.5 On calcule R = m².P 1 /I 1² =24.2Ω On calcule Q 1 =28.7VAR et L= Q 1 .m²/ωI 1 ²= 27mH On souhaite calculer la tension V 2 en pleine charge : La charge nominale correspond au fonctionnement nominal du transformateur. C'est dans ces conditions qu'on a S = 2200VA = V 1n .I 1n c'est à dire que le courant de pleine charge est I 1n = 10A. En conséquence le courant I 2n = 10/5,5=1.8A On calcule alors la chute de tension au secondaire avec la formule : ∆V 2 = mV 1 – V 2 ≅ R.I 2 .cosϕ + L.ω.I 2 .sinϕ sachant que tanϕ = Lω/R = 0.35 càd cosϕ = 0.94 et sinϕ = 0.33 on trouve ∆V 2 =46.43 Ainsi, à vide le transformateur délivre 220x5.5 = 1210V et en pleine charge 1210-46.43 = 1163.6V, tension qui correspond bien aux 1160V de sortie indiqués dans les données globales. On souhaite chiffrer le rendement du transformateur : Pour calculer le rendement on écrit : Iη = P Ru /(P RU + P R + P Rf ) = 1163.6x1,8/(1163,6x1,8 + 220²/R f + R.(1,8)²) = 0.92 Ce qui est normal pour un transformateur. 90 Préparé et animé par M. Said BELALI V. TRANSFORMATEURS TRIPHASES Afin de transformer l'amplitude des tensions d'un système triphasé, il faut théoriquement se servir de 3 transformateurs monophasés, dont les phases seront couplées, en fonction des contraintes, en étoile ou en triangle. En réalité, on se sert d'un seul circuit magnétique sur lequel sont bobinés les 6 bobinages. On appelle cela un transformateur triphasé. Il est de plus possible de coupler différemment le primaire et le secondaire pour, par exemple créer un neutre local ou apporter un déphasage entre certaines tensions. On représente ci dessous, en tant qu'exemple, le symbole d'un transformateur triphasé dont le primaire est câblé en étoile et le secondaire en triangle. V A U ab N m A B C a b c On notera de façon conventionnelle les bobinages primaires en majuscule (A,B et C) et secondaires en minuscules (a,b et c). Les bobinages représentés côte à côte sont dits "en regard" et les tensions à leurs bornes sont proportionnelles de rapport n a /n A . C'est à dire qu'ici Uab = (n a /n A ).V A NB : attention, n a /n A n'est pas toujours égal à m Le couplage est toujours indiqué par un symbole : Y ou y : couplage étoile primaire ou secondaire ∆ ou d : couplage triangle primaire ou secondaire Z ou z : couplage Zig-Zag primaire ou secondaire Rapport de transformation : On désigne par rapport de transformation, m, le rapport entre une tension simple au secondaire et la tension simple correspondante au primaire. V A V B V C U ab U ca U bc V a ϕ N Les tensions primaires et secondaires de l'exemple ci-dessus se représentent comme ci contre. On note deux caractéristiques importantes : A a A ab A a n n V U V V m . 3 1 . 3 = = = Le déphasage entre V A et Va vaut π/6 = 2π/12 = 1h La relation qui relie V A et Va est donc : Va = A n na . 3 1 .V A .e jπ/6 indice horaire m Afin de caractériser un transformateur triphasé, on donnera toujours son couplage, son rapport de transformation et son indice horaire, c'est à dire le déphasage entre V A et V a . NB : l'indice horaire sera souvent exprimé en heures pour plus de commodité puisque ce sera toujours un multiple de π/6 = 1h. Autre symbolisation: La symbolique ci dessous apparaît souvent pour unifier les symboles des transformateurs triphasés, le rectangle avec les bornes représente la plaque de connections du transformateur. 91 Préparé et animé par M. Said BELALI Cette symbolisation suffit tout comme le schéma complet dont elle est le reflet, pour déterminer les caractéristiques de transformation du transformateur. Nom conventionnel : Pour simplifier la représentation, on donne aux transformateurs triphasés un nom qui résume toutes les caractéristiques. A a B b C c N n A n a Le transformateur utilisé comme exemple correspond à : Couplage du primaire Yd 1 Couplage du secondaire Indice horaire (en h) De la même manière on peut trouver : Yy, Yd, Yz, Dy, Dd, Dz, Zy, Zd, Zz , avec de plus les différents indices horaires possibles. On retiendra les cas les plus communs explicités dans le tableau ci après 3 : 92 3 Source : Electrotechnique industrielle Seguier,Notelet Préparé et animé par M. Said BELALI 93 VI. TYPES DE TRANSFORMATEURS VI.1. Transformateurs à enroulements séparés et à tension primaire et secondaire unique Il correspond au transformateur qui comprend un enroulement primaire unique et un seul enroulement secondaire qui fournit une seule tension secondaire. Fig :1 VI.2. Transformateur à enroulements séparés à tensions primaires et secondaires multiples. ( fig 2) Fig : 2 Chaque bobine peut présenter des prises intermédiaires permettant d’adapter le primaire à la tension d'alimentation d'utilisation. VI.3. Transformateur à plusieurs secondaires. ( fig :3) Fig : 3 Les secondaires peuvent être distincts, chacun fournissant une tension différente. Préparé et animé par M. Said BELALI 94 VI.4. Auto-Transformateur ( fig :4) Un auto-transformateur comporte un seul enroulement dont les extrémités sont les bornes ''HT'', les bornes ''BT'' aboutissent à une extrémité et à un point intermédiaire. Une des extrémités est donc commune au circuit primaire et secondaire. Souvent un auto-transformateur est réglable, un curseur permettant de modifier la position du point intermédiaire. Fig : 4 VI.5. Transformateurs de mesure Le transformateur de mesure est un transformateur dont l'enroulement primaire est soumis à l'action d'une grandeur à mesurer, alors que son secondaire alimente des appareils de mesure et des appareils de protection. Un branchement direct des appareils de mesure sur des circuits à haute tension rendait dangereux le contact avec de tels appareils. C'est pourquoi les appareils de mesure et les appareils de protection ne sont branchés qu’à travers le circuit secondaire des transformateurs de mesure qui est lié au circuit de haute tension uniquement par le flux magnétique traversant le noyau du transformateur. D’autres parts ces transformateurs servent à élargir les limites de mesure des appareils pour courant alternatif de même que les résistances additionnelles et les shunts. VI.5.1. Transformateur de tension Pour le branchement des voltmètres, des fréquencemètres et des circuits de tension des autres appareils de mesure (Wattmètres, compteurs d'énergie phasemètres), ainsi que pour le branchement des relais, on utilise des transformateurs de tension. Pour le branchement des ampèremètres et des circuits de courant des autres appareils de mesure on a recours à des transformateurs de courant ou d'intensité. Préparé et animé par M. Said BELALI 95 La constitution d'un transformateur de tension est schématisée sur la fig 6 Fig 6 : Transformateur de tension chargé par un voltmètre et un fréquencemètre VI.5.2. Transformateur de courant Fig : 7 La mesure des courants électriques est une opération des plus fréquentes, en effet les transformateurs de courant sont nécessaires pour réduire l'intensité de courant quand elle dépasse quelques dizaines d'ampères dans le circuit primaire L'enroulement primaire d'un transformateur de courant est branché en série dans la ligne ( fig 7), alors que son secondaire est fermé directement sur un ampèremètre et les circuits de courants d'autres appareils de mesure. Ces appareils sont montés en série parce qu'ils doivent être parcourus par le même courant. La résistance totale de l'ampèremètre et des circuits de courant d'autres appareils de mesure étant relativement petite (généralement inférieure à 1 ohm), le transformateur de courant fonctionne dans les conditions voisines de celles d'essai en court-circuit d'un transformateur ordinaire. La Préparé et animé par M. Said BELALI 96 tension aux bornes du secondaire d'un transformateur de courant est équilibré par une chute de tension (de 1 a 6V), développée par les appareils de mesure et les fils de connexion. A une faible valeur de la tension correspond une faible valeur de la f.e.m E2 et, donc, une faible valeur du flux La pince ampérométrique est un TC permettant la mesure d'un courant sans couper le circuit. Il est dangereux d'ouvrir le circuit secondaire d'un transformateur d'intensité car une tension très élevée apparaîtrait entre les deux bornes. Pour assurer la sécurité du personnel de service une des bornes secondaire et le boiter en acier du TC sont mis à la terre. Préparé et animé par M. Said BELALI 9 7 9797 Chapitre 10 : MACHINE SYNCHRONE COUPLES SUR UN RESEAU I. EXEMPLE La figure 1 schématise la machine synchrone raccordée au réseau 50Hz via un +transformateur. On assimile le réseau ramené du côté de la machine à une source triphasée équilibrée étoile de pulsation 2 .50 π ω · ∞ et de valeur efficace 220 V V ∞ · . Les réactances g g jX j l ω ∞ · correspondent aux inductances de fuite du transformateur reliant la machine réseau. On supposera leur valeur égale à 0.3 j Ω. Figure1 Le régulateur de vitesse qui commande le couple développé par le moteur d'entraînement est un régulateur proportionnel avec un terme d'action prédictive qui permet d'agir sur la puissance fournie par la machine au réseau. II. SYNCHRONISATION DE LA MACHINE SUR LE RESEAU On règle la vitesse de la machine en mettant : Préparé et animé par M. Said BELALI 97 98 • la référence de vitesse à une valeur , m réf ω sensiblement égale à / p ω ∞ où est le nombre de paires de pôles de la machine; • le terme d'action prédictive 0 m C On règle la valeur efficace des forces électromotrices induites dans les phases du stator pour les amener à la même valeur efficace que les tensions du réseau. Comme le régulateur de vitesse est du type proportionnel, la vitesse réelle est légèrement inférieure à la vitesse de référence en raison du couple de frottement qui s'oppose à la rotation du rotor). Le très léger écart de fréquence existant entre les tensions du réseau et les forces électromotrices développées par la machine, apparaît comme une lente variation du déphasage existant entre les deux systèmes de tension. On établit la mise en parallèle au moment où les deux systèmes de tension sont en phase. Ceci revient à fermer le disjoncteur reliant la machine au réseau au moment où les différences de potentiel aux bornes de ses contacts sont nulles. La fermeture n'entraîne donc aucune circulation de courant. On suppose qu'on a respecté l'ordre des phases dans les connexions. Pour effectuer la synchronisation on dispose d'un synchronoscope. Cet appareil fournit une information correspondant : • aux valeurs efficaces des tensions du réseau et des tensions aux bornes de la machine; • à l'écart de fréquence existant entre les deux systèmes de tension, vu comme un écart de position entre le système de phaseurs représentant les tensions du réseau et le système de phaseurs représentant les tensions aux bornes de la machine. En effet, si la pulsation m pω des tensions aux bornes de la machine diffère de la pulsation ω ∞ des tensions du réseau, les phaseurs associés aux tensions aux bornes de la machine tournent à une vitesse m pω ω ∞ − par rapport à ceux associés aux tensions du réseau. On a schématisé dans l'animation ci-dessous les informations fournies par le synchronoscope en représentant la valeur efficace et la position relatives des phaseurs (de pulsation m pω ) des tensions aux bornes de la machine par rapport aux phaseurs de pulsation des tensions du réseau. Les conditions de synchronisation sont atteintes lorsque les deux systèmes de phaseurs coïncident en position et en valeur efficace. Préparé et animé par M. Said BELALI 98 99 Vous pouvez agir sur : • la vitesse de référence • le courant Pour obtenir les conditions permettant la synchronisation. Lorsque vous estimez que les conditions sont atteintes, appuyez sur le bouton "synchroniser". III. REGLAGE DU POINT DE FONCTIONNEMENT Dès que la mise en parallèle avec le réseau a été effectuée, on peut faire varier le point de fonctionnement en agissant via 0 m C (figure1) • sur le couple m C que le moteur d'entraînement délivre • sur le courant inducteur f i . Comme les moteurs utilisés pour entraîner la machine synchrone (turbine à gaz ou à vapeur, turbine hydraulique, moteur thermique) ne peuvent pas fonctionner en machine réceptrice, la conversion d'énergie ne peut se faire que dans le sens correspondant à la marche en génératrice (on dit aussi en alternateur) de la machine synchrone. Pour déterminer quel est le point de fonctionnement correspondant à des valeurs données de m C et f i , nous allons négliger les pertes mécaniques et magnétiques et les pertes Joule 2 3 s s R I dans les enroulements du stator, car elles sont négligeables à l'échelle de la puissance nominale de la machine. Dans ces conditions, la puissance mécanique produite par le moteur est égale à la puissance électrique fournie au réseau. En utilisant le diagramme vectoriel liant 0 E , V ∞ et S I , on peut écrire, si P est le nombre de pôles de la machine (figure2) 0 3 sin 3 cos élec m S g s V E P C V I P X X δ ω ρ ∞ ∞ ∞ · · · + (1) La valeur de f i fixe la valeur de 0 E et fournit un lien pour l'extrémité de 0 E ; c'est un cercle de rayon 0 E centré sur l'origine de V ∞ . Préparé et animé par M. Said BELALI 99 Figure2 La valeur de m C fixe la valeur de 0 sin E δ en vertu de (1) et fournit un lieu pour l'extrémité de 0 E ; c'est une parallèle à V ∞ située à une distance 0 sin E δ égale à : ( ) 3 g s m X X C P V ω ∞ ∞ + Le point d'intersection des deux lieux correspondant à une valeur deδ comprise entre 0 et / 2 π donne l’extrémité 0 E . Une fois 0 E connu on a immédiatement j( g s X X + ) S I et S I . Si à i f donné, on augmente 0 sin E δ en agissant sur m C , l'angle δ augmente : lorsqu'il tente de dépasser / 2 π , il n'est plus possible d'obtenir un point de fonctionnement stable, la machine perd le synchronisme, ce qui provoque un transitoire violent qui entraîne l'entrée en action de systèmes de protection qui ouvrent le disjoncteur reliant la machine au réseau. Si à 0 sin E δ donné (et donc m C donné) on diminue i f , l'angle δ augmente : lorsqu'il tente de dépasser / 2 π , la machine décroche. L'animation ci-dessous vous permet de voir comment évolue le point de fonctionnement en fonction Préparé et animé par M. Said BELALI 100 1 1 0 1 9 8 • de la puissance active P fournie au réseau représentée par la grandeur 0 sin E δ qui en est l'image • du courant d’excitation f i , qui fixe la norme de 0 E . Exercice d'application Quelles sont les valeurs de m C et f i si la machine débite une puissance active P de 20 Kw et une puissance réactive Q de 10 kVar. Considérez les deux cas possibles : 1. la puissance réactive est inductive 2. la puissance réactive est capacitive Préparé et animé par M. Said BELALI 101 CHAPITRE 11: EQUATIONS NECESSAIRES POUR LE DIMESIONNEMENT D'UNE LIGNE I. INTRODUCTION Le dimensionnement d’une ligne aérienne dans le cadre d’un régime permanent se fait en deux parties : choix de la section du conducteur et choix du gabarit des pylônes. Le choix de la section du conducteur dépend de considérations électriques et économiques tandis que le choix du gabarit des pylônes fait intervenir plutôt les aspects mécaniques. Ces considérations ont déjà été abordées dans le cadre du calcul d'une liaison souterraine. Afin de choisir la section du câble, nous devons vérifier trois choses : Quel est le courant nominal qui circule dans le câble ? Supporte-t-il la puissance de court-circuit ? La chute de tension est-elle bien inférieure à la limite ? A partir d'un certain niveau de tension, nous devons aussi vérifier que l'effet couronne ne devient pas trop important. Nous aboutissons ainsi à une section techniquement optimale mais non normalisée. Il faut décider donc de prendre une section normalisée supérieure. Le calcul des différents coûts de la ligne nous aide à choisir celle qui convient le mieux. En réalité, il faudrait optimiser le coût global (câble + pylône) en tenant compte des contraintes techniques et des pertes. C'est alors un calcul plus complexe auquel nous ajoutons le choix du niveau de tension et la longueur de portée moyenne. Dans ce cas, nous avons recours à une simulation par ordinateur. Très souvent, le niveau de tension est imposé et les longueurs de portée également (emplacement des pylônes imposé par la disponibilité du terrain). La démarche proposée permettra à l'étudiant de limiter le nombre de calculs à effectuer tout en incluant la majorité des critères et contraintes à respecter. II. RAPPELS Les lignes assurent la continuité électrique entre deux noeuds du réseau et peuvent être classées selon les types suivants : - lignes de grand transport : entre un centre de production et un centre de consommation ou un grand poste d’interconnexion ; - lignes d’interconnexion : entre plusieurs régions ou plusieurs pays (secours mutuel) ; - lignes de répartition : entre grands postes et petits postes ou gros clients nationaux de ; - lignes de distribution : vers les consommateurs BT. Les différentes classes de tension en courant alternatif sont définie selon le nouveau CDP Préparé et animé par M. Said BELALI 102 Très basse tension U ≤ 50 BTA 50 < U ≤ 500 Basse tension BTB 500 < U ≤ 1000 HTA 1000 < U ≤ 50 000 Haute tension HTB U> 50 000 Tableau 11.1 : Classification des niveaux de tension Les principaux composants des lignes aériennes sont : - Les conducteurs (Phases + câble(s) de garde) ; - Les isolateurs ; - Le pylône ; - Les fondations ; - Autres accessoires (pinces de suspension, jonctions de connecteurs, amortisseurs dynamiques,…). Concernant les portées des lignes, étant donné la possible irrégularité des distances entre pylônes, nous définissons les longueurs suivantes : - Portée basique ou normale = La plus économique ; - Portée moyenne = Moyenne arithmétique des différentes portées ; - Portée équivalente = ∑ ∑ = = = n i i n i i éq l l L 1 1 3 . Cette valeur se rapproche généralement de la portée moyenne lorsque le nombre de portées augmente. C’est sur cette valeur que se calcule la tension horizontale à appliquer au canton ; - Portée « de vent » = La somme des deux demi portées adjacentes au pylône. Elle correspond à la portée à considérer pour le calcul des efforts en tête du pylône ; - Portée « de poids » = La somme des distances entre le pylône et les points les plus bas des deux portées adjacentes. Cette valeur est utilisée pour déterminer le poids mort que représentent les conducteurs sur le support. II. LES ELEMENTS DES LIGNES ELECTRIQUES II.1. Les conducteurs Au niveau mécanique, le calcul de la résistance des conducteurs est soumis aux réglementations internationales. Les conditions climatiques doivent être connues (givre, températures, intensité du vent,...). Préparé et animé par M. Said BELALI 103 Ce paragraphe explicite les critères électriques permettant le dimensionnement de la section des conducteurs des lignes aériennes. Ils sont fort similaires à ceux associés aux câbles). A. Critère de courant nominal Nous devons vérifier que le câble supporte le courant nominal sur toute sa durée de vie. Vu P départ et a donnés, nous déterminons tout d'abord la puissance circulant dans le câble après les T années d'utilisation par la relation 11.1 : P T = P départ . (1 + a) T [MW] (11.1) Nous en déduisons le courant circulant alors dans chaque phase du câble : ) cos( . U . 3 P I T T , N ϕ = [A] (11.2) B. Critère du courant de court-circuit Nous déduisons directement ce courant de la formule donnant la puissance de court- circuit : U . 3 S I cc cc = [A] (11.3) La puissance de court-circuit S cc est fonction du réseau environnant la ligne étudiée, mais du point de vue dimensionnement, nous retenons souvent les valeurs suivantes en fonction des principales tensions caractéristiques : Tension phase/phase U [kV] Puissance de court-circuit S cc [MVA] Courant de court-circuit I cc [kA] 150 8000 30,8 70 2500 20,6 15 350 13,5 6 120 11,6 Tableau 11.2 : Puissance et courant de court-circuit Afin de trouver la section minimum permettant de supporter ce courant durant le temps t cc , nous disposons de la formule suivante, où a est un facteur dépendant du type de matériau constituant le câble : a t . I S cc cc = (∀ t < 5 sec) [mm²] (11.4) Cette nouvelle valeur du courant conduit alors au choix d'une nouvelle section normalisée (celle qui lui est juste supérieure). Remarques : - le cuivre est toujours supérieur à l'aluminium pour une même section, étant donné sa meilleure capacité à évacuer la chaleur ; - les valeurs du paramètre a sont les suivantes : a = 105,3 pour le cuivre, a = 55,07 pour l'aluminium et a = 61,98 pour l'AMS (Al+Mg+Si). Préparé et animé par M. Said BELALI 104 C. Critère de la chute de tension Un rapide calcul nous donne la formule de la chute de tension : Figure 11.1 : Modèle réduit de la liaison ( ) ) sin( X'.l ) cos( .l R' U I 3 U ∆U C 70 N N ϕ ϕ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ≅ ° (11.5) où 1 2 1 2 U U U U U − ≠ − = ∆ [V] (11.6) Nous pouvons alors déterminer la résistance maximale de la ligne à 20°C. Dans le cas des lignes, nous négligeons les effets capacitifs car les valeurs sont approximativement 50 fois plus faibles pour les lignes que pour les câbles. Pour l'impédance longitudinale, nous prendrons, généralement, comme valeur de départ : 0,4 Ω/km. II.2. Les Supports Nous devons d'abord déterminer le poids équivalent et l'angle d'inclinaison des chaînes de suspension des câbles en s’appuyant sur deux hypothèses ‘H1’ et ‘H2’ (respectivement été et hiver). Nous déterminerons ensuite la portée critique que nous comparerons avec la portée moyenne. En fonction du résultat de cette comparaison, nous déterminerons, parmi ‘H1’ et ‘H2’, quelles sont les conditions météorologiques qui imposent les contraintes mécaniques les plus importantes sur notre portée. Nous en tirerons alors la constante « a » de l'équation d'état (dite de Blondel). Une fois cette constante obtenue, nous pourrons déterminer la tension mécanique dans les câbles quel que soient les paramètres météorologiques. Nous déterminerons ensuite la flèche maximale et la hauteur d'accrochage des conducteurs, la longueur de la chaîne de suspension et les distances phase/phase et phase/neutre. L'étape suivante consistera à calculer les gabarits des pylônes d'alignement, d'angle, d'ancrage. Les principaux types de supports que l’on rencontre sont décrits sur les figures 11.3 et 11.4. Ils se différencient principalement, entre ces deux figures, par la position verticale des Préparé et animé par M. Said BELALI 105 conducteurs de puissance : dans la seconde figure, ces lignes sont suspendues à une hauteur qui peut être considérée relativement constante. Figure 11.3 : Types de supports à phases étagées Figure 11.4 : Pylônes ou portiques à armement nappe ou nappe-voute Le calcul des efforts en tête de pylône nous permettra d’obtenir une estimation du coût des pylônes. Finalement, nous pourrons évaluer le coût global de la ligne. II.3. Poids équivalent et angle d'inclinaison du câble Nous allons utiliser deux hypothèses « H1 » et « H2 ». Elles représentent deux groupes de paramètres qui correspondent respectivement à des conditions extrêmes HIVER et ETE. Il serait en effet inutile d'utiliser simultanément les valeurs les plus critiques de ces paramètres. L’idée se trouvant en amont du choix de ces hypothèses est que l’action d’une basse température est surtout dangereuse pour les portées courtes (contraction thermique, cumulée à une faible différence entre la longueur de la portée et la longueur du câble) tandis que l’action du vent est surtout dangereuse pour les portées longues (effort transversal proportionnel à la longueur). « Tous les éléments constitutifs de la ligne aérienne, à savoir les supports, ancrages, ferrures et fondations éventuelles, sont calculés en tenant compte de l’état de sollicitation résultant : Préparé et animé par M. Said BELALI 106 - de la traction des conducteurs actifs, de garde et de terre ; - du poids propre des conducteurs actifs, de garde et de terre, des isolateurs, des ferrures et du support ; - de la combinaison la plus défavorable des charges extrêmes résultant des circonstances de vent et de température déterminées ci-après. Le vent souffle dans la direction horizontale la plus défavorable dans les conditions suivantes : - à la température de +15°C avec sa force maximale normale ou exceptionnelle ; - à la température de -15°C avec une force réduite. » Ces valeurs varient en fonction de la situation géographiques et des conditions climatiques. Nous calculons donc l’angle d’inclinaison « θ » et le poids équivalent « p équ » (dans les plans des conducteurs) pour les deux hypothèses via les formules 11.7 et 11.8 qui suivent. Effort du vent : F = c . q . A [N/m] (11.7) Dans cette équation, « c » est le coefficient aérodynamique d’ensemble dans la direction du vent, « A » la surface en m 2 des pleins que l’élément présente au vent, perpendiculairement à la direction dans laquelle il souffle et « q » est la pression dynamique (en pascal). Cette dernière se déduit de la pression dynamique de base, « q b », donnée, en fonction de la vitesse du vent (fonction de la hauteur au-dessus du sol), dans le tableau 6.3. Elle se calcule par la formule : q b = aV 2 /2g, où « a » représente le poids spécifique de l’air (1,2 kg/m 3 ) ; « V » est la vitesse du vent (en m/s) et « g » est l’accélération de la pesanteur (9,81 m/s 2 ). L’équation 6.11 peut se réécrire, dans le cas des lignes, « F = C x . q . d », où ‘C x ’ est le coefficient de traînée du câble et ‘d’, son diamètre. Pour les conducteurs actifs, de garde et de terre, la hauteur à prendre en considération est la hauteur du point d’attache aux isolateurs ou au support. La pression dynamique « q » se déduit de « q b » par l ‘application d’un facteur correctif : q = f c . q b . Les valeurs de ce facteur « f c » sont les suivantes : Pour le calcul de l’effort du vent sur les supports, traverses, isolateurs : - 0,8 pour le vent horizontal maximum normal ; - 1,6 pour le vent horizontal maximum exceptionnel. Pour le calcul de l’effort du vent sur les conducteurs actif, de garde et de terre : - Pour les portées inférieures à 100 m : - 0,7 pour le vent horizontal normal ; - 1,4 pour le vent horizontal exceptionnel. - Pour les portées supérieures à 100 m : - 0,5 pour le vent horizontal normal ; - 1 pour le vent horizontal exceptionnel. Préparé et animé par M. Said BELALI 107 Transport et Distribution de l'Énergie Electrique – Manuel de travaux pratiques Hauteur au-dessus du sol [m] Vitesse du vent [m/s] Pression dynamique de base (q b ) [Pa] Jusque 25 35 750 De 25 à 50 36,6 800 De 50 à 75 37,27 850 De 75 à 100 38,36 900 De 100 à 125 39,41 950 De 125 à 150 40,43 1000 De 150 à 175 41,43 1050 De 175 à 200 42,21 1100 Tableau 11.3 : Vitesse du vent et pression dynamiqueen fct de la hauteur En écrivant les équations d’équilibre projetées, aux extrémités du câble, nous obtenons (cfr. figure 6.3) : Selon X : p cos(φ) + F sin(φ) = p équ Selon Y : p sin(φ) = F cos(φ) ce qui donne, finalement : φ = arctg p F et p équ = p cos(φ) + F sin(φ) (11.9) Remarque : En Belgique, les surcharges de givre ou de neige ne sont pas à considérer. II.4. Portée critique et choix de la constante « a » Pour chaque type de conducteur, il existe une portée critique en dessous de laquelle l'hypothèse hiver sera plus défavorable, tandis qu'au dessus ce sera l'hypothèse été qui conduira aux contraintes les plus élevées. Cette portée critique se calcule à l'aide de l'équation d'état (dite de Blondel) en exprimant que les tensions dans le conducteur doivent être égales pour les deux hypothèses en utilisant la tension maximale admissible, c'est-à-dire un tiers de la tension de rupture. Nous avons alors : ( ) 2 hiver , équ 2 été , équ 2 MAX hiver été C p p T 24 P − ⋅ θ − θ ⋅ α ⋅ = [m] (11.10) avec T MAX = 1/3 T RUPTURE . Figure 11.5 : Efforts appliqués Préparé et animé par M. Said BELALI 108 II.5. Compléments de théorie … Résistance en courant continu en fonction de la température : La résistance linéique en courant continu en fonction de la température est donnée par la formule : [ ] ) 20 ( 1 ) 20 ( ) ( − ⋅ + ⋅ ° = θ α θ C R R DC DC [Ω/km], où ‘α’ est le coefficient d’accroissement de la résistivité de l’aluminium en fonction de la température (α = 4.10 -3 °C -1 ), ‘R DC ’ (20°C) la résistance en courant continu, donnée par le constructeur, et ‘θ’ la température en °C. Résistance en courant alternatif en fonction de la température : En courant alternatif, la résistance linéique est fonction de la température et de la fréquence (effet pelliculaire). Elle est proportionnelle 11 à la résistance en courant continu : R AC = K.R DC où le coefficient de proportionnalité ‘K’ est donné par le tableau suivant, en fonction du facteur DC R f x µ ⋅ ⋅ ⋅ = −2 10 013246 , 5 avec ‘f’ la fréquence à laquelle nous voulons calculer, ‘R AC ’, ‘µ’ la perméabilité magnétique relative du matériau (en pratique égale à l’unité sauf pour les matériaux ferromagnétiques) et ‘R DC ’ la résistance en courant continu à la température à laquelle nous voulons calculer ‘R AC ’. Tableau 6.16 : Facteur de prop. entre R DC et R AC , en fct de la fréquence (z) 11 ‘Standard Handbook for Electrical Engineers’, D. G. Fink & H. W. Beaty, 12 th Edition, McGraw-Hill, 1987 Préparé et animé par M. Said BELALI 109 a) Echauffement des conducteurs en régime permanent A chaque température d’équilibre du conducteur correspond une charge bien définie. L’équation donnant l’intensité du courant en fonction de différents paramètres est la suivante pour un conducteur torsadé : R W W W i I R C − + = ) ( 2 θ , où R est la résistance en courant alternatif à la température d’équilibre θ 2 et W C , W R , W I sont donnés par les formules : 448 , 0 1 2 ) ( ) ( 55 , 8 d v W c ⋅ ⋅ − ⋅ = θ θ [échange par convection] ; ) ( 4 1 4 2 θ θ π − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = d S E W R [échange par rayonnement] ; S I W d A W ⋅ ⋅ = [apport de l’ensoleillement], avec i : intensité du courant traversant le conducteur [A] ; θ 1 : température ambiante [K] ; R : résistance linéique en courant alternatif du conducteur à la température θ 2 [Ω/m] ; θ 2 : température finale du conducteur [K] ; v : vitesse du vent [m/s] ; d : diamètre du conducteur [m] ; S : constante de Stefan (5,7.10 -8 W/m 2 ) ; A : coefficient d’absorption solaire ; W S : intensité des radiations solaires [W/m2] ; E : pouvoir émissif du conducteur par rapport à un corps noir. b) Echauffement des conducteurs en régime de surcharge temporaire L’équation permettant d’étudier les surcharges temporaires s’écrit : 2 i R W W W dt d Sec C I R C ⋅ = − + + ⋅ ⋅ ⋅ θ ρ où différents termes ont déjà été définis en a), et où ‘ρ’ est la masse volumique du conducteur, en kg/m 3 , ‘C’ la chaleur spécifique, en J/kg.°C, et ‘Sec’ la section du conducteur, en m 2 . Préparé et animé par M. Said BELALI 110 EXERCICE 1 : Calculer la force électromotrice (f.e.m) induite par un flux sinusoïdal d’induction B= 4 T à la fréquence de 50Hz par une bobine de 100 spires à travers un circuit magnétique de section 25 cm 2 . EXERCICE 2 : Soit un transformateur ayant les caractéristiques suivantes : 50 KVA, 50Hz, R 1 = 30Ω, R 2 = 0,1Ω L’essai à vide du transformateur sous tension nominale a donné : U 1 = 5000V ; U 20 = 232V ; I 10 = 0,5 A ; P 10 = 400W Calculer : 1) Le rapport de transformation 2) La chute de tension relative 3) Les pertes dans le fer 4) Le facteur de puissance à vide EXERCICE 3 : Sur la plaque signalétique d’un transformateur on lit les indications suivantes : U 1 = 220V ; U 20 = 600V ; S= 6KVA Le courant à vide est égale à 4% du courant nominal et la chute de tension relative en charge est de 2,5%. Calculer : 1) Le rapport de transformation 2) Les courants primaires et secondaires 3) Le courant absorbé à vide 4) La tension U 2 en charge Préparé et animé par M. Said BELALI 111 Chapitre 12 : EXERCICES ET RAPPELS 11 EXERCICE 4 : Sur la plaque signalétique d’un transformateur on lit les indications suivantes : 3000/220V ; U 20 = 600V ; S 2 = 12KVA L’essai à vide sous U 1N à donné : P 10 = 300W et l’essai en court circuit à I 2N a donné P 1CC = 400W Calculer : 1) Le rapport de transformation 2) Le courant secondaire nominal 3) Le courant primaire 4) Le rendement du transformateur a) Si cos ρ =1 b) Si cos ρ =0,7 EXERCICE 5 : Un transformateur supposé parfait comporte 6000 spires au primaire et 500 au secondaire. Le primaire est alimenté par une tension alternative de 48V, 400Hz ; le secondaire alimente une bobine d’inductance L=0,05H et de résistance R= 100Ω. Calculer : 1) La tension au secondaire U 2 2) L’intensité du courant secondaire I 2 3) L’intensité dans le primaire EXERCICE 6 : On veut améliorer le cos ρ de 0,7 à 0,8 d’une installation consommant 50KW sous une tension de 380V de fréquence 50 Hz. Calculer la capacité du condensateur nécessaire et les intensités demandées avec et sans condensateur. Préparé et animé par M. Said BELALI 112 EXERCICE 7 : Un moteur bipolaire absorbe un courant de 40A sous une tension U=220V lorsqu’il tourne à 1500tr/mn. Son induit comporte 800 conducteurs et sa résistance est de 0,5Ω. Calculer : 1) La f.c.e.m 2) Le flux sous un pole 3) La puissance électrique utile 4) Le couple moteur Préparé et animé par M. Said BELALI 113 NB: Les solutions des exercices et les démonstrations des formules seront abordes durant les jours de la formation BIBLIOGRAPHIE -Electrotechnique Industrielle, Séguier / Notelet, Lavoisier Tec et Doc -Electrotechnique2ème édition, T. Wildi , Presses de l'université de Laval -Electrotechnique 2ème édition, R.P.Bouchard / G. Olivier, presses internationales polytechniques (Québec) -Electricité : Voyage au cœur du système, Eyrolles -Génie électrique : du réseau au convertisseur, J.L. Coquerelle, Technip -«Électricité et Magnétisme »E. Purcell, Cours de Berkeley, Vol. 2 (Armand Collin) -«Introduction to Electromagnetism » D. Griffiths (Prentice Hall, Third Edition) -«Feynman Lectures on Physics, Volum II » Richard Feynman -«Machines électrique» Collection J.Niard Préparé et animé par M. Said BELALI 114