Electrostática y magnetismo

FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOSELECTROSTATICA Es el estudio de la carga en reposo. I ) CmQA ELECTRICA.- Es una cantidad escalar, fundamental y una propiedad de la materia, la que se adquiere por un proceso de cargar un cuerpo. En el afio 600 A.C. , Tales de Nileto y los griegos observaron que al frotar el ámbar o ebonita con trozo de piel, este adquiría la propiedad de atraer pedazos pequeños de papel o paja. Luego todos los cuerpos que presentaban estos fonóaenoe, lo llamaban oléctricos, del nombre ánbar (Elektron). En el afto 1600, W. Gilbert inventó el Electroscopio y propuso que la tierra se comportaba c o b o un imán. En el año 1750, B.Franfclin, estableció dos tipos de carga positiva (+) y negativa (-). Enunció el principio de conservación de la carga eléctrica en un sistema aislado: “La carga eléctrica total, no se crea, ni se destruye; permanece constante1 * Otra característica importante es: “La carga eléctrica que se halla en la naturaleza es un múltiplo de la carga del electrón, esto significa que la carga esta cuantizada”. El experimento de MilliXan lo comprobó. Q ■ ne , n : 1, 2r 3, 4, ...... . i HUMBERTO LEYVA NAVEKOS Los transportadores de la carga en los metales son los electrones libres. Debe entenderse c o b o carga neta, al exceso de carga, es decir, un cuerpo puede tener carga positiva y negativa; la suma algebraica de la carga da el valor de la carga. Ejemplo: FIG.l. CARGA NETA Un cuerpo que tiene carga neta diferente de cero, se llama comúnmente ión. En el experi­ mento del Efecto de Hall, se comprueba que la carga negativa y positiva se desplazan. Las unidades de la carga en el sistema CGS es: u.e.s (unidades elestrotática de carga) y en el sistema MKS es: Coulomb (c). 1 C ® 3 x 109 u e s La invariabilidad relativista, significa que la carga eléctrica es independiente del sistema de referencia desde el que se mide, lo que significa que una partícula cargada «s independiente de la velocidad. TISICA III TEQUIA T PROBLEMAS RESUELTOS I . l.- »B Q C » 8 Q PE CARGAR ÜM CUERPO. - Existen tres procesos, para cargar un cuerpo: . * ) Por Frotamiento«- Cuando la ebonita y la lana se ponen ‘ 'contacto por frotamiento, hay un paso espontánea de electrones de la lana a la ebonita, ésta adquiere, por lo tanto, un exceso de electrones y resulta cargada negativamente, mientras que la lana que ha perdido electrones se carga positivamente, fig.2. O © Ebonita Lana Seda Varilla de vidrio Varilla de Teflón Piel Las características de este proceso son: -Los cuerpos inicialmente se encuentran neutros (carga neta nula). -Hay transmisión de carga. -No hay creación de carga eléctrica. -La cantidad de carga es la misma en ambos cuerpos, pero de signo opuesto, al final del proceso. b) Por Contacto. - En este caso uno de los cuerpos tiene que cctar cargado, ya oca pocitivo o negativo. HUXBIRTO LKYVA NAVXS08 Cuando los cuerpos se ponen en contacto, el cuerpo cargado (inductor) atrae las cargas de signo opuesto y repele la de igual signo. Al producirse el contacto instantáneo, las cargas negativas pasan al inductor (si es positivo) y las cargas positivas se repelen y quedan en exceso en el cuerpo que se quiere cargar. FIG.3 Ejtt. F1G.3 (o) Co b o se puede observar el cuerpo queda cargado, de igual signo, que el inductor. c) Por inducción.- En este caso es necesario, que uno de los cuerpos este cargado (inductor), al acercarse al cuerpo, se atrae las cargas de signo opuesto y se repele las cargas de igual signo. A continuación, el cuerpo que se quiere cargar (inducido) se coloca a tierra y las cargas negativas van a tierra, si el inductor es negativo. Ascienden cargas negativas, si el inductor tiene cargas de signo positivo. Al final el cuerpo se carga de signo opuesto al inductor. 4 FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS FIG.4 Co ) { ■ A d u c t o r (c ) ( o) o 1.2.-DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGAS. Según las dimensiones del cuerpo que se considere, la carga eléctrica puede distribuirse, de tres maneras: (a) DENSIDAD LINEAL DE c a r g a s .- Cuando las dimensiones de longitud es muchísimo mayor que las otras dimensiones, entonces, se define la densidad lineal de carga: Fío. 5 o / X H (b) DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA.- Se define cuando la superficie del cuerpo es predo­ minante y en ella se deposita la carga. I.1VVA MAVHROS PXC.6 6 *-í <5-do “ dS (c) DEV8ZDAD VOLUMETRICA DB CAROA. - Se define cuando la carga se distribuye en todo el volumen del cuerpo. p_ O T 6 p = dQ dV 6 FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS CARGA ELECTRICA I. - Una esfera maciza no conductora de radio a, con una cavidad esférica de radio b, cono la F1G. tiene una distribución de carga volumétrica:/,donde B es una constante. Hallar la carga que se encuentra en la esfera? 60LUCI0S.- CARGA VOLUMETRICAí/*« f l / r * Por definición: Q « J7 dV, para este caso Q - 4TB Ln (o/b) 2.- Una semiesfera hueca dieléctrica tiene una distribución de carga eléctrica <J(e) “ < 1 sene, donde?,está en (C/m2). Halle la carga total que se encuentra en la semiesfera hueca de radio a. SGLOCXOM.X Se tiene por definición: Q * Jcds — r « f < r (2* y di) Q « j f l ^ sene (2va sene) (ade) 7 HUMBERTO LBYVA NAVBROS Í Q < T #r r 2 a2 /2 tr/3 sen2e de o 3.- Una esfera maciza dieléctrica de radio a, tiene una distribución de carga volumétrica f * A/(t+ r) donde A es una constante. Halle la carga total. SOLUCION.Por definición: q . J/>dV - 4» r2 dr integrando: Q - 4ita ( rdr - £ d r + J ^ - )- Q « 4i r A [a2/2 - a + Ln (1+a) J 4.- Un anillo circular de radio a con una distribución lineal de carga X-\(i+cose), cono en la FIG. Hallar la carga total del anillo. SOLUCION.- •ISICA 121 TEORIA Y PROBLEMAS RBSUSLT03 integrando: q - 2iaX. 5.- Dos partículas de cargas q í y q, (positivas) están separadas por cierta distancia d. Supongan que se transfiere cierta cantidad de carga q para y q2 de tal nodo que las cargas resultantes son (qx- q) y (q2+ q) • Para que valor de q, tendrá un valor máximo la fuerza de repulsión entre las partícu­ las? SOLUCION.sea la figura que representa las condicio­ nes del problema. Hallamos la fuerza entre las cargas dadas» F - K (q ^ q ) (q 2+q) / d 2 Derivando F con respecto a c j , para hallar el máximo: 57 - - q2 + qx -2g q Cqi - q 2 ) / 2 = o 6.-Qué carga Q adquirirla una esfera de cobre de radio R * 10 cm, si se consiguiera extraer de ella todos los electrones de 9 HUMBERTO LBYVA NAVEROS conducción? La rasa atómica dal cobre es A ■ 64 y su densidad 8.9 q/cc . la carga del el«ctr6n os 1.6 x 10”1’ C, la constante de Avogadro N4 ■ 6.02 x 1023 moléculas. Considerar que a cada átono de cobre corresponde un electrón de conducción. SOLUCION.Sea la carga total Qque hay en la esfera de radio R. Q * ne, donde n es el número de átonos que hay en la esfera. Como a cada átomo de cobre le corresponde un electrón de conducción, enton­ ces n también es el número de electrones. Este valor se halla asi: n ■ « m Na /A , donde m: masa de cobre, n *f±irR3 N, /A luego: Q - e4nR3/ N 4 /3A, reemplazando valores Q * 5.6 x 107 C 7.- Sobre un disco de radio R en el plano XY con centro en el origen, se tiene una distri­ bución superficial de cargad* a r2, donde a es una constante. Hallar la carga total sobre el disco. 10 FISICA IZI TEORIA T PROBLEMAS RESUELTOS SOLUCION.Tomamos un dS en elcual hay un dq. dq - < T ds q « j< Tds q - far* (2*r dr) - 2ua r rJ dr q - 2ira R4 /4 -iraR4 /2 8. - Un cilindro de radio b y longitud L, tiene una densidad de cargaP« K r3 , donde r es medida a lo largo del radio del cilindro. Hallar la carga total del cilindro (K es una dQ - f dV - f (2rrLdr) Q = » I Kr3 (2»rrLdr) - 11 HUMBXRTO LErVA NA.VBK03 Q - 2 r r J C L bs/5 9.- Una esfera de radio b, tiene un hueco esférico de radio a c o d o se nuestra en la figura. Si se tiene una densidad de carga T » K/r donde K es una constante, hallar la carga total que tiene la esfera. SOLUCION.Por definición: q - f ( E ) (4tr2dr) J K Q - 2ttK (b2 - a2) 10.- Se tiene un alambre de longitud L, que posee una distribución lineal de carga A»\(l+x). Hallar Xa carga total en el alambre. SOLUCION. X por definición: d<^/dl X,(l + x) dx dQ - Adl - 12 FISICA ZIZ TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS Q = X„L (1+|) 11.- El electrón en un átomo de hidrógeno se puede suponer “disperso” en todo el volumen atómico con una densidad f donde aa= 0.53 x 10“10 m. (a) Hallar la constante C de nodo que la carga total sea (-e). (b) Hallar la carga total de una esfera de radio a« j que corresponde al radio de la órbita del electrón. (c) Hallar el campo eléctrico en función de r? SOLUCION.(a) Por definición: dq »/’dv q ■ | ce-2r/a < > (4irr2 dr) - - e Si x = 2r/aQ (cambio de variable) LKYVA NAVXR08 ( | - (-«/2)[ - <x2 + ■ 2x + 2)e“x ]p (c) Se desarrollará en el capitulo de campo eléctrico, ver problema No.38 12.- Dos esferas conductoras idénticas, con cargas de signo opuesto, se atraen con una fuerza de o. 108N al estar separados 0.5 m. Las esferas se interconectan con un alambre conductor y a continuación se desconectan. En esta nueva situación se repelen con una fuerza de 0.036 N. ¿Cuáles eran las cargas iniciales en las es­ feras?. SOLUCION.Situación inicial: F - K^ 3 - = - 0 . 1 0 8 N K - 9 X 1 0 * N - m ’/C* d ■ 0 .5m q x q 2 - -3 x itf12 (1 ) Al conectarse entre ellas y por ser las esferasviéntúm/aov^a se distribuye por igual y la situación final es: 14 fZSICA ZZZ TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS G-^-O q2 - 10-12 q - 10"6 Co b o en cada esfera hay carga q y no ha habido pérdida de carga: q + q = qA + q2 2 x 10"® « qa + q2 .... (2) De (1) en (2) 6 qj ■ -i x 10 6 q2 = 3 x 10“6 q1 * 3 x lo-6 q2 = -1 X 10"6 6 1S HUMBERTO LBYVA NAVBROS PROBLEMAS PROPUESTOS 1*).- Halle la carga neta encerrada en cubo de 2m de arista, paralelos a los ejes y centrado en el origen, si la densidad de carga es: P — 50 x2 cos(iry/2) jic/m3 R: 84.9 ¿1 C 14.- Halle la carga encerrada en el volumen: 1 s r * 3m, 0 & 6 ± n/3 0 * 2 * 2m. dada la densidad de carga: r* ¿z sen2 0 ( c/m3 ) R: 4.91 C 15.- Dada una densidad de carga en coordenadas esféricas: f = — ( r /r . f * e"r/r* eos2 0 Halle las cantidades de carga en los volúmenes esféricos encerrados por r - 5 rG R: 6.24 p0 r„3 16.- Dos láminas infinitas de densidad de carga uniforme C = (10”9/6it) c /m 2 están localizados en Z*-5m y Y * -5m Halle la densidad de carga lineal uniforme. X , necesaria para producir el mismo valor de É en (4,2,2)m, si la carga lineal está localizada en Z=o,Y»o. 16 risica IZl TEORIA T FftOBLEN&S RESUELTOS R: 0.667 nC/m 17. - Una esfera Metálica se carga de una Máquina de electróforo con ayuda de una placa que, después de cada contacto con la esfera se vuelve a cargar de la máquina hasta la carga Q. Hallar la carga máxima de la esfera sikcarga del primer contacto es igual a q . U . " 0 9/<Q-«J> 18.- Un electrón se encuentra a una distancia de 2cm de un alambre muy largo y se acerca a él con una aceleración de 1.5xlOl3m/S2. ¿ cuál es la carga por unidad de longitud en el alambre 7 R: X- 9.5 x 10_ n C/m 19.- Un disco de radio a lleva una carga superficial por unidad de área < T , que varia con el radio r c o m o : $m < f 0r/a donde 0* y a son constantes. Cuál es la carga total en el disco. R: Q - 2 w<To *a/3 20.- Calculen la carga neta al interior de una superficie cerrada, si el flujo que sale de la superficie es : 5 x 104 R: Q - 4.4 X 10“7 C 17 nmiiu l *t ?* nntoi 21.- Un cilindro infinitamente largo de radio a lleva una carga unirorme por unidad de volumen - £ ( &>o) y está rodeado por un conductor conectado a tierra de radio b, coaxial al cilindro, según FIG. Hallar la carga por unidad de área del cilindro conductor conectado a tierra. 22. - Encontrar la carga total dentro de la siguiente distribución: carga lineal de longitud infinita prolóngandose en direc­ ción x con una distribución de densidad de carga: Xt: X 0 / ( 1 + (x/a)2J Q « X« *rr 23.- Hallar la carga total dentro de la siguiente distribución: La nube electró­ nica alrededor del núcleo Q cargado positivamente en el átomo de hidrógeno, es simplemente el modelo para la distribu­ ción simétrica esférica: f ( r ) - - Q e“2r/*/ira3 1» mía izi tott» y pinstrai n s o n n « 24.- Hallar la carga total en cada una de las siguientes distribuciones: a) Una carga volumétrica esférica simétrica distribuido en todo el espacio: P , . f. " m [l+r/m]3 b) Una lámina infinita con carga superficial y densidad: u W IIIÜ LSTVA mVEROS XI.- FUERZA ELECTRICA Cono cargas de igual signo, se repelen y de signo opuesto se atraen, entonces Ch. Coulomb, realizó pruebas en el laboratorio usando la balanza de torsión, para medir las fuerzas entre las cargas puntuales o puntiformes. 2.1.- CARGAS PUWTUALES.Son aquellas cuyas dimensiones espaciales son muy pequeñas en comparación con cualquier otra longitud pertinente al problema en consi­ deración. Sea 2 cuerpos cargados, de carga q y q' , separadas a una distancia r. Coulomb, enunció su Ley experimentalmente : “La interacción electrostática entre dos partículas cargadas es proporcional a sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y su dirección es según la recta que las une". FIG.8 q 9 A r Unidades: Cuando la carga se expresa en Couloabe, 1 < distancia en metros, la constante: K * 9 x 10 N -m 2 / c2 K - 1/4 r e o , donde <»: permitividad en el vac£os&BSi»tO £%■-»’ F IS IC A III TSOSXA T P IO IU N M M SO BI.TO S 2.2.- PRINCIPIO DE SUPERPOSICION.- La fuerza •xistente entre dos cargas, no se modifican por la presencia de una tercera carga. 2.3.- FUERZA PARA DMA DISTRIBUCION DISCRETA DE CJJtOA. Si se tiene nás de dos cargas puntuales, la fuerzas mutuas, se determinan, aplicando el principio de superposición. Por ser las fuerzas Fi concurrentes, la resultante se halla, sumando las componentes. FXC.9 F - r i * *2 * r3 + « • I 2.4.- F0BR2A PARA UVA DISTRIBUCION CONTINUA Dt CANOA. En este caso, se tiene que toaar un diferencial de carga dQ, hallar la fuerza entre ésta y la carga q. y después integrar. 21 VUMBgftTO L im BAVBX OS Q « Kj dp ■ k q 0 dQ/r2 * ■ * *io|(dQ/r2) 22 F I S IC A IZ I TCOailA T W lIttW I BBStJSUEOS FPBR1A BLECTEICA 1.- En los vértices de un triángulo equilátero de lado 1 se encuentran tres cargas puntuales ele signo negativo e igual magnitud. Que carga debe colocarse en el centroide del triángulo para que el sisteaa pemanezca estático. SOLUCION. Considerara« la condición de equilibrio para una de la« car­ g as <-q) situada en la parte inferior a la derecha y actúan las fuerzas: i rp, * - FjCO» 30*+ F2 eos 60*-f fj - O Se obtisne: Q - 0.577 q También se puede trabajar en el eje Y: r Fy ■ Pj sen 30°- Fsen 60* ■ 0 23 mwmn rn u m nmo* Q - 0.577 q 2.- Dos cargas da Q coulombs. están situada« en dos de los vértices opuestos de un cuadra­ do. Que cargas q sería necesario aftadir en los dos otros vértices para conseguir que la fuerza resultante sobre cada una de las cargas Q fuera nula. SOLUCION.< •i tu Sean las fuer­ zas: ? 1 , r2, í?, qu« actúan sobre la carga Q, que está en la par­ te inferior izquierda del cuadrado. o» K0 o* De Aquí se obtiene: q ■ -0.35 Q tanto para la componente en X,Y 3.- Ocho partículas todas ellas de carga q, están distribuidas en ángulos relativos de 2 ^ /8 en torno a un circulo de radio a. Se pone una partícula de carga Q en el eje del circulo y a una distancia b de su centro. Hallar la magnitud de la fuerza sobre Q. F IS IC A 211 TSORXA T P W T 1— R SIU B L 3 DS •OLUCXOM. - Usemos trts gráficos par« explicar los componentes de la fuerza sobre los ejes X,Y son nulas y sólo se superponen sobre el eje Z. Se observa que el valor de cada una de las fuerzas es: r - KqQ /[(•* + b2 )] se observa Fx • ry - 0 fZ 00-0 " **Qb/<*2 + ) Como son 8 cargas, la fuerza total es ? - 8 F t íc - 2qQb/r c# (a2 ♦ b2]3'2 ■ 29 I1 M IK T O L im 4. - Una carga q * 2 x 10~5 C es dividida en dos cargas puntiformes de valores q y q-q¿ colocado« a una distancia d-La una de la otra en el vacío. Se pide hallar las dos fracciones de la carga q que, en la situación arriba especificada; dan una fuerza de repulsión máxima y el valor de NUCIOS.t , é f-*, Dado el gráfi­ co, hállenos la fuerza entre las cargas. F “ K qt (q—q x )/d2 «para hallar el M áxim o, derivamos: q - 2*i - O # qa - q /2 y q - - q/2 - Se entiende que es un máximo porque 9 2 F/aqj2 < O reemplazando valoree: q l - q/2 - 2 X 10~5 C/2 - 10‘5 C y el valor de la foarsa: r - 0.9 H 21 risica t u n o t u t pio b l b i m utmiM 5.- Dos balones iguales llenos de helio, atados a una masa de 99 flotan en equilibrio, como se ve en la f ig. en cada balón hay una carga Q. Hallar el valor de Q. BOLOCIO*.- Se tiene los gráficos: *Q - V ' 1 Por estar el sistema en equilibrio en todo instante: I FX 2T eos 0 - mg » 0 - Fe • 0 ... ..... ( 1> y Fy ■ Tseno (2 > De (1) y (2) : Fm - mg Tge /2 ■ B9 19e • o m Q - 0.55 X IO*6 C 6.- Halle la densidad de carga que debe tomar un casquete del cual cuelga una esferita de masa m y carga q, como se muestra en la f ig., para que la tensión en el Hilo sea cero. n ■ i — n i i u m u m M •OLOCKM.- Por condición da equilibrio: I r « T - r,t - «g - o ...... Halleeos F ,: S,f . KfiU^ô cos# Kq (Î2*r sen#} (ad«) cos« cose (-sene de) - " ». integrando: qff/8«. Según el problema T - 0 en (1) - F« —mgm 0 -F. - + eg , -qff/8€„ - +mq luego i d * -8Coeg/q a# p i n a 2 XX n o t » i itotuai rssublsoc 7. - Cuatro cargas puntuales cada una de 2 0 * están »ituada« «n «1 «je X y en «1 «j* Y a i 4«. Hall« la fuerza sobre una carga puntual de 100i* situada en (0,0,3)b. SOLUCION.- Sea q * 20 qc ■ 100 pC Hi - q r - rt -A*)2 + (3)a -5 Para hallar la fuerza sobre q< J # por teoría: Pero las componentes en X , y se anulan: r•4r eos® - 4K — t* A ífí * « 100 x 10~* X 20 X 10~* T ta - 1.73 V X •. - Calcular la Puerca sobre la partícula ^ da la fig., suponiendo que X astá dada por X« X e (l-2 x) en dondeXo es constante. i SOLUCION.M a k ----- L------ * --- 4---* . 2$ HUMBERTO. XJCTVA KAVKtOS Toaaaos un diferencial de longitud dx, donde hay un diferencial de carga dQ y hallaaos la fuerza entre el dQ y integrando: 9.- Halle la fuerza sobre una carga puntual de 3 0 situada en (0,0,5)m debida a un cuadrado de 4a en el plano Z«0 entre X«- 2a y Y ■ « * 2a con una carga total de 500 >Uc distribuida uniforaemente. SOLUCION.- r ?t Hallando la densidad su­ perficial de carga: 7 , 3 - S P Q X 1P~* £ * 16 í (T- 31.25 x 10"6 C /m 2 Todas las coaponentes en X,Y se anulan y subsisten las coaponentes en el eje Z. 30 f ISICA III nOStXA T PROBLEMAS RESUELTOS r« k r > f • KJZ dx dv J (x^+ y*+ 25) *** Integrando: , a rt « 4.66 N K 10.- Dentro de un condensador plano cuyo campo tiene una intensidad igual a E, gira uniformemente una esferita de masa m y carga + q, suspendida de un hilo de longitud L. El ángulo de inclinación del hilo respecto a la vertical es $ . Hallar la tensión del hilo y la energía cinética de la esferita. •OLUCIOS.♦ .♦ jf íix * ± ___ Como no hay movimiento a lo largo del eje Y: fy-0 T eos o - Fe - mg « 0 T cose » Fe + mg « qB + ■ mg 31 lU N U R lO LKTVA T - (ag+gE)/co«e Kn «1 eje X : £ f - Pe U) r La fiwrgia cinética se dtflat: Be - y iv2 , usando (1) Be ■ { (r T san«) le ■ j - L T san3© 11.- Una partícula alfa ( « ) pasa rápidamente por «1 a isao centro de una aolécula de hidrógeno aoviéndose a lo largo de una recta perpendicular al eje internuclear . La distancia entre los núcleos es b, en que lugar de la trayectoria la partícula experiaenta aayor fuerza. Suponemos que los núcleos no se aueven durante al proceso del paso da la partícula. S O L O C I O N . - r»m i Se observa que los coaqponeates en al «ja Y, 2 se anulan por siaetría. F. - 2 F cea« - 2 K 2«(«)/d (i/d> . » PISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS F A- 4Ke2 x/((b/2)2 + x 2 ]3/2 Hallamos el maximo:|^= 0 X » ±b/27T 12.- Se tiene seis cargas iguales q colocadas en los vértices de un hexágono de lado L.Cuál es el valor de la carga Q,colocada en el centro,para que el sistema esté en equilibrio. SOLUCION.- F , X Hallemos la fuerza sobre la carga que está en la parte superior del hexágono y hay seis fuerzas. Las componentes en el eje X : £ fx = 0 > Fx a Fj + F2COS3 O 0 ♦ F3COS60° + F aCOS60* F5cos60®«0 (?) . Kq* <2U* KqQ L * 33 HUMB8ST0 IaBTVA KAVKROS Simplificando : Q = -1.83 q Si usamos el eje Y 2 Ü F y “ F2 sen30° + F3 sen60® +F4 +FQ sen60® + Fs sen60° * 0 simplificando: Q = - 1.83q 13.- Dos esferas idénticas de corchos de masa m y carga q, están suspendidas del mismo punto de dos cuerdas de longitud. L. Hallar el ángulo© que las cuerdas forman con la vertical una vez logrado el equilibrio. SOLDCIOW. - Hagamos dos gráficos: Cuando se hallan en equilibrio: donde r * 2 I sene tg© sen2© » Kq2 / 4 f i . 2 mg 34 FISICA 211 TEORIA. Y PROBLEMAS RESUELTOS Esta es una ecuación con una sola incógnita, que puede s e r s o l u c i o n a d a . 14 .- Dos esferitas de masa r o j y nu con cargas +q1 y +q2 respectivamente están unidas por un hilo que pasa a través de una polea inmóvil. Hallar la aceleración de las esferitas y la tensión del hilo, si todo el sistema es introducido en un campo electrostático homogéneo de intensidad E cuyas lineas de fuerzas están dirigidas verticalmente hacia abajo. Se desprecia la interacción entre las esferitas. SOLUCION.- T-qa E - m2g = m2 a «obre nl : (1) mig + ^ 1 ® l> e (1) *" ' i 3 ........... T ■ 2mx m2g +E{q1r a 2+q2m1)/(m1+ m2) y ( 2 ) : a =-(ra1-m 2) g + (qj-qjJE/(mj+m2) 35 HUMBERTO L2YVA NAVEROS 15. - Se lanza un electrón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 5000 N/C dirigido verticdlmente hacia arriba.La velocidad inicial del electrón es 107 m/s y forma un ángulo de 30° por encima de la horizontal* a) Hallar el tiempo requerido para que el electrón alcance su altura máxima. b) Calcular la elevación máxima que alcanza a partir de su posición inicial. c) Qué distancia horizontal recorre el electrón para alcanzar su nivel inicial. SOLUCION.a) La altura máxima se alcanza para: Vy«Vo.y +ayt Vy ■ Voy + ayt*o, ay ■ F/m ■ -eE/m Vo sene + (-eE/m)t^ * o reemplazando valoras - 0.57 x 10~8S b) Para hallar la altura máxima: Yi "v°y + % *y “ y1 »V0senetm+ h (-e E/m) t2m * reemplazando valores y 1 * 1.46 cm c) El alcance máximo lo consigue cuando t= 2 tm 36 risica xxx n o t u t BSOCUOf x2 - V ^ t - V0cose2t_ reemplazando valores X2 * 9.86 c» 16.- En un aparato de Millikan se observa que una gota de aceite cargada cae a través de una distancia de la» en 27.4 seg. en ausencia de un campo eléctrico externo.La misma gota permanece estacionaria en un campo de 2.37 x 10* N/C. ¿Cuántos electro­ nes en exceso ha adquirido la gota ? La viscosidad del aire es 1.8xl0~s N S/M2, La densidad del aceite es 800 Kq/m3 y la del aire es 1.30 Kg/m3 aOLOCIOM.*/s/s/sssys/ssssss/s ♦ | v | 1 lw 777/////// // //.'//’ sea F la fuerza de viscocldad del aire, Eai: empuje del aire. W: peso de la gota de aceite. Cuando no hay campo eléctrico se tiene: F + Ea. - W - O porque la velocidad permanece constante1 m fiir^rVj + f a i 4/3irr3g -/ac 4/3vr3g - 0 r - [9nVx/2(fac -/ai)g]* donde Vj - d/fc • 10'3/27.4 — 365 X 10"7 m/s roemplazando valores: 37 KUMU5RTO VTVJl MA VEROS 62 x 10“8 n Cuando existe campo eléctrico; para que la gota permanezca estacionaria es necesa­ rio: Eai + F# + W * 0 Eai + Fe « W Pai g^-irr3 + (Neje --y7ir3P . » c O w NeE = (Pac-Pai)g 4/31r r3 = 67r^rv, N « 6Tr^rv^ /eE * 2 17.- Dos partículas de cargas -2C y 5C se encuentran a una distancia de separación de 0.5 m. Dónde se podrá poner una tercera carga a lo largo de la línea que las une, para que no experimenten ninguna fuerza eléctrica?. 80LUCZ0N.Sea el gráfico del problema : 9o — 2C ¿ T k v f* o 0 9m 5c O Sobre la carga qQ actúan dos fuerzas cuyo módulos son iguales y de sentido opuesto, para cumplir la condición del problema. 3« FISICA XII TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS I F ■ F2 + Fj ■ 0 Simplificando: 3X2 - 2x - 0.5 - 0 Resolviendo: x » 0#86 m 18. - Encuentre la fuerza sobre una carga puntua 1 de 30 pe situada en (0,0,5) m debida a un cuadrado de 4n en el plano 2=0 entre X- i 2m y Y= * * ± 2m con una carga total de 500 ^uc distribuida uniformemente. SOLUCION.y ¿ La densidad de carga será: * ** (T- 2 - 500 uc Los componentes de la fuerza ?, en el eje X, Y se anu­ lan por simetría. Sólo queda la componente en el eje Z. dO /s \ a r i m u h o letta n m o i 19.- Dos placas aetálicas paralelas de disen­ siones grandes coaparadas con su separación Halle la fuerza por unidad de área que ejerce una placa sobre otra. 8OLUCIOK.La fuerza que ejerce una pla­ ca sobre la otra está re­ lacionada con el campo eléc­ trico. Para ello toaenos un dF: dF « E dq - Jff/e•) (<Tds) f - ( f f 2 /e0)J. ds «<r2 3/e0 Luego: F/S -<7*/€o Reemplazando valores: F/S « (1<T5)2 /8.85 X 10“12 F/S « 11-3 N/a2 JO.- Una partícula de carga Q está en el eje de un lazocircular de radio a y que tiene una carga uniforae por unidad de longitudX. Hallar la fuerza total que actúa sobre Q. 40 FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS los componen­ tes de la fuerza en el eje X,Y se anula y sólo queda, la com­ ponente en el eje Z: dF, *»« dF eos 0 K F =— 2 ( A l ti | 2 K a J Xdl « KQ*b2ffa/ (a2 + b2)3/2 Fz « Qxba/2 Ce (a2 + b2)3/2 K 21.- Calculen la magnitud de la fuerza sobre la partícula Q, de la figura anterior, suponiendo esta vez que la carga por unidad de longitud x está dado por X = \ 0 sen (®/2 ) en donde X o es una constante. SOLUCION.En este caso el dF originado por el dq, tiene un componente horizontal en el plano XY y otro componente vertical en el eje Z. Luego; dFv « dF eos* « dF(b/r) dFH * dF sen* * dF(a/r) 41 HUMBBRTO LBYVA NAV8R0S La componente horizontal tiene dos componentes en el eje X e Y. FV a fv ■ Z W = Jsfiba j 5en «. d0 1 *3“(Ì) Fv=QXoba/rre<,(a2 + b2)3'2 Para dFHx y dFHy se hará uso de una vista superior. C >/V Y dFH: dFu H dFH cose * dFH sene Hx T (í) I K S f f i E ^ äj eos e sene Hx kOa2 Xo sen y cose de r3 í í Fh„ Hx « Qa2^oy3í6o(a2 + b2)3^2 ? H Hy sen ■ § ■sen e d e = 0 « - °-1 °° Í £ '5 Jo 2 + F 2 luego, la fuerza total rv 42 FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS fh = +fV T J „y = fh* F - > l pV - n e . c X ° b * ] ^ [ f 2 + b 2 ) ’’ 22.- Un anillo de alambre fino de radio R, es portador de una carga eléctrica q. En el centro del anillo se encuentra otra carga Q (q y Q son cargas del misno signo), siendo Q » q . Halle la fuerza conque el anillo se ensancha. SOLUCION.La fuerza so­ licitada está dada por la Ten­ sión T, como en todo instante se mantiene el equilibrio, se tiene Cosío A q se ha tomado en una porción de arco A l “ R Á a p a r a ángulos pequeños: sen(^)«^ luego:T . ......... <D 43 HUMBERTO LBYVA HAVSROS como: ...(2) R¿« De (2) en (1): 0> O X R A* T mK-; ---- * ------R*A« 4T6oR T 0 (q /ZJfR ) _ %Q 47TeoR 8V€oR* 23.* En los vértices de un hexágono regular se colocan cargas eléctricas iguales de valor (+q). Q u e carga habrá que colocar en el centro del hexágono, para que todo este sistema de cargas permanezca en equilibrio. SOLÜCIOB.- x Por condición de equilibrio: FX*F1 +F2cos30°+ F3c o s 60°+ FqCOs SO®- F5c o s 60° *0 Fy*F 2sen30°+ F3sen60*+ F4 + FQ sen60*+ F5sen60°»0 44 FISICA U! 1I 0U A T »nt! BSDKUOf Q»1.83q EX aitao valor se obtiene de Z f, - o 24.- Se tiene 4 cargas (-q), 2q, (-q) y q . ( de los cuales 3 están colocadas sobre laiinea de 1/4 « i e circulo de radio a, como se indica en la fig. Hallar la fuerza resultante actuando sobre la carga situada en el centro del semicírculo. SOLUCIOB.y Las cargas (q) , dan lugar a dos fuerzas cu­ yos ooaponentes en el eje X se anulan: £ Fx >0 25.- A una esfera de radio A maciza y una densidad volumétrica f constante, se le quita una esfera de radio (A/2), tal como se muestra en la fig. Calcular la fuerza que la esfera ejerce sobre una carga puntual positiva q^ que se encuentra a una distancia d del centro de la esfera. 13 wamMKto Lrrvm n m o s MUKZOi. Sta T e s t , la fuerza que ejerce completa, sobre la carga q0. la tsftra Fv: La fuerza que ejerce una esfera de radio <A/ 2) y que lleva una densidad de carga uniforae^. Luego la fuerza de la esfera incompleta es la suma de las fuerzas de las esferas, pero c o m o una de ellas es hueco, según el principio de superposición, restará a la fuerza Fesf, así: A (Fesf - Fh)i A i O * 0 - 4wA3 / >/3 Qf- 4*AV/24 y reemplazando en (1) risica iti boria t wntrnai usonioi Para d » iSSaht ií i 24 €*d K la solicitada o : 26. - Un sistema se conpone de un anillo de alambre fino de radio R cargado y de un hilo muy largo uniformemente cargado, dispues­ to en el eje del anillo de modo que uno da sus extremos coincide con el centro de éste. El anillo tiene una carga q. A la unidad de longitud del hilo le corresponde una carga X Hallar la fuerza de interacción entre el anillo y el hilo. En asta caso también las componentes da la fuerza en «1 eja X,Z, sa anulan, sóXo existe Xa componente en «1 aja Y. 4T w c t t o u r m Humos Fy * ■ JdFy « J dF coso “ ry - kq | Fy ■ kq> [ — — integrando y valorando: ry - *imi/R> ~ ít 27.- Un hilo *uy largo cargado uniformemente y situado en el eje de un circulo de radio R se apoya con uno de sus extremos en el centro del circulo. La carga del hilo por unidad de longitud es igual a X . Hallar el flujo del vector ^otravés del área del circulo. • o u c n a .- 4« FISICA III TEORIA T PROBLEMAS RESUELTOS Por definición de flujo: r dE.ds - - ■J r dE ds cose 0* j xXdx i. » ® 217K I I— yi— r dr a > » 2KTTX [V+ r ' 2JV* íí r» 0 = 2K TTX j yr r'dr' 0 XR 21TXR 4 iree 2 e0 28.- Dos bolas similares de masa M se cuelgan de hilos de seda de longitud 1 y llevan cargas similares q , cono se muestra en la fig. Supóngase que L » x. Hallar (a) la velocidad instantánea relativa (dx/dt) con que se acercan las bolas entre sí, si cada bola pierde carga a razón de (dq/dt) y X es la distancia de separación de equilibrio. SOLUCION.- 49 HUMBERTO LSYY* H W Z R 08 En equilibrio: X Fx * 0 Z Fy ■ 0 T sen 9 * Fe T eos e ■ mg cobo y!- -(¿) d* dt ¿ 3 Fe - mg tgfl , tg 0 * sen£ Fe ■ mg sen 0 L»X derivando con respecto al tiempo: H L \ 2 n€^ ®gq / dg \ \ dt / 50 FISICA IZI TEORIA T PROBLEMAS RESUELTOS PROPLBHAB PROPÜB8TQ8 29.-Cargas idénticas deq(c) están localizadas en las ocho esquinas de un cubo de lado 1 (a) . Demuestre que la fuerza de Coulomb sobre cada carga tiene una magnitud. H: 0.26Q2 /$>12 30.- Dos esferas idénticas pequeñas y conduc­ toras tienen cargas de 3 x 10~9 C y (-lxlO“9 C) respectivamente. Cuando se colocan sepa­ rados 3 cm.(a).¿Cuál es la fuerza entre ellas? (b) si se ponen en contacto y luego se separan 3 cm. ¿Cuál es la fuerza entre ellas? K: (a) -3xl0”5 N, (b) lxlO5 N 11.- Dos alambres paralelos infinitos tienen cargas uni-fornes de X , yXjfc/m). si la separación de los alambres es b, halle la fuerza por unidad de longitud de uno como resultado del otro. K: \ 3?.- Con qué fuerza interaccionarían dos bolas de cobre de 1 g de masa cada una , encontrándose a 1 m. de distancia una de otra, si la carga sumaria de todos los electrones en ellas se diferencian en 1 % de la carga sumaria de todos los núcleos: r - 2 x io15n 51 HUMBERTO LZYVA NAVSROS 3 3.- En los puntos que se definen por los radios vectores r 1 y r2 se encuentran dos cargas positivas qj y q2- Hallar la carga negativa q3 y el radio vector r3 del punto en el cual hay que ponerla, para que la fuerza que actúa sobre cada una de estas cargas sea igual a cero. = z ^152 i - _ ri /%>+ r ’ /5T + A 7 3 4.- Con que fuerza F se atraerán dos bolitas iguales de plomo, de radio r = L cm. situadas a la distancia R = * lm una de otra, si a cada átomo de la primera bolita se quita un electrón y todos estos electrones se trasladan a la segunda bolita ? . La masa atómica del plomo A - 207 y P* 11.3 g/ cm3 F* 4.38 X 1018 N 35.- Dos bolas de corcho, una de masa m y otra de masa 2m, están suspendidas de hilos de seda de longitud 1, como se indica en la FIG. Cada una tiene una carga q. Demuestre que su separación respecto del equilibrio d cetá dada por: d= (3 K q2 l/2mg) *^3 suponiendo que los ángulos^ y02 son pequeños« 36.- Diez cargas idénticas de 500 ¿íC cada una, están espaciadas igualmente alrededor de un círculo de radio 2 r a . Halle la fuerza 52 ruja m nouA t raoniHa ■iwan.ro« sobre una carga de (—20 jic) localizada en •1 eje, a 2b del plano del circulo I b . -79.5 <-£) H 37.- Una carga Q se coloca en cada unocfaiosdoa vértices opuestos de un cuadrado. Una carga q se coloca en cada uno de los otros vértices Si la fuerza eléctrica resul­ tante sobre Q es cero. CÓao están relacionadas q y Q. Rr Q * -2 »/? q 38 - Un cubo de arista a tiene una carga q en cada vértice. Demostrar que la magnitud de la fuerza resultante en cualquiera de esas cargas es: F - 0,213 q2 / eoa2 mM. 35 53 n— nmu u m n vn o s III.-_CAI?0 ILECTEICO - Es un vector, sirve para describir un sisteaa de cargas. - Cuando una carga eléctrica en una región del espacio experimenta una fuerza se 11asa campo eléctrico. Sea una carga Q y a una distancia r, queremos hallar el valor del campo eléctrico en P. PIG. 11 Colocados una carga de prueba q^ en P, con la condición que (q-»o), entonces hallamos la fuerza entre las cargas usando la ley* de Coulomb. ? -K r se define el campo eléctrico en P: E p ¡. « - - Lim «i-« Li» q-*o Lim q-*© _± q© K f t tt9/r2 ; qo ja ; r* „ r2 * , Es importante que qQ—* o (carga de prueba o testigo) para que no se produzca una nueva distribución de la carga Q y de lugar a un nuevo valor del campo eléctrico en p. *4 FISICA IZZ TSOUIA T PtOftUKU KSSUKLTOS Unidades: En el sistema M K S, si la fuerza esta' en Nevtons, y la carga en Coulomb, entonces el campo eléctrico se expresa en Nevton sobre Coulomb. [E] - «/C 3.1.- PRIMCXVXO DS SUPEA POSICION: También para el E se cumple el principio de superposición, es decir el canpo eléctrico en un punto debido a una carga, su valor no se altera por la presencia de otr* r-arga vecina, sino que se suma o se superpone al valor inicial. 3.2.- CAKPO ELECTRICO DEBIDO A UMA DI8TRI1DCI0M DI8CRETA DE CAROAfl: Se tiene un conjunto de cargas discretas qt, q,, ......... y queremos hallar el campo eléctrico en el punto p, que está situado a una distancia r,, r,, r,, ....... de las cargas dadas. En el punto p, se coloca la carga de prueba q^y se halla la fuerza que ejerce las cargas q. «obre qo, usando «1 principio de superposición,' HDNBBRTO LBTTA H U m O S- 3. - CAMPO ELECTRICO DEBIDO A DMA DISTRIBUCION COUTIHUA DB CARGA: Sea una carga Q, distribuida sobre un cuerpo y queremos hallar el campo eléctrico a una distancia de la carga en el punto P. Para ello tomamos un diferencial de carga y la distancia r al punto P, asi: FIG.12. 1 0 dO A o— r 3.4.“ LINEAS DB CAJKPO ELECTRICO O DE PUERZA: Son lineas imaginarias, continuos, excepto en las cargas puntiformes o en los puntos donde el É es nulo. Estas lineas nos dan la dirección del campo eléctrico, trazando una tangente a esta linea. Estas lineas se originan en cargas positivas y tsrainan «n carga« negativas. El número de lineas que se originan o terminan sobre una carga es proporcional al valor de dicha carga. Regiones donde la densidad de líneas (lineas por unidad de superficie) son grandes indicará que el valor del campo eléctrico es grande, es decir la densidad de líneas es directamente proporcional al valor del campo eléctrico. 5€ FISICA XII n o * ! * T WflHTJMI «SUELTOS Las líneas de campo eléctrico no se cortan, porque si no tendríamos en un punto, dos direcciones diferentes del campo, lo cual es imposible, debido & la unicidad del É en un punto. Bajo condiciones electrostáticas, las líneas de campo llegan o salen de la superficie de un conductor en forma perpendicular Ej. : FIG.13 LINEAS OE CAMPO ELECTRICO 3.5.- FLUJO DEL CAMPO EI^CTMCO: Hasta ahora, podemos hallar el campo eléctrico, visando la ley de coulomb, pero hay otra forma de hallarlo eapleanOo la ley de Gauss, para ello es necesario definir el flujo del campo eléctrico. Se tiene una región donde existe lineas de campo eléctrico, si colocamos una superficie perpen­ dicular a estas líneas, entonces definimos la densidad de líneas, es decir el nónero de líneas por unidad de superficie. FIG.14 37 HUMBERTO LEYVA NAVEROS E luego el flujo a través de la superficie es: s £ 0 = 5 líneas Ahora si la superficie (el vector) que la representa: § y el campo eléctrico, forman un ángulo: 0 entonces el flujo se define^como la proyección de é en la dirección del E, así: luego el flujo es: 0 ■ E s eos e por definición del producto escalar entre vectores, se tendrá: 0= S Pero cuando se tiene una superficie irregular, entonces el flujo se define de la siguiente forma: FISICA XIX TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS Sea una superficie cerrada S, que se halla en una región donde hay un E, luego se divide en franjas la superficie dada y se obtiene los vectores superficie & s1# a S2, f • • • • • • Se define el flujo a través de cada una de estas superficies: E. A s t El flujo total a través de la superf icie cerrada S, será: ” » d>» I E. A S, í i Ahora como el vector superficie tiene que ser perpendicular a la superficie que representa, entonces hay que tender al limite a la superficie: < í > * Lim £ E .Asi ASj-0 El simbolismo < ^ > s, significa que la integral se extienda a toda la superficie cerrada. Como ejemplo hallemos el flujo neto que atraviesa un cilindro cuando su eje es paralelo a la dirección de E (uniforme) . 59 ■wmu lstva nvnos e FIG. 16 FLUJO A TRAVES DE UN CILINDRO E. dS + 1 E. d Sj + < t > « J E dS 1 eos o° + eos 180o* E. d S3 * E dS2 eos 90° +|E dS3 S3 integrando y sabiendo Sj " 00-0 ES1 + 0 - ES3 Es decir el nismo número de líneas que ingresa« es el que sale,üc*pu«s lo relacionaremos con el hecho, de que no existe carga alguna encerrada por la superficie S. 3.6.-PLUJO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL: Queremos hallar el núnero de líneas que salen o llegan a una carga puntual. Para ello, tomamos una superficie S, de radio r, que encierra la carga puntual q (positiva). FISICA IXZ «ORIA T PW H U M I «SUELTO« Hállenos el nú­ mero de líneas (flujo) que atraviesan la superficie ds d $ - E.d s Para hallar el flujo total a través de s, ínt«grasos. < J >- ^í. ds > | I d S oomtf - E s - ‘« p - > (4W '*> se ha usado el valor del E debido a una carga puntual a una distancia r Esto significa, que flujo es proporcional a la carga encerrada. El flujo es independiente del radio de la esfera. El flujo eléctrico a través de varias esferas concéntricas, en cuyo centro está la carga, es el nisso. Si el flujo es positivo, significa que la carga encerrada es positiva, si el flujo es negativo, la carga encerrada es negativa. €X ■UNSBKTO LSTVA U 7 KXOI 3.7«- LKY DB OAUSS Sirve para hallar el campo E. Debe cumplir cierta condición en la distribu­ ción simétrica de carga. Definiremos el concepto de ángule sólido: Es el espacio comprendido superficie cónica. dentro de una (a) Consideramos una superficie esférica de radio R y que subtiende un ángulo sólido í¿ , l u e g o : FTG . 18 P*ta t i n a « 4T I S: intercepción del cono, con la superficie esférica. b) Ahora si consideramos un diferencial de superficie ds: fig.19 •ISICA XIX TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS c) Si Xa superficie es ob¿. '»a: fig.20 T - , ófi . i 'S^ ds * * ds eos B dJl = t e s a s » Luego consideremos una carga puntual q, ence­ rrada por una superficie S arbitraria, hállenos el flujo a través de esta superficie; FIG.21 0 - f B É.ds < j >* *0 ( __ L_ 4 V C, ds eos 0 ds cose ■ «i c-*e r. — Por definición (c) de ángulo sólido ósi ' « 4TTC. <«*> TO M SSU O LSYV A U V IIO S Ahora, si la carga q no esta encerrada por S, hallemos el flujo a través de S, en fomna cualitativa, si se desea cuantitativamente ver Bibliografía. FIG.22 Se observa que el cono que subtiende el ánqulo sólidoifiintercepta a la superficie S en dsltds2 Para S} : díj (i-«j ) / ó S , cptflU\ -9 ,^ . <*i m * r T 7 ~ (— í*-3 ) " « n r ,<A’ -n-■ ^ ¡ 7 ‘ •"'’■tt P.ra S2: O03- E f. dS, ^ , dS, co«, rz s iC A n i T s o tu t r m u n i m n L iM Co b o m ve el flujo es nulo, esto significa que el nisao núaero de lineas que ingresa a la superficie s, a . través del cono, es el aisao que sale, es decir cuando la carga esta fuera de s, no contribuye al flujo total a través de S. Ahora, si teneaos las cargas q 1# q2, q3, q4, algunas encerradas por s y otras no, se tiene: FIC. 23.CARGAS DEMTBO Y F U » A DE Ut SUPERFICIE S. * - \ , *- d« - | E,.d« ♦ | «j.<¿ f E j .d í + J « ,.« ¿ 4 «I5 * -« * * f E6 .d S t ♦ ] i , . « * , + 0 «• I 0 ■ — *• + * 0+ ^ i-*0 + 0+ »• «• *• • Iq, (interioras) «i 1 í que es la Ley de Causa, que relaciona la carga encerrada q¿ con la soparficie cerrada S. HUMBERTO LBYVA NAVBR08 la Ley de Gauss, pr opiedades; permite deducir ciertas (a) En condiciones electrostáticas dentro de un conductor, el campo eléctrico es nulo. (b) La carga de un conductor reside en la superficie. (c) Las lineas de cantpo eléctrico son normales a la superficie del conductor. (d) La magnitud del E, inmediatamente fuera de la superficie del conductor esta relacio­ nada, con la densidad superficial de carga, así: E « $ f 6o 3.8.- CAMPO ELECTRICO EN UN CONDUCTOR Una carga en exceso que se deposita en un conductor aislado, se distribuye totalmente en su superficie exterior. Los metales y otros conductores tienen cargas que se mueven con libertad, si existiera un campo eléctrico £ en el conductor, entonces las cargas positivas se moverian en la dirección del E y si la carga es negativa se mueven en sentido contrario, asi:Fig 24 (a) FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS Cuando la carga positiva y negativa (condiciones electrostáticas) reultante sobre ellos es cero y por campo eléctrico es cero dentro del no se mueve la fuerza lo tanto el conductor. Sea un cuerpo que tiene una carga Q f O, queremos saber donde se distribuye esta carga. Tomemos una superficie gaussiana que está <lentro del conductor (SG) y apliquemos la Ley üe Gauss-. FIG.24 (b) Campo en un conductor. como se tiene condiciones electrostáticas, el campo eléctrico dentro del conductor es cero, K * 0 . E*: entonces : O » ---> q¿ ■ 0, donde £q¿ está dentro de la superficie qaussiana, como Q ^ O, entonces la única posibilidad es que la carga q, resida en la superficie del conductor y se tiene 67 «T— W T O L i m MA' FIG.25 Carga en un conductor 3.9.- CAMPO ELECTRICO ER LA CERCANIA DE OV CONDUCTOR Sabemos que la carga en un conductor se di «tribuye »n la superficie por lo -tanto un conductor en condiciones electrostáticas tiene distribución superficial de carga *. c FXG.26 Caapo eléctrico debido a un conductor Toseaos una superficie gaussiana de forma cilindrica cuya base sea S, una de ellos está dentro (S1) y la otra (S¡) fuera del conductor y S 3 la superficie lateral. Aplicando Gaugs . FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS La primera integral es cero, porque el campo dentro del conductor es nulo, la segunda integral: La tercera integral es cero porque la dirección del campo eléctrico y la superficie ds3, son perpendiculares y su producto escalar es nulo. Por lo tanto: E S2 * q /e* la distribución del campo se indica en el gráfico. FIG.27 Distribución del campo en la su­ perficie de un conductor. £ DENTRO CAPA SUPERFICIAL FUERA 69 HUMBERTO LHYVA NAVEROS 3.10.-ESFUERZO ELECTRICO SOBRE LAS CARGAS DE IA 8DPERPICIB DE UN CONDUCTOR Las cargas que se hallan en la superficie están sometidas a fuerzas repulsivas debido a las otras cargas. Para hallar el esfuerzo eléctrico (fuerza por unidad de área) usaremos el valor medio del campo eléctrico El esfuerzo eléctrico será: 70 FISICA IZZ TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS CAKPO gLSCTBICO l.- La mitad de un cascarón esférico, no conductor de radio interior a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en su superficie interior. Hallar el 6 en el centro de curvatura? SOLUCION., El dQ, genera un campo eléc­ trico en el eje Z. Las compo­ nentes en el eje X, Y se anulan. KZ » ( T / 4€o , 0 "= Q/2TOL* luego: Ez = Q/ 8*re0 Q? , íT = E2 (-K) 2.- Halla el E resultante en el centro de un anillo dieléctrico de radio a, cuya mitad superior está cargado con (q/2) y la mitad inferior con (-q/2)« 71 HUMBERTO LEYVA NAVSROS SOLUCION.Por simetría las componen­ tes del campo eléctrico en el eje X se anu­ lan, tanto para la parte superior e in­ ferior. Sólo queda compo­ nente en el eje Y E « Ey C“J) dEy* Ey+ s dE sene sen 0 = ^ J X dI san 9 kX «y.,** Ey+ = KX a I a de (-cos0) sene 2KX o o sen© d 9 Debido a la carga negativa en el semianillo inferior se tiene el campo eléctrico total o resultante Ey^+ Ey_ « 2Ey+ porque Ey^. « Ey. E y = 2 E, = 2 ^ j Ey - ^ / i r e0 a expresando en función de la carga ( « 3/2 ) / ira , reemplazando; 72 FISICA IZX TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS (q/2) /no q Ey “ r e0o E - Ey < J ) 2 i r * e 0o * J.- Dentro de una esfera maciza no conductora de radio a, hay un campo eléctrico Eo radial de magnitud constante. Hallar la distri­ bución de carga para o<r<a. SOLUCION.Tomemos una sup e r f i c i e gaussiana de radio r y por simetría del problema usa­ mos la ley de Gauss. ds B0 (4irrJ) ■ 4 n r 3 / >/3 €o 4.- Un anillo circular tiene una carga X«XoS«f>0 . Halle el 2 en el centro del anillo, de radio a. 73 rom o u m nvuto* •o l o cio ».- Hallamos el campo eléctrico debido a la parte superior del anillo: Por simetría las componentes en el eje Y: i ? y g - Eys (-J) jEyf l -[dE sene = f KdQ J o* X se sene anulan y sólo existen la» componentes en el eje *y# = | KXdl^sene _ J(_j< X 0 sene) di sene Ey. * *y. K^x o j sen e (a de) sene * *o | sen2 e d 0 O / 8 € „a Para la parte inferior, se procede igualmente: ByL - | dE sene EYi ■ • K| sene * o / 8 € Qa Luego el campo total en el centro es: 74 F IS IC A Z II « O C IA T P ftO S L M U U SO TLXO S E E - Eys + Byi « 2 *o / 8 € t t a - * 0 / 4 e oa (-J) 5. - Hallar el ñ para una varilla de longitud infinita y¿uniforme a una distancia y de la varilla, coso se indica en la figura. 0OLOCICH.- Por simetría las componen­ te s d e l c a *p o en el eje X se anula. Ex * | dE Ey - sen o t * o co« eos a j dE t q usando; dq - Xd x x ■ y « , di « y m c 3« d Ey s K w/t Ey *UCA (y ^ w w j L d a } com a HUM&atSO LBTVA NAVBROS 6. - Hallar «1 E debido » un anillo de radio R y que posee una carga Q en un punto P, tal cono se indica en la FIGURA. SOLUCION.— Situando el anillo en el plano XZ Se puede deducir por simetría, xas componentes en X y Z se anulan. Ez Ex Ey Ey ■ j d E sene " 0 0 ■ « J dE eos e K cyse ■ KjlO cose . 0 dQ • - E - VQ / 4ff€o (R2+Y2)3/2 J -Hallar el E^para un plano de dimensiones muy grandes y de espesor despreciable y que posee una<runiforme. I* P IU C A IX X S M » I 11« ! W H I W i tW Situamos «X plano cargado en «1 plano XZ. También por simetría, se amalarán los componen* tes en el eje X, Z Ex dB sen s ■ O B y - Í dB eos e — C O M rds c cose p * KC r dr 2 JT rdr coee í1 m 1 w y f * * 4wCo <r/2 e o |# (r2 + y* )3/2 ñ C 2€ (j) 8.- Sea una esfera maciza no conductora de radio b, con tina cavidad esférica de radio a tiene una distribución uniforme de carga y su carga total es Q. Hallar el campo para todos los puntos del espacio. Para r*a — n do la ley da Causs. K.ds t. q/t, Esta superfi­ cie no encierra ninguna carga: q - o J ds e. - O -» E - O Para a * r * b, por simtrla de las lineas de campo eléctrico | f.ds — q/ € o Parcialmente la carga Q es encerrada, luego: r- 4/3f <b* - a4) 4/3 r (r3- a^r q - Q (r3 -e3> / (b3 - e3) Q <r3 -a3) / (b3-a3) €. 1 ( 4 » r*) - Q (r1 - a3)/6o (b3 - a3) B - Q (r3-a3) / e^or2 (b3-a3) Para: b * r , considerados otra superficie gauasians: 11 n iz a xxx im u t mniTot ^ K-de - q/ € o La nuera superficie, el encierra tota la ctryi Q. ^ l.a> * Q/ ¿ e * (é^r3) - g / * o K - Q/AWCor3 9. — Calcule el flujo por unidad de área, para una superficie que forma un Angulo de 43* con la dirección del caepo de una láaina infinita de carga superficie 1<T. SOLOCIOH.Por definición) INFINITA |/s-<r^r/46. 10.- Una esfera Metálica maciza de redio exterior a, con una cavidad esférica de radio b, tiene una carga puntual q en su centro coeo se vuestra en la figura. Hallar el flujo eléctrico, para (a) r < b , (b) b <r< a, (c) a< r. ■ U M uem o u m n n a o i SOLOCIGV. Por definición 6m flujo: (») r < b 0 - ^ E. di « If E ds ♦- f , -|£ « ♦ “ “W r * (b) b<r<a Í ÍS « /«• 0 -£t E.ds - O , por<^>« el caspo eléctrico dentro del conductor es cero E * O (c) a < r O - £ E.ds * f Eds - *-f ^ÍS - fe> {/ » ♦ - - f c 2 ■ ~ t 11.- Localice el punto o puntos donde el caapo eléctrico es cero para las cargas (-4q) y (+2q) que se encuentran separadas una distancia a. 80 n « ia x ii i w i i í t • o u czai -41 # Según el pro­ blema «1 punto P estará a la «Saredia. i - ** - 4*x ♦ 2a2 - O la única solución válida as : x - (2+v?) a * 3.41a 1 2 Hallar «1 caspo eléctrico en P para un disco de radio a y que tiene una distribución uniforme (c/r), tal como ae indica en la figura, el disco w t l en el plano XX. i q u c x q í .* ■meerro u m btuos Sólo queda la componente en el «je Y, las otras m anulan: Ex - Ez * C► Er' i-—-iw) | >r r<2 "r dr) r .J Ey J A y a 2 rr f r dr £»"“Jtreo J„ <ri+yi> _ 4 2 •o [Y ‘"(.a « • - ¿ V / * E 13.- Halle el E en el punto P, debido a una varilla finita de longitud Ly densidad de carga lineal*uniforme, tal como se indica en la figura. Maceaos pasar un sistema de coordenadas por el punto P, luego el campo tendrá dos componentes 12 fisica zìi noni a y problsm&s vsukltos no nulas, porqu« no hay simetria* Tomamos un dq, que produce un campo eléctrico en P. haremos cambio de variables: d * r sena dx = ,x » d cotgoc -d cosec2 a d o c { d C O » « « 2« dOOCOWC < S * c o itc *< X £. » ■ KV 4T€ * De igual forma para la componente Y: Ey = J dE d E sen* sena « “ K K x j - imoi i h (X corno:»mnotx - s mn a 3 cosa 1 - -eoaor 3 EX “ "ÌÌS5-ÌS*n0t2 " «*n a 3> Ey " <C° * * 2 + « » 0 C 3, 13 itmmo Lim m n m 14.- Una esfera de radio a contiene una carga un ifui— d» densidad PQ y esta rodeada por una concha esférica concéntrica de radio interno b > a y radio externo c, con una densidad de carga uniforme (~P0) Rallar el B para todos los puntos del espacio. Por la distribución de las lineas de campo y el vector superficie para cada superficie gaussiana se tendrá la facilidad de evaluar la integral: Para: (a) r* a r (b) a * r * b 64 rxsxc» zxx t t o B u t n n tn w issonsos ¿E. * « E (4T T r2) - fo 4/3 T T a3 / G 0 I - P e 3 / 3 e or* (c) b*r*c b E.ds, - — J«, * «o L a . superficie s3 encierra toda la carga hasta a y parte de la cargo (- fQ) , por olio úsanos la relación: - P«* 4/Í ttV c M > ’) Luego: í " 6« 4/5Í V - b3) >tj E.dS3 ■ J - £( «irr* )« E - R* 4/3* (r3 - b3 ) + ?o 4/3*a3 *---------- £ -------------r2 ^o (a3 + b3 - r3 ) / 3 C o ( < S ) c * r í = , < i <l ♦ <f f «•«* - f y - ^“ «0 4 e< 4»A / o«/»7 »«3 - P° 4/3* (c* - b1) 6o I ■ Po (iJ ♦ b1 - c3) / 3 Cor3 •5 ffOMBBRTO JM TW h n V B S tO S 15.- Un cilindro muy largo de radio b esta cargado no uniformenente con una carga volumétrica f * for3 (c/o3 ). Halle el campo eléctrico para todos los puntos del espacio. SOLOCZCM.Por la sime­ tría de la distribución de las lineas de campo, se puede usar la ley de Gauss« ^ E.ds - q/€c <a) r* b Sólo contribu­ ye la integral que correspon­ de a la superficie la­ teral, para las bas«s se anu­ lan B ds, (1) Como se tiene fno es uniforme, para hallar la carga encerrada ql f procedemos asi: ov 1 J J © qx - a n P 0 Lr5 / s .... (2 ) H P-ij!. q « [ Pdv « £ r 3 (2 TCrLdr) r F IS IC A X IZ A O S IA T PROBLEMAS UESWQLTOS De (2) en (1) : | Eds, - 2Tt P* L rs / 5 • » E (2 T I r L) ■ 2 T I Po L rs / 5 E ^or4 / 5 € o (b) b 4 r Para esta superficie gaussiana s 2 la carga encerrada es hasta el radio b, luego: q2 q2 - j pdv - Por3 (2TCrLdr) - 2 TI Poll^ /S «fe/ € o La integral cerrada, se reduce a una integral abierta, para la superficie lateral: E.ds2 - (2 T If t > Lb5 /5)/e0 E(2 T I rL) - 2 T t PoLb9 / » € © E - Poto* / 5 € or 16. - Las cargas puntuales (+q) y (-q) se sitúan a la distancia 21 una de otra.. Hallar el flujo del vector de la intensidad del campo eléctrico a través de un circulo de radio R. •7 Co b o el caspo eléctrico no es constante para diferentes puntos del circulo, tomaeos una superficie de longitud 2 *7 r' y ancho dr' y hallaeos el flujo que atraviesa esta superfi­ cie. d<|> » 2 E . d s ^ ^ ■ 2 [ E .d s t > 2 I E ds cose Se usa el factor dos, porque contribuyen al flujo. 0 - 2 (+q) y (-q) í (2nr* dr* cose > * ■ r'2 +12 cose* 1/r , r2 r is ic a k ii n o ta * y noauns r m b l im 17.- El caapo eléctrico en una región dada está expresado por Ex * 3x2 (V/b ) , Ey ■ Ez O. Hallar la carga que contien« un cubo de Ib de lado, si una de las caras está en el plano XY y la cara opuesta en Z - Ib 0 - ^ E . d s , co bo el caspo eléctrico tiene cosponente en X, sólo quedaran los productos escalares, para superficies que tienen direc­ ción X 0 - * » B.dSj ♦ I E.dS^ '•» . * - 3X2 í.ds, I f - jI«2 <My>- I 3X2 (íay) - í 3 (l)1 < * y - [ 3(0)* dy * » * u b sb o s 3 y], - 3 «B2 /C Para hallar la carga , •t ■UMBEMO LBTVA UVESOS ^ * q m q/Go e o 3 - , q 8 .8 5 m € o 0 x 1 0 -“ X 3 C q - 26.55X 10“12 C 18. - Una esfera conductora de radio tiene una cavidad central de radio Rj. En el centro de la cavidad hay una carga q (a) • Hallar la carga sobre la superficie externa e interna del conductor . (b) El campo eléctrico para todos los puntos del espacio. SOLUCION.— (a) Sea qi la carga en la superficie interna y q^en la superficie externa usando Gaussr Para la superficie S, que está en el conductor, donde E * O, luego: + * ✓€ ' O “ ° - -q 90 FISICA III T W T I T Bm uw Además, por ser un conductor, qu« según el problema, no t i m t carga: » - . _^ qi+q^-o (b) , q. - -q4 - q El caapo eléctrico para: ■J E - O r i E.dS3 -q/Co - E (4TE r2) * " ^/éTteor2 19.- Ona esfera de radio Rj tiane una cavidad central de radio R^. Una carga q esté uniformemente distribuida en su volumen. Hallar el c a ^ o eléctrico para todos los puntos del espacio MUKIOi.* BUMKKTO LEYV& MAVKSOS Debido a la distribución de lineas de caapo, la integral de la Ley de Gauss, puede ser fácilmente evaluada. (a) Para r< R2 ^E.dS - T7 - O Esta superficie no encierra ningún* carga, según el problena, luego: E-O (b) RjfcriRi »-A....... (1) ¿ E.dS2 *i j p ________ « ______ _ ______ ^ 4/3TIÍRJ3 - Rj3) 4/3* (r3 - Rj*) q'j - q <r3 - R,3) /(Rj3 - K,3) ' - 4 ^ ffr’ - V > (c) Para Rj * r - £ i 5 -“ » E (4nr2) E * »2 q^TTGor2 TISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS 20.- Se tiene un cilindro cargado sacizo de radio R y altura H, con densidad de carga f> uniforme. Hallar el campo eléctrico en P, sobre su eje. Tomamos un diferencial de carga, f igura: dq « P dv dq “ P A d y 1 según la Si lo relacionamos con la densidad de carga superficial suponiendo que dq está en un disco de radio R y espesor despreciable. dq - < TA ■ P A d y 1 < T = p dy1 Sabemos para un disco de radio R y densidad de carga o " , el campo en P a una distancia y es: 93 HtrWBBRTO LEYVA NAVBROS Para nuestro caso, se tiene: dEy integrando: Ey = 2€i Ey o [ pdy 2G0 1- <y-y'í fc2 + (y-y t y dyh— 2 gtWLdy' ___| /ir 2+ ( y - y 1) 2 H + / r 2+ ( y - H ) 2- / r 2+ y 2' 2C 0 j 21.- Un hilo uniformemente cargado que tiene una densidad 1 ineal de carga. Consideran­ do que el radio de redondeo R es considerablemente inferior a la longitud del hilo. Hallar el módulo del vector intensidad del campo eléctrico en el punto 0. SOLUCION.< « ) Los alambres < r A y*^B, dan lugar a los caapos d£. y dé2 que al integrar sus componentes en x e Y, se van anular. Ea x i + E2x (-i) 94 FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS Eiy (-J) + E2y(J>«0 Sólo Xa porción curva AB de radio R, contribuye con el campo en O. nn Ex « | dE cosa Ex [Xdl J R2 Kdq Kd< o cosa cosoc i r / » K X R ] cos<x da -52- Jo ! EX - X / 4TlGo R Ey = dE sena® M f t ,*/* ,w/t Kdq sen a s e n a d a - X/4ttGor 9 Eo * / ex2 + Ey2 5 3X y/2/ 4TZG oR Se puede obte­ ner por simetría, que la varillas A y C, dan lugar a componentes en el eje X, que se anulan y suman las com­ ponentes en el eje Y. E 2y Xdx I c o s a = KX r‘ ¡ f ~Rc° s e c 2a d o fc o s a R2t I + cotg2 <x) 95 HUMBERTO LBYVA NAV8R0S Se us6 : x dx r3 ■ E2y ® R cotg u -Rcosec2a du R3 + x3 k \/R De igual forma para Ejy-KX/R El campo en O a lo largo del eje Y será: Ahora la porción curva ABC, da lugar a una componente diferente de cero a lo largo del eje Y, sólo los componentes a lo largo del eje X, Ex * s j dE eos o Ey = |dE sen© = | J c— sen 0 ■ 1 Ey = p- di sen 0 * sen 0 de Ey. -KA [-cose ]" - ^ Para nuestro caso el campo en 0, debido a la porción curva ABC: By 96 F IS IC A XXX n o tu T U SU ELTO e Luego, en O: -o 22.- Una esfera de radio r tiene una densidad superficial de carga <T- á.r , donde 3 es un vector constante y r el radio vector de un punto da la esfera respecto a su centro. Hallar el vector da la intensidad del eléctrico an el centro de la esfera. caapo Cono la carqa está distribuída en la esfera,torneaos un dq asociada a un diferen­ cial da auparficie ds Y halleaos el diferencial de caapo que pro­ duce. S61o la componente en Y no se anula, pero ai loe coaponentes an X , - J <M «MIS - O *y É y , Mp - |di coa# (-J) - J '7 T - co» # - | - - - - - - ? - - - - - C0S* >• coa « d e - . - 7 ^ 1 " n fita« f Kf (t¥r r a m o u m n m o s cobo ^■ s ^■up - a r coa © a cos9 \ [ a r r c Co Os se e san© sen 2eo J r a . d© Ey.up . ar eos2« sene de 2 Go Jo Cuando G es mayor de TT/2 y menor deTt,el diferencial de carga que esta sobre la super­ ficie de la esfera, dan lugar al componente en el eje Y y los componentes en el «je X, se anulan. Además(T» a r cose y < T es negativo y da lugar a los componentes: 5 x in f * ( dE s e n e - o * Ey¿nf “ I dE cos® ("J ) integrando halla: haciendo el mismo proceso, se SVin* " ar/ 6 6 ° <“J> Por lo tanto el campo en el centro de la esfera es: E -ra 300 N nsxa ssx T w m t moniM 23.* Una carga puntual Q se coloca en el origen de un sÍ8t«M de coordenadas. Hallar el flujo eléctrico a través del casquete esférico que se muestra. SOLOCXOH. - V Por definicióñ de flujo del caspo eléctrico: < t > * (Q/2 Go) (1-cose ) 24.- Un cilindro no conductor de longitud infinita de radio«con una distribución uniforme de densidad de carga volumétrica p tiene una cavidad cilindrica coaxial de radio b. Hallar la densidad de carga lineal que debe haber en el eje del cilindro para el campo en el exterior del cilindro sea cero. •t ■ONB8KTO LETTA B flM I 80LOCXO«.- T _L S To m b o s una superficie gaussiana cilindrica de radio r y longitud L. Para r > a, hallemos el campo eléctrico en Ep, en P, debido al cilindro y el campo eléctrico en el mismo punto debido al alambre: E y Ep (2nr L) - Pnu^to») L Kp - P<• * - » * ) . / * 6or -I e (2nrL) - A l / 6 o J -- X/a nCo r Coso: E# - E x P(a2 - b*)/2G0 r\ m p (« 2 -b 2) * 25.- Una esfera metálica de radio a, tiene una densidad superficial de carga C. Hallar el campo eléctrico a una distancia b exterior a la superficie del metal. 100" F IS IC A ZXX 1S0BU T Cea»« IdereBoe o m sfrflcls 9 « M s i a M dt radio (*+b) y da C au M , por Xa distribución da l u Ü V M U óm caspo «14ctrico. ____ ¿E.ds - q / € o E[4 T i (a ♦ b)2] - ( T t^nm2) / € o 26.- El plano -X ♦ 3y - «I ■ 6 coatiene una distribución uniforme da car^fe c - 0.53 «c/i2 . Hall« «1 E tn el lado qoá contiena el origen. SOLBCXG*.- -(-yw sabesos el c u b o producido por sb p l a n o infinito: E-<T/2fco, para hallar la dirección, t e n e a o s que cuaplir al requisito del problema. Para ello, ha 1lasos: * Á5 x AC •"iJBiXCi 101 ■ i — B T r i ixra uTims ÁB - (O, 2, 1) , AC - (“6,0,1) A - (2,-6,12) / /Í8T Luego el caapo pedido es: E ( ff/2eo) (2. -6. 1 2 1 reemplazando valores: í - 30 (1, -3,6) fJ Á P (H/C) 27.- Hallar el B producido por un plano con una distribución uniforme de carga (Tr supo­ niendo que el plano está formado por una serie de filamentos de longitud infinita y de ancho dx. •OLOCXGH.-i « f El campo eléctrico creado por un alambre infinito a una distancia R esta dado por:E «X/ 2 € 0R3T (Ver Prob.5) * La Tira T, produce un campo en P: dE, coseJ + dE1 «ene (-1) A La Tira ^¿produce un campo en P: dEj cose J + dB, sene (i) 102 risica izx roo*xa t wnniai usoom Lu*go , sumando los coaponentes, se aaulta en el eje X: dE 2 dBj COS 9 J - 2 ( 2 | T 6 ( > H ) COS • J * x 4 adea&s: dq* -<T Ldx dq* • X L ( T L dx « X L , X * ( T dx reemplazando el valor de dÉ eos e J ; eos • á X ft ry [ #1 * t í ^ r«» J "¡F* " r«# J# ve. l E 2 6o i1 J n. a 14) 28.- Dado un É - 4xi + 2yJ <H/C) . Hallar «1 flujo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo que se indica en la figura, da lado la. ■i fiO&OCXOV.- S Por definición de flujo: l.dS dS1 + |,i.dSJ ♦I^.dSj +J|.ds4 +£*.<lSs S" f f.dSi *1 - Jo ♦ 2yJ) . (ldy) i - 4 J^i-dSj - £(4*1 + 2 (1) J ] .(Idx) J - 2 J.I-dS, - J'[4xi + 2 (?) J } -(Idx) i - 0 |^R.dS4 - £[4(0)1 + 2yJ] -(ldy) (-i) - 0 ( #í-dS5 - 0 4 x 1 ♦ 2 (0)J) . (Idx) (-J) - 0 Í-d£é - ¿ 4 x i + 2yJ) . (ldy) (-K) - 0 lu»go: < t > * 4 + 2 - 6 lineas. 29.- Carga en la forma de una hoja plana con densidad^ AQrffn2 «stá localizada en Z - -0.5 b . Una carga lineal uniforme deA- -6p*/a yace a lo largo del «je Y. ¿Qué flujo neto cruza la superf icie de un cubo Por definición de flujo: < * > - (M2) ♦ < T . (4))/fio * q /gc FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS < í > - [ (-6)(2) + <t>- 1 48 (40) (4 ) ] / 6 o /6o 30.- Un disco circular de 10 ande radio contiene una carga total de 10~*C. La densidad de carga superf icialffes directamente propor­ cional a la distancia r desde el centro del disco. Si r se expresa en en, obtenga el valor de la constante de proporcionalidad. ¿Cuánta carga está contenida en el círculo de 5 en de radio? SOLUCION.2 R = 10 en Q = l<f*c ( T * Kr Y (a) dq « crds 10_* » 2TTKR5 /3 K * 4.77 X lO’^C/cn* 9 s <b) Q2 ■ ffds » 2TTK r 2dr o o 105 ■ONUSTO LITTK nTZROt Qt - 1.25 X 10~f c 31.- Un cilindro infinitamente largo de radio a tiene una carga por upidad de voluaen P -f j ( y “ o » ) » donde . e es una constante positiva y r la distancia radial, (a) liallar la carga total dentro de la superficie gaussiana (b) Hallar e 1 ca^x> eléctrico al interior del cilindro. Toaeaos una superficie gaussiana de f o n a «le un cilindro de radio (r<a) y longitud L : dq -f dv ,r q q - (1/2 - r2/«2) (2TCr L dr) - TX Li? r2 (a2 - r2) / 2aa <b) Usando la Ley de Gauss: o i. dà - J» <# (r* e a wrt t ------*----------- * €o tu iiA ì IN p in a ni rmamiM r BSSO K LX O S E - Por <a2 - r2) / 4€^ a2 32.- La regite a<r<b, titiM una distribución volumétrica de carga i 1 - K/r# donde K es una constante. En el centro (r-0) se encuentra una carga puntual q. Calcular el valor de K para que el caapo eléctrico en dicha región sea constante en aagnitud, ver figura. soLOCioa. Mareaos uso de la ley de Canes: h* -“ f lP T I r * é r ] --------g ; ----------- - í. pare a<r<b E (íT tr2) Porque la superficie gausiana encierra la carga puntual* q y parte de Xa densidad da carga 1 ( inr^) — --- — - a ♦ 2if K ( ** -«* l a) * según condición del problema Ü — »• . para que E sea constante, derivando halla: UT HUMBERTO LBTVA NAVBROS simplificando: K « q/2TCa2 y el campo eléctrico para: a<r<b , E * q/4TTGoa2 33.- Dos cascarones esféricos de radio a y b concéntricos tienen cargas 4Q y - 2Q respectivamente. Halle el campo eléctri­ co para todos los puntos del espacio. SOLUCION.Usando la ley de Gauss, para cada región: (a) r <a no hay carga encerrada q « O Luego E “ o (b) a < r < b E (4Ttr2 ) E - - 4Q/G o Q/n£o r2 108 r is ic a n i no«» t n r n iM i m o n io t (c) ixr £ E.dS - (4Q - 2Q)/ C o E (4TI r2 ) E 2Q/ G o Q/2TtCo r2 34.- En cierta región del espacio el potencial eléctrico está dado por la siguiente función V » 40 j e 2 - BOy2 voltios. Hallar 2 en el punto (-2, -4, 6) 80USCI«.Los componentes dlel caapo eléctrico son: E Exi + EyJ + Ezk donde Ex._¿3£_ , E y — 3B/3r y Es - - »v/ d* Ex - -80x , Ey - -60y , Ez - 0 Ex -80 (-2) - 160 Ey -60 (-4) - 240 luego en ¿1) * E * 160 i + 240 J 35.- Los conponentes del caapo eléctrico para la figura son: Ex ■ b / x , Ey» Ez*0 «siendo b«800 N/C -a2 .Hallar (a) el flujo eléctrico que pasa a través del cubo (b) La carga dentro del cubo.Tóaese a* 0.10a 109 EUMBBKTO InSTTfc M VKBOS 0 - ¿ E.ds - j E.dSj i + t E.dS2 Las otras superficies no contribuyen al flujo, porque sus vectores superficies son perpendi­ culares al caapo eléctrico. 0 - [ 8001/27 dSx - ^ SOOv'a dS2 0 - e o o v ' T a ’«2 - 800*7 a2 800 a2 /a (^2-1 ) re— platando valores: 0 - L02 N-a3 /C (b) Para hallar la carga encerrada usaaos la Ley de Gauss: 0 - ^ E.dS - q / € o q q - 0 6 . - 1.02 M 8.85 x 10~12 - 9.02 x 10~u C C 36.- Una esfera aisladora sólida tiene una densidad volumétrica de carqa,f. Sea í el U n FISICA III TEORIA T PROBLEMAS RESUELTOS vector, desde el centro de la esfera hasta un punto general P, dentro de la aisaa esfera. (a) (b) Demuestre que Ép - P r / 36o. Se ha quitado una cavidad esférica de la esfera superior cono en la figura. Halle el campo E para puntos dentro de la cavidad, siendo á el vector que conecta el centro de la esfera con el centro de la cavidad. SOLOCIOH.- . . (a) Si no hubiera ca vidad, «1 campo en P debido a O: (b) Si sólo existiere la cavidad en el campo en P debido a o *- £o* - Pr* 3 6o r*; - Pf'/afio Ahora como es una cavidad, el campo se ha retirado: ■ i — mui L z m nmos Por el principio d« superposición: Pr Pr* Ep • Eo - Bo* ■ 5C # " 3C© (r - ?•) - Pa/ 3 G 0 3e 37.- (a) Ona carga puntiforme que está situada en el centro de un cubo de arista a. Cuál ep el valor de:^ ¿.d¿> en una cara del cubo. (b) La carga que se traslada a un vértice d pi cubo. Cuál es el valor del flujo de E a través de c/u de las caras del cubo? 80L0CXQM.El flujo que sale de la carga q es: q/Co, por razones de simetría, el f lujo que atra­ viesa una cara será: q/6 6 0 . El campo eléc­ trico para la* caras A, B y C son perpendicu­ lares a su vector super­ ficie. Luego el flujo en estas caras es nulo f- » r- — r' E.dA - E.dB - | E.dC - O 112 r P ifia IX I T liT I 1 iin n r .T o i Para las caras Pr R y N, las lineas de campo si las atraviesa y el ángulo que hace el caspo de esta carga q con estas caras es 0* , luego existe flujo. El flujo que sale de la carga q situada en el vértice es: <q/ e 0 ) / • q/t C o del total y pera las tres caras P, R y K le corresponde una tercera parte, es decir: 1/3 (q/ 8 6o) “ q/24€o 38.- El Electrón es un átomo de Hidrógeno se puede suponer ' ‘ disperso* en todo el volumen atóaico con una densidadr* c e ‘ 2r^ , donde a^* o. 53xl0*10 ■ . Hallar el caspo eléctrico en función de r. fOWCM.f f,B.dS E (4*1 r^) E (4 Ttr2) Osando la ley de Gauss: q/€. -. *.í .T ' , ¿K • § L ár IX» pogfcBHag. w w r m T Q g 39.- Una hoja infinita de material no conductor tiene un espesor b y una carga volumétrica p(c/m3 ) . Halle el 2 tanto en el interior como en el exterior de la hoja« conside­ rando que la hoja consta de la carga únicamente. R: (a) Pb/a€o , Px/ €o 40.- Un globo de radio R tiene una carga uniforme, cuya densidad volumétrica es/l Hallar el flujo del vector de la intensi­ dad del campo eléctrico a través de la sección del globo, formado por el plano distante rQ < R de su centro. R: TTpro (R2 -ro2)/ 2 ¿ o 41.- Una pieza plana de metal e* infinitamente larga y tiene un ancbo 2a, costo se indica en la figura, halle el campo eléctrico en el punto P. R: <T/1E6o X 42. - Teniendo en cuenta las doe distribuciones de carga uniforme; una carga laminar uniforme, de densidad*- -50nc/m2 en y ■ 2m y una carga lineal uniforme 0.2>*£/ m en Z > 2b ; y * • lm En qué puntos de la región será igual a cero? R : 114 r - (X, -2.273,2) ra r is ic a m T u tu t n to u n i n so n m 43.- Tres cargas positivas iguales a q están «situadas en los vértices de un triángulo equilátero. Los lados del triángulo son iguales a a. Encontrar la intensidad del campo eléctrico en el vértice de un triángulo regular que tiene como base este triángulo. E - q /«V «T l €oa2 1X5 IT.- POTIKXAI BLBCTtICO Hasta ahora, hemos determinado el campo eléc­ trico, usando la Ley de Coulomb y la Ley de Gauss, también se puede hallar usando una nueva cantidad escalar, llamada potencial eléctrico: V. 4*1.* 1VTMBAL COSTILXVKft DEL B f-ea una región del espacio, donde existe un campo eléctrico 2 . Tomemos d o s puntos P 4 y P 2 del espacio y dividamos una trayectoria cualquiera e n diferencíale» d e longitud di, ael: FIG.29 Integral curvilínea La integral curvilínea entre los dos puntoe dados es: A A Sea un campo eléctrico E - c y i * c x j , donde C es una constante. Hallar el valor de la integral curvilínea del É, entre los puntos P (1, 2) y Q (4, 6) según la trayectoria que se indica F IS IC A X IX n o t u T FIG.30.- Cálculo de la integral curvilínea. Trayectoria PQ. El di * dxi + dy j v . A , . f /X\ dy * j - dx E.dl o (C y í ♦ C » )| . (te 1 ♦ dy J) re y dx + c x dy r4 dy) +c | x i y a. ) c ! y ( j- '* - 12C + 10C - 22C considérenos una nueva trayectoria, tal coso se indica: 117 ■DMBBKXO LCTVA MAVEKOS [p B.dí «f^E.dí +fwE.ai “ - í (C y í + C x j) . (dx í) + » (C y 1 + c x 3) • (dy 3) ■ ■ C y d x + C x dy « J " r « - C | 2 dx + c|t 4 dy - 6C + 16C - 22C PIG.31.-CALCULO DE LA INTEGRAL CURVILINEA TRAYECTORIA PRQ. r o d í 2 i “ 5T 4 Se observa que el valor de la integral E.dl 22C lp Se puede considerar otra trayectoria y se encontrará el mismo resultado, esto significa que esta integral curvilínea es independiente de la trayectoria« entonces definimos la dife­ rencia de potencial entre los puntos P y Q asi: PQ 118 « vo - FISICA III TEORIA T PROBLEMAS RESUELTOS Donde el signo negativo, tiene el siguiente significado. Cuando la carga qo, se halla en una región donde existe un comeo É, entonces este ejerce una fuerza P sobre la carga, luego para desplazar la carga de P a Q, debemos hacer una fuerza (-F) , esta es la razón del signo negativo y se indica en la figura adjunta. vpo -Jj-i.di) - o PQ -• (— y dl qo/ * = X(-n .di - wPQ A. qo lr PQ f PQ > FIG.32. Definición de Diferencia de Potencial. V«Q es el trabajo por unidad de carga positiva efectuado al desplazar upa carga positiva qo desde P a Q en el campo E. 119 Rummo Lim nmoi Llamaaos a V*, la diferencia de potencial entre loe do» punios P y Q , Unidades: En el sistema H K S, ■e usa: Voltio (V) V Joules " Coulomb trgtos En el sistema C C S; se usa S t V ■:— ----- ' Sto'Cowimb la equivalencia es 1 s t V * 300 V 4 . a . - P O T E N C I A L C L B C T R I C O E N Ü * PDlfTO.- Para definir el potencial en un punto, se toma el punto P a una gran distancia ( < d) de toda carga y el potencial eléctrico Vp a esta distancia se da el valor de cero. (Se justificará más adelante). V “ 1“ 0 ' V Q - "o “ "a Entonces es el trabajo que debe hacer el agente exterior para mover la carga de prueba q0 del infinito al punto Q. 4.3.- DETISICXOM DE VOLTIO.Para trasladar una carga de un Coulomb entre dos puntos cuya diferencia de potencial es de un voltio se requiere un trabajo de un joule. 120 risica m noiu v 4 .4 .- SUPERFICIE EQUIPOTENCIALES.Es «1 lugar geométrico de los puntos de igual potencial,se llama superficie equipotencial. co «oV M Si VM V, - V , - - O, iirtnwm v. - v* y "m - o Esto significa« si V- - V. , que A ■ B (estados sobre el »ísmo punto) y «i A* B t estos puntos pertenecen a una superficie que está en un potencial, que es el Mismo para los puntos A y B. Si - O , significa que no se requiere^aVa mover una carga de prueba entre dos puntos cualquiera en una de estas superficies. Esto equivale a decir que el campo eléctrico es conservativo: é Éf.df * o La integral curvilínea del ? a lo largo de una trayectoria cerrada es cero. Esto significa que el trabajo realizado para llevar la carga de prueba ^ de A a B y después, el trabajo de Mj. para llevar de B a A f siguiendo cualquier otra trayectoria cumple lo siguiente: W»B + »M “ © 121 ■nomo Lim FIG. 33.Trabajo M t e t u n a c ar g an u iu i región de r M " entone«] f.dl ■ O y B i s perpendicular a di, donde di es une diferencial de la trayectoria y si ésta se halla sobre la superficie equipotencial, entonces las lineas de Caspo eléctrico son siempre perpendiculares a las superficies equipotenciales. Lf \ \ x' i / / / V t e - riC.34 . Lineas equipotenciales L. C. E.: Lineas de raspo Eléctrico L.E. : Lineas equipotenciales 122 risica xiz n o t u t n o n m 4.5.- POTB0CZAL BLSCTBXCO DEBIDO A O H C & M I namnkL Sea una carga puntual Q y dado un punto A, situado a una distancia rA de la carga, ha llaresos el potencial en A, FIG.35 Potencial debido a una carga puntual Toaamos dos puntos Ar B y hallamos la diferencia de potencial entre estos dos puntos». vu - v. - V . A y que corta ) consideramos un circulo de radio a la linea de caspo en C, luego: vw * v. * va “ <v. " vc Ve - -fV<*í •|Ai *4Í • - J c E dr eos 0* -C - f E U > * <*c " va ■ dr eos 90* -c U) inann lbtv* n m o s 9 VC -— 4 T U i “r . 1 - —re ] J coi» r# — • • p V f aI• ) “ O v. vc °oao rc - vc - ¿ r J i r - k l * «nevé “ rf c ■ vc Q " 4TCG«rA va En general el potencial debido a una carqa puntual, a una distancia r es: V <r) = --- 1 ---4T Ie Q r Luego, todos los circuios de radio r, represen­ taran lineas equipotenciales. El principio de superposición, aplica a potenciales. también se 4.C.-POTEMCXAL DEBIDO A CARGAS DISCRETAS.Sea un conjunto de cargas puntuales ql# q2, q, ...........se quiere hallar el potencial en el punto P. Searl f r2, r3.............. las distancias de las cargas qi# al punto P. 124 F IS IC A III S U B IA T M 9 0 S U »S EBSOELTOB FIG.36.- Potencial debido a cargas discretas. Kq, Kq, Kq, — ♦ --- = — + — L + ---* 4 . 7 . - P O T D C IX L DEBIDO COMTXETJA DE CARGA.- A UKX D IS T R IB O C IO * Sea un cuerpo que tiene una distribución de carga y se quiere hallar el potencial en el punto P. FIG.37.- Potencial débido a una distribución continua de carga. Se ton* un diferencial de carga y se halla el potencial de esta carga ‘puntual* a una distancia r. 119 LETTA W 4 . « . - ftBL&CXOV BWTRB EL P O T U C IftL ▼ T KX. CttfrO KLscrmico I. Al inicio de la teoría de potenciales, dijimos que a partir del potencial, se puede conocer el campo eléctrico, ahora lo haremos. Sea f (x, y, z) una función continua con sus derivadas parciales que existen: ¿X. dx , ál_ ay . ¿z Se define gradiente: »f Grad f i -2L +j da + i§ j 3* Es un vector que nos dice c o b o varia í, en la proximidad de un punto, otra forma de definir­ lo: es un vector en la dirección de la máxima pendiente y sentido ascendente y su módulo es la pendiente medida en aquella dirección. Se sabe dV 12< VM -E. di* f6 «- c > A - dV - - (EkÍ ♦ EyJ ♦ Exí) . ♦ áyj + éaí) FISICA XII nOftUL T PltOSLBIAS ftSSUKLTOS -jV ■ g g d b l♦ K , d t y ♦ Ivdl..... Co m o V (X, Y, Z) Ot < J V- dx ♦ 9f dy + 9< dz (2) De e‘ (1) y (2) se tiene: - - di F* - - !ojr * • E- — F ot Luego: ¿ 3V » W r 3V ; E ■ ■ ■S¡_,_ TST» " T T " £ - -vv 4.9.- DIFERENCIA DE POTENCIAL EVTKE PLACAS PARALELAS.Sea dos placas paralelas de dimensiones muy grandes, cargadas de signo opuestos y separados a una distancia d y el campo eléctrico entre las placas es uniforme E. FIG.38.- Diferencia de potencial entre placas paralelas. • muw m h a o u m n m o c Hallamos la diferencia de potencial entre la placa B y A siguiendo la trayectoria (1): VB - VA - VAB “ - I . ’ ? ’ír f* - i8- ( •- V*B - - | A E.dl - jR E.dl - ] # E.dl « VAB - - | Edl eos 180*-J Edl eos 9o' - i; Edl eos ' 180 A ,9 v KB * e I di - 0 4 * E Idi VM - E AF ♦ E SB - E (AR + SB) V AS * M Ahora si usamos la trayectoria (2), el resul­ tado es igual. En general cualquier trayectoria, siempre se puede descomponer el di en una dirección paralela y otra perpendicular al E y el resultado siempre- será el mismo. 4.10.- POTENCIAL DEBIDO A UM DIPOLO ELECTRICO .Sea dos cargas puntuales de igual valor y de signos opuestos, separados a una distancia a. Hallemos el potencial en el punto P, situado a 'una distancia r al punto medio entre las cargas. 128 n n e ft x ix i— n v FIG.W.- potencial debido a un dipolo eléctri­ co . vp - V* + v. Vp *p Haremos algunas aproximaciones r l - r2 a a cosa , r4 ra * r* vp - ^ r a c o * a ........ 1 1 ) usaremos Para hallar el campo eléctrico, coordenadas polares« mmi¿ 3V E* " ' _ E» " " 4 r frV »• derivando la expresión (1) se obtiene: Er ■ qa eos«/ 2s£o r3 K0 - qa sene/ 4r€*r* I» ■UKBOCXO LVTVA BAVERO S E - Et r ♦ Ef • El momento dipolar estático se define: P * qa 4.11.- EMERGIA POTENCIAL ELECTRICO.Tal costo se ve en un curso de Física I (mecánica), cuando un cuerpo de aasa m se encuentra en un campo gravitatorio, tiene energía potencial gravitatoria. Ahora« cuando una carga q, se coloca en una región donde existe un campo eléctrico, la carga tiene energía potencial eléctricat dedu­ ciremos el valor de esta energía. Primero traemos una carga q, desde el infinito hasta el punto (l) en ausencia de otras cargas, coso no existe campo eléctrico, entonces el trabajo es nulo (Wj * 0) Ahora traemos una segunda carga q en presencia de la carga q 4, entonces el trabajo realizado A A FIG.40.- Trabajo realizado en una región de E. 130 FISICA III TSORXA T PROBLEMAS USOELSOS W12 - f F‘ .dT - [<-F) .dr - f(-q2 E). dr - -qa (E.dr -q2|< ’Vv> -d ?" 1 * T 7 '* T T ' * )• < dxí + dz*> S--' + Í 7 - 0 «12 - < l jJ^1 ' - 02 ( V12 - V- » pero V j n- 0 Wll“ *2 V1 2"< J 2 4i re. r . , De igual manera se trae la carga q 3 en presencia de la carga qj y q2. 13? ■<— »,» HI LSTVm HkVKKOS "w.3 - - í <*U + *Í3> • * * - -Jr'M |«i . dr -\f2J . dr -f<Ij *2 - < * r - - - ll [ V * * » - * - *,fj- VV.Ir) I♦ r v M f f t - -[;■ * • ÍV • W 12,3 " *3 V 1S * ^3 V 23 j?v . « r A1 final se tiene la estructura. FIG.41. Estructura final de cargas discretas El trabajo total para formar la estructura de cargas es: » - « ! « « „ +*U .3■ q 3 V23 *^ v„ - ° + q3 V12 + A este trabajo se le denomina U : energía potencial electrostática. U *2 V 13 < 1 3 V23 Kf, Kq, < * 2 —•« + * * 3 —ril + * 1 3~ T rll V 12 ♦ * 3 u Luego una carga q, que se halla en una región isa FISICA III TBOftIA T PftOBUMAS USUKLIOS de campo eléctrico, donde el potencial es V, la energía potencial eléctrica de la carga es: U ’ q v Donde, U es independiente del orden de colocación de las cargas, es independiente del camino seguido por cada carga, depende de la disposición final de las cargas. Cuando U > 0, quiere decir que debe hacerse un trabajo para deshacer la estructura, alejando las cargas a distancias infinitas entre sí. Las fuerzas eléctricas que intervienen son de repulsión. Cuando U < O , quiere decir que tendría <?ie hacerse un trabajo negativo par** formar una estructura a partir de cargas que se encuentran colocadas al infinito. Las fuerzas eléctricas que intervienen son de atracción. 4.12.- RELACIONES ENERGETICAS EN UN CAMPO ELECTRICO.La energía total de una partícula cargada o de un ión de masa m y carga q, moviéndose en un cimpo eléctrico es: E - E* E = + O P ■ f FIG.42. Energía Total en una región de E* 133 . Ì.V»! * q -y- ♦ ,V2 Por el teorema d« trabajo y energia: t f "Al, V - q (Vj - V2) - q A V Entonces H ss el trabajo hecho sobre la partícula cargada al moverse desde Pj a Pr Si q > o, la carga gana energía cinética, si se ■ u a v « do punto« d* u y o r a nenor potencial (Vj >V2). Si q < 0, la carga gana energía cinética, si se nueve de puntos de señor a mayor potencial (Vt< V 2>- Definición de voltio: Es la diferencia de potencial a través de la cual la carga de un coulomb debe moverse para ganar una cantidad de energía igual a un joule. Electrón-Voltio (ev) : Es una unidad de energía, que es adquirida por una partícula de carga (e) al moverme a través d* una diferencia de potencial de un voltio. eV - (1.6021 X IO“19 C) (IV) - 1.6 X 10~1 9J U4 FISICA SII t n t u T 1.- Una pequefla esfera de 0.2 9 cuelga por medio de una cuerda entre dos placas paralelas separadas 5 cm. La carga sobre la esfera es de 6xl0~* C. Cuá.1 es Xa diferencia de potencial entre las placas si el bilo forma un ángulo de 10 * con la vertical. SOLUCION.*<r Por condicio­ nes de equilibrio: I Fx - 0 T sene-Fe * O ZPy - 0 T cose - mg * 0 T seno - q E T coso ■ mg E • mg tg • /q sabemos: V ■ E d ■ reemplazando valorei V» 2,180 voltios 2.- La diferencia de potencial entre- les dos placas paralelas es de* 10 0 v, la separación entre ellas es de 1 c ay su longitud es 2 cm. Se lanza un electrón con una velocidad de 107 m/s en dirección perpendicular al ca^x>. U S <c '••sr- HUMBERTO LZtVA KAVEK08 (a) Hallar su desviación transversal cuando emerge de las placas. (b) Si se coloca una pantalla a 0.50 m a la derecha del extremo de las placas. K qué posición sobre la pantalla llega el elec­ trón? SOLUCION.- (&) Usando las ecuaciones de la cinemática y dinámica, se tiene: L ■v o*t1 Fe * q E « na Y1 ■ f atí * V2ío£/mJ(C/V0)? Yj - qEL2/2mv£ “ i * 2ív/<s > / 2 m vi reemplazando valores: Yj * 3-52 x 10"3 jb (b) Según el gráfico V3 * Y, + Y2 El recorrido Y2 lo hace con velocidad constante, porque la aceleración de la gravedad no afecta b « v 0 « t, = v < > í L/Vo V y . * atx * a Í36 )= * ÍqE / m ) ( L / V © í risica m tmiA r BSSU SLYO S r— y U iw io v a lo re s : lu a y o : Ta - 0.174 s i ls - 0 . 1 7 9 ■ 3 Dos esferas concéntricas A y B de centro o, de radio R., y Rj, dividen el espacio en tres zonas. En la zona comprendida entre las dos esferas existe una densidad uniforse de carga eléctrica. En el exterior da B y en el interior de A, la densidad de carga es nula, (a) Halle el potencial en todo Primero hallemos el campo eléctrico para la *, tres regiones: Si r < Rj , ^í.di %{ € o no hay carga encerrada q » o HdS - 0 # K - O 197 rVJKBJULTO LSra Si Rj < r < ïï , Í fc.dÄj - q / € o ï I (4 r4) - P 4n ( i^-Rj V 6© X - p (r3 - R ^ I/ aC o*3 •1 R!<r . ^E.dSj - «/«© I (4 Tir3) - P 4 1 1 04* -R,1)/! € o E- P< R ^ - R ^ J / J « ^ Para hallar el potencial, por regiones: (a) r f c Rj luego , E Oîjj^-O; Vff,>-Mr).0 V (r) « V (Rj) - constante ( b ) Si Rj f cr 'vi^f I fM dV Rj - r I «V » - - ' i , \ f * I f (H-R j3) dr/i€.rf r— I B .d r - - r E 4 r vTrl - AÛn no ss cooooe V (R^) <•) Si ■,* r . [ -V - - f «, T L,dv " ■ l.“ ^ V(r) « V(Rj) * 139 ~ i j .... n u c a su Para r - * * ?(r) ■ o 1usgo V(Rj> - P f R* - J / 3C* R, rattplaundoVCRJ cu < — *: V(r) - P C R ? - R a a ) Pl»»-R»» 3C»R, 3«. pínf-njj f± ± 1 ir R, J ver) - 3 €#r -■ Nactsitaaoahallar VCR^), usaos la condición da frontera: V(r) •r *R, - V( r ) ' r “ R, ( R ^ r * R,) (r*R,) £ ■ £ * 1 9<»r I I t , . ¥ ,v .|.f JL Ü ] * rJ r»R , valorutfo as hallas v«^ p <w?-*ft r p 6 1 3 «• "*1 » » *, p»! «. t 2 3 C # R ,R t (R,-R,J t P<R?66. r Jj P(R,-flÜ v <*2> * 7 < R, ♦ R,R* ♦ R a ) ♦ 9 C • R| pR* 139 ______ V(*»' “ _ p « w 3S~ r l ----- ^ . + , H*|, V ( . i rJ n/tt J _ ™ , - V r »■■**» 5C, l 2«,N, J VÍRa) - P <R4* - *,*)/ 2 € o *a*r 4 * 1 . Í [ - L .* L 1 Ü ± [ J ..± M«1 1 * i 5C# 1 N| r Para V (r) - *■■•-:& tu v <*> - 7 7 * / *i { — --ir-i- ; «í f* \ 4.- En una región del espacio bay un potencial dado por V (r) * Vo e~*r/r en que u es una constante <a) Halle el campo eléctrico en un punto cualquiera dentro de la región (b) Halle la distribución de densidad de carqa que da lugar a un potencial de esta forma. maLocicm.Dado V - Vo e ^ / r , domda FISICA XXI TOTTI V EX UT ®v ‘ KT f m rr— V«« - 0 !«*♦ r** .»i»/* z»f— ] J*J Ü S . " !*»*“ Ex - - EX Ex - Vo Vo K '( )ì r.! D* igual f o n a para Sy, 1st f h ♦r > Ey - Vo • - jì „ __ al ! « • • » ) EZ * Vo • r> A A Liwqo: E - IBi ♦ EyJ ♦ E.k e - vo — r* E - Vo — ' (b) Usando la «cutclte 4m Poisson: V. ? - - P/C# B ■ - W y además v. [ - v. f J - - P /c . 141 HUKBERTO LEYVA MA VEROS operando, se obtiene: P€ 0u2Vo e”ur/r 5.- Una esfera conductora de radio R¿ tiene una cavidad central de radio R2. En el centro de la cavidad hay una carga (+q). Hallar el potencial para todo el espacio. SOLUCION. - _ ds. _ Por la distri­ bución de las lineas üe ca*po, usaremos Gauss: E <4 TC r2) - q / Ge E - q/ 4TtCor2 El potencial dV » -E.dr V | r ) « q / < TTCof C•* ) 142 FISICA III TEORIA Y PROBLEMAS RESUELTOS (b) Para R2 * r * R^ ^ E . d s 2 - -g- «o E ■ 0 , 1 wív ( í » , í dV « o v< « , > V(R2) - VtRj) = q/ATreoR^us^do ( 04) . c) Para r ¿ R2 E. ds - q/£o E(4TTr2) - q/e . E - q/4Tl€or2 El potencial: »(r) v ( r 2) (estera conductora) f V,,, f' dv » — I c d r U, 4ire«f* - v(r) - V(R,) + — 2 — ( 1 . 1 ) * «iré® \ ' *» / Ví f ) - — ----- + f —- — ) 4fT€0f t ( 4TTC© V * »* ' V (, ) q ------------- 4TTC© L R( r i 1 1 1 | ------ ♦ ---------------------- | t R j . J 6.- Obtener la expresión para el potencial eléctrico producido por un plano con una distribución uniforme de carga <f, suponien­ do que el plano está formado por una serie de filamentos de longitud infinita y de ancho despreciable. 143 L«m nvutc En este caso, suponemos que el plano esta en XZ, las ooapon«nt«s en el eje X se anulan, solo Según el problema 27, se quedan en el eje Y . dedujo, que el campo en P es: £ í« t > ( r / 2 e. ) J Para el potencial: dV ■ - E dy i» r ü L év - -j.i ** * v <°> - ° V(y> - - <Ty/26e 7.- Una gota de aceite tiene una carga de -4.8 x 10 “w C o u i t * t . u y t.i en« un radio de 10“6 ci Cuál es la velocidad final cuando atraviesa dos placas horizontales que se mantiene a una diferencia de potencial de 500 V y están separadsos 2 cm. La placa positiva está en la parte superior. Las densidades del aceite y aire son: 600 Kg/ m3 y 1.29 Kg/m3 y la viscosidad del aire 1.8 x 10~5 N-seg/a2 144 FISICA XXX xntu I KSSUKLVOS •OLDCIOS: C o b o la velo­ cidad es constant«: I F - 0 •g-Fe-Fn-Es-0 19 " Pe ♦ Fn + Ei donde Fe: fuerza eléctrica Fn: fuerza de rozamiento Es: Espuje 4/3 Ti r3 Pmt 9 ■ qE ♦ 6 ltnrv ♦ 4/3Ttr3 P*¿ g adem&s: E ■ V/d j h » a.9m *0 V - [4/3 T í r3g ( & - P 9 i ) - ( 7 ^ ) ] /«T*v reeaplazaiwto valores: V * 6 x 10~5s/s 8 .- Una barra de longitud Lv tiene un extreso en X * b y el otro X ■ L + b y lleva una carga X^Xjx-b) (c/s) . Halle el potencial en el punto X « 0, donde es una constante. 145 ■amo u m w «eweio«.1r -o ,j i 1 s 4 — J--------- 1— am * ■ i , • > ■ *----- v Por definición: VO Vo -l -K[ I ? -« I«» 4M -è S i ik«l . I -jp] • • integrando y valorando: Vo K \ „ ( L-b Ln <L+b)/b) * » 9*— Una distribución esférica de carga da radio R «stá caracterizada por una densidad volumétrica de carga P* A/r (o*r a R) , s iendo r la distane ia medida a partir dal centro de la distribución y A una constan» te. Hallar el potencial para r < R. I Hallaaos al campo para rii y luego el potencial: Usando Gauss. 4. | rt fV » [ t 4Wr*tr 14« pitica i n not» T PKoiiiMi m a u o t q* »Jff) luaço: I»*#1 “ E(4 H r * ) - 2 K Ar2/ ^ E - */a * o f t r) 4 V - - *•» L 4f v<r) - V(R) - ^ * V(r) - v(R) - -Η « *• i »-•> . .f » » , T t M M i «ut ballar v<»). EvaLutaos para la otra rapita: *fcr , f E.däj - q/e. ..... I I ut donte q - |piv ■ q - a n w 2 ................ «3) Da (3) an (2) : ■ <4 K r*) - 2 n A*2/«. E - AR2/* £• r* El potancial para asta rtqite: *«'» - dV ■ — r I C.4r VU) *• 147 nootTo u m m donde V(- ) ) r* R V(r) - V (A» V(r) *C# r Luego para r* R, en le frontera < i t< l > : V(H) » VIR1 -V(Ri . ar*/2 «#R V(R) A* 2 €< (4 ) De («) en (1): A* A v(r) “ íé " . *«. Ir- V(r) - t - ( — ;•) ■ riR 10.- Halle el potencial en un punto P del borde de un disco de radio a y densidad superficial de carga < r . SOLUCION.-* Se considera el diferencial de superf icie, tal coeo se in­ dica en la figura. dS ■ (r2 e ) dr dq 14$ « ■ ds integrando y valorante: vp • * a/ »c. 11.- Dos esferas conductora* idénticas de radio R, separados una distancie a. Cuál es la carga en cada esfera si el potencial da una es de Vx y el de la otra es de f2. caMCXOH.- s«a Q, y Qj lee carlee da cada «ee de lee eoferas usanoo el principio de nperposicite y consi­ derando que por ser conductores el potencial en el centro de las soferas es igual al potencial en su superficie, o. e. Da (l): q2 - v xUm - kaQ1/KM (3 > Da (2): Oj ■ V2*a * kRQj/Ka igualando estas últiaas expresiones, se halla: Qi - « » ( » ! « - V 2* ) / K (a 2-R2) reeaplarando en (3): Q2 -aR (V2a - V ^ / K <a2-R2) 1 2 .- Dos esferas conductoras, una con un radio de 6 ca y la otra con un radio de 12 ca, se encuentran cargadas c/u con 3 x 10”8 C y separadas una gran distancia. Si se conectan las esferas por aedio de un alaabre conductor, hallar: (a) La dirección del aoviaiento y la aagnitud de la carga transferida y (b) La carga final y el potencial de cada esfera. (a) Como están auy separadas d-»o» V A - KQo/Rj , V2 - KQo/Rj , Coso R- > Rj , entonces V 2 < V 4 , luego la carga va de la esfera de radio Rx a la radio Rj* 1^0 risica xix n « u i ntosLotu m o m o « (b) Al ponerse en contacto, la esfera de radio Rx pierde carga q y la esfera de radio R2 gana la carga q. Hasta que alcancen el mismo potencial (se supone que en el alambre no se queda carga) ■ V ' l - K <QO - « ) / * ! v ; ^ v; v *2 - K {Qo + q)/Rj K (Qo - q ) / R 1 - K(Qo + q)/I^ q - Qo/3 Luego el potencial de cada esfera es: V’l ■ v' a ■ l/a - 2/5 V, - 4/3 v2 13. - En cada uno de los tres planos indefinidos x»-a, x-O y x m existe una distribución de carga superficial uniforme de la sisma densidad*. Halle el potencial en todo el espacio, tomando V*C , para X*0 . f l l 1 *1 ( 3 ) Mtonoi.- r r 11! !!! • — í r «•0 Primero hallamos el campo eléctrico en todo el espacio y luego el potencial. 191 gr.— m t h u m a m o « a < x o < X < « -a < x < • Ej + Ej + Ej ■ 3 ^ / 2 C o Bj + Ej - Ej - < T/ 2 6 0 .-Ej - Ej + Er - - * /a € o X < -« -Bj - B, - B, • • i< r/ie o Bl potiAcial:^ .«W I (a) a X Ki*» IV ■- I « t e«i 41 ▼(X) - v<a) - (X - *) .... (1) <»> C"-l. X - a I* V(X) - T(o) - - * ■ '*«• U > 9Q par* V(a) « « £ i Tcö rraplasando an (1) : C* 5 0" -T T .'-* ’ 1 V(x) Btt ! <»•-»*! , r is ic a n i n o u A t (C) -» f c * f aO , I IV - - I I #» '* V(«) - V(o) f" V(*) - '*• (d) * f c -• r " I '»!-•» r U »íi)- v (-•) V<K) - V(-a) - D - s > 2€m + — («4«)... f3) De(2 ) : - ri-«í/*c# iltsando en (9) V(K) V(x) (T(-«>/2€o («0 + 3 « I + | L (.«a | &€• 14.- El espacio entre planos X»0 y I>b se llena con una densidad de carga uniforme cúbica P sin que halle cargas en los demás puntos. Hallar el potencial para todos los puntos del espacio. 1S3 Lim Dividamos el espacio entre lo« plano« en dos partes una de 0 hasta X y otra de X hasta b, cada una de estas regiones dan lugar a campos y h- Además relacionesos las densidades de cargas superficiales y volumétricas. q - f S « P Sb , <T- Pb En general 1 • P x para SL y (a) b < x E * E (b) o < x < b P <b-x> para Ej + >2 ** ^ ttm e zt. + ?«, m Z€ m M* - e x - Ej M f» fi n * 2«,“ 2 Í. " C» " X* (C) 134 X < o B- -E, - Ej F IS IC A XXX T tW T â T N O K M I » S W T.TO» C -- F* *«• Lo« por— rial— t b * x *«, *«• 'Lr-I.'—!.£• V(X) - V<b> + -j£- <*-■> . . Mi b ,«*» . , *V - - I Ctfs '*«•1 I» V(x) - V(o) f*in f* è o * X * par« J e —b , V(b) ■ O (a) Dm <2) «e (1): v<*| - o + -£¿-f»-*i . i&i X* O , i"” I ÍV-Ctfi Jv«o» I» 4a V<*) - v(o) - - £ (- £ ) V(x) -Pbar/2 € o 195 ■O N U S TO LCTT& n V O N 15.- N gotas esféricas idénticas de líquidos se cargan al aisao potencial V. Coabinando esto se foraa una gota grande. Demostrar que el potencial de la gota es N2/*V. SOLUCIOH.- v ^ * ° 9 > o ° v ° o o** El potencial de cada una de las esferas: kQ/r El potencial de la esfera de radio R es: VH gQp/R.••.•(!) Igualando los volúmenes: ■ * ; rr1« * 3 r ** R - K 1/ 3 r y Qg ■ NQ reemplazando en la expresión: VB - M* /3 V 16.- Una carga lineal ^ » 400 pC jm yace a lo largo del eje X y la superficie de potencial cero pasa por el punto (0 , 5, 12 ) a en coordenadas cartesianas. Halle el potencial en (2, 3- 4) a respecto al punto (0, 5, 12). 194 física x ix im u v mWTTOl 0OMCIOH M Por 4tfÍRÍoi0n: v a » * “ jf * f V. - O V r , * •' V AB reemplazando valores: r g » (52+ 12a) l ^2 - 13 ^ VM - « .M t ▼ | V g-O % I.M V \/32 + (-4)2- S i.U 17.- Une carga lineal uniforme de densidadX ln c/*, est* arreglada en foraa de un cuadrado de 6 b de lado, c o b o se nuestra en la figura. Halle el potencial en (0, O, 5 )« - KMCXflB— De la figura se tiene: r - (34 + y2 ) 1^2 El potencial, debido a una varilla es: »7 V ■ I * t/9 y • i • / * integrando: ✓ l/l ♦ lu /l> l * 1 4 r \ 4FI • como L * \ -*/l ♦ £ U/f ^ ♦»4jW# / son cuatro lados, por el principio de superpos ici6n: l / t vr - 4V t«« * / • reemplazando valeres: v . 9 io~*________ T. / 3.14 X Y . 85 X 10~12 \-JV9f 34 / Vp - 35.3 Voltios 18.- En una varilla delgada de longitud L, colocada en el eje X, con un extremo en ei 198 origen (jc- o ) , c o b o se muestra en la figura, se encuentra distribuida una densidad de carga linealA-Cx, siendo Cuna constante. Considerando al potencial electrostático en el infinito c o b o nulor hallar el potencial en el punto P. 9 a L m c im V T o m b o s un diferencial de carga, que proéuoe un diferencial de potencial en P. peret r - (** ♦ a*»1/* I. í/3v»' 19.- La esfera no conductora de la figura, tiene una carga volumétrica uniforme p(c/«* ). Ralle (a) la diferencia de potencial entre los puntos A y B . (b) La diferencia de potencial entre los puntos B y c. III NUCIQi.(a) HalleaoaaL caapo eléc­ trico pera ceda región: ♦■-«-T. , * f iÍ-Wb E (4TCr2)-“ «• E - P b 3 /3 € r2 VM * V vai m (P b 3 /3 € a) (1 /a - 1 /b) W •ara e < r < b 4 t.ds - q'/C o ‘ P y w ’ E ( 4 I S r 2 ) --------------------E P r / I C« Vpç ■ vc - VB • - e j E.dr j E dr coa n V » « íeE dr Ito 10 J. *r » f* --é f« J . *«• f ís ic a ix i reo s xa y B s s tm s o s vK . 6 6« P _ ,**_*, 20.- Hallar el potencial en el centro de una circunferencia de radio a, una parte de la cual se encuentra uniformemente cargada \ El ángulo central es 9 . soLoexaa. ' ! Se conoce « t- o t ,• • Tomamos un dq, el cual da lu­ gar un: . * v I"- «1t? -4)xdi --=-\ L » k X^o c ,-«, ) v - k\0 V -X^4T«e 21.- Se tiene un condensador esférico compuesto de dos esferas metálicas huecas concéntricas (armaduras del condensador) de radios a y b (b>a) y de espesor despreciable aunque finito. La armadura interna se carga con una carga Qo > O . se supone que la tierra (que se toma como origen de potenciales) está infinitamente alejada. (X) la arma­ dura externa se conecta a tierra a través de una batería cuya diferencia de poten­ cial entre sus bormes es Vo, fig (a). (a) Halle la carga que se induce en la 1«1 ■iHMiimu Larva nnaos superficie interior y exterior de c/u de las armaduras. (b) Halle el E en todos los puntos del espacio. (c) Halle el V en todos los puntos del espacio y la diferencia de potencial entre las armaduras. (II) Se cortocircuita la batería (conexión directa), según fig. (b). (d) repita los cálculos anteriores. NUCI«.fo) Consideremos el siguiente gráfico y las super- naie* in noix» r ■ B S O E L lO e y exterior de la armadura de rmdio e. lu«go por «1 problem*: Qo — Qj+ Qj. Para la superflcie S ^ z ¿E.ds, m — — \ 2 '• Como est£ dentro del conductor la superf ici* Sj, el campo E * 0 y Qx * O, c g a o Qo - Qi+Qj q 2 " <*> Para S4 ,- . <J>E.d*4 — Qj + Qa + Qj/^ Pero E • O ( dentro de un conductor) O ■ Qj + Q, ♦ Qj Q3 - Q2 v “ “Q° * — Pera S5 s k } *** - < v « ° e E(4nH) - ( y c o - o*/«v«9 f' Coso la diferencia am pot atrial entre la armadura externa y tierra ee Vo: v - v » - vt - - i T Pero V (b) - VT - Vo # 1 * 0« .«VC, ? " 0« 4TI*» If) w— mn L tm n u m o s 04 - 4Tie* bVo (b) Para r A a , . ^ < p E.dsx - 0 no encierra carga a < r < b E * o » -2 í . c* /», E(4 Tt « • ’) - QO/ e o Para , ¿ E.ds, - 3 «• r ■ b , E ■ O (caapo dentro de un con­ ductor) Para r > b, d > E.dss * Q A/C + E(4TCr*) -4TC€»bVo/€o E - bVo/r2 (c) Ha llar«»os V (r) entre las armaduras, usando la condición de borde: a 4 r 4 b , v(r) - - | e.<» r* + c 1 v <r> " " 7 ^ i,+c (b) « v< r> " 7 f e + c co b o : V Vo risica hi noau t noiunu iuoblsn c * Vo - (Qo/4 Tt G+ .b) La diferencia da potemcial entra las armaduras para r* a, usando (l) para la armadura interior de radio a. Como E - O (r < a) , luego toda esta región as equipotencial. V ( r*a) - Vo + (Qo / 4 H € o ) (l/a - 1/b) V<r) - c * La condición de borde es: V(b) - Vo , V (• ) - 0 cualquiera de ellos, implica C' ■ 0 V(r) « bVo/r (II) Al cortocircuitar: Vo - O Qi “ ° , Q2 m Qo , 03 - -Oo 04-0 El caapo rt a , B - 0 B - Qo/4TK^H a < r < b r* b SI potencial: •‘ r ‘ " . »<*> , > - 0 ( f - f ) r* * r^ b , V(r) - ut, • *' v < r) - o La diferencia de potencial entre las armadura«: v<«> - V(b) - ^ - ( 1 - S ) - ^ í - ( ± .± ) 0« / Qm f I I \ »<•) - V(b) - ^ ( 7 -7 ) 22.- Una esfera de radio a lleva una carga superficial uniforme por unidad de área o. Hallar el potencial en un punto P fuera de la esfera, aediante integración directa. rxcxcm xix noexa t raoKLBiiAs »sonaos T o u n d o un «ltMnto circular de Xa esfera, da radio (a sene) y de espesor (dX “ a de), luego ds - ( 2 T i o sane) (a de) y dQ - r ds - 2 T I a2 csene de Xuego: t v «'riiRld» & •«a e ( v ñ f + (r-ocotO )*] %n V ■ m *(T 9— 9 «e 2 €* c• *♦r * " •f ro* Vp - 28* vp O*«1 t<!«r' [• * * r * * - h r ' c M l J ^ <*•)- «V C #f ' ) 4V|«r 23.-Hallar el potencial, debido a un disco que tiene una distribución de carga 9 y de radio a, en un punto P, que pasa por el eje del disco, tal co»o se muestra en Xa figura. * ! EX potencial en P1# debido a un ajiillo de radio r y espesor dr es: f «« f f (tVr’ á r * L im K naof 24.- Hallar la diferencia de potencial entre dos punto« del espacio, donde existe un caspo eléctrico creado por una varilla irítinita, de densidad de carga lineal 25.- Dos cascarones Metálicos concéntricos con cargas y q. de radios a y b respecti­ vamente. Haíie el potencial para todos los puntos del espacio. Ha Ilesos el caapo para cada región: (a.l) r < a ,d§ -■£ ■ 0 B - o' : Xfl risica its xsoftiA i B B S O B LS O S (b. 1 ) a < r < b « H P r 2) - q x ✓«. B « q/aitc, ' * <c.X) b < r , ^ B.dS - <1 zt. “ B <4wr*> - (qi ♦ qa>/c. B - (qj ♦ q^j/érv* Fara «X potanelaL: y » . -- I.«— | r* • * vr V > (c.2 ) b < r « • - J ^ - V .^ ^ - r. a# * • " * d i ♦ **>/* (b.2 ) a < r « b Trt> - - \ ' i. £ • - Vrt“ [ tv(b> - v (r > - ^ f r - v ] paro V (b) ■ * <«.♦%> V ( r ) -----( “ F ; tJ da (C.2) / » i \ III u m n n m VCD - K [ <«.2) r < • - f J , dV - -E.dr vri ■ o v<m) - v<r) - O V(r) - V(a) Pero V (a) - « [ L1M 9D V(r) - K [ 26,- Un cascarón hemiesférico no conductor de radio interior a, tiene una carga total q, distribuida uniformemente en su superfi­ cie interior. Halle el potencial eléctrico en el centro de curvatura. ■?] un ds - 2Ta cos«(a<W)«-*'f T ^ e**e<^ e 4« _ _ í ' a ’é» no vp ■ ar *«♦ T" ••• • I u ■ C4 / tt# Pero: < T - q/2 « a* Vp - kq/a 27.- El E - (20, - 30, 0) V/s existe en roa región «Sel espacio (a) Cuál es el trabajo efectuado para llevar una carga de 2 fie de los puntos A (0, 0, 0) a B (5, 2 ,6 ) (b) Cuál es la diferencia de potencial entre estos dos puntos? •OUCip.(a) 81 trabajo realisado por el agente ex­ terior es el valor negativo al trabajo rea­ lizado por « 1 caepo eléctri­ co. F 171 iim kkvbm luego: m WM .. 8 a 1 <T5 v« — sr-“ t* 10 c 21.* Sallar la eviergla potencial de una tsftra dt radio IL cargada uniforautnta con una densidad r . El trabajo que se realiza para formar un w 1iimsn ds carga de radio r y «spesor dr es: W - ( P U n /I € o) v - 4 n P * «J/»56o r4 dr » 29.« Hallar la energía potencial debido a la repulsión electrostática de u» núcleo atónico que contiene Z protones, de radio R. 17 a Mfiniaos 1 « densidad de cargas P - Z*/4/3Ttft3 - 3Xe/4f* RJ Usando al resaltado dal probl anterior: v - 3 : V / 2 on*o i 30.- Hallar la energía potencial de un conjunto da cuatro cargas, cada carga q, coloc ada en una configuración da una pir&nide triangular de arista a. MAOnai.Por definición 9 donde 2 : es el trebejo para traer la carga qa en presencia As la car9* 31.- Un* Mf«rita 4* baso ■ y earga q pu«d« girar an el plano vertical suspendida de un hilo de longitud L. En el centro de giro se encuentra una segunda esferita, cuya carga es igual en valor y en signo e la carga de la esferita que gira. Cuál es la velocidad horizontal B Í n i u que hay que comunicarle a la esferita en su posición más baja para que pueda realizar una vuelta completa? Los puntos A y B son parte de una 1 lnea equipotencial V.*VA como las fuerzas que túan son conservativos: aV + ak • o y/mm ♦ AU| 4 A R - O (qr, - q v,) ♦ ( m,2 i - o) -* .* )-o -« Para que V¿ ■ Vmín , se debe cumplir T • O F IS IC A IZZ TCOftEA T N O SLM I ■■■ ■ I T T » De (2) en (1) s 1 mVA2 - eg2L + _i *V,a 1 _ «VA2 - *g2L + i. (egL 2 2 32«- Dos esferas idénticas de radio r están separadas por una dietancia d » r. Una carga Q ha de colocarse en las superficies de las esferas. (a) Cuál es la energía potencial del sisteoa si colocaaos (Q/2 ) en cada esfera. (b) Cuál es la energía potencial si colocaaos toda la carga en una esfera y ninguna en la otra (c) Cuáles son los potenciales eléctricos en cada esfera en los (•) Y <b) SttBCIfli ce/t i W («/ti <D ce/t f + tf0/ 1 KO/t KO/t — 4 175 IU O W T O u m HAv u o t La energía pedida es: Ue « y Z vj O* “ T [ 2~ W| * v*j “ ( * / 4 H * * + * •* " ( § ) * * (t» V4 - KQ/r , V2 - KQ/d O i - f l v¡«¡ Oe - KQ2/2r 33.- Se tiene una placa de espesor desprecia­ ble, la cual posee una distribución continua de carga < r (c /m 2) constante, de radio a y que subtiende un ángulo centralV coeo se indica en la figura. Cu&nto vale el potencial en o? IOLUCIO«.Se toma un di­ ferencial de carga que se halla en un ds (diferencial de superficie) 17« — re- mí a zzx n o « M t fott w bsiiim Vo - K c ra o - <r a 9 /4 ti e ( 34 .- Un cilindro hueco de radio a y longitud b, con sus extremos abiertos, tiene una carga total C L uniformemente distribuida en su superficie. Cuál es la diferencia de potencial entre un punto del eje en uno de sus extremos y otro en el punto medio del eje? sowrcio*.- Se t o w un anillo de redio a y espesor dx y hallamos el potencial que crea en el punto A y después en el punto B. se sebe: / 0 \ dQ *V «4a >/i M a vw m . . í <0 VA * " — ■ ■ * J 7 T JT P j KO VA v. - /«*♦*(&♦ i’ ♦ (s/2i /777¡V4?-um 177 ■m m o u r n BTitoi KO /•*♦ f c 1 -6 Lo -------- luego: vh - v# - 35.* No es difícil calcular exactamente el valor del potencial en el centro de la lámina cuadrada con carga uniforme <r.Una manera adecuada de efectuar la inte­ gración se sugiere en la fig. Hállese primero la contribución al potencial en el punto C, de la franja delgada de anchura dx, desde y ■ -x a y - x . Luego es fácil de integrar x desde O a b/2 y obtener el potencial de esta cuarta parte del cuadra­ do. Por supuesto que el potencial cero está en el infinito. •OfcOCXO«.u ------* ----- A 171 pina xxx noMA v fimii— ksoium La contribución da la tira al potancial «n C es: v«c - 2 < r m (i (-£-) V'c - < rb ln (1 + / T ) Ahora el potencial en C, debido a las cuatro porclonas, serás Vc - 4 ( < T b ln (1 > / T )j 36»- Se disponen en forma alternada un infinito número de cargas positivas y negativas q sobre una linea recta. La separación entre las cargas adyacentes es la misma e igual a r, ver figura.Demostrar que la energía potencial de una carga es ( -q2/2Tieor) Ln 2. 17« •ouwxos.- O © 0 © O © O © O © J r - Si contidtraaM la carga A de la cual quar hallar la energia potencial: f'M<> UH-«) Ue - K • f« K (4 )(*) ■♦ K S r . V m ♦ ■ — --I » ■ <»H«I 4r «r Ue • ««•* f I 1-0 l ' * J___ L * !___ L*-iS 4 9 • 7 i« «v i* a donde ln (!♦*) - V« -.q3 l n 2 / 2 V f « r f ís ic a n i tB O K U i m a u » f n m u o i 37.- A la distancia R de la carga puntual q se halla una esfera conductora de radio r , unida por un alambre fino y largo con la tierra. Hallar la sagnitud de la carga negativa en la esfera. Puede influir el alambre, pero se desprecia sus efectos. SOLUCION. - El potencial «n la «af*ra te radio r atará dabido a la superposición de los potenciales debido a Q y q- pero V#s{ - O, por estar conectado a tierra. # 38.- En un campo electrostático uniforme de intensidad E y cuyas lineas de fuerza están dirigidas verticalmente hacia arriba, puede girar en el plano vertical atada a un hilo de longitud 1 una esferita de masa s y carga q. Cuál es la velocidad horizontal que hay que comunicarle la esferita en el punto más elevado de su trayectoria para que la tensión del hilo en el punto más bajo de su trayectoria sea 10 veces mayor que el peso de la esferita? 1S1 iummou o unrvm n m o t •OLOCIO«.M Cq ÍC f+> ___ ,_____ , _ _ ____ r._ nservati tenemos la Energía Potencial eléctrica: u«,¿ - — j A i? -- J*q? . é t - -q E 2 1 ......... (1) La energía potencial gravitacional: . u, 8 21 como todas las fuerzas que actúan son conservativas (la tensi6n no realiza trabajo). A e «ó k K» + U «'» (*A - *B> “ - +AVJ« - o " " b * Ü «<b + Ü 9.B - ür t » > - <U,.*-U9,> ........... (1) jiv' -¡-iv', - q E21 - »g21 Además: Z P - ■ v ¡/ g *¡ T 2 + qE - wq --j~ como: T2 ■ 10 mg 102 F IS IC A III T C O tIA T P K O B LE X U RSSQ BLIO S ^ b 2» <9 *9 ♦ q g ) i ................... (2) De (2) en (1): 1/2 bV2a - - Ü Ï £ i i £ M ■••ME)? * . t|(,c-e«| 11) ■UMBdtTO xxrv a m vnoa H Q 1 L 1 M M PKOPüEWOe.39.- Las tres placas setálicas sostrados en la figura, están cada una separadas por una distancia b. si las cargas sobre las dos placas son±(T coso se indica» Cuál es la diferencia de potencial entre las dos placas. *9 -c ♦ ♦ ♦ ♦ f A v - 2 < r b/ e 40.Un esfera metálica de radio R« con potencial V¿, se rodea con una envoltura esférica conductora de radio Rj sin carga. Coso varia el potencial de la esfera después de estar durante cierto tiespo conectada con la envoltura. V2 - V^R.-R.y», R : 41.- Un cilindro infinito de radio a tiene una carga por unidad de volumen P 0. Demuestre que el potencial a una distancia rdel eje del cilindro es: -r2/2 V(r) Po/2 C, - r* a T ~ “' ' " ( ' t ) • ' a condición de que V(o) - 0 FISICA XII TEORIA T FROSLfMAS RESUELTOS 42.- Dos esferas metálicas, concéntricas y finas, de radios Rx y Rj - (Rj < R2), poseen cargas Q» y Q2, respectivamente. Hallarla energía ae este sistema de cargas, para el caso del condensador esférico. 4a ).- Dos pequeñas esferas conductoras cargadas, de radio r, están situados en la distancia R una de otra. Estas dos esferas se conectan por turno a tierra durante cierto tiempo. Hallar el potencial de la esfera que se conecto'primeramente a tierra, sí la carga inicial de cada esfera era q. 44. - Dos esferas pequeñas conductoras, de radio r, están situados a la distancia R una de otra. Estas esferas se conectan por turno a tierra durante cierto tiempo. Hallar la carga que queda en la esfera, que se conectó a tierra en segundo lugar, si inicialaente cada esfera tenia el poten­ cial V. q - V4Tt€*r3/(R2 + Rr) 45.- Se tienen dos anillos finos de alambre de radio R, cuyos ejes coinciden. Sus cargas son iguales a q y -q . Calcular la diferencia de potencial entre sus centros, siendo la distancia entre ellos igual a a. 185 ■u n b k u o Lim nnxoc AV-qfl1 >)/2TCeaW \ /!*<•/*) /' 4 6.- Hallar el potencial y * el campo eléctrico en el centro de una semiesfera de radio R, cargada uniformenente con una densidad superficial de la carga: cf • V « (T R/2 6 o, E -< r/«e. para los puntos A ( 2 , O, 4)m 47.- Una carga laminar uniforme con^- 2nc /n yace en el plano Z * O paralelo al eje X en Y ■ 3i , Halle la diferencia de potencial A V - - 18.4V y B (0, 0, O) m 4 8.- Un disco circular de radio Ro tiene una carga por unidad de área C T . Qué cantidad de trabajo se requiere para llevar una partícula de carga ^ de un punto en el eje del disco y a una distancia Z de su plano a : (a) El punto en el eje a una distancia Z del otro lado del disco. (b) El centro del disco. a) W - O b) " - ? £ i'*"* *] 18«