Maestría en Ciencias FísicasFundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] EL OSCILADOR AMORTIGUADO EN MATLAB Y SIMULINK MATOS FRANCO, Richard1; PEREYRA DIAZ, Jose2. Universidad Nacional de Trujillo, Universidad Cesar Vallejo1; Universidad Nacional de Trujillo-Perú2 Resumen: El presente trabajo, busca resolver el problema del oscilador armónico de tres maneras diferentes en el MATLAB. La primera forma es conociendo la solución de la ecuación diferencial para el oscilador amortiguado y tabulándola. La segunda forma fue desarrollada usando el SIMULINK que es una herramienta incorporada dentro del propio MATLAB, y en la tercera forma, empleamos el método de Runge-Kutta4, conocido como RK4. Del análisis se puede decir que los tres métodos son soluciones a nuestro problema de estudio de manera aproximada. I. INTRODUCCION A. Péndulo Simple Consideremos un móvil sobre una pista sin rozamiento enganchado a un muelle fijo tal como muestra la figura 01. La fuerza aplicada sobre el móvil viene dada por la ley de Hooke Fx(x) = -kx. Entonces la ecuación de movimiento es 𝑚𝑥⃛ = 𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 o 𝑘 𝑥⃛ = − 𝑥 = −𝜔2 𝑥 (01) 𝑚 Donde hemos introducido la contante 𝑘 𝜔=√ 𝑚 La cual como veremos es la frecuencia angular con la que el móvil oscilará. Aunque la ecuación (01) está en el contexto de un móvil que está sujeto a un muelle y que se mueve a lo largo del eje x, es aplicable a muchas situaciones oscilantes diferentes en muchos sistemas de coordenadas diferentes. En el caso de un monopatín que oscila en la parte interna de un cascaron esférico inferior, el ángulo 𝜙 con relación al centro del casquete, está gobernado por la misma ecuación, 𝜙̈ = −𝜔2 𝜙. La ecuación (01) es llamada la ecuación del oscilador armónico simple. Figura 01: Un móvil de masa m que oscila en el extremo de un muelle. Las soluciones exponenciales La ecuación (01) es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, y por ello tiene dos soluciones independientes. Estas soluciones se pueden escoger de varias maneras, pero quizás la más conveniente sea esta: 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑦 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 1 Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Como se puede comprobar fácilmente, estas dos funciones satisfacen (01). Mas aun cualquier múltiplo constante de cualquiera de las soluciones es también una solución y también lo es cualquier suma de tales múltiplos. Por tanto, la función 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 (02) Es también una solución para cualesquiera dos constantes C1 y C2. (Que cualquier combinación lineal de soluciones como estas sea solución se conoce como principio de superposición y juega un papel crucial en muchas ramas de la física). Cualquier solución se puede expresar de la forma (02) mediante una elección adecuada de los coeficientes C1 y C2. Las soluciones seno y coseno Las funciones exponenciales (02) son tan sencillas de manejar que (02) muchas veces es la mejor forma de la solución. Sin embargo, esta forma si tiene una desventaja. Sabemos, por supuesto, que x(t) es real, mientras que las dos exponenciales en (02) son complejas. Esto significa que los coeficientes C1 y C2 deben escogerse con cuidado para asegurar que el propio x(t) sea real. De la fórmula de Euler 𝑒 𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃, sabemos que las dos exponenciales se pueden escribir como: 𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 Sustituyendo en (02) y reagrupando encontramos que: 𝑥(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2 ) cos(𝜔𝑡) + 𝑖(𝐶1 − 𝐶2 )𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝑥(𝑡) = 𝐵1 cos(𝜔𝑡) + 𝐵2 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (03) donde B1 y B2 son simplemente nuevos nombres para los coeficientes de la ecuación anterior, 𝐵1 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑦 𝐵2 = 𝑖(𝐶1 − 𝐶2 ) (04) La forma (03) puede tomarse como la definición del movimiento armónico simple (o MAS): cualquie8tr movimiento que sea una combinación de un seno y un coseno de esta forma se llama armónico simple. Como las funciones cos(ωt) y sen(ωt) son reales, el requerimiento de que x(t) sea real significa simplemente que los coeficientes B1 y B2 deben ser reales. Podemos identificar fácilmente los coeficientes B1 y B2 en términos de las condiciones iniciales del problema. Claramente t=0, en (03) implica que x(0) = B1. Esto es, B1 es justo la posición inicial x(0) = xo. Análogamente, diferenciando (03), podemos identificar que ωB2 como la velocidad inicial vo. Si comenzamos la oscilación tirando del móvil hacia x = xo y dejándolo libre desde el reposo (vo = 0), entonces B2 = 0 en (03) y solo el termino del coseno perdura, así que: 𝑥(𝑡) = 𝑥0 cos(𝜔𝑡) (05) Si lanzo el móvil desde el origen (xo = 0) dándole un toque en t = 0, solo perdura el término del coseno, y 𝑣0 𝑥(𝑡) = sen(𝜔𝑡) (05) 𝜔 Estos dos casos simples están ilustrados en la figura 02. Advertimos que ambas soluciones, como la solución general (03), son periódicas porque tanto el seno como el coseno lo son. 2 seno y coseno. 𝒇 = −𝑏𝒗. se que puede denominar constante de amortiguamiento. Esto es. pero siempre dirigido en el sentido opuesto a la velocidad. es ωt. es simplemente una forma conveniente de caracterizar la resistencia de la fuerza de amortiguamiento. la frecuencia a la cual oscilaría si no hubiera una fuerza resistiva. depende de la velocidad de una manera complicada. Sin embargo. las oscilaciones siguen una curva con pendiente inicial vo. como la que da (09). B. La resistencia que opone un fluido. −𝑘𝑥. específicamente. tal como aire o agua. En cualquiera de los dos casos el periodo de las oscilaciones es τ. (b) Si el móvil es empujado desde el origen en t = 0. El rozamiento de deslizamiento ordinario es aproximadamente constante en magnitud.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Como el argumento de ambos. tal como un móvil enganchado a un muelle. Aquí supusimos que la fuerza resistiva es proporcional a v. esto es. es mejor suponer que la fuerza resistiva es proporcional a la velocidad. el periodo es 2𝜋 𝑚 𝜏= = 2𝜋√ (06) 𝜔 𝑘 Figura 02: (a) Cuando un móvil se libera desde xo en t = 0 las oscilaciones siguen una curva coseno. Renombramos la constante k/m como ωo2. La fuerza neta sobre el objeto es −𝑏𝑥̇ − 𝑘𝑥. Existen varias posibilidades para la fuerza resistiva. que esta sometido a la fuerza de la ley de Hooke. Con estas notaciones. 𝑘 𝜔𝑜 = √ (09) 𝑚 Desde ahora en adelante usaremos la notación ωo para denotar la frecuencia natural del sistema. la función x(t) se repite después del tiempo τ para el cual ωτ = 2π. Consideremos entonces un objeto en una dimensión. y a una fuerza resistiva −𝑏𝑥̇ . la ecuación (07) para el oscilador amortiguado se convierte en 𝑥̈ + 2𝛾𝑥̇ + 𝜔𝑜2 𝑥 = 0 (10) 3 . Péndulo Amortiguado Consideremos ahora que en nuestro oscilador hay una fuerza resistiva que amortiguara las oscilaciones. y la segunda ley de Newton dice 𝑚𝑥̈ + 𝑏𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0 (07) Para resolver esta ecuación es conveniente dividir entre m y después introducir otras dos contantes que renombramos la constante b/m como 2γ 𝑏 2𝛾 = (08) 𝑚 Este parámetro γ. Por lo tanto. por supuesto 𝑟 = −𝜔 ± √𝛾 2 − 𝜔02 . la raíz cuadrada en os exponentes de (15) es de nuevo imaginaria. Amortiguamiento débil (γ < 0) Supongamos ahora que la constante de amortiguamiento γ es pequeña. si por cualquier motivo podemos encontrar dos soluciones independientes. y podemos escribir √𝛾 2 − 𝜔02 = 𝑖√𝜔02 − 𝛾 2 = 𝑖𝜔1 Donde 4 . definimos las dos contantes 𝑟1 = −𝛾 + √𝛾 2 − 𝜔02 (13) 𝑟2 = −𝛾 − √𝛾 2 − 𝜔02 Entonces las dos funciones 𝑒 𝑟𝑡 y 𝑒 𝑟𝑡 son dos soluciones independientes de (10) y la solución general es: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑟1 ∙𝑡 + 𝐶2 𝑒 𝑟2 ∙𝑡 (14) √𝛾2 −𝜔02 ∙𝑡 −√𝛾 2 −𝜔02 ∙𝑡 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛾∙𝑡 (𝐶1 𝑒 + 𝐶2 𝑒 ) (15) Oscilación Subamortiguada (γ = 0) Si no hay amortiguamiento. Se puede encontrar una solución de la forma 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑟𝑡 (11) Para la cual 𝑥(𝑡) = 𝑟𝑒 𝑟𝑡 𝑦 𝑥(𝑡) = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 Sustituyendo en (10) vemos que nuestra suposición (11) satisface (10) si y solo si 𝑟 2 + 2𝛾𝑟 + 𝜔𝑜2 = 0 (12) [una ecuación auxiliar a veces llamada ecuación auxiliar para la ecuación diferencial (10)].Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] La ecuación (08) es otra ecuación de segundo orden. lineal. x1(t) y x2(t) por ejemplo. entonces cualquier solución debe tener la forma C1x1(t) + C2x2(t). y nuestra solución se reduce a √𝛾2 −𝜔02 ∙𝑡 −√𝛾2 −𝜔02 ∙𝑡 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 + 𝐶2 𝑒 Si reemplazamos √𝛾 2 − 𝜔02 = 𝜔. la raíz cuadrada en los exponentes de (15) es justo iωo. se obtiene 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝜔∙𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝜔∙𝑡 (16) La solución familiar para el oscilador armónico. Específicamente. entonces la constante de amortiguamiento γ es cero. En este caso. supongamos que 𝛾 < 𝜔𝑜 (17) Una condición a veces denominada subamortiguamiento. homogénea. Las soluciones de esta ecuación son. Por consiguiente. Podemos reescribir el segundo factor como: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝛾𝑡 cos(𝜔1 𝑡) (20) Esta solución describe claramente el movimiento armónico simple de la frecuencia ω1 con una amplitud que decrece exponencialmente 𝐴𝑒 −𝛾𝑡 . 𝑒 −𝛾𝑡 es una exponencial decreciente. Específicamente supongamos que 𝛾 > 𝜔𝑜 (21) Una condición que a veces denominamos sobreamortiguamiento. que va disminuyendo gradualmente hacia cero. se mueve hasta un desplazamiento máximo y luego se mueve otra vez hacia atrás aún más despacio. solo vuelve al origen en el limite 𝑡 → ∞ . Con esta notación. de alguna manera mas baja. las cuales disminuyen a medida que pasa el tiempo (porque los coeficientes de t en ambos exponentes son negativas). Las curvas a trazos son las envolventes. porque el coeficiente en su exponente es el menor 5 .Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] 𝜔1 = √𝛾 2 − 𝜔02 (18) El parámetro ω1 es una frecuencia. la cual es menor que la frecuencia natural ωo. En este caso. Las oscilaciones subamortiguadas se pueden entender como oscilaciones armónicas simples con una amplitud que decrece exponencialmente 𝐴𝑒 −𝛾𝑡 . El primero. como se muestra en la Figura 03. El segundo factor tiene exactamente la forma (16) de oscilaciones subamortiguadas. La figura 04 muestra un caso típico en el que el oscilador es empujado desde O en t = 0. En el caso importante de amortiguamiento muy débil (𝛾 ≪ 𝜔). se sustituye por la frecuencia ω1. Amortiguamiento Fuerte Supongamos que la constante de amortiguamiento es grande. la raíz cuadrada en los exponentes de (15) es real y nuestra solución es −(𝛾−√𝛾 2 −𝜔02 )∙𝑡 −(𝛾+√𝛾 2 −𝜔02 )∙𝑡 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 + 𝐶2 𝑒 (22) Aquí tenemos dos funciones exponenciales reales. El primer término del segundo miembro de (22) disminuye tan lentamente que el segundo. excepto que la frecuencia natural ωo. el movimiento esta tan amortiguado que no completa oscilaciones auténticas. la solución (15) se convierte en 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛾𝑡 (𝐶1 𝑒 𝜔1 ∙𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝜔1 ∙𝑡 ) (19) Esta solución es el producto de dos factores. ±𝐴𝑒 −𝛾𝑡 . En este caso. ω1 está muy cerca de γ de ωo. Figura 03. Figura 04: El movimiento sobreamortiguado en el que el oscilador es empujado desde el origen en el instante t = 0. la solución general para el caso de amortiguamiento critico es 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 −𝛾𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒 −𝛾𝑡 (25) Observamos que ambos términos contienen el mismo factor exponencial 𝑒 −𝛾𝑡 . a saber 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛾𝑡 (23) [esto sucedió porque las dos soluciones de la ecuación auxiliar (12) coinciden cuando γ = ωo]. El conjunto de componentes incluidos junto al programa Simulink. Simulink genera archivos con extensión . a través de la concepción de sistemas (cajas negras que realizan alguna operación). Cuando γ = ωo las dos soluciones que encontramos en (15) son la misma solución. Es un entorno de programación de más alto nivel de abstracción que el lenguaje interpretado Matlab (archivos con extensión . γ = ωo. Por lo tanto. diseño y simulación de sistemas (de control. Simulink Simulink proporciona un entorno grafico al usuario que facilita enormemente el análisis. falla a la hora de encontrar dos soluciones de la ecuación de movimiento. Por consiguiente. Se mueve hasta un desplazamiento máximo y después vuelve atrás hacia O asintóticamente cuando 𝑡 → ∞.mdl (de model"). etc. con cierto grado de abstracción de los fenómenos físicos involucrados en los mismos. nos es difícil hallar una segunda solución: cómo se puede comprobar fácilmente. en este caso. C. sistemas lineales y no lineales. Amortiguamiento Critico (γ = ωo) La frontera entre subamortiguamiento y superamortiguamiento se denomina amortiguamiento crítico y ocurre cuando la constante de amortiguamiento es igual a la frecuencia natural.m). Se hace hincapié en el análisis de sucesos. la solución 𝑥(𝑡) = 𝑡𝑒 −𝛾𝑡 (24) Es también una solución de la ecuación de movimiento (10) en el caso especial en que γ = ωo. al incluir una serie de rutinas que resuelven los cálculos matemáticos de fondo. Afortunadamente. Simulink viene a ser una herramienta de simulación de modelos o sistemas. el movimiento a largo plazo está dominado por este primer término. Este es un caso en el que nuestra intuición. conectores y 6 . incluye bibliotecas de fuentes de señal. junto con una sencilla interfaz para su uso. dinámicos. Proporciona un entorno de usuario grafico que permite dibujar los sistemas como diagramas de bloques tal y como se haría sobre un papel. al buscar una solución de la forma x(t) = ert.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] de los dos.). electrónicos. y tenemos que usar algunos otros métodos para encontrar una segunda solución. dispositivos de presentación de datos. Figura 06: Circuito elaborado en Simulink formado por un generador de Señal (Signal Generator). una ganancia (Gain con valor de -2 y un Osciloscopio (Scope). un sumador (Add).Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] funciones matemáticas. se pueden crear nuevos bloques a medida por el usuario. 7 . donde se encuentran los bloques para armar dibujar los circuitos que permiten simular los sistemas de estudio. A la derecha se observa la grafica obtenida en el Oscilador al aplicarle una señal al circuito. Figura 05: Ventana principal de trabajo de Simulink y la ventana de la Librería Browser. integrador (Integrator). En caso de que sea necesario. …. y cada ki. 2. 𝑦𝑛 + 𝛽2 ℎ𝑘1 + 𝛽3 ℎ𝑘2 ) 𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑛 + 𝛼3 ℎ. 𝑦𝑛 + 𝛽4 ℎ𝑘1 + 𝛽5 ℎ𝑘2 + 𝛽6 ℎ𝑘3 ) Concuerda con el polinomio de Taylor de cuatro. Observe que al tomar m=1. 𝑦𝑛 ) 1 1 𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑛 + ℎ. m. usado para obtener soluciones aproximadas para un problema con valores iniciales y’ = f(x. El conjunto de valores usado con más frecuencias para los parámetros produce el siguiente resultado. son constantes que generalmente satisfacen w1+w2+…+wm = 1. en que la función pendiente se reemplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo 𝑥𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛+1 . Runge-Kutta Probablemente uno de los procedimientos numéricos mas populares.y) para el que 𝑥𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛+1 . los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la forma básica de Euler.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] D. 𝑦𝑛 + ℎ𝑘1 ) (28) 2 2 1 1 𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑛 + ℎ. 2. y). se obtiene la conocida formula de Euler yn+1 = yn + hf(xn. Es decir. yn). Por esta razón se dice que el método de Euler es un método de Runge-Kutta de primer orden. i = 1. Veremos que las ki se definen recursivamente. 𝑦𝑛 + 𝛽1 ℎ𝑘1 ) 𝑘3 = 𝑓(𝑥𝑛 + 𝛼2 ℎ. 𝑦𝑛 + ℎ𝑘3 ) 2 Mientras que las otras formular de cuarto orden se deducen con facilidad. el algoritmo resumido en (28) que es muy usado y reconocido como una invaluable herramienta de 8 . Esto da como resultado un sistema de 11 ecuaciones con 13 incógnitas. m es la función f evaluada en un punto seleccionado (x. y(xo) = yo es el método de Runge-Kutta de cuarto orden. 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ ⏟ (𝑤1 𝑘1 + 𝑤2 𝑘2 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑘𝑛 ) (26) 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 Aquí los pesos wi. Método de Runge Kutta En esencia. i = 1. …. así como mas preciso. 𝑦𝑛 + ℎ𝑘2 ) 2 2 1 𝑘4 = 𝑓 (𝑥𝑛 + ℎ. El numero m se llama el orden del método. Como el nombre lo indica existen métodos de Runge Kutta de diferentes órdenes. ℎ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 ) 6 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑛 . yn). 𝑦𝑛 ) 𝑘2 = 𝑓(𝑥𝑛 + 𝛼1 ℎ. Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden Un procedimiento de Runge-Kutta de cuarto orden consiste en determinar parámetros de modo que la formula 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ(𝑤1 𝑘1 + 𝑤2 𝑘2 + 𝑤3 𝑘3 + 𝑤4 𝑘4 ) (27) Donde 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑛 . w1 = 1 y k1 = f(xn. 𝑦𝑛 + ℎ𝑘1 . 𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑛 + ℎ. la ecuación diferencial en (29) se convierte en el sistema 𝑦′ = 𝑢 (30) 𝑢′ = 𝑓(𝑥. MATERIALES Y METODOS A. 64 bits. y’ = u2. ✓ Una laptop • Marca : LENOVO • Modelo : Z51 • Sistema Operativo : Windows 8. 𝑢𝑛 + ℎ𝑚1 ) 2 2 2 2 𝑚4 = ℎ(𝑢𝑛 + ℎ𝑘3 ). se denomina el método de Runge-Kutta de cuarto orden o método clásico de Runge- Kutta. se necesitó los siguientes materiales. … . y’’=u3. 𝑦𝑛 + ℎ𝑘3 . seria: ℎ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 6 (𝑚1 + 2𝑚2 + 2𝑚3 + 𝑚4 ) ℎ (31) 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 6 (𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4 ) Donde 𝑚1 = 𝑢𝑛 . 𝑦𝑛 ) 1 1 1 1 𝑚2 = ℎ(𝑢𝑛 + ℎ𝑘1 ). cuando se use la abreviatura método RK4. y’. 𝑢𝑛 + ℎ𝑚1 ) 2 2 2 2 1 1 1 1 𝑚3 = ℎ(𝑢𝑛 + ℎ𝑘2 ). 𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑛 + ℎ. 𝑦′). 𝑦𝑛 + ℎ𝑘2 . 𝑦. Para el presente trabajo. 𝑦(𝑥𝑜 ) = 𝑦𝑜 . Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden en Ecuaciones de Orden Superior Un problema con valores iniciales de segundo orden 𝑦" = 𝑓(𝑥. 𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑛 . • Procesador : Intel ® Core™ i3-5005U CPU @ 2. 𝑦. II.00 GHz • Memoria Ram : 4096 MB • Disco Duro : 512 GB 9 . y(n-1) = un. 𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑛 + ℎ. 𝑢) Puesto que y’(xo) = u(xo). 𝑢𝑛 + ℎ𝑚3 ) En general. Así el método de Runge- Kutta de cuarto orden o método RK4. 𝑦′(𝑥𝑜 ) = 𝑢𝑜 (29) Se puede expresar como un problema con valores iniciales para un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. y(n-1)) como un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden usando sustituciones y = u1. ….Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] cálculo.1 Pro. se puede expresar cada ecuación diferencial de n-ésimo orden y(n) = f(x. Si y’ = u. De aquí en adelante. se debe considerar a (28). Materiales. las condiciones iniciales correspondientes para (30) son El sistema (30) se puede resolver de forma numérica mediante la simple aplicación de un método numérico a cada ecuación diferencial de primer orden en el sistema. y. Escribir Datos: (tiempo final. 4. h. 9. Amplitud Inicial. Métodos Para desarrollar este trabajo. m.*cos(w*t). k). masa. Var real: tf. ▪ Procesador : Cualquier procesador Intel ▪ Espacio en disco : 1 GB solo para MATLAB. 5. seguimos los siguientes pasos para cada modo de solución: Conociendo la Solución: El caso más común para oscilaciones con amortiguamiento débil. Calcular Matriz Exponencial. B. Calcular matriz t = [0: h: tf]. Graficar t vs. pasos. b. Calcular Gamma←b/(2*m). 3. 7. Calcular matriz solución Y. ✓ Hojas y lapiceros. 11. Fin 10 . Y←Yo. corresponde a la solución de mediante la ecuación 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝛾𝑡 cos(𝜔1 𝑡) (20) Para ello. Calcular matriz Velocidad V V←-Yo*(gamma*cos(w*t))-w*sen(w*t)). h. Graficar Y vs. w←sqrt((k/m) .*funexp. 3-4 GB ▪ RAM : 1024 MB (se recomiendan al menos 2048 MB) ✓ Libros. b.*funexp. P 14. Inicio 2. 6. Graficar t vs. simplemente tabularemos. dándole los valores para cada valor de t. Calcular matriz Momento P←m*V. Y 12. Yo. como ya conocemos la solución. 10. Calcular frecuencia de amortiguamiento w. coeficiente disipativo. constante de resorte) Leer (tf. 1.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] ✓ El programa MATLAB R2014a ▪ Sistemas Operativos : De Windows XP (x64) en Adelante. 8. k. m.((b*b)/(4*m*m))). funexp←exp(-gamma*t). V 13. Yo. Y) title('Grafico 01: Posición vs. subplot(1. gamma=b/(2*m). Momento') xlabel('Posición (cm)') ylabel('Momento (kg cm/s)') Código Fuente del Programa conociendo la solución para el caso de amortiguamiento débil Figura 07: Valores solicitados por el programa. %Matriz Momentos P=m*V. h=input('Ingrese intervalos de tiempo en segundos: '). el comportamiento es de tipo de amortiguamiento débil.3) plot(Y.3.1) plot(t. k=input('Ingrese constante del resorte o longitud del péndulo N/m: ').*funexp. Y=Y0*funexp. Podemos verificar que.V) title('Grafico 02: Velocidad vs. b=input('Ingrese constante disipativa: ').P) title('Grafico 03: Posición vs. 11 .3.*cos(w*t). Tiempo') xlabel('Tiempo (s)') ylabel('Posición (cm)') subplot(1. por los valores ingresados. m=input('Ingrese masa del cuerpo oscilante kg: ').Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] function OscilacionAmortiguada() %tf tiempo final %h tamaño de pasos %Y0 amplitud inicial %m masa del cuerpo oscilante %b constante disipativa %k constante del resorte o longitud del péndulo %phi ángulo de fase tf=input('Ingrese tiempo final en segundos: ').3. t=[0:h:tf]'. funexp=exp(-gamma*t).2) plot(t. %Matriz velocidad V=-Y0*(gamma*cos(w*t)+w*sin(w*t)). Y0=input('Ingrese amplitud inicial en cm: '). w=sqrt((k/m)-(b^2)/(4*m^2)). Tiempo') xlabel('Tiempo (s)') ylabel('Velocidad (cm/s)') subplot(1. Grafico B. Velocidad vs. Las gráficas muestran el comportamiento de un oscilador amortiguado en el caso de tener un amortiguamiento débil. con la diferencia en que la constante disipativa b es igual a cero (Sin efecto disipativo) lo cual seria un movimiento oscilatorio subamortiguado (γ=0) o armónico simple. Tiempo.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Grafico A. 12 . Momento (diagrama de fase). Para las mismas condiciones anteriores. Tiempo y Posición vs. su Posición vs. 𝑎) 𝑚 𝑚 Por lo tanto. 3. seleccionamos la opción CONSTANT (constante) y trasladamos tres veces el bloque (son tres constantes en nuestra ecuación diferencial. La ecuación (07) se puede escribir despejando 𝑥̈ 𝑏 𝑘 𝑥̈ = − 𝑥̇ − 𝑥 (07. 1.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Desarrollo por SIMULINK Para desarrollar la ecuación diferencial (07) empleando SIMULINK. en la parte izquierda. En la barra de Menú. seleccionamos la opción Tools. verificamos que. la barra superior es a barra de Menu. 13 . debemos considerar los bloques que nos ayuden a hacer la división de cada par de constantes. diseñamos un circuito considerando cada uno de los términos. En la ventana de la Library Browser. Una vez allí. Figura 08: Ventana principal de Simulink. coeficiente de amortiguamiento y la constante de rigidez del resorte) Figura 09: La figura muestra la ventana de la Librería Browser y su lista de bloques. Seleccionamos los bloques y los ubicamos en la ventana principal. se encuentre en la opción Simulink ► Commonly Used Block. entonces consideramos dos bloques de multiplicación para las constantes y unimos las constantes con cada entrada de los bloques. masa. pestaña Library Browser. 2. Figura 11: La ventana de configuración del bloque producto. Por defecto. cada bloque toma a cada numero y los multiplica. para ello hacemos doble clic en cada bloque y luego le ponemos el signo de división “/” segundo el orden del valor donde se ingresó dicho número. 4. pero podemos antes invertir un numero (en este caso el valor de la masa divide a los otros coeficientes) y luego multiplicar con el sobrante. 14 .Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Figura 10: La unión de los bloques simplemente se efectuó al colocar el puntero sobre la entrada de cada bloque multiplicador hasta la salida de cada bloque constante. La función 𝑥̇ es la primera integral de 𝑥̈ . Como ambas constantes se multiplican por sus funciones (𝑥̇ y 𝑥) consideramos dos bloques mas para multiplicar a cada nueva constante obtenida en los dos productos anteriores Figura 12: La unión con los nuevos bloques productos 6.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] 5. 15 . 7. Figura 13: ubicación del bloque sumador. el cambio de un signo “+” por un “-” implica en el recuadro de Number Imputs cambia el signo en la parte entrante. también se puede configurar el bloque sumador haciendo doble clic. al igual que en el bloque productos. entonces a la salida del sumador debemos hacerlo pasar por un bloque Integrador. y 𝑥 será la integral de 𝑥̇ por lo tanto debemos hacerlo pasar por otro bloque integral para obtener 𝑥. Una vez obtenido los nuevos productos debemos sumar y obtener la función 𝑥̈ . 8. 9. Para poder rotar un bloque. le dimos click izquierdo y seleccionamos la opción Rotate & Flip y luego se puede aplicar una rotación horaria o anti horaria. Cada rotación se hace a 90° de su posición original. Figura 15: Colocamos los bloques Integradores y luego los rotamos para que se nos hiciera más fácil poder conectarlos entre sí y con los demás bloques.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Figura 14: Los bloques Integrator se encuentran en la librería Simulink ►Continous. Unimos los integradores y multiplicamos a cada uno de ellos con sus contantes uniéndolos en las entradas de los bloques de multiplicación 16 . Otra forma es seleccionar el bloque y presionar control R para una rotación horaria. debemos incluir un bloque que nos ayude a graficarlo. Para poder graficar la posición vs. en este caso es SCOPE. Figura 17: Los bloques Scope se encuentran en la librería de Simulink ► Sinks a estos bloques los conectamos a la salida del integrador de la velocidad y de la posición. 10. para calcular el momento. 11. el momento. Un SCOPE para la posición y otro para la velocidad. necesitamos graficar la posición vs. tiempo.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Figura 16: Unimos las partes faltantes de nuestro circuito. Un bloque SCOPE grafica la dependencia de una variable en el tiempo. En la implementación del diagrama de fase. multiplicaremos la masa por la velocidad añadiendo el bloque de masa y el bloque de multiplicación 17 . 18 . 13. Luego añadimos el bloque XY GRAPH que grafica dos variables diferentes al tiempo. Nuestro circuito que describe al sistema quedo del siguiente modo. 12.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Figura 18: Ubicación de los bloques constante y multiplicador para obtener el momento (masa por velocidad). Figura 19: Ubicación del bloque XYGraph. el cual unimos con la salida del momento y la posición. Observamos que las graficas son las mismas que las obtenidas con la función solución para el caso de amortiguamiento débil. constante de rigidez -0. Ahora presionamos el botón verde en la parte superior para poder correr programa.1. y condiciones iniciales de velocidad Inicial 0 y posición inicial 3.5.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Figura 20: Acabado final del sistema. Para darle las condiciones iniciales hacemos doble clic en cada bloque integrador. y luego hicimos doble clic en cada uno de los Scope. Figura 21: Graficas correspondientes a los valores de masa 0. coeficiente de disipación -0. recordando que la primera integral es la velocidad y la segunda es la posición 15. 14.5. 19 . Definir matriz V V←zeros(n. coeficiente disipativo. Observamos que las gráficas son las mismas que las obtenidas con la función solución para el caso de subamortiguamiento. Calcular Gamma←b/(2*m). m . coeficiente de disipación 0. Calcular matriz t = [0: h: tf]. constante de rigidez -0. Solución por Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden Para desarrollar el problema del oscilador amortiguado por el método de Runge-Kutta de cuarto orden. h. Calcular numero de elementos de la matriz t n←cantidad de elementos de t 7. k. Desde i←1 hasta n 20 .Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] 16.5. 6. Asignar primero elemento a Y Y(1. Vo. Escribir Datos: (tiempo final. 4. b. velocidad inicial.1) ←Vo 11. m. constante de resorte) Leer (tf. Amplitud Inicial.5. y condiciones iniciales de velocidad Inicial 0 y posición inicial 3. Asignar primer elemento a V V(1. Yo. 5. h. masa. k).1) 8.1) ←Yo 10. b.1) 9. Definir matriz Posicion Y←zeros(n. 1. 3. pasos. Luego consideramos el caso cuando el coeficiente de disipación es cero. Inicio 2. Figura 22: Graficas correspondientes a los valores de masa 0. Yo. Vo. Var real: tf. empleamos el siguiente algoritmo. ko=input('Ingrese constante del resorte o longitud del péndulo: ').1).1) ←Y(i. m=(m1+2*m2+2*m3+m4)/6.5*m2)+wo*(Y(i.5*k2)). m3=h*(V(i. Tiempo 15. 21 .1)+m3)+wo*(Y(i. V0=input('Ingrese velocidad inicial: ').5*k1)).5*k1).5*k1)).1)+0. k2←-h*(2*g*(V(i.5*m1)+wo*(Y(i. m← (m1+2*m2+2*m3+m4)/6.1)+0.5*k2). k4=-h*(2*g*(V(i.1) ←V(i. Y=zeros(n. Momento 17.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] k1←h*Y(i.5*m2)+wo*(Y(i. m2=h*(V(i. k4←-h*(2*g*(V(i. k3=-h*(2*g*(V(i. m4=h*(V(i. Y(i+1.1)=Y0. Fin desde 13.1)+k3)). g=b/(2*masa). V(i+1.1)+k. Graficar Velocidad vs.1). n=length(t).1)+0. Graficar Posición vs.1)+0.1)+k3)). b=input('Ingrese constante disipativa: ').1).%factor gamma wo=ko/masa.1)=V0.1). m3←h*(V(i.5*k1). k2=-h*(2*g*(V(i.1)+k3). Fin function RungeKuttaOscilAmortiguadoDZ() %tf tiempo final %h tamaño de pasos %Y0 amplitud inicial %V0 velocidad inicial %m masa del cuerpo oscilante %b constante disipativa %k constante del resorte o longitud del péndulo tf=input('Ingrese tiempo final: ').1)+0.5*m1)+wo*(Y(i. k3←-h*(2*g*(V(i. k←(k1+2*k2+2*k3+k4)/6. masa=input('Ingrese masa del cuerpo oscilante: '). Graficar Posición vs.5*k2)). Y(1. m1=V(i.1).1)+0. m1←V(i.1)+m.1)+k3). Tiempo 16. V(1. Calcular Matriz Momento P←masa*V 14.1)+0. t=[0:h:tf]'. k=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6. for i=1:n-1 k1=h*Y(i.1)+m3)+wo*(Y(i. V=zeros(n.1)+0.1). m2←h*(V(i. m4←h*(V(i.5*k2). Y0=input('Ingrese amplitud inicial: ').1)+0. 12.1)+0. h=input('Ingrese intervalos de tiempo: ').1)+0.1)+0. Podemos verificar que. Las gráficas muestran el comportamiento de un oscilador amortiguado en el caso de tener un amortiguamiento débil.1)) title('Tiempo vs Velocidad') xlabel('Tiempo (s)') ylabel('Velocidad (cm/s)') subplot(1.%Matriz de Momentos masa por velocidad subplot(1.3) plot(Y(:.V(:. P) title('Tiempo vs Posición') xlabel('Posición (cm)') ylabel('Momento (cm/s)') Figura 23: Valores solicitados por el programa. Velocidad vs. Momento (diagrama de fase) empleando el método de Runge-Kutta.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Y(i+1. por los valores ingresados.3.3.1)=Y(i.3.Y(:. Tiempo y Posición vs.1)=V(i.1)+m.1). end P=masa*V. Tiempo.1)+k. su Posición vs. el comportamiento es de tipo de amortiguamiento débil. Grafico C.1) plot(t. 22 .1)) title('Tiempo vs Posición') xlabel('Tiempo (s)') ylabel('Posición (cm)') subplot(1. V(i+1.2) plot(t. En el simulink. en el caso de subamortiguamiento (γ = 0) observamos que la figura 22 (empleando el Simulink) es prácticamente idéntica a la grafica A. es decir. para el caso de amortiguamiento débil (esto es para. porque las crestas son de mayor tamaño que las crestas de la solución esto es debido a que los otros dos gráficos son obtenidos por métodos numéricos. DISCUSIONES Consideramos los casos amortiguamiento débil. los cuales llevan son soluciones aproximadas y van sumando los errores debido a los procesos recursivos como es en el bucle for para el caso del Método Ringe-Kutta de cuarto orden. Para las mismas condiciones anteriores. muestra un comportamiento inusual donde la amplitud en vez de mantenerse constante. nos dimos cuenta por inspección rápida que el grafico C y la figura 21 difieren del grafico A. que ahora su incremento sería mucho más alto. γ < 0). con la diferencia en que la constante disipativa b es igual a cero (Sin efecto disipativo) lo cual sería un movimiento oscilatorio subamortiguado (γ=0) o armónico simple. el cual tiene como caso limite cuando b=0 (γ = 0) la oscilación subamortiguada. III. empleamos el método Runge-Kutta45 (por defecto) a fin de poder comparar con la gráfica de la función solución. porque fijamos la solución en nuestro programa de referencia.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] Grafico D. Sin embargo. se incrementa en cada periodo de oscilación. cuando comparamos el Gráficos D y la figura 22 con la figura B. los errores van incrementando porque ya no tiene un factor adicional que le ayude a disminuir como era el coeficiente de restitución. Estos resultados se deben a que a medida que se va haciendo mas interacciones. Comparamos el Gráficos C y las figura 21 con la figura A. 23 . pero el grafico D. este comportamiento es el típico caso cuando existe una fuerza adicional llamada fuerza de restitución. Jiménez S. L. Fecha de consulta: 28/01/2018. J. V. Editorial Reverte. Fecha de consulta: 29/01/2018. [03] Gilat. Segunda edición. Editorial Cengage Learning. (2008). nos da una mayor aproximación a la función solución que el Método de RK4 elaborado para este caso.. Primera edición. Recuperado de: http://www. (2008). (2009). E. Aguirre. Séptima edición. [08] Taylor. Métodos Numéricos para ciencias e ingeniería con Matlab. J. estructura de datos y objetos. Douglas. C.. R. Madrid.. (2002). Novena edición. Corea del Sur. Primera edición. Mientras mas iteraciones se haga (caso del bucle for. (2011). Primera edición. Editorial Reverte. Matlab: Una introducción con ejemplos prácticos. L. Editorial Raffo. CONCLUSIONES A pesar que el Simulink es una herramienta incluida en el Matlab. considerar los otros casos en cada algoritmo que nos permita comprar dichos métodos a fin de poder verificar. A. España. Editorial Thomson. Lima.Maestría en Ciencias Físicas Fundamentos Teóricos de la Computación [31/01/2018] IV. Fundamentos de Programación: Algoritmos.esi2. [02] Gekeler. [05] Raffo. Barcelona. J..pdf.. if. Análisis Numérico. [06] Ramírez J. Se sugiere para otros estudios. Recuperado de: http://www.es/~jaar/Datos/RegAuto/Practica3. (2009). Heidelberg. México. 24 . REFERENCIAS [01] Burden. Segunda edición.pdf. donde se aprecia la falla de dicho método en el caso de la oscilación subamortiguada. Alemania. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Editorial.es/~javierrp/master_files/Seminario%20de%20Matlab. Mecánica Clásica. Editorial Springer. (2005).. España. while) mayor será el incremento de los errores y por lo tanto nuestros resultados difieren del valor esperado. [07] Universidad de Granada. [04] Joyanes. Perú. México. Ciudad de México. Cuarta edición. Métodos Numéricos para la Física y la Ingeniería. (2013). [10] Zill D. A. Mathematical Methods for Mechanics A Handbook with MATLAB Experiments. Editorial Mc Graw Hill. Barcelona. España. Ciudad de México.ugr. Doosan.. Editorial Mc Graw Hill.us. [09] Vásquez. Pascual. así como también diferentes valores de parámetros incluidos los tamaños de pasos..
Report "El Oscilador Amortiguado en Matlab y Simulink"