Métodos y Técnicas Avanzadas en FísicaEL MODELO ESTÁNDAR Y SU FENOMENOLOGÍA Parte 1: La teoría electrodébil y herramientas de cálculo José Ignacio Illana Departamento de Física Teórica y del Cosmos Universidad de Granada Programa La teoría electrodébil El Modelo Estándar (SM) La simetría gauge: origen de las interacciones Rotura espontánea de la simetría gauge: origen de las masas Réplicas de familias fermiónicas Autoestados de masa y de interacción Conservación de sabor en corrientes neutras y GIM Mezcla de sabores de quarks: la matriz de CKM Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos Fermiones de Dirac y de Majorana Seesaw: ¿por qué los neutrinos son tan ligeros? Mezcla de sabores leptónicos: la matriz de PMNS Test de violación de número leptónico: 0νββ Oscilaciones de neutrinos 2 Observables Sección eficaz Anchura de desintegración Reglas de Feynman Reglas generales Algunos vértices genéricos Vértices del SM Cálculo de correcciones cuánticas a un loop Estructura de las amplitudes a un loop Cálculo explícito de las integrales Algunos casos sencillos Aplicación: factores de forma dipolares a un loop El vértice vector-fermión más general El momento magnético anómalo en QED y en el SM El proceso raro µ → eγ en el SM con neutrinos masivos 3 Capítulo 1 La teoría electrodébil 4 El Modelo Estándar (SM) [Glashow ’61, Weinberg ’67, Salam ’68] Teoría gauge basada en el grupo de simetrías locales SU(3)c ⊗ SU(2) L ⊗ U(1)Y • Interacciones ↔ intercambio de bosones de gauge (spin 1) – Fuerte: 8 gluones sin masa. – Electromagnética: 1 fotón sin masa (γ). – Débil: 3 bosones débiles masivos (W± y Z). • Contenido de materia fermiónica (spin 12 ): 3 familias de quarks y 3 de leptones. – Cada familia formada por dos partículas, f y f′ , con carga eléctrica Qf = Qf′ + 1 en unidades de la carga del protón, y sus corrrespondientes antipartículas. – Los quarks aparecen en tres posibles estados de color [RGB]. • Los campos se agrupan en multipletes (representaciones irreducibles): – Bajo SU(3)c los quarks son tripletes y los leptones singletes de color. – Bajo SU(2) L los campos left son dobletes y los right singletes de isospin débil. • Las tres familias con idénticas interacciones, sólo difieren en masas y sabor. • Simetría rota espontáneamente ↔ bosones débiles y fermiones masivos ⇒ Higgs? El Modelo Estándar 5 Fermiones I II III Q Bosones 1 spin 2 Quarks f uuu ccc ttt 2/3 spin 1 8 gluones Int. fuerte f′ ddd sss bbb −1/3 γ Int. electromagnética Leptones f νe νµ ντ 0 W± , Z Int. débil f′ e µ τ −1 spin 0 Higgs? Origen de las masas? Multipletes SU(3)c ⊗ SU(2) L ⊗ U(1)Y I II III 1 uL cL tL Quarks (3, 2, 6) dL sL bL Q = T3 + Y (3, 1, 32 ) uR cR tR (3, 1, − 31 ) dR sR bR Q: carga eléct. νeL νµ L ντL T: isospin débil Leptones (1, 2, − 12 ) Y: hipercarga eL µL τL (1, 1, −1) eR µR τR (1, 1, 0) νeR νµR ντR El Modelo Estándar 6 • A continuación construiremos el lagrangiano del Modelo Estándar de las interacciones electromagnéticas y débiles (teoría electrodébil) para una sola familia de quarks y leptones. • Ignoraremos las interacciones fuertes, que son independientes del sabor. El Modelo Estándar 7 La simetría gauge: origen de las interacciones • Sea un mundo con sólo dos fermiones (quarks o leptones) de spin 12 f y f′ libres y sin masa (campos f ( x ) y f ′ ( x ), resp.). Descrito por el lagrangiano de Dirac: L0F = i f¯( x )/ ∂ f ( x ) + i f¯′ ( x )/ ∂ f ′ (x) = i ∑ ψ̄j ( x )/ ∂ψj ( x ) , ∂ ≡ γµ ∂µ , con / j=1,3 agrupando las componentes left en un doblete y las right en dos singletes, fL ψ1 = , ψ2 = f R , ψ3 = f R′ , f L′ (′ ) ′ f¯R,L = f¯( ) PL,R , con PR,L = 12 (1 ± γ5 ). ′ () ′ donde f R,L = PR,L f ( ), • Para que el lagrangiano sea invariante bajo transformaciones gauge (locales) bajo G = SU(2) L ⊗ U(1)Y : n σ o G i i ψ1 ( x ) −→ UL ( x ) exp{iy1 β( x )}ψ1 ( x ) , UL ( x ) = exp i α ( x ) , i = 1, 2, 3 , 2 G ψ2 ( x ) −→ exp{iy2 β( x )}ψ2 ( x ) , G ψ3 ( x ) −→ exp{iy3 β( x )}ψ3 ( x ) , El Modelo Estándar La simetría gauge 8 hemos de reemplazar ∂µ por la derivada covariante (convención de signos): h i ′ e µ ( x ) + ig y1 Bµ ( x ) ψ1 ( x ) , Dµ ψ1 ( x ) ≡ ∂µ − igW ′ Dµ ψ2 ( x ) ≡ ∂µ + ig y2 Bµ ( x ) ψ2 ( x ) , ′ Dµ ψ3 ( x ) ≡ ∂µ + ig y3 Bµ ( x ) ψ3 ( x ) , donde se introducen g y g′ , las σi son las tres matrices de Pauli y e µ ( x ) ≡ σi Wµi ( x ) . W 2 • Las propiedades de transformación de los campos de gauge (Bµ , Wµi ) quedan fijadas. Son las que hacen que los Dµ ψj ( x ) se transformen igual que los ψj ( x ): G 1 Bµ ( x ) −→ Bµ ( x ) − ′ ∂µ β( x ) , g e G e † i † Wµ ( x ) −→ UL ( x )Wµ ( x )UL ( x ) − ∂µ UL ( x ) UL ( x ) . g El Modelo Estándar La simetría gauge 9 Nota: En general, si { Ta } son los generadores del grupo, { Aµa ( x )} los bosones de gauge asociados y {θ a ( x )} los parámetros de la transformación, es fácil comprobar que la derivada covariante es eµ , Dµ = ∂µ − ig A eµ = Ta Aµa con A si los campos se transforman ψ → Uψ, U = exp{iTa θ a ( x )} i eµ A e † → U A µ U − ( ∂ µ U )U † g De este modo, Dµ ψ → UDµ ψ y ψ̄/ Dψ queda invariante. • Como hay cuatro parámetros de gauge, αi ( x ) y β( x ), para mantener la invariancia gauge, hemos tenido que introducir tres bosones vectoriales, Wµi ( x ), uno por cada generador de SU(2), y otro más, Bµ ( x ), para el grupo U(1). • Nótese que la simetría dicta la forma de las interacciones. Los acoplamientos g y g′ , así como las hipercargas yi , son parámetros libres. El Modelo Estándar La simetría gauge 10 • El lagrangiano resultante es invariante bajo las transformaciones gauge de G: 3 L F = i ∑ ψ̄j ( x )Dψ / j (x) j=1 • Para que la teoría sea completa han de añadirse los términos cinéticos para los bosones de gauge: 1 µν 1 n e e µν o 1 µν 1 i µν L G = − Bµν B − Tr Wµν W = − Bµν B − Wµν Wi 4 2 4 4 donde Bµν ≡ ∂µ Bν − ∂ν Bµ , i h i e µν ≡ W e µ , ∂ν − igW ∂µ − igW e ν = ∂µ W e ν − ∂ν W e ν − ig[Weµ , W e ν] , g σi i i j e Wµν ≡ Wµν , Wµν = ∂µ Wνi − ∂ν Wµi + gǫijk Wµ Wνk . 2 σi σj σk y hemos sustituido las constantes de estructura de SU(2): , = iǫijk . 2 2 2 El Modelo Estándar La simetría gauge 11 e µν se • El tensor Bµν es invariante bajo las transformaciones de G, mientras que W transforma covariantemente, G G e µν −→ e µν U † , Bµν −→ Bµν , W UL W L así que L G es también invariante gauge. • Como SU(2) es no abeliano, L G da lugar a autointeracciones cúbicas y cuárticas entre sus bosones de gauge. La intensidad de tales interacciones viene dada por el mismo acoplamiento g que aparece en la parte fermiónica L F . El Modelo Estándar La simetría gauge 12 Interacciones de corrientes cargadas • El lagrangiano L F contiene interacciones entre fermiones y bosones de gauge, 3 e µ ψ1 − g′ Bµ ∑ y j ψ̄j γµ ψj . L F ⊃ gψ̄1 γµ W j=1 • El término que contiene la matriz √ 3 2Wµ† σi 1 e µ = Wµi = √ W µ W 2 2 2Wµ −Wµ3 da lugar a interacciones de corrientes cargadas con el campo vectorial cargado de ± 1 2 √ † 1 2 √ las W , Wµ ≡ (Wµ + iWµ )/ 2 y su complejo conjugado Wµ ≡ (Wµ − iWµ )/ 2, g n †¯ o LCC = √ Wµ f ( x )γµ (1 − γ5 ) f ′ ( x ) + h.c. . 2 2 ν ℓ u d W W W W ℓ ν d u El Modelo Estándar La simetría gauge 13 Interacciones de corrientes neutras • El término anterior 3 e µ ψ1 − g′ Bµ ∑ y j ψ̄j γµ ψj L F ⊃ gψ̄1 γµ W j=1 también contiene interacciones con los campos de gauge neutros Wµ3 y Bµ . Nos gustaría identificar estos campos con los del Z y el fotón, respectivamente. Sin embargo, como el fotón tiene las mismas interacciones con ambas quiralidades fermiónicas, el bosón de gauge Bµ no puede ser el campo electromagnético Aµ . Para ello habría que imponer y1 = y2 = y3 y g′ y j = eQ j , lo que es imposible. • Como ambos campos son neutros, probemos con una combinación de ellos: Wµ3 cos θW − sin θW Z ≡ µ . Bµ sin θW cos θW Aµ El Modelo Estándar La simetría gauge 14 • En términos de Zµ y Aµ el lagrangiano de corrientes neutras quedaría: 3 µ ′ ′ LNC = ∑ ψ̄j γ − Aµ gT3 sin θW + g y j cos θW + Zµ gT3 cos θW − g y j sin θW ψj , j=1 donde T3 = σ3 /2 (0) es la tercera componente del isospin del doblete (singlete). • Para obtener la electrodinámica cuántica (QED) de la parte con Aµ imponer: g sin θW = g′ cos θW = e , Y = Q − T3 Qf 0 donde Q1 = , Q2 = Q f , Q3 = Q f ′ es el operador de carga eléctrica. 0 Qf′ La primera igualdad relaciona los acoplamientos g y g′ de SU(2) y U(1), con el acoplamiento electromagnético e: unificación de las interacciones electrodébiles. La segunda fija las hipercargas fermiónicas Y en términos de las cargas eléctricas y los números cuánticos de isospin débil: 1 1 y1 = Q f − = Qf′ + , y2 = Q f , y3 = Q f ′ . 2 2 El Modelo Estándar La simetría gauge 15 • Sustituyendo las cargas de los quarks y los leptones, observamos que los neutrinos right tienen carga e hipercarga nulas, es decir no se acoplan ni al fotón ni a la Z, y tampoco se acoplan a los W± , pues sólo lo hacen los campos left. Por tanto los νR son estériles y, si los neutrinos no tuvieran masa, no haría falta introducirlos. • El lagrangiano de corrientes neutras queda finalmente: Z LNC = LQED + LNC , donde LQED = −eAµ Q f (′ ) f¯( ) ( x )γµ f ( ) ( x ) , ′ ′ Z LNC ¯(′ ) µ (′ ) = eZµ f ( x )γ (v f − a f γ5 ) f ( x ) , f f con v f = ( T3 L − 2Q f sin2 θW )/(2 sin θW cos θW ) y a f = T3 L /(2 sin θW cos θW ). f f γ Z f = u, d, ℓ f = u, d, ν, ℓ El Modelo Estándar La simetría gauge 16 Autointeracciones de bosones de gauge • Del lagrangiano L G se extraen los términos de autointeracción triple y cuártica: n o L3 = −ie cot θW W µν Wµ† Zν − Wµν † W µ Z ν − Wµ† Wν Z µν n o +ie W µν Wµ† Aν − Wµν† W µ Aν − Wµ† Wν F µν W W γ Z W W El Modelo Estándar La simetría gauge 17 2 e2 L4 = − Wµ† W µ − W † µ† µ W Wν W ν 2 sin2 θW n o −e2 cot2 θW Wµ† W µ Zν Z ν − Wµ† Z µ Wν Z ν n o +e2 cot θW 2Wµ† W µ Zν Aν − Wµ† Z µ Wν Aν − Wµ† Aµ Wν Z ν n o 2 † µ ν † µ ν −e Wµ W Aν A − Wµ A Wν A W W W γ W γ W Z W W W γ W Z W Z • Nótese que siempre hay como mínimo un par de bosones cargados W y que no hay ningún vértice neutro con sólo fotones y bosones Z. El Modelo Estándar La simetría gauge 18 La rotura espontánea de la simetría gauge: origen de las masas • La simetría gauge, que ha determinado cómo son las interacciones, prohibe términos de masa para los bosones de gauge. También para los fermiones. • La rotura espontánea de la simetría (SSB) aparece cuando el vacío del sistema (estado de mínima energía) está degenerado. El vacío físico es uno entre los posibles estados de mínima energía conectados por las simetrías del lagrangiano. Cuando la naturaleza lo elige se rompe la simetría de los estados físicos, aunque se preserva la del lagrangiano. • El resultado de la SSB depende del tipo de simetrías. – Si el lagrangiano es invariante bajo un grupo continuo G, pero el vacío es invariante sólo bajo un subgrupo H ⊂ G, aparecen tantos estados sin masa y spin 0 (bosones de Goldstone) como generadores de G que no lo son de H, es decir, el número de simetrías que se han roto (teorema de Goldstone). [Nambu ’60, Goldstone ’61] – Si las simetrías del lagrangiano son locales (gauge) estos bosones de Goldstone son comidos por los bosones de gauge asociados a las simetrías rotas dotándolos de una masa (mecanismo de Higgs-Kibble). [Higgs ’66, Kibble ’67] El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 19 • Ejemplo más sencillo de SSB: un campo escalar complejo φ( x ) con lagrangiano L = ∂µ φ† ∂µ φ − V (φ) , V ( φ ) = µ2 φ † φ + λ ( φ † φ ) 2 , donde λ > 0 para que exista un estado de mínima energía (el vacío). Este lagrangiano es invariante bajo transformaciones globales de fase U(1), U(1 ) φ( x ) −→ exp{iθ }φ( x ) . Si µ2 > 0, el potencial tiene sólo un mínimo trivial, en φ( x ) = 0. Se trata entonces de un campo escalar de masa µ y acoplamiento cuártico λ. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 20 Si µ2 < 0, el mínimo corresponde a las configuraciones del campo que satisfacen r − µ2 v λ 4 |h0|φ( x )|0i| ≡ |φ0 ( x )| = ≡ √ >0, V (φ0 ) = − v . 2λ 2 4 Existe entonces un número infinito de vacíos, conectados por transformaciones v φ0 ( x ) = √ exp{iθ } . 2 Eligiendo uno como el estado fundamental del sistema (vacío físico), por ejemplo θ = 0, la simetría se rompe espontáneamente. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 21 Si parametrizamos las excitaciones del campo sobre el vacío físico como 1 φ( x ) = √ [v + ϕ1 ( x ) + iϕ2 ( x )] , 2 donde ϕ1 ( x ) y ϕ2 ( x ) son campos reales, el potencial toma la forma λ 2 V (φ) = V (φ0 ) − µ2 ϕ21 + λvϕ1 ( ϕ21 + ϕ22 ) + ( ϕ1 + ϕ22 )2 . 4 p – Vemos que ϕ1 tiene masa m ϕ1 = −2µ2 , mientras que ϕ2 no tiene masa. – La aparición de esta partícula sin masa (bosón de Goldstone) es fácil de entender: ϕ2 describe las excitaciones a lo largo de una dirección plana del potencial, es deci a estados que tienen la misma energía del estado fundamental. Estas excitaciones no cuestan energía y corresponden por tanto a un estado sin masa. – En este caso hay un solo bosón de Goldstone porque al elegir un vacío hemos roto la única simetría (bajo transformaciones de fase) del vacío. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 22 Masas para los bosones de gauge débiles • Veamos ahora cómo implementar este mecanismo para dar masa a los bosones de gauge débiles del SM. En el SM la simetría está rota del siguiente modo, SSB SU(2) L ⊗ U(1)Y −→ U(1)QED . • Para lograr este esquema de SSB hemos de introducir un doblete de campos escalares complejos (cuatro campos reales: dos cargados y dos neutros): φ(+) Φ= φ (0 ) y el lagrangiano invariante bajo SU(2) L ⊗ U(1)Y : L S = ( Dµ Φ ) † D µ Φ − V ( Φ ) , V ( Φ ) = µ2 Φ † Φ + λ ( Φ † Φ ) 2 con λ > 0, µ2 < 0 y h i 1 ′ e µ + ig yΦ Bµ Φ , Dµ Φ = ∂µ − igW yΦ = QΦ − T3 = . 2 El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 23 • El potencial escalar es similar al anterior y el mínimo degenerado corresponde a r 1 0 − µ2 |h0|Φ( x )|0i| ≡ |Φ0 ( x )| = √ , v= . 2 v λ Sólo los campos escalares neutros pueden adquirir un valor esperado en el vacío (vev) pues la carga es una cantidad conservada. Nótese que el fotón sólo se acopla a los campos escalares cargados, cuyo vev es nulo, lo que será crucial para que el fotón no adquiera masa, como veremos. Al elegir uno entre los posibles estados fundamentales, todos ellos conectados por transformaciones SU(2) L ⊗ U(1)Y (cuatro generadores), se rompe espontáneamente esta simetría quedando como remanente U(1)QED (un generador), lo que da lugar a la aparición de tres escalares sin masa. • Parametrizamos el doblete escalar como excitaciones sobre el vacío físico, n σ o 1 0 i i , Φ( x ) = exp i θ ( x ) √ 2 2 v + H (x) donde sigue habiendo cuatro campos escalares reales, θ i ( x ) y H ( x ). El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 24 • Los tres campos θ i ( x ), son los que serían bosones de Goldstone pero haciendo uso de la invariancia gauge del langrangiano podemos transformar Φ( x ) en cada punto x por un campo en el que éstos desaparecen, preservándose como único campo escalar físico el bosón de Higgs H ( x ). Así, en el llamado gauge unitario, n σ o 1 0 G i i . Φ( x ) −→ exp −i θ ( x ) Φ( x ) = √ [v + H ( x )] 2 2 1 • Los tres grados de libertad que aparentemente se pierden se convierten en el estado de polarización longitudinal de W± y Z pues, tras la SSB, Wµ y Zµ se convierten en campos masivos de spin 1. En efecto, 2 2 G 1 g g ( Dµ Φ)† Dµ Φ −→ ∂µ H∂µ H + (v + H )2 Wµ† W µ + 2 Z µ Z µ , 2 4 8 cos θW que contiene los términos de masa para los bosones débiles, 1 MZ cos θW = MW = vg , 2 mientras que el fotón permanece sin masa. Todo ello preservándose la simetría gauge del lagrangiano. El precio a pagar es la introducción del campo de Higgs. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 25 El bosón de Higgs • LS incluye el bosón de Higgs y sus autointeracciones (cúbicas y cuárticas), L H , así como las interacciones del Higgs con los bosones de gauge, L HV 2 : 1 LS ⊃ λv4 + L H + L HV 2 , 4 donde 1 µ 1 2 2 M2H 3 M2H 4 LH = ∂µ H∂ H − M H H − H − 2H , 2 2 2v 8v 2 2 2 2 H 1 2 H L HV 2 = MW Wµ† W µ 1 + H + 2 + M2Z Zµ Z µ 1 + H + 2 v v 2 v v y la masa de Higgs viene dada por q √ 2 M H = −2µ = 2λv . El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 26 W Z H H W Z W H Z H W H Z H H H H H H H H • El bosón de Higgs es la única pieza del SM que aún no se ha descubierto. El SM no predice el valor de su masa, a la que se ha puesto cota experimentalmente: M H > 114.4 GeV (95% CL.) . El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 27 Parámetros del modelo: predicciones y medidas • Hasta ahora hemos introducido cuatro parámetros libres: g, g′ , λ y µ o equivalentemente α = e2 /(4π ), sin2 θW , MZ y M H . • Nótese que el modelo predice que MW < MZ , lo que está de acuerdo con los valores experimentales: MZ = 91.1876 ± 0.0021 GeV , MW = 80.425 ± 0.038 GeV . • De estos valores experimentales se deduce el ángulo de mezcla electrodébil 2 MW 2 sin θW = 1 − 2 = 0.223 , MZ valor que está de acuerdo con el que se obtiene a partir de la medida de la constante de Fermi GF = (1.16637 ± 0.00001) · 10−5 GeV−2 , que a su vez se obtiene de la medida de la vida media del muón, τµ = (2.19703 ± 0.00004) · 10−6 s: 1 GF2 m5µ 2 2 = Γµ = 3 f ( m e /m µ) , f ( x ) ≡ 1 − 8x + 8x3 − x4 − 12x2 log x , τµ 192π El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 28 recordando que, a partir del modelo de Fermi de cuatro fermiones, g2 g2 4πα √ 2 2 ≈ 2 = 2 2 ≡ 4 2GF . MW − q MW sin θW MW Usando las medidas de α−1 = 137.03599911 (46), MW y GF se obtiene sin2 θW = 0.215, en bastante buen acuerdo con el valor obtenido anteriormente. La pequeña discrepancia se resuelve cuando se incluyen las correcciones radiativas (cuánticas). • La constante de Fermi también proporciona directamente el vev del campo escalar (la llamada escala electrodébil), √ −1/2 v= 2GF = 246 GeV . El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 29 Masas para los fermiones • Consideremos por el momento sólo una familia de quarks y leptones. Un término de masa fermiónico Lm = −mψ̄ψ = −m(ψ̄L ψR + ψ̄R ψL ) no está permitido porque rompe explícitamente la simetría gauge. Sin embargo, como hemos introducido un doblete escalar adicional en el modelo, podemos escribir el siguiente acoplamiento fermión-escalar invariante gauge: φ(+) φ(0)∗ φ(+) LY = − y 1 ū, d¯ L d R − y2 ū, d¯ L uR − y3 (ν̄e , ē) L eR + h.c. , φ ( 0) −φ(−) φ ( 0) donde el segundo término involucra el campo escalar conjugado de carga Φc ≡ iσ2 Φ∗ (que se transforma bajo SU(2) de la misma forma que Φ) y hemos supuesto que no existe el νR . • Después de la SSB, este lagrangiano tipo Yukawa toma la forma 1 ¯ LY = − √ (v + H ) y1 dd + y2 ūu + y3 ēe 2 en el gauge unitario. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 30 • Así que la SSB también genera las masas de los fermiones, proporcionales a los correspondientes acoplamientos de Yukawa: v v v m d = y1 √ , m u = y2 √ , m e = y3 √ . 2 2 2 • Las masas de los fermiones se determinan experimentalmente. Los acoplamientos de Yukawa se fijan en términos de las masas: H LY = − 1 + ¯ + mu ūu + me ēe md dd v f H f = u, d, ℓ El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 31 Réplicas de familias fermiónicas • En la naturaleza existen tres familias de quarks y leptones. Son copias idénticas de la misma estructura SU(2) L ⊗ U(1)Y . Sólo difieren en los valores de las masas. • Consideremos el caso general de n G generaciones de fermiones y denotemos νjI , ℓ jI , u jI , d jI los miembros de la familia j (j = 1, . . . , n G ), con propiedades de transformación bien definidas bajo el grupo de gauge. Hasta ahora habíamos omitido el superíndice I. • El lagrangiano de Yukawa invariante gauge más general tiene la forma φ (+) φ (0)∗ ū jI , d¯jI y jk ( d ) dI + y ( u ) uI LY = − ∑ kR jk kR L φ ( 0 ) −φ (−) jk φ (+) (l ) + ν̄jI , ℓ̄ jI y jk ℓI kR + h.c., L φ ( 0 ) (d) (u) (l ) donde y jk , y jk and y jk son constantes de acoplamiento arbitrarias y seguimos suponiendo que no existen neutrinos right. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 32 Autoestados de masa y de interacción • Después de la SSB, the el lagrangiano de Yukawa puede escribirse n o H I I I I I I LY = − 1 + d L Md d R + u L Mu u R + l L Ml l R + h.c. . v Los símbolos d I , u I y l I denotan vectores en el espacio de sabor n G -dimensional. • Las matrices de masa vienen dadas por (d) v (u) v (l ) v (Md )ij ≡ yij √ , (Mu )ij ≡ yij √ , (Ml )ij ≡ yij √ . 2 2 2 • La diagonalización de estas matrices determina los autoestados de masa d j , u j y ℓ j , combinaciones lineales de autoestados de interacción d jI , u jI y ℓ jI , respectivamente. • Las tres matrices M f pueden escribirse como M f = H f U f = S†f M f S f U f ⇐⇒ M f M†f = H2f = S†f M2f S f q donde H f ≡ M f M†f es una matriz hermítica definida positiva y U f es unitaria. Cada H f puede diagonalizarse mediante una matriz unitaria S f . La matriz resultante, M f , es diagonal y definida positiva. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 33 • En términos de las matrices diagonales Md = diag(md , ms , mb , . . .) , Mu = diag(mu , mc , mt , . . .) , Ml = diag(me , mµ , mτ , . . .) el lagrangiano de Yukawa toma la forma n o H LY = − 1 + d Md d + u Mu u + l Ml l , v donde los autoestados de masa se definen mediante d L ≡ Sd d LI , u L ≡ Su u LI , l L ≡ Sl l LI , d R ≡ Sd Ud d RI , u R ≡ Su Uu u RI , l R ≡ Sl Ul l RI . • Nótese, que los acoplamientos con el Higgs son proporcionales a las masas. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 34 Conservación del sabor en corrientes neutras y GIM • Como f LI f LI = f L f L y f RI f RI = f R f R ( f = u, d, ℓ), la forma del lagrangiano de corrientes neutras es la misma en términos de los autoestados de masa. • Por tanto, no existen corrientes neutras que cambien el sabor (FCNC) en el SM (mecanismo GIM). [Glashow, Iliopoulos, Maiani ’70] Mezcla de sabores de quarks: la matriz de CKM • Sin embargo, u LI d LI = u L Su S†d d L 6= u L d L , pues en general Su 6= Sd . Se define la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM): [Cabibbo ’63; Kobayashi, Maskawa ’73] V ≡ Su S†d ⇒ u LI d LI = u L V d L . • La matriz n G × n G de CKM es unitaria y aparece en interacciones de corrientes cargadas de quarks: ( " # ) g LCC = √ Wµ† ∑ ūi γµ (1 − γ5 ) Vij d j + ∑ ν̄ℓ γµ (1 − γ5 ) ℓ + h.c. . 2 2 ij ℓ= e,µ,τ El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 35 • La matriz V acopla cada quark tipo up a todos los quarks de tipo down. dj ui W Vij W V∗ij ui dj • Hemos supuesto que los neutrinos no tienen masa. En ese caso, siempre podemos redefinir los sabores de los neutrinos de modo que eliminamos la mezcla análoga en el sector leptónico: ν LI l LI = ν LI Sl l L ≡ ν L l L y tenemos conservación de sabor. • Nótese que si los ui o los d j tuvieran masas degeneradas podríamos igualmente redefinir los campos y habría conservación de sabor en el sector de quarks. • Si se incluyen campos νR podrían introducirse acoplamientos de Yukawa para los ( ν) √ neutrinos, dando lugar a una matriz de masas (Mν )ij ≡ yij v/ 2 y obtendríamos violación del sabor leptónico a través de una matriz de mezcla análoga a la CKM. El fenómeno de las oscilaciones de neutrinos, que estudiaremos en la siguiente sección, nos indica que en realidad los neutrinos tienen masa, aunque diminuta. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 36 • Las masas de los fermiones y la matriz de mezcla V de los quarks vienen (f) determinadas por las correpondientes matrices de acoplamientos de Yukawa yij , que son parámetros libres. • Una matriz n G × n G unitaria general se caracteriza por n2G parámetros reales: n G (n G − 1)/2 módulos y n G (n G + 1)/2 fases. Varias de estas fases son irrelevantes, porque uno puede redefinir las fases de los campos (no son físicas): ui → eiφi ui y d j → eiθ j d j , de modo que Vij → Vij ei(θ j −φi ) . Esto significa que hay 2n G − 1 fases inobservables. Por tanto, el número de parámetros libres físicos se reduce a (n G − 1)2 : n G (n G − 1)/2 módulos y (n G − 1)(n G − 2)/2 fases. • Así, si sólo se mezclan dos generaciones V viene determinada por un solo parámetro, el ángulo de Cabibbo: cos θC sin θC V = . − sin θC cos θC El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 37 • Para n G = 3, la matriz de CKM viene descrita por 3 ángulos y una fase. Existen diferentes (pero equivalentes) representaciones. La parametrización estándar es: Vud Vus Vub V = Vcd Vcs Vcb Vtd Vts Vtb 1 0 0 c13 − iδ 0 s13 e 13 c12 s12 0 = 0 c23 s23 0 1 0 −s12 c12 0 0 −s23 c23 −s13 eiδ13 0 c13 0 0 1 c12 c13 s12 c13 s13 e−iδ13 = −s12 c23 − c12 s23 s13 eiδ13 c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ13 s23 c13 , s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ13 −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ13 c23 c13 donde cij ≡ cos θij y sij ≡ sin θij (i, j = 1, 2, 3). • Los ángulos θ12 , θ13 y θ23 pueden hacerse yacer todos en el primer cuadrante, mediante redefinición de fases de los campos. Así cij ≥ 0 , sij ≥ 0 y 0 ≤ δ13 ≤ 2π . El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 38 • Nótese que δ13 es la única fase compleja del lagrangiano del SM. Por ello, es la única fuente posible de violación de CP. De hecho, fue por esta razón que se supuso existía una tercera generación, antes del descubrimiento del bottom y el τ. Con sólo dos generaciones, el SM no podría explicar la violación de CP en el sistema de kaones, por ejemplo. • Experimentalmente se tiene acceso sólo a los módulos de Vij . En la siguiente tabla se presentan los valores que se han podido determinar directamente. El resto se obtienen utilizando la unitariedad de la matriz. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 39 [A. Pich ’05] CKM Valor Fuente |Vud | 0.9740 ± 0.0005 Desintegración β nuclear 0.9729 ± 0.0012 n → p e− ν̄e 0.9749 ± 0.0026 π + → π 0 e+ νe 0.9739 ± 0.0005 promedio |Vus | 0.2220 ± 0.0025 K → πe+ νe 0.2199 ± 0.0026 Desintegraciones de hiperones 0.2208 ± 0.0034 Desintegraciones de τ 0.2219 ± 0.0025 K+ /π + → µ+ νµ y retículo 0.2212 ± 0.0025 promedio |Vcd | 0.224 ± 0.012 νd → cX |Vcs | 0.97 ± 0.11 W+ → cs̄ 0.975 ± 0.013 W+ → had. , Vuj , Vcd , Vcb |Vcb | 0.0414 ± 0.0021 B → D∗ ℓν̄ℓ 0.0410 ± 0.0015 b → c ℓ ν̄ℓ 0.0411 ± 0.0015 promedio |Vub | 0.0033 ± 0.0006 B → ρ ℓ ν̄l , π ℓ ν̄ℓ 0.0047 ± 0.0009 b → u ℓ ν̄ℓ 0.0037 ± 0.0005 promedio q 0.16 |Vtb | / ∑q |Vtq |2 0.97 + −0.12 t → b W/q W δ13 60◦ ± 14◦ sistemas K y B El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 40 Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos • Hemos visto que si los neutrinos no tuvieran masa (o si todos tuvieran la misma masa aunque no fuera nula) no habría mezcla de sabores en el sector leptónico, se conservaría el sabor leptónico: el número de electrones, el de muones y el de taus. • Sin embargo, debido el fenómeno de las oscilaciones de neutrinos, sabemos que los neutrinos no están degenerados en masa. • Podrían entonces darse procesos tales como µ → eγ, y otros parecidos, que estudiaremos en otro capítulo. • En éste nos centraremos en qué son las oscilaciones, en qué experimentos se han observado y qué información nos aportan sobre las masas de los neutrinos y la matriz de mezcla de los leptones. • Previamente necesitamos introducir el concepto de fermión de Majorana. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 41 Fermiones de Dirac y de Majorana • A diferencia de los quarks y los leptones cargados, los neutrinos pueden ser su propia antipartícula (fermiones de Majorana), porque todas sus cargas son nulas. Esto abre la posibilidad de que neutrinos y antineutrinos se mezclen, enriqueciendo aún más la mezcla de sabores. • Recordemos que un fermión de Dirac es un campo (espinor) con cuatro componentes independientes: dos estados de quiralidad (left y right) para los estados de partícula y antipartícula: ψL = PL ψ , ψR = PR ψ , ψcL ≡ (ψL )c = PR ψc , ψRc ≡ (ψR )c = PL ψc , donde ψc ≡ C ψ̄ T = iγ2 ψ∗ es el espinor conjugado (transformado bajo conjugación de carga) con C = iγ2 γ0 , ψ̄ = ψ† γ0 y PR,L = 12 (1 ± γ5 ). • Un fermion de Majorana tiene en cambio dos grados de libertad pues ψc ≡ η ∗ ψ: ψL = ηψRc , ψR = ηψcL , donde |η |2 = 1. Veremos que η es proporcional a la CP-paridad, η = −iηCP . El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 42 Nótese que: C † = C T = C −1 = −C y Cγµ C −1 = −γµT . Veamos que la CP-paridad de un campo de Majorana es ηCP = ±i: Nota: Los operadores sobre el espacio de Dirac (ej. C) conmutan con los que actúan sobre el espacio de Fock (ej. UCP ). † UCP ψ( x )UCP ≡ ηCP γ0 ψ( xP ) , donde x ≡ ( x0 , ~x ) , xP ≡ ( x0 , −~x ) † ⇒ UCP ψ∗ ( x )UCP ∗ = ηCP γ0T ψ∗ ( xP ) , pues (γ0 ψ)∗ = (ψ† γ0 ) T = γ0T ψ∗ † ⇒ UCP C ψ̄ T ( x )UCP ∗ = ηCP Cγ0T ψ̄ T ( xP ) , pues ψ̄ T = (ψ† γ0 ) T = γ0T ψ∗ † ⇒ UCP C ψ̄ T ( x )UCP ∗ = −ηCP γ0 C ψ̄ T ( xP ) , pues Cγ0T C −1 = −γ0 † ⇒ UCP ψc ( x )UCP ∗ = −ηCP γ0 ψ c ( xP ) . Comparando la primera y la última igualdad y utilizando que ψ = ηψc : ∗ ηCP = −ηCP ⇒ ηCP = ±i q.e.d. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 43 • Veamos que hay tres tipos de términos de masa podemos construir a partir de todos los bilineales escalares posibles: ψL ψR = ψRc ψcL , ψR ψL = ψcL ψRc (∆F = 0) ψL ψcL , ψcL ψL (|∆F | = 2) ψR ψRc , ψRc ψR • El término de masa tipo Dirac conecta componentes L y R del mismo campo, −LD = m D ψR ψL + h.c. Los de tipo Majorana conectan componentes L y R de campos conjugados, 1 1 −LM = m L ψcL ψL + m R ψRc ψR + h.c. . 2 2 Nótese que ψc = ψ T C. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 44 • Vemos que el término de masa de Dirac conserva el número fermiónico (∆F = 0) mientras que los de Majorana lo violan en dos unidades (|∆F | = 2). • En general, ambos tipos de términos pueden estar presentes y entonces 1 1 −LDM = m D ψR ψL + m L ψL ψL + m R ψRc ψR + h.c. . c 2 2 • Conviene introducir un doblete de campos de Majorana autoconjugados (χ0c 0 i = χi ): χ 0 ψ ψ c L χ0 = 1 = χ0L + χ0R , χ0L = , χ0R = χ0c L = L . χ20 c ψR ψR • Entonces 1 0 1 0T 0 1 0 0 −LDM = χ0c Mχ L + h.c. = χ L CMχ L + h.c. = χ Mχ L + h.c. , 2 L 2 2 R mL mD donde M = . mD mR El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 45 • M es una matriz cuadrada, simétrica (y real si se conserva CP). Puede diagonalizarse con una matriz unitaria Ũ (u ortogonal Ue = O ) mediante: Ue T MUe = M = diag(m1′ , m2′ ) , χ0L = Ue χ L , χ0R = χ0c L = e∗ χR . U • Para conseguir que los autovalores sean reales y positivos, la matriz Ue puede √ multiplicarse por una matriz diagonal de fases complejas η: √ Ue → U ≡ Ue η , ηij = ηi δij , ηi ∈ R, que corresponde a elegir los campos físicos como c ξ i = χiL + ηi χiL , de donde ξ ic = ηi ξ i . Comprobaremos que si se conserva CP las ηi son los signos de los correspondientes autovalores mi′ : ηi = signo(mi′ ) , mi = ηi mi′ . El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 46 † = iγ0 Cξ ( x ). T Veamos ahora que si hay invariancia CP entonces: UCP ξ L ( x )UCP L P En efecto: T † ≡ ργ0 Cξ ( x ), donde ρ es una fase que vamos a determinar. Sea UCP ξ L ( x )UCP L P Si el lagrangiano LDM es invariante bajo CP entonces: † = L UCP LDM ( x )UCP DM ( xP ). Por tanto: † UCP ξ LT ( x )CMξ L ( x )UCP = ξ LT ( xP )CMξ L ( xP ) T ξ L ( xP )ρMρCξ L ( xP ) = ξ LT ( xP )CMξ L ( xP ) ⇒ ρMρ = −M† , pues C † = −C de donde ρ = ±i. Elegimos ρ = i. También obtenemos que M es real (M = M∗ ) pues es simétrica. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 47 Veamos finalmente que si ξ = ηξ c entonces la CP-paridad de ξ es ηCP = iη. En efecto: † UCP ξ L ( x )UCP = U † UCP ξ 0L ( x )UCP † , pues ξ L = U † ξ 0L ⇐ ξ 0L = U ξ L † 0 T 0 † 0 T = iU γ Cξ 0L ( xP ) , 0 pues UCP ξ L ( x )UCP = iγ Cξ L ( xP ) † ∗ 0 T T ∗ T = iU U γ Cξ L ( xP ) , pues ξ L = U ξ L ⇐ ξ 0L = U ξ L 0 0 T † √ T ∗ √ p = iηγ Cξ L ( xP ) , pues U = ηO , U =O η⇐U =O η∗ = iηγ0 ξ R ( xP ) . Por otro lado, tenemos que † UCP ξ ( x )UCP ≡ ηCP γ0 ξ ( xP ) † ⇒ UCP ξ L ( x )UCP = ηCP γ0 ξ R ( xP ) . Por tanto ηCP = iη El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 48 El fermión de Dirac como caso particular de dos de Majorana • Si los términos de masa de Majorana son m L = m R = 0 encontramos que ′ ′ 1 1 1 m1 = − m D , m2 = m D , O = √ . 2 −1 1 • Los autoestados 1 1 χ1 = √ (χ01 − χ02 ) ⇒ χ1L = √ (ψL − ψRc ) , c χ1R = χ1L , 2 2 1 1 χ2 = √ (χ01 + χ02 ) ⇒ χ2L = √ (ψL + ψRc ) , c χ2R = χ2L , 2 2 deben ser reemplazados por los estados físicos: c ξ 1 = χ1L + η1 χ1L [ η1 = − 1 ] , c ξ 2 = χ2L + η2 χ2L [ η2 = + 1 ] . El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 49 • Los estados físicos tienen masa positiva, 1 −L = m D (−χ̄1 χ1 + χ̄2 χ2 ) 2 1 = m D (ξ̄ 1 ξ 1 + ξ̄ 2 ξ 2 ) 2 = m D ( ψR ψ L + ψ L ψR ) . • Vemos que dos fermiones de Majorana de igual masa y CP-paridades opuestas forman un fermión de Dirac. • Nótese que la transformación que proporciona directamente los estados físicos es en efecto √ i 0 1 i 1 U =O η=O = √ , 0 1 2 −i 1 como queríamos comprobar. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 50 Seesaw: ¿por qué los neutrinos son tan ligeros? • En el SM con un doblete de Higgs es imposible construir un término de masas del tipo νLc νL que sea invariante gauge. Por tanto, necesariamente m L = 0. • En cambio, un término del tipo νRc νR (singlete) puede introducirse a mano sin romper la simetría. • Consideremos por tanto la matriz de masas 0 mD M= mD mR que es diagonalizada por la matriz cos θ sin θ 2m D mR O= , tan 2θ = , cos 2θ = q , − sin θ cos θ m R m2R + 4m2D • Sus autovalores son: q 1 ′ m1,2 = mR ∓ m2R + 4m2D . 2 El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 51 • Si m D ≪ m R obtenemos un neutrino ligero (ν) y otro muy pesado (N) con CP-paridades opuestas y un pequeñísimo ángulo de mezcla (mecanismo de seesaw): [Yanagida ’79; Gell-Mann, Ramond, Slansky ’79; Mohapatra, Senjanovic ’80] m2D p m ν ≡ m1 ≈ , m N ≡ m2 ≈ m R ≫ m ν , θ≈ mν /m N ≪ 1 , mR ν ≡ ξ 1 ≈ νL + η1 νLc [ η1 = − 1 ] , N ≡ ξ 2 ≈ νRc + η2 νR [ η2 = + 1 ] . • Sabemos que existen n G = 3 generaciones de neutrinos left [νiL (i = 1, . . . , n G )] y puede haber un número arbitrario n R de campos right [νjR ( j = 1, . . . , n R )]. La matriz de masas es entonces la matriz cuadrada, compleja y simétrica ( n G + n R ) × ( n G + n R ), 0 mD T M= , con mD : n R × n G y mR : n R × n R . mD mR El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 52 • Así, si suponemos que mD es del orden de la escala electrodébil (∼ 200 GeV) y la escala a la que se violaría el número leptónico, es muy alta (del orden de la escala de gran unificación, mR ∼ 1015 GeV) obtenemos: – n G = 3 neutrinos ligeros (νi ) con masas mν ∼ (10−2 − 10−1 ) eV, que es justamente el orden de magnitud correcto para explicar las diminutas masas de los neutrinos que son compatibles con los experimentos de oscilaciones, y – n R extremadamente pesados (Nj ) que jugarían un papel muy importante para generar la asimetría bariónica del universo a partir de sus desintegraciones fuera del equilibrio (leptogénesis). El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 53 Mezcla de sabores leptónicos: la matriz de PMNS • Si el mecanismo de seesaw fuera cierto, los neutrinos serían partículas de Majorana (νi = ηi νic , Nj = η j Njc ). • Los tres autoestados de masa más ligeros νi (i = 1, 2, 3) corresponderían a una mezcla de autoestados de interacción να (α = e, µ, τ), |να i = ∑ Uαi |νi i , o bien |νi i = ∑ U∗αi |να i . i α Pondremos una letra griega como subíndice en vez de un superíndice I para indicar que autoestados de interacción. Los de masa tendrán como subíndice una letra latina. • Esta matriz unitaria (la mezcla con los neutrinos pesados es despreciable) es análoga a la definida para los quarks y los leptones cargados, pero hay dos importantes diferencias: – los campos ν contienen ambas quiralidades, y – la matriz U contiene dos fases físicas adicionales α1 , α2 (fases de Majorana), que no pueden ser absorbidas mediante redefinición de fases de los campos, ya que la relación νi = ηi νic lo impide. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 54 • U se conoce como la matriz de Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS). [Pontecorvo ’57; Maki, Nakagawa, Sakata ’62; Pontecorvo ’68] • En la parametrización estándar: Ue1 Ue2 Ue3 U = Uµ1 Uµ2 Uµ3 Uτ1 Uτ2 Uτ3 c12 c13 s12 c13 s13 e−iδ13 eiα1 0 0 = −s12 c23 − c12 s23 s13 eiδ13 c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ13 s23 c13 0 eiα2 0 . s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ13 −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ13 c23 c13 0 0 1 • Estos parámetros se determinan experimentalmente (distintos a los de quarks). • Ésta es la matriz que aparece en la interacción de corrientes cargadas de leptones, ( " # ) g LCC = √ Wµ ∑ ℓ̄α γµ (1 − γ5 ) Uαi νi + h.c. , 2 2 αi en la base en la que los leptones cargados son diagonales. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 55 νi ℓj W Uji W U∗ji ℓj νi • Veremos en seguida que los experimentos de oscilaciones de neutrinos no son sensibles a las fases de Majorana, y por tanto son incapaces de discenir si los neutrinos son partículas de Dirac o de Majorana. Excepto si existen nuevas interacciones de los neutrinos right, pues entonces se propagan de forma diferente en materia. [del Águila, Syska, Zrałek ’07] • Para ello se necesita un experimento que compruebe la conservación del número leptónico, violado por los términos de Majorana. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 56 Test de la violación del número leptónico: 0νββ • Se llama 0νββ al proceso ( A, Z ) → ( A, Z + 2) + 2e− , en el que un núcleo con A nucleones, de los cuales Z son protones, se desintegra a otro núcleo con Z + 2 protones emitiendo dos electrones. • Este proceso viola la conservación del número leptónico y compite con el proceso doble beta estándar, en el que además se emiten dos antineutrinos, el cual está cinemáticamente más suprimido por disponer de menor espacio fásico. • La amplitud de 0νββ es proporcional a ∑i mi U2ei . Hay un grupo experimental que afirma disponer de sucesos (no confirmados) estableciendo una cota: |hm ββ i| ≡ ∑ mi U2ei = 0.3 − 1.0 eV ⇒ los neutrinos serían de Majorana. i El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 57 Oscilaciones de neutrinos • Se trata de un fenómeno mecano-cuántico debido a que los autoestados de masa |νi i (de energía bien definida) no coinciden con los de interacción |να i (los que se producen en una corriente cargada acompañando al leptón cargado ℓα = e, µ, τ), |να i = ∑ Uαi |νi i . i • La evolución en el tiempo del estado inicial |να i viene dada por el operador evolución temporal, que es diagonal en la base de autoestados de masa: t=0: |να (0)i = |να i t: |να (t)i = ∑ e−iEi t Uαi |νi i . i • En la práctica, los neutrinos son relativistas (mi ≪ Ei ), así que t ≈ L (distancia recorrida). Si se han producido con momento p ≈ E entonces: q m 2 m 2 Ei = p2 + m2i ≈ p + i ≈ p + i . 2p 2E El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 58 • Por tanto, al cabo de una distancia L el neutrino να puede oscilar a cualquier sabor νβ con una probabilidad: 2 P(να → νβ ; L) = |hνβ |να ( L)i|2 = ∑hνj |U∗βj e−iEi L Uαi |νi i ij 2 2 2 = ∑ U∗βi Uαi e−iEi L = ∑ U∗βi Uαi e−imi L/2E i i 2 −i∆mij L/2E = ∑ U βj U∗αj U∗βi Uαi e ij = δαβ + 2 ∑ Re(U βj U∗αj U∗βi Uαi )[cos(∆m2ij L/2E) − 1] i> j +2 ∑ Im(U βj U∗αj U∗βi Uαi ) sin(∆m2ij L/2E) . i> j El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 59 • Se ha usado hνj |νi i = δij , se ha definido ∆m2ij ≡ m2i − m2j , se ha separado ∑ = ∑+∑+∑ , ij i= j i> j i< j y se ha utilizado la unitariedad de U que lleva a la igualdad: ∑(Uβj U∗αj U∗βi Uαi ) = ∑(Uβj U∗αj ) ∑(U∗βi Uαi ) − ∑(Uβj U∗αj U∗βi Uαi ) i= j j i i6= j = δαβ − 2 ∑ Re(U βj U∗αj U∗βi Uαi ) . i> j • Finalmente, conviene escribir P(να → νβ ; L) = δαβ − 4 ∑ Re(U βj U∗αj U∗βi Uαi ) sin2 [1.27∆m2ij L/E] i> j +2 ∑ Im(U βj U∗αj U∗βi Uαi ) sin[2.54∆m2ij L/E] , i> j donde se ha introducido L [km] ∆m2ij L/4E ≈ 1.27∆m2ij [eV2 ] . E [GeV] El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 60 • Nótese que las fases de Majorana son irrelevantes y que P(νβ → να ; U) = P(να → νβ ; U∗ ) de modo que si la invariancia CPT se satisface, P(ν̄α → ν̄β ) = P(νβ → να ) tenemos que P(ν̄α → ν̄β ; U) = P(να → νβ ; U∗ ) , y si CP se conserva (U = U∗ ) entonces P(ν̄α → ν̄β ) = P(να → νβ ) , de lo contrario, el último término de P(να → νβ ) expresa la violación de CP. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 61 • En la naturaleza parece haber tres sabores y, por tanto, dos diferencias de masas ∆m221 ≪ ∆m232 ≃ ∆m231 , que resultan ser muy distintas. Entonces, corta larga P(να → νβ 6= να ) ≈ Pαβ + Pαβ con corta Pαβ = 4U2β3 U2α3 sin2 [1.27∆m232 L/E] larga Pαβ = −4U β1 Uα1 U β2 Uα2 sin2 [1.27∆m221 L/E] donde se han despreciado por simplicidad efectos de violación de CP y se ha usado la unitariedad de U. • Seleccionando el rango apropiado de L/E la oscilación es sensible sólo a la componente corta o a la larga, con lo que ambos tipos de oscilaciones están desacopladas y se pueden tratar como si de forma efectiva sólo hubiera mezcla de dos sabores. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 62 • En el caso de oscilaciones entre dos sabores να y νβ , la matriz unitaria U se reduce a cos θ sin θ U= , − sin θ cos θ y las probabilidades de oscilación entre estos dos sabores son P(να → να ) = 1 − sin2 2θ sin2 [1.27∆m2 L/E] , P(να → νβ 6= να ) = sin2 2θ sin2 [1.27∆m2 L/E] . • Si ∆m2 L/E ≫ 1 la probabilidad de transición es muy sensible a la distancia (piénsese en una fuente extensa, por ejemplo) y entonces resulta una probabilidad promediada, independiente de ∆m2 , 1 P(να → να ) = 1 − sin2 2θ , 2 1 P(να → νβ 6= να ) = sin2 2θ . 2 El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 63 • En la siguiente tabla se ilustran los ∆m2 que pueden explorarse en distintos experimentos. SBL (LBL) significa short (long) baseline, respectivamente. Experimento L [m] E [MeV] ∆m2 [eV2 ] Reactores SBL 102 1 10−2 Reactores LBL 103 1 10−3 Aceleradores SBL 103 103 1 Aceleradores LBL 106 103 10−3 Atmosféricos 107 103 10−4 Solares 1011 1 10−11 • Cuando los neutrinos viajan en materia densa (atravesando el Sol, la Tierra o una supernova, por ejemplo) interaccionan con el las partículas del medio de forma diferente según el sabor. Es el efecto Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein (MSW). Las probabilidades de transición anteriores se ven modificadas para acomodar este efecto, pero siguen dependiendo de diferencias de cuadrados de masas, siendo también independientes de las fases de Majorana. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 64 Experimentos de oscilaciones de neutrinos Son sensibles generalmente a un rango determinado de energías (limitado por el sistema de detección). Existen esencialmente dos tipos de experimentos: Experimentos de aparición: En los que se detectan sabor(es) νβ que no estaban presentes en el haz de να inicial. Es decir, miden P(να → νβ 6= να ). Experimentos de desaparición: En los que se detectan menos να de los que se esperaban procedentes del haz inicial. Es decir, miden P(να → να ). Las fuentes de neutrinos son variadas, unos de origen natural y otros producidos en reacciones nucleares o en aceleradores de partículas: • Los neutrinos solares son νe y se producen en reacciones termonucleares: ciclos pp y CNO. El primero produce el 98% de la energía que emite el Sol. Su flujo y su energía son variados. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 65 – Ciclo pp: (pp) p + p ! 2 H + e+ + e p + e + p ! 2H + e (pep) 99.6% XXXXXXXX 0.4% XXXX ? 2 H + p ! 3 He + XXXXX XXXXX XXXXX 85% XX 2 10 5 % ? ? 3 He + 3 He ! 4He + 2 p 3 He + p ! 4 He + e+ + e ?15% (hep) 3 He + 4 He ! 7Be + PPPP 99.87% PPP 0.13% PP ? ? (7 Be) 7 Be + e ! 7 Li + e 7 Be + p ! 8 B + ? ? 7 Li + p ! 2 4 He 8 B ! 8 Be + e+ + e (8 B) ? 8 Be ! 2 4 He El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 66 – Ciclo CNO: 12 C + p ! 13N + - 13N ! 13C + e+ + e (13 N) 6 ? 15 N + p ! 12C + 4He 12C + p ! 14N + 699:9% ? (15 O) 15O ! 15N + e+ + e 14N + p ! 15O + 0:1% 6 ? 15N + p ! 16O + 17O + p ! 14N + 4He 6 ? 16 O + p ! 17F + - 17F ! 17O + e+ + e (17 F) El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 67 – Flujo de neutrinos solares (a una unidad astronómica de distancia): El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 68 • Los atmosféricos son producidos por rayos cósmicos (p, núcleos, etc) en la atmósfera terrestre: rayo cósmico + nucleón → π ± (K ± ) + X π ± (K ± ) → µ± + νµ (ν̄µ ) µ± → e± + νe (ν̄e ) + ν̄µ (νµ ) . Por tanto, si no hubiera oscilaciones, uno esperaría el doble de νµ que de νe . Su energía varía entre unos pocos MeV y 100 GeV. El baseline varía dependiendo del ángulo cenital ϑ con que se observen: L ≈ 15 km [ϑ = 0◦ , downgoing] L ≈ 13000 km [ϑ = 180◦ , upgoing atravesando la Tierra] . Su flujo es aproximadamente de 100 m2 sr−1 s−1 . El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 69 • Otros neutrinos naturales son los producidos por supernovas (colapso estelar), e− + p → n + νe e− + e+ → νℓ + ν̄ℓ n + p → n + p + ν̄ℓ , con energías típicas del orden de 10 MeV, y los producidos por Núcleos Galácticos Activos (AGN), del orden de 1 TeV. • En reactores nucleares se producen ν̄e en la desintegración β de productos de fisión inestables. Su flujo es del orden de 1020 s−1 GW−1 y su energía del orden del MeV. Los detectores se sitúan a una distancia de la central nuclear del orden de 1 km. • Finalmente, en aceleradores de partículas se producen haces de neutrinos haciendo colisionar protones de unos 100 GeV contra un blanco. Así se producen νµ (de π ± , K ± ) y νe,µ (de µ± ), con una energía del orden del GeV. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 70 Resultados • Todos los experimentos, excepto uno# , son consistentes con la oscilaciones entre tres sabores de neutrinos. Los análisis implican 2 diferencias de masa, 3 ángulos de mezcla y 1 fase que viola CP. # El experimento LSND, que es incompatible con los recientes resultados de MiniBooNE. • De las oscilaciones de neutrinos solares y atmosféricos se deduce que ∆m221 = ∆m2⊙ ≪ ∆m2atm = |∆m231 | ≃ |∆m232 | • A continuación se muestran los resultados del fit global a las oscilaciones de 3ν. Los diferentes contornos corresponden a regiones permitidas al 90%, 95%, 99% y 3σ (99.73%) CL. [M.C. González García, arXiv: 0704.1800] El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 71 El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 72 • Se encuentran los siguientes rangos de valores: [M.C. González García ’07] ∆m221 = 7.67 + 0.22 +0.67 −0.21 −0.61 × 10 −5 eV2 , −2.37 ± 0.15 +0.43 × 10−3 eV2 (jerarquía invertida) , ∆m231 = −0.46 +2.46 ± 0.15 +0.47 × 10−3 eV2 (jerarquía normal) , −0.42 ◦ 4.8 θ12 = 34.5 ± 1.4 + −4.0 , ◦ 5.1 +11.3 θ23 = 42.3 + −3.3 −7.7 , ◦ +7.9 +12.9 θ13 = 0.0 − 0.0 −0.0 , • Los experimentos actuales no son sensibles a la fase de CP. Nótese que la mezcla entre νµ y ντ es (compatible con) máxima, la de νe y νµ es casi máxima y la de νe y ντ podría ser cero. • Por tanto nuestro conocimiento actual de la matriz de PMNS es 0.77 → 0.86 0.50 → 0.63 0.00 → 0.22 |U|3σ = 0.22 → 0.56 0.57 → 0.80 0.44 → 0.73 . 0.21 → 0.55 0.40 → 0.71 0.59 → 0.82 El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 73 • En cuanto al espectro de masas de los neutrinos: – Nótese que el fenómeno de las oscilaciones no permite conocer más que diferencia de masas y por tanto no nos da información sobre su escala. – Por otro lado el signo de ∆m232 no se conoce todavía, así que el espectro podría ser normal (como el de la Figura) o invertido (intercambiando las dos masas inferiore con la superior) o incluso q degenerado si el neutrino más ligero tuviera una masa mucho menor que ∆m232 ∼ 0.05 eV. – Tenemos acceso a los valores individuales de las masas (actualmente cotas superiores) a partir de otros tipos de experimentos. En particular, la no q en el punto final del espectro de electrones en la observación de distorsión alguna radiación β del tritio impone ∑i m2i |Uei |2 < 2.2 eV al 95% CL. Finalmente de los datos de astrofísica y cosmología obtenemos información (dependiente del modelo) sobre la suma de las masas de los neutrinos, ∑i mi < ∼ (0.4 − 1) eV. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 74 Capítulo 2 Observables 75 Sección eficaz ¿Qué significa? v vt A NB Blanco NH Haz • La sección eficaz σ es el área efectiva de una partícula (en el blanco) vista por un proyectil (en el haz incidente). • Si en el blanco hay NB partículas y la superficie de colisión es A, entonces NB σ Probabilidad de colisión = . A • Si en el haz hay NH partículas, entonces NB σ (# sucesos) (# sucesos) = NH ⇒ σ= A. A NH NB Sección eficaz ¿Qué significa? 76 • En la práctica, el haz está formado por una nube de partículas de densidad ρ que se mueve con velocidad v, así que (# sucesos) (# sucesos) NH = ρvtA ⇒ σ = A= ρvtANB ρv tNB probabilidad de transición = , flujo incidente donde probabilidad de transición = (# sucesos) por unidad de t y por cada dispersor , flujo incidente = ρv . Sección eficaz ¿Qué significa? 77 Probabilidad de transición y matriz S p1, m1 p3, m3 . . . p2, m2 pn+2, mn+2 • Sean los estados inicial (antes) y final (después) de la colisión: |i i ≡ | p1 p2 i , | f i ≡ |p3 p4 . . . pn+2 i , y sea pi (p f ) la suma de los cuadri-momentos iniciales (finales), respectivamente. • La matriz S conecta los estados asintóticos in (t → −∞) y out (t → ∞), out h f |i iin ≡ S f i = h f |S|ii ≡ δi f + i(2π )4 δ4 ( pi − p f )T f i . Sección eficaz Probabilidad de transición y matriz S 78 Z • S es unitaria, S f i 2 dN f = 1. Por tanto, la probabilidad de transición a | f i 6= |ii es 2 S f i dN f = (2π )8 δ4 ( pi − p f )δ4 (0)|T f i |2 dN f = (2π )4 δ4 ( pi − p f )VT |T f i |2 dN f , donde hemos usado que Z 4 d4 x −ip· x 4 4 δ ( p) = e ⇒ ( 2π ) δ (0) = VT . (2π )4 • VT es un cuadri-volumen infinito que no aparecerá en la magnitud observable. La probabilidad de transición por unidad de tiempo será: 2 S f i dN f probabilidad de transición = = (2π )4 δ4 ( pi − p f )|T f i |2 VdN f . T • Calcularemos ahora dN f . Primero hemos de recordar cómo se define el estado de una partícula de momento p: q |pi = 2Ep a†p |0i , donde el operador a†p (ap ) crea (aniquila) una partícula de momento p. Sección eficaz Probabilidad de transición y matriz S 79 • Estos operadores verifican la regla de conmutación: [ aq , a†p ] = (2π )3 δ3 (p − q) , p • El factor 2Ep es necesario para que hq|pi = 2Ep (2π )3 δ3 (p − q) sea invariante Lorentz. En efecto, hagamos un boost β de p en la dirección del eje ẑ. Entonces, 3 δ3 ( p − q ) Eδ3 (p − q) E ′ ′ δ (p − q ) = dE = = ′ δ3 ( p − q ) γ( β dp + 1) γ( βp3 + E) E 3 ⇒ Ep′ δ3 (p′ − q′ ) = Ep δ3 (p − q) . Sección eficaz Probabilidad de transición y matriz S 80 En el primer paso se ha usado δ ( x − x0 ) δ( f ( x ) − f ( x0 )) = , f ( x ) = p3′ ( p3 ) = γ( βE + p3 ) , df dx x = x0 en el segundo, q dE p3 = , pues E = m2 + | p |2 , dp3 E y en el tercero, E′ = γ( E + βp3 ) . • Así el operador unidad sobre estados de un partícula es Z d3 p 1= |pihp| . (2π )3 2Ep En efecto: Z Z d3 p d3 p 3 3 1|qi = 3 |pihp|qi = 3 | p i( 2π ) 2Ep δ (p − q) = |qi . (2π ) 2Ep (2π ) 2Ep Sección eficaz Probabilidad de transición y matriz S 81 • Con esta normalización y usando que Z 3 d3 x −ip·x δ (p) = e ⇒ (2π )3 δ3 (0) = V , (2π )3 tenemos que hp|pi = (2π )3 2Ep δ3 (0) = 2Ep V , (probabilidad de encontrar una partícula con momento entre p y p + dp.) • Entonces, el número de estados de una partícula con momentos ∈ [p, p + dp] es d3 p Vd3 p dN = hp|pi 3 = 3 . (2π ) 2Ep (2π ) • Así, el número de estados de n partículas finales con momentos ∈ [p j , p j + dp j ] es n +2 Vd3 p j dN f = ∏ . j=3 (2π )3 • Por tanto n +2 Vd3 p j probabilidad de transición = (2π )4 δ4 ( pi − p f )|T f i |2 V ∏ . j=3 (2π )3 Sección eficaz Probabilidad de transición y matriz S 82 Flujo incidente • Consideremos un haz de densidad igual a una partícula por unidad de volumen: 1 ρ= . V • El flujo incidente será entonces 1 p1 p2 | E2 p1 − E1 p2 | ρv = ρ|v1 − v2 | = − = . V E1 E2 VE1 E2 • Para un sistema colineal (p1 ||p2 ) es fácil comprobar que | E2 p1 − E1 p2 | = {( p1 · p2 )2 − m21 m22 }1/2 , así que {( p1 · p2 )2 − m21 m22 }1/2 ρv = . VE1 E2 Sección eficaz Flujo incidente 83 Fórmula final • Uniendo las expresiones anteriores queda (2π )4 δ4 ( pi − p f )|T f i |2 2 n +2 Vd3 p j dσ = 2 2 2 1/2 2E1 2E2 V ∏ 3 . 4 {( p1 · p2 ) − m1 m2 } j=3 ( 2π ) • Introduciendo la amplitud invariante de scattering M f i n +2 1/2 Mfi ≡ ∏ j ( 2E V ) Tfi (directamente relacionada con las reglas de Feynman) j=1 tenemos finalmente n +2 d3p 1 2 4 4 j dσ = 2 2 2 1/2 |M fi | ( 2π ) δ ( p i − p f ∏ ) 3 . 4 {( p1 · p2 ) − m1 m2 } j=3 (2π ) 2Ej Si hay k i partículas idénticas de la especie i en el estado final la sección eficaz total (integrado el espacio fásico) debe dividirse por el factor de simetría S = ∏ k i !. i Si el estado incial no está polarizado y/o la polarización del estado final no se mide debe promediarse sobre las polarizaciones iniciales y/o sumarse sobre las finales, respectivamente. Sección eficaz Fórmula final 84 Caso 2 → 2 en el sistema centro de masas p1, m1 p3, m3 p2, m2 p4, m4 • Consideremos el caso de un estado inicial i = {1, 2} a uno final f = {3, 4} en el sistema centro de masas (CM). Entonces la integral sobre el espacio fásico se reduce a Z Z 4 4 d3 p3 d3 p4 dΦ2 ≡ (2π ) δ ( p1 + p2 − p3 − p4 ) (2π )3 2E3 (2π )3 2E4 Z d3 p3 = δ( ECM − E3 − E4 ) (2π )2 2E3 2E4 Z |p|2 dΩ E3 E4 = (2π )2 4E3 E4 |p|( E3 + E4 ) Z |p|dΩ = , 16π 2 ECM Sección eficaz Caso 2 → 2 en el sistema centro de masas 85 donde se ha usado: d3 p3 ≡ |p3 |2 d|p3 |dΩ δ(|p3 | − |p|) δ( ECM − E3 − E4 ) = δ( f (|p3 |)) = ′ | f (|p3 | = |p|)| ∂ f ∂E3 ∂ f ∂E4 |p | |p | E3 + E4 f ′ (|p3 |) = + = 3 + 3 = | p3 | ∂E3 ∂|p3 | ∂E4 ∂|p3 | E3 E4 E3 E4 q E3 = m23 + |p3 |2 q E4 = m24 + |p1 + p2 − p3 |2 . • El factor de flujo se simplifica si las partículas que colisionan tienen la misma masa m ≡ m1 = m2 , pues entonces p1 ≡ ( E, q) , p2 = ( E, −q) , 2E = ECM , 4 {( p1 · p2 )2 − m21 m22 }1/2 = 4ECM |q| . • En este caso dσ 1 |p| 2 (1, 2 → 3, 4) = 2 |M f i | . dΩ 2 64π ECM | q | Sección eficaz Caso 2 → 2 en el sistema centro de masas 86 Anchura de desintegración • El ritmo de desintegración (anchura) de una partícula de masa M a n partículas finales viene dado, en su sistema de referencia en reposo, por n d 3p 1 j dΓ(i → f ) = |M f i |2 (2π )4 δ4 ( P − p f ) ∏ 3 2E , 2M j=1 ( 2π ) j 2 2 1/2 análoga a la expresión de dσ cambiando el factor 4 ( p1 · p2 ) − m1 m2 por 2M. Se obtiene tomando como flujo ρv = 1. Anchura de desintegración 87 Caso 1 → 2 p1, m1 P, M p2, m2 • Si n = 2 basta aplicar el resultado de 2 → 2 con ECM = M para obtener dΓ 1 |p| 2 (i → 1, 2) = 2 2 |M f i | . dΩ 32π M • Nótese que las masas M, m1 y m2 fijan la energía y los momentos finales: M2 − m22 + m21 M2 − m21 + m22 E1 = , E2 = , 2M 2M 2 2 2 2 1/2 [ M − (m1 + m2 ) ][ M − (m1 − m2 ) ] | p | ≡ | p1 | = | p2 | = . 2M Anchura de desintegración Caso 1 → 2 88 • La anchura total se obtiene sumando las anchuras parciales a todos los canales de desintegración. Su inversa es la vida media de la partícula, τ = Γ−1 . Nota sobre las dimensiones de las distintas magnitudes utilizadas: S f i = δi f + i(2π )4 δ4 ( p f − pi )T f i ⇒ [S f i ] = [energía]0 , [T f i ] = [energía]4 ni + n Mfi = ∏ (2EjV )1/2 T f i ⇒ [M f i ] = [energía]4−ni −n j=1 n +2 d3 p j −4+2n dΦn = (2π )4 δ4 ( pi − p f ) ∏ ⇒ [ dΦ n ] = [energía ] j=2 (2π )3 2Ej |M f i |2 dΦn −2 dσ(ni = 2 → n) = ⇒ [energía ] 4 {( p1 · p2 )2 − m21 m22 }1/2 1 dΓ(ni = 1 → n) = |M f i |2 dΦn ⇒ [energía] 2M Resultan convenientes los factores de conversión [1 ≡ h̄c ≈ 200 MeV fm]: h̄ = 6.582 × 10−22 MeV s ( h̄c)2 = 0.389 GeV2 mbarn Anchura de desintegración Caso 1 → 2 89 Capítulo 3 Reglas de Feynman 90 Reglas generales Para el cálculo de funciones de Green o de amplitudes invariantes de scattering M f i . 1. Dibujar todos los diagramas conectados y topológicamente distintos en el orden deseado de teoría de perturbaciones. En cada diagrama: 2. Asociar momentos externos a todas las líneas externas y L momentos internos a los L loops. Determinar los momentos de las líneas internas de modo que el cuadri-momento se conserve en cada vértice. 3. Asignar un propagador a cada línea interna: i [bosón escalar] p2 − m2 i(/ p + m) [fermión spin 1/2] p2 − m2 −i ( ξ − 1 ) p p µ ν µ ν [bosón vectorial] g µν + (Rξ ) p2 − m2 ( p2 − ξm2 ) (ξ = 1: gauge ’t Hooft-Feynman; ξ = 0: gauge de Landau; ξ = ∞: gauge unitario) Reglas generales 91 4. A cada vértice asignar un peso compuesto por los siguientes factores: (a) La constante de acoplamiento que aparezca en iLint . (b) Por cada derivada de un campo φ cualquiera ∂µ φ asociar (−ipµ ) donde p es el correspondiente momento entrante. (c) Un factor proviniente de la degeneración de partículas idénticas en cada vértice. (Por ejemplo, ×2 para ZZH, ×4 para ZZHH.) Los vértices genéricos más frecuentes y los vértices del SM se listan más abajo. 5. Por cada momento interno q no fijado por la conservación de momento en cada vértice (loops), introducir un factor Z d4 q (2π )4 e integrar, posiblemente después de regularizar. Reglas generales 92 6. Multiplicar la contribución de cada diagrama por: (a) Un factor (−1) entre diagramas que difieren entre sí solo por el intercambio de dos fermiones externos idénticos. (Por ejemplo, los dos diagramas del scattering the Møller, e− e− → e− e− , o los dos del scattering de Bhabha, e+ e− → e+ e− , a nivel árbol.) (b) Un factor de simetría 1/S donde S el número de permutaciones de líneas internas y vértices que deja invariante el diagrama si las líneas externas permanecen fijadas (c) Un factor (−1) por cada loop fermiónico. Reglas generales 93 7. Para obtener iM f i , poner las líneas externas sobre su capa de masas, es decir p2i = m2i . Poner por cada línea fermiónica externa un espinor: u( p) [o v( p)] para fermiones [o antifermiones] entrantes con momento p; ū( p) [o v̄( p)] para fermiones [o antifermiones] salientes con momento p. Poner vectores de polarización ε µ ( p, λ) [o ε∗µ ( p, λ)] para bosones vectoriales entrantes [o salientes] con momento p. p u(p) εµ (p) ū(p) v(p) ε∗µ (p) v̄(p) Reglas generales 94 Algunos vértices genéricos • Consideremos el siguiente lagrangiano de interacción (hermítico) que contiene las interacciones entre campos escalares, fermiónicos y vectoriales más habituales, con acoplamientos genéricos: n o L = e Vµ ψ̄i γµ ( gV − g A γ5 )ψj + e φψ̄i ( gS − gP γ5 )ψj + e KφV µ Vµ′ + h.c. ←→ +ie GV µ φi† ∂µ φj − ie J W µν Wµ† Vν − Wµν† W µ V ν − Wµ† Wν V µν , † ← → donde ≡ φ† ∂µ φ − (∂µ φ† )φ. φ ∂µ φ • Las reglas de Feynman para los correspondientes vértices, con todos los momentos entrantes, e ignorando posibles factores de degeneración de partículas idénticas, son entonces: [Vµ FF]: ieγµ ( gV − g A γ5 ) = ieγµ ( g L PL + gR PR ) [SFF]: ie( gS − gP γ5 ) = ie(c L PL + c R PR ) [SVµ Vν ]: ieKgµν [Vµ S( p1 )S( p2 )]: ieG ( p1 − p2 )µ [Vµ (k1 )Vν (k2 )Vρ (k3 )]: ieJ gµν (k2 − k1 )ρ + gνρ (k3 − k2 )µ + gµρ (k1 − k3 )ν Algunos vértices genéricos 95 Vértices del Modelo Estándar • Los acoplamientos genéricos anteriores toman los siguientes valores en el SM. Se han incluido los bosones de Goldstone φ± y χ pues es necesario tenerlos en cuenta si no se trabaja en el gauge unitario. Éstos corresponden a parametrizar las excitaciones sobre el vacío como φ+ ( x) Φ( x ) = , φ− ( x) = [φ+ ( x)]† . √1 [v + H ( x) + iχ( x)] 2 Introduciremos las abreviaturas: sW ≡ sin θW y cW ≡ cos θW . VFF γ f¯i f j Z f¯i f j W + ūi d j W − d¯j ui W + ν̄i ℓ j W − ℓ̄ j νi f 1 1 1 1 • gL − Q f δij g+ δij √ Vij √ Vij∗ √ U∗ji √ U ji 2sW 2sW 2sW 2sW f gR − Q f δij g− δij 0 0 0 0 f 2 ) /(2s c ) y f donde g L,R ≡ gV ± g A y g± ≡ v f ± a f con v f = ( T3 L − 2Q f sW W W f a f = T3 L /(2sW cW ). En el viejo SM los neutrinos no tienen masa, y entonces Uij = δij . Vértices del Modelo Estándar 96 SFF H f¯i f j χ f¯i f j φ+ ūi d j φ− d¯j ui 1 m fi i f L m fi 1 m ui 1 md j ∗ • cL − δ − 2T δ +√ Vij −√ Vij 2sW MW ij 2sW 3 MW ij 2sW WM 2sW WM 1 m fi i f L m fi 1 md j 1 mu j ∗ cR − δij + 2T3 δij −√ Vij +√ Vij 2sW MW 2sW MW 2sW MW 2sW MW SFF φ+ ν̄i ℓ j φ− ℓ̄ j νi 1 mνi ∗ 1 mℓ j cL + √ U ji − √ U ji 2sW W M 2sW W M 1 mℓ j ∗ 1 mνi cR − √ U ji + √ U ji 2sW MW 2sW MW donde c L,R ≡ gS ± gP . En el viejo SM mνi = 0 y Uij = δij . SVV HZZ HW + W − φ± W ∓ γ φ± W ∓ Z • K 2 MW /sW cW MW /sW − MW − MW sW /cW VSS ZχH γφ± φ∓ Zφ± φ∓ W ± φ∓ H W ± φ∓ χ • i 2 − s2 cW 1 i W G − ∓1 ± ∓ − 2sW cW 2sW cW 2sW 2sW Vértices del Modelo Estándar 97 VVV γW + W − ZW + W − • J −1 cW /sW • Por completitud, listamos a continuación las reglas de Feynman para los demás vértices que aparecen en el SM, en el gauge unitario. [SSS]: ieC3 [SSSS]: ie2 C4 [SSVµ Vν ]: ie2 C2 gµν 2 [Vµ (k1 )Vν (k2 )Vρ (k3 )Vσ (k4 )]: ie C 2gµν gρσ − gµρ gνσ − gµσ gνρ Son las siguientes: SSS HHH SSSS HHHH SSVV HHW − W + HHZZ • 3M2H 3M2H 1 1 C3 − C4 − C2 2 2 c2 2 s2 4MW 2sW 2sW 2MW sW W W VVVV W + W + W − W − W + W − ZZ W + W − γZ W + W − γγ • 2 1 cW cW C 2 − 2 −1 sW sW sW Vértices del Modelo Estándar 98 Nota: En un gauge más general hay también vértices con bosones de Goldstone en [SSS], [SSSS] y [SSVV] así como nuevas interacciones con los campos fantasma de Faddeev-Popov de tipo [SUU] y [UUV]. Vértices del Modelo Estándar 99 Capítulo 4 Cálculo de correcciones cuánticas a un loop 100 Estructura de las amplitudes a un loop • Consideremos el siguiente diagrama genérico a un loop con N patas externas: p1 p2 q + k1 m1 q m0 mN −1 q + kN −1 pN pN −1 N −1 k 1 = p1 , k 2 = p1 + p2 , ... k N −1 = ∑ pi i =1 • Este diagrama contiene en general integrales del tipo Z i N 4− D dD q q µ1 · · · q µ P Tµ ...µ ≡ µ 16π 2 1 P (2π ) D [q2 − m20 ][(q + k1 )2 − m21 ] · · · [(q + k N −1 )2 − m2N −1 ] Estructura de las amplitudes a un loop 101 La integración en D dimensiones es propia de regularización dimensional. Las integrales son simétricas bajo permutaciones de los índices de Lorentz. La escala µ se introduce para que la integral tenga las dimensiones correctas. P es el número de q’s en el numerador y determina la estructura tensorial de la integral (escalar si P = 0, vectorial si P = 1, etc.). Nótese que P ≤ N. Se usa la notación A para T 1 , B para T 2 , etc. Por ejemplo, las integrales escalares son A0 , B0 , etc. • Las integrales tensoriales pueden descomponerse en una combinación lineal de los tensores covariantes Lorentz que puedan construirse con el tensor métrico gµν y un conjunto linealmente independiente de momentos. [Pasarino, Veltman ’79] La elección de la base no es única. Usaremos la base formada por gµν y los momentos k i , que presenta la ventaja de que los coeficientes tensoriales son totalmente simétricos en sus índices. [Denner ’93] Esta base es la empleada por el paquete informático LoopTools. [www.feynarts.de/looptools] Estructura de las amplitudes a un loop 102 • Nos centraremos, por simplicidad, en la descomposición de las siguientes integrales tensoriales: Bµ = k1µ B1 , Bµν = gµν B00 + k1µ k1ν B11 , Cµ = k1µ C1 + k2µ C2 2 Cµν = gµν C00 + ∑ k iµ k jν Cij , i,j=1 Cµνρ = . . . no la haremos . . . • Veremos que las integrales escalares A0 y B0 y los coeficientes de las integrales tensoriales B1 , B00 , B11 y C00 son divergentes en D = 4 dimensiones (divergencia ultravioleta, equivalente a tomar un corte Λ → ∞ en q). • Es posible expresar cada uno de esos coeficientes en términos de integrales escalares (reducción tensorial), pero aquí no lo haremos. [Denner ’93] Estructura de las amplitudes a un loop 103 Cálculo explícito de las integrales Introduzcamos previamente algunos ingredientes básicos: • La función Gamma de Euler: Γ( x + 1) = xΓ( x ) Desarrollo en serie de Taylor en torno a sus polos ( x = 0, −1, −2, . . . ): 1 x=0: Γ( x ) = − γ + O( x ), x (−1)n 1 x = −n : Γ( x ) = − γ + 1 + · · · + + O( x + n), n!( x + n) n donde γ ≈ 0.5772 . . . es la constante de Euler-Mascheroni. • Parámetros de Feynman: Z 1 ! n 1 ( n − 1) ! = dx1 · · · dxn δ ∑ xi − 1 a1 a2 · · · a n 0 i =1 [ x1 a1 + x2 a2 + · · · x n a n ] n Cálculo explícito de las integrales Ingredientes básicos 104 • Las integrales, con ǫ → 0+ : Z n− D/2 dD q 1 (−1)n i Γ(n − D/2) 1 = (2π ) D (q2 − ∆ + iǫ)n (4π ) D/2 Γ(n) ∆ Z n− D/2−1 dD q q2 n − 1 (−1) i D Γ(n − D/2 − 1) 1 ⇒ = (2π ) D (q2 − ∆ + iǫ)n (4π ) D/2 2 Γ(n) ∆ Hagamos la primera integral en el espacio euclídeo: q0 = iq0E , q = q E , q2 = −q2E , Z Z dD q 1 n dD q E 1 = i (− 1 ) (2π ) D (q2 − ∆ + iǫ)n (2π ) D (q2E + ∆)n que es equivalente a rotar el contorno de integración en el plano complejo de q0 un ángulo de 90◦ (rotación de Wick). Im q 0 δ = q2 + ∆ √ ǫ − δ+i √ 90◦ 2 δ Re q 0 √ ǫ + δ−i √ 2 δ Nota: En adelante omitiremos el ‘iǫ’ de los propagadores. No confundir con ǫ ≡ 4 − D. Cálculo explícito de las integrales Ingredientes básicos 105 Esta integral es resoluble en coordenadas esféricas en D dimensiones: Z Z Z ∞ dD q E 1 1 2 = dΩ D dq E q ED−1 2 ≡ I A × IB (2π ) (q E + ∆) D n 0 (q E + ∆) n donde Z 2π D/2 IA = dΩ D = Γ( D/2) Z D Z Z Z ∞ √ ∞ − x2 − ∑iD=1 xi2 2 pues ( π ) D = dx e = dD x e = dΩ D dx x D−1 e− x −∞ 0 Z Z ∞ Z 1 D/2−1 − t 1 = dΩ D dt t e = dΩ D Γ( D/2) 2 0 2 y haciendo un par de cambios de variables: t = q2E , z = ∆/(t + ∆), tenemos n− D/2 Z 1 n− D/2 1 1 1 1 Γ(n − D/2)Γ( D/2) IB = dz zn− D/2−1(1 − z) D/2−1 = 2 ∆ 0 2 ∆ Γ(n) Z 1 Γ(α)Γ( β) usando la función Beta de Euler, B(α, β) = dz zα−1 (1 − z) β−1 = . 0 Γ(α + β) Cálculo explícito de las integrales Ingredientes básicos 106 Funciones de dos puntos q + k1 p m1 p m0 q Z i µ µν 4− D dD q {1, qµ , qµ qν } { B0 , B , B } ( args ) = µ 16π 2 2 2 2 (2π ) q − m0 (q + p) − m1 D 2 k1 = p Las integrales dependerán de las masas m0 , m1 y del invariante p2 , (args) = ( p2 ; m20 , m21 ). Cálculo explícito de las integrales Funciones de dos puntos 107 • Utilizando los parámetros de Feynman, Z 1 1 1 = dx 2 , a1 a2 0 [ a1 x + a2 (1 − x )] Z 1 Z i µ µν 4− D dD q {1, − Aµ , qµ qν + Aµ Aν } ⇒ { B0 , B , B } = µ dx 16π 2 0 (2π ) D ( q 2 − ∆2 ) 2 con ∆2 = x2 p2 + x (m21 − m20 − p2 ) + m20 , donde se han identificado a1 = (q + p)2 − m21 , a2 = q2 − m20 , y se ha desplazado la variable de integración para obtener un cuadrado perfecto en el denominador, qµ → qµ − Aµ , Aµ = xpµ . Cálculo explícito de las integrales Funciones de dos puntos 108 • Por tanto la función escalar es: Z 1 Z i 4− D dD q 1 B0 = µ dx 16π 2 0 (2π ) D (q2 − ∆2 )2 Z 1 ∆2 ⇒ B0 = ∆ǫ − dx ln 2 + O(ǫ) [ D = 4 − ǫ] 0 µ 2 donde ∆ǫ ≡ − γ + ln 4π y se ha desarrollado en serie de Taylor la Gamma de ǫ Euler en torno a x = 0 para D = 4 − ǫ: 2− D/2 4− D iΓ (2 − D/2) 1 i ∆2 µ = ∆ǫ − ln 2 + O(ǫ) (4π ) D/2 ∆2 16π 2 µ ya que x ǫ = exp{ǫ ln x } = 1 + ǫ ln x + O(ǫ2 ). • Comparando con las definiciones de los coeficientes tensoriales tenemos: 1 Z Z i µ 4− D dD q Aµ 2 B = −µ dx 16π 0 (2π ) D (q2 − ∆2 )2 Z 1 1 ∆2 ⇒ B1 = − ∆ǫ + dx x ln 2 + O(ǫ) [ D = 4 − ǫ] 2 0 µ Cálculo explícito de las integrales Funciones de dos puntos 109 Z Z i µν 4− D 1 dD q (q2 /D) gµν + Aµ Aν 2 B = µ dx 16π 0 (2π ) D ( q 2 − ∆2 ) 2 1 ⇒ B00 = − ( p2 − 3m20 − 3m21 )(∆ǫ + 2γ − 1) + O(ǫ) [ D = 4 − ǫ] 12 Z 1 1 2 ∆2 B11 = ∆ǫ − dx x ln 2 + O(ǫ) [ D = 4 − ǫ] 3 0 µ donde se ha cambiado qµ qν por (q2 /D) gµν en el integrando y se ha desarrollado la Gamma de Euler en torno a x = −1 para D = 4 − ǫ: 1− D/2 iΓ(1 − D/2) 1 i 1 − µ4 − D = 2 ∆2 (∆ǫ + 2γ − 1) + O(ǫ) (4π ) D/2 2Γ(2) ∆2 16π 2 Cálculo explícito de las integrales Funciones de dos puntos 110 Funciones de tres puntos p1 q + k1 m1 q m0 p2 − p1 m2 q + k2 −p2 Z i µ µν 4− D dD q {1, qµ , qµ qν } { C0 , C , C } ( args ) = µ 16π 2 2 2 2 2 2 2 (2π ) q − m0 (q + p1 ) − m1 (q + p2 ) − m2 D Por conveniencia, hemos elegido los momentos externos de forma que: k 1 = p1 , k 2 = p2 . Las integrales dependerán de las masas m0 , m1 , m2 y de los invariantes: (args) = ( p21 , Q2 , p22 ; m20 , m21 , m22 ), Q2 ≡ ( p2 − p1 )2 . Cálculo explícito de las integrales Funciones de tres puntos 111 • Utilizando los parámetros de Feynman, Z 1 Z 1− x 1 1 =2 dx dy 3 , a1 a2 a3 0 0 [ a1 x + a2 y + a3 (1 − x − y)] Z 1 Z 1− x Z i µ µν 4− D dD q {1, − Aµ , qµ qν + Aµ Aν } ⇒ { C0 , C , C } = 2µ dx dy 16π 2 0 0 (2π ) D ( q 2 − ∆3 ) 3 con ∆3 = x2 p21 + y2 p22 + xy( p21 + p22 − Q2 ) + x (m21 − m20 − p21 ) + y(m22 − m20 − p22 ) + m20 , donde se han identificado a1 = (q + p1 )2 − m21 , a2 = (q + p2 )2 − m22 , a3 = q2 − m20 , y se ha desplazado la variable de integración para obtener un cuadrado perfecto en el denominador, µ µ qµ → qµ − Aµ , Aµ = xp1 + yp2 . Cálculo explícito de las integrales Funciones de tres puntos 112 • Comparando con las definiciones de los coeficientes tensoriales tenemos: Z 1 Z 1− x Z i 4− D dD q 1 C0 = 2µ dx dy 16π 2 0 0 (2π ) D (q2 − ∆3 )3 Z 1 Z 1− x 1 ⇒ C0 = − dx dy [ D = 4] 0 0 ∆3 Z 1 Z 1− x Z i µ 4− D dD q Aµ C = − 2µ dx dy 16π 2 0 0 (2π ) D (q2 − ∆3 )3 Z 1 Z 1− x x ⇒ C1 = dx dy [ D = 4] 0 0 ∆3 Z 1 Z 1− x y C2 = dx dy [ D = 4] 0 0 ∆3 Cálculo explícito de las integrales Funciones de tres puntos 113 Z 1 Z 1− x Z i µν 4− D dD q (q2 /D) gµν + Aµ Aν C = 2µ dx dy 16π 2 0 0 (2π ) D ( q 2 − ∆3 ) 3 Z 1 Z 1− x x2 ⇒ C11 = − dx dy [ D = 4] 0 0 ∆ 3 Z 1 Z 1− x y2 C22 = − dx dy [ D = 4] 0 0 ∆3 Z 1 Z 1− x xy C12 = − dx dy [ D = 4] 0 0 ∆3 Z Z 1− x 1 1 1 ∆3 C00 = ∆ǫ − dx dy ln 2 + O(ǫ) [ D = 4 − ǫ] 4 2 0 0 µ 2 donde ∆ǫ ≡ − γ + ln 4π y se ha cambiado qµ qν por (q2 /D) gµν en el integrando. ǫ En el cálculo de C00 se ha desarrollado en serie de Taylor la Gamma de Euler en torno a x = 0 para D = 4 − ǫ: 2− D/2 iΓ(2 − D/2) 1 i 1 ∆3 µ4 − D = ∆ǫ − ln + O(ǫ) . (4π ) D/2 Γ(3) ∆3 16π 2 2 µ2 Cálculo explícito de las integrales Funciones de tres puntos 114 • Nota sobre Diracología en D dimensiones: Hay que tener cuidado con las trazas de matrices de Dirac cuando se trabaja en D dimensiones (regularización dimensional), ya que γµ γν + γν γµ = 2gµν 14×4 , gµν gµν = Tr{ gµν } = D Así, pueden demostrarse las siguientes identidades que involucran contracciones: γ µ γµ = D γµ γν γµ = −( D − 2)γν γµ γν γρ γµ = 4gνρ − (4 − D)γν γρ γµ γν γρ γσ γµ = −2γσ γρ γν + (4 − D)γν γρ γσ Cálculo explícito de las integrales 115 Algunos casos sencillos • Para el cálculo del momento dipolar magnético anómalo del electrón en QED, necesitaremos las siguientes funciones de tres puntos, evaluadas en: p21 = p22 = m2 (electrones on-shell) Q2 = 0 (fotón on-shell) m0 = 0 (masa del fotón) m1 = m2 = m (masa del electrón) ⇒ ∆3 = m2 ( x + y ) 2 . Las integrales básicas son entonces C0 = divergente en el infrarrojo (no se necesita), 1 C1 = C2 = , 2m2 1 C11 = C22 = 2 C12 = − 2 . 6m C00 = divergente en el ultravioleta (no se necesita), donde C ≡ C (m2 , 0, m2 ; 0, m2 , m2 ). Algunos casos sencillos Integrales para (g − 2)e en QED 116 • Para el cálculo de las contribuciones débiles (y de supersimetría) a los momentos dipolares magnéticos se necesitan las siguientes funciones de tres puntos, evaluadas en: p21 = p22 = 0 (se desprecian las masas de los fermiones externos) Q2 = 0 (fotón on-shell) m0 = M1 (masa de la partícula virtual no acoplada al fotón externo) m1 = m2 = M2 (masa de las otras partículas virtuales) ⇒ ∆3 = ( M22 − M12 )( x + y) + M12 . Las integrales básicas son 1 1 − x21 + ln x21 C0 = 2 2 , M1 (1 − x21 ) 2 − 2 ln x 1 −3 + 4x21 − x21 21 C1 = C2 = 2 3 , M1 4(1 − x21 ) 2 − 2x 3 + 6 ln x 1 11 − 18x21 + 9x21 21 21 C11 = C22 = 2 C12 = 2 4 , M1 18 ( 1 − x 21 ) C00 = divergente en el ultravioleta (no se necesita). Algunos casos sencillos Integrales para (g − 2)ℓ en SM y MSSM 117 O bien 1 −1 + x21 − x21 ln x21 C0 = , M12 (1 − x21 )2 2 − 2x 2 ln x 1 1 − 4x21 + 3x21 21 21 C1 = C2 = , M12 4(1 − x21 )3 2 + 11x 3 − 6x 3 ln x 1 −2 + 9x21 − 18x21 21 21 21 C11 = C22 = 2 C12 = 2 4 , M1 18 ( 1 − x 21 ) donde C ≡ C (0, 0, 0; M12 , M22 , M22 ), C ≡ C (0, 0, 0; M22 , M12 , M12 ) y x21 ≡ M22 /M12 . Algunos casos sencillos Integrales para (g − 2)ℓ en SM y MSSM 118 • Para el cálculo de las contribuciones débiles (y de supersimetría) a las transiciones radiativas del tipo µ → eγ se usan las funciones de tres puntos anteriores. Para comprobar que esta transición es puramente magnética, es decir no contribuyen las auto-energías de las patas externas, conviene conocer explícitamente C00 evaluada en la misma configuración anterior: 1 C00 (0, 0, 0; M12 , M22 , M22 ) = − B1 (0; M12 , M22 ) 2 y las siguientes funciones de dos puntos evaluadas en p2 = 0, m0 = M1 , m1 = M2 : M12 2 M22 M12 ln 2 − M2 ln 2 µ µ B0 (0; M12 , M22 ) = ∆ǫ − M12 − M22 M12 4M14 − 3M24 − M12 M22 − 2 ln 2 1 M2 B1 (0; M12 , M22 ) = − ∆ǫ + 2 4( M12 − M22 )2 = − B0 (0; M22 , M12 ) − B1 (0; M22 , M12 ) Algunos casos sencillos Integrales para transiciones magnéticas en SM y MSSM 119 Capítulo 5 Aplicación: factores de forma dipolares a un loop 120 El vértice vector-fermión más general p1 j Vµ iΓµ ( p1 , p2 ) p2 i • La estructura Lorentz más general del vértice vector-fermión contiene 24 términos independientes, que son combinaciones de los cuadrivectores p ≡ p1 + p2 , q ≡ p2 − p1 y las 16 matrices de Dirac (indicadas abajo entre paréntesis): (1) : p µ , q µ , (γ5 ) : γ5 pµ , γ5 qµ , (γα ) : γµ , pµ / p, p µ / q, q µ / p, q µ / q, ǫµναβ γν pα q β , (γ5 γα ) : γ5 γµ , γ5 pµ / p, γ5 pµ / q, γ5 qµ / p, γ5 qµ / q, γ5 ǫµναβ γν pα q β , (σαβ ) : σµν pν , σµν qν , pµ σαβ pα q β , qµ σαβ pα q β , ǫµναβ σαβ pν , ǫµναβ σαβ qν , pµ ǫαβρσ σαβ pρ qσ , qµ ǫαβρσ σαβ pρ qσ . El vértice vector-fermión más general 121 • Con frecuencia el vértice se escribe de la siguiente forma: iΓµ ( p1 , p2 ) = ie [γµ ( FV − FA γ5 ) + (iFM + FE γ5 )σµν qν + (iFS + FP γ5 )qµ +( FMV + iFEV γ5 ) pµ + ( FTS + iFTP γ5 )σµν pν + . . . ] . Los factores de forma Fi son en general funciones de todos los escalares independientes (invariantes Lorentz) que se puedan construir con los vectores p1 y p2 , es decir, Fi ( p21 , p22 , q2 ). La constante e se ha introducido por conveniencia, de modo que los acoplamientos quedan normalizados a los de la electrodinámica cuántica (QED). • Si ambos fermiones están on-shell (es decir, p2 = m2 ), la ecuación de Dirac nos permite eliminar los términos omitidos anteriormente y también FMV , FEV FTS y FTP , pues ya no son independientes y entonces µ µ µν µ ij on-shell : iΓ ( p1 , p2 ) = ie γ ( FV − FA γ5 ) + (iFM + FE γ5 )σ qν + (iFS + FP γ5 )q . El vértice vector-fermión más general 122 Basta usar la siguiente relación entre matrices de Dirac: ρµνσ i µ ν σ γ5 γρ ǫ = ( γ γ γ + γ σ γ µ γ ν + γ ν γ σ γ µ − γ ν γ µ γ σ − γ µ γ σ γ ν − γ σ γ ν γ µ ), 6 la ecuación de Dirac (ED): / p1 u ( p1 ) = m1 u ( p1 ), / p2 u( p2 ) = m2 u( p2 ), y las identidades de Gordon (que se deducen de la ED y γµ γν + γν γµ = 2gµν ): ū( p2 )σµν ( p2 ± p1 )ν u( p1 ) = ū( p2 ) {−i(m2 ∓ m1 )γµ + i( p2 ∓ p1 )µ } u( p1 ), ū( p2 )γ5 σµν ( p2 ± p1 )ν u( p1 ) = ū( p2 ) {−i(m2 ± m1 )γµ γ5 + iγ5 ( p2 ∓ p1 )µ } u( p1 ). • Si el bosón vectorial V también está on-shell, su polarización satisface qµ ε µ = 0 y por tanto los factores de forma FS , FP no contribuyen, y el vértice se reduce a: Vij on-shell : iΓµ ( p1 , p2 ) = ie [γµ ( FV − FA γ5 ) + (iFM + FE γ5 )σµν qν ] . Los factores de forma FV , FA y FM,E se denominan vectorial, axial y dipolares, respectivamente. Una partícula masiva de spin 1 de momento p µ tiene tres grados de libertad de polarización εµ (λ = 1, 2, 3) que verifican µ µ µ p µ ε µ (λ) = 0 y εµ (λ)ε ν (λ′ ) = −δλλ′ . En reposo: p µ = ( M, 0, 0, 0), ε 1 = (0, 1, 0, 0), ε 2 = (0, 0, 1, 0), ε 3 = (0, 0, 0, 1). µ µ µ µ √ µ µ En movimiento: p µ = ( E, 0, 0, p ), ε x = (0, 1, 0, 0), ε y = (0, 0, 1, 0), ε L = ( p/M, 0, 0, E/M ) [circular: ε ± = 1/ 2(ǫx ± iǫy )]. Si tiene masa nula (ej. el fotón) no existe el s.r. en reposo y sólo existen las dos polarizaciones transversales. El vértice vector-fermión más general 123 • Si V = γ (fotón) la invariancia gauge U(1) impone la conservación de la corriente, qµ Γµ = 0, y por tanto para fermiones on-shell: [V = γ ] (mi − m j ) FV + iq2 FS = 0, ij on-shell − (mi + m j ) FA + q2 FP = 0. • En consecuencia, si también el fotón está on-shell (q2 = 0) y los fermiones son idénticos (m = mi = m j ), necesariamente FA = 0. El vértice electromagnético viene entonces descrito por tres constantes, relacionadas con la carga y los momentos dipolar magnético y dipolar eléctrico: µ γii on-shell : iΓi= j = ie [γµ FV + (iFM + FE γ5 )σµν qν ] donde, de acuerdo con nuestra convención para la derivada covariante, eQ f ≡ −eFV (0) = carga eléctrica del fermión f , e µ≡− FV (0) + eFM (0) = momento dipolar magnético (MDM), 2m FM (0) a ≡ 2m = momento dipolar magnético anómalo (AMDM), FV (0) d = −eFE (0) = momento dipolar eléctrico (EDM). El vértice vector-fermión más general 124 • Así, a nivel árbol (electrodinámica clásica), un electrón tiene acoplamientos FV = 1, FA = FM = FE = 0, y por tanto carga Qe = −1 y momento dipolar magnético e e µ ≡ µS = − gS, g=2 ⇐ interacción no relativista µ · B = − σ·B 2m 2m donde S = 21 σ es el spin y g es la razón giromagnética o factor de Landé. Nótese que el momento anómalo y la razón giromagnética se definen sólo para partículas cargadas. Sin embargo una partícula neutra puede tener momento magnético dado por µ = −eFM (0). • Las correcciones cuánticas inducen valores no nulos de AMDM y EDM. Las condiciones de renormalización fijan FV (0) = − Q f (a todo orden de teoría de perturbaciones), pero aparece un AMDM que viene dado por g−2 FM (0) eQ f a= = −2m ⇒µ= (1 + a). 2 Qf 2m • Por otro lado, las ecuaciones anteriores implican FV = FA = 0 para fermiones distintos. Es decir, procesos tales como µ → eγ se deben sólo a transiciones dipolares, µ γij on-shell : iΓi6= j = ie(iFM + FE γ5 )σµν qν El vértice vector-fermión más general 125 • En general, todos los factores de forma son reales a nivel árbol para fermiones externos iguales, por la hermiticidad del lagrangiano de interacción, pero se pueden hacer complejos al introducir las correcciones cuánticas (regla de Cutkosky). La amplitud se hace compleja cuando sea posible cortar el diagrama en dos diagramas tales que ambos describan procesos físicos. Se trata de una aplicación del teorema óptico. Es fácil darse cuenta de que si V = γ la amplitud ha de ser siempre real porque el fotón tiene masa nula. • Los factores de forma que acompañan a los operadores de dimensión mayor que cuatro (todos menos FV y FA ), por ejemplo los dipolares, son nulos a nivel árbol en cualquier teoría renormalizable. Por tanto sus correcciones a un loop son finitas. Además acoplan fermiones de quiralidades contrarias, por lo que deben ser proporcionales a alguna masa fermiónica, ya sea interna o externa. • Los factores de forma FV , FA y FM multiplican sendos bilineales pares bajo CP, mientras que FE acompaña a uno impar. Esto significa que si CP se conserva el momento dipolar FE se anula si i = j, aunque esto no ocurre si los fermiones externos son distintos. • Similarmente, si P se conserva (ej. en QED) FA y FE son nulos. El vértice vector-fermión más general 126 • Los diagramas que contribuyen a un loop al vértice efectivo vector-fermión pueden agruparse en seis clases o topologías distintas: j j j l l l V r V r V r k k k i i i I II III j j j l l k V r V r V r k k l i i i IV V VI El vértice vector-fermión más general 127 El momento magnético anómalo • Los momentos magnéticos anómalos de electrón y muón son observables medidos con gran precisión. Como se deben enteramente a correcciones cuánticas ponen especialmente a prueba la consistencia de la teoría. • El momento magnético del electrón se ha medido en un ciclotrón en Harvard con una precisión impresionante: [B. Odom et al., Phys. Rev. Lett. 97 (2006) 030801] ge = 1.001 159 652 180 85 (76) 2 • El momento magnético del muón se obtiene a partir de la frecuencia de precesión del spin respecto a un campo magnético homogéneo en un anillo de almacenamiento de muones: eB (gµ − 2) ωa = a µ , aµ = . 2m 2 Se ha medido con gran precisión en el experimento E821 de Brookhaven: [G.W. Bennett et al., Phys. Rev. D 73 (2006) 072003] gµ = 1.001 165 920 80 (63) 2 El momento magnético anómalo 128 El momento magnético anómalo en QED e e γ γ e e • En QED sólo existe un diagrama a un loop (clase I) y el único acoplamiento no nulo es del tipo [VFF] con gV = 1, g A = 0. La configuración de masas y momentos es también muy simple. El AMDM del electrón es entonces: α α 1 FM (0) = 2m(C1 + C2 + C11 + C22 + 2C12 ) = , 4π 4π m g−2 α a= = 2m FM (0) = , 2 2π donde α = e2 /4π es la constante de estructura fina ye hemos utilizado las funciones de tres puntos con argumentos (m2 , 0, m2 ; 0, m2 , m2 ) evaluadas en el capítulo anterior. El momento magnético anómalo en QED 129 El momento magnético anómalo en el SM • Los diagramas a un loop en el gauge de ’t Hooft-Feynman (incluyendo QED) son: ℓ ℓ ℓ ℓ W ℓ γ γ, Z γ νℓ γ H, χ ℓ W ℓ ℓ ℓ ℓ I II III ℓ ℓ ℓ φ W φ γ νℓ γ νℓ γ νℓ φ φ W ℓ ℓ ℓ IV V VI • Para los nuevos, necesitaremos más paciencia, las reglas de Feynman del SM y las funciones de tres puntos con argumentos del tipo (0, 0, 0; M12 , M22 , M22 ) evaluadas en el capítulo anterior (se puede despreciar la masa del leptón ℓ). El momento magnético anómalo en el SM 130 • Sumando todas las contribuciones a un loop: ( !) (gℓ − 2) α GF 10 1 h i m2ℓ M2H aℓ = = + √ m2ℓ 2 2 − 5 − (1 − 4sW ) +O 2 ln 2 2 2π 8π 2 |{z} 2 3 | 3 |{z} {z } MH mℓ QED W Z | {z } H donde πα GF = √ 2 M2 (1 + ∆r ) = 1.16637 (1) × 10−5 GeV−2 ⇐ comparando con τµ 2sW W α−1 = 137.035 999 710 (96) ⇐ comparando con (ge − 2) en QED a 8 loops! 2 MW 2 sW = 1 − 2 = 0.223, me = 0.511 MeV, mµ = 0.106 GeV, mτ = 1.777 GeV. MZ 2 )2 ≃ 0.012 por lo que la Z contribuye aproximadamente la Nótese que (1 − 4sW mitad que la W y con signo opuesto. La contribución del Higgs es despreciable. • A continuación resumimos las predicciones del SM y las medidas actuales del momento anómalo del muón aµ [J.P. Miller, E. de Rafael, B.L. Roberts, Rept. Prog. Phys. 70 (2007) 795] El momento magnético anómalo en el SM 131 CÁLCULOS TEÓRICOS Contribución a aµ (×1011 ) α n QED coeficiente de π n=1 0.5 116 140 973 n=2 0.765 857 410 (27) ... n=3 24.050 509 64 (87) ... n=4 130.991 6 (80) ... n=5 663. (20) ... Total 116 584 718 Débil 1. loop 195 2. loop −41 Hadrónica hadronic vacuum polarization 6 803 light by light 110 TOTAL ateo µ = 116 591 785 (61) exp MEDIDA EXPERIMENTAL: E821 (Brookhaven ’06) aµ = 116 592 080 (63) ⇒ Discrepancia de 3.4σ !! El momento magnético anómalo en el SM 132 El proceso raro µ → eγ • Se trata de un proceso con violación de sabor leptónico (LFV), que en el SM con neutrinos sin masa está prohibido. • Sin embargo, en el SM con neutrinos masivos o en otras extensiones del SM, como supersimetría, este proceso puede darse. • La colaboración MEG lleva acabo un experimento en el PSI (Suiza) desde el 2004 con el haz de muones más intenso del mundo. No han observado ningún suceso, lo que pone una cota actualmente de B(µ → eγ) < 1.2 × 10−11 . El objetivo es llegar en unos años hasta 10−14 . • Los experimentos Belle y BaBar en la factoría KEKB (Japón) ponen cotas a desintegraciones similares del τ. Las más actuales (05/2007) son B(τ → µγ) < 4.8 × 10−8 y B(τ → eγ) < 1.2 × 10−7 . El proceso raro µ → eγ 133 • Recordemos que se trata de transiciones dipolares, lo que puede comprobarse explícitamente hallando las contribuciones a FV y FA , que son nulas. • Las anchuras y fracciones de desintegración relevantes son α 3 2 2 Γ(ℓ j → ℓi γ) = mℓ j | FM | + | FE | , 2 GF2 m5ℓ παW j Γ(ℓ j → ℓi νj ν̄i ) = 3 , GF = √ , 192π 2MW 2 B(ℓ j → ℓi γ) Γ(ℓ j → ℓi γ) = B(ℓ j → ℓi νj ν̄i ) Γ(ℓ j → ℓi νi ν̄j ) 4 2 12α MW 4π 2 2 = | FM | + | FE | , π m2ℓ αW j donde B(ℓ j → ℓi νj ν̄i ) = 1/0.17/0.17 para ℓ j ℓi = µe/τµ/τe. El proceso raro µ → eγ 134 µ → eγ en el SM con neutrinos masivos • Los diagramas a un loop en el gauge de ’t Hooft-Feynman son: µ µ µ µ W φ W φ γ νi γ νi γ νi γ νi W φ φ W e e e e II IV V VI • A continuación listamos las contribuciones de cada clase de diagramas que se obtienen usando las funciones de tres puntos con argumentos (0, 0, 0; m2νi , MW 2 , M2 ). W El proceso raro µ → eγ en el SM con neutrinos masivos 135 2 • Definiendo xi ≡ m2νi /MW αW ∗ II: FM = −iFE = − mµ ∑ Uei Uµi 3C11 − C1 16π i αW 3 IV: FM = −iFE = − mµ ∑ Uei U∗µi xi C 0 + 3C1 + C11 16π i 2 V: FM = −iFE = 0 α VI: FM = −iFE = W mµ ∑ Uei U∗µi C1 16π i αW m µ ∗ Total: FM = −iFE = 2 ∑ U ei U µi FW ( xi ) 16π MW i 10 − 33x + 45x2 − 4x3 3x3 5 x 2 donde FW ( x ) = 3 + 4 ln x → − + O( x ) 12(1 − x ) 2(1 − x ) 6 4 • Por tanto, para neutrinos ligeros y usando la unitariedad de U, 2 2 3α 3α B(µ → eγ)|SM = ∑ Uei U∗µi FW ( xi ) ≃ ∑ Uei U∗µi xi <∼ 10−54 , 2π i 32π i donde se han sustituido los ángulos de mezcla y ∆m2ij medidos en oscilaciones. El proceso raro µ → eγ en el SM con neutrinos masivos 136 Nota importante: En las expresiones anteriores se ha despreciado me . Para recuperar la contribución de la W al momento magnético anómalo conviene reinsertar me : αW n o FM = ∑ mµ Uei U∗µi + me U∗ei Uµi [. . . ] 16π i αW n o ∗ ∗ iFE = ∑ mµ Uei Uµi − me Uei Uµi [. . . ] 16π i Entonces encontramos que en efecto, para ℓ = µ = e, la contribución de la W a aℓ es GF 10 GF aℓ = 2mℓ FM (0) = √ 2m2ℓ FW (0) = √ m2ℓ 8π 2 2 3 8π 2 2 pues, despreciando las correcciones radiativas de GF , GF αW 1 √ = 2 , 2 8π 2 16π MW y dℓ = 0 si no hay fases complejas en U o si los neutrinos no tienen masa. El proceso raro µ → eγ en el SM con neutrinos masivos 137