PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Licenciatura de Economía Dpto. de Economía Aplicada Facultad de CC. EE.y Empresariales Universidad de La Laguna Ejercicios Propuestos Curso 2004-2005 En realidad todos los que se han esforzado conscientemente por utilizar las matemáticas en sus explicaciones han sido recompensados por descubrimientos brillantes... Conviene recordar que si se examina la historia del pensamiento económico se verifica que la mayor parte de los progresos importantes han sido realizados por economistas poseedores de una formación matemática más o menos acabada. Maurice Allais (1954) 1. El arte de modelizar 1. Producción de mínimo coste Una empresa produce un único bien mediante tres factores productivos. Debe satisfacer una demanda mínima de su producto de 100 toneladas y tiene que afrontar un coste fijo de medio millón de euros. Los precios de los tres factores productivos son 10, 20 y 30 euros por kilo, respectivamente. La función de producción es de tipo Cobb-Douglas, y su expre0 sión es q ( x1, x 2 , x3 ) = 10 x12 x 2 x3 .5 . Sabiendo que se desea minimizar costes, encontrar las cantidades de los factores productivos que se deben emplear en el proceso de producción. 2. Utilidad del consumidor Supongamos que la función de utilidad de un consumidor en un periodo de tiempo viene dada por U ( x1, x 2 ) = x1x 2 donde x1 y x 2 representan las cantidades consumidas de dos bienes 1 y 2 en dicho periodo de tiempo. Si el precio del primer bien es p1 = 5 − 0. 04 x1 y el del segundo es p2 = 4 − 0.01x 2 , si la renta disponible para el consumidor es de 50 unidades monetarias, y si los precios son tales que p1 ≥ 3 y p2 ≥ 2 , se pide calcular las cantidades consumidas de cada bien cuando el objetivo del consumidor es maximizar su utilidad. 3. Producción y distribución Una empresa quiere maximizar la tasa de rentabilidad sobre los costes que origina al realizar dos actividades distintas, la de producción y la de distribución de productos. El coste variable por tonelada obtenida por el proceso de producción es de 40000 euros, mientras que el coste por tonelada distribuida es de 41000 euros. La empresa debe sufragar un coste fijo de 100000 euros, independientemente de la cantidad producida y/o comercializada. Por cada tonelada producida obtiene un beneficio unitario de 18000 euros, mientras que por la distribución obtiene 19000 euros por tonelada. Dispone de dos recursos productivos para desarrollar esas dos actividades, personal e instalaciones. Ha valorado su disponibilidad de recursos personales en 60000 euros y en 200000 sus recursos de instalaciones. Conoce que para producir una tonelada de producto requiere 15000 euros en personal y 30000 en concepto de usos de instalaciones, mientras que para distribuir una tonelada del mismo producto requiere 10000 en recursos personales y 40000 euros de instalaciones. Formular un modelo para encontrar la política óptima de producción y distribución. 4. Planificación de la Producción (1) Una empresa fabrica puertas y ventanas de cristal, estructurándose su trabajo en varias plantas procesadoras según el siguiente plan: Planta 1: Se fabrican los marcos y molduras de aluminio. Planta 2: Se fabrican los marcos de madera. 1 Planta 3: Se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Debido a que las ganancias se han reducido, se ha decidido dejar de fabricar algunos productos y dejar libre una parte de la capacidad de producción para fabricar dos productos nuevos que están teniendo mayor demanda: Puertas de vidrio con marco de aluminio de 0,70x2 m. (Ganancia por unidad=300 euros), y ventana con vidrio doble y marco de madera de 1,5x2 m. (G. u.=500 euros). La compañía llega a la conclusión de que todos los productos que fabrique los puede vender. Sin embargo, la capacidad de producción de cada planta es limitada, pudiéndose invertir la capacidad disponible para la producción de cada uno de estos nuevos productos, según la siguiente tabla. Capacidad usada por u. de producto Prod. 1 Prod. 2 1 0 0 2 3 2 3 5 Capacidad disponible 4 12 18 Planta 1 Planta 2 Planta 3 Ganancia unitaria (100 €) Formular un programa matemático que proporcione la combinación de los dos productos más rentable para la empresa. 5. Producción de alimentos Cierto alimento se produce mediante refinado y mezcla de cinco tipos de sustancias de dos clases: vegetales (v1,v2) y no vegetales (n1,n2,n3). Cada sustancia puede adquirirse para reparto inmediato o futuro. Los precios de reparto (en euros por tonelada) de las sustancias para los próximos meses vienen dados en la siguiente tabla: Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio V1 110 130 110 120 100 90 V2 120 130 140 110 120 100 N1 130 110 130 120 150 140 N2 110 90 100 120 110 80 N3 115 115 95 125 105 135 El precio de venta del producto es de 150 euros por tonelada. Las sustancias vegetales y no vegetales requieren diferentes líneas de producción y refinamiento. En un mes cualquiera no es posible refinar más de 200 toneladas de sustancias vegetales y 250 toneladas de las no vegetales. No hay pérdida de peso en el proceso de refinado y el coste del mismo es insignificante. Por otra parte, se pueden almacenar hasta 1000 toneladas de cada uno de los dos tipos de sustancias para su uso posterior. El coste de almacenamiento para ambos es de 5 euros por tonelada y mes. Sin embargo, ni el producto final ni tampoco las sustancias refinadas pueden ser almacenadas. Existe, por último, una restricción tecnológica sobre la calidad del producto final, que en las unidades apropiadas de medida, debe estar entre 3 y 6. Se supone que la calidad de la mezcla es lineal respecto a las cantidades de las sustancias empleadas y sus respectivas calidades, que son: V1 8.8 V2 6.1 N1 2 N2 4.2 N3 5 Se comienza con 500 toneladas de cada sustancia almacenada y se desea disponer de la misma cantidad al final de Junio en el almacén. Formular un modelo matemático para determinar la política óptima de adquisición de materias primas y producción del alimento para maximizar el beneficio. 2 cada una de las cuales está disponible 40 horas a la semana.5 7.5 6. No existen límites para el empleo de agua y aditivos. para el zumo C. 7.) Costo en la máquina 2 (€/1000 u. Formular un modelo que indique cómo llevar a cabo la producción.000 Kg. B y C. B y C combinando zumo puro. También se conoce que por cada 10 Kg. para el zumo B y 3 u. En el proceso de transformación se utiliza zumo puro.5 1 Tornillos grandes 32. por razones estratégicas se considera que no es conveniente que la producción de un tipo de zumo supere el 40% del total. z son los litros de los zumos A. 3 . Los requerimientos de costo y tiempo para producir cada tamaño de tornillo en cada máquina y el precio de venta de cada tamaño de tornillo se muestran a continuación: Precio de venta (€/1000 u.6.) Tiempo en la máquina 1 (min/libra) Tiempo en la máquina 2 (min/libra) Tornillos pequeños 27. Programación de turnos laborales (1) La empresa Seguritas necesita tener cada día de la semana al menos el siguiente número de empleados: Empleados necesarios Lunes 16 Martes 15 Miércoles 16 Jueves 19 Viernes 14 Sábado 12 Domingo 18 Atendiendo a convenios laborales.) Costo en la máquina 1 (€/1000 u.25 8 1. agua y aditivos en las siguientes proporciones: TIPO ZUMO ZUMO PURO A 2 B 5 C 3 AGUA 1 2 2 ADITIVOS 1 2 1 Se sabe que la función de ingresos de la empresa es 2 x 2 + y 2 + 2 z 2 donde x.75 1. 2 u. El zumo puro se obtiene exprimiendo las frutas y desechando las pieles y otros residuos sólidos. cada contrato le supone a la empresa un costo de 500 euros por semana. Estos tornillos pueden producirse en dos máquinas distintas. Planificación de la producción (2) Chirility Company debe producir al menos 600000 tornillos pequeños y 400000 tornillos grandes para satisfacer la demanda de las siguientes 4 semanas.m. El gerente quiere maximizar el beneficio y satisfacer la demanda con la disponibilidad limitada de tiempo de máquina en las siguientes 4 semanas.75 9. Por otra parte. ZUMIBAN fabrica tres tipos de zumo A.25 En cada libra hay aproximadamente 60 tornillos pequeños y 40 grandes. y que los costes totales por litro son de 10 u.25 1. De fruta se obtienen 7 litros de zumo puro y la empresa dispone de un stock de 20. Además. cada empleado hará su semana laboral trabajando 5 días consecutivos comenzando cuando la empresa le diga. Según esto.m. De fruta en almacén. agua y otros aditivos que diferencian los zumos de la empresa respecto a los de la competencia. para el zumo A. Producción de mezclas La empresa ZUMIBAN se dedica a la obtención de zumos de frutas exóticas. y. Calcula cuántos litros de cada clase de zumo deberá producir ZUMIBAN para maximizar los beneficios.m. ¿cuántos empleados se necesitarán si se quiere minimizar los costos de contratación? ¿Cuántos trabajadores empezarán su turno de 5 días los miércoles? 8. 10 h. dependiendo de la hora del día. comenzando a las 8 h. Los Ángeles. Como gerente del departamento de personal. la gerencia de CCC está considerando construir plantas de ensamblaje en San Francisco. o 12 h. 1500 ordenadores de una tienda de Tucson y 1200 ordenadores de una tienda de Dallas. Programación de turnos laborales (2) La principal sucursal del Burlington Bank en Vermont requiere de 8 a 15 cajeros de servicio. El número de ventas realizado por cada candidato en las cinco secciones viene dado por la siguiente tabla: Candidatos Juan Pedro Andrés Luisa Catalina Roberto Isabel Fotografía 8 2 8 7 8 3 8 Discos 9 9 7 5 9 9 7 Calzado 2 4 3 6 6 1 6 Juguetería 4 1 9 10 9 10 3 Librería 1 2 1 1 3 4 4 Formular un modelo que permita determinar qué cinco trabajadores debe seleccionar la empresa y a qué secciones debe asignar a cada uno de los vendedores contratados. Las regulaciones sindicales requieren que a toda hora al menos el 60% de los cajeros sean de tiempo completo. 1000 ordenadores de una tienda de Barstow. Juguetería y Librería.. Para satisfacer esta demanda anticipada. La compañía confidencialmente anticipa una demanda mensual de 1700 ordenadores de una tienda de ventas al detalle en San Diego. 11. Selección de personal El departamento de selección de personal de unos grandes almacenes ha preseleccionado a siete candidatos para ocupar cinco puestos de vendedores en la empresa. comenzando a las 8 h. Localización de plantas productivas Cosmic Computer Company (CCC) acaba de darse a conocer y ha obtenido fondos para producir un nuevo ordenador. Phoenix y/o Denver.) se muestran en la siguiente tabla: UBICACIÓN San Francisco Los Ángeles Phoenix Denver Capacidades de las plantas y costos fijos CAPACIDAD MENSUAL COSTOS FIJOS MENSUALES 1700 70000 2000 70000 1700 65000 2000 70000 El costo de embarque de un ordenador terminado desde cada planta hasta cada tienda detallista se da en la tabla siguiente: 4 . 10. Las capacidades de producción mensual y los costos fijos proyectados (que incluyen la operación de la planta. Para realizar la selección se ha probado a los siete candidatos en las cinco secciones en las mismas condiciones para todos.9. haga una recomendación respecto al número de empleados a tiempo completo y a tiempo parcial requeridos a lo largo del día para minimizar el costo diario total. Discos. Calzado. Los cajeros a tiempo parcial trabajan 4 horas consecutivas a 8$ la hora. como se indica en la siguiente tabla: PERIODO 8-10 10-12 12-14 14-16 NÚMERO MÍNIMO DE CAJEROS 8 10 15 12 Los cajeros a tiempo completo trabajan 8 horas consecutivas a 15$ la hora. el pago de hipoteca. etc. Estos puestos de vendedores corresponden a cinco secciones diferentes: Fotografía. la mayoría instalados en forma inadecuada. 2200. pero no urbanizada. 12. no puede exceder las 4000 toneladas en ningún mes. Cualquier acero remanente se almacena en inventario a un costo de 120 euros por tonelada por cada mes que permanece allí. tal vez sea mejor que NSC produzca más acero del que necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. los funcionarios del municipio 5 . entonces la compañía incurre en un costo de 50€ por tonelada de producción incrementada para cubrir la mano de obra adicionales y/o el tiempo extra. En el pasado. Se proyecta que los costos de producción por tonelada de acero durante cada uno de los siguientes cuatro meses sean de 7400. Cada tonelada de producción disminuida incurre en un costo de 30€ para cubrir los beneficios de empleados no utilizados. La producción mensual se termina al final del mes. 2700 y 2500 toneladas de acero para cada uno de los siguientes 4 meses. se utilizan muchos tanques sépticos. posee 800 acres de tierra de primera clase. El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas. NSC puede satisfacer estas demandas produciendo el acero. Con el paso de los años. 13. Formule un plan de producción para NSC que minimice los costos totales en los siguientes cuatro meses. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al menos 1500 toneladas para cubrir la demanda anticipada. extrayéndolo de su inventario o usando cualquier combinación de las dos alternativas. Estos datos se resumen en la siguiente tabla: Mes Demanda (tons) Costo de producción (€/ton) Costo de inventario (€/ton/mes) 1 2400 7400 120 2 2200 7500 120 3 2700 7600 120 4 2500 7650 120 Si el nivel de producción se incrementa de un mes al siguiente. o desagüe por alcantarillado. cuando la demanda se satisface. 7600 y 7650 euros. Las orillas del lago ahora están alineadas con residencias vacacionales agrupadas. debido a las presiones inflacionistas. La capacidad de producción. y el inventario que comienza es de 1000 toneladas. en un lago escénico en la parte central de Ozark Mountains. Uso y urbanización de la tierra Birdeyes Real Estate Co. Para controlar la degradación más profunda en la calidad del agua. la infiltración de los tanques sépticos ha provocado un severo problema de contaminación del agua. sin embargo. 7500. se aplicaba poca o ninguna regulación a nuevas urbanizaciones en torno al lago.Costos de embarque ($/ordenador) de las plantas a las tiendas TIENDAS PLANTAS San Diego Barstow Tucson San Francisco 5 3 2 Los Ángeles 4 7 8 Phoenix 6 5 3 Denver 9 8 6 Dallas 6 10 8 5 Como gerente de la división de producción. se le ha pedido recomendar las plantas que se construirían para minimizar los costos totales de transporte mensual y los costos fijos. Como los costos suben cada mes. Producción y almacenamiento National Steel Corporation (NSC) produce un acero especial usado en las industrias de aviación y aeroespaciales. El departamento de ventas de NSC ha recibido pedidos de 2400. Debido a la falta de servicio de drenaje. a x -y ≥1 -x +y ≥1 x. y ≥ 0 c) Min . 4. donde las unifamiliares costituyen cuando menos el 50% del total. Para preservar la ecología del lago.presentaron y aprobaron algunos reglamentos estrictos aplicables a todas las urbanizaciones a futuro: 1.a x + 6y ≥ 8 2y ≤ 3 x. Para limitar el número de tanques sépticos. Programación Lineal 14. El estima que el 15% del terreno se utilizará en la apertura de calles y vías de acceso para servicios. pico. 3 y 4 acres para casas de una. y ≥ 0 6 . Los datos que siguen resumen el costo de conexión del servicio de agua y también del consumo de agua suponiendo una familia de tamaño medio: Unidades habitacionales Costo del servicio de agua por unidad ($) Consumo de agua por unidad (galones/día) Sencilla 1000 400 Doble 1200 600 Triple 1400 840 Recreo 800 450 2.x . Dibujar el conjunto de soluciones factibles y resolver por el método gráfico los siguientes programas lineales: a) Max x + 3y s. y ≥ 0 d) Max 3x + 2y s. La nueva urbanización incluirá casas para una. la expansión del sistema acuífero más allá de su capacidad actual está limitada a 200000 galones por día durante periodos de consumo máximo. 3.y s. dos y tres familias. dos y tres familias. El presidente de Birdeyes Real Estate estudia la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compañía en el lago. Sólo se pueden construir casas para una. Se deben establecer áreas de recreo de 1 acre cada una a razón de un área por cada 200 familias. la comunidad estipula que se deberá colectar un mínimo de 100000 $ para que el proyecto sea económicamente factible.x + 2y ≤ 8 x. se requieren tamaños de lote mínimos de 2. Además. dos y tres familias. y ≥ 0 b) Min 6x + 8y s.a x+y≤ 6 . 2. no se puede extraer agua del subsuelo para uso en la casa o el jardín.a 3x + y ≥ 4 5x + 2y ≥ 7 x. También calcula que los siguientes serán sus ingresos derivados de la venta de las diversas unidades habitacionales: Unidades habitacionales Ingreso neto por unidad ($) Sencilla 10000 Doble 15000 Triple 20000 El costo de conexión del servicio de agua al área es proporcional al número de unidades que se construyan. Sin embargo. Resolver los siguientes programas lineales utilizando el método Símplex: a) Max 2x 1 + 3x 2 + x 3 s. se introduce una variable artificial a esta restricción con el fin de iniciar el método Símplex con una solución básica inicial que sea factible para el modelo original. gasolina y gas-oil.15.2x 1 + 3x 2 ≤ 4 x1 . y ≥ 0 a) Resolver el problema y su dual. en las siguientes proporciones: 7 . c) Idem si se cambia la primera restricción por x+2y≤10 18. x 2 ≥ 0 d) Max x1 + x 2 s. Plantear el problema dual de cada uno de los Programas Lineales incluidos en los ejercicios 23 y 24 y resolverlos utilizando el método Símplex.x1 + x2 ≤ 2 x2 ≤ 4 x 1. c) Cuando un modelo de programación lineal tiene una restricción de igualdad. Una refinería de petróleo puede destilar dos tipos de crudo: Un crudo de Arabia ligero y un crudo mexicano pesado (de alta densidad). y analizar el cambio en el óptimo de la función objetivo.a . b) Cambiar la primera restricción por x+y≤11. x2 . 20. razonando la respuesta: a) La regla del método Símplex para elegir la variable no básica entrante se usa porque siempre conduce a la mejor solución básica factible adyacente.a x 1 − x 2 + 6x 3 ≤ 1 2x1 + x 2 + x 3 ≤ 2 x1. b) La regla del método Símplex para elegir la variable básica que sale se usa porque al hacer otra elección casi siempre se llega a una solución básica que no es factible.a 4x 1 + 3x 2 ≤ 6 2x 1 + 2 x 2 ≥ 5 x1 . ilustrando las soluciones gráficamente. 19. x3 ≥ 0 plantear su programa dual y las propiedades de holgura complementaria.a x + y ≤ 10 . De cada uno de estos crudos se obtienen tres productos destilados: keroseno. x 2 ≥ 0 16. x 2 . x 2 ≥ 0 c) Max 3x1 + x 2 s. Dado el programa Max z = 3x1 + x 2 − x 3 s. Decir si cada una de las siguientes afirmaciones es cierta o falsa.2x + y ≤ 4 x.a x1 + x 2 + x3 ≤ 4 2x 1 + 3x 2 + 4 x 3 ≤ 12 x1 + 4 x 2 + 2 x 3 ≤ 8 x1 . cuyos precios respectivos son 11 y 9 dólares/barril. x 3 ≥ 0 b) Min 6x1 + 2 x 2 s. 17. Dado el problema: Max x + 2y s.a 2x1 + x 2 ≥ 4 . 2 0. Posee una planta que está estructurada en cuatro departamentos: fabricación de los chasis. 80 u. montaje y el departamento O. ¿Qué cantidad debe destilar de cada uno de los dos tipos de crudo para satisfacer sus compromisos con el mínimo coste? Resolve rlo por el Dual.32 Keroseno 0.m.m/l) 100 30 20 Cantidad (litros) 120000 80000 50000 ilimitada El precio de venta unitario de las botellas elaboradas (1 litro de capacidad) es: 110 u. Para tener en cuenta el factor riesgo.4 0.K.m.2 0.1 Los costes de los vinos a utilizar y las cantidades de que dispone son: VINO TDP T C Agua Precio coste (u.45 Pérdidas 0. ¿Cuánto debe invertir en cada tipo de valores para maximizar sus intereses? 22. las E.3 0.-Line o verificación de calidad.4 C 0.1 0.1 0.08 La empresa de refinamiento ha firmado un contrato con una empresa de distribución para suministrarle 1000000 de barriles de gasolina. Vino Reserva (R) y Vino de Mesa (M).05 0.4 0. las M. Un inversor dispone de 50000 dólares para invertir en tres tipos de valores: bonos de bajo riesgo que proporcionan un interés del 5% anual.m. ¿cuál debe ser la producción de cada una de las marcas que maximice el beneficio neto? 23. Un bodeguero dispone de tres tipos de vino en sus bodegas: tinto doble pasta (TDP). 300000 de keroseno y 200000 de gas-oil. Las horas de mano de obra que necesita cada uno de los modelos de motocicletas en los diferentes departamentos son las siguientes: 8 . 125 y 50 centímetros cúbicos.6 0. el inversor decide no invertir más de 25000 dólares en las obligaciones especulativas y que la cantidad invertida entre los bonos y las obligaciones no supere los 30000 dólares.3 AGUA 0. pintura. y tiene la intención de embotellar y comercializar sus propias marcas de vino. La elaboración de estas calidades se realiza combinando los tres tipos de vino de la siguiente forma: Componentes (en litros) Marca E R M TDP 0.35 0. 250. 21.15 Gas-oil 0.Gasolina Arabia ligero Mexico pesado 0. Si por cada botella de vino E ó R espera vender por lo menos 2 de M.2 T 0. La empresa A se dedica al montaje de motocicletas de 500.3 0. acciones de riesgo medio con un interés del 8% y obligaciones especulativas de alto riesgo con un 16%. las R y 50 u. tinto (T) y clarete (C). distinguiendo tres calidades: Vino Extra (E). K. La estructura del proceso productivo es la siguiente: Producto 1 Material A Material B 200 300 Producto 2 150 250 Producto 3 100 180 Producto 4 45 82. b) Se consigue reducir el número de horas empleadas en la construcción del chasis de las motocicletas de 125 c. son invendibles al precio actual y que para poder competir con las marcas rivales el precio debería descender.-Line 4 2 2 2 La distribución de los trabajadores es la siguiente: El departamento de fabricación de chasis dispone de 25 trabajadores.c.-Line de 10. 80000 y 40000 u. de 90. el de pintura de 18. 25. 140000.m. 500 Mod. si su beneficio unitario fuese de 90000 u.Sección Mod. 2 6 Nº de term. 125 Mod. Cierta empresa produce cuatro artículos diferentes utilizando los materiales A y B. 24. ¿Cuál debe ser la distribución de la producción para que los costes sean mínimos? Hacer un análisis de la sensibilidad de los diferentes parámetros del modelo. ¿cuál ha de ser la combinación óptima de motocicletas a producir para que el beneficio sea máximo? Además. 2 3 Nº de anal. Las necesidades de analistas. pasando de 4 horas a 3 horas. d) ¿Interesaría fabricar motocicletas de 125 c. realizar un análisis postóptimo en los siguientes casos: a) Se contrata un nuevo operario para la sección de verificación.K.m. de 4 a 2 horas. ¿Conviene modificar el proceso productivo? 24. Todos los trabajadores realizan una jornada laboral de 8 horas. c) En un nuevo avance tecnológico. 80. 50. programadores y terminales de ordenador para cada tipo de proyecto vienen dadas por la siguiente tabla: Tipo: A B Nº de prog. 3 1 9 .m. respectivamente. situando el beneficio unitario en 120000 u. la sección de construcción de chasis reduce el tiempo de fabricación unitario de las motocicletas de 125 c. el de montaje de 30 y el O. 50 Fabricación de chasis 8 6 4 2 Pintura 6 3 2 1 Montaje 8 8 6 4 O. Una empresa constructora tiene en cartera realizar una serie de proyectos de dos tipos (A y B) cuyo coste de desarrollo unitario es el mismo (lo suponemos igual a 1 para ambos). Si el margen de beneficio de cada uno de los modelos es de 200000. 250 Mod. el proveedor establece como condición para servir los materiales que el consumo mínimo mensual de A y B debe ser de 5600 y 8700 unidades. respectivamente. Dada la distancia existente entre el almacén proveedor y la empresa.c.5 El coste unitario de producción es.c.? e) El departamento de ventas informa que las motocicletas de 250 c.c. b) Resolverlo por el método Símplex e interpretar económicamente la solución obtenida c) Comprobar por el método gráfico el óptimo encontrado. la segunda a trabajo. 26.. x5. y cada unidad de B.m. la primera debida a materia prima. al menos.. y donde x4. El departamento de producción de una empresa naviera recibe un contrato para producir un número de anclas que requieren el uso de un material tipo A cuyo coste por unidad es de 30 u. y la tercera de tipo técnico. x5. Para cada ancla puede usarse como máximo 12 unidades de material A y como mínimo 16 unidades de material B. se pide: a) Formular el problema de Programación Matemática que permite modelizar esta situación.. x6 son variables de holgura: Tabla Inicial Vb/f X4 X5 X6 Z x1 2 2 1 -3 x2 3 4 1 1 x3 1 -1 1 -2 x4 1 0 0 0 x5 0 1 0 0 x6 0 0 1 0 ld 12 10 4 0 Vb/f X4 X5 X1 Z x1 0 0 1 0 x2 1 2 1 4 Tabla Final x3 -1 -3 1 1 x4 1 0 0 0 x5 0 1 0 0 x6 -2 -2 1 3 ld 4 2 4 12 a) ¿Cuál es la nueva solución óptima si se dispone de 5 unidades del tercer recurso en lugar de las 4 originales? b) Determinar la solución óptima si se decide que x2 debe tomar. la segunda a trabajo y la tercera de tipo técnico.Estos proyectos pueden hacerse total o parcialmente. el valor 1. 28. la primera debida a materia prima. Sabiendo que las siguientes tablas Símplex representan la tabla inicial y la final de un problema de programación lineal en forma estándar de maximización con tres restricciones. Cada unidad de A pesa 4 kg. Si el peso del ancla debe ser como mínimo de 120kg. x6 son variables de holgura: 10 . y el deseo del departamento de producción es conocer la mezcla de materiales A y B que debe emplear para fabricar cada ancla minimizando costes.. Sabiendo que las siguientes tablas Símplex representan la tabla inicial y la final de un problema de programación lineal en forma estándar de maximización con tres restricciones. donde x4. se pide: a) Formular el problema de Programación Matemática que permite modelizar esta situación.m. y se cuenta únicamente con 6 terminales de ordenador. 27. 6 kg. y de un material tipo B cuyo coste por unidad es de 80 u. b) Resolverlo por el método Símplex e interpretar económicamente la solución obtenida c) Comprobar por el método gráfico el óptimo encontrado. y el deseo de la empresa es minimizar el coste de desarrollo de los proyectos que se vayan a ejecutar. Sabiendo que los condicionantes para el desarrollo de estos proyectos son: al menos 9 programadores y 5 analistas deben estar ocupados en ellos. 30 10 10 20 a) Identificar la solución factible en un vértice obtenida en esta iteración. 3. resolviendo. b) Escribir la función objetivo contenida en la tabla y su valor en la solución factible implícita a ella.x2. a.Tabla Inicial Vb/f X4 X5 X6 Z x1 2 2 0 -3 x2 3 4 1 -4 x3 1 -1 1 -2 x4 1 0 0 0 x5 0 1 0 0 x6 0 0 1 0 L. respectivamente. 4 y 1 u.D 6 12 4 26 a) ¿Cuál es la nueva solución óptima si se dispone de 30 unidades del primer recurso en lugar de las 16 originales? b) Determinar la solución óptima si cambia el beneficio unitario del segundo producto (coeficiente en la función objetivo) de 4 unidades a 2 unidades 29. sin utilizar el método Símplex.m. 3x1+x2+x3≤60 x1-x2+2x3≤10 x1+x2-x3≤20 x1. 11 . Dado el siguiente problema: Max z= 2x1-x2+x3 s. 5.D 16 20 4 0 Vb/f X1 X5 X3 Z x1 1 0 0 0 x2 1 3 1 1 Tabla Final x3 0 0 1 0 x4 1/2 -1 0 3/2 x5 0 1 0 0 x6 -1/2 2 1 1/2 L.D. Además utiliza dos recursos para la producción (recurso 1 y recurso 2) en las siguientes cantidades: Artículo 1 Artículo 2 Artículo 3 Recurso 1 Recurso 2 1 4 3 6 2 5 Artículo 4 Artículo 5 3 7 1 1 Disponibilidad máxima 6 15 Responder a las siguientes cuestiones. 30.x3 ≥0 y después de introducir las variables de holgura y de realizar una iteración del método Símplex se obtiene la tabla Símplex: x1 x4 x1 x6 z 0 1 0 0 x2 4 -1 2 -1 x3 -5 2 -3 3 x4 1 0 0 0 X5 -3 1 -1 2 x6 0 0 1 0 L. c) Escribir las ecuaciones de restricción que definen la solución factible en un vértice obtenida en esta iteración. a través de su programa dual: a) Las cantidades a producir para maximizar los beneficios y el beneficio máximo alcanzado. d) Continuar la aplicación de método Símplex hasta encontrar la solución óptima indicando en ese caso la solución óptima y el valor del objetivo en el óptimo. Una empresa produce y distribuye 5 artículos diferentes y recibe como beneficio unitario por cada uno de ellos 2. m. en el caso de que ésta cambie.2.x2 ≥ 1. Resolver a mano. a) Max z = 4x1 . escribir las relaciones entre todas las variables y comprobar el teorema fuerte de la dualidad. x2≥0 y enteras s.75 (ó 2. 31.2.b) Los precios sombra imputados a cada recurso y las cantidades no utilizadas de los mismos.a: x1 + 4x2 ≤ 8 12 . implícitas en cada una de las tablas del Símplex.a: x1 . mientras que la de un camión lleva 3 horas. Partiendo del problema anterior.5x2 ≤ 0 -x1 + 2x3 -2x4 ≤ 3 xj≥0 para j=1.2x2 + 7x3 -x4 s.m. Programación Entera 33. se pide: a) Formular el Problema de Programación Matemática que permite conocer qué cantidad de automóviles y camiones debe finalizar diariamente la empresa para maximizar sus beneficios. Sabiendo que la ganancia por cada camión finalizado es de 3 u. b) La disponibilidad máxima del recurso 2 pasa a valer 18.m. el montaje de la carrocería lleva 1 hora de trabajo para ambos tipos de vehículos. reoptimizar para encontrar la nueva solución óptima: a) La cantidad del recurso 1 necesaria para producir el artículo 3 pasa a valer 0. b) Resolverlo gráficamente.4 y entera para j=1.3.a: x1 + 5x3 ≤ 10 x1 + x2 -x3 ≤ 1 6x1 . 32. con ayuda del ordenador y gráficamente (sólo los de dos variables) los siguientes problemas de programación entera. interpretar los valores de las variables duales en el óptimo. d) Comprobar la solución anterior empleando el método Símplex en el problema primal. c) Comprobar la solución obtenida anteriormente empleando el método Símplex.x2 ≤ 1. (u. Una compañía está dedicada a finalizar la fabricación de automóviles y camiones. c) El coste mínimo total imputado a los recursos. x2≥0 y enteras c) Max z=3x1 + 2x2 -x1 + 4x2 ≥ 4 x1≥0.3 b) Max z = 4x1 + 5x2 x1 . 3. indicando además la solución factible. mientras que por cada automóvil es de 2 u. e) Plantear el problema dual del anterior (con los nuevos beneficios unitarios).). Cada día tenemos disponibles 120 y 50 horas de trabajo en los talleres de pintura y de montaje de carrocería. el beneficio que le corresponde a esta. También.000 u. Además. d) ¿Qué ocurre con la solucion óptima si cada automóvil pasara a aportar 4 u.m.m.. respectivamente. al beneficio? Hacer el estudio postóptimo ayudado del método Símplex revisado y comprobar gráficamente tu solución. Cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y por un taller de montaje de la carrocería. analizar el efecto en la solución óptima de cada uno de los siguientes cambios por separado y.=100. y clasificarlo.25 x1≥ 2 x1≥0. y las ecuaciones de restricción.25) s. la pintura de cada automóvil lleva 2 horas de trabajo. 2050 rollos de 5 pulgadas de ancho y 4050 rollos de 8 pulgadas de ancho.50 por cada rollo de 5 pulgadas y $2 por cada rollo de 8 pulgadas. lo que provoca una pérdida neta de $1 por cada rollo de 3 pulgadas. La inversión única requerida y la tasa de rendimiento esperada asociada para cada proyecto son las siguientes: Proyecto: Bio-Tech Tale-Com Laser-Optics Compu-Wre Medi-Opti Sound-News Capital $ 200000 350000 150000 125000 375000 70000 Tasa de retorno 5. Cualquier rollo sobrante se vende con descuento. El desperdicio es reciclado a un costo neto de $0. El costo estimado de cada edificio de 13 .5 14. El capital requerido para las respectivas inversiones es de $6. California Manufacturing Company ha decidido ampliarse mediante la construcción de una nueva fábrica ya sea en Los Ángeles (LA) o/y San Francisco (SF). Inc.a: x1 + x2 + x3 ≤ 5 -x1 + 2x2 . También está pensando en construir a lo sumo un nuevo almacén en aquella ciudad que se elija para la nueva fábrica. Para producir estos rollos más pequeños. Su meta es lograr la devolución esperada más alta sobre la inversión. a la vez que se minimiza el costo total. BUDD ha obtenido una subvención federal de $5 millones para desarrollar edificios de departamentos para personas de ingresos bajos y medianos en una extensión de 180000 pies cuadrados de terreno. x3≥0 y enteras f) Max z= 4x1 + 5x2 s. Cada tipo de edificio requiere 20000 pies cuadrados. High Tech. en donde el capital total disponible es de $10 millones. El objetivo es encontrar la combinación factible de alternativas que maximice el valor presente neto total. Cada propuesta ha sido filtrada por el departamento de inve stigación. x2≥0 y enteras 34.0 16.a: 3x1 + 4x2 ≤ 20 4x1 + 2x2 ≤ 16 x2 ≥ 2 x1≥0. x3 ≤2 y enteras e) Max z= 2x1 + 3x2 +x3 s. Spiral Paper. 36.x2 . $1. la máquina cortadora que tiene 8 montaduras diferentes corta rollos de 20 pulgadas. una compañía de inversión de capital riesgo. el de un almacén en LA $6 millones y en SF $4 millones.x3 ≤ 0 x1≥0.0 9.0 12.d) Max z = 3x1 + 2x2 +x3 s.a: x1 + x2 + x3 ≤ 4 2x1 .x3 ≤ 0 0≤x1. vende rollos de papel para computadoras y cajas registradoras a diversos ve ndedores al por menor. el número de rollos obtenidos de cada rollo de 20 pulgadas por cada montadura son los siguientes (nótese que la columna suma 20 pulgadas): Montadura 3 pulgadas 5 pulgadas 8 pulgadas desperdicio 1 6 0 0 2 2 0 4 0 0 3 1 0 2 1 4 0 2 1 2 5 4 0 1 0 6 2 1 1 1 7 5 1 0 0 8 1 3 0 2 Estos son pedidos únicos. Los vendedores al por menor han hecho pedidos de 1050 rollos de 3 pulgadas de ancho. y seis han tenido una tasa esperada de retorno suficiente para justificar el riesgo implicado. x2≥0. x2. $5 y $2 millones respectivamente. Como gerente del departamento de producción. está considerando invertir hasta 1 millón de dólares en una o más propuestas que ha recibido de diversos empresarios.0 (esperada) Como socio mayoritario se le ha pedido que haga recomendaciones respecto a los proyectos que deben respaldarse. Sus rollos estándar tienen 20 pulgadas de ancho. en SF $5 millones.x3 ≤ 0 x1 + x2 .x3 ≤ 0 x1 + x2 . 37.50 por pulgada.5 13. 35. $3. El valor presente neto (beneficio total que toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo) de construir una fábrica en LA es de $9 millones. se le ha pedido determinar cómo usar las distintas monturas de la máquina cortadora para satisfacer la demanda especificada para los rollos de tamaño para venta al por menor. máximo global único. El director de BUDD desea determinar el mayor número de departamentos individuales que pueden construirse en el terreno disponible con el presupuesto dado. y no existir máximo global. Los productos. Cada edificio de ingresos bajos proporciona 15 unidades. y cada edificio de ingresos medianos proporciona 12 unidades. pero no existir mínimos locales (ni 14 .ingresos bajos es de $300000. El departamento de contabilidad de la compañía estima una ganancia neta de $0. mínimo global único. f) Poseer máximos locales y un máximo global único. Con las actuales instalaciones pueden contratarse hasta tres trabajadores más de tiempo completo en cada uno de los departamentos de mezclado y purificación a un costo semanal de $800 por empleado. cada uno trabajando 15 horas a la semana. e) Poseer máximos y mínimos locales. Realizar un esbozo gráfico para funciones de una o dos variables que se caractericen en su dominio de optimización por: a) No poseer máximos ni mínimos locales (ni globales por tanto). cada uno trabajando 40 horas a la semana y dos trabajadores de tiempo parcial. b) Para incrementar ganancias. una vez mezclados.80. que actualmente emplea seis trabajadores a tiempo completo a 40 horas a la semana cada uno y un trabajador a tiempo parcial que trabaja 10 horas a la semana. La demanda para el producto más especializado. y el costo estimado de cada edificio de ingresos medios es de $600000. Determinar la producción que maximice las ganancias.30 por galón de CS-01 y $0. el gobierno federal requiere que la proporción de los departamentos de ingresos medios con los de ingresos bajos sea de al menos 0. 4. d) Poseer máximos y mínimos locales. se le ha pedido que haga recomendaciones de contratación y expansión apropiadas. a) En la planta de Cleveland de Case Chemicals se producen dos disolventes CS-01 y CS-02. La gerencia también puede considerar ampliar las instalaciones de producción a un costo estimado de $20000 a la semana. Estos empleados manejan máquinas que mezclan ciertos productos químicos para producir cada disolvente. c) Poseer máximos y mínimos locales y máximos y mínimos globales únicos.50 por galón de CS-02. Las horas requeridas en los departamentos de mezclado y purificación para producir 1000 galones de cada uno de los productos son CS-01 CS-02 Mezclado 2 1 Purificación 1 2 Case Chemicals tiene un suministro prácticamente ilimitado de las materias primas requeridas para producir los dos disolventes y puede vender cualquier cantidad de CS-01. b) Poseer máximos y mínimos locales pero no globales. Programación No Lineal 39. el presidente está considerando una expansión. Esta expansión permitiría a la compañía contratar hasta ocho trabajadores adicionales en cada departamento. El departamento de mezclado de la planta actualmente tiene 5 empleados de tiempo completo. cinco más de los que se podrían contratar en cada departamento sin la expansión. 38. Para mantener el vecindario bien equilibrado. CS-02 está limitada a un máximo de 120000 galones a la semana. Como gerente del departamento de producción. se refinan en el departamento de purificación. y no existir mínimo global. h) Poseer más de un (incluso infinitos) mínimos o máximos globales.. x n ) s.. Dado el programa matemático: Max f(x. R a) Representar gráficamente el conjunto factible para dos bienes.. encontrar las funciones 1 2 de demanda del consumidor......a p1 x1 + .pn. Resolver este problema mediante el método de los multiplicadores de Lagrange obteniendo e interpretando las condiciones de primer orden necesarias de óptimo y escribiendo las condiciones suficientes de óptimo de segundo orden. y) = x 2 + y 2 s..a para p1.. + p n x n = M siendo por tanto un problema tratable mediante Programación Clásica (imponiéndose a posteriori que la solución sea no negativa).globales por tanto). Desde el punto de vista neoclásico.x2)= x1/ 2 x1/ 2 .. c) Encontrar gráficamente un óptimo del problema. b) Razonar porqué si la función de utilidad u verifica la propiedad de monotonía o insaciabilidad (x0>x1⇒u(x0)>u(x1)).. + p n x n ≤ M x 1 ≥ 0. pero no existir máximos locales (ni globales por tanto). 41. i) Poseer máximos o mínimos locales no detectables mediante la Programación Matemática Clásica por no ser la función diferenciable en estos puntos.…. c) Como consecuencia del apartado anterior.. x n ≥ 0 . 40. ∂ M óptimo i=1 ∂M 42. así como las cantidades demandadas en el óptimo para 15 p1 x1 + . el problema de optimización que el consumidor habrá de resolver es: Max u(x1 . Dada la función de utilidad de un consumidor del tipo u(x1. entonces el óptimo del problema se debe dar sobre la recta presupuestaria.. g) Poseer mínimos locales y un mínimo global único. b) Representar curvas de nivel correspondientes a niveles de la función objetivo cada vez mayores.M∈I + conocidos.. el problema del consumidor en el caso de que se verifiquen las hipótesis usuales de la Teoría Económica se puede representar por: Max u(x1 . d) Interpretar económicamente el multiplicador de Lagrange en este problema (Ayuda: Den ∂x ∂u mostrar que = ∑ λ pi i = λ (multiplicador de Lagrange)).. gastándose el consumidor toda la renta.a x + y -1 ≤ 0 x -y≤0 -x ≤0 a) Representar gráficamente el conjunto factible. x n ) s. a x 2 + y2 ≤ 4 x ≤1 -y≤0 Comprobar que el punto A(1.000 u.. a y − (2 − x )3 ≤ 0 −y≤ 0 Resolverlo gráficamente y comprobar que el óptimo no verifica las condiciones de Kuhn-Tucker. a) Interpretar esta hipótesis de convexidad desde el punto de vista económico.m. y) ∈ IR 2 / y = e x } a) f(x. x.x2)=x1x2 . bajo ciertas condiciones que no veremos). ¿Cómo varía la utilidad en esta última posición si M cambia a 105. x − y ≤ 4} c) M 3 = {( x . y ) ∈ IR 2 / x + y ≤ 2. sea cuasicóncava. y ) ∈ IR 2 / x 2 + y 2 ≤ 4 .. m. y ≤ 1} 45. análogamente al ejercicio 3 y 4.m. 47. b) Comprobar que esto equivale a que la función de utilidad que representa estas preferencias sea cuasicóncava (estrictamente.y) = ln(xy) . y) = x 2 + y2 − 8 s. el conjunto de las combinaciones al menos tan buenas como ella es (estrictamente) convexo”.M=100. Obsérvese finalmente que en el óptimo no se verifica la condición de regularidad de la restricción. c) Interpretar económicamente el hecho de que u(x).? 43. 16 .y) = -ex+y c) f(x. Uno de los supuestos de la Teoría Económica en la formalización de las preferencias del consumidor es el de convexidad (estricta) de las preferencias: “Dada una combinación de bienes.m. d) Ratificar los apartados anteriores con la función de utilidad u(x1. Dado el problema: Max f (x ) = x s. Estudiar la convexidad o concavidad de las siguientes funciones: b) f(x. 44. y. 48.000 u. x ≤ 1. qué le ocurre a la producción óptima si el coste total se fija en 69 u. Resolver el problema de producción: 2 Max Q = 60x1 + 90x 2 − 2x1 − 3x 2 (Producció n) 2 s.y∈ I + R 46. Consideremos el problema: Max f (x. función de utilidad que representa estas preferencias. p2=10. Razonar gráficamente si los siguientes conjuntos de I n son convexos o no: R a) M 1 = {( x .2xy d) f(x.m.000 u.0) verifica las condiciones de Kuhn-Tucker de óptimo pero no lo es.000 u.a 2x1 + 4x 2 = 68 (Coste de los factores) Interpretar a través del multiplicador de Lagrange.y) = x2 + y2 + z3 b) M 2 = {( x .y) = 3x2 + 5y2 . p1=5. Una empresa automovilística ha firmado un contrato por el que se compromete a entregar 50 coches al final de cada mes durante los próximos tres meses. y. y) = − x 2 − ( y − 2) 2 s. 54. esto es c(x)=x2.a x2+y2≤16 x+y≥4 17 . Encontrar. 53. 51.49. x 2 ) = ln( x1 + 1) + x 2 s.Q2 C(Q) = Q2 + 8Q -2 Suponiendo que desea maximizar sus ingresos sujetos a que el beneficio debe ser no inferior a 8 u. Dado el problema: Max f (x. Partiendo de esta información se pide: a) Formular un programa que determine la política óptima de producción y almacenamiento a lo largo de los tres meses (para minimizar el coste total). si es posible. a x 2 + y2 + z2 ≤1 Comprobar los puntos que verifican las condiciones de Kuhn-Tucker. Dado el problema: Max f (x1 . a 2x1 + x 2 ≤ 3 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Comprobar que es un problema de Programación Convexa y resolverlo a través de las condiciones de Kuhn-Tucker. el óptimo de este programa.m. y la cantidad producida no negativa. y estúdiese si son óptimos. El coste de almacenamiento para un coche que se fabrica en un mes determinado y se entrega al mes siguiente es de 20 u. El coste de producir x coches en un mes es igual al cuadrado del número de coches que se produce en ese mes. Dado el programa: Max f (x. hallar la producción óptima a través de las condiciones de Kuhn-Tucker y verificar que no es inferior a la producción para la que se obtiene el beneficio máximo (Img(Q)=CMg(Q)). 52. a x2 + y ≤ 4 x≥0 y≥0 Comprobar que la función objetivo es cóncava y las restricciones convexas. 50. Las funciones de ingresos y costes de una empresa son. Dado el siguiente problema de Programación No Lineal Min z = x2-2y s. m. b) Determinar la solución del problema. con lo que las condiciones de Kuhn-Tucker son necesarias y suficientes para el óptimo del problema. respectivamente: I(Q) = 16Q . Suponemos que no existe stock inicial. z) = − 3y + 2z s. 0) es mínimo global y compruébese que no verifica las condiciones de Kuhn-Tucker.a. Véase geométricamente que el punto (1.a.: x2 .2y s.x s.a.: x2 + y2 ≤ 4 -x2 + y = 0 x ≥ 0.a. s. Dado el problema: Min f(x.: xy ≥ 1 x-y≤2 x≥0 b) max z= y .: x+y≤6 x+y≥0 c) min x + 2y s.0.a. Analizar gráficamente y mediante las condiciones de K-T (de primer y segundo orden) los siguientes problemas. obsérvese que en este punto no se satisface la condición de regularidad. Para el programa Max f (x.: xy ≥ 4 x≥0 b) min x2 + (y-1)2 s.y ≤ -1 18 .2) verifica las condiciones de Kuhn-Tucker y deducir si es óptimo.a. 55.a.a 56. a x + y ≥ 1 0 ≤ x. Analizar mediante las condiciones de K-T (de primer y segundo orden) los siguientes problemas (sugerencia: analizar gráficamente para "intuir" los óptimos). d) Confirmar para dicha solución la regularidad del punto y las condiciones apropiadas de Kuhn-Tucker. z) = x + y + x 2 + y 2 + z 2 x2 + y2 ≤1 x ≥1 comprobar que el objetivo y las restricciones vienen dados por funciones convexas. y) = 3x + 7y s. y ≥ 0 58.a) Dibujar la región factible y decir si es convexa o no. y. c) Calcular gráficamente la solución óptima. a) min x2 + y2 s.y ≤ 0 x .a.: x-3 ≤ 0 x . a) max x2 + y2 s.: x2 + y2 ≤ 1 y-x≥0 c) max x s.y -2 ≤ 0 x ≥ 0. y ≤ 2 comprobar si el punto A(2. b) Estudiar las propiedades de convexidad o concavidad de la función objetivo y dibujar las curvas de nivel. 57. Finalmente.: x +y -1 ≤ 0 x-y≤0 -x ≤ 0 d) min (x-4)2 + (y-4)2 s. y ≥ 0 e) min x . Problemas complementarios 61.a. y ≥ 0.. 175 Oc. 60. Se puede convertir cada kg.m.a) sea candidato a máximo local. del producto 2.d) min 3x2 + 4y2 + 4xy s.a. 110 Di. 175 Ag.: x≥0 xy f) min z=x2 . b) Resolverlo./kg.) el kg. en un kg. La estimación de la demanda de helado durante cada uno de los próximos doce meses es la siguiente: Mes NºRecip pedidos En.m. que le resulte interesante adelantar la producción a base de utilizar mano de obra en horas extraordinarias. Los distintos sabores de helado tienen el mismo coste aproximado de producción y se envasan en recipientes de 3 litros.5/2. z ≥ 0 a) Calcular cuánto tiene que valer a. para lo que se dispone de varias posibilidades. del producto 2.m. para que el punto (5/2. Un comerciante puede comprar hasta 17'25 kg. del producto 1. 120 Ju. Se pide: a) Formular matemáticamente el Programa Matemático que permite maximizar las ganancias a este comerciante y clasificarlo. La capacidad de producción de la planta.m. Puede suceder. en caso de ser posible.: x2 + y2 ≤ 16 x+y≥4 59./kg. si le resulta rentable. puede producir excedentes cualquier mes para servirlos en meses futuros. La tabla siguiente resume las capacidades de producción y los costes: 19 .a. varía también debido a los cambios de demanda de mano de obra en las plantas que fabrican otros productos. a través de las condiciones de Kuhn-Tucker. Una empresa de productos alimenticios de temporada tiene una planta que produce helados que son servidos a una cadena de heladerías. Dado el problema: x+y+z≤5 x2 + y2 + z2 ≥ 4 x ≥ 0.. por otro lado.=mil u. 80 Mar 85 Ab. 130 No.: x + 2y ≤ 1 e) max e --x s. 190 Se. de un producto químico a 10 unidades monetarias (u.: max s. éste se venderá al precio de (30-x1) el kg. éste se venderá al precio de (50-x2) el kg. b) Confirmar que el punto obtenido en el apartado anterior es máximo local del problema.2y s. del producto 1. en un kg. y a un costo de 5 u. 75 Fe. y si se producen x2 kg. de este producto químico a un costo de 3 u. ¿Es un problema de Programación Convexa? 5. 95 Ma. 90 La empresa dispone de un gran almacén frigorífico y. Si se producen x1 kg. 140 Jul. además.a. por tanto. m. de baja calidad diariamente. 80 60 70 90 No. y 6 Ton. y baja calidad. Sabiendo que la compañía ha contratado con sus clientes el abastecer un mínimo de 14 Ton.m. mientras que la mina B produce al día 1 Ton. La mina A produce 2 Toneladas de carbón de alta calidad. 1 Ton. De cada mina se obtiene carbón de alta. y comprobar que operar 4 días/mes en la mina A y 6 días/mes en la mina B satisface las condiciones de Kuhn-Tucker. de carbón de baja calidad al mes. respectivamente. desde la óptica de la Programación No Lineal. Lineal o No Lineal). 62. 80 50 70 90 Di. 90 40 65 85 Ma. diarios. Extraer carbón en la mina A le cuesta a la compañía 3 Millones de u. ¿Se puede afirmar algo sobre la solución del problema a partir de lo anterior? 20 . c) Comprobar que. 2 y 3 producen 12. 10 Ton. 90 60 75 95 Se. de carbón de alta calidad. ¿Cuántos recipientes debería producir cada mes para que el coste de producción total (producción+almacenaje) sea mínimo? (Resolver con LINDO). se pide: a) Formular el problema de Programación Matemática que permite conocer el número de días que esta empresa debe operar en cada mina para minimizar el coste al cual puede satisfacer sus obligaciones contractuales. 90 50 70 90 Jul. mediana.) Por cada mes que el helado se guarde en el almacén. ¿Cuántas cargas deben mandarse desde cada planta a cada uno de los centros de distribución para minimizar el coste total de transporte? 63.5 Ton. 90 50 65 85 Siendo: (1)=Capacidad normal de producción (2)=Capacidad extra de producción (3)=Precio recipiente en tiempo normal(u. hay un coste de 10 céntimos. Las plantas 1. de cada una de las calidades. es un problema de Programación Convexa. mientras que en la B le cuesta 2 Millones de u. Una compañía tiene tres plantas que fabrican cierto producto que debe mandarse a cuatro centros de distribución.) (4)=Precio en tiempo extra(u. 90 50 75 95 Ag. de mediana calidad. por cada envase de 3 litros. 100 40 65 85 Fe. b) Clasificar el problema anterior (Programación estática o dinámica. 100 40 65 85 Mar 100 40 65 85 Ab. 80 60 75 95 Oc.m. y 0. Una Compañía Extractora de Carbón de Asturias opera con dos minas A y B. Cada centro de distribución necesita recibir 10 cargas al mes.Mes (1) (2) (3) (4) En.m. de carbón de mediana calidad. La distancia en millas desde cada planta a los respectivos centros de distribución es la siguiente: Centro 1 Planta 1 Planta 2 Planta 3 800 1100 600 Centro 2 1300 1400 1200 Centro 3 400 600 800 Centro 4 700 1000 900 El coste del flete por cada carga es de 100 dólares más 0. 17 y 11 cargas mensuales. Clásica o no. 90 40 70 90 Ju.50 dólares/milla. un punto que sea óptimo verifica las condiciones de Kuhn-Tucker. g) Establecer las relaciones entre las variables del primal y del dual y enumerar las consecuencias que se deducen del teorema de holgura complementaria. siempre es imprescindible introducir una variable artificial para comenzar la resolución por el método Símplex. f) Todo Problema de Programación No Lineal se puede expresar como un problema de Programación Convexa para el cual las condiciones de Kuhn-Tucker son suficientes para determinar el óptimo. x2 ≥ 0 21 . si el problema es de programación lineal también se verifica este hecho. g) Todo problema de Programación Lineal tiene asociado otro problema de Programación Lineal llamado su dual. En particular. e) Escribir el problema dual asociado. h) Leer la solución óptima y el valor del objetivo del problema original (primal) en la tabla correspondiente del Símplex para el dual. pueden resolverse por el método Símplex sin hacer uso de las variables artificiales.d) Resolverlo gráficamente como un problema de Programación Lineal. i) Interpretar económicamente las soluciones óptimas de los problemas primal y dual. pudiéndose conocer la solución de uno de ellos a través de la resolución del otro. 64. f) Resolver el problema dual por el método Símplex. Razonar la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones: a) La región factible de un problema de programación matemática es siempre acotada y cerrada. entonces es un punto regular de la región factible. h) Algunos modelos de Programación Lineal que tienen algunas restricciones de igualdad y otras de desigualdad. i) En un problema de Programación No Lineal. ii) Si un punto verifica las condiciones de Kuhn-Tucker y es óptimo. b) Todo problema de programación matemática tiene una solución finita. e) Las variables de holgura se introducen para convertir un problema de Programación No Lineal en uno de Programación Lineal Continua en forma estándar. d) Cuando un modelo de programación lineal tiene una restricción de igualdad. Considere el problema: Max z=4x1+5x2 Sujeto a: 3 x1 + 4 x2 ≤ 20 4 x1 +2 x2 ≤ 16 x2 ≥ 2 x1 ≥ 0. 65. c) La regla del método Símplex (en programación lineal) para elegir la variable básica que sale se usa porque al hacer otra elección se llega a una solución básica no factible. 2 .33 . 3.4+M a2 -3/10 2/5 -3.4 h2 3/10 -2/5 3. 66. 25. b) Identifica B-1. 6. suponiendo que las variables son enteras y resolviéndolo por el método de ramificación y acotación obtenemos el siguiente árbol: (0) (2. g) Resolverlo gráficamente suponiendo x1 entera y x2 continua. g) Encuentra la nueva solución óptima si b1=b2=2. c) Calcula B (sabiendo que BB-1=I) y utilízala para escribir el problema original sin variables de holgura. 6 y 7. d) Escribe el problema dual y resuélvelo gráficamente. Además. 3. f) Encuentra las condiciones para b1 y b2 (términos independientes de las restricciones iniciales) que mantienen óptima la base actual. 7 y 8.25 .6 d) Si en al segunda restricción del primal hay un 17 en lugar de un 16.33) x1≤1 x1≥2 (1 .a) Plantear el Dual. e) A partir de la tabla dada. dibuja la región factible del dual suponiendo que la segunda variable es entera y di. señalando sus valores así como el valor objetivo óptimo. c) Sin hacer más cálculos. h) Si en la última fila de la tabla dada en lugar de 6/5 apareciera 0 debajo de la x5 ¿cuál sería la solución final? 22 . 4. La siguiente tabla de Símplex muestra la solución óptima de un problema de programación lineal (de minimización con restricciones de ≥). 22) x2≤3 x2≥4 ¿? (3) (4) (1. 25.5 .4 . 25) f1) Plantea y resuelve de cabeza (razonando.2+M 1/10 6/5 -25. Se sabe que x1 y x2 se eligieron como variables básicas iniciales.5) (1) (2) (3 . cual es el óptimo de este nuevo problema. sin apenas hacer cálculos) los problemas de los nodos 3. x1 2/5 -1/5 38/5 x2 -3/10 2/5 34/5 x3 0 1 0 x4 1 0 0 x5 3/10 -2/5 6/5 x6 -2/5 1/5 12/5 x7 3/10 -2/5 16/5 1/10 6/5 -128/5 -z a) Identifica las variables básicas y no básicas de la tabla actual.2 . 25. qué se te ocurre comentar utilizando los resultados de la tabla dada en c.6) x1≤2 x1≥3 (2 . 5 . f) En el Primal. sin hacer ningún cálculo más. f2) ¿Falta ramificar más alguno de lo nodos? Comenta los nodos 2. e) Haz el análisis de sensibilidad para el coeficiente de y1 en la función objetivo. sabiendo que la Tabla Final del Dual es y2 y1 -w y1 0 1 0 y2 1 0 0 y3 3/10 -2/5 1.2 h1 -2/5 1/5 2. 3.25) (5) (6) ¿? x2≤4 x2≥5 ¿? (7) (8) (0 . da la solución del Primal. escribe la tabla óptima dual (sin el interior). justificándolo. 4 .2 a1 2/5 -1/5 -2. b) Construir la primera tabla del Dual para resolverlo por el Símplex y llevar a cabo sólo una iteración para calcular la segunda tabla. 25.