Calcular el dominio de: 2 f ( x)= 2 4 x −4 x−15 2 x−1 14 x 2+ x−4 f (x)= 1 √ 9 x +27 x +20 f ( x )= f (x)= f ( x )= √ f ( x )= x+1 x f ( x )=√ 25−x2 f ( x)= x−5 x −10 x+25 f (x)= f ( x)= x−3 x 4−81 f ( x )= √ f ( x )= 1 √ 4 x +16 x+15 f ( x)= 2−3 x 4 2 √2 x−7 49 2 x −14 x− 2 2 f ( x )= x x−1 f ( x )= 2 1 9 x + 9 x −4 2 5+ 2 x 3 2 f ( x )=√ 10−x 2 √2−x 2 6 x −4 x− √ f (x)= 2 3 x−5 x −7 x +12 2 2 x−3 8 x −22 x +15 2 f (x)= √ 4−x 2 f ( x )= √ x−4 x +3 x−28 2 Calcular los siguientes límites: 1 lim x → 4 4−x lim √3 2 x−29 √4 82−x 4 x→ 1 lim x→ 5 4 lim m → √n 2 lim x →−5 x −x−30 x 2 +8 x+ 15 2 3 x −x−10 lim 2 x→ 2 x +5 x−14 lim x →−1 x 3 +1 x+1 3 6 x 2−8 x+ 10 5 x2 + 9 x−8 x→ 1 2 r →a 3 2 2 lim x→ 1 4 a2−12 a+ 9 9 a 2−3 a+ 4 2 lim x→ 2 x −6 x−16 2 9 x −9 4 2 x +2 x −3 lim 2 x →−3 2 x +3 x−9 3 x3 +a 3 x 9 +a 9 ( x +h) −x h h→0 3 lim 2 x k −3 x k + k lim k→0 2 xk +5 k 2 x →−3 r 3−a r 2−a2 r +a 3 r 2−a2 a→ 2 lim lim lim 3 x −8 x−16 lim 2 x → 4 2 x −9 x + 4 x →−a 2 2 5 2 m −n √ n−m 4 x + 4 x−3 5−8 x−4 x 2 lim x −3 x + 2 x lim 3 2 x→ 2 x −6 x + 8 x x →− 2 lim 25 x 2−4 5 x +2 lim 3 x 3 +3 x 2−x−3 x3 +27 2 x 3 +5 x 2−2 x−5 x 2−1 lim x→ 0 √ lim 2 2 x →− y x2 + x 4 2 x +x ay 2 +ax 2−b y 2−b x 2 x3 + y2 3 x 5+ 2 x 4 −4 x 3 + 4 x 2+5 x−2 x →−1 4 x 2−4 lim . 2 lim k→4 lim x→ 8 k −16 √ k−2 lim x 2−8 x 3 √ x −2 lim x→ 1 x→∞ 2x lim 3 x 2+ 4 x+ 12 2 x 2−3 x−6 x→ 3 x→ 1 senx x √ 4 x 2−9 ❑ lim x→ ❑ √ 2 x−3 3 2 x2 −5 x +6 x 2−12 x +20 x→ 2 x 2−6 x +9 3 x 2−7 x−6 lim x→ 3 6 y 2−24 y +24 lim 2 y →2 3 y −2 y−8 lim x →− 1 3 −3 (2+ h) −2 lim h h→0 ] lim lim x 2+ 4 x−5 x 2−1 −3 [ 2 x 1 − x−1 x−1 lim x →−3 √ √ x2 −x+5−√ x2 + x−5 x 2−2 x−15 x→ 5 9 x 3 +32 x 27 x 3 + 4 x 2−2 x→ 0 1 a2 + + a 4 lim 1 1 a →− a+ 2 2 lim 2 lim x→∞ √5 x 2−4−x lim x −25 x→ 5 1 −1 2 x−1 lim x→ 1 x2−1 lim √ x−1−2 243 x5 +1 1 x+ 3 x 3 +5 x 2+ 6 x x 3−x 2−12 x x +3 1 1 + x 3 lim x →−3 lim 25 x 2 +8 x+ 2 √ 16 x 4 −256 lim lnx x−1 x→∞ x→ 1 81 w 4−b 4 b−3 w lim w→ b 3 lim x →− 1 3 9 x 2−9 x−4 2+3 x−9 x 2 5 x2 −2 x−3 x 2+ x −2 lim x→ 1 lim √ −8 w3−27 4 w 2−9 w →− 3 2 lim 3 x3 k + 2 x 2 k +6 x k 2 x−6 x 3 x→ 0 . lim x→ 0 lim r →1 √ 9 x2 + x 4 5 x 3 +3 x rx 4 −x 4 +4 r x 2−4 x 2 2 2 rx −x lim x→ 2 lim k 2−k−6 √ k 2 +7−4 lim a −64 √ a+1−3 k→3 √ 2 x +1−3 x → 4 4− √ 3 x+ 4 lim 7+ x−3 lim √ √ 3 x−8 x→ 8 3−x x +1 lim 1 x →−1 +1 x+1 lim e x −e−x x →−∞ x e +e−x lim y →0 ln ( y +3 ) −ln 3 y Derivar por definición: −2 x−11 f ( x )= 5 x +1 f ( x )= 1 −1 x2 Derivar por fórmula: 3 x 4−6 x 3 + x 2−2 x 2 x −4 2 aw 2−2 b w2 +aw−bw aw−bw a →−b lim lim x →−4 2 a→8 1 +1 a lim 2 a →−1 a +1 a lim x→ 2 3 x5 +12 x 4 + x 3+ 4 x 2−5 x−20 2 2 x +8 x x 4−4 x 3 +3 x2 + 4 x−4 3 x 2−12 1 2 z lim 2 z → 1 z + 2 z−3 z− x lim 4 x 3−2 x 2−1 6 x 3 +5 x +2 lim 1−tanx senx−cosx lim x 1−x 1 x (secx )(csc 4 x) lim x→∞ x→ π 4 lim x→ 0 f ( x )=x √ x f ( x )= 2 √ x −2 lim x→∞ 3 √ x 3 +1 1 x→ 1 h→0 √ x+ h−√ x h f ( x )= 8 x3 −6 x 2 x 2+3 x−2 . según la ecuación s (x )= −x 4 + 144 x 2+100 . La función s ( x ) =−16 t + 64 t+ 80 modela la altura (en pies) por encima del piso a la que se encuentra esta pelota en el instante t (seg). Un móvil inicia su movimiento. . Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la parte superior de un edificio 2 de 80 pies de alto. acelera y hace un recorrido de 15 min. 4 Determinar la velocidad máxima y la aceleración del móvil. Si se mide el tiempo en minutos y el espacio en metros.y= √ √ x −1−x y= 1 1 1 1 − + 2 x2 x 3 3 4 2 ( √4 x3 −1 √ x 3+1 y= 4 Derivadas implícitas: 8 x 2+ y 2 =10 4 2 2 (3 x +9)−3 ( x2 −1)−4 y= x 2−1 2 ( x +2 x−1) x2 + 4 y= ( 4 ) 3 x +4 x y −3 x y +2 x=0 Puntos de inflexión: Dibujar las gráficas: x2 f ( x )= x−4 3 y=( √ 8 x 2 +5)( √ 7 x3 −1) y= 3 2 x x + −x 3 2 ) y= −5 6 x 2 y 3 +4 xy+ x −6 y=2 4 ( y 2−9 ) =( 4 x 2 +3 x−1 ) f ( x )= 1 3 1 + 4 3− 5 4 2 3 √x 4 √ x 5 √x 3 (1+ xy)3 =2 x 2−9 2 x 2−1 x 2−2 1 1 + =1 x2 y2 f ( x )=x √ x +5 Aplicaciones de la derivada: 1. 2. Describir el movimiento del objeto. Se desea almacenar aceite en botes cilíndricos con volumen de 375cm3. ¿Con qué rapidez sube el nivel del aceite? 5. está dada por s ( t )=−16 t + 48 t Halle la altura máxima alcanzada por el proyectil. Un cubo se expande con el tiempo. Un cilindro cerrado tiene una superficie 8lado y tapas) de 10m2. desde el nivel del 2 suelo. Una escalera de 25m de largo se apoya contra una pared vertical. Calcular los números reales que además satisfacen la condición que su producto sea el máximo. 12. 15.3. ¿Cuáles son esas dimensiones? 8. Determinar dos números no negativos cuya suma sea 15. 13. ¿con qué rapidez crece el área cuando cada lado mide 8 cm? 10. Si la base de la escalera se tira horizontalmente. cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando las partes restantes. cuando la base se encuentra a 15m de la pared? 6. ¿Cuáles son las dimensiones que hacen su volumen máximo? . ¿Cómo se relaciona la razón de aumento del volumen con la razón de incremento de la longitud de su lado? 4. 7. 9. ¿cuál debe ser la altura de la caja? 14. alejándola de la pared a 3 m/seg. Cada lado aumenta a razón constante de 2cm/h. donde el espesor del material es una cantidad que no se considera. Determine dos números naturales cuya suma es 30 y tales que su producto sea máximo. Una placa de forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. Encontrar las dimensiones del mayor rectángulo que puede ser inscrito en un círculo de radio r. ¿Qué tan rápido resbala la parte superior de la escalera. Un tanque de aceite en forma de cilindro circular de radio igual a 8m se está llenando según una razón constante de 10 m3/min. tales que el producto de uno con el cuadrado del otro sea máximo. La altura de un proyectil lanzando verticalmente hacia arriba. Una partícula se mueve sobre la gráfica de y2 = x+1 de manera que dy/dt = 4x + 4 ¿Cuál es el valor de dy/dt cuando x = 8? 11. Se quiere construir una caja de volumen máximo utilizando una pieza cuadrada de aluminio de 10 cm por lado. La suma de un número y el triple de otro número es 60. con dimensiones que requieran la menor cantidad de material superficial. DERIVADAS SENCILLAS: y = x3 3 7 3x 7x y= 5 2 − 3 4 + 8 √ x 3 √x √x y = ax4-bx2 y = (x2 – 3)5 y = x4/3 + 5 y=√ a 2−x2 y=( 3 x 2 +2 ) √ 1+5 x 2 a2 + x 2 y= 2 2 √ a −x a+bx +c x 2 y= x y=√3 4−9 x y= √ y= a2 + x 2 a2−x 2 x √ a−bx y= 1 √ a −x 2 y= √ 2 3 2+3 x 2−3 x b x2 3 ( ) y= a+ y= y= √ 1−cx 1∓ x b 2 2 √ a −x a y=x √ a2+ x2 y = sen ax y = sec 4x y = ½ sen2x y = 3 cos 2x y = 2 cot(x/2) y=√ cos 2 x y = tan3x y = a csc bx y = x cos x y = sen 2x cos x y=eax sen bx y=e−x cos 2 x y=ln ( x 2 +a ) y=log y=( cos x ) y=a3 x 2 2 y=x e x 2x 2 1+ x y=√ 1−x 2 1+ x y=ln 2 1−x y=ln ( ax +b) y=ln ( ax 2+ b ) a+bx y=ln a−bx √ y=x 2 ln x 2 y=e x y=e√ x y=ln ( x+ √1+ x 2 ) √ 2 2 2 y=ln √ x2 +1−x √ x 2+1+ x y=sen a x 2 y=tan √ 1−x Calcular los máximos y mínimos de las siguientes funciones: y= 4 √ sec x . y= .y=( x−1 )2 ( x+1 )3 y = x3-6x2+9x y = 10 +12x -3x2-2x3 y = 2x3+3x2+12x-4 y = x4 -4x y = x5 -5x4 x +2 y= 2 x +2 x +4 y = x3+2x2-15x-20 y = x4 –x2+1 y = 3x5 -20x3 2 x +x+4 y= x+1 y = 2x2-x4 y = 3x4-4x3-12x2 y = x2 + (2 a3/x) 2 x + x +4 y= 2 x +2 x +4 Hallar la segunda derivada: a+ bx a−bx y = 3x4 -2x3+6x y=√ a+ bx y=√ a 2+ x 2 y = sen kx y = x cos x y=e x cos x y=e−x sen 2 x y = tan x y = ¼ cos 2x y= sen x x y=ea x sen b x Falta anexar problemas de aplicaciones del Granville.