ejercicios13

Barranquilla, October 24, 2015U NIVERSIDAD DEL N ORTE E JERCICIOS Tabla 1: Tabla de Transformada de Laplace  L eat = L {tn } = 1 , s−a n! sn+1 , s>a L {cos at} = s>0 L {sin at} = s , s2 + a2 s>0 a , + a2 s>0 s2 Ejemplo 1 Calcule la transformada inversa de Laplace de F(s) = 5 − 3s s2 + 9 Solución Como 1 s 5 − 3s =5 2 −3 2 = s2 + 9 s +9 s +9 s 5 3 −3· 2 · 3 s2 + 9 s +9 se tiene por la linealidad de la transformada inversa que . . 3 5 s −1 5 − 3s −1 −1 L = ·L −3·L s2 + 9 3 s2 + 9 s2 + 9 5 = · sin 3t − 3 · cos 3t 3 Recordar entonces −1 L . 4235 (RP) . Catalina Domínguez .4233 (EB) .4231 (CD) . 1/8 L {cos at} = s .4233 (EB)-4234 (CDO) Taller Semana 13 (17.TALLER S EMANA 13 .s>0 s2 + a2 NRC: 4232.15-20.s>0 s2 + a2 L {sin at} = a .4234 (CDO) Prof.4231 (CD) . Ricardo Prato T.Prof.4235 (RP) .10. 5 − 3s s2 + 9 = 5 · sin 3t − 3 · cos 3t 3 Ejemplo 2 Calcule la transformada inversa de Laplace de F(s) = s3 5s − 4 − s2 − 2s NRC: 4232.15) Ecuaciones diferenciales D IVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS D EPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICAS E CUACIONES DIFERENCIALES .10. Solución Aplicando fracciones parciales se obtiene 5s − 4 1 2 3 5s − 4 = = + − 2 − s − 2s s (s + 1) (s − 2) s−2 s s+1 1 1 1 = +2· −3· s−2 s s − (−1) Recordar Por la linealidad de la transformada inversa se obtiene L −1 . 5s − 4 s3 − s2 − 2s tonces =L −1 . 1 s−2 . . 1 1 −1 −3·L s s − (−1) −1 +2·L = e2t + 2 · 1 − 3e−1t L−1 . s > 0 s en- = e2t + 2 − 3e−t Ejemplo 3 Calcule −1 L .s>a s−a 1 L {1} = . 5s − 4 s3 − s2 − 2s  L eat = 1 . tenemos que s2 − 2s + 17 = (s2 − 2s + 1) − 1 + 17 = (s − 1)2 + 16 por lo tanto s2 entonces −1 L . 3s + 5 s2 − 2s + 17 Solución Completando cuadrados en el denominador. 3s + 5 3 (s − 1 + 1) + 5 3 (s − 1) + 8 3s + 5 = = = 2 2 − 2s + 17 (s − 1) + 16 (s − 1) + 16 (s − 1)2 + 16 3s + 5 2 s − 2s + 17 −1 =L . 3 (s − 1) + 8 (s − 1)2 + 16 8 +L =L (s − 1)2 + 16 . . 3 (s − 1) 4 −1 −1 =L + 2L (s − 1)2 + 16 (s − 1)2 + 16 . . 4 . . s . . −1 −1 + 2L = 3L . . s2 + 16 s→(s−1) s2 + 16 s→(s−1) . . s 4 t −1 t −1 = 3e · L + 2e · L s2 + 16 s2 + 16 −1 . 3 (s − 1) (s − 1)2 + 16 −1 . Prof.15) Ecuaciones diferenciales s3 .4233 (EB)-4234 (CDO) Taller Semana 13 (17. 2/8 NRC: 4232. Catalina Domínguez . = 3et · cos 4t + 2et · sin 4t NRC: 4232.4231 (CD) .10.15-20.4233 (EB) . 4235 (RP) .10.4234 (CDO) Prof.4235 (RP) . Ricardo Prato T.4231 (CD) . Ejemplo 4 Calcule −1 L . s2 + 1 (s2 + 4 s + 8)(s + 3)2 Aplicando fracciones parciales se tiene 1 2s − 3 2 1 2 s2 + 1 = · 2 − · + + 4 s + 8)(s + 3)2 5 s + 4 s + 8 5 s + 3 (s + 3)2 (s2 y por la linealidad de la transformada inversa L−1 . s2 + 1 (s2 + 4 s + 8)(s + 3)2 1 = · L−1 5 . 2s − 3 2 s + 4s + 8 2 − · L−1 5 . 1 s+3 + L−1  2 (s + 3)2  Resolviendo cada una de las transformadas inversas   . 1 2 −1 −1 L L s+3 (s + 3)2 −1 L . 1 s+3 −1 =L . 1 s − (−3) = e−3t −1 L  2 (s + 3)2  . 1 . . = 2L . s2 s→(s−(−3)) . 4235 (RP) .4233 (EB) .4231 (CD) . Catalina Domínguez .15-20.15) Ecuaciones diferenciales Solución . 1 −3t −1 L = 2e s2 −1 = 2e−3t t NRC: 4232.10. 4235 (RP) . Ricardo Prato T.4234 (CDO) Prof.4233 (EB)-4234 (CDO) Taller Semana 13 (17.10. 3/8 NRC: 4232.4231 (CD) .Prof. L−1 . se tiene que por lo tanto 2s − 3 2s − 3 2 (s + 2 − 2) − 3 2 (s + 2) − 7 = = = s2 + 4 s + 8 (s + 2)2 + 4 (s + 2)2 + 4 (s + 2)2 + 4 entonces. 2s − 3 s2 + 4 s + 8 Completando cuadrados en el denominador. . −1 L 2s − 3 2 s + 4s + 8 . s+2 1 −1 =2·L −7·L (s + 2)2 + 4 (s + 2)2 + 4 . . s . . 1 . . −1 −1 =2·L −7·L . . s2 + 4 s→(s−(−2)) s2 + 4 s→(s−(−2)) . . 7 −2t −1 2 s −2t −1 − ·e =2·e L L s2 + 4 2 s2 + 4 −1 . = 2 · e−2t cos 2t − 7 −2t ·e sin 2t 2 De lo anterior −1 L . s2 + 1 (s2 + 4 s + 8)(s + 3)2 = 1 −2 t 2 −3 t e (−1 + 5 t) + e (4 cos (2 t) − 7 sin (2 t)) 5 10 Ejemplo 5 Calcule −1 L . 4233 (EB) . 8 s2 − 4 s − 40 + 2 s5 + 7 s4 − 7 s3 s3 (s − 2) (s2 + 6 s + 10) Solución Aplicando fracciones simples. Catalina Domínguez . 4235 (RP) . 4/8 NRC: 4232.15) Ecuaciones diferenciales s2 + 4 s + 8 = (s2 + 4 s+4)−4 + 8 = (s + 2)2 + 4 .10.4233 (EB)-4234 (CDO) Taller Semana 13 (17.Prof.4235 (RP) .15-20.10.4234 (CDO) Prof. A B Es + F C D 8 s2 − 4 s − 40 + 2 s5 + 7 s4 − 7 s3 = + 2+ 3+ + 2 3 2 s (s − 2) (s + 6 s + 10) s s s s − 2 s + 6 s + 10 entonces NRC: 4232.4231 (CD) .4231 (CD) . Ricardo Prato T. 15) Ecuaciones diferenciales + (Es + F)s3 (s − 2) .10.4234 (CDO) Prof.    8 s2 − 4 s − 40 + 2 s5 + 7 s4 − 7 s3 =As2 (s − 2) s2 + 6 s + 10 + Bs (s − 2) s2 + 6 s + 10     + C (s − 2) s2 + 6 s + 10 + Ds3 s2 + 6 s + 10 = (E + D + A) s5 + (6 D + B − 2 E + F + 4 A) s4 + (C + 10 D + 4 B − 2 A − 2 F) s3 + (4 C − 2 B − 20 A) s2 + (−2 C − 20 B) s − 20 C es decir −20 C = −40 ⇒ C = 2 −2 C − 20 B = −4 ⇒ B = 0 4 C − 2 B − 20 A = 8 C + 10 D + 4 B − 2 A − 2 F = −7 ⇒ 10D − 2F = −9 6D + B − 2E + F + 4A = 7 ⇒ A=0 de las ecuaciones de la derecha se tiene que D = E+D+A =2 ⇒ 6D − 2E + F = 7 ⇒ E+D=2 1 3 . 4235 (RP) .4231 (CD) . Catalina Domínguez . E= y F = 7 .Prof.4231 (CD) .15-20.4233 (EB)-4234 (CDO) Taller Semana 13 (17. Ricardo Prato T.4235 (RP) . 5/8 NRC: 4232.4233 (EB) .10. por lo tanto 2 2 8 s2 − 4 s − 40 + 2 s5 + 7 s4 − 7 s3 1 3 s + 14 1 1 1 = · 2 + · +2 3 3 2 s (s − 2) (s + 6 s + 10) 2 s + 6 s + 10 2 s − 2 s NRC: 4232. L−1 . 3 s + 14 s2 + 6 s + 10 Completando cuadrados en el denominador. tenemos que por lo tanto 3 s + 14 3 s + 14 3 (s+3−3) + 14 3 (s + 3) + 5 = = = s2 + 6 s + 10 (s + 3)2 + 1 (s + 3)2 + 1 (s + 3)2 + 1 entonces −1 L . 3 s + 14 s2 + 6 s + 10 . s+3 1 −1 = 3L + 5L (s + 3)2 + 1 (s + 3)2 + 1 . . 1 . . s . . −1 −1 + 5L = 3L . . s2 + 1 s→(s−(−3)) s2 + 1 s→(s−(−3)) . . s 1 −3t −1 −3t −1 = 3e L L + 5e s2 + 1 s2 + 1 −1 . = 3e−3t cos t + 5e−3t sin t entonces L−1 . 1 · L−1 2 . 8 s2 − 4 s − 40 + 2 s5 + 7 s4 − 7 s3 s3 (s − 2) (s2 + 6 s + 10) 8 s2 − 4 s − 40 + 2 s5 + 7 s4 − 7 s3 s3 (s − 2) (s2 + 6 s + 10) = 3 s + 14 s2 + 6 s + 10 + 1 · L−1 2 . 1 s−2 + L−1 . 2 s3 es decir. −1 L . 6/8 NRC: 4232. 5 1 3 = e−3t cos t + e−3t sin t + e2t + t2 2 2 2 Ejemplo 6 Resuelva el siguiente PVI    d2 y dy d3 y − 20 y = 8 − 4 t − 20 t2 + 4 −2 3 2 dt dt dt   y(0) = 2.15) Ecuaciones diferenciales s2 + 6 s + 10 = (s2 + 6 s + 9) − 9 + 10 = (s + 3)2 + 1 .4235 (RP) .10.4231 (CD) .4231 (CD) .4233 (EB) . y ′ (0) = −1.4234 (CDO) Prof.4233 (EB)-4234 (CDO) Taller Semana 13 (17. 4235 (RP) .10. Ricardo Prato T. y ′′ (0) = 1 NRC: 4232.15-20.Prof. Catalina Domínguez . y ′ (t) y y ′′ (t) son de orden exponencial.Solución Si L {y(t)} = Y(s) y asumiendo que y(t). se tiene que . d3 y dt3 = s3 Y(s) − s2 y(0) − sy ′ (0) − y ′′ (0) = s3 Y(s) − 2s2 + s − 1 d2 y = s2 Y(s) − sy(0) − y ′ (0) = s2 Y(s) − 2s + 1 dt2 . dy = sY(s) − y(0) = sY(s) − 2 L dt L por lo cual  d3 y d2 y dy 2 + 4 − 2 − 20 y = L 8 − 4 t − 20 t L dt3 dt2 dt . 3 . 2 .  d y d y dy 2 L + 4 L − 2 L − 20L { y} = L 8 − 4 t − 20 t dt3 dt2 dt  (s3 Y(s) − 2s2 + s − 1) + 4(s2 Y(s) − 2s + 1) − 2(sY(s) − 2) − 20Y(s) = L 8 − 4 t − 20 t2 .  (s3 + 4s2 − 2s − 20)Y(s) − (2s2 + 7s − 7) = L 8 − 4 t − 20 t2    (s − 2) s2 + 6 s + 10 Y(s) − (2s2 + 7s − 7) = L 8 − 4 t − 20 t2    (s − 2) s2 + 6 s + 10 Y(s) − (2s2 + 7s − 7) = 8L {1} − 4 L {t} − 20 L t2   4 40 8 (s − 2) s2 + 6 s + 10 Y(s) = − 2 − 3 + (2s2 + 7s − 7) s s s entonces 8s2 − 4s − 40 2s2 + 7s − 7 + s3 (s − 2) (s2 + 6 s + 10) (s − 2) (s2 + 6 s + 10) 8 s2 − 4 s − 40 + 2 s5 + 7 s4 − 7 s3 = s3 (s − 2) (s2 + 6 s + 10) Y(s) = de donde −1 y(t) = L . 15) Ecuaciones diferenciales L .4231 (CD) . 4235 (RP) .4234 (CDO) Prof.4233 (EB)-4234 (CDO) Taller Semana 13 (17.4235 (RP) .4231 (CD) . 8 s2 − 4 s − 40 + 2 s5 + 7 s4 − 7 s3 s3 (s − 2) (s2 + 6 s + 10) 5 1 3 = e−3t cos t + e−3t sin t + e2t + t2 2 2 2 NRC: 4232.10.4233 (EB) .15-20. Catalina Domínguez .10. Ricardo Prato T. 7/8 NRC: 4232.Prof. . f(t) = 7 9 sin (3 t) − 1 3 6. f(t) = − 91 cos (3 t) + 31 sin (3 t) + 19 − 21 t2 5.10.Prof. y = −1 + t2 + 34 cos (2 t) − 14 sin (2 t) + 14 e2 t 2.4233 (EB)-4234 (CDO) Taller Semana 13 (17.4234 (CDO) Prof. f(t) = 6 t + e2 t + 7 − 8 et + 2 t2 9. F(s) = 2 s2 − 3 s2 (s2 + 9) 6.   d2 y dy +4 + 13 y = 2 − 9 e−2 t + 8 t + 13 t2 dt2 dt y(0) = −1. f(t) = − 120 7.   d2 y dy d3 y − 2 +4 − 8 y = 4 + 8 t − 8 t2 3 2 dt dt dt y(0) = 0. y ′ (0) = 0. F(s) = 3s − 1 + 4 s2 s4 3s − 1 + 9 s3 s5 s−3 s4 − 9 s2 2s − 3 − 9 s2 s4 32 s6 + 6 s4 − 3 s5 − 12 s3 + 8 s2 Respuestas seleccionadas E1 1. F(s) = 3. 1 3 e−2 t (3 + sin (3 t)) 8/8 NRC: 4232. y ′ (0) = 1   Respuestas seleccionadas E2 1.4233 (EB) .10. F(s) = s3 − 9 s3 (s2 + 9) 9. f(t) = 13 3. y ′ (0) = 0 5. F(s) = 5. y = t − 1 2 4. F(s) = 2.Grupo de ejercicios E1 1. Ricardo Prato T. 1 81 2 9 1 9 + 1 3 t− 1 2 18 t e−3 t + 1 3 cosh (3 t) − f(t) = − 53 cos (2 t) + 1 5 − t− 1 9 1 81 cos (3 t) − 1 9 sin (3 t) 1 9 sinh (3 t) − 2 9 + 1 3 t sin (2 t) + 4 t + 6 + e2 t − 32 5 et Grupo de ejercicios E2 Resuelva los siguientes PVIs vía transformada de Laplace. y (0) = −1    4. y = te−t + (cos (2 t) − 2 sin (2 t)) e3 t sin (2 t) 3.15-20.4231 (CD) .   d3 y d2 y dy −2 2 +4 − 8y = 4 − 8t 3 dt dt dt y(0) = 0.4231 (CD) . f(t) = 10. y ′ (0) = 0.4235 (RP) . y ′′ (0) = 0 2. F(s) = s2 − 9 (s2 + 4) (s2 + 9) 8. f(t) = − 10 sin (2 t) + 8. 1. f(t) = − 41 t − 34 cos (2 t) + 81 sin (2 t) + 34 t 1 t4 (−10 + 3 t) 2. 4235 (RP) . f(t) = 6 5 sin (3 t) 4. Catalina Domínguez . y ′′ (0) = 0 3. y = t2 − NRC: 4232.   dy d2 y −6 + 13 y = −8 e−t + 20 te−t 2 dt dt y(0) = 1.15) Ecuaciones diferenciales Encuentre la transformada inversa de la siguientes funciones . F(s) = 8 s5 − 3 s4 + 2 s3 10. F(s) = 4.   dy d2 y +6 + 10 y = 9 cos t − 6 sin t dt2 dt ′ y(0) = 2. y = cos t + (cos t + 2 sin t) e−3 t 5. F(s) = 2s − 3 s6 7.