UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA“FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL” “ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL” 2DO TRABAJO SEMESTRAL “SOLUCION DE EJERCICIOS PROPUESTOS DE CINÉTICA DE, PARTÍCULAS Y CUERPO RÍGIDO” LIBRO: DINÁMICA – AUGUSTO VÁSQUEZ VERA CURSO : DINAMICA (IC-244) CATEDRA : Ing. CASTRO PEREZ Cristian. ALUMNOS : JANAMPA QUISPE, JUAN CARLOS QUISPE MENESES, ESTRELLA SANTANA ARRIETA, HERBERT IRCAÑAUPA HUARCAYA, WILMER SEMESTRE : 2012-II AYACUCHO - PERÚ 2013 CINÉTICA DE PARTÍCULAS Leyes de Newton Sistema de Partículas Cantidad de Movimiento Trabajo y Energía PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 2.19 Un chorro de líquido de área transversal A de densidad “D” y velocidad inicial V0 constante se dirige hacia adentro de un carro de ferrocarril de masa M0, que inicialmente esta en reposo, despreciando los efectos friccionales. Demuestre que después de transcurrir el tiempo t, la velocidad del carro es: Demuestre también que después del tiempo t, el vagón habrá recorrido una distancia dada por: ln Y que la velocidad V que corresponde a una posición dada X puede hallarse a partir de: ln SOLUCION: ̇ Planteando ecuación de Newton para masa variable ̇ ̇ ∑ 0 Luego: ̇ ̇ 0 Integrando nuevamente: 0 ( ) Reemplazando valores: | | | | Tambien X. se puede expresarReemplazando: de la ecuación (a) ( ( ) ( ) ( ) Simplificando y factorizando ( ) ) . 000 ( 2500 . ) . Calcular el ángulo de elevación “α” de manera que mantenga la velocidad constante de 300m/s. .PROBLEMA 2.5 donde: Si: 0 .22: Un avión de propulsión a chorro que pasa 7000kg consume 100kg/s de aire y expulsa gases a la atmosfera con una velocidad relativa al avión de 600m/s. SOLUCION: 00 00 00 2500 00 Empleando Newton masa Variable: ̇ ̇ 2500 ∑ 00 000 00 . 2500 . 000 . Si la resistencia total debido al rozamiento con el aire equivale a una fuerza de 2500 kg. Calcular la fuerza N ejercida por la barra sobre el collar cuando esta alcanza C.5: Si el collar A de la fig. ¿Depende este resultado de la velocidad del armazón? SOLUCION: ⃗ ̇ ̇ ̇ . se suelta en B en reposo respecto al armazón F que se mueve hacia la izquierda con una aceleración constante “a”.PROBLEMA 2. ¿Cuál es la velocidad del collar relativa al armazón F. Para el collarin A: ∑ ----------------------(1) ∑ ̇ ̇ Despejamos ̇ : ̇ ̈ ̇ ̇ ∫ ̇ ̇ ∫ ̇ 2 ̇ ̇ acos 2 ̇ 0 2 0 2 ̇ -------------------------------(3) 2 √ ̇ (3) en (1) ̇ 2 2 2 2 2 2 2 ⃗⃗ ̇ 2 √ 2 √2 . PROBLEMA 2.6 Km de radio con una velocidad constante de 160Km/hr. SOLUCION: ∑ 2 ∑ 2 . Determinar el angulo del peralte adecuado para que el empuje lateral sobre el riel sea nulo.4: Un tren está pasando por una curva de 1. OJO: para que el empuje del peralte sea nulo. a) Demostrar que es conservativa. con ello podemos afirmar que la fuerza es . * ( ) )+ ̂ ( * ( ) ( )+ ̂ * ( ) ( )+ ̂ tenemos que: ̅ 0 . b) Determinar la función potencial asociada. 0 0 0 0 0 0.17 ̂) La fuerza: ̅ ( ̂ ̂ actúa sobre la partícula de masa ” en ̅ que se mueve en el espacio. Solución: Se cumple la siguiente relación para su conservación de la fuerza: ̅ 0 Desarrollando con el operador: ̅ ( ̂ ̂) ( ̂ ̂ ̂) ̂ Resolvemos: ̅ Simplificando conservativa.22 PROBLEMA 2. 25 . Solución: El coeficiente de restitución según el grafico de choque tenemos: 0. 20 0. 0 5 5 5 0 5 20 . Si sus velocidades son antes del choque las indicadas y 0. Por lo tanto: 0 .5 5 … Por conservación de cantidad de movimiento tenemos: 5 20 50 5 0 … 2 Luego resolviendo (1) y (2) Se tiene: y .PROBLEMA 2. la esfera pesa 5 y la esfera 0 .23 Dos esferitas y se mueven a lo largo de una línea recta sobre una rampa horizontal lisa. Determinar velocidades de después del choque el porcentaje de energía cinética perdida durante el impacto.5 0 5 0. para un choque central directo cuando alcanza a .5 Porcentaje de energía perdida. Solución: Vectorialmente tenemos las velocidades: ̅ ̅ 0̂ 5̂ 5√ ̂ De la consevacion de movimiento. Si el coeficiente de rebote para los discos es de 0. ̂ … 2 … … 2 Tenemos: ̂ 2 ̂ Porcentaje de energía perdida. ̂ 5. ̂ Luego resolviendo: 25 ̂ 5√ ̂ ̂ 5.6 Determinar las velocidades de los discos después del choque y el porcentaje de energía cinética perdida durante el impacto. 20.PROBLEMA 2. cuando chocan como se indica en la figura. están deslizando sobre hielo. ̂ . Tenemos masas iguales: 25 ̂ 5√ ̂ … Luego tenemos: 0.24 Dos discos de hockey de igual tamaño. 55 ̂ 5√ ̂ ̂ 5. 0 0 2 . una cerda inextensible pasa sobre dos poleas de masa despreciable.36 En el sistema mostrado. Tenemos sus módulos: 2 .Reducimos a la expresión por tratarse de masas iguales. Escribir la ecuación diferencial del movimiento para la masa “m” y luego determinar la frecuencia natural . 2 . 2 . . 0 0 0.5 Por lo tanto: PROBLEMA 2. Solución: Considerando que la polea A esta fija. determinamos las relaciones de velocidad de A y B: L: longitud de la cuerda. … … … … … … … … … . entonces: 2 2 Realizando el cuerpo libre para B y equilibrio estático: 2 .2 …. √ √ . ……… : 2 . 2 2 .2 2⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ : son velocidades que están relacionadas con las distancias desplazadas: 2 2 A y B son fijos. . 0. 2 2 2 2 .5√ 2 . rueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica de radio R. Demostrar que se cumple: ̇ ̇ .2: El cilindro de radio r.. Si los angulos Q y describen el movimiento.CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO Leyes de Newton Sistema de Partículas Cantidad de Movimiento Trabajo y Energía PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 4.7 SOLUCION: Por dinámica rotacional ∑ 2 5 5 ………………………………. mostrado en la fig.. 2 (2) en (1): 5 5 PROBLEMA 4. Por dinámica traslacional ∑ ………………………………. Determinar la ecuación del momento M en función de . Las tapas son placas delgadas uniformes de densidad D. Las tapas de superficie bxL se abren automáticamente como se indica.SOLUCION: ̂ ̇ ̇ ̇ ̇ PROBLEMA 4. .39: La capsula de investigación espacial mostrada tiene un motor cohete que le proporciona una aceleración lineal de magnitud “a” en la dirección de su eje. que debe aplicarse a la tapa respecto al eje AA´tal que la aceleración angular tenga como valor . radio de giro igual a 0. Para el disco suelto: 000 radio de giro igual a √0. suponer que: 500 .2 m . 500 .10: Calcule la tensión en la cuerda que sostiene el cuerpo A.SOLUCION: Aplicando la ecuación de momentos respecto al eje AA´ ∑ Donde: Ademas: ̈ Por lo tanto según el diagrama: ̈ ( ) 2 ̈ 2 Según la ecuación del movimiento en la dirección y: ∑ ---------------(1) Sustituyendo (1) ̈ 2 2 ̈ PROBLEMA 4.6m. 2 ∑ 0. 0.SOLUCION: 500 500 0. 500 . 50 0. 000 √0. 0. 5 0. 0 ∑ Cuerpo A: 500 50 50------------(1) 50 50 0. DISCO B: ∑ 0. 0. 000 √0. 000 2 0. 0 0 500 50 0.5 0. 500 5 0 0 0 500 5 5 0 500 00 . 00 . ∑ 2 0. . 000 00 00 000 00 2 00 00 00 000 500 000 0. 2 0.2 0 0 ----------------(2) 0. 0. 0. .1 El cilindro de radio r rueda sin deslizar sobre una superficie cilíndrica de radio R. Determine la aceleración de la cuña. Este movimiento esta descrito por la rotación de los ángulos y si rueda sin deslizar. ( ) 2 0 2 0 PROBLEMA 4. . 0 2 a=gsen30/2 A=g/4 . . si el cilindro y la cuña pesan cada una M kg. .13 Un cilindro macizo A rueda sin resbalar a lo largo de una cuña B que a su vez está sobre la superficie horizontal lisa. . . 0 0 . 0 .PROBLEMA 4. 2 2 Energía potencial gravitacional: . 2 . . 5 2 Puesto que la Energia es una constante. es decir: 0 Derivando: . su derivada con respecto al tiempo es cero. 5 2 Energía cinética de traslación: 2. 5 0 .Solución: . . ⃗⃗⃗⃗⃗ 5 0 2 5 2. ̇ . . . En que sentido se efectúa el rodamiento y que aceleración posee? b) Cuando 0. y experimenta una fuerza aplicada en la dirección mostrada además de una fuerza de friccion “fr”. . 0 0 0 0 . 0 . SOLUCIÓN: 0 . Determine a) Si 0 y el carrete rueda sin deslizar. . . . . . .8 Un carrete de masa “m” y momento de inercia I respecto a un eje que pasa por P está en reposo sobre un plano horizontal.PROBLEMA 4. Con momento resultante respecto a “G” .