INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Los métodos para determinar los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a la solución de problemas prácticos, para resolverlos tenemos que transformar sus enunciados en fórmulas, funciones o ecuaciones. Debido a que hay múltiples tipos de ejercicios no hay una regla única para sus soluciones, sin embargo puede desarrollarse una estrategia general para abordarlos, la siguiente es de mucha utilidad. ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS A LA OPTIMIZACIÓN. a) Identificar los hechos dados y las cantidades desconocidas que se tratan de encontrar. b) Realizar un croquis o diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo variables para las cantidades desconocidas. c) Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables. d) Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el mínimo y expresa resta variable como función de una de las otras variables. e) Encontrar los valores críticos de la función obtenida. f) Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si esos valores críticos son máximos o mínimos. g) Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función que se obtuvo anteriormente. h) MUCHA DEDICACIÓN Y PRÁCTICA. 1.) Hallar dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el cuadrado el otro es máximo. Según el enunciado x + y = 18 y x ⋅ y 2 = Máximo Despejemos una en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del máximo. y = 18 − x ; Máximo = x (18 − x ) ⇒ M ( x) = x (18 − x ) , En esta ecuación hallamos el 2 2 valor de x que la hace máxima. A.‐ Hallar la primera derivada, se iguala a cero y se resolve la ecuación resultante. 304
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[email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS M ´( x) = (18 − x ) − 2 x (18 − x ) ⇒ M ´( x) = 3 ( x − 18 )( x − 6 ) 2 si : M ´( x) = 0 ⇒ −3 (18 − x )( x − 6 ) = 0 ⇒ x1 = 18; x2 = 6(v.c.) B.‐ Calculamos la segunda derivada y hallamos su valor numérico para las raíces anteriores. M ′′( x) = 6 ( x − 12 ) ⇒ M ′′( 6) = −36 < 0 ⇒ ∃ máximo; M ′′(18) = 36 > 0 ∃ mínimo si x = 6 ⇒ y = 12 2) Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 12 cm. de lado. Cortando cuadrados iguales en las esquinas se construye una caja abierta doblando los laterales. Hallar las dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea máximo. Volumen de la caja = v = (12 − 2 x )(12 − 2 x )( x ) ⇒ v = x (12 − 2 x ) 2 v( x) = x (12 − 2 x ) ⇒ v′( x) = 12( x − 2)( x − 6) 2 si : v′( x) = 0 ⇒ 12( x − 2)( x − 6) = 0 ⇒ x = 2; x = 6(v.c.) v′′( x) = 24( x − 4) ⇒ v′′(2) = −48 < 0 ∃ máximo; v′′(6) = 48 ∃ mínimo NOTA: Por la naturaleza del problema, se ve que x no puede valer 6 cm. Porque el volumen sería 0, por lo tanto x = 2 cm. 3) ¿Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada igual a 36 Dm 2 para que sea cercado por una valla de longitud mínima? 305
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[email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS Según el enunciado, área = x . y ; x . y = 36 Mínimo = 2 x + 2 y ; Min = 2 x + 2 y Despejamos y en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del mínimo. ⎛ 36 ⎞ 2 x + 72 2 x 2 + 72 2 36 y= ⇒ Min( x) = 2 x + 2 ⎜ ⎟ = ⇒ Min( x) = x ⎝ x ⎠ x x 2 x 2 − 72 2 x 2 − 72 Min′( x) = ; si : Min′( x ) = 0 ⇒ = 0 ⇒ x = ± 6(v.c.) x2 x2 144 Min′′( x) = 3 ⇒ Min′′(6) = 3 > 0 ⇒ ∃ mín (nota : no se toma en cuenta x = −6) 2 x 4) Se quiere cercar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado que está junto al camino cuesta BF. 8 el metro y para los lados BF. 4 el metro, halla el área del mayor campo que puede cercarse con BF.1.440. Según el enunciado, área = x. y 8 x + 4 x + 4 x + 4 y = 1.440 ⇒ 12 x + 8 y = 1.440 ⇒ 3 x + 2 y = 360 Despejando y en la segunda y llevando su valor al área, nos queda: 360 − 3x ⎛ 360 − 3x ⎞ 360 x − 3x 2 si : y = ⇒ A = xy ⇒ A( x) = x ⎜ ⎟ ⇒ A ( x ) = 2 ⎝ 2 ⎠ 2 360 − 6 x 360 − 6 x A′( x) = ⇒ si : A′( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ x = 60(v.c.) 2 2 360 − 3x 360 − 3(60) y= ⇒ y = y= ⇒ y = 90 m. ⇒ A = xy = (60 m)(90m) = 5.400m 2 2 2 NOTA: Por la naturaleza del problema, no hace falta hallar la segunda derivada. 306
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[email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS 5) Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo inscrito en ella. 2 ⎛h⎞ En la figura x es el radio de la base del cilindro. Por Pitágoras 62 = ⎜ ⎟ + x 2 . ⎝2⎠ 2 h Volumen = π . x 2 . h pero x 2 = 36 − 4 ⎛ h2 ⎞ π (144h − h3 ) π V (h) = π ⎜ 36 − ⎟ h ⇒ V (h) = ⇒ V ′(h) = (144 − 3h 2 ) ⎝ 4⎠ 4 4 π V ′(h) = 0 ⇒ (144 − 3h 2 ) = 0 ⇒ h = 12 = ±4 3; se toma : h = 4 3 4 3 NOTA: Por la naturaleza del problema, no hace falta hallar la segunda derivada. 6) Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho papel mide 9cm. Calcular la altura del cono que se forma para que el volumen sea máximo. 9 2 = h 2 + x 2 ⇒ x 2 = 81 − h 2 π x2h π ( 81 − h 2 ) h π v= 3 ⇒ V (h) = 3 ⇒ V ( h) = 3 (81 h − h ) 3 π π V ′( h) = 3 ( 81 − 3h ) ; si : V ′( h) = 0 ⇒ ( 81 − 3h ) = 0 ⇒ h = 2 3 2 9 3 ⇒ h = 3 3cm 307
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[email protected]. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS NOTA: Por la naturaleza del problema, no hace falta hallar la segunda derivada. 7) Se dispone de una hoja de papel para un cartel que mide 2m2. Los márgenes superior e inferior, miden 20 cm. cada uno y los laterales 12 cm. cada uno. Hallar las dimensiones de las hojas, sabiendo que la parte impresa es máxima. parteimpresa : A = ( x − 40 ) ( y − 24 ) ; además área total : xy = 2 ⇒ x = 2 y ⎛ 2 − 40 y ⎞ A( y ) = ( 2 y ) − 40 ( y − 24 ) ⇒ A( y ) = ( y − 24 ) ⎜ ⎟ ⎝ y ⎠ ⎛ 2 − 40 y ⎞ ⎛ y ( −40 ) − ( 2 − 40 y ) ⎞ 8(6 − 5 y 2 ) A′( y ) = ⎜ ⎟ + ( y − 24 ) ⎜ ⎟ ⇒ A′( y ) = ⎝ y ⎠ ⎝ y2 ⎠ y2 8(6 − 5 y2 ) si : A′( y) = 0 ⇒ =0⇒ y = ± 30 5 (v.c.); y = 0 ∃A′( y) y2 xy = 2 ⇒ x = ⇒ x = 2 y 10 30 ⇒x= 30 3 ;y= 30 5 8) De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar el de área máxima. 2 y.h 2 2 2 ⎛ y⎞ En la figura: área = por Pitágoras BC = DC + BD ; x 2 = ⎜ ⎟ + h 2 2 ⎝2⎠ 308
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[email protected]. 9) En un triángulo isósceles. es la solución.c. el triangulo se transformaría en una recta. x2 − y2 y. .h 4 h = x2 − .
[email protected]. NOTA: Por la naturaleza del problema. MSc. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . A( x) = 4 = 4 2 2 48x − 144 48x ( x − 3) 4 3 ( x − 3) A( x) = ( 6 − x ) ⇒ A( x) = ( 6 − x ) ⇒ A( x) = ( 6 − x ) ⇒ 2 2 2 ⎡ ( 6 − x ) 3 ( x − 3) ( 3) ⎤ A( x) = 2 ( 6 − x ) 3 ( x − 3) ⇒ A′( x) = 2 ⎢− 2 3 ( x − 3) + ⎥ ⎢⎣ 3 ( x − 3) ⎥⎦ 3 3(4 − x) 3 3(4 − x) A′( x) = ⇒ A′( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ x = 4(v. cada uno. DÁMASO ROJAS Perímetro: 2 x + y = 12 → y = 12 − 2 x y2 y .).com. Hallar la longitud de la base para que el área sea máxima. se ve que para x = 3. por lo tanto x = 4. x = 3 ∃A′( x) x −3 x −3 para x = 4 ⇒ y = 4 El triángulo de área máxima es equilátero de lado igual a 4cm. los lados iguales miden 20 cm.
[email protected]ímica Lic. Area = ⇒ Area = 4 2 2 (12 − 2x ) 2 4 x2 − 144 + 48x − 4x2 (12 − 2x ) x 2 − 2 ( 6 − x) si : y = 12 − 2x . 309 damasorojas8@gmail. com. MSc. (20) 2 = h 2 + ( 2x ) ⇒ h = 400 − 2 2 2 2 4 x 400 − x4 x 1600 − x 2 2 xh Area : A = ⇒ A( x ) = ⇒ A( x ) = 2 2 4 x ( −2 x ) 1600 − x 2 − 2 1600 − x 2 800 − x 2 A′( x ) = ⇒ A′( x ) = 4 2 1600 − x 2 A′( x ) = 0 ⇒ 800 − x 2 =0 (800 − x ) 2 1600 − x 2 = 2 1600 − x 2 2 (1600 − x 2 ) Por lo tan to : 800 − x 2 = 0 y 1600 − x 2 = 0 .com. 800 − x 2 = 0 → x = 20 2 1600 − x 2 = 0 → x = 40 NOTA: Para la naturaleza del problema. Pies? a) Tenemos que : A. A. esfera = 4π R2 .com. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 10 π . INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . para x = 40 el triángulo se transformarías en una recta. damasorojas8@galeon. 10) Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. DÁMASO ROJAS x2 en la figura : BC = BD + DC . por lo tanto x = 20 2 m. joeldama@yahoo. El costo por pie cuadrado de los extremos es el doble de la parte cilíndrica. . cilindro sin tapa = 2π R A b)La función a optimizar es el cos to: C = 2 ( 4π R2 ) + 2π R A 310
[email protected]ímica Lic. Química Lic. si : C′( R) = 0 ⇒ = 0 ⇒ 96 π R3 −180 π = 0 ⇒ R3 = (3 R) (3 R) 96 π 2 2 180 22 .com. Altura = a 2 − x 2 ⇒ Aret = bh ⇒ Aret = ( 2 x ) a 2 − x 2 2/ x ( − 2 x ) 2 a2 − 2x2 − 2x2 2 a2 − 4x2 A ′( x ) = 2 a 2 − x 2 + ⇒ A ′( x ) = ⇒ A ′( x ) = 2/ a2 − x2 a2 − x2 a2 − x2 2 a2 − 4x2 2 a2 a 2 Si A ′( x ) = 0 ⇒ = 0 ⇒ 2 a2 − 4x2 = 0 ⇒ x = ⇒x = a2 − x2 4 2 a 2 4a 2 − 2a 2 a 2 b = 2x ⇒ b = a 2 . MSc. 32 . joeldama@yahoo. esfera = π R3 . INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . 5 3 3. Rectángulo tiene como: Base = 2 x . damasorojas8@galeon. V . cilindro = π R2A ⇒Vtotal = π R3 + π R2A ⇒ A = 3 3 3 R2 ⎛ 30 − 4R3 ⎞ 60 π − 8π R3 C ( R) = 8 π R 2 + 2 π R ⎜ 2 ⎟ ⇒ C ( R ) = 8 π R 2 + ⎝ 3R ⎠ 3R 24 π R + 60 π − 8 π R 3 3 16 π R + 60 π 3 C ( R) = ⇒ C ( R) = 3R 3R 48π R3 ( 3 R ) − 3 (16 π R3 + 60 π ) 144 π R3 − 48π R3 − 180 π d ) C′( R) = ⇒ C′( R) = (3 R) (3 R) 2 2 96 π R3 −180 π 96 π R3 −180 π 180 π C′( R) = . DÁMASO ROJAS 4 4 30 − 4 R3 c) V .3 2 2 2 3 15 e) Si : R = ft ⇒ A = 2 3 15 ft 2 11) Determine las dimensiones del rectángulo que se puede inscribir en un semicírculo de radio “a” de manera que dos de sus vértices estén sobre el diámetro. . h = a2 − x2 ⇒ h = a2 − ⇒ h= ⇒ h= 2 4 2 311
[email protected] 3 15 3 15 R= 3 = 3 5 = 3 = ⇒ R = ft 96 2 .com. com. MSc. joeldama@yahoo. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . 2) 13) Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero.1) es : d = ( x − 3) + ( y −1) 2 2 ( x − 3) + ( x 2 + 1 − 1) ⇒ d = x 4 + x 2 − 6 x + 9 2 pero : y = x 2 + 1⇒ d = 2 2 x3 + x − 3 2 x3 + x − 3 d ′( x) = .). Si : d ′( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ 2 x3 + x − 3 = 0 x + x − 6x + 9 4 2 x + x − 6x + 9 4 2 por Ruffini : ( x − 1) ( 2 x 2 + 2 x + 3) = 0 ⇒ x = 1(v.Química Lic. Punto (1.com. DÁMASO ROJAS 12) Encuentre el punto de la gráfica y = x 2 + 1 más cercano al punto (3. La distancia entre los puntos ( x. Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima. 1).c. usamos el perímetro de la ventana: 12 − 3x 12 x − 3x 2 P = 2 y + 3x ⇒ 12 = 2 y + 3x ⇒ y = ⇒ A( x) = 2 2 x 3 12 x − 3x 2 2 Área total de la figura : AT ( x) = + 4 2 x 3 12 − 6 x x 3 + 12 − 6 x AT′ ( x) = 2 + 2 ⇒ AT′ ( x) = 2 = 0 ⇒ x 3 − 6 + 12 = 0 ( ) 312 damasorojas8@gmail. damasorojas8@galeon. y ) y (3. 2x2 + 2x + 3 ≠ 0 Si : x = 1⇒ y = 2. si el perímetro de la misma debe ser 12 pies. Cálculo de h : h = x 2 − ( 2x ) 2 ⇒ h = 3 x2 4 ⇒ h = ( x 23 ) xh x( x 2 3 ) x2 3 Área del triángulo : A = ⇒ A= ⇒ A= 2 2 4 Área del rectángulo : A = xy Para : y en función de x. .com. lanzando con velocidad inicia. 313 damasorojas8@gmail. de donde A = 108 − 4 a El Volumen : V = aa A ⇒ V = a 2 A ⇒ V = a 2 (108 − 4 a ) ⇒ V ( a ) = 108 a 2 − 4 a 3 V ′( a ) = 215 a − 12 a 2 .com. V0 desde una pieza de artillería que tiene un ángulo de evaluación φ respecto al V02 Sen 2 φ horizonte. damasorojas8@galeon. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . Si : V ′( a ) = 0 ⇒ 4 a ( 54 − 3 a ) = 0 ⇒ a = 0 no es solución . 54 − 3 a = 0 ⇒ a = 18 pu lg ⇒ A = 108 − 4 (18) ⇒ A = 36 Pu lg 15) La distancia R = OA (en el vacío) que cubre un proyectil. DÁMASO ROJAS 12 − 3x 12 − 3( 6−123 ) x= ⇒x= −12 3−6 Base del rectángulo ⇒ si : y = 12 6− 3 ⇒y= ⇒ 2 2 72 − 12 3 − 36 36 − 12 3 18 − 6 3 y= y= ⇒y = Altura del rectángulo 2 6− 3( ) 2 6− 3 ( ) 6 − 3 14) Para que un paquete pueda enviarse por correo es necesario que la suma de su longitud y el perímetro de su base no exceda de 108 pulgadas. El perímetro de la base es : P = 4 a Condición : A + 4 a ≤ 108 pu lg . joeldama@yahoo. .com. MSc. tomaremos el extremo máximo A + 4 a = 108 .Química Lic. Encuentre las dimensiones de la caja con base cuadrada de mayor volumen que se puede enviar por correo.com. se determina según la fórmula: R = Determinar el ángulo φ con g el cual la distancia R es máxima dada la velocidad inicial V0. com.c.com. .) dφ g dφ g 4 d2 R (4V02 )sen(2φ) d2 R d2 R (4V02 )sen2( π4 ) d 2 R (4V02 ) = − ⇒ sust.c. en ⇒ = − ⇒ = − <0 d φ2 g d φ2 d φ2 g d φ2 g π V02 Sen (2φ) V2 ⇒ en φ = ∃ máximo ⇒ sust en R(φ) = ⇒ R(φ) = 0 4 g g 16) ¿Qué dimensiones debe tener un cilindro para que sea mínima su área total.). joeldama@yahoo. h = altura ⇒ S = 2 π r 2 + 2π rh.Química Lic. MSc. damasorojas8@galeon. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . r = 0 ∃ ⎣ r ⎦ dr 2 dr ⎣ r ⎦ d 2S ⎡ 2V⎤ d 2S ⎡ 2 V ⎤ d 2S = 2 ⎢⎣ 2π + ⇒ sust v.c. DÁMASO ROJAS 0 ≤ φ ≤ π2 (condición) dR 2V02 cos(2φ) dR 2V 2 cos(2φ ) π = ⇒ = 0 ⇒ ´0 = 0 ⇒ cos(2φ) = 0⇒φ = (v. Vcilindro = π r 2 h ⇒ h = π r2 ( S = 2π r 2 + 2 π r ( πVr 2 ) ⇒ S (r ) = 2π r 2 + ( 2rV ) ⇒ S (r ) = 2 π r 2 + Vr ) ds ⎡ V ⎤ ds ⎡ 2π r 3 − V ⎤ = 2 ⎢2π r − 2 ⎥ ⇒ = 0 ⇒ 2 ⎢ ⎥ = 0 ⇒ 2 π r 3 −V = 0 ⇒ r 3 = 2vπ (v. dado el volumen V? V r = radio. ⇒ = 2 ⎢ 2π + ⎥ ⇒ 2 = 2 [ 2 π + 4π ] = 12 π > 0 dr 2 r 3 ⎥⎦ dr 2 ⎢⎣ 2π ⎥ v ⎦ dr V V r 3 = 2vπ ⇒ r = 3 2vπ ⇒ si : h = 2 ⇒ h = πr π 3 ( 2vπ )2 314
[email protected]. v.
[email protected]. DÁMASO ROJAS 17) Un terreno rectangular se encuentra adyacente a un río y se debe cercar en 3 lados. MSc.) dx dx d 2A d 2A 2 = − 4 ⇒ 2 < 0 ⇒ en x = 25 ∃ máximo ⇒ x = h = 25 m ⇒ b = 50m ⇒ A = 1250 m 2 dx dx 18) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una semicircunferencia de radio r.Química Lic. Si se dispone de 100 m de cerca.c.com. . A = b h ⇒ A = x (100 − 2 x ) ⇒ A( x) = 100 x − 2 x 2 dA dA = 100 − 4 x ⇒ = 0 ⇒ 100 − 4 x = 0 ⇒ x = 25(v. ya que el lado que da al río no requiere cerca. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . 0 < x < 50(condición).com. Arectángulo = x y ⇒ ( q ABC : r 2 = y 2 + ( 2x )2 ⇒ ( 2x )2 = r 2 − y 2 ⇒ x = 2 r 2 − y 2 ⎡1 ⎤ = 2 r 2 − y 2 + 2/ y ⎢ ( r 2 − y 2 ) ( −2 y ) ⎥ da −1/ 2 A( y) = 2 y r 2 − y 2 ⇒ dy ⎣ 2/ ⎦ da 2 ⎡⎣r − 2 y ⎤⎦ 2 ⎡⎣r 2 − 2 y 2 ⎤⎦ 2 2 da r = ⇒ si : = 0 ⇒ = 0 ⇒ r 2 − 2 y 2 = 0 ⇒ y1 = ⇒ y1 = r 2 2 dy r −y 2 2 dy r −y 2 2 2 r 2 − y 2 ⇒ r = y ∃/ d A 2 [ −4 y ] r − y − 2 ⎣r − 2 y ⎦ ⎢⎣ 2 ( r − y ) 2 ⎡1 ( −2 y )⎤⎥⎦ −1/ 2 2 2 2 ⎡ 2 ⎤ 2 2 = dy 2 ( r 2 − y2 ) 315 damasorojas8@gmail. encuentre las dimensiones del terreno con el área máxima. joeldama@yahoo. Se precisa enviar un mensajero a un campamento militar situado a 15 km. DÁMASO ROJAS d2 A 2 y( r − y ) ⎡−4( r2 − y2 ) + ( r2 − y2 ) ⎤ 2 2 −1/2 = ⎣ ⎦ dy2 (r − y ) 2 2 d 2 A 2 y ⎡⎣−4 r + 4y + r − 2y ⎤⎦ d 2 A 2 y ⎡⎣ 2y − 3r ⎤⎦ 2 2 2 2 2 2 = ⇒ 2 = dy2 (r − y ) 2 3 dy ( r2 − y2 ) 2 3 d 2 A 2( r 2 ) ⎡2( r 22 )2 − 3r2 ⎤ d 2 A r 2 ⎡− r2 ⎤ d 2 A −r3 2 = 2 ⎣ ⎦⇒ = ⎣ ⎦ ⇒ 2= dy2 ( ) dy2 dy 3 3 3 r −( 2 ) ⎡⎣r − 2 ⎤⎦ ⎡ 2r 2− r ⎤ 2 2 2 2 2 r 2 2 r ⎣ ⎦ d 2 A −r3 2 d 2 A −r3 2 d 2 A −r3/ 2 d 2 A −8 = ⇒ 2= ⇒ 2= ⇒ 2 = < 0 dy2 2 ( r2 )3 dy r6 dy 3 1 dy r 8 r 3 2 r 2r y = . damasorojas8@galeon. MSc. el mensajero andando a pie hace 5 km/h y remando 4 km/h. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . del punto más próximo de la costa. del punto de la costa más próximo al buque.com.Química Lic.com. ¿En qué punto de la costa debe desembarcar el mensajero para llegar al campamento en el mínimo tiempo posible? 316 damasorojas8@gmail. .com. x = 2 r2 − r2 ⇒ x = 2 r2 ⇒ x = ⇒x = 2y 2 2 2 2 19) Un buque militar se encuentra anclado a 9 km. medido a lo largo de la costa. joeldama@yahoo. A pie: DC = 15 − x x x 81 + x 2 15 − x M . t. a pie : tP = t V 4h 5 kmh 81 + x 2 15 − x 81 + x 2 x tt = t R + t P ⇒ tt ( x ) = + ⇒ tt ( x ) = − +3 4 5 4 5 dt 5 x − 4 81 + x 2 dt 1 ⎡ 1 = dx 4 ⎢⎣ 2 (81 + x ) ( 2 x )⎥⎦ − 5 ⇒ dx = 2 −1/ 2 ⎤ 1 dt x 1 − ⇒ = 4 81 + x 2 5 dx 20 81 + x 2 ( ) 2 dt = 0 ⇒ 5 x − 81 + x 2 = 0 ⇒ ( 5 x ) = 4 81 + x 2 ⇒ 25 x 2 = 16 x 2 + 1296 ⇒ x = 12 (v. MSc. A) A la compresión. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .c. DÁMASO ROJAS 2 2 2 por pítagoras : AD = AB + BD Remando: AD = 92 + x 2 .U .Química Lic.
[email protected]. . joeldama@yahoo. B) A la flexión? Nota: La resistencia de la viga a la compresión es proporcional al área de su sección transversal mientras que la flexión es proporcional al producto del ancho de esta sección por el cuadrado de su altura.com. ⇒ V = ⇒ t = ⇒ t.R.) 2 dx 81 + x 2 − ( 81 + x 2 ) ( 2 x ) x −1/ 2 2 d t 1 2 d2 t 81 = ⇒ 2= dx 2 4 (81 + x ) 2 dx 4 81 + x 2 ( 3 ) d2 t 81 2 = > 0 ∴ x = 12 Km ∃ mínimo tiempo empleado dx 4 81 + (12) 2 20) De un tronco redondo de diámetro d hay que cortar una viga de sección rectangular. 317 damasorojas8@gmail. ¿Qué ancho (x) y altura (y) deberá tener esta sección para que la viga tenga resistencia máxima posible. remando : tR = km .com. .Química Lic. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . Si : x = d ∃/ d −x 2 dx 2 2 dx 2 d Rc ⎡ −4x =k ⎢ ( ) d 2 − x2 − ( d 2 − 2x2 ) 12/ ( d 2 − x2 ) −1/2 ( −2/ x) ⎤⎥ ⇒ d 2 Rc kx ( 2x − 3d ) = 2 2 dx2 ⎢ ⎢⎣ (d 2 − x2 ) ⎥ ⎥⎦ dx2 ( d 2 − x2 ) 3 d 2 Rc d 2 Rc k( 2 ) 2( 2 ) − 3d sust. h = y.).com. v.com.c.com. d 2 − 2x2 = 0⇒ x = d (v. joeldama@yahoo. en 2 ⇒ 2 = d d 2 2 ⇒ 2 = d ( d 2 Rc k( 2 ) 2( 2 ) − 3d d )2 ( 2 ) dx dx dx ( ) ( ) 3 3 d − ( 2) 2 d 2 2d 2 − d 2 2 d 2 Rc k( 2 ) ( − d ) d 2 Rc −k d 3 4 2 d 2 Rc d 2 d2 = ⇒ 2 = ⇒ 2 = − 4k < 0 ⇒ en x = ∃ máximo ( ) 2 dx2 d2 3 dx 2 d3 dx 2 d d si : x = (ancho) ⇒ y = d 2 − x2 ⇒ y = d 2 − ( d2 ) 2 ⇒ y = (altura) 2 2 V − 4 π3r 3V − 4π r3 3 4 π r3 4 π r3 Vt =π r h +2 ⇒V − = π r h⇒ h = 2 ⇒h = 3 3 π r2 3π r 2 ⎡ 3V − 4π r3 ⎤ ⎡ 3V − 4π r3 ⎤ At = 2π r h + 4 π r 2 ⇒ At (r) = 2π r ⎢ ⎥ + 4 π r 2 ⇒ A (r ) = 2 ⎢ ⎥ + 4 π r2 ⎣ 3π r ⎦ 2 t ⎣ 3r ⎦ dA 2 ⎡ ( −12π r ) ( r ) − ( 3V − 4π r ) ⎤ dA −2 ⎡8π r3 + 3V ⎤ 2 3 = ⎢ ⎥ + π ⇒ = ⎥ + 8π r 3 ⎢⎣ 8 r dr 3 ⎢ r2 ⎥ dr r2 ⎦ ⎣ ⎦ dA −16π r3 − 6V + 24π r3 dA −6V + 68π r3 dA −6V + 68π r3 = ⇒ = . r = 0 ∃ 8π 318 damasorojas8@gmail. si : = 0⇒ =0 dr 3r2 dr 3r 2 dr 3r2 6V −6V + 68π r3 = 0⇒r3 = ⇒r = 3 34Vπ (v. Por pitágoras :d 2 = x2 + y2 ⇒ y = d 2 − x2 dRc k ( d − x ) ( (d − x ) ) 2 2 Rc (x) = kx d − x ⇒ c = k ⎡ d 2 − x2 + x ⎤ dR 2 −1/2 2 ⎢⎣ 2 1 2 ( −2x)⎥ ⇒ = 2 2 dx 2 ⎦ dx d −x dRc k ( d 2 − x2 ) dRc = 0⇒ = 0 ⇒ k ≠ 0. MSc.
[email protected]. DÁMASO ROJAS Arectángulo : A = bh ⇒b = x .).c. Cuadrado de lado x ⇒ longitud del alambre = 4x 10 − 2π r Circunferencia de radio r ⇒ longitud del alambre = 2π r ⇒10 = 4x + 2 π r ⇒ x = 4 Acuadrado = x2 . . d 2 − 3x2 = 0 ⇒ x = dR f dR f d 3 (v. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . ¿Cómo deberá cortarse el alambre para que el área combinada de las dos figuras sean tan pequeñas como sea posible. MSc.Química Lic.com. damasorojas8@galeon. v.com. en 2 ⇒ 2 = − + ⇒ 2 = + ⇒ 2 = 6π > 0 dr dr ( 3 34Vπ )3 3 dr 3V 3 dr 3V − 4π r 3 3V − 4π ( 34Vπ ) en r = 3 3V 4π ∃ mínimo ⇒ h = ⇒h= ⇒h = 0 3π r 2 3π 3 ( 3V ) 2 4π b) RF = Kxy 2 ⇒ d 2 = x2 + y 2 ⇒ y 2 = d 2 − x 2 ⇒ RF = Kx ( d 2 − x2 ) ⇒ R f ( x) = K ( xd 2 − x3 ) = K ( d 2 − x2 ) ⇒ = 0 ⇒ K ( d 2 − x 2 ) = 0 ⇒ K ≠ 0. de longitud se va a cortar en dos partes.com. ⇒ sust.c.c. en 2 ⇒ 2 = − 6K ( d3 ) < 0 ∃ máximo. altura : y = d 2 − ⇒y= ⇒y = 2 3 d 3 3 3 21) Un trozo de alambre de 10 m. Una parte será doblada en forma de circunferencia y la otra en forma de cuadrado.) dx dx d 2Rf 2 d Rf d 2Rf d 2 Rf 2 = K ( −6 x ) ⇒ 2 = − 6Kx. dx dx dx dx d d 3d − d 2 2 2 Ancho : x = . v.c. DÁMASO ROJAS dA −6V + 68π r 3 dA 2V 8π r d 2 A 4V 8π = 2 ⇒ = − 2 + ⇒ 2 =− 3 + dr r dr r 3 dr r 3 2 d A d A2 4V 8π d A 16V π 8π 2 d2A sust. joeldama@yahoo. Acircunferencia = π r 2 ⇒ Área combinada : A = x2 + π r 2 ⇒ ⎡10 − 2π r ⎤ ⎡10 − 2π r ⎤⎛ −2/ π ⎞ dA ⎛ −10 + 2π 2 r ⎞ 2 dA A(r) = ⎢ +π r ⇒ 2 = 2/ ⎢ ⎥⎦⎝⎜ 4/ ⎠⎟ + 2π r ⇒ dr = ⎜ ⎟ + 2π r ⎣ 4 ⎥⎦ dr ⎣ 4/ ⎝ 4 ⎠ 319 damasorojas8@gmail. si : = 0 ⇒ 3π ⎡⎣8 r − 3 r 2 ⎤⎦ = 0 dr dr 8 3π ≠ 0.com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com.4 ⎣ 2 ⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎣ 2 ( π + 4 ) ⎦ ( π + 4 ) 22) Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto.c.c. de manera que los ejes del cilindro y del cono coincidan. . damasorojas8@galeon. que se puede inscribir en el cono de 12 cm de altura y 4 cm en la base. por relación de triágulos semejntes h 12 h = ⇒ = 3⇒ h = 3( 4 − r ) 4 −r 4 4−r Volumen del cilindro : V =π r 2h ⇒ V (r) =π r 2 ⎡⎣3( 4 − r ) ⎤⎦ ⇒V (r) = 3π r 2 ( 4 − r ) si : r = 0 ó r = 4 (volumen máximo no se alcanza en la frontera) dv dv V (r) = 3π ⎡⎣4r 2 − r 3 ⎤⎦ ⇒ = 3π ⎡⎣8 r − 3 r 2 ⎤⎦ . 8 r − 3 r 2 = 0 ⇒ r [8 − 3 r ] = 0 ⇒ r = 0. r = (v.) 3 320 damasorojas8@gmail.
[email protected]ímica Lic. MSc. si : =0⇒r = (v. DÁMASO ROJAS dA −5π + π 2 r dA π (−5 + r (π + 4)) dA 5 = + 2π r ⇒ = .) dr 2 dr 2 dr (π + 4) d 2 A π (π + 4) d2A = ⇒ = > 0 ⇒ en r = π 5+4 ∃ mínimo dr 2 2 dr 2 ⎡5 − π r ⎤ ⎡ 5 − π [ π 5+4 ]2 ⎤ ⎡ 5π + 20 − 5π ⎤ 10 x= ⎢ ⎥ ⇒ x = ⎢ ⎥ ⇒ x = ⎢ ⎥⇒ x = ⇒ x 1.com. La figura representa una sección transversal del cono y del cilindro que pasa por el eje de ambos. com. por pitágoras : 62 = ( h2 ) + x 2 2 h2 144 − h 2 ⎡144 − h 2 ⎤ π x 2 = 36 − ⇒ x2 = ⇒ V ( h) = π ⎢ ⎥ h ⇒ V = ⎡⎣144h − h3 ⎤⎦ 4 4 ⎣ 4 ⎦ 4 dv π dv 144 = ⎡⎣144 − 3h 2 ⎤⎦ si : = 0 ⇒ 144 − 3h 2 = 0 ⇒ h = ⇒h=4 3 dh 4 dh 3 d 2v π d 2v π = (−6h) ⇒ 2 = (−6)(4 3) < 0 ⇒ h = 4 3 ∃ máximo dh 2 4 dh 4 24) Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular de cartón de 16 c. V = Volumen en cm3 El volumen de una caja es el producto de sus dimensiones.com. 321 damasorojas8@gmail. recortando un cuadrado de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Sean: x = longitud en cm de los cuadrados que van a cortarse. damasorojas8@galeon. . X = radio del cilindro Volumen del cilindro: V = π r 2 h. DÁMASO ROJAS d2V d2V 2 = 3 π [ 8 − 6 r ] ⇒ 2 = 3 π ⎣⎡8 − 6 ( 83 ) r ⎦⎤< 0 ⇒ ∃ máximo dr dr Calculamos la altura : h = 3 ( 4 − 83 ) ⇒ h = 4 El volumen máximo del cilindro inscrito es : V = π ( 83 ) 2 4 ⇒ V = 89.Química Lic. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo inscrito en ella. MSc. de ancho y 21 cm de largo.
[email protected] cm3 23) Una esfera tiene un radio de 6 cm.com. V = 24 π cm3 Sustituyendo: 24 π = π r2h 24 π 24 h= → h= π r2 r2 322
[email protected]ímica Lic. V = lah ⇒ v( x) = (21− 2x)(16 − 2x) x ⇒ V ( x) = 4x3 − 74x2 + 336 dv dv dv =12x2 −148x + 336 ⇒ = 4 ( 3x − 28)( x − 3) . DÁMASO ROJAS NOTA: x no puede ser negativa debido a que el ancho del cartón mide 16 cm no puede cortarse cuadrado cuyos lados midan 8 cm de largo. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia material.com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . h = la altura en (cm).com. . el material que se usa para la base cuesta tres veces más que el que se emplea para la parte cilíndrica.com.) d 2v d 2v = ( 24 x − 148) ⇒ sustituimos : = 24(3) − 148 < 0 ∃ máximocuando x = 3 dx2 dx2 25) Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa. x = 3(v. Donde: r = Radio de la base en (cm). MSc. que tenga un volumen de 24 π cm3. joeldama@yahoo. damasorojas8@galeon. si : = 0 ⇒ 4(3x − 28)( x − 3) = 0 dx dx dx x = 9. evaluar las dimensiones para las que es mínimo el costo del material de fabricación.c. si r = 0(no tiene sentido) dr ( ( )) ( ( )) 2 d c d 2c 2 = aπ 6 + 96 r3 ⇒ sust .). Del enunciado : S = 2x + y.com.c. en 2 = > 0 ⇒ en x = 12 ∃ mínimo dx2 x dx (12)3 si : x = 12 ⇒ y = 24 323 damasorojas8@gmail. Sea: (x) El primer número. MSc.c. v. S la suma de ellos.c. joeldama@yahoo. A = costo por cm2 para la parte curva El costo para la base CB = 3 a (π r h) CC = a (2π r h) El costo para la parte cilíndrica: CC = a (área del cilindro) El cos to total C = CB + CC C = 3 a (π r 2 ) + a(2 π rh) ⇒ C = aπ (3r 2 + 2rh) ⇒ Como h = 24 r2 ⇒ C (r ) = aπ ⎡3 r 2 + 2r ⎣ ( )⎤⎦ 24 r2 ⎛ r3 −8 ⎞ C (r ) = aπ ⎡⎣3 r 2 + ( 48r ) ⎤⎦ ⇒ dc dr ( = aπ 6 r − ( )) 48 r2 ⇒ dc dr = 6aπ ⎜ 2 ⎟ ⎝ r ⎠ dc si : = 0 ⇒ r 3 − 8 = 0 ⇒ r = 2(v.Química Lic. xy = 288 ⇒ y = 288 x ⇒ S ( x) = 2 x + x 288 ds ds 2x2 − 288 ds 2x2 − 288 = 2 − x2 ⇒ = 288 2 ⇒ =0⇒ 2 = 0 ⇒ 2x2 − 288 = 0 ⇒ x = ± 12 dx dx x dx x 2 2 d s 288 d s 288 = 3 ⇒ sust v. si el producto de los dos números es 288. en : 2 = aπ 6 + (2) 96 3 > 0 ⇒ en r = 2 ∃ mínimo dr dr 24 como h = 2 ⇒ h = 6 r 26) Hallar dos números positivos que minimicen la suma del doble del primero más el segundo. .com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com. damasorojas8@galeon. (y) el segundo número. DÁMASO ROJAS Para obtener la ecuación de Costo de Fabricación. c.com. S = xy (área del rectágulo) ⇒+ q ABC ⇒ x 2 + y 2 = 82 ⇒ y = 64 − x 2 ⇒ S ( x) = x 64 − x 2 324 damasorojas8@gmail. máxima es de : S = 625m 2 dx 28) Hallar un número positivo cuya suma con su inverso sea mínima.). MSc. ⇒ 2 = 3 > 0 ⇒ en x = 1∃mínimo dx x dx (1) 29) Dado un círculo de radio 4 dm. 1 1 Sea x un número ⇒ su inversoes : ⇒ S ( x) = x + x x ds 1 ds x − 1 2 ds = 1 − 2 ⇒ = 2 ⇒ si : = 0 ⇒ x2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1(v. del enunciado 2 x + 2 y = 100 ⇒ y = 50 − x ⇒ S ( x ) = x (50 − x ) ds ds = 50 − 2 x ⇒ = 0 ⇒ 50 − 2 x = 0 ⇒ x = 25(v.c. peroel valor debe ser (+) dx x dx x dx 2 2 d s 2 d s 2 2 = 3 ⇒ sust. v.
[email protected]. inscribe en él un rectángulo de área máxima.com.) dx dx d 2s 2 = − 2 < 0 ⇒ en x = 25 ∃ máximo ⇒ y = 25 ∴ S .Química Lic.c. DÁMASO ROJAS 27) Un granjero dispone de 100 metros de valla. joeldama@yahoo. . (superficie del corral): S = xy. con los que desea construir un corral rectangular de la máxima superficie posible. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . S2 ) dx2 325
[email protected].) pero : x ni y pueden ser (−) 64 − x 2 2x( x2 − 96) 2(4 2)((4 2)2 − 96) S ′′( x) = ⇒ sust. ⇒ P( x) = x( S − x) ⇒ P( x) = − x2 + xS ⇒ = − 2 x + S ⇒ = 0 ⇒ x = S 2 dx dx 2 d P = − 2 < 0 ⇒ en x = S2 ∃ máximo ⇒ si x = S2 ⇒ y = S2 ⇒ ( S2 . ⇒ p 2.0) sean mínimas. Aplica lo anterior al caso S = 40.com. 2 2 . a) sea : x e y las componentes ⇒ x + y = S ⇒ y = S − x. además P = xy dP dP Sust. joeldama@yahoo. .Química Lic. P) = ( x − 4) + y 2 y la parábola : y 2 = 4 x ⇒ sust. p´ 2.com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . DÁMASO ROJAS 2(32 − x2 ) S´( x) = ⇒ si : S´( x) = 0 ⇒ ( 32 − x2 ) = 0 ⇒ x = ±4 2(v. en d porq el punto ∈ a la parábola 2 x−2 d ( x) = ( x − 4) + (4 x) 2 ⇒ d ′( x) = ⇒ d ′( x) = 0 ⇒ x = 2(v.v. x = 4 2 ⇒ S ′′( x) = = −4 < 0 ⇒ ∃máximo (64 − x2 )3 (64 − (4 2)2 )3 ( ) 2 si : x = 4 2 ⇒ y = 64 − 4 2 = 4 2 30) Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y 2 = 4 x .c. d ′′( x) = > 0 ⇒ x = 2 ∃ mínimo ( x 2 − 4 x + 16)3 ((2) 2 − 4(2) + 16)3 si x = 2 ⇒ y = ± 2 2.) 2 x 2 − 4 x + 16 12 12 d ′′( x) = ⇒ sust. d ( A.c. MSc. v. tales que sus distancias al punto A (4. damasorojas8@galeon. − 2 2 ( ) ( ) 31) De todas las parejas de números reales cuyas componentes tiene suma S dada encontrar aquella para la cual el producto P de las mismas es máximo. El área de la base es x 2 pu lg 2 .10) y su suma S = 20.com. ⇒ 2 = > 0 ⇒ en x = P ∃mínimo ∴ dx x dx ( P )3 p si : y = ⇒ y = p ⇒ la pareja es ( p . encontrar aquella para la cual la sume de esas componentes es mínima.c. MSc. condición x > 0 dx dx x dx 2 2 d S 2p d S 2p 2 = 3 ⇒ sust.Química Lic. Puesto que el volumen de la caja es el producto del área de la base por la profundidad. .). a.com. Sea y pulgadas la profundidad de la caja. DÁMASO ROJAS de Pmáx = xy ⇒ Pmáx = ( S2 )( S2 ) ⇒ Pmáx = S2 4 b ) Si : S = 40 ⇒ x = 20. y ) la pareja ⇒ S = x + y.c. además P = xy ⇒ y = P x ⇒ S ( x ) = x + Px dS dS x 2 − P dS = 1 − xP2 ⇒ = 2 .03 dólares por pulg2 y el material de los laterales cuesta 0. Ver figura. joeldama@yahoo. 33) Una caja cerrada de base cuadrada debe tener un volumen de 2000 pulg3. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . El material del fondo y de la tapa de la caja tiene un costo de 0. y = 20 ⇒ Pmáx = 400.com. Determine las dimensiones de la caja para que el costo total sea mínimo. si : = 0 ⇒ x 2 − P = 0 ⇒ x = P (v. Aplica lo anterior al caso P = 100.015 dólares por pulg2. 326 damasorojas8@gmail. 32) De todas las parejas de números reales cuyas componentes positivas tienen producto dado. Sea x pulgadas la longitud de un lado de la base cuadrada y C (x) dólares el costo total del material. v. p ) y su suma : S = 2 p x b) Siendo P = 100 la pareja será (10.) Sea ( x. damasorojas8@galeon. MSc. y = 20 pu lg y el área de la base será de 100 p lg 2 34) Demostrar que de todos los rectángulos de perímetro p dado.com. DÁMASO ROJAS x 2 y = 2000 ⇒ y = 2000 x2 Del enunciado : Ctotal = área(tapa y fondo) + área(laterales ) ⇒ Ctotal =3 ( 2 x 2 ) + 3 2 ( 4 xy ) C ( x ) = 6 x2 + 6 x ( ) ⇒ C ( x) = 6x 2000 x2 2 + 12000 x .c. v.) 2 dx 2 dx 4 2 d A p p − 2( 4p ) p p2 = −2 < 0 ⇒ en x = ∃ máximo ⇒ y = 2 ⇒ y = ∴ es un cuadrado : Amáx = dx 2 4 4 16 35) Si una letra cerrada de estaño con un volumen de 16π. p−2 x perímetro del rectángulo : p = 2( x + y) ⇒ 2 x + 2 y = p ⇒ y = 2 . área superficial lateral: 2π rh ( pu lg) 2 área de la parte superior:π r 2 pu lg 2 área de la base : π r 2 ( pu lg) 2 ⇒ St = 2π rh + 2π r 2 327
[email protected]. C´´ (10 ) = 12 + > 0 ⇒ en x = 10 ∃ mínimo x (10)3 ⇒ Cmín : x = 10 pu lg.c.pulg3 debe tener la forma de un cilindro circular recto. determinar la altura y el radio de dicha lata para utilizar la mínima cantidad de material en su manufactura. A = x( p −22 x ) ⇒ A( x) = ⇒ = . joeldama@yahoo. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . ∞) 12 x3 − 12000 C ′ ( x ) = 12 x − ( 12000 x2 ) ⇒ si : C ′ ( x ) = 0 ⇒ x 2 = 0 ⇒ x 3 = 1000 ⇒ x = 10(v. Dom : (0. .com.Química Lic. el de máxima área es el cuadrado. damasorojas8@galeon.) 24000 24000 C´´ ( x ) = 12 + 3 ⇒ sust. y su área : A = xy px − 2 x 2 dA p − 4 x dA p sust. si = 0 ⇒ p − 4 x = 0 ⇒ x = (v. v.c.c. v.com. 2 = 8(3( 3 ) − 40) = −160 < 0 ∃ máximo 20 dx2 dx vmá x = ( 40 − 2( 203 )) ( 203 ) ≅ 4.74. MSc.com. si : S ′ ( r ) = 0 ⇒ 4π r 3 = 32π ⇒ r 3 = 8 ⇒ r = 2(v. dom :[0. DÁMASO ROJAS 16 El volumen del cilindro circular recto : V = π r 2 h ⇒ 16 π = π r 2 h ⇒ h = r2 ⎛ 16 ⎞ 32π S ( r ) = 2π r ⎜ 2 ⎟ + 2π r 2 ⇒ S ( r ) = + 2π r 2 .20] dV dV dV 20 = 2 ( 40 − 2x)( −2) x + ( 40 − 2x) ⇒ = ( 40 − 2 x)( − 6 x + 40) ⇒ = 0 ⇒ x = 20. a) Calcula las dimensiones de la viga de máxima resistencia que puede aserrarse de un tronco de madera de forma cilíndrica de diámetro Ø dado. a los que se les recortan las esquinas como indica la figura y doblando a lo largo de las líneas punteadas. DomS (r ) : ( 0. b) Determina el volumen máximo Base un cuadrado de lado : (40 − 2x) y la altura ( x) ⇒ V ( x) = (40 − 2x)2 x.c. ⇒ S ′′ ( 2) = + 4 π > 0 ⇒ r = 2 ∃ mínimo ⇒ h = 4 r (2)3 36) Se desean construir cajas de cartón sin tapa partiendo de cuadrados de lado 40 cm.c.) 2 dx dx dx 3 2 2 dV dV = 8(3x − 40) ⇒ sust. x = (v.com. a) Determina la longitud x de los recortes para que el volumen de la caja sea máximo. + ∞ ) ⎝r ⎠ r −32 π −32 π + 4π r 3 S′( r ) = + 4 π r ⇒ S ′ ( r ) = . .Química Lic.103 cm3 2 37) La resistencia de una viga de sección rectangular es proporcional al producto de su ancho a por el cuadrado de su altura h. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . b) Aplícalo al caso Ø = 15” (pulgadas) c) Si el tronco tiene largo L expresa en porcentaje del volumen total de madera el 328 damasorojas8@gmail. joeldama@yahoo. damasorojas8@galeon.) r2 r2 64 π 64 π S ′′ ( r ) = 3 + 4 π ⇒ sust. 816φ ⇒h= 3 3 b ) Si Φ = 15" ≅ 38cm ⇒ a ≅ 8. . Se han de sujetar con cables fijados en un solo punto. v .577φ ( v.Química Lic.com. 2 = − 6 k ( ) < 0 ⇒ en x = ∃ máximo da da 3 3 φ 2 si x = φ ≅ 0. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com. DÁMASO ROJAS d) volumen de la viga.
[email protected]. 0 ≤ a ≤ Φ dR dR φ 3 = k ( Φ 2 − 3a 2 ) ⇒ =0⇒ a = = φ ≅ 0. h ≅ 12. desde el suelo a los 329 damasorojas8@gmail.
[email protected] V φ 2 πφ 2 π( )L 4 % de madera utilizada en la viga es 60% de la madera total .65" ≅ 22cm.com. MSc.c . 24" ≅ 31cm φ2 c ) El volumen del trono cilíndrico de londitud L será : V = π L 4 V1 ahL 4 ah El volumen de la viga de longitud L será :V1 = ahL ⇒ = = ≅ 0. 38) Dos postes de 20 y 28 pies de altura respectivamente se encuentran a 30 pies de distancia.) da da 3 3 d 2R d 2R φ φ 2 = − 6 ka ⇒ sust . a ) Sea : R la resistencia de la viga y k > 0 una cte ⇒ R = kah 2 +q ABC ⇒ Φ 2 − a 2 = h 2 ⇒ R ( a ) = ka (Φ 2 − a 2 ). com.000 x − 360. DÁMASO ROJAS extremos de los puntos.com.000 1684 x 2 = 1300 x 2 − 24000 x + 360000 (384 x 2 + 24.c.com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .) 330
[email protected] − 24000 x + 400 x 2 x 4 − 60 x 3 + 1684 x 2 = 1300 x 2 − 60 x 3 + x 4 − 24000 x + 360. . Siempre que :0 ≤ x ≤ 30 dw = 2/ x + 2 x − 60 ⇒ dw = x + ( x − 30 ) dx 2/ x 2 + 400 2 x 2 − 60 x + 1684 dx x 2 + 400 x 2 − 60 x + 1684 dw x x − 60 x + 1684 + ( x − 30 ) x + 400 2 2 = dx ( x 2 + 400 )( x 2 − 60 x + 1684 ) dw = 0 ⇒ x x 2 − 60 x + 1684 + ( x − 30 ) x 2 + 400 =0 dx ⎡ x x 2 − 60 x + 1684 ⎤ = ⎡ ( x − 30 ) x 2 + 400 ⎤ ⇒ x 2 ( x 2 − 60 x + 1684 ) = ( x − 30 )2 ( x 2 + 400 ) 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x 4 − 60 x 3 + 1684 x 2 = ⎡⎣ 900 − 60 x + x 2 ⎤⎦ ( x 2 + 400 ) x 4 − 60 x 3 + 1684 x 2 = 900 x 2 − 60 x 3 + x 4 + 360. MSc.000 = 0) / 192 ⇒ 2 x 2 + 125 x − 1875 = 0 ( x + 75 )( 2 x − 25 ) = 0 ⇒ x = − 75 ó x = 12.5 Como x = − 75 ∉ en [ 0. ¿Dónde se han de fijar los cables para que la cantidad de cable a emplear sea mínima? Sea W longitud del cable : W = y + z Del Triangulo 1: y 2 = x 2 + 400 ⇒ y = x 2 + 400 Ec1 Del Triángulo 2 : z 2 = ( 30 − x ) + ( 28 ) ⇒ z = ( 30 − x ) + 784 ⇒ z = x 2 − 60 x + 1684 Ec2 2 2 2 ⇒ w( x) = x 2 + 400 + x 2 − 60 x + 1684 .5 v. damasorojas8@galeon. joeldama@yahoo. 30 ] y los extremos son soluciones factibles x = (12.Química Lic. Supbase = 100(2)a 2 ⇒ Cbase = 200 a 2 Costo de la sup erficie lateral : Clat = 80 Slat = 80(6ah) ⇒ Clat = 480ah 45 CT = 200a 2 + 480ah. .lat . El largo del rectángulo $ base debe ser doble del ancho.5m. El punto C está en la misma orilla que B y 6 Km a su derecha.com.c. El cos to del tan que : CT = Cbase + Csup. damasorojas8@galeon. Una compañía de teléfonos desea 331
[email protected] m ⇒ Las dim ensiones : a = 3m.Química Lic.c. MSc.com. donde : a > 0 ⇒ T = 400a − a da a2 dCT 10800 = 0 ⇒ 400a 3 − 10800 = 0 ⇒ a = 3 ⇒ a = 3 27 = 3(v. Determina las dimensiones del recipiente para que el costo de los materiales sea mínimo. 40) Los Puntos A y B están opuestos uno al otro y separados por el mar 3 Km. h = 2. El material de la base tiene un costo de 100 y el de las $ paredes de 80 . así como el correspondiente precio del tanque. 2 = 400 + > 0 ⇒ a = 3∃ un mínimo da a da (3)3 si: a = 3 ⇒ h = 2. como :VT = 45m3 ⇒ VT = a 2ah ⇒ VT = 2a 2 h ⇒ 2a 2 h = 45 ⇒ h = 2a 2 10800 dC 10800 CT ( a ) = 200a 2 + .) da 400 2 2 d CT 21600 d CT 21600 2 = 400 + 3 ⇒ sust v.. L = 6m. El cos to del material de la base será : Cbase = 100.com. joeldama@yahoo. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . con la parte superior abierta según indica la figura. CT (3) = $5400. DÁMASO ROJAS 39) Se desea construir un tanque con forma de paralelepípedo rectangular de 45 m3 de volumen. . . ¿Qué línea de cable sería menos costosa para la compañía? AP = Cantidad de cable bajo el agua. C (4) = ( a ) ⇒ El valor menor es cuando x = 4 5 5 ⎡ ( x 2 + 9 )1/ 2 − x ( x 2 + 9 )−1/ 2 (2 x ) ⎤ ⎡ ( x 2 + 9 )1/ 2 ⎤ O también C´´( x ) = a ⎢ ⎥ ⇒ C´´( x ) = 9 a ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ( x2 + 9) ⎥ ⎦ ⎢ ( x2 + 9) ⎥ ⎣ ⎦ 9a C´´( x ) = ⇒ C´´(4) > 0 ∃ mínimo ( x 2 + 9 ) 332 damasorojas8@gmail. donde 0 ≤ x ≤ 6 Si a = cos to en . ⇒ + q ABP ⇒ AP = x 2 + 9 PC = Cantidad de cable por tierra.
[email protected]ímica Lic.c. 6 ] 2 2 2 2 39 33 C (0) = a . ⇒ PC = 6 − x P = Punto cualquiera entre BC. DÁMASO ROJAS tender un cable de A a C.
[email protected]. Si el costo por km de cable es 25% más caro bajo el agua que en tierra. 25 b b 5b 4a a=b+ ⇒ a =b+ ⇒ a = ⇒b = 100 4 4 5 El cos to de cable bajo el agua : a x 2 + 9. C (6) = 3a 5 . El cos to de cable por tierra : b ( 6 − x ) 4a El cos to total : C ( x) = a x 2 + 9 + b ( 6 − x ) ⇒ C ( x) = a x 2 + 9 + (6 − x) 5 ⎡ 2/ x 4 ⎤ ⎡ 5x − 4 x2 + 9 ⎤ C´( x) = a ⎢ − ⎥ ⇒ C´( x) = a ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2/ x 2 + 9 5 ⎥ ⎦ ⎢⎣ 5 x 2 + 9 ⎥⎦ C´( x ) = 0 ⇒ 5 x − 4 x 2 + 9 = 0 ⇒ [5 x ] = ⎡ 4 x 2 + 9 ⎤ ⇒ 25 x 2 = 16 ( x 2 + 9 ) 2 2 ⎣ ⎦ 25 x = 16 x + 144 ⇒ 9 x = 144 ⇒ x = 16 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = 4 (v.com.) ∈ [ 0. De cada km de cable bajo tierra b = cos to en Bs.com. MSc. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . De cada km de cable por tierra. com. usando para ello una base de cobre y lados de hojalata. h la altura de la parte cilindrica.Química Lic. si el cobre 333 damasorojas8@gmail. joeldama@yahoo. v. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com. El costo de construcción por m2 es doble en la bóveda que en la parte cilíndrica. Sup. de forma que el costo de construcción sea mínimo. Costo de boveda : 2 A( m$2 ) ⇒ CT = 2π RhA + 2π R2 (2 A) ⇒ CT = 2π AR(2R + h) 2π R3 V− 4π R3 3 ⇒ h = 3v − 2π R 3 si V es volumen dado : V = π R2h + ⇒h = 6 π R2 3π R2 4π R3 + 3V dCT ⎛ 8π R3 − 3v ⎞ dCT 3V CT (R) = 2 A( )⇒ = 2 A⎜ ⎟⇒ = 0 ⇒ −3V + 8π R3 = 0 ⇒ R = 3 (v.com. Encuentra las dimensiones h y Ø del silo de volumen V dado.c. boveda = 2π R2 Costo de Sup lateral : A ( m$2 ). lateral = 2π Rh. > 0 ∃(mínimo) dR2 ⎝ 3R3 ⎠ dR 2 2 2 3V V − π R3 V− π Como φ = 2R ⇒ φ = 3 3V ⇒ h= 3 ⇒h= 3 8π π π R2 9V 2 π3 64π 2 42) Se va a construir un calentador para agua en el forma de un cilindro circular recto con eje vertical.c. Sup. DÁMASO ROJAS 41) Se desea construir un silo de forma cilíndrica rematado por una bóveda semiesférica. Sea : R radio de la base. MSc.) 3R dR ⎝ 3R 2 ⎠ dR 8π d 2CT ⎛ 4 A(4π R3 + 3v) ⎞ d 2CT = ⎜ ⎟ ⇒ sust. . damasorojas8@galeon. c. DÁMASO ROJAS cuesta 5 veces lo que la hojalata.V = Volumen. h ⇒C(r) =10aπ r 2 + 2 aπ r ⎜ 2 ⎟ ⇒ C(r) =10aπ r2 + 2a ⎜ ⎟ ⇒ C(r) = 2a ⎢5π r2 + ⎥ ⎝π r ⎠ ⎝r⎠ ⎣ r⎦ ⎡ V⎤ ⎡10π r3 −V ⎤ V C´(r) = 2a ⎢10π r − 2 ⎥ ⇒C´(r) = 2a ⎢ ⎥ ⇒ si : C´(r) = 0 ⇒10π r3 −V = 0 ⇒ r = 3 3 (v. Calcule la razón se la altura al radio r. ⇒ C´´ ⎡ 3 10Vπ ⎤ = 4a ⎢5π + ⎥ ⎣ r ⎦ ⎣ r ⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ( 3 10Vπ )3/ ⎥⎦ ⎡ 10πV ⎤ C´´ ⎡ 3 10Vπ ⎤ = 4a ⎢5π + ⎥ ⇒ C´´ ⎡ 3 10Vπ ⎤ = 4a[15π ] ⇒ C´´ ⎡ 3 10Vπ ⎤ = 60π a > 0∴∃ mínimo. Admitiendo que el costo de alambrado es proporcional a la longitud a alambrar. damasorojas8@galeon. MSc. acírculo =π r 2 . dimensionar el rectángulo para que el costo de alambramiento sea mínimo. joeldama@yahoo. Clados (hojalata) = a[ 2π rh] ⇒ CT = 5 a ⎡⎣2π r2 ⎤⎦ + a[ 2π rh] ⎛ V ⎞ ⎛V ⎞ ⎡ V⎤ sust.com. del cilindro ⇒V =π r2h ⇒ h = π r2 CT = Ctapas + Clados ⇒ si : acilindro = 2π r h. Se supone que no se alambra sobre la ribera. h = Altura . Recuerda que 334
[email protected]. v.c. V Sean : r = Radio .) ⎣ r ⎦ 2 ⎣ r ⎦ r ⎡ 2V ⎤ ⎡ V⎤ ⎡ V ⎤ C´´(r) = 2a ⎢10π + 3 ⎥ ⇒ C´´(r) = 4a ⎢5π + 3 ⎥ ⇒ sust. que hará que el costo sea mínimo cuando el volumen V es constante.Química Lic. . ⎣ ⎦ ⎣ V ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ V si :r = 3 10Vπ ⇒h = ( ) 2 π 3 V 10π 43) Sobre la ribera de un río cuya orilla se supone rectilínea se desea alambrar una superficie rectangular de 10 hectáreas. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . además a el Costo del material C tapas (cobre) = 5 a ⎡⎣2π r2 ⎤⎦ . el alambrado debe tener 5 hilos. joeldama@yahoo. ⇒ Ltotal = 4472 m y el cos to total de alambre es de U $S 156. A A Sea : L a su longitud (m) ⇒ L = x + 2 y. . h = 2a cosθ ⇒ S = 2π ( asenθ )( 2a cosθ ) ⇒ S (θ ) = 4π a2 ( senθ cos θ ) . π2 ) 335
[email protected]. DÁMASO ROJAS 1 hectárea = 10. h : altura S : S = 2π rh : áreas de la sup erficie lateral del cilindro. y ≅ 223.40 m 2 Además. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . damasorojas8@galeon. 20 m.60 m.com.Química Lic. De la figura : r = asenθ .com. x ≥ 0 x x dL 2 A dL x2 − 2 A dL = 1− 2 ⇒ = ⇒ = 0 ⇒ x = 2 A(v. r : radio del cilindro.c.(v.com.000 m vale U$S 35. Calcula además el costo del alambre necesario. Calcular la razón de la altura del radio de la base del cilindro que tenga la mayor área de superficie lateral. y A el área ⇒ A = xy ⇒ y = ⇒ L( x) = x + . 44) Un cilindro circular recto va a ser inscrito en una esfera con determinado radio.) ⇒ 2 > 0 ⇒ ∃ mínimo ⇒ si : x = 2 A ⇒ y = = dx x dx 2A 2 como : 1 Hectaria = 10000 m ⇒ x ≅ 447.) dx x dx x2 dx d 2L 4A d 2L A 2A 2 = 3 ⇒ sust. Sean : θ el ángulo al centro de las esferas.52. Dom ( 0. MSc.000 m2. L = 894. Si el alambrado se construye con 5 hilos y el rollo de 1. Química Lic. Los lados del rectángulo exterior : ( x + 2a) e ( y + 2b) y su área S : S = ( x + 2a )( y + 2b ) A ⎛A ⎞ además : A = xy ⇒ y = ⇒ S ( x) = ( x + 2a ) ⎜ + 2b ⎟ . h = 2a cos( π4 ) ⇒ h = 2a2 2 ⇒ h = a 2 ⇒ = 2(razón buscada) r 45) Una fábrica necesita una superficie de piso de forma rectangular y área A m2 para carga de materiales. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . damasorojas8@galeon. 2 = > 0 ⇒ ∃ mínimo ⇒ si : x = ⇒y= A dx x dx ( aAb )3 b a se deduce que : si (a = b) el rectángulo de c arg a y el rectángulo exterior serán cuadrados. de área A.com. Dimensiona el rectángulo de carga para que la superficie rectangular exterior necesaria sea mínima. b : los espesores de las paredes.c.c. sust . = −8π a2 < 0 ∃ máximo dθ 2 dθ 2 dθ 2 h r = asen( π4 ) ⇒ r = a 2 2 . Donde : x > 0 x ⎝x ⎠ dS ⎛ A ⎞ ⎛ A ⎞ dS 2bx − 2aA dS 2 aA = ⎜ + 2b ⎟ + ( x + 2a ) ⎜ − 2 ⎟ ⇒ = ⇒ =0⇒ x = (v.
[email protected]. v. v.) dx ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ dx x 2 dx b d 2 S 4aA d 2S 4aA aA b 2 = 3 ⇒ sust . π2 ) dθ dθ 2 d S d2 S d2 S = −16 π a 2 senθ cos θ ⇒ = − 8 π a 2 sen 2θ . . a.com. DÁMASO ROJAS dS dS = 4π a2 (2cos2 θ − 1) ⇒ = 0 ⇒ 2cos2 θ − 1 = 0 ⇒ θ = π4 (v.) ∈ Dom ( 0. MSc.c. Sea : x e y los lados del rectángulo. Para cerrar esa superficie se construirán paredes de espesores fijos de a metros y b metros como indica la figura. 336
[email protected]. . h = (v.com. MSc. π r 2h V = volumen del cono 3 El cono de volumen maximo debe tener su base en la semiesfera inferior pues todo cono tiene otro con base simetrica respecto al plano diametral de la esfera ^AC. 2R] Del triángulo OCB ⇒ R2 = ( h − R ) + r 2 ⇒ r 2 = R2 − ( h − R ) ⇒ r 2 = 2hR − h2 2 2 π π V (h) = ⎡⎣2hR − h2 ⎤⎦ h ⇒ V (h) = ( 2Rh2 − h3 ) . En el sistema (XOY) indica. encuentra la altura máxima (hmáx) que alcanza el proyectil.c. 2 = ( 4R − 6( 43R ) ) < 0∃ máximo ⇒ si : h = ⇒r = dh 3 dh 3 3 3 47) Se lanza un proyectil en el vacio desde un punto 0 (ver figura) con velocidad Vo y ángulo de inclinación θ.
[email protected] a) Para Vo y θ . DÁMASO ROJAS 46) Encuentra las dimensiones r y h del cono recto de base circular de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio R dado. b) Calcula el 337 damasorojas8@gmail. lo que permite variar h en [R .Química Lic. dadas. Donde : R ≤ h ≤ 2R 3 3 dV π = ( 4Rh − 3h2 ) ⇒ si : dV 4R = 0 ⇒ h = 0.com.com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . a la función: Y(x) = .) dh 3 dh 3 d 2V π d 2V π 4R 2R 2 2 = ( 4 R − 6h ) ⇒ sust v.c. la trayectoria del proyectil responde . . en la semiesfera superior. pero de menor altura. joeldama@yahoo. 0 ≤ θ ≤ . g = 9. . damasorojas8@galeon. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . ⇒ 2 = =− < 0 ⇒ ∃ máximo dθ 2 g dθ g g π en :θ = 4 48) Un tanque de 2 m.com. . Siendo v0 y θ const 2V cos θ o 22 2 dy −g dy g Vo2 (senθ cosθ ) = x + tgθ ⇒ = 0 ⇒ 2 2 x = tgθ ⇒ x = dx Vo2 cos2 θ dx Vo cos θ g d2y −g = 2 2 < 0 ⇒ ∃ máximo dx Vo cos θ 2 −g ⎛ Vo4 sen2θ cos2 θ ⎞ ⎛ Vo2 senθ cosθ ⎞ Vo2 sen2θ ymá x = ⎜ ⎟ + tg θ ⎜ ⎟ ⇒ y = 2Vo2 cos2 θ ⎝ má x g2 ⎠ ⎝ g ⎠ 2g V2 π b)Sea L alcance ⇒ L = 2x ⇒ L = 2(Vgo senθ cosθ ) ⇒ L(θ ) = o sen ( 2θ ) .) dθ g dθ g dθ 4 d 2 L −4Vo s en ( 2θ ) d 2 L −4Vo s en ( 2( π4 ) ) 2 2 4Vo2 = ⇒ sust. Donde Vo es la velocidad del chorro a la salida del orificio y g la aceleración de la gravedad. Sabiendo que Vo = . . MSc.c. DÁMASO ROJAS alcance L del proyectil y suponiendo Vo constante.c. indicando el valor θo que da máximo alcance. de altura apoyado en el piso se mantiene lleno de agua mientras que por un orificio practicado en una de sus paredes escapa un chorro que golpea el piso en el punto A.com. 0 ≤ θ ≤ . Para : 0 ≤ θ ≤ 2 g 2 dL 2Vo cos ( 2θ ) π 2 dL Vo2 dL = cos ( 2θ ) 2 ⇒ = ⇒ si : = 0 ⇒ cos ( 2θ ) = 0 ⇒ θ = (v. joeldama@yahoo. .Química Lic.com. se pide que determines la profundidad h a que 338 damasorojas8@gmail. v. . a una distancia x de la pared. −g π a) y ( x ) = x2 + ( tgθ ) x. Admite que el chorro tiene forma parabólica y que en el sistema (XY) indicado su ecuación es: Y = . ) dh h(2 − h) dh d 2x −2 2 = < 0 ⇒ en h = 1∃ máximo ⇒ x ( h ) = 2 2h − h 2 ⇒ x = 2 dh (h(2 − h)) 3 49) Considera una circunferencia de radio R dado.Química Lic. DÁMASO ROJAS debe encontrarse el orificio para que el chorro golpee el piso a máxima distancia del tanque. a) Calcula el perímetro de los triángulos en función del ángulo θ.c. Del : + OMB : ( MOB = 2θ ( ángulo central e inscrito correspondientes ) ⇒ MB = R sen ( 2θ ) ⇒ AB = 2( R sen (2θ )) 339 damasorojas8@gmail. damasorojas8@galeon. . Se inscriben en ella triángulos isósceles ABC. de la Fig.com.com. MSc. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . joeldama@yahoo. b) Halla el triangulo de perímetro máximo.com. gx 2 gx 2 Dada : y = . el punto Aes : A ( x. 0 ≤ h ≤ 2 dx 2(1 − h) dx = ⇒ si = 0 ⇒ h = 1(v. a. 2 − h) ⇒ 2 − h = 2Vo2 2Vo2 gx 2 x2 la velocidad de salida del líquido (V0 ) : V 2 0 = 2 gh ⇒ 2 − h = ⇒ 2−h = 2(2 gh) 4h x 2 = 4h ( 2 − h ) ⇒ x ( h ) = 2 2h − h 2 Donde : x ≥ 0.) sea p el perimetro + ABC. c. Como los puntos dados satisfacen la ecuación dada y usando la última relación obtenida.com.c. esta expresada por la relación: P = . o b = c.Química Lic. De aquí.com.c. a = 0. a(b − c ) = 0.) dθ dθ 2 1± 1+ 8 = 4R ( −2sen2θ − sen θ +1) . si dp dp = 0 ⇒ −2sen2θ − sen θ +1 = 0 ⇒ sen θ = dθ dθ −4 1 π π senθ = ⇒θ = (v.com.) en 0 ≤ θ ≤ 2 6 2 2 2 d p d p = −12R cosθ ⇒ sust. 2 = −12R cos ( π6 ) = −6R 3 < 0 ⇒∃máximo dθ 2 dθ p ( π6 ) = 4R cos ( π6 ) ( sen ( π6 ) +1) = 3 3R ⇒ El triángulo es equilátero. 2 = < 0 ⇒ ∃ máximo ⇒ Pm á x = (R + r) ( R + R) 4 4 dR 2 dR 4R ax 51) Determine los valores de las constantes a. DÁMASO ROJAS MB Rsen (2θ ) 2Rsen(2θ ) ( CMB : BC= = ⇒ BC = ⇒ BC= 2R cos(θ ) sen θ sen θ sen θ p (θ ) = 2Rsen(2θ ) + 2(2R cosθ ) ⇒ p (θ ) = 2R ( sen(2θ ) + 2cosθ ) ⇒ p (θ ) = 4R cosθ (1+ senθ ) π = 4R ⎡⎣−sen θ ( senθ +1) + cosθ cosθ ⎤⎦ ⇒ = 4R ( cos2 θ − sen2θ − sen θ ) Para : 0 ≤ θ ≤ dp dp b. se tiene: 340 damasorojas8@gmail. MSc. 12 ) La derivada correspondiente a la función objeto de estudio está dada por: y´= ( a b − cx 2 ). esto es. b. (b + cx ) 2 2 La existencia de extremos relativos en x = ± 1 indica que en este par de valores y´= 0. Determine el valor de R en función de r para que la potencia sea máxima.2 ( R + r ) ⎤ dP 2 ( − R + r ) 2 Rε 2 2 2 P( R) = ⇒ =ε ⎢ ⎥⇒ =ε (R + r) (R + r) (R+ r) 2 4 4 dR ⎢⎣ ⎥⎦ dR dP = 0 ⇒ − R 2 + r 2 = 0 ⇒ R = r (v. − 12 ) y (1. damasorojas8@galeon. R y r en Ω. y c para la curva y = presente b + cx 2 extremos relativos en (1.v. dP 2 ⎡ ( R + r ) − R . en esas condiciones la potencia P disipada por la resistencia R .) dR d 2 P 2ε ( R − 2 r ) d 2 P 2ε ( R − 2 R ) ε2 2 2 = ⇒ sust. .
[email protected]. V en voltios. De acá sólo es admisible b = c. v. 50) Un generador de fuerza electromotriz constante ε y resistencia interna r se conecta a una resistencia de carga R. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . b+c 2 2b 2 De esta forma. [0. a) Se desea saber cual es el recorrido que debe realizar el conducto para que el tiempo empleado en ir desde A hasta B sea mínimo.Química Lic.com. v. t AN = . t NB = ⇒ t ( x) = + .) El tiempo de recorrido sera : t = 1h 16m 341 damasorojas8@gmail. .) v2 − v1 2 1 1 v2 − v1 2 2 (100) 2 − (80) 2 d 2t d2 d 2t = ⇒ sust .c. MN = d MN = x.c. es irrelevante el valor de a.com. si a = b = c. Por lo tanto.com. DÁMASO ROJAS a 1 a 1 − =− ⇒ = ⇒ a = b. > 0 ⇒ ∃ mínimo en x = 48 dx 2 v1 ( d 2 + x 2 )3 dx 2 b.
[email protected]. d AM = d = 36km Del ( AMN : d AN = d 2 + x 2 d 2 + x2 100 − x d 2 + x 2 100 − x Por M . 52) Un vehículo debe trasladarse desde el punto A hasta el punto B de la figura. Sobre la carretera el vehículo puede desarrollar una velocidad de 100 . joeldama@yahoo. NB = d NB = 100 − x. b) Calcula ese tiempo.100] v1 v2 v1 v2 dt x 1 dt x 1 = − ⇒ =0 ⇒ − = 0 ⇒ v2 x = v1 d 2 + x 2 dx v1 d + x 2 2 v2 dx v1 d + x 2 2 v2 d 2 v12 ± dv1 (36)(80) v x −v x = d v ⇒ x = 2 2 ⇒ x = 2 2 2 2 2 2 ⇒x= 2 ⇒ x = 48(v. lo verdaderamente importante es la relación obtenida entre las constantes. v2 = 100 kmh rapidez en la carretera. sea : v1 = 80 kmh rapidez en el terreno. El punto A dista 36 Km de una carretera rectilínea. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . MSc. mientras que sobre el terreno puede desarrollar una velocidad de 80 . la ecuación en cuestión se puede escribir como ax ax x y= = = a + ax 2 a 1 + x2 ( ) 1 + x2 .U . Química Lic.c. R − {0}. b) calcular los radios de las circunferencias para que el área sombreada sea mínima. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .) Como los círculos de centros A y C son de igual radio x. DÁMASO ROJAS a 53) Demuestre que la curva de ecuación y = − x 2 no tiene mínimo relativo para x ningún valor de a. damasorojas8@galeon. de él se toman los centros de tres circunferencias de forma que los radios de las que tienen centros en vértices consecutivos. la mitad de la diagonal del cuadrado. c) calcula dicha área. ⇒ y " = ⎣ 2a y" = 3 − 2⇒ y" = 3 = − 6 < 0 ⇒ máximoen x = 3 x x a 2 − 2 54) Se considera un cuadrado de lado 1 m. . El dominio de la curva está dado por.com. MSc. 2L 2 siendo el lado L del cuadrado de 1m :⇒ xmáx = ⇒ xmáx = m 2 2 342
[email protected]) 3 x 2 ⎡ ⎛ a ⎞⎤ 2 ⎢a − ⎜ − ⎟⎥ 2(a − x ) 3 ⎝ 2 ⎠⎦ −a ⇒ sust v. joeldama@yahoo. el máximo valor para que aquellos no se solapen será.com. De donde existe una asíntota vertical en 0. a. a) Encuentra los valores extremos de los radios de forma que los cuadrantes de círculo sombreados no se solapen. − ( a + 2 x3 ) −a y´ = 2 ⇒ si y´= 0 ⇒ a + 2 x3 = 0 ⇒ x = (v. En tres vértices consecutivos. sumen 1 m.com. 2 2 sustituyendo los valores calculados en (3) y luego en (1). sigue: 3a + b + c = − (5). Usando los hechos de que los puntos dados satisfacen la ecuación de la curva y que y ´ = 0 en x = − 1 y x = 2. se tiene: c = − 6.) dx 4 dx 3 d 2 A 6π d 2 A 3π 1 2 = ⇒ 2 = > 0 ⇒ ∃ mínimo en x = dx 4 dx 2 3 π c. ⎧ 11 ⎫ ⎪− a + b − + d = 2 (1) ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨8a + 4b + 2c + d = − 8 (2) ⎪⎬ ⎪3a − 2b + c = 0 (3) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩12a + 4b + c = 0 (4)⎪⎭ 9 Haciendo (2)‐(1). c y d sabiendo que la curva de ecuación y = ax 3 + bx 2 + cx + d tiene extremos relativos en ( −1. 11 2 ) y ( 2. La escalera se apoyara también sobre la cerca.com. se tiene el sistema de ecuaciones.50 m de altura. d = 2.com. DÁMASO ROJAS b.) área mínima será Amin = 6 55) Calcule los valores de las constantes a.com. queda: 2 9 3 3b = − ⇒ b = − . 2 2 ⎤ ⎦ 4 2 4 4 dA π dA 1 = ( 6x − 2) ⇒ = 0 ⇒ 6 x − 2 = 0 ⇒ x = (v. MSc.Química Lic. a partir de (4)‐(3). − 8) . de distancia corre una cerca de 1. De (5)‐(3).c.) El área a considerar se compone de dos cuadrantes de círculo de radio x y un ⎛ π x2 ⎞ 1 cuadrante de radio 1 − x ⇒ A( x ) = 2 ⎜ ⎟ + π (1 − x ) 2 ⎝ 4 ⎠ 4 3π x 2 π x π π A( x) = − + ⇒ A( x) = ( 3 x 2 − 2 x + 1) . De y = ax 3 + bx 2 + cx + d ⇒ y´ = 3ax 2 + 2bx + c. damasorojas8@galeon. a) Calcula la longitud mínima que deberá tener la escalera para cumplir con las condiciones 343 damasorojas8@gmail. joeldama@yahoo. Paralelamente a la pared del galpón y a 1 m. obtenemos: 3a + 2b = 0 ⇒ a = 1. b. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . ⎡⎣0. . 55) Se desea colocar una escalera apoyada en el suelo y en la pared de un galpón como se muestra en la figura. 344 damasorojas8@gmail. Resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com. b = −1.5 +tgθ ) cosθ 2 = 0 ⇒ (1 + tg 2θ ) senθ = (1. resulta: a = 3.42 (a + .85 rad ≅ 49º (v.65 m 1.) Del ( ABD La altura " y " es : y = Lsenθ ≅ 2.5 + tgθ ) cosθ dL = ⇒ dθ sen θ 2 dθ (1 + tg θ ) tgθ = tgθ + 1. DÁMASO ROJAS pedidas (se sugiere expresar la longitud de la escalera en función del ángulo que la misma forma con el piso). Del ( ABD : cosθ = ⇒L= x L cos θ 1 + tgθ 1. 2 3 4 .b = 23 4 ⇒ 3 2.com.Química Lic.) Del ( ECD "x " es : x = ≅ 1. A partir de las coordenadas del punto dado. > 0 ⇒ ∃ mínimo ⇒ Lmin ≅ 3.4 2 a + 43 . 3 3 Como en x = 4.com.51 m dθ 2 2sen3θ cos3 θ dθ 2 b.5 c.5 ⇒ tg θ = 1. b) ¿A que altura de la pared del galpón apoyara la escalera? c) ¿A que distancia de la cerca apoyara la escalera sobre el suelo? 1. 4(a + 2b ) = 23 4 ⇒ a + 2b = 1.5 1. se tiene: 2. donde además existe la primera derivada. sigue : a + 3b = 0.) d 2 L 3cos5 θ + 3cos3 θ + 2sen5θ + 2sen3θ d 2L = ⇒ sust v. .5 = 1.5(tgθ ). asumiendo que la ( ) curva en cuestión tiene un extremo relativo en 4.c. y´ = 0.5 1+ x 1+ x Del ( ECD : tgθ = ⇒ x = 1.
[email protected]. 0 < θ < π2 cos θ senθ dL ( sec θ ) senθ − (1.5 ⇒ θ = Arctg 2 3 3 1.5 + tgθ L= ⇒L= .30 m tgθ 56) Determine los valores de a y b en la ecuación y = 3 2ax 2 + bx 3 . MSc.14 ⇒ θ ≅ 0. joeldama@yahoo. 2b ) = 2 4 ⇒ 3 23 . y estos 12a 12a posibles puntos de inflexión existen si 3b 2 − 8ac ≥ 0. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .) Dado que el voltaje Vo es cons tan te. . joeldama@yahoo. damasorojas8@galeon. ) La posibilidad de puntos de inflexión se asocia a y" = 0. Donde Z es la impedancia del circuito y vale: Z = a) Expresa Io como función de . (El valor que hallaras se conoce como “Frecuencia de resonancia”) 2 V ⎛ 1 ⎞ Vo a. al que se le aplica un voltaje V(t) de variación sinusoidal dada por la expresión: La intensidad I de la corriente que circula por el circuito viene dada por la expresión . DÁMASO ROJAS 57) ¿Cuál es la relación que debe existir entre los coeficientes a. MSc.com. halla el valor de que corresponde al máximo valor de Io.) I o = o . n verifique que: a) f tiene un valor mínimo relativo en x = 0. para max imizar Io bastará min imizar el 1 1 1 1 1 deno min ador ⇒ Lω = ⇒ Cω 2 = ⇒ ω2 = ⇒ω = ⇒ω = Cω L LC LC LC 2 ⎛ 1 ⎞ Z (ω ) = R + ⎜ Lω − 2 ⎟ ω > 0 Z min = R = R 2 ⎝ Cω ⎠ 59) Dada f ( x ) = x m (1 − x ) donde m y n son enteros positivos mayores que 1.com. b. como : Z = R + ⎜ Lω − ⎟ ⇒ I o (ω ) = 2 Z ⎝ Cω ⎠ ⎛ 1 ⎞ 2 R + ⎜ Lω − ⎟ 2 ⎝ Cω ⎠ b. b) Suponiendo que la función angular de la fuente puede variarse.Química Lic. b) f tiene un valor 345 damasorojas8@gmail. 58) Se considera un circuito serie R–L–C. El valor máximo Io esta dado por la expresión: Io = . y c para que la curva y = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e pueda tener puntos de inflexión? y´ = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d ⇒ ( y" = 12ax 2 + 6bx + 2c = 2 6ax 2 + 3bx + c . − 3b ± 9b 2 − 24ac − 3b ± 3b 2 − 8ac 6ax + 3bx + c = 0 ⇒ x = 2 = . esto es. si m es par.com. com. f ´ = ( x ) = 0. Además.Química Lic. MSc.20 m x 3 m. 1 entonces m − 1 > 0. Se desea construir con ella un bebedero para animales procediendo a doblar la chapa como indica la figura. como m y n m+n m son enteros positivos mayores que. podemos construir la siguiente tabla. f ´ = mx m −1 (1 − x ) + x m n (1 − x ) n n −1 (− 1)= x m −1 (1 − x )n −1[m(1− x ) − nx ]= x m −1 (1 − x )n −1[m − (m + n )x ] Como puede observarse. si x = 0.0) m 0 < x < m + n + f es creciente m ⎛ m ⎞ mm nn ⎛ m mm nn ⎞ x= f⎜ ⎟= ⎜ Máx. siendo m y n pares o impares.0) x > 1 + f es creciente 60) Se dispone de una chapa metálica de forma rectangular de 1. (1. n −1 > 0. con un resumen correspondiente a la gráfica en cuestión. (0. Intervalos f f´ Conclusión x < 0 ‐ f es decreciente x = 0 f (0) = 0 Mín. . x = m . 0 < < 1. damasorojas8@galeon. ⎜ . ⎟ ⎝ m + n ⎠ (m + n ) m +n ⎟ m+n m + n ⎝ m + m (m + n ) ⎠ m ‐ f es decreciente < x < 1 m+n x = 1 f (1) = 0 Mín. joeldama@yahoo. para formar la superficie lateral y el fondo.com. x = 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com. c) f tiene un valor mínimo m+n relativo en x = 1. De m +n aquí. si n es par. DÁMASO ROJAS m máximo relativo en x = . Las bases se confeccionan de 346 damasorojas8@gmail. 80cos θ ) ⇒ sust. DÁMASO ROJAS madera dura.40 senθ ) ⇒ S (θ ) = ( 0.40) senθ . senθ = ⇒ h = (0.40 0. .40 + ( 0.16cos θ ) senθ 2 Sea : V volumen del bebedero ⇒ V = SL ⇒ pero : L = 3m ⇒ π V (θ ) = 3 ( 0. MSc.c.com.40 0. damasorojas8@galeon. 3 b.40 + ( 0.Química Lic. cosθ = ⇒ a = 0.16 ) ⎢⎣− sen2θ + cosθ + cos2 θ ⎥⎦ dθ dθ −1 ± 9 = 0.16cosθ ) senθ ( m3 ) . INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . Para : 0 ≤ θ ≤ 2 dV dV = 3 ⎢⎣−0. joeldama@yahoo. a) Determina el ángulo θ para que el volumen del bebedero sea máximo.16 + 0.16 + 0. S (θ ) = (0.c .40 + 2a ) a. ⇒ = = <0 dθ 2 25 dθ 2 25 25 π ⇒ ∃ máximo en θ = 3 ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ π ⎟ = 3 ⎜ 0.) en 0 ≤ θ ≤ 2 ⎝2⎠ 3 2 d 2V − 12 senθ (4 cos θ + 1) d 2V − 12 sen ( π3 )(4 cos( π3 ) + 1) − 18 3 = ⇒ sust v .16 sen2θ + ( 0.com.40 cos θ 0.16 + 0.623m ≅ 623 lt .40 + 0.) V ⎜ ⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 347 damasorojas8@gmail. b) Calcula dicho volumen en litros.16 + 0. 0.16 cos θ ) cos θ ⎥⎦ ⇒ = 3 ( 0.48 ( 2 cos 2 θ + cos 2 θ − 1) si dV dV = 0 ⇒ 2 cos 2 θ + cos θ − 1 = 0 ⇒ cos θ = dθ dθ 4 1 ⎛1⎞ π π cos θ = ⇒ θ = Arc cos ⎜ ⎟ ⇒ θ = ( v.) Superficie del trapecio base es : S = h 2 h a De la fig.com.16 cos ⎟ sen ≅ 0. Química Lic. Si dos focos luminosos se encuentran a una distancia L y tienen intensidades I1 e I2. . 4a ‐ b = 0. KI1 KI 2 ⎛I I ⎞ dE ⎛ −2 I −2 I dy ⎞ E = 2 + 2 ⇒ E = K ⎜ 12 + 22 ⎟ ⇒ = k ⎜ 3 1 + 3 2 ( )⎟ x y ⎝x y ⎠ dx ⎝ x y dx ⎠ dy dE ⎛ I I ⎞ además : L = x + y ⇒ y = L − x ⇒ = −1 ⇒ = 2k ⎜ − 13 + 23 ⎟ dx dx ⎝ x y ⎠ 348 damasorojas8@gmail. MSc. ( ) 2(2ax − b ) ax + bx ⇒ y" = ax 3 − bx 3 = − x 3 (2ax − b ) = 4 13 1 − 23 4 −2 2 −5 2 −5 y´= La 3 3 9 9 9 93 x 5 ecuación dada de la curva puede escribirse como: y = x 3 (ax + b ) = 3 x (ax + b ). 62) La intensidad de iluminación E en luz que produce un foco luminoso puntual en cualquier punto es directamente proporcional a la intensidad del foco I en candelas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia d al foco expresada en metros. DÁMASO ROJAS 4 1 61) Determine los valores de a y b en la ecuación y = ax 3 + bx 3 si la gráfica correspondiente presenta un punto de inflexión en 2. .com. Como el 1 punto satisface la ecuación la ecuación de la curva. 6 3 2 . se tiene. sigue: a = 1.com. es decir. joeldama@yahoo. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . Se supondrá que la iluminación en cualquier punto es la suma de las iluminaciones producidas por cada foco.com. en x = 2. y" = 0. 3 2 (2a + b ) = 63 2 ⇒ 2 a + b = 6. Como la gráfica tiene un punto de inflexión en el punto dado. b = 4. damasorojas8@galeon. Resolviendo el sistema planteado. Halla el punto del segmento que los une donde la iluminación sea mínima. determine a.1) los lleva a: 6a + 2b = 3a + b = 0. d = 3. Como < 1 el valor de x hallado corresponde a un mínimo. Se desea ubicar sobre la orilla una bomba para alimentar de agua a los tanques mediante tuberías rectilíneas PA y PB. MSc.com. I I 1+ 3 2 1+ 3 2 I1 I1 63) Si f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d .com. c y d si se sabe que la gráfica de f tiene un mínimo relativo en (2. a + b + c + d = 1 La existencia de un extremo relativo en (2. De igual manera la existencia de un punto de inflexión en (1. b.com. se encuentran ubicados a un mismo lado de la orilla rectilínea de un río y a una distancia de este de a Km y b Km respectivamente. DÁMASO ROJAS dE ⎛ −I I ⎞ I I I si : = 0 ⇒ ⎜ 31 + 23 ⎟ = 0 ⇒ x 3 = 2 y 3 ⇒ x = y 3 2 ⇒ x = ( L − x ) 3 2 dx ⎝ x y ⎠ I1 I1 I1 I2 I2 3 3 I1 I1 x = L. Demuestra que la longitud de tubería será mínima cuando se cumpla que: θ1 = θ2 (Admite que el punto crítico que encontraras corresponde a un mínimo) 349 damasorojas8@gmail. se tienen las ecuaciones.Química Lic.‐1) y un punto de inflexión en (1. joeldama@yahoo. 8a + 4b + 2c + d = −1. Como los puntos dados satisfacen la ecuación de la curva.1). entonces. . 64) Dos tanques A y B situados entre si a una distancia de d Km. damasorojas8@galeon. c = 0. ‐1) implica que: 12a + 4b + c = 0. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . b = ‐3. f ´( x ) = 3ax 2 + 2bx + c ⇒ f " ( x ) = 6ax + 2b. el sistema conformado por estas ecuaciones admite la solución: a = 1. n ∈ Z . n = 2k. k ∈ Z.
[email protected]. k ∈ Z. En tal caso. Así. . f ´( x ) = cos x ⇒ f ´( x ) = 0. k ∈ Z . se tomó 2 x = 2kπ . los valores : = cos θ1 − cos θ 2 ⇒ si : = 0 ⇒ cos θ1 − cos θ 2 = 0 ⇒ cos θ1 = cos θ 2 dx dx π Como θ1 y θ 2 ≤ ⇒ la igualdad implica : θ1 = θ 2 . cos x = 0. cos θ 2 = ⇒ ( k − x ) = cos θ 2 (k − x) + b2 2 2 (k − x) + b2 2 L ( x ) = x2 + a2 + dL x ( k − x) −1 (k − x) + b 2 . MSc. k ∈ Z .com. cos θ1 = ⇒ x = cos θ1 x 2 + a 2 x2 + a2 (k − x) Del ( BB1 P d BP = (k − x) + b 2 . del ( AA1 P : d AP = x 2 + a 2 . DÁMASO ROJAS Sea : Ltotal la longitud total ⇒ Ltotal = PA + PB x De la fig . con las cuales vamos a estudiar la posibilidad de existencia de extremos relativos usando el criterio de la primera derivada. se tienen 2 tipos de números críticos dados por las dos últimas expresiones. para : 0 ≤ x ≤ k ⇒ = + 2 dx x2 + a2 ( k − x ) + b2 2 dL dL sust. entonces x = (4k + 1) . x = (4k + 3) . 2 Es decir. damasorojas8@galeon. Para estudiar los signos de la primera derivada a la izquierda y a la derecha de los π números críticos se siguió el siguiente proceso: En la región x < (4k + 1) . Si n es impar. Si n es 2 π par. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . los números críticos son: π 3π 5π x=± . Ahora bien. Explique.Química Lic. 2 65) De un ejemplo de una función que tenga infinitos extremos relativos e infinitos puntos de inflexión a lo largo de todo su dominio. cuyo dominio es R. Estos números críticos pueden escribirse en forma general 2 2 2 π como: x = (2n + 1) . Consideremos f ( x ) = sen x. el entero n puede ser par o impar.± . 350
[email protected]. para tener cos(2kπ ) = 1 > 0. " .± . 2 π n = 2k + 1. se tiene. DÁMASO ROJAS π π En (4k + 1) < x < (4k + 3) . donde efectivamente se muestra la existencia de infinitos extremos relativos.Química Lic. se tomó x = (2k + 1)π .com. 3π . respectivamente. 2π . f ⎜ . con lo cual. (nπ . 2 π π Al evaluar la función en x = (4k + 1) y x = (4k + 3) . . MSc. cos(2k + 1)π = − 1 < 0. damasorojas8@galeon. " . 1⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ (4k + 1) π < x < (4k + 3) π 2 2 ‐ f es decreciente π ⎛ (4k + 3)π ⎞ ⎛ (4k + 1)π ⎞ x = (4k + 3) f⎜ ⎟ = −1 Mín. joeldama@yahoo. De esta forma podemos conformar la tabla siguiente que muestra la existencia de infinitos puntos de inflexión. 0) x > nπ + f es cóncava hacia arriba 351 damasorojas8@gmail. sen x = 0. 2 2 Este análisis permitió conformar la siguiente tabla resumen. Intervalos f F” Conclusión x < nπ ‐ f es cóncava hacia abajo x = nπ f (nπ ) = 0 P. 2 2 π En x > (4k + 3) . cos 2(k + 1)π = 1 > 0. 2 2 π π sen(4k + 1) =1 y sen(4k + 3) = − 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . n ∈ Z . de lo cual. f " ( x ) = − sen x ⇒ f " ( x ) = 0. − 1⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ π x > (4k + 3) + f es creciente 2 Por otro lado. en general se pueden escribir como: x = nπ . Intervalos f f´(x) Conclusión π + f es creciente x < (4k + 1) 2 π ⎛ (4k + 1)π ⎞ ⎛ (4k + 1)π ⎞ x = (4k + 1) f⎜ ⎟ = 1 Máx. se tomó x = 2(k + 1)π . π .com. los posibles puntos de inflexión son: x = 0.I.com. De aquí. f ⎜ . 41 m tgθ tgθo tg 0.95 rad ≅ 54. 2 − 3sen2θ = 0 ⇒ sen2θ = ⇒ θ = Arcsen ⇒ θo ≅ 0.95 4x 67) Pruebe que la curva y = 2 tiene tres puntos de inflexión y que estos se x +4 encuentran sobre una misma recta.5º 3 3 r r 2 Del ( AOF de la fig. MSc. La iluminación en el borde del estanque. h = ⇒h= ≅ ≅ 1.c). E (θ ) = . joeldama@yahoo. damasorojas8@galeon. esta expresada por la relación: Donde E es la iluminación expresada en luz. I cos θ E= d2 r I cos θ sen2θ π Del ( AOF de la fig.com. 4( x 2 + 4) − 4 x (2 x) 4 ( 4 − x2 ) y´ = ⇒ y´ = (x + 4) (x + 4) 2 2 2 2 ⎡ −2 x ( x 2 + 4 )2 − 2 ( x 2 + 4 ) 2 x . expresada en candelas y θ al ángulo indicado en la figura.com. d = ⇒ sust. . INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . DÁMASO ROJAS 66) Se desea iluminar un estanque de sección circular de radio R mediante una lámpara de altura ajustable colocada sobre la vertical que pasa por el centro de aquél. 0 ≤θ ≤ senθ r 2 2 dE Isenθ dE Isenθ = 2 ( −sen3θ + 2senθ cos 2 θ ) ⇒ = 2 ( −sen2θ + 2cos 2 θ ) ⇒ = 2 ( 2 − 3sen2θ ) dE I dθ r dθ r dθ r 2 2 senθ = 0 ⇒ θ = 0(v.Química Lic.com. que es la zona de menor iluminación de la . I la intensidad del foco luminoso supuesto puntual. Verifica que existe un valor de θ para el cual la iluminación E es máxima y determina la altura a la que debe colocarse la lámpara para obtenerla. ( 4 − x 2 ) ⎤ ⎡ −2 x ( x 2 + 4 ) ⎡( x 2 + 4 ) + 2 ( 4 − x 2 ) ⎤ ⎤ y "= (4) ⎢ ⎥ = (4) ⎢ ⎣ ⎦⎥ ⎢ ( x + 4) ⎥ ⎢ ( x + 4) ⎥ 2 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 352 damasorojas8@gmail. superficie. DÁMASO ROJAS MARZO 2008 353 damasorojas8@gmail. ⎜ 3 ⎞⎟ 2 ⎟⎠ ⎝ x>2 3 f es cóncava hacia arriba De acá se desprende.I. ⎜⎜ − 2 3. para ello.com.m = 2 1 1 2 ⎝ 2 ⎠ = 1 . (0. joeldama@yahoo. − 3 ⎞⎟ 2 ⎟ ⎝ ⎠ F es cóncava hacia arriba − 2 3 < x < 0 x = 0 f (0) = 0 P. la única alternativa surge de y” = 0.Química Lic. esto es: ( )( ) x x − 2 3 x + 2 3 = 0 ⇒ x = 0.I. Intervalos f f”(x) Conclusión x < −2 3 f es cóncava hacia abajo x = −2 3 ( f −2 3 = ) − 3 2 ⎛ P. probemos que estos se encuentran sobre una misma recta.I.com. MSc. m= = . x = ± 2 3. obviamente. utilizamos el cálculo de dependientes tomando los puntos dos a dos.com. m= 0− −2 3 4 (2 3 − 0 4 ) 2 3− −2 3 4 ( ) Estos últimos cálculos corroboran que los 3 puntos están sobre una misma recta. ⎜ 2 3. DÁMASO ROJAS y "= −8 x (12 − x 2 ) = 8 x ( x 2 − 12 ) ⇒ y "= ( 8x x − 2 3 x + 2 3)( ) (x + 4) (x + 4) (x + 4) 2 3 2 3 2 3 Calculemos los posibles puntos de inflexión.0) 0 < x<2 3 f es cóncava hacia abajo x=2 3 ( ) f 2 3 = 2 3 ⎛ P. que la curva tiene 3 puntos de inflexión. es decir: ⎛− 3⎞ 3 ⎛⎜ − 3 ⎞⎟ 0 − ⎜⎜ ⎟ ⎟ 3 −0 −⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ = . . damasorojas8@galeon. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .