EJERCICIOS RESUELTOS TRIGO TRES MAXIMOS Y MINIMOS .pdf

April 5, 2018 | Author: Luis Fernando Pedraza Claros | Category: Mathematical Optimization, Equations, Mathematical Objects, Elementary Mathematics, Mathematical Concepts


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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS   PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.    Los métodos para determinar los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a  la  solución  de  problemas  prácticos,  para  resolverlos  tenemos  que  transformar  sus  enunciados en fórmulas, funciones o ecuaciones.    Debido a que hay múltiples tipos de ejercicios no hay una regla única para sus soluciones,  sin embargo puede desarrollarse una estrategia general para abordarlos, la siguiente es de  mucha utilidad.    ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS A LA OPTIMIZACIÓN.    a) Identificar  los  hechos  dados  y  las  cantidades  desconocidas  que  se  tratan  de  encontrar.  b) Realizar  un  croquis  o  diagrama  que  incluya  los  datos  pertinentes  introduciendo  variables para las cantidades desconocidas.  c) Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.  d) Determinar de  cuál  de  las  variables  se  desea encontrar  el máximo  o  el  mínimo  y  expresa resta variable como función de una de las otras variables.  e) Encontrar los valores críticos de la función obtenida.  f) Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si esos  valores críticos son máximos o mínimos.  g) Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función que se  obtuvo anteriormente.  h) MUCHA DEDICACIÓN Y PRÁCTICA.   1.)  Hallar  dos  números  cuya  suma  es  18,  sabiendo  que  el  producto  de  uno  por  el  cuadrado el otro es máximo.  Según el enunciado  x + y = 18 y x ⋅ y 2 = Máximo   Despejemos una en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del máximo.  y = 18 − x ; Máximo = x (18 − x ) ⇒ M ( x) = x (18 − x ) ,  En  esta  ecuación  hallamos  el  2 2 valor de x que la hace máxima.   A.‐ Hallar la primera derivada, se iguala a cero y se resolve la ecuación resultante.  304  [email protected],    [email protected],   [email protected].    INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS   M ´( x) = (18 − x ) − 2 x (18 − x ) ⇒ M ´( x) = 3 ( x − 18 )( x − 6 ) 2   si : M ´( x) = 0 ⇒ −3 (18 − x )( x − 6 ) = 0 ⇒ x1 = 18; x2 = 6(v.c.) B.‐  Calculamos  la  segunda  derivada  y  hallamos  su  valor  numérico  para  las  raíces  anteriores.  M ′′( x) = 6 ( x − 12 ) ⇒ M ′′( 6) = −36 < 0 ⇒ ∃ máximo; M ′′(18) = 36 > 0 ∃ mínimo   si x = 6 ⇒ y = 12 2) Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 12 cm. de lado. Cortando cuadrados  iguales  en  las  esquinas  se  construye  una  caja  abierta  doblando  los  laterales.  Hallar  las  dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea máximo.                            Volumen de la caja =   v = (12 − 2 x )(12 − 2 x )( x ) ⇒ v = x (12 − 2 x )   2 v( x) = x (12 − 2 x ) ⇒ v′( x) = 12( x − 2)( x − 6) 2 si : v′( x) = 0 ⇒ 12( x − 2)( x − 6) = 0 ⇒ x = 2; x = 6(v.c.)   v′′( x) = 24( x − 4) ⇒ v′′(2) = −48 < 0 ∃ máximo; v′′(6) = 48 ∃ mínimo NOTA:  Por  la  naturaleza  del  problema,  se  ve  que  x  no  puede  valer  6  cm.  Porque  el  volumen sería 0, por lo tanto x = 2 cm.  3) ¿Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada igual a  36 Dm 2  para que  sea cercado por una valla de longitud mínima?  305  [email protected],    [email protected],   [email protected].    INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS   Según el enunciado, área =  x . y ; x . y = 36   Mínimo =  2 x + 2 y ; Min = 2 x + 2 y   Despejamos y en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del mínimo.  ⎛ 36 ⎞ 2 x + 72 2 x 2 + 72 2 36 y= ⇒ Min( x) = 2 x + 2 ⎜ ⎟ = ⇒ Min( x) =   x ⎝ x ⎠ x x   2 x 2 − 72 2 x 2 − 72 Min′( x) = ; si : Min′( x ) = 0 ⇒ = 0 ⇒ x = ± 6(v.c.) x2 x2   144 Min′′( x) = 3 ⇒ Min′′(6) = 3 > 0 ⇒ ∃ mín (nota : no se toma en cuenta x = −6) 2 x 4) Se quiere cercar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado  que está junto al camino cuesta BF. 8 el metro y para los lados BF. 4 el metro, halla el  área del mayor campo que puede cercarse con BF.1.440.  Según el enunciado, área  = x. y  8 x + 4 x + 4 x + 4 y = 1.440 ⇒ 12 x + 8 y = 1.440 ⇒ 3 x + 2 y = 360   Despejando y en la segunda y llevando su valor al área, nos queda:  360 − 3x ⎛ 360 − 3x ⎞ 360 x − 3x 2 si : y = ⇒ A = xy ⇒ A( x) = x ⎜ ⎟ ⇒ A ( x ) = 2 ⎝ 2 ⎠ 2 360 − 6 x 360 − 6 x A′( x) = ⇒ si : A′( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ x = 60(v.c.)   2 2 360 − 3x 360 − 3(60) y= ⇒ y = y= ⇒ y = 90 m. ⇒ A = xy = (60 m)(90m) = 5.400m 2 2 2 NOTA: Por la naturaleza del problema, no hace falta hallar la segunda derivada. 306  [email protected],    [email protected],   [email protected].    INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS   5) Una esfera tiene un radio de 6 cm. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo  inscrito en ella.                                                          2 ⎛h⎞ En la figura x es el radio de la base del cilindro. Por Pitágoras   62 = ⎜ ⎟ + x 2 .   ⎝2⎠ 2 h Volumen = π . x 2 . h pero x 2 = 36 −   4 ⎛ h2 ⎞ π (144h − h3 ) π V (h) = π ⎜ 36 − ⎟ h ⇒ V (h) = ⇒ V ′(h) = (144 − 3h 2 ) ⎝ 4⎠ 4 4     π V ′(h) = 0 ⇒ (144 − 3h 2 ) = 0 ⇒ h = 12 = ±4 3; se toma : h = 4 3 4 3 NOTA: Por la naturaleza del problema, no hace falta hallar la segunda derivada. 6)  Para  hacer  un  filtro  de  laboratorio,  se  pliega  un  papel  circular.  Si  el  radio  de  dicho  papel  mide  9cm.  Calcular  la  altura  del  cono  que  se  forma  para  que  el  volumen  sea  máximo.                                                               9 2 = h 2 + x 2 ⇒ x 2 = 81 − h 2 π x2h π ( 81 − h 2 ) h π v= 3 ⇒ V (h) = 3 ⇒ V ( h) = 3 (81 h − h ) 3   π π V ′( h) = 3 ( 81 − 3h ) ; si : V ′( h) = 0 ⇒ ( 81 − 3h ) = 0 ⇒ h = 2 3 2 9 3 ⇒ h = 3 3cm 307  [email protected],    [email protected],   [email protected].    INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS   NOTA: Por la naturaleza del problema, no hace falta hallar la segunda derivada. 7) Se dispone de una hoja de papel para un cartel que mide 2m2. Los márgenes superior  e inferior, miden 20 cm. cada uno y los laterales 12 cm. cada uno. Hallar las dimensiones  de las hojas, sabiendo que la parte impresa es máxima.               parteimpresa : A = ( x − 40 ) ( y − 24 ) ; además área total : xy = 2 ⇒ x = 2 y ⎛ 2 − 40 y ⎞   A( y ) = ( 2 y ) − 40 ( y − 24 ) ⇒ A( y ) = ( y − 24 ) ⎜ ⎟   ⎝ y ⎠ ⎛ 2 − 40 y ⎞ ⎛ y ( −40 ) − ( 2 − 40 y ) ⎞ 8(6 − 5 y 2 ) A′( y ) = ⎜ ⎟ + ( y − 24 ) ⎜ ⎟ ⇒ A′( y ) = ⎝ y ⎠ ⎝ y2 ⎠ y2 8(6 − 5 y2 ) si : A′( y) = 0 ⇒ =0⇒ y = ± 30 5 (v.c.); y = 0 ∃A′( y) y2       xy = 2 ⇒ x = ⇒ x = 2 y 10 30 ⇒x= 30 3 ;y= 30 5   8) De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar el de área máxima.              2 y.h 2 2 2 ⎛ y⎞ En la figura: área  =  por Pitágoras   BC = DC + BD ;   x 2 = ⎜ ⎟ + h 2   2 ⎝2⎠ 308  [email protected],    [email protected],   [email protected].        9) En un triángulo isósceles. es la solución.c. el triangulo se transformaría   en una recta. x2 − y2 y.    .h 4 h = x2 − .   [email protected].    NOTA: Por la naturaleza del problema. MSc. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . A( x) = 4 = 4 2 2 48x − 144 48x ( x − 3) 4 3 ( x − 3) A( x) = ( 6 − x ) ⇒ A( x) = ( 6 − x ) ⇒ A( x) = ( 6 − x ) ⇒ 2 2 2 ⎡ ( 6 − x ) 3 ( x − 3) ( 3) ⎤ A( x) = 2 ( 6 − x ) 3 ( x − 3) ⇒ A′( x) = 2 ⎢− 2 3 ( x − 3) + ⎥ ⎢⎣ 3 ( x − 3) ⎥⎦ 3 3(4 − x) 3 3(4 − x) A′( x) = ⇒ A′( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ x = 4(v. cada uno. DÁMASO ROJAS   Perímetro: 2 x + y = 12 → y = 12 − 2 x y2 y .).com. Hallar la longitud  de la base para que el área sea máxima. se ve que para x = 3. por lo tanto x = 4. x = 3 ∃A′( x) x −3 x −3 para x = 4 ⇒ y = 4 El triángulo de área máxima es equilátero de lado igual a 4cm. los lados iguales miden 20 cm.    [email protected]ímica Lic. Area = ⇒ Area = 4 2 2 (12 − 2x ) 2 4 x2 − 144 + 48x − 4x2 (12 − 2x ) x 2 − 2 ( 6 − x) si : y = 12 − 2x .      309  damasorojas8@gmail. com. MSc. (20) 2 = h 2 + ( 2x ) ⇒ h = 400 − 2 2 2 2 4 x 400 − x4 x 1600 − x 2 2 xh Area : A = ⇒ A( x ) = ⇒ A( x ) = 2 2 4 x ( −2 x ) 1600 − x 2 − 2 1600 − x 2 800 − x 2   A′( x ) = ⇒ A′( x ) =   4 2 1600 − x 2 A′( x ) = 0 ⇒ 800 − x 2 =0 (800 − x ) 2 1600 − x 2 = 2 1600 − x 2 2 (1600 − x 2 ) Por lo tan to : 800 − x 2 = 0 y 1600 − x 2 = 0 .com. 800 − x 2 = 0 → x = 20 2 1600 − x 2 = 0 → x = 40   NOTA: Para la naturaleza del problema. Pies?                              a) Tenemos que : A. A. esfera = 4π R2 .com. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la  capacidad deseada es de 10 π . INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . para x = 40 el triángulo se transformarías en una  recta.    damasorojas8@galeon.   10)  Se  desea  construir  un  tanque  de  acero  con  la  forma  de  un  cilindro  circular  recto  y  semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. DÁMASO ROJAS   x2 en la figura : BC = BD + DC . por lo tanto  x = 20 2 m.   joeldama@yahoo. El costo por pie cuadrado de  los extremos es el doble de la parte cilíndrica.    . cilindro sin tapa = 2π R A b)La función a optimizar es el cos to: C = 2 ( 4π R2 ) + 2π R A   310  [email protected]ímica Lic. Química Lic. si : C′( R) = 0 ⇒ = 0 ⇒ 96 π R3 −180 π = 0 ⇒ R3 = (3 R) (3 R) 96 π 2 2 180 22 .com. Altura = a 2 − x 2 ⇒ Aret = bh ⇒ Aret = ( 2 x ) a 2 − x 2 2/ x ( − 2 x ) 2 a2 − 2x2 − 2x2 2 a2 − 4x2 A ′( x ) = 2 a 2 − x 2 + ⇒ A ′( x ) = ⇒ A ′( x ) = 2/ a2 − x2 a2 − x2 a2 − x2 2 a2 − 4x2 2 a2 a 2 Si A ′( x ) = 0 ⇒ = 0 ⇒ 2 a2 − 4x2 = 0 ⇒ x = ⇒x = a2 − x2 4 2 a 2 4a 2 − 2a 2 a 2 b = 2x ⇒ b = a 2 . MSc. 32 .   joeldama@yahoo. esfera = π R3 . INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . 5 3 3.                                              Rectángulo tiene como:  Base = 2 x .    damasorojas8@galeon. V . cilindro = π R2A ⇒Vtotal = π R3 + π R2A ⇒ A = 3 3 3 R2 ⎛ 30 − 4R3 ⎞ 60 π − 8π R3 C ( R) = 8 π R 2 + 2 π R ⎜ 2 ⎟ ⇒ C ( R ) = 8 π R 2 + ⎝ 3R ⎠ 3R 24 π R + 60 π − 8 π R 3 3 16 π R + 60 π 3 C ( R) = ⇒ C ( R) = 3R 3R 48π R3 ( 3 R ) − 3 (16 π R3 + 60 π ) 144 π R3 − 48π R3 − 180 π d ) C′( R) = ⇒ C′( R) = (3 R) (3 R) 2 2 96 π R3 −180 π 96 π R3 −180 π 180 π C′( R) = . DÁMASO ROJAS   4 4 30 − 4 R3 c) V .3 2 2 2 3 15 e) Si : R = ft ⇒ A = 2 3 15 ft 2   11) Determine las dimensiones del rectángulo que se puede inscribir en un semicírculo  de radio “a” de manera que dos de sus vértices estén sobre el diámetro.    . h = a2 − x2 ⇒ h = a2 − ⇒ h= ⇒ h= 2 4 2 311  [email protected] 3 15 3 15 R= 3 = 3 5 = 3 = ⇒ R = ft 96 2 .com. com. MSc.   joeldama@yahoo. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . 2) 13)  Una  ventana  tiene  forma  de  un  rectángulo  coronado  por  un  triángulo  equilátero.1) es : d = ( x − 3) + ( y −1) 2 2 ( x − 3) + ( x 2 + 1 − 1) ⇒ d = x 4 + x 2 − 6 x + 9 2 pero : y = x 2 + 1⇒ d = 2 2 x3 + x − 3 2 x3 + x − 3 d ′( x) = .). Si : d ′( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ 2 x3 + x − 3 = 0 x + x − 6x + 9 4 2 x + x − 6x + 9 4 2 por Ruffini : ( x − 1) ( 2 x 2 + 2 x + 3) = 0 ⇒ x = 1(v.Química Lic. Punto (1.com. DÁMASO ROJAS   12) Encuentre el punto de la gráfica  y = x 2 + 1  más cercano al punto (3.  La distancia entre los puntos ( x.  Encuentre las dimensiones del rectángulo para el cual el área de la ventana es máxima. 1).c. usamos el perímetro de la ventana:   12 − 3x 12 x − 3x 2 P = 2 y + 3x ⇒ 12 = 2 y + 3x ⇒ y = ⇒ A( x) = 2 2 x 3 12 x − 3x 2 2 Área total de la figura : AT ( x) = + 4 2 x 3 12 − 6 x x 3 + 12 − 6 x AT′ ( x) = 2 + 2 ⇒ AT′ ( x) = 2 = 0 ⇒ x 3 − 6 + 12 = 0 ( ) 312  damasorojas8@gmail.    damasorojas8@galeon. y ) y (3. 2x2 + 2x + 3 ≠ 0 Si : x = 1⇒ y = 2.  si el perímetro de la misma debe ser 12 pies.    Cálculo de h : h = x 2 − ( 2x ) 2 ⇒ h = 3 x2 4 ⇒ h = ( x 23 ) xh x( x 2 3 ) x2 3 Área del triángulo : A = ⇒ A= ⇒ A= 2 2 4 Área del rectángulo : A = xy Para : y en función de x.    .com.   lanzando  con  velocidad  inicia.    313  damasorojas8@gmail. de donde A = 108 − 4 a El Volumen : V = aa A ⇒ V = a 2 A ⇒ V = a 2 (108 − 4 a ) ⇒ V ( a ) = 108 a 2 − 4 a 3 V ′( a ) = 215 a − 12 a 2 .com. V0 desde una pieza de artillería que tiene un ángulo de evaluación  φ respecto al  V02 Sen 2 φ horizonte.    damasorojas8@galeon. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . Si : V ′( a ) = 0 ⇒ 4 a ( 54 − 3 a ) = 0 ⇒ a = 0 no es solución . 54 − 3 a = 0 ⇒ a = 18 pu lg ⇒ A = 108 − 4 (18) ⇒ A = 36 Pu lg   15)  La  distancia  R  =  OA  (en  el  vacío)  que  cubre  un  proyectil. DÁMASO ROJAS   12 − 3x 12 − 3( 6−123 ) x= ⇒x= −12 3−6 Base del rectángulo ⇒ si : y = 12 6− 3 ⇒y= ⇒ 2 2 72 − 12 3 − 36 36 − 12 3 18 − 6 3 y= y= ⇒y = Altura del rectángulo 2 6− 3( ) 2 6− 3 ( ) 6 − 3 14)  Para  que  un  paquete  pueda  enviarse  por  correo  es  necesario  que  la  suma  de  su  longitud  y  el  perímetro  de  su  base  no  exceda  de  108  pulgadas.    El perímetro de la base es : P = 4 a Condición : A + 4 a ≤ 108 pu lg .   joeldama@yahoo.    .com. MSc. tomaremos el extremo máximo A + 4 a = 108 .Química Lic.  Encuentre  las  dimensiones de la caja con base cuadrada de mayor volumen que se puede enviar por  correo.com. se determina según la fórmula:  R =  Determinar el ángulo  φ con  g el cual la distancia R es máxima dada la velocidad inicial V0. com.c.com.    .) dφ g dφ g 4 d2 R (4V02 )sen(2φ) d2 R d2 R (4V02 )sen2( π4 ) d 2 R (4V02 ) = − ⇒ sust.c. en ⇒ = − ⇒ = − <0 d φ2 g d φ2 d φ2 g d φ2 g π V02 Sen (2φ) V2 ⇒ en φ = ∃ máximo ⇒ sust en R(φ) = ⇒ R(φ) = 0 4 g g   16) ¿Qué dimensiones debe tener un cilindro para que sea mínima su área total.).   joeldama@yahoo. h = altura ⇒ S = 2 π r 2 + 2π rh.Química Lic. MSc.    damasorojas8@galeon. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . r = 0 ∃ ⎣ r ⎦ dr 2 dr ⎣ r ⎦ d 2S ⎡ 2V⎤ d 2S ⎡ 2 V ⎤ d 2S = 2 ⎢⎣ 2π + ⇒ sust v.c. DÁMASO ROJAS   0 ≤ φ ≤ π2 (condición) dR 2V02 cos(2φ) dR 2V 2 cos(2φ ) π = ⇒ = 0 ⇒ ´0 = 0 ⇒ cos(2φ) = 0⇒φ = (v. Vcilindro = π r 2 h ⇒ h = π r2 ( S = 2π r 2 + 2 π r ( πVr 2 ) ⇒ S (r ) = 2π r 2 + ( 2rV ) ⇒ S (r ) = 2 π r 2 + Vr ) ds ⎡ V ⎤ ds ⎡ 2π r 3 − V ⎤ = 2 ⎢2π r − 2 ⎥ ⇒ = 0 ⇒ 2 ⎢ ⎥ = 0 ⇒ 2 π r 3 −V = 0 ⇒ r 3 = 2vπ (v. dado el  volumen V?    V r = radio. ⇒ = 2 ⎢ 2π + ⎥ ⇒ 2 = 2 [ 2 π + 4π ] = 12 π > 0 dr 2 r 3 ⎥⎦ dr 2 ⎢⎣ 2π ⎥ v ⎦ dr V V r 3 = 2vπ ⇒ r = 3 2vπ ⇒ si : h = 2 ⇒ h = πr π 3 ( 2vπ )2     314  [email protected]. v.     [email protected]. DÁMASO ROJAS   17) Un terreno rectangular se encuentra adyacente a un río y se debe cercar en 3 lados. MSc.)   dx dx d 2A d 2A 2 = − 4 ⇒ 2 < 0 ⇒ en x = 25 ∃ máximo ⇒ x = h = 25 m ⇒ b = 50m ⇒ A = 1250 m 2 dx dx 18)  Hallar  las  dimensiones  del  rectángulo  de  área  máxima  inscrito  en  una  semicircunferencia de radio r.Química Lic.  Si  se  dispone  de  100  m  de  cerca.c.com.    . A = b h ⇒ A = x (100 − 2 x ) ⇒ A( x) = 100 x − 2 x 2 dA dA = 100 − 4 x ⇒ = 0 ⇒ 100 − 4 x = 0 ⇒ x = 25(v.  ya  que  el  lado  que  da  al  río  no  requiere  cerca. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .    0 < x < 50(condición).com.    Arectángulo = x y ⇒ ( q ABC : r 2 = y 2 + ( 2x )2 ⇒ ( 2x )2 = r 2 − y 2 ⇒ x = 2 r 2 − y 2 ⎡1 ⎤ = 2 r 2 − y 2 + 2/ y ⎢ ( r 2 − y 2 ) ( −2 y ) ⎥ da −1/ 2 A( y) = 2 y r 2 − y 2 ⇒ dy ⎣ 2/ ⎦ da 2 ⎡⎣r − 2 y ⎤⎦ 2 ⎡⎣r 2 − 2 y 2 ⎤⎦ 2 2 da r = ⇒ si : = 0 ⇒ = 0 ⇒ r 2 − 2 y 2 = 0 ⇒ y1 = ⇒ y1 = r 2 2   dy r −y 2 2 dy r −y 2 2 2 r 2 − y 2 ⇒ r = y ∃/ d A 2 [ −4 y ] r − y − 2 ⎣r − 2 y ⎦ ⎢⎣ 2 ( r − y ) 2 ⎡1 ( −2 y )⎤⎥⎦ −1/ 2 2 2 2 ⎡ 2 ⎤ 2 2 = dy 2 ( r 2 − y2 ) 315  damasorojas8@gmail.  encuentre las dimensiones del terreno con el área máxima.   joeldama@yahoo.   Se precisa enviar un mensajero a un campamento militar situado a 15 km. DÁMASO ROJAS   d2 A 2 y( r − y ) ⎡−4( r2 − y2 ) + ( r2 − y2 ) ⎤ 2 2 −1/2 = ⎣ ⎦ dy2 (r − y ) 2 2 d 2 A 2 y ⎡⎣−4 r + 4y + r − 2y ⎤⎦ d 2 A 2 y ⎡⎣ 2y − 3r ⎤⎦ 2 2 2 2 2 2 = ⇒ 2 = dy2 (r − y ) 2 3 dy ( r2 − y2 ) 2 3 d 2 A 2( r 2 ) ⎡2( r 22 )2 − 3r2 ⎤ d 2 A r 2 ⎡− r2 ⎤ d 2 A −r3 2 = 2 ⎣ ⎦⇒ = ⎣ ⎦ ⇒ 2= dy2 ( ) dy2 dy 3 3 3 r −( 2 ) ⎡⎣r − 2 ⎤⎦ ⎡ 2r 2− r ⎤   2 2 2 2 2 r 2 2 r ⎣ ⎦ d 2 A −r3 2 d 2 A −r3 2 d 2 A −r3/ 2 d 2 A −8 = ⇒ 2= ⇒ 2= ⇒ 2 = < 0 dy2 2 ( r2 )3 dy r6 dy 3 1 dy r 8 r 3 2 r 2r y = .    damasorojas8@galeon. MSc. el mensajero andando a  pie  hace  5  km/h  y  remando  4  km/h. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . del punto más próximo de la costa. del punto de  la costa más próximo al buque.com.Química Lic.com.  ¿En  qué  punto  de  la  costa  debe  desembarcar  el  mensajero para llegar al campamento en el mínimo tiempo posible?    316  damasorojas8@gmail.    .com. x = 2 r2 − r2 ⇒ x = 2 r2 ⇒ x = ⇒x = 2y 2 2 2 2 19) Un buque militar se encuentra anclado a 9 km. medido a lo largo de la costa.   joeldama@yahoo. A pie: DC = 15 − x x x 81 + x 2 15 − x M . t. a pie : tP = t V 4h 5 kmh 81 + x 2 15 − x 81 + x 2 x tt = t R + t P ⇒ tt ( x ) = + ⇒ tt ( x ) = − +3 4 5 4 5 dt 5 x − 4 81 + x 2 dt 1 ⎡ 1 = dx 4 ⎢⎣ 2 (81 + x ) ( 2 x )⎥⎦ − 5 ⇒ dx = 2 −1/ 2 ⎤ 1 dt x 1 − ⇒ = 4 81 + x 2 5 dx 20 81 + x 2 ( ) 2 dt = 0 ⇒ 5 x − 81 + x 2 = 0 ⇒ ( 5 x ) = 4 81 + x 2 ⇒ 25 x 2 = 16 x 2 + 1296 ⇒ x = 12 (v. MSc. A) A la compresión. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .c. DÁMASO ROJAS   2 2 2 por pítagoras : AD = AB + BD Remando: AD = 92 + x 2 .U .Química Lic.    [email protected].    .   joeldama@yahoo. B) A la flexión?  Nota:  La  resistencia  de  la  viga  a  la  compresión  es  proporcional  al  área  de  su  sección  transversal  mientras  que  la  flexión  es  proporcional  al  producto  del  ancho  de  esta  sección por el cuadrado de su altura.com. ⇒ V = ⇒ t = ⇒ t.R.) 2 dx 81 + x 2 − ( 81 + x 2 ) ( 2 x ) x −1/ 2 2 d t 1 2 d2 t 81 = ⇒ 2= dx 2 4 (81 + x ) 2 dx 4 81 + x 2 ( 3 ) d2 t 81 2 = > 0 ∴ x = 12 Km ∃ mínimo tiempo empleado dx 4 81 + (12) 2   20) De un tronco redondo de diámetro d hay que cortar una viga de sección rectangular.  317  damasorojas8@gmail.  ¿Qué ancho (x) y altura (y) deberá tener esta sección para que la viga tenga resistencia  máxima posible. remando : tR = km .com.     .Química Lic. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . Si : x = d ∃/ d −x 2 dx 2 2 dx 2 d Rc ⎡ −4x =k ⎢ ( ) d 2 − x2 − ( d 2 − 2x2 ) 12/ ( d 2 − x2 ) −1/2 ( −2/ x) ⎤⎥ ⇒ d 2 Rc kx ( 2x − 3d ) = 2 2 dx2 ⎢ ⎢⎣ (d 2 − x2 ) ⎥ ⎥⎦ dx2 ( d 2 − x2 ) 3 d 2 Rc d 2 Rc k( 2 ) 2( 2 ) − 3d sust. h = y.).com. v.com.c.com. d 2 − 2x2 = 0⇒ x = d (v.   joeldama@yahoo. en 2 ⇒ 2 = d d 2 2 ⇒ 2 = d ( d 2 Rc k( 2 ) 2( 2 ) − 3d d )2 ( 2 ) dx dx dx ( ) ( ) 3 3 d − ( 2) 2 d 2 2d 2 − d 2 2 d 2 Rc k( 2 ) ( − d ) d 2 Rc −k d 3 4 2 d 2 Rc d 2 d2 = ⇒ 2 = ⇒ 2 = − 4k < 0 ⇒ en x = ∃ máximo ( ) 2 dx2 d2 3 dx 2 d3 dx 2 d d si : x = (ancho) ⇒ y = d 2 − x2 ⇒ y = d 2 − ( d2 ) 2 ⇒ y = (altura) 2 2 V − 4 π3r 3V − 4π r3 3 4 π r3 4 π r3 Vt =π r h +2 ⇒V − = π r h⇒ h = 2 ⇒h = 3 3 π r2 3π r 2 ⎡ 3V − 4π r3 ⎤ ⎡ 3V − 4π r3 ⎤ At = 2π r h + 4 π r 2 ⇒ At (r) = 2π r ⎢ ⎥ + 4 π r 2 ⇒ A (r ) = 2 ⎢ ⎥ + 4 π r2 ⎣ 3π r ⎦ 2 t ⎣ 3r ⎦ dA 2 ⎡ ( −12π r ) ( r ) − ( 3V − 4π r ) ⎤ dA −2 ⎡8π r3 + 3V ⎤ 2 3 = ⎢ ⎥ + π ⇒ = ⎥ + 8π r 3 ⎢⎣ 8 r dr 3 ⎢ r2 ⎥ dr r2 ⎦ ⎣ ⎦ dA −16π r3 − 6V + 24π r3 dA −6V + 68π r3 dA −6V + 68π r3 = ⇒ = . r = 0 ∃ 8π 318  damasorojas8@gmail. si : = 0⇒ =0 dr 3r2 dr 3r 2 dr 3r2 6V −6V + 68π r3 = 0⇒r3 = ⇒r = 3 34Vπ (v. Por pitágoras :d 2 = x2 + y2 ⇒ y = d 2 − x2 dRc k ( d − x ) ( (d − x ) ) 2 2 Rc (x) = kx d − x ⇒ c = k ⎡ d 2 − x2 + x ⎤ dR 2 −1/2 2 ⎢⎣ 2 1 2 ( −2x)⎥ ⇒ = 2 2 dx 2 ⎦ dx d −x dRc k ( d 2 − x2 ) dRc = 0⇒ = 0 ⇒ k ≠ 0. MSc.    [email protected]. DÁMASO ROJAS   Arectángulo : A = bh ⇒b = x .).c.       Cuadrado de lado x ⇒ longitud del alambre = 4x 10 − 2π r Circunferencia de radio r ⇒ longitud del alambre = 2π r ⇒10 = 4x + 2 π r ⇒ x = 4 Acuadrado = x2 .    . d 2 − 3x2 = 0 ⇒ x = dR f dR f d 3 (v. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . ¿Cómo deberá  cortarse  el  alambre  para  que  el  área  combinada  de  las  dos  figuras  sean  tan  pequeñas  como sea posible. MSc.Química Lic.com.    damasorojas8@galeon. v.com. en 2 ⇒ 2 = − + ⇒ 2 = + ⇒ 2 = 6π > 0 dr dr ( 3 34Vπ )3 3 dr 3V 3 dr 3V − 4π r 3 3V − 4π ( 34Vπ ) en r = 3 3V 4π ∃ mínimo ⇒ h = ⇒h= ⇒h = 0 3π r 2 3π 3 ( 3V ) 2 4π b) RF = Kxy 2 ⇒ d 2 = x2 + y 2 ⇒ y 2 = d 2 − x 2 ⇒ RF = Kx ( d 2 − x2 ) ⇒ R f ( x) = K ( xd 2 − x3 ) = K ( d 2 − x2 ) ⇒ = 0 ⇒ K ( d 2 − x 2 ) = 0 ⇒ K ≠ 0. de longitud se va a cortar en dos partes.com. ⇒ sust.c.c. en 2 ⇒ 2 = − 6K ( d3 ) < 0 ∃ máximo. altura : y = d 2 − ⇒y= ⇒y = 2 3 d 3 3 3 21) Un trozo de alambre de 10 m. Una parte  será doblada en forma de circunferencia y la otra en forma de cuadrado.) dx dx d 2Rf 2 d Rf d 2Rf d 2 Rf 2 = K ( −6 x ) ⇒ 2 = − 6Kx. dx dx dx dx d d 3d − d 2 2 2 Ancho : x = . v.c. DÁMASO ROJAS   dA −6V + 68π r 3 dA 2V 8π r d 2 A 4V 8π = 2 ⇒ = − 2 + ⇒ 2 =− 3 + dr r dr r 3 dr r 3 2 d A d A2 4V 8π d A 16V π 8π 2 d2A sust.   joeldama@yahoo. Acircunferencia = π r 2 ⇒ Área combinada : A = x2 + π r 2 ⇒   ⎡10 − 2π r ⎤ ⎡10 − 2π r ⎤⎛ −2/ π ⎞ dA ⎛ −10 + 2π 2 r ⎞ 2 dA A(r) = ⎢ +π r ⇒ 2 = 2/ ⎢ ⎥⎦⎝⎜ 4/ ⎠⎟ + 2π r ⇒ dr = ⎜ ⎟ + 2π r ⎣ 4 ⎥⎦ dr ⎣ 4/ ⎝ 4 ⎠ 319  damasorojas8@gmail. si : = 0 ⇒ 3π ⎡⎣8 r − 3 r 2 ⎤⎦ = 0 dr dr 8 3π ≠ 0.com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com.4 ⎣ 2 ⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎣ 2 ( π + 4 ) ⎦ ( π + 4 ) 22) Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto.c.c. de manera que los ejes del cilindro y del cono  coincidan.    .    damasorojas8@galeon. que se puede inscribir en el  cono de 12 cm de altura y 4 cm en la base.  por relación de triágulos semejntes h 12 h = ⇒ = 3⇒ h = 3( 4 − r ) 4 −r 4 4−r Volumen del cilindro : V =π r 2h ⇒ V (r) =π r 2 ⎡⎣3( 4 − r ) ⎤⎦ ⇒V (r) = 3π r 2 ( 4 − r ) si : r = 0 ó r = 4 (volumen máximo no se alcanza en la frontera)   dv dv V (r) = 3π ⎡⎣4r 2 − r 3 ⎤⎦ ⇒ = 3π ⎡⎣8 r − 3 r 2 ⎤⎦ . 8 r − 3 r 2 = 0 ⇒ r [8 − 3 r ] = 0 ⇒ r = 0. r = (v.) 3 320  damasorojas8@gmail.   [email protected]ímica Lic. MSc. si : =0⇒r = (v. DÁMASO ROJAS   dA −5π + π 2 r dA π (−5 + r (π + 4)) dA 5 = + 2π r ⇒ = .) dr 2 dr 2 dr (π + 4) d 2 A π (π + 4) d2A = ⇒ = > 0 ⇒ en r = π 5+4 ∃ mínimo   dr 2 2 dr 2 ⎡5 − π r ⎤ ⎡ 5 − π [ π 5+4 ]2 ⎤ ⎡ 5π + 20 − 5π ⎤ 10 x= ⎢ ⎥ ⇒ x = ⎢ ⎥ ⇒ x = ⎢ ⎥⇒ x = ⇒ x  1.com.                                         La figura representa una sección transversal del cono y del cilindro que pasa por el eje de  ambos. com. por pitágoras : 62 = ( h2 ) + x 2   2 h2 144 − h 2 ⎡144 − h 2 ⎤ π x 2 = 36 − ⇒ x2 = ⇒ V ( h) = π ⎢ ⎥ h ⇒ V = ⎡⎣144h − h3 ⎤⎦ 4 4 ⎣ 4 ⎦ 4 dv π dv 144 = ⎡⎣144 − 3h 2 ⎤⎦ si : = 0 ⇒ 144 − 3h 2 = 0 ⇒ h = ⇒h=4 3 dh 4 dh 3 d 2v π d 2v π = (−6h) ⇒ 2 = (−6)(4 3) < 0 ⇒ h = 4 3 ∃ máximo dh 2 4 dh 4 24) Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular de cartón de 16 c.  V = Volumen en cm3  El volumen de una caja es el producto de sus dimensiones.com.  321  damasorojas8@gmail. recortando un cuadrado de cada esquina y doblando los lados hacia  arriba.    Sean: x = longitud en cm de los cuadrados que van a cortarse.    damasorojas8@galeon.    .                                                      X = radio del cilindro  Volumen del cilindro:  V = π r 2 h. DÁMASO ROJAS   d2V d2V 2 = 3 π [ 8 − 6 r ] ⇒ 2 = 3 π ⎣⎡8 − 6 ( 83 ) r ⎦⎤< 0 ⇒ ∃ máximo dr dr Calculamos la altura : h = 3 ( 4 − 83 ) ⇒ h = 4   El volumen máximo del cilindro inscrito es : V = π ( 83 ) 2 4 ⇒ V = 89.Química Lic. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .  Calcular  el  lado  del  cuadrado  para  el  cual  se  obtiene  una  caja  de  volumen  máximo. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo  inscrito en ella. MSc. de ancho  y 21 cm de largo.   [email protected] cm3 23) Una esfera tiene un radio de 6 cm.com.   V = 24 π cm3  Sustituyendo: 24 π  =  π r2h  24 π 24 h= → h=   π r2 r2 322  [email protected]ímica Lic.    V = lah ⇒ v( x) = (21− 2x)(16 − 2x) x ⇒ V ( x) = 4x3 − 74x2 + 336 dv dv dv =12x2 −148x + 336 ⇒ = 4 ( 3x − 28)( x − 3) . DÁMASO ROJAS     NOTA: x no puede ser negativa debido a que el ancho del cartón mide 16 cm no puede  cortarse cuadrado cuyos lados midan 8 cm de largo.  Suponiendo  que  en  la  construcción  no  se  desperdicia  material.com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .  h = la altura en (cm).com.    .  el  material  que  se  usa  para  la  base  cuesta  tres  veces  más  que  el  que  se  emplea  para  la  parte  cilíndrica.com.) d 2v d 2v = ( 24 x − 148) ⇒ sustituimos : = 24(3) − 148 < 0 ∃ máximocuando x = 3 dx2 dx2 25) Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa. x = 3(v.  Donde: r  = Radio de la base en (cm). MSc. que tenga un volumen  de  24  π  cm3.   joeldama@yahoo.    damasorojas8@galeon. si : = 0 ⇒ 4(3x − 28)( x − 3) = 0 dx dx dx x = 9.  evaluar  las  dimensiones  para  las  que  es  mínimo  el  costo  del  material  de  fabricación.c. si r = 0(no tiene sentido) dr ( ( )) ( ( )) 2 d c d 2c 2 = aπ 6 + 96 r3 ⇒ sust .).    Del enunciado : S = 2x + y.com.c. en 2 = > 0 ⇒ en x = 12 ∃ mínimo dx2 x dx (12)3 si : x = 12 ⇒ y = 24     323  damasorojas8@gmail.  Sea: (x) El primer número. MSc.c. v.  S la suma de ellos.c.   joeldama@yahoo.  A = costo por cm2 para la parte curva   El costo para la base  CB = 3 a (π r h)   CC = a (2π r h) El costo para la parte cilíndrica:   CC = a (área del cilindro) El cos to total C = CB + CC C = 3 a (π r 2 ) + a(2 π rh) ⇒ C = aπ (3r 2 + 2rh) ⇒ Como h = 24 r2 ⇒ C (r ) = aπ ⎡3 r 2 + 2r ⎣ ( )⎤⎦ 24 r2 ⎛ r3 −8 ⎞ C (r ) = aπ ⎡⎣3 r 2 + ( 48r ) ⎤⎦ ⇒ dc dr ( = aπ 6 r − ( )) 48 r2 ⇒ dc dr = 6aπ ⎜ 2 ⎟ ⎝ r ⎠ dc si : = 0 ⇒ r 3 − 8 = 0 ⇒ r = 2(v.Química Lic. xy = 288 ⇒ y = 288 x ⇒ S ( x) = 2 x + x 288 ds ds 2x2 − 288 ds 2x2 − 288 = 2 − x2 ⇒ = 288 2 ⇒ =0⇒ 2 = 0 ⇒ 2x2 − 288 = 0 ⇒ x = ± 12 dx dx x dx x 2 2      d s 288 d s 288 = 3 ⇒ sust v. si el producto de los dos números es 288. en : 2 = aπ 6 + (2) 96 3 > 0 ⇒ en r = 2 ∃ mínimo dr dr 24 como h = 2 ⇒ h = 6 r     26) Hallar dos números positivos que minimicen la suma del doble del primero más el  segundo.    .com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com.    damasorojas8@galeon. (y) el segundo número. DÁMASO ROJAS   Para obtener la ecuación de Costo de Fabricación. c.com.                                    S = xy (área del rectágulo) ⇒+ q ABC ⇒ x 2 + y 2 = 82 ⇒ y = 64 − x 2 ⇒ S ( x) = x 64 − x 2   324  damasorojas8@gmail. máxima es de : S = 625m 2 dx   28) Hallar un número positivo cuya suma con su inverso sea mínima.). MSc. ⇒ 2 = 3 > 0 ⇒ en x = 1∃mínimo dx x dx (1) 29) Dado un círculo de radio 4 dm.  1 1 Sea x un número ⇒ su inversoes : ⇒ S ( x) = x + x x ds 1 ds x − 1 2 ds = 1 − 2 ⇒ = 2 ⇒ si : = 0 ⇒ x2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1(v. del enunciado 2 x + 2 y = 100 ⇒ y = 50 − x ⇒ S ( x ) = x (50 − x ) ds ds = 50 − 2 x ⇒ = 0 ⇒ 50 − 2 x = 0 ⇒ x = 25(v.c. peroel valor debe ser (+) dx x dx x dx   2 2 d s 2 d s 2 2 = 3 ⇒ sust. v.    [email protected]. inscribe en él un rectángulo de área máxima.com.) dx dx d 2s 2 = − 2 < 0 ⇒ en x = 25 ∃ máximo ⇒ y = 25 ∴ S .Química Lic.c. DÁMASO ROJAS   27) Un granjero dispone de 100 metros de valla.   joeldama@yahoo.    .                                 (superficie del corral): S = xy. con los que desea construir un corral  rectangular de la máxima superficie posible. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . S2 ) dx2   325  [email protected].) pero : x ni y pueden ser (−) 64 − x 2 2x( x2 − 96) 2(4 2)((4 2)2 − 96) S ′′( x) = ⇒ sust. ⇒ P( x) = x( S − x) ⇒ P( x) = − x2 + xS ⇒ = − 2 x + S ⇒ = 0 ⇒ x = S 2 dx dx 2 d P = − 2 < 0 ⇒ en x = S2 ∃ máximo ⇒ si x = S2 ⇒ y = S2 ⇒ ( S2 . ⇒ p 2.0) sean mínimas. Aplica lo anterior  al caso S = 40.com. 2 2 .  a) sea : x e y las componentes ⇒ x + y = S ⇒ y = S − x. además P = xy dP dP Sust.   joeldama@yahoo.    .Química Lic. P) = ( x − 4) + y 2 y la parábola : y 2 = 4 x ⇒ sust. p´ 2.com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . DÁMASO ROJAS   2(32 − x2 ) S´( x) = ⇒ si : S´( x) = 0 ⇒ ( 32 − x2 ) = 0 ⇒ x = ±4 2(v. en d porq el punto ∈ a la parábola 2 x−2 d ( x) = ( x − 4) + (4 x) 2 ⇒ d ′( x) = ⇒ d ′( x) = 0 ⇒ x = 2(v.v. x = 4 2 ⇒ S ′′( x) = = −4 < 0 ⇒ ∃máximo (64 − x2 )3 (64 − (4 2)2 )3 ( ) 2 si : x = 4 2 ⇒ y = 64 − 4 2 = 4 2 30)  Calcular  las  coordenadas  de  los  puntos  de  la  parábola  y 2 = 4 x .c. d ′′( x) = > 0 ⇒ x = 2 ∃ mínimo ( x 2 − 4 x + 16)3 ((2) 2 − 4(2) + 16)3 si x = 2 ⇒ y = ± 2 2.) 2 x 2 − 4 x + 16 12 12 d ′′( x) = ⇒ sust.                                                          d ( A.c. MSc. v.  tales  que  sus  distancias al punto A (4.    damasorojas8@galeon. − 2 2 ( ) ( )   31)  De  todas  las  parejas  de  números  reales  cuyas  componentes  tiene  suma  S  dada  encontrar aquella para la cual el producto P de las mismas es máximo.  El área de la base es  x 2 pu lg 2 .10) y su suma S = 20.com. ⇒ 2 = > 0 ⇒ en x = P ∃mínimo ∴ dx x dx ( P )3 p si : y = ⇒ y = p ⇒ la pareja es ( p . encontrar aquella para la cual la sume de esas componentes es mínima.c. MSc. condición x > 0 dx dx x dx 2 2 d S 2p d S 2p 2 = 3 ⇒ sust.Química Lic.  Puesto  que  el  volumen  de  la  caja  es  el  producto  del  área  de  la  base  por  la  profundidad.    .).  a.com. Sea y pulgadas la profundidad de la caja. DÁMASO ROJAS   de Pmáx = xy ⇒ Pmáx = ( S2 )( S2 ) ⇒ Pmáx = S2 4   b ) Si : S = 40 ⇒ x = 20. y ) la pareja ⇒ S = x + y.c. además P = xy ⇒ y = P x ⇒ S ( x ) = x + Px dS dS x 2 − P dS = 1 − xP2 ⇒ = 2 .03 dólares por pulg2 y el material de  los laterales cuesta 0. Ver  figura.   joeldama@yahoo. 33) Una caja cerrada de base cuadrada debe tener un volumen de 2000 pulg3. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . El material  del fondo y de la tapa de la caja tiene un costo de 0. y = 20 ⇒ Pmáx = 400.com. Determine las dimensiones de la caja para  que el costo total sea mínimo. si : = 0 ⇒ x 2 − P = 0 ⇒ x = P (v.   Aplica lo anterior al caso P = 100.015 dólares por pulg2.  326  damasorojas8@gmail. 32)  De  todas  las  parejas  de  números  reales  cuyas  componentes  positivas  tienen  producto dado.     Sea x pulgadas la longitud de un lado de la base cuadrada y  C (x)  dólares el costo total  del material. v. p ) y su suma : S = 2 p x b) Siendo P = 100 la pareja será (10.) Sea ( x.    damasorojas8@galeon. MSc. y = 20 pu lg y el área de la base será de 100 p lg 2   34) Demostrar que de todos los rectángulos de perímetro p dado.com. DÁMASO ROJAS   x 2 y = 2000 ⇒ y = 2000 x2 Del enunciado : Ctotal = área(tapa y fondo) + área(laterales ) ⇒ Ctotal =3 ( 2 x 2 ) + 3 2 ( 4 xy ) C ( x ) = 6 x2 + 6 x ( ) ⇒ C ( x) = 6x 2000 x2 2 + 12000 x .c. v.) 2 dx 2 dx 4 2 d A p p − 2( 4p ) p p2 = −2 < 0 ⇒ en x = ∃ máximo ⇒ y = 2 ⇒ y = ∴ es un cuadrado : Amáx = dx 2 4 4 16   35) Si una letra cerrada de estaño con un volumen de 16π.  p−2 x perímetro del rectángulo : p = 2( x + y) ⇒ 2 x + 2 y = p ⇒ y = 2 .                                     área superficial lateral: 2π rh ( pu lg) 2 área de la parte superior:π r 2 pu lg 2   área de la base : π r 2 ( pu lg) 2 ⇒ St = 2π rh + 2π r 2 327  [email protected]. C´´ (10 ) = 12 + > 0 ⇒ en x = 10 ∃ mínimo x (10)3 ⇒ Cmín : x = 10 pu lg.c.pulg3 debe tener la forma de  un  cilindro  circular  recto.  determinar  la  altura  y  el  radio  de  dicha  lata  para  utilizar  la  mínima cantidad de material en su manufactura. A = x( p −22 x ) ⇒ A( x) = ⇒ = .   joeldama@yahoo. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . ∞) 12 x3 − 12000 C ′ ( x ) = 12 x − ( 12000 x2 ) ⇒ si : C ′ ( x ) = 0 ⇒ x 2 = 0 ⇒ x 3 = 1000 ⇒ x = 10(v. Dom : (0.    .com.Química Lic. el de máxima área es  el cuadrado.    damasorojas8@galeon.) 24000 24000 C´´ ( x ) = 12 + 3 ⇒ sust. y su área : A = xy px − 2 x 2 dA p − 4 x dA p sust. si = 0 ⇒ p − 4 x = 0 ⇒ x = (v. v.c.c. v.com. 2 = 8(3( 3 ) − 40) = −160 < 0 ∃ máximo 20 dx2 dx vmá x = ( 40 − 2( 203 )) ( 203 ) ≅ 4.74. MSc.com. si : S ′ ( r ) = 0 ⇒ 4π r 3 = 32π ⇒ r 3 = 8 ⇒ r = 2(v. dom :[0. DÁMASO ROJAS   16 El volumen del cilindro circular recto : V = π r 2 h ⇒ 16 π = π r 2 h ⇒ h = r2 ⎛ 16 ⎞ 32π S ( r ) = 2π r ⎜ 2 ⎟ + 2π r 2 ⇒ S ( r ) = + 2π r 2 .20] dV dV dV 20 = 2 ( 40 − 2x)( −2) x + ( 40 − 2x) ⇒ = ( 40 − 2 x)( − 6 x + 40) ⇒ = 0 ⇒ x = 20.  a) Calcula las dimensiones de la viga de máxima resistencia que puede aserrarse  de un tronco de madera de forma cilíndrica de diámetro Ø dado.  a los que se les recortan las esquinas como indica la figura y doblando a lo largo de las  líneas punteadas. DomS (r ) : ( 0.  b) Determina el volumen máximo                            Base un cuadrado de lado : (40 − 2x) y la altura ( x) ⇒ V ( x) = (40 − 2x)2 x.c. ⇒ S ′′ ( 2) = + 4 π > 0 ⇒ r = 2 ∃ mínimo ⇒ h = 4 r (2)3  36) Se desean construir cajas de cartón sin tapa partiendo de cuadrados de lado 40 cm.c.) 2 dx dx dx 3 2 2   dV dV = 8(3x − 40) ⇒ sust. x = (v.com.  a) Determina la longitud x de los recortes para que el volumen de la caja sea máximo. + ∞ ) ⎝r ⎠ r −32 π −32 π + 4π r 3 S′( r ) = + 4 π r ⇒ S ′ ( r ) = .    .Química Lic.103 cm3 2   37) La resistencia de una viga de sección rectangular es proporcional al producto de su  ancho a por el cuadrado de su altura h. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .  b) Aplícalo al caso Ø = 15” (pulgadas)  c) Si el tronco tiene largo L expresa en porcentaje del volumen total de madera el   328  damasorojas8@gmail.   joeldama@yahoo.    damasorojas8@galeon.) r2 r2 64 π 64 π S ′′ ( r ) = 3 + 4 π ⇒ sust. 816φ ⇒h= 3 3 b ) Si Φ = 15" ≅ 38cm ⇒ a ≅ 8.    .  Se  han  de  sujetar  con  cables  fijados  en  un  solo  punto. v .577φ ( v.Química Lic.com. 2 = − 6 k ( ) < 0 ⇒ en x = ∃ máximo da da 3 3 φ 2 si x = φ ≅ 0. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com. DÁMASO ROJAS   d) volumen de la viga.    [email protected]. 0 ≤ a ≤ Φ dR dR φ 3 = k ( Φ 2 − 3a 2 ) ⇒ =0⇒ a = = φ ≅ 0. h ≅ 12.  desde  el  suelo  a  los  329  damasorojas8@gmail.   [email protected] V φ 2 πφ 2 π( )L 4 % de madera utilizada en la viga es 60% de la madera total .65" ≅ 22cm.com. MSc.c . 24" ≅ 31cm φ2 c ) El volumen del trono cilíndrico de londitud L será : V = π L 4 V1 ahL 4 ah El volumen de la viga de longitud L será :V1 = ahL ⇒ = = ≅ 0.   38)  Dos  postes  de  20  y  28  pies  de  altura  respectivamente  se  encuentran  a  30  pies  de  distancia.) da da 3 3 d 2R d 2R φ φ 2 = − 6 ka ⇒ sust .                                            a ) Sea : R la resistencia de la viga y k > 0 una cte ⇒ R = kah 2 +q ABC ⇒ Φ 2 − a 2 = h 2 ⇒ R ( a ) = ka (Φ 2 − a 2 ). com.000 x − 360. DÁMASO ROJAS   extremos de los puntos.com.000 1684 x 2 = 1300 x 2 − 24000 x + 360000 (384 x 2 + 24.c.com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .)   330  [email protected] − 24000 x + 400 x 2 x 4 − 60 x 3 + 1684 x 2 = 1300 x 2 − 60 x 3 + x 4 − 24000 x + 360.    . Siempre que :0 ≤ x ≤ 30 dw = 2/ x + 2 x − 60 ⇒ dw = x + ( x − 30 ) dx 2/ x 2 + 400 2 x 2 − 60 x + 1684 dx x 2 + 400 x 2 − 60 x + 1684 dw x x − 60 x + 1684 + ( x − 30 ) x + 400 2 2 = dx ( x 2 + 400 )( x 2 − 60 x + 1684 ) dw = 0 ⇒ x x 2 − 60 x + 1684 + ( x − 30 ) x 2 + 400 =0 dx ⎡ x x 2 − 60 x + 1684 ⎤ = ⎡ ( x − 30 ) x 2 + 400 ⎤ ⇒ x 2 ( x 2 − 60 x + 1684 ) = ( x − 30 )2 ( x 2 + 400 ) 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x 4 − 60 x 3 + 1684 x 2 = ⎡⎣ 900 − 60 x + x 2 ⎤⎦ ( x 2 + 400 ) x 4 − 60 x 3 + 1684 x 2 = 900 x 2 − 60 x 3 + x 4 + 360. MSc.000 = 0) / 192 ⇒ 2 x 2 + 125 x − 1875 = 0 ( x + 75 )( 2 x − 25 ) = 0 ⇒ x = − 75 ó x = 12.5 Como x = − 75 ∉ en [ 0. ¿Dónde se han de fijar los cables para que la cantidad de cable  a emplear sea mínima?                      Sea W longitud del cable : W = y + z Del Triangulo 1: y 2 = x 2 + 400 ⇒ y = x 2 + 400 Ec1   Del Triángulo 2 : z 2 = ( 30 − x ) + ( 28 ) ⇒ z = ( 30 − x ) + 784 ⇒ z = x 2 − 60 x + 1684 Ec2 2 2 2 ⇒ w( x) = x 2 + 400 + x 2 − 60 x + 1684 .5 v.    damasorojas8@galeon.   joeldama@yahoo. 30 ] y los extremos son soluciones factibles x = (12.Química Lic. Supbase = 100(2)a 2 ⇒ Cbase = 200 a 2 Costo de la sup erficie lateral : Clat = 80 Slat = 80(6ah) ⇒ Clat = 480ah 45 CT = 200a 2 + 480ah.    .lat .  El  largo  del  rectángulo  $ base debe ser doble del ancho.5m. El punto C  está  en  la  misma  orilla  que  B  y  6  Km  a  su  derecha.com.c.                       El cos to del tan que : CT = Cbase + Csup.    damasorojas8@galeon.  Una  compañía  de  teléfonos  desea  331  [email protected] m ⇒ Las dim ensiones : a = 3m.Química Lic.c. MSc.com. donde : a > 0 ⇒ T = 400a − a da a2 dCT 10800 = 0 ⇒ 400a 3 − 10800 = 0 ⇒ a = 3 ⇒ a = 3 27 = 3(v.  Determina  las  dimensiones  del  recipiente  para  que  el  costo  de  los  materiales sea mínimo.   40) Los Puntos A y B están opuestos uno al otro y separados por el mar 3 Km. h = 2. El material de la base tiene un costo de 100   y el de las  $ paredes  de  80  . así como el correspondiente precio del tanque. 2 = 400 + > 0 ⇒ a = 3∃ un mínimo da a da (3)3 si: a = 3 ⇒ h = 2. como :VT = 45m3 ⇒ VT = a 2ah ⇒ VT = 2a 2 h ⇒ 2a 2 h = 45 ⇒ h =   2a 2 10800 dC 10800 CT ( a ) = 200a 2 + .) da 400   2 2 d CT 21600 d CT 21600 2 = 400 + 3 ⇒ sust v.. L = 6m. El cos to del material de la base será : Cbase = 100.com.   joeldama@yahoo. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .  con  la  parte  superior  abierta  según  indica  la  figura. CT (3) = $5400. DÁMASO ROJAS   39) Se desea construir un tanque con forma de paralelepípedo rectangular de 45 m3 de  volumen. .    . ¿Qué línea de cable sería menos costosa para la compañía?  AP = Cantidad de cable bajo el agua. C (4) = ( a ) ⇒ El valor menor es cuando x = 4 5 5 ⎡ ( x 2 + 9 )1/ 2 − x ( x 2 + 9 )−1/ 2 (2 x ) ⎤ ⎡ ( x 2 + 9 )1/ 2 ⎤ O también C´´( x ) = a ⎢ ⎥ ⇒ C´´( x ) = 9 a ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ( x2 + 9) ⎥ ⎦ ⎢ ( x2 + 9) ⎥ ⎣ ⎦ 9a C´´( x ) = ⇒ C´´(4) > 0 ∃ mínimo ( x 2 + 9 ) 332  damasorojas8@gmail. donde 0 ≤ x ≤ 6 Si a = cos to en . ⇒ + q ABP ⇒ AP = x 2 + 9 PC = Cantidad de cable por tierra.    [email protected]ímica Lic.c. 6 ] 2 2 2 2 39 33 C (0) = a . ⇒ PC = 6 − x P = Punto cualquiera entre BC. DÁMASO ROJAS   tender un cable de A a C.   [email protected]. Si el costo por km de cable es 25% más caro bajo el agua que  en tierra. 25 b b 5b 4a a=b+ ⇒ a =b+ ⇒ a = ⇒b = 100 4 4 5 El cos to de cable bajo el agua : a x 2 + 9. C (6) = 3a 5 . El cos to de cable por tierra : b ( 6 − x ) 4a El cos to total : C ( x) = a x 2 + 9 + b ( 6 − x ) ⇒ C ( x) = a x 2 + 9 + (6 − x) 5 ⎡ 2/ x 4 ⎤ ⎡ 5x − 4 x2 + 9 ⎤ C´( x) = a ⎢ − ⎥ ⇒ C´( x) = a ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2/ x 2 + 9 5 ⎥ ⎦ ⎢⎣ 5 x 2 + 9 ⎥⎦ C´( x ) = 0 ⇒ 5 x − 4 x 2 + 9 = 0 ⇒ [5 x ] = ⎡ 4 x 2 + 9 ⎤ ⇒ 25 x 2 = 16 ( x 2 + 9 ) 2 2 ⎣ ⎦ 25 x = 16 x + 144 ⇒ 9 x = 144 ⇒ x = 16 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = 4 (v.com.) ∈ [ 0. De cada km de cable bajo tierra b = cos to en Bs.com. MSc. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . De cada km de cable por tierra. com.  usando  para  ello  una  base  de  cobre  y  lados  de  hojalata. h la altura de la parte cilindrica.Química Lic.  si  el  cobre  333  damasorojas8@gmail.   joeldama@yahoo. v. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com.  El  costo  de  construcción  por  m2  es  doble  en  la  bóveda  que  en  la  parte  cilíndrica. Sup. de forma que el  costo de construcción sea mínimo. Costo de boveda : 2 A( m$2 ) ⇒ CT = 2π RhA + 2π R2 (2 A) ⇒ CT = 2π AR(2R + h) 2π R3 V− 4π R3 3 ⇒ h = 3v − 2π R 3 si V es volumen dado : V = π R2h + ⇒h = 6 π R2 3π R2 4π R3 + 3V dCT ⎛ 8π R3 − 3v ⎞ dCT 3V CT (R) = 2 A( )⇒ = 2 A⎜ ⎟⇒ = 0 ⇒ −3V + 8π R3 = 0 ⇒ R = 3 (v.com. Encuentra las dimensiones h y Ø del silo de volumen V dado.c. boveda = 2π R2 Costo de Sup lateral : A ( m$2 ). lateral = 2π Rh. > 0 ∃(mínimo) dR2 ⎝ 3R3 ⎠ dR 2 2 2 3V V − π R3 V− π Como φ = 2R ⇒ φ = 3 3V ⇒ h= 3 ⇒h= 3 8π π π R2 9V 2 π3 64π 2   42) Se va a construir un calentador para agua en el forma de un cilindro circular recto  con  eje  vertical.c. Sup. DÁMASO ROJAS   41)  Se  desea  construir  un  silo  de  forma  cilíndrica  rematado  por  una  bóveda  semiesférica.                                                               Sea : R radio de la base. MSc.) 3R dR ⎝ 3R 2 ⎠ dR 8π d 2CT ⎛ 4 A(4π R3 + 3v) ⎞ d 2CT = ⎜ ⎟ ⇒ sust.    .    damasorojas8@galeon. c. DÁMASO ROJAS   cuesta 5 veces lo que la hojalata.V = Volumen. h ⇒C(r) =10aπ r 2 + 2 aπ r ⎜ 2 ⎟ ⇒ C(r) =10aπ r2 + 2a ⎜ ⎟ ⇒ C(r) = 2a ⎢5π r2 + ⎥ ⎝π r ⎠ ⎝r⎠ ⎣ r⎦ ⎡ V⎤ ⎡10π r3 −V ⎤ V C´(r) = 2a ⎢10π r − 2 ⎥ ⇒C´(r) = 2a ⎢ ⎥ ⇒ si : C´(r) = 0 ⇒10π r3 −V = 0 ⇒ r = 3 3 (v. Calcule la razón se la altura al radio r. ⇒ C´´ ⎡ 3 10Vπ ⎤ = 4a ⎢5π + ⎥ ⎣ r ⎦ ⎣ r ⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ( 3 10Vπ )3/ ⎥⎦ ⎡ 10πV ⎤ C´´ ⎡ 3 10Vπ ⎤ = 4a ⎢5π + ⎥ ⇒ C´´ ⎡ 3 10Vπ ⎤ = 4a[15π ] ⇒ C´´ ⎡ 3 10Vπ ⎤ = 60π a > 0∴∃ mínimo.  Admitiendo  que  el  costo  de  alambrado  es  proporcional  a  la  longitud  a  alambrar.    damasorojas8@galeon. MSc. acírculo =π r 2 .  dimensionar  el  rectángulo  para  que  el  costo  de  alambramiento sea mínimo.   joeldama@yahoo. Clados (hojalata) = a[ 2π rh] ⇒ CT = 5 a ⎡⎣2π r2 ⎤⎦ + a[ 2π rh] ⎛ V ⎞ ⎛V ⎞ ⎡ V⎤ sust.com. del cilindro ⇒V =π r2h ⇒ h = π r2 CT = Ctapas + Clados ⇒ si : acilindro = 2π r h. Se supone que no se alambra sobre la ribera. h = Altura . Recuerda que  334  [email protected]. v.c.  V Sean : r = Radio .) ⎣ r ⎦ 2 ⎣ r ⎦ r ⎡ 2V ⎤ ⎡ V⎤ ⎡ V ⎤ C´´(r) = 2a ⎢10π + 3 ⎥ ⇒ C´´(r) = 4a ⎢5π + 3 ⎥ ⇒ sust. que hará que el  costo sea mínimo cuando el volumen V es constante.Química Lic.    . ⎣ ⎦ ⎣ V ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ V si :r = 3 10Vπ ⇒h = ( ) 2 π 3 V 10π 43)  Sobre  la  ribera  de  un  río  cuya  orilla  se  supone  rectilínea  se  desea  alambrar  una  superficie  rectangular  de  10  hectáreas. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . además a el Costo del material C tapas (cobre) = 5 a ⎡⎣2π r2 ⎤⎦ . el alambrado debe tener 5 hilos.   joeldama@yahoo. ⇒ Ltotal = 4472 m y el cos to total de alambre es de U $S 156.                      A A Sea : L a su longitud (m) ⇒ L = x + 2 y.    . h = 2a cosθ ⇒ S = 2π ( asenθ )( 2a cosθ ) ⇒   S (θ ) = 4π a2 ( senθ cos θ ) . π2 ) 335  [email protected]. DÁMASO ROJAS   1 hectárea = 10. h : altura S : S = 2π rh : áreas de la sup erficie lateral del cilindro. y ≅ 223.40 m 2 Además. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .    damasorojas8@galeon. 20 m.60 m.com.Química Lic. De la figura : r = asenθ .com. x ≥ 0 x x dL 2 A dL x2 − 2 A dL = 1− 2 ⇒ = ⇒ = 0 ⇒ x = 2 A(v. r : radio del cilindro.c.(v.com.000 m  vale  U$S  35.  Calcula  además  el  costo  del  alambre  necesario.  Calcular la razón de la altura del radio de la base del cilindro que tenga la mayor área de  superficie lateral. y A el área ⇒ A = xy ⇒ y = ⇒ L( x) = x + . 44)  Un  cilindro  circular  recto  va  a  ser  inscrito  en  una  esfera  con  determinado  radio.) ⇒ 2 > 0 ⇒ ∃ mínimo ⇒ si : x = 2 A ⇒ y = = dx x dx 2A 2 como : 1 Hectaria = 10000 m ⇒ x ≅ 447.) dx x dx x2 dx d 2L 4A d 2L A 2A 2 = 3 ⇒ sust.                                               Sean : θ el ángulo al centro de las esferas.52. Dom ( 0. MSc.000 m2. L = 894. Si el alambrado se construye con 5 hilos y el rollo de 1. Química Lic. Los lados del rectángulo exterior : ( x + 2a) e ( y + 2b) y su área S : S = ( x + 2a )( y + 2b ) A ⎛A ⎞ además : A = xy ⇒ y = ⇒ S ( x) = ( x + 2a ) ⎜ + 2b ⎟ . h = 2a cos( π4 ) ⇒ h = 2a2 2 ⇒ h = a 2 ⇒ = 2(razón buscada) r   45) Una fábrica necesita una superficie de piso de forma rectangular y área A m2 para  carga de materiales. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .    damasorojas8@galeon. 2 = > 0 ⇒ ∃ mínimo ⇒ si : x = ⇒y= A dx x dx ( aAb )3 b a se deduce que : si (a = b) el rectángulo de c arg a y el rectángulo exterior serán cuadrados. de área A.com.                                                  Dimensiona el rectángulo de carga para que la superficie rectangular exterior necesaria  sea mínima. b : los espesores de las paredes.c.c. sust . = −8π a2 < 0 ∃ máximo   dθ 2 dθ 2 dθ 2 h r = asen( π4 ) ⇒ r = a 2 2 . Donde : x > 0 x ⎝x ⎠ dS ⎛ A ⎞ ⎛ A ⎞ dS 2bx − 2aA dS 2 aA   = ⎜ + 2b ⎟ + ( x + 2a ) ⎜ − 2 ⎟ ⇒ = ⇒ =0⇒ x = (v.   [email protected]. v. v.) dx ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ dx x 2 dx b d 2 S 4aA d 2S 4aA aA b 2 = 3 ⇒ sust . π2 ) dθ dθ 2 d S d2 S d2 S = −16 π a 2 senθ cos θ ⇒ = − 8 π a 2 sen 2θ .    . a.com. DÁMASO ROJAS   dS dS = 4π a2 (2cos2 θ − 1) ⇒ = 0 ⇒ 2cos2 θ − 1 = 0 ⇒ θ = π4 (v.) ∈ Dom ( 0. MSc.c.  Sea : x e y los lados del rectángulo. Para cerrar esa superficie se construirán paredes de espesores fijos  de a metros y b metros como indica la figura. 336  [email protected].  . h = (v.com. MSc.                                                 π r 2h V = volumen del cono 3 El cono de volumen maximo debe tener su base en la semiesfera inferior pues todo cono tiene otro con base simetrica respecto al plano diametral de la esfera ^AC. 2R] Del triángulo OCB ⇒ R2 = ( h − R ) + r 2 ⇒ r 2 = R2 − ( h − R ) ⇒ r 2 = 2hR − h2 2 2 π π V (h) = ⎡⎣2hR − h2 ⎤⎦ h ⇒ V (h) = ( 2Rh2 − h3 ) . En el sistema (XOY) indica.  encuentra  la  altura  máxima  (hmáx)  que  alcanza  el  proyectil.c. 2 = ( 4R − 6( 43R ) ) < 0∃ máximo ⇒ si : h = ⇒r = dh 3 dh 3 3 3   47)  Se  lanza  un  proyectil  en  el  vacio  desde  un  punto  0  (ver  figura)  con  velocidad  Vo  y  ángulo de inclinación θ.    [email protected]  a) Para Vo y θ  . DÁMASO ROJAS   46) Encuentra las dimensiones r y h del cono recto de base circular de volumen máximo  que puede inscribirse en una esfera de radio R dado.                b)  Calcula  el  337  damasorojas8@gmail. lo que permite variar h en [R .Química Lic. dadas. Donde : R ≤ h ≤ 2R 3 3 dV π = ( 4Rh − 3h2 ) ⇒ si : dV 4R = 0 ⇒ h = 0.com.com. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .     a la función:   Y(x) =  .) dh 3 dh 3 d 2V π d 2V π 4R 2R 2 2 = ( 4 R − 6h ) ⇒ sust v.c. la trayectoria del proyectil responde  .    . en la semiesfera superior. pero de menor altura.   joeldama@yahoo.         0 ≤ θ ≤  .           g = 9. .    damasorojas8@galeon. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . ⇒ 2 = =− < 0 ⇒ ∃ máximo dθ 2 g dθ g g π en :θ =   4  48) Un tanque de 2 m.com.  . Siendo v0 y θ const 2V cos θ o 22 2 dy −g dy g Vo2 (senθ cosθ ) = x + tgθ ⇒ = 0 ⇒ 2 2 x = tgθ ⇒ x = dx Vo2 cos2 θ dx Vo cos θ g d2y −g = 2 2 < 0 ⇒ ∃ máximo dx Vo cos θ 2 −g ⎛ Vo4 sen2θ cos2 θ ⎞ ⎛ Vo2 senθ cosθ ⎞ Vo2 sen2θ ymá x = ⎜ ⎟ + tg θ ⎜ ⎟ ⇒ y = 2Vo2 cos2 θ ⎝ má x g2 ⎠ ⎝ g ⎠ 2g V2 π b)Sea L alcance ⇒ L = 2x ⇒ L = 2(Vgo senθ cosθ ) ⇒ L(θ ) = o sen ( 2θ ) .) dθ g dθ g dθ 4 d 2 L −4Vo s en ( 2θ ) d 2 L −4Vo s en ( 2( π4 ) ) 2 2 4Vo2 = ⇒ sust. Donde  Vo  es  la  velocidad  del  chorro  a  la  salida  del  orificio  y  g  la  aceleración  de  la  gravedad. Sabiendo que Vo =  .  . MSc.c. DÁMASO ROJAS   alcance L del proyectil y suponiendo Vo constante.c. indicando el valor θo que da máximo  alcance. de altura apoyado en el piso se mantiene lleno de agua mientras  que por un orificio practicado en una de sus paredes escapa un chorro que golpea el piso  en  el  punto  A.com. 0 ≤ θ ≤ . Para : 0 ≤ θ ≤ 2 g 2 dL 2Vo cos ( 2θ ) π 2 dL Vo2 dL = cos ( 2θ ) 2 ⇒ = ⇒ si : = 0 ⇒ cos ( 2θ ) = 0 ⇒ θ = (v.   joeldama@yahoo. .Química Lic.com. se pide que determines la profundidad h a que  338  damasorojas8@gmail. v.    .    a  una  distancia  x  de  la  pared.                                                −g π a) y ( x ) = x2 + ( tgθ ) x.  Admite  que  el  chorro  tiene  forma  parabólica y que en el sistema (XY) indicado su ecuación es:                       Y =  . ) dh h(2 − h) dh d 2x −2 2 = < 0 ⇒ en h = 1∃ máximo ⇒ x ( h ) = 2 2h − h 2 ⇒ x = 2 dh (h(2 − h)) 3 49)  Considera  una  circunferencia  de  radio  R  dado.Química Lic. DÁMASO ROJAS   debe  encontrarse  el  orificio  para  que  el  chorro  golpee  el  piso  a  máxima  distancia  del  tanque. a) Calcula el perímetro de los triángulos en función del ángulo θ.c. Del : + OMB : ( MOB = 2θ ( ángulo central e inscrito correspondientes )   ⇒ MB = R sen ( 2θ ) ⇒ AB = 2( R sen (2θ )) 339  damasorojas8@gmail.    damasorojas8@galeon.    .  Se  inscriben  en  ella  triángulos  isósceles ABC. de la Fig.com.com. MSc. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .   joeldama@yahoo. b) Halla  el triangulo de perímetro máximo.com.                                                            gx 2 gx 2 Dada : y = . el punto Aes : A ( x. 0 ≤ h ≤ 2 dx 2(1 − h) dx = ⇒ si = 0 ⇒ h = 1(v.                                                       a. 2 − h) ⇒ 2 − h = 2Vo2 2Vo2 gx 2 x2 la velocidad de salida del líquido (V0 ) : V 2 0 = 2 gh ⇒ 2 − h = ⇒ 2−h = 2(2 gh) 4h x 2 = 4h ( 2 − h ) ⇒ x ( h ) = 2 2h − h 2 Donde : x ≥ 0.) sea p el perimetro + ABC. c. Como los  puntos dados satisfacen la ecuación dada y usando la última relación obtenida.com.c. esta expresada por la relación: P =   . o b = c.Química Lic.  De aquí.com.c.  a = 0.  a(b − c ) = 0.) dθ dθ 2 1± 1+ 8 = 4R ( −2sen2θ − sen θ +1) . si dp dp = 0 ⇒ −2sen2θ − sen θ +1 = 0 ⇒ sen θ = dθ dθ −4 1 π π senθ = ⇒θ = (v.com.) en 0 ≤ θ ≤ 2 6 2 2 2 d p d p = −12R cosθ ⇒ sust. 2 = −12R cos ( π6 ) = −6R 3 < 0 ⇒∃máximo dθ 2 dθ p ( π6 ) = 4R cos ( π6 ) ( sen ( π6 ) +1) = 3 3R ⇒ El triángulo es equilátero. 2 = < 0 ⇒ ∃ máximo ⇒ Pm á x = (R + r) ( R + R) 4 4 dR 2 dR 4R ax 51) Determine los valores de las constantes a. DÁMASO ROJAS   MB Rsen (2θ ) 2Rsen(2θ ) ( CMB : BC= = ⇒ BC = ⇒ BC= 2R cos(θ ) sen θ sen θ sen θ p (θ ) = 2Rsen(2θ ) + 2(2R cosθ ) ⇒ p (θ ) = 2R ( sen(2θ ) + 2cosθ ) ⇒ p (θ ) = 4R cosθ (1+ senθ ) π = 4R ⎡⎣−sen θ ( senθ +1) + cosθ cosθ ⎤⎦ ⇒ = 4R ( cos2 θ − sen2θ − sen θ ) Para : 0 ≤ θ ≤ dp dp b. se tiene:  340  damasorojas8@gmail. MSc. 12 )   La derivada correspondiente a la función objeto de estudio está dada por:  y´= ( a b − cx 2 ).   esto es. b.   (b + cx ) 2 2 La  existencia  de  extremos  relativos  en  x = ± 1   indica  que  en  este  par  de  valores  y´= 0. Determine el valor de  R en función de r para que la potencia sea máxima.2 ( R + r ) ⎤ dP 2 ( − R + r ) 2 Rε 2 2 2 P( R) = ⇒ =ε ⎢ ⎥⇒ =ε (R + r) (R + r) (R+ r) 2 4 4 dR ⎢⎣ ⎥⎦ dR dP = 0 ⇒ − R 2 + r 2 = 0 ⇒ R = r (v. − 12 ) y (1.    damasorojas8@galeon.  R y r en Ω. y c para la curva  y =  presente  b + cx 2 extremos  relativos en  (1.v.  dP 2 ⎡ ( R + r ) − R . en esas condiciones la potencia P disipada por la resistencia R  .)   dR d 2 P 2ε ( R − 2 r ) d 2 P 2ε ( R − 2 R ) ε2 2 2 = ⇒ sust.    .   [email protected]. V en voltios.  De acá sólo es admisible b = c. v.   50) Un generador de fuerza electromotriz constante ε y resistencia interna r se conecta a  una resistencia de carga R. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .   b+c 2 2b 2 De  esta  forma. [0.  a)  Se  desea  saber  cual  es  el  recorrido  que  debe  realizar  el  conducto para que el tiempo empleado en ir desde A hasta B sea mínimo.Química Lic.com. v. t AN = . t NB = ⇒ t ( x) = + .) El tiempo de recorrido sera : t = 1h 16m 341  damasorojas8@gmail.    .) v2 − v1 2 1 1 v2 − v1 2 2 (100) 2 − (80) 2 d 2t d2 d 2t = ⇒ sust .c. MN = d MN = x.c.  es  irrelevante  el  valor  de  a.com.  si  a = b = c.   Por  lo  tanto.com. DÁMASO ROJAS   a 1 a 1 − =− ⇒ = ⇒ a = b. > 0 ⇒ ∃ mínimo en x = 48 dx 2 v1 ( d 2 + x 2 )3 dx 2 b.    [email protected]. d AM = d = 36km Del ( AMN : d AN = d 2 + x 2 d 2 + x2 100 − x d 2 + x 2 100 − x Por M .  52) Un vehículo debe trasladarse desde el punto A hasta el punto B de la figura.  Sobre  la  carretera  el  vehículo  puede  desarrollar  una  velocidad  de  100  .   joeldama@yahoo. NB = d NB = 100 − x. b) Calcula ese  tiempo.100] v1 v2 v1 v2 dt x 1 dt x 1 = − ⇒ =0 ⇒ − = 0 ⇒ v2 x = v1 d 2 + x 2   dx v1 d + x 2 2 v2 dx v1 d + x 2 2 v2 d 2 v12 ± dv1 (36)(80) v x −v x = d v ⇒ x = 2 2 ⇒ x = 2 2 2 2 2 2 ⇒x= 2 ⇒ x = 48(v.  lo  verdaderamente importante es la relación obtenida entre las constantes. v2 = 100 kmh rapidez en la carretera.                                                sea : v1 = 80 kmh rapidez en el terreno. El punto  A  dista  36  Km  de  una  carretera  rectilínea. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . MSc.  mientras  que  sobre  el  terreno  puede  desarrollar  una  velocidad  de  80  .   la  ecuación  en  cuestión  se  puede  escribir  como  ax ax x y= = = a + ax 2 a 1 + x2 ( ) 1 + x2 .U . Química Lic.c.  R − {0}. b) calcular los radios de  las circunferencias para que el área sombreada sea mínima. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .) Como los círculos de centros A y C son de igual radio x. DÁMASO ROJAS   a 53) Demuestre que la curva de ecuación  y = − x 2  no tiene mínimo relativo para  x ningún valor de a.    damasorojas8@galeon. de él se toman  los centros de tres circunferencias de forma que los radios de las que tienen centros en  vértices  consecutivos. la mitad de la diagonal del cuadrado. c) calcula dicha área. ⇒ y " = ⎣ 2a y" = 3 − 2⇒ y" = 3 = − 6 < 0 ⇒ máximoen x = 3 x x a 2 − 2   54) Se considera un cuadrado de lado 1 m.    . El  dominio  de  la curva está  dado  por.com. MSc.   2L 2 siendo el lado L del cuadrado de 1m :⇒ xmáx = ⇒ xmáx = m 2 2                                                     342  [email protected]) 3 x 2   ⎡ ⎛ a ⎞⎤ 2 ⎢a − ⎜ − ⎟⎥ 2(a − x ) 3 ⎝ 2 ⎠⎦ −a ⇒ sust v.   joeldama@yahoo. el máximo valor para que aquellos no se solapen será.com.   De  donde  existe  una  asíntota  vertical  en  0.                                                     a.  a)  Encuentra  los  valores  extremos  de  los  radios  de  forma que los cuadrantes de círculo sombreados no se solapen.  − ( a + 2 x3 ) −a y´ = 2 ⇒ si y´= 0 ⇒ a + 2 x3 = 0 ⇒ x = (v. En tres vértices consecutivos.  sumen  1  m.com.   2 2 sustituyendo los valores calculados en (3) y luego en (1).  sigue:  3a + b + c = − (5).  Usando los hechos de que los  puntos dados satisfacen la ecuación de la curva y que  y ´ = 0 en x = − 1 y x = 2. se tiene:  c = − 6.) dx 4 dx 3 d 2 A 6π d 2 A 3π 1 2 = ⇒ 2 = > 0 ⇒ ∃ mínimo en x = dx 4 dx 2 3 π c.  ⎧ 11 ⎫ ⎪− a + b − + d = 2 (1) ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨8a + 4b + 2c + d = − 8 (2) ⎪⎬   ⎪3a − 2b + c = 0 (3) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩12a + 4b + c = 0 (4)⎪⎭ 9 Haciendo  (2)‐(1). c y d sabiendo que la  curva de ecuación  y = ax 3 + bx 2 + cx + d  tiene extremos relativos en  ( −1. 11 2 ) y ( 2. La escalera se apoyara también sobre la cerca.com.   se tiene el sistema de ecuaciones.50 m de altura. d = 2.com. DÁMASO ROJAS   b.) área mínima será Amin = 6 55) Calcule  los valores de las constantes a.com.  queda:  2 9 3 3b = − ⇒ b = − . 2 2 ⎤ ⎦ 4 2 4 4 dA π dA 1 = ( 6x − 2) ⇒ = 0 ⇒ 6 x − 2 = 0 ⇒ x = (v. MSc.Química Lic.   a  partir  de  (4)‐(3). − 8) . de distancia corre  una cerca de 1.   De  (5)‐(3).c.) El área a considerar se compone de dos cuadrantes de círculo de radio x y un ⎛ π x2 ⎞ 1 cuadrante de radio 1 − x ⇒ A( x ) = 2 ⎜ ⎟ + π (1 − x ) 2 ⎝ 4 ⎠ 4 3π x 2 π x π π A( x) = − + ⇒ A( x) = ( 3 x 2 − 2 x + 1) .  De  y = ax 3 + bx 2 + cx + d ⇒ y´ = 3ax 2 + 2bx + c.    damasorojas8@galeon. a) Calcula  la  longitud  mínima  que  deberá  tener  la  escalera  para  cumplir  con  las  condiciones  343  damasorojas8@gmail.   joeldama@yahoo. Paralelamente a la pared del galpón y a 1 m.  obtenemos:  3a + 2b = 0 ⇒ a = 1. b. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . ⎡⎣0.    .   55) Se desea colocar una escalera apoyada en el suelo y en la pared de un galpón como  se muestra en la figura.   344  damasorojas8@gmail.   Resolviendo  el  sistema  formado  por  estas  ecuaciones. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com. b = −1.5 +tgθ ) cosθ 2 = 0 ⇒ (1 + tg 2θ ) senθ = (1. resulta:  a = 3.42 (a + .85 rad ≅ 49º (v.65 m 1.) Del ( ABD La altura " y " es : y = Lsenθ ≅ 2.5 + tgθ ) cosθ dL = ⇒ dθ sen θ 2 dθ (1 + tg θ ) tgθ = tgθ + 1. DÁMASO ROJAS   pedidas  (se  sugiere  expresar  la  longitud  de  la  escalera  en  función  del  ángulo  que  la  misma forma con el piso). Del ( ABD : cosθ = ⇒L= x L cos θ 1 + tgθ 1. 2 3 4 .b = 23 4 ⇒ 3 2.com.Química Lic.) Del ( ECD "x " es : x = ≅ 1. A partir de las coordenadas del punto dado. > 0 ⇒ ∃ mínimo ⇒ Lmin ≅ 3.4 2 a + 43 . 3 3 Como  en  x = 4.com.51 m dθ 2 2sen3θ cos3 θ dθ 2 b.5 c.5 ⇒ tg θ = 1. b) ¿A que altura de la pared del galpón apoyara la escalera?   c) ¿A que distancia de la cerca apoyara la escalera sobre el suelo?                                                      1. 4(a + 2b ) = 23 4 ⇒ a + 2b = 1.5 1. se tiene:  2. donde  además  existe  la  primera derivada. sigue : a + 3b = 0.) d 2 L 3cos5 θ + 3cos3 θ + 2sen5θ + 2sen3θ d 2L = ⇒ sust v.    .5 = 1.5(tgθ ).  asumiendo que la  ( ) curva  en  cuestión  tiene  un  extremo  relativo  en  4.c. y´ = 0.5 1+ x 1+ x Del ( ECD : tgθ = ⇒ x = 1.    [email protected]. 0 < θ < π2 cos θ senθ dL ( sec θ ) senθ − (1.5 ⇒ θ = Arctg 2 3 3 1.5 + tgθ L= ⇒L= .30 m tgθ 56) Determine los valores de a y b en la ecuación  y = 3 2ax 2 + bx 3 . MSc.14 ⇒ θ ≅ 0.   joeldama@yahoo. 2b ) = 2 4 ⇒ 3 23 .   y  estos  12a 12a posibles puntos de inflexión existen si  3b 2 − 8ac ≥ 0. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .) Dado que el voltaje Vo es cons tan te.    .   joeldama@yahoo.    damasorojas8@galeon.   ) La  posibilidad  de  puntos  de  inflexión  se  asocia  a  y" = 0. Donde Z es la impedancia del circuito y  vale:    Z =   a) Expresa Io como función de  . (El valor que hallaras se conoce como “Frecuencia de resonancia”)  2 V ⎛ 1 ⎞ Vo a. al que se le aplica un voltaje V(t) de variación  sinusoidal dada por la expresión:     La intensidad I de la corriente que  circula  por  el  circuito  viene  dada  por  la  expresión . DÁMASO ROJAS   57) ¿Cuál es la relación que debe existir entre los coeficientes a. MSc.com. halla el valor de   que corresponde al  máximo valor de Io.) I o = o .  n verifique que: a) f tiene un  valor mínimo relativo en x = 0. para max imizar Io bastará min imizar el   1 1 1 1 1 deno min ador ⇒ Lω = ⇒ Cω 2 = ⇒ ω2 = ⇒ω = ⇒ω = Cω L LC LC LC 2 ⎛ 1 ⎞ Z (ω ) = R + ⎜ Lω − 2 ⎟ ω > 0 Z min = R = R 2 ⎝ Cω ⎠ 59)  Dada  f ( x ) = x m (1 − x )   donde  m  y  n  son  enteros  positivos  mayores  que  1.com. b. como : Z = R + ⎜ Lω − ⎟ ⇒ I o (ω ) = 2 Z ⎝ Cω ⎠ ⎛ 1 ⎞ 2 R + ⎜ Lω − ⎟ 2 ⎝ Cω ⎠ b. b) Suponiendo que la  función angular   de la fuente puede variarse.Química Lic. b) f tiene un valor  345  damasorojas8@gmail.     58) Se considera un circuito serie R–L–C.  El  valor  máximo Io esta dado por la expresión:   Io =  . y c para que la curva  y = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e  pueda tener puntos de inflexión?  y´ = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d ⇒ ( y" = 12ax 2 + 6bx + 2c = 2 6ax 2 + 3bx + c . − 3b ± 9b 2 − 24ac − 3b ± 3b 2 − 8ac 6ax + 3bx + c = 0 ⇒ x = 2 = .   esto  es. si m es par.com. com.  f ´ = ( x ) = 0.   Además.Química Lic. MSc.20 m x 3 m.  1  entonces  m − 1 > 0. Se desea  construir con ella un bebedero para animales procediendo a doblar la chapa como indica  la  figura.  como  m  y  n  m+n m son  enteros  positivos  mayores  que. podemos construir la siguiente tabla.  f ´ = mx m −1 (1 − x ) + x m n (1 − x ) n n −1 (− 1)= x m −1 (1 − x )n −1[m(1− x ) − nx ]= x m −1 (1 − x )n −1[m − (m + n )x ] Como  puede  observarse. si x = 0.0)  m     0 < x <   m + n +  f es creciente  m ⎛ m ⎞ mm nn ⎛ m mm nn ⎞ x=   f⎜ ⎟= ⎜ Máx.  siendo m y n pares o impares.0)  x > 1    +  f es creciente      60) Se dispone de una chapa metálica de forma rectangular de 1. (1. n −1 > 0. con un resumen correspondiente a la gráfica  en cuestión. (0.    Intervalos  f  f´  Conclusión  x < 0    ‐  f es decreciente  x = 0  f (0) = 0   Mín.    . x = m . 0 < < 1.    damasorojas8@galeon.  ⎜ . ⎟  ⎝ m + n ⎠ (m + n ) m +n ⎟ m+n m + n ⎝ m + m (m + n ) ⎠ m   ‐  f es decreciente  < x < 1  m+n x = 1  f (1) = 0     Mín.   joeldama@yahoo.  para  formar  la  superficie  lateral  y  el  fondo.com. x = 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .com. c) f tiene un valor mínimo  m+n relativo en x = 1.   De  m +n aquí. si n es par. DÁMASO ROJAS   m máximo relativo en  x = .  Las  bases  se  confeccionan  de  346  damasorojas8@gmail. 80cos θ ) ⇒ sust. DÁMASO ROJAS   madera dura.40 senθ ) ⇒ S (θ ) = ( 0.40) senθ . senθ = ⇒ h = (0.40 0.    .40 + ( 0.16cos θ ) senθ 2   Sea : V volumen del bebedero ⇒ V = SL ⇒ pero : L = 3m ⇒ π V (θ ) = 3 ( 0. MSc.c.com.40 0.    damasorojas8@galeon. 3 b.40 + ( 0.Química Lic. cosθ = ⇒ a = 0.16 ) ⎢⎣− sen2θ + cosθ + cos2 θ ⎥⎦ dθ dθ   −1 ± 9 = 0.16cosθ ) senθ ( m3 ) . INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . Para : 0 ≤ θ ≤ 2 dV dV = 3 ⎢⎣−0.   joeldama@yahoo. a) Determina el ángulo θ para que el volumen del bebedero sea máximo.16 + 0.16 + 0. S (θ ) = (0.c .40 + 2a ) a. ⇒ = = <0 dθ 2 25 dθ 2 25 25 π ⇒ ∃ máximo en θ = 3 ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ π ⎟ = 3 ⎜ 0.) en 0 ≤ θ ≤ 2 ⎝2⎠ 3 2 d 2V − 12 senθ (4 cos θ + 1) d 2V − 12 sen ( π3 )(4 cos( π3 ) + 1) − 18 3 = ⇒ sust v .16 sen2θ + ( 0.com.40 cos θ 0.16 + 0.623m ≅ 623 lt .40 + 0.) V ⎜ ⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 347  damasorojas8@gmail.  b) Calcula dicho volumen en litros.16 + 0.           0.16 cos θ ) cos θ ⎥⎦ ⇒ = 3 ( 0.48 ( 2 cos 2 θ + cos 2 θ − 1) si dV dV = 0 ⇒ 2 cos 2 θ + cos θ − 1 = 0 ⇒ cos θ = dθ dθ 4 1 ⎛1⎞ π π cos θ = ⇒ θ = Arc cos ⎜ ⎟ ⇒ θ = ( v.) Superficie del trapecio base es : S = h 2 h a De la fig.com.16 cos ⎟ sen ≅ 0. Química Lic.   Si dos focos luminosos se encuentran a una distancia L y tienen intensidades I1  e  I2.   .  4a ‐ b = 0.                                                  KI1 KI 2 ⎛I I ⎞ dE ⎛ −2 I −2 I dy ⎞ E = 2 + 2 ⇒ E = K ⎜ 12 + 22 ⎟ ⇒ = k ⎜ 3 1 + 3 2 ( )⎟ x y ⎝x y ⎠ dx ⎝ x y dx ⎠   dy dE ⎛ I I ⎞ además : L = x + y ⇒ y = L − x ⇒ = −1 ⇒ = 2k ⎜ − 13 + 23 ⎟ dx dx ⎝ x y ⎠ 348  damasorojas8@gmail. MSc. ( ) 2(2ax − b ) ax + bx ⇒ y" = ax 3 − bx 3 = − x 3 (2ax − b ) = 4 13 1 − 23 4 −2 2 −5 2 −5 y´=                La  3 3 9 9 9   93 x 5 ecuación  dada  de  la  curva  puede  escribirse  como:  y = x 3 (ax + b ) = 3 x (ax + b ).    62)  La  intensidad  de  iluminación  E  en  luz  que  produce  un  foco  luminoso  puntual  en  cualquier  punto  es  directamente  proporcional  a  la  intensidad  del  foco  I  en  candelas  e  inversamente proporcional al cuadrado de su distancia d al foco expresada en metros. DÁMASO ROJAS   4 1 61)  Determine  los  valores  de  a  y  b  en  la  ecuación  y = ax 3 + bx 3   si  la  gráfica  correspondiente presenta un punto de inflexión en  2.    .com.   Como  el  1 punto  satisface  la  ecuación  la  ecuación  de  la  curva. 6 3 2 .  se  tiene. sigue: a = 1.com.  es decir.   joeldama@yahoo. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .  Se  supondrá  que  la  iluminación  en  cualquier  punto  es  la  suma  de  las  iluminaciones  producidas por cada foco.com. en   x = 2. y" = 0. 3 2 (2a + b ) = 63 2 ⇒ 2 a + b = 6.   Como la gráfica tiene un punto de inflexión en el punto dado. b = 4.    damasorojas8@galeon.  Resolviendo el sistema planteado.  Halla  el  punto  del  segmento  que  los  une  donde  la  iluminación  sea  mínima.  determine a.1) los lleva a:  6a + 2b = 3a + b = 0. d = 3. Como < 1 el valor de x hallado corresponde a un mínimo. Se desea ubicar sobre la orilla una bomba para alimentar de agua a los  tanques  mediante  tuberías  rectilíneas  PA  y  PB. MSc.com. I I 1+ 3 2 1+ 3 2 I1 I1 63) Si  f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d .com. c y d si se sabe que la gráfica de f tiene  un mínimo relativo en (2. a + b + c + d = 1   La existencia de un extremo relativo en (2.  De igual  manera la existencia de un punto de inflexión en (1. b.com. se encuentran ubicados  a un mismo lado de la orilla rectilínea de un río y a una distancia de este de a Km y b Km  respectivamente. DÁMASO ROJAS                                                          dE ⎛ −I I ⎞ I I I si : = 0 ⇒ ⎜ 31 + 23 ⎟ = 0 ⇒ x 3 = 2 y 3 ⇒ x = y 3 2 ⇒ x = ( L − x ) 3 2 dx ⎝ x y ⎠ I1 I1 I1 I2 I2 3 3   I1 I1 x = L.  Demuestra  que  la  longitud  de  tubería  será mínima cuando se cumpla que: θ1 = θ2 (Admite que el punto crítico que encontraras  corresponde a un mínimo)                                      349  damasorojas8@gmail.  se    tienen  las  ecuaciones.Química Lic.‐1) y un punto de inflexión en (1.   joeldama@yahoo. 8a + 4b + 2c + d = −1.   Como  los  puntos  dados  satisfacen  la  ecuación  de  la  curva.1).  entonces.    .  64) Dos tanques A y B situados entre si a una distancia de d Km.    damasorojas8@galeon. c = 0. ‐1) implica que:  12a + 4b + c = 0. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . b = ‐3. f ´( x ) = 3ax 2 + 2bx + c ⇒ f " ( x ) = 6ax + 2b.   el sistema conformado por estas ecuaciones admite la solución: a = 1. n ∈ Z .  n = 2k. k ∈ Z.   [email protected]. k ∈ Z.  En  tal  caso.  Así.    .  f ´( x ) = cos x ⇒ f ´( x ) = 0. k ∈ Z .   se  tomó  2 x = 2kπ . los valores : = cos θ1 − cos θ 2 ⇒ si : = 0 ⇒ cos θ1 − cos θ 2 = 0 ⇒ cos θ1 = cos θ 2 dx dx π Como θ1 y θ 2 ≤ ⇒ la igualdad implica : θ1 = θ 2 . cos x = 0. cos θ 2 = ⇒ ( k − x ) = cos θ 2 (k − x) + b2 2 2 (k − x) + b2 2 L ( x ) = x2 + a2 + dL x ( k − x) −1 (k − x) + b 2 . MSc. k ∈ Z .com. cos θ1 = ⇒ x = cos θ1 x 2 + a 2 x2 + a2 (k − x) Del ( BB1 P d BP = (k − x) + b 2 . del ( AA1 P : d AP = x 2 + a 2 . DÁMASO ROJAS   Sea : Ltotal la longitud total ⇒ Ltotal = PA + PB x De la fig . con  las  cuales  vamos  a  estudiar  la  posibilidad  de  existencia  de  extremos  relativos  usando  el  criterio de la primera derivada. se tienen 2 tipos de números críticos dados por las dos últimas expresiones. para : 0 ≤ x ≤ k ⇒ = + 2 dx x2 + a2 ( k − x ) + b2 2 dL dL sust.   entonces  x = (4k + 1) .   x = (4k + 3) .   2 Es decir.    damasorojas8@galeon.  Para  estudiar  los  signos  de  la  primera  derivada  a  la  izquierda  y  a  la  derecha  de  los  π números  críticos  se  siguió  el  siguiente  proceso:  En  la  región  x < (4k + 1) .   Si  n  es  impar.  Si  n  es  2 π par. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . los números críticos son:  π 3π 5π x=± .   Ahora  bien. Explique.Química Lic. 2   65)  De  un  ejemplo  de  una  función  que  tenga  infinitos  extremos  relativos  e  infinitos  puntos de inflexión a lo largo de todo su dominio.   cuyo  dominio  es  R.   Estos  números  críticos  pueden  escribirse  en  forma  general  2 2 2 π como:  x = (2n + 1) .  Consideremos  f ( x ) = sen x.  el  entero  n  puede  ser  par  o  impar.± .   350  [email protected].  para tener  cos(2kπ ) = 1 > 0. " .± .  2 π n = 2k + 1.   se  tiene. DÁMASO ROJAS   π π En  (4k + 1) < x < (4k + 3) .  donde  efectivamente  se  muestra la existencia de infinitos extremos relativos.Química Lic.  se tomó  x = (2k + 1)π .com. 3π .  respectivamente. 2π . f ⎜ .  con lo cual.  (nπ .   2 π π Al  evaluar  la  función  en  x = (4k + 1) y x = (4k + 3) .    . MSc.  cos(2k + 1)π = − 1 < 0.    damasorojas8@galeon. " . 1⎟   2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ (4k + 1) π < x < (4k + 3) π       2 2 ‐  f es decreciente  π ⎛ (4k + 3)π ⎞ ⎛ (4k + 1)π ⎞ x = (4k + 3)   f⎜ ⎟ = −1   Mín.   joeldama@yahoo.   De  esta  forma  podemos  conformar  la  tabla  siguiente  que  muestra  la  existencia de infinitos puntos de inflexión. 0)   x > nπ     +  f es cóncava hacia arriba    351  damasorojas8@gmail. sen x = 0.   2 2 Este  análisis  permitió  conformar  la  siguiente  tabla  resumen.  Intervalos  f  F”  Conclusión  x < nπ     ‐  f es cóncava hacia abajo  x = nπ   f (nπ ) = 0   P.   2 2 π En  x > (4k + 3) .  cos 2(k + 1)π = 1 > 0.  2 2 π π sen(4k + 1) =1 y sen(4k + 3) = − 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . n ∈ Z .  de lo cual.  f " ( x ) = − sen x ⇒ f " ( x ) = 0. − 1⎟   2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ π     x > (4k + 3)   +  f es creciente  2   Por  otro  lado.   en  general  se  pueden  escribir  como:  x = nπ .    Intervalos  f  f´(x)  Conclusión  π   +  f es creciente  x < (4k + 1)   2 π ⎛ (4k + 1)π ⎞ ⎛ (4k + 1)π ⎞ x = (4k + 1)   f⎜ ⎟ = 1  Máx.  se tomó  x = 2(k + 1)π . π .com.  los  posibles  puntos  de  inflexión  son:  x = 0.I.com.   De  aquí. f ⎜ . 41 m tgθ tgθo tg 0.95 rad ≅ 54. 2 − 3sen2θ = 0 ⇒ sen2θ = ⇒ θ = Arcsen ⇒ θo ≅ 0.95 4x 67)  Pruebe  que  la  curva  y = 2   tiene  tres  puntos  de  inflexión  y  que  estos  se  x +4 encuentran sobre una misma recta.5º 3 3 r r 2 Del ( AOF de la fig. MSc.  La  iluminación  en  el  borde  del  estanque. h = ⇒h= ≅ ≅ 1.c). E (θ ) = .   joeldama@yahoo.    damasorojas8@galeon.  esta  expresada  por  la  relación:      Donde  E  es  la  iluminación  expresada  en  luz.                                                       I cos θ E= d2 r I cos θ sen2θ π Del ( AOF de la fig.com.  4( x 2 + 4) − 4 x (2 x) 4 ( 4 − x2 ) y´ = ⇒ y´ = (x + 4) (x + 4) 2 2 2 2 ⎡ −2 x ( x 2 + 4 )2 − 2 ( x 2 + 4 ) 2 x .  expresada  en  candelas y θ al ángulo indicado en la figura.com. d = ⇒ sust.    . INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica . DÁMASO ROJAS   66) Se desea iluminar un estanque de sección circular de radio R mediante una lámpara  de  altura  ajustable  colocada  sobre  la  vertical  que  pasa  por  el  centro  de  aquél. 0 ≤θ ≤ senθ r 2 2 dE Isenθ dE Isenθ = 2 ( −sen3θ + 2senθ cos 2 θ ) ⇒ = 2 ( −sen2θ + 2cos 2 θ ) ⇒ = 2 ( 2 − 3sen2θ ) dE I dθ r dθ r dθ r 2 2 senθ = 0 ⇒ θ = 0(v.Química Lic.com.  que  es  la  zona  de  menor  iluminación  de  la  .  I  la  intensidad  del  foco  luminoso  supuesto  puntual. Verifica que existe un valor de θ para el cual  la iluminación E es máxima y determina la altura a la que debe colocarse la lámpara para  obtenerla. ( 4 − x 2 ) ⎤ ⎡ −2 x ( x 2 + 4 ) ⎡( x 2 + 4 ) + 2 ( 4 − x 2 ) ⎤ ⎤ y "= (4) ⎢ ⎥ = (4) ⎢ ⎣ ⎦⎥ ⎢ ( x + 4) ⎥ ⎢ ( x + 4) ⎥ 2 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 352   damasorojas8@gmail. superficie.       DÁMASO ROJAS  MARZO 2008  353  damasorojas8@gmail. ⎜ 3 ⎞⎟ 2 ⎟⎠   ⎝ x>2 3      f es cóncava hacia arriba    De acá se desprende.I.  ⎜⎜ − 2 3.  para  ello.com.m = 2 1 1 2 ⎝ 2 ⎠ = 1 . (0.   joeldama@yahoo. − 3 ⎞⎟ 2 ⎟  ⎝ ⎠       F es cóncava hacia arriba  − 2 3 < x < 0  x = 0  f (0) = 0   P. la única alternativa surge de y” = 0.Química Lic. esto es:      ( )( ) x x − 2 3 x + 2 3 = 0 ⇒ x = 0.I.     Intervalos  f  f”(x)  Conclusión  x < −2 3      f es cóncava hacia abajo  x = −2 3  ( f −2 3 = ) − 3 2 ⎛ P. probemos que  estos  se  encuentran  sobre  una  misma  recta.I.com. MSc.  m= = . x = ± 2 3. obviamente.  utilizamos  el  cálculo  de  dependientes tomando los puntos dos a dos.com. m= 0− −2 3 4 (2 3 − 0 4 ) 2 3− −2 3 4 ( ) Estos últimos cálculos corroboran que los 3 puntos están sobre una misma recta.  ⎜ 2 3. DÁMASO ROJAS   y "= −8 x (12 − x 2 ) = 8 x ( x 2 − 12 ) ⇒ y "= ( 8x x − 2 3 x + 2 3)( )  (x + 4) (x + 4) (x + 4) 2 3 2 3 2 3 Calculemos los posibles puntos de inflexión.0)  0 < x<2 3      f es cóncava hacia abajo  x=2 3  ( ) f 2 3 = 2 3   ⎛ P. que la curva tiene 3 puntos de inflexión. es decir:  ⎛− 3⎞ 3 ⎛⎜ − 3 ⎞⎟ 0 − ⎜⎜ ⎟ ⎟ 3 −0 −⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ = .    .    damasorojas8@galeon. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica .
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