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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC. CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER: Ejercicios resueltos y propuestos. Prof. Jorge Inostroza L. 1.- Hallar el período de la función: f ( x) Sen( 2S )x . ba Solución: Si Sen( 2S )x ba Sen u Ÿ Sen u Sen(u  2S ) Si T es el período 2S )x ba Sen( Sen( 2S T ba Por ejemplo si f ( x) 2S ( x  T )) ba 2S Sen( Sen( a bien T 2S 2S x T) ba ba Sen(u  2S ) ? (b  a) el período buscado. 3S ) x y como f ( x) 5 Sen 10 2S . el período será 10 3 3 2.- Probar que si f (x) ,tiene período p; f (D x) tiene período p D . Solución: f (D x) f (D ( x  T )) f (Dx  p) Ÿ DT pó T x Del mismo modo entonces f ( ) tendrá período T E el período de Sen 2S x será T ba 2S ˜ p D . pE (Basta cambiar D por 1 E ).Entonces ba o sea b-a. 2S 1 Y el período de Cos Sx 2S será l S 2l . l 3.- Pruebe que la función : f ( x) 1 1 Sen x  Sen 3x  Sen 5 x , es de período 6S 3 5 Solución. Sen x , tiene periodo 2k1S 2k 2S Sen 3x “ “ 3 2k 3S Sen 5 x “ “ haciendo k1 5 Y por lo tanto la función dada. 4.- Pruebe la ortogonalidad de la base: 3 k2 9 y k3 15 cada una será de período 6S . ^1; Cosx; Senx;.....................Coskx; Senkx............... ` Solución: S 1 $ Coskx ³ Coskxdx 0 S S 1 $ Senkx ³ Senkxdx 0 S S Cos nx $ Sen mx ³ Cosnx ˜ Sen mxdx ........ 0 ....... 0 ........ 0. S S Cos nx $ Cos mx ³ Cos nx ˜ Cos mxdx S S Sen nx $ Sen mx ³ Sen nx ˜ Sen mxdx S 5.- Si la función : f (t ) D m enteros tal : E n CosD t  Cos E t es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n Solución. 2 n Cos (10t )  Cos (10  S )t . 2 2 8... Como Cos 2t tiene período 2S . luego ambas lo son de período 24 S 9. 1  Cos 2t 1 f (t ) 10 2 ( ) = 50(1  Cos 2t ) . 3 4 Solución. Solución. no es periódica. Solución.Pruebe que la función : f (t ) 10 2 Cos 2 t . t 3 t Cos 4 Cos es de período 6S es de período 8 S . Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos: m n Ÿ 10(m  n) S 7.. de la función: f ( x) ­0 ° ®S / 2 °0 ¯ S  x  0 0  x dS /2 S /2  x S 3 .CosD t Cos D (t  p ) Ÿ D p 2mS Cos E t Cos E (t  p) Ÿ Ep 2nS .Encontrar el período de la función: f (t ) t t Cos  Cos . la función lo es. es de período S . 10 10  S Ÿ esto no es posible pues el primer miembro es un entero .Determinar los coeficientes de Fourier.Pruebe que la función f (t ) D E m .. Luego el cuociente Ÿ 6. .....Encontrar la Serie de Fourier de la función: f ( x) ­S  x...) 2 D  1 D  2 D  32 2 4 ...6..16 ° ¯ 10.Si f(x) = Cos ( D x )... Senkxdx ­1 ° 2k ......  S d x d 0 ® ¯ x....... 1 Los coeficientes serán: a 0 ak bk 1 S 1 S S S ³S 1 f ( x)Coskxdx ³ S  S ³S S /2 1 f ( x) Senkxdx 0 S /2 S  ³ 0 S ³S f ( x)dx =  S 2 S 2 1 S /2 S ³S  S 2 dx =……….k 4......8. (1  Cosk ) = ® ...10.k 2... 2k 2 °k °0 .....  S d x d S ..14.............k impar ° S °1 1 .... Probar que a partir de su Serie de Fourier....12............. con a 0 2 1 ak 2 S S ³ xCoskxdx 0 S La S de F será: 2 f  2¦ 1 2 S S ³ xdx S 0 1 ..... D una constante no entera... S 1 Senk = 2k 2 Coskxdx ....k impar Cos (2k  1) x (2k  1) 2 11. 2 (CoskS  1) k ­0.... Como lo muestra el gráfico es una función par luego su Serie será : f a0  ¦ a k Coskx .k par ° ® 2 °¯ k 2 ...Solución.... S Sen DS 2D ( 1 2D 2  1 1 1  2  2  ...= S 4 .0 d x d S Solución. Se trata de una función par .luego bk ak S S 0 0 0y 1 a0 S S ³S Cos D xdx  2 DS Sen DS 1 Cos D x ˜ Cos kxdx = ³  Cos (D  k ) x  Cos (D  k ) x .Solución. dx ³ S S 2 S ak 1 § Sen(D  k ) x Sen(D  k ) x ·  ¸ ¨ S © D k D k ¹0 1 § Sen(D  k )S Sen(D  k )S ·  ¸ ¨ S © D k D k ¹ ak 1 § SenDS ˜ CoskS SenDS ˜ CoskS ·  1. SenDS  ¨ ¸= S© D k D k S ¹ ak 2D  1. D 2  k 2 . Determinar la representación en Serie de Fourier para la función f ( x) ­0 ® ¯x S  x  0 0 xS Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que: S2 8 f 1 ¦ (2k  1) 2 . k 1 · § 1  ¨ ¸ ©D  k D  k ¹ k Luego la representación quedará: SenDS CosD x DS f ¦ 1 2D (1) k SenDS S (D 2  k 2 ) SenDS § 1 (1) k Coskx · ¨¨  2D ¦ ¸ . Fig. 1 Solución. si x = 0 S ©D (D 2  k 2 ) ¸¹ § 1 (1) k · ¸..S SenDS . 5 . 2D ¨¨ 2  ¦ 2 (D  k 2 ) ¸¹ © 2D S SenDS 12. .......impar La serie debe ser de la forma: 1 S xdx S³ a0 0 1 S ak 2 S xSenkxdx S³ bk 0 f ( x) S 4  2 ¦ S 1 (1) k 1 ......3S / 2) por lo que la serie debe tener la fórmula más general aunque (b-a) = 2 S .. Fig 13... Luego la representación será: k Cos (2k  1) x (1) k S + Senkx ... Fig...a0 f  ¦ a k Coskx  bk Senkx ..k . Aquí el intervalo es (S / 2... 1 S converge al valor promedio de los limites laterales o sea a S 2 y el resultado es el mismo..k . S / 2  x  3S / 2 Solución. luego será de la forma.Hallar la Serie de Fourier parta la función f ( x) ­x ® ¯S  x S / 2  x  S /2 .. 6 . donde : 2 1 ­0. por ser continua Ÿ 0 S 4  S2 1 Ÿ ¦ S 1 (2k  1) 2 8 2 f Sin embargo en x f 1 ¦ (2k  1) 2 ..... 2k (2k  1) 2 En x = 0 la serie converge al valor de la función.... par S 1 1 ° (CoskS  1) ®  2 xCoskxdx 2 ³ S 0 Sk °¯Sk 2 . .. Nótese que al trasladar el gráfico de la función dada hacia la izquierda en S / 2 se transforma en una función par cuya serie no es la misma.. 14...... siendo a 0 2 1 ak S S /2 ( ³ 3S / 2 xCoskxdx  S / 2 S = S /2 ( ³ 3 S k2 0 /2 ³ xCoskxdx ) =0 S /2 3S / 2 xSenkxdx  S / 2 · (S  x)dx ¸¸ = ³ S ¹ 3S / 2 SCoskxdx  S /2 1 bk ³ 3S / 2 ³ 3S / 2 SSenkxdx  S /2 ³ xSenkxdx ) = S /2 ­(1) k 1 ........Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función: f ( x) ­1 / 2  x.. 2 7 .......k par Luego la serie de Fourier para esta función queda: 3(1) k ¦ S (2k  1) Sen(2k  1) x  2 (1) k Sen2kx.......k impar 1 ­0...... 4k Observación.... a) Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma: a0  ¦ a k Cos kSx  bki Senk Sx ......... Solución......1  x d 2 Fig......S /2 1§ ¨ xdx  S ¨© S³/ 2 a0  ¦ a k Coskx  bk Senkx ........k par ¯0........0 d x d 1 ® ¯ x  3 / 2....k impar  ® ® 2k ¯(1)k ..... ...2 ³ con a 0 1 f ( x)dx 0 2 ³ (1 / 2  x)dx  ³ ( x  3 / 2)dx 0 0 1 ak ­0...... ® 3 .k impar °¯ kS 1 2 1 2 Así la S de F quedará: 4 S 2 ¦ Cos (2k  1)kSx 3 Sen(2k  1)kSx  ¦ (2k  1) S (2k  1) 2 b) La extensión par de la función hace que la Serie sea : a0 kS  ¦ a k Cos x con (b-a) = 4 2 2 2 Donde a 0 1 ak 2 1 2 ˜ ³ f ( x)dx 20 1 kS 2 ˜ ³ f ( x)Cos xdx 20 2 0 y ak 1 2 2 kS kS kS kS 1 3 ³0 2 Cos 2 x dx  ³0 xCos 2 x dx  ³1 xCos 2 xdx  2 ³1 Cos 2 xdx = …………………….........10.......= La Serie: 16 S2 16 k 2S 2 si .........6...k 2..k par ° ³0 (1 / 2  x)CoskSx dx  ³1 ( x  3 / 2)Cos kSx dx =……… ® 4 .k impar °¯ k 2S 2 bk ­0...(4k  2) ....k par ° ³0 (1 / 2  x)Sen kSx dx  ³1 ( x  3 / 2)Sen kSx dx =………. b) Pruebe que es par c) encuentre la S de F. Fig. 8 . S / 2@.(¿) (4k  2) 2 Cos ¦ 15... en > S / 2.Sea la función f ( x) Senx a) determine el período. (4k  2)S x 2 . Solución.Solución.Determinar que su Serie de Fourier para f(x) está dada por: f ¦a 2 n 1Cos 1 (2n  1)S x con 2l l a 2 n 1 2 (2n  1)S x f ( x)Cos ³ 2l l 0 Fig.. S (4k  1). par y de período 4l e impar respecto a la recta x l .Sea la función y = f(x) seccionalmente continua. Pero ³ f ( x)dx l ³0 0 l ³ 0 2l f ( x)dx  ³ f ( x)dx l l l = ³ f ( x)dx  ³ f ( x)dx 0 0 0 9 . Senx ˜ Cos 2kxdx 0 1 2 kCos 2kx  ¦ . bn 0 a0 1 f ( x)dx 2l ³2l 2l 2l 2l 1 f ( x)dx . período S . será : a0 Senx S /2 1 ³ Sen xdx S 0 ak 1 S S /2 ³ 2k quedando . Como la serie pedida.donde 2 c) La S de F. pues el intervalo es de magnitud S . 2S S (4k  1) 16. b) Sen( x)  Senx 2˜ 2 S par. a0  ¦ a k Cos 2kx . que el gráfico  Senx también confirma. Sen ( x  S ) SenxCosS  CosxSenS Senx . la Serie de Fourier de f(x). 2 1 a mostrar que la Serie de Fourier de g(x) es 0  ¦ (1) k (a k Coskx  bk Senkx) 2 17.Sea Solución.Si g ( x) f ( x  S ) .2l an 1 nS x f ( x )Cos ³ 2l l 0 l 1­ nS x ® ³ f ( x )Cos 2l l ¯0 2l ³ f ( x )Cos l nS ½ x ¾ Si x 2l ¿ an 0 l ½ 1­ nS nS x  ³ f (u )Cos (u )(du ) ¾ ®³ f ( x)Cos 2l 2l l ¯0 ¿ l an l 0 ½ 1­ nS nS x  ³ f (2l  x)Cos (2l  x)( dx) ¾ .. f (2l  x) ®³ f ( x)Cos 2l 2l l ¯0 ¿ l an 1­ ® l¯ l ³ 0 f ( x)Cos 2l  u .entonces: Si g ( x) A0  ¦ Ak Coskx  Bk Senkx 2 donde 0<x< 2S pues  S  x  S  S 10 . Fig Nótese que el gráfico de g(x) se obtiene desplazando el de f(x) a la derecha en S .  f ( x) l ­ nS nS nS nS nS ½ ½ dx  ³ f ( x)® Cos x  Sen 2lCos 2lSen x ¾dx ¾ 2l 2l 2l 2l 2l ¿ ¿ ¯ 0 l l ½ 1­ nS nS an x dx + ³ (1) n 1 f ( x)Cos x dx ¾ ®³ f ( x)Cos 2l l ¯0 2l ¿ 0 si n par ­0 l 2 (2n  1)S ° l a f ( x)Cos dx an = ® 2 ? nS 2 n 1 ³ l 0 2l ° l ³ f ( x)Cos 2l dx si n impar ¯ 0 a0 f  ¦ (a k Coskx  bk Senkx) . A0 A0 1 S 1 S 2S ³ g ( x)dx 0 1 S 2S 0 S ³ f (u )du a0 S 1 0 1 S S 2S S ³ f ( x  S )Coskxdx 0 ³ f (u )Cos(u  S )du S S ³ f (u )^Cos(u )Cos S  Sen uSen S `du S S ³S f (u )Cos(u )CosS du = S ³S (1)  1 S 1 Ak Ak ³ g ( x)Coskxdx S S S 2S 1 Ak Ak 1 Ÿ S  u  S . f ( x) Cos (tSen( x) ¿ f ( x) f (x  S ) ? f (x  S ) 2 b) a 0 bk S 2 S x  > S .Sea t  R y f ( x) Cos (tSenx). 18. 0 11 . S @ c) Probar que para a 0 (t ) se tiene : ta 0 ' ' a 0 'ta 0 0. Solución.  Igualmente para Bk . S ³ Cos(tSenx)Cos 2kxdx 0 S ³ Cos(tSenx) Sen2kxdx. k f (u )Cos (u )du (1) k a k . ak 0 2 S Cos(tSenx) Cos (tSenx) f ( x).. a) Probar que f(x) es par y de período S b) Escriba los coeficientes y la Serie de Fourier si x  >0. S @ f ( x) a) f ( x) par sii f ( x) Cos (tSen( x)) Cos(tSen( x  S )) Cos (t ( Senx)) S ³ Cos(tSenx)dx Cos (tSenx) luego es par. luego si hacemos u= x  S ³ f ( x  S )dx . c) Si a 0 (t ) 2 S S 2 ³ Cos (tSenx)dx Ÿ a'0 (t ) S S ³0 0 ( Sen(tSenx)) ˜ Senxdx 2 S  Cos (tSenx) ˜ Sen S³ a ' ' 0 (t ) 2 xdx. Obtener la Serie de Fourier de g(x) .Si f ( x) e x 0 d x d 2 . Solución. 2 4 4 12 . 0 Pero como: Si u Sen(tSenx) Ÿ du Cos (tSenx) ˜ tCosxdx dv Senxdx Ÿ v Cosx Entonces: S S ³ Sen(tSenx) ˜ Senxdx 0  Sen(tSenx) ˜ Cosx  ³ tCos (tSenx ) ˜ Cos 2 xdx 0 S ³ tCos (tSenx) ˜ Cos 2 xdx 0 Reemplazando se cumple.función par de período 8 tal que g(x) = f(x) en 0 d x d 2. por lo tanto: g ( x) a0 kS kS  ¦ a k Cos x  bk Sen x. 0 Luego: ta ' ' 0  a ' 0 ta 0 2 S ^ tCos (tSenx) ˜ Sen S³ 2 x  Sen(tSenx) ˜ Senx  tCos (tSenx ) `dx . Hacemos g(x) como la extensión par de la función f(x) extendida al 0 d x d 4 f e ( x) ­e x ® ¯0 0d xd2 2 xd4 Así g(x) es la extensión par de f e (x) . 19. Fig.. ...Probar la relación de Parseval: p 1 f 2 ( x)dx ³ p p 2 a0 2 2  ¦ (a k  bk ) .2@ y mediante la relación de Parseval. 16  k 2S 2 ­(1) k  1 ° ® k 1 kS °(1) 4 ¯ k par k impar 20....2@ 13 .....Hallar la Serie de Fourier de solo cosenos para la función: f(x)= x en >0. Haciendo la extensión par de f(x) a > 2.. p @ y f ( x) p ³f f ( x) $ f ( x) 2 ( x)dx p a0 kS kS (1 $ f )  ¦ a k (Cos x $ f )  bk ( Sen x$ f ) 2 p p p Pero 1 $ f ³ f ( x)dx f $ Cos pa0 p p ³f 2 ( x)dx p kS x p pa k f $ Sen kS x p pbk ­° a 0 2 2 2 ½ p®  ¦ a k  bk ¾ °¯ 2 ¿ 21. 1 Solución. a0 kS kS  ¦ a k Cos x  bk Sen x Ÿ 2 p p Si f ( x)  SC > p. probar que : S2 96 f 1 ¦ (2k  1) 4 .4 Con a 0 2 1 x kS e Cos xdx ³ 20 4 ak 2 1 f ( x)dx 2 ³0 1 x e dx 2 ³0 1 2 (e  1) 2 8e 2 . 2 Solución.. Escribir la Serie de Fourier de las funciones: x e S d x d S b) f ( x) SenSx 0  x  1 ­ x  S S  x  0 Graficar la extensión periódica d) f ( x) c) f ( x) ® ¯x  S 0 d x d S a) f ( x) ex -1<x<1 S  x  0 e) f ( x) ­0 ° ®S / 2 °0 ¯ 0  x S /2 S /2  x S f) f ( x) ­0 ® ¯x S  x  0 Graficar su extensión periódica y evaluar en x = 0 0 xS 14 .Si a k y bk son los coeficientes de Fourier para f(x) . 1. p 1 Siendo: f 2 ( x)dx ³ p p a0 2 2  ¦ (a k  bk ) y que la serie es convergente. Ejercicios propuestos.. entonces su 2 2 2 termino general tiende a cero o sea lim (a k  bk ) k of 0 œ a k o 0 š bk o 0.2 2 ³ xdx a0 kS 1 xCos xdx ³ 20 2 ak 2 0 p 2 Aplicando Parseval: 2 ³ x dx 2 2 a0 2  ¦ ak 2 k par ­0 ° 8 ® °¯ k 2S 2 k impar 16 1 ? ³ f 2 ( x)dx 3 p p S4 4 64 ¦ 4 Ÿ 96 2 S (2k  1) 4 8 y 3 1 ¦ (2k  1) 4 22.Entonces: lim a k k of lim bk k of 0 Solución.. .Determinar la Serie de Fourier para la función f ( x) 4 d x d 4 con ello deducir x la convergencia numérica del ejercicio anterior.2...Si f ( x) 1  x f serie numérica: 1 d x d 1 .k Z ? 15 . 4.. y con ello pruebe que ­ ° 1 ° ° ®1 ° ° °¯ 1 S d x d 0 0 x kS b) x= (2k  1) S 2 S 2 S 2 d xdS . 5.Desarrollar en serie de cosenos la función f(x)= Sen x y analizar su convergencia para x = 0.hallar su Serie de Fourier y deducir la convergencia de la 1 ¦ (2k  1) 2 1 3..Desarrollar en Serie de Fourier f(x) = x 2 S2 1 ¦ 16 k2 6.Dada la función de impulso unitario: f ( x) ¿Cuál es el valor de la serie si a) x 0 d x d 2S . . luego consideremos la 0 d x 1 x 1 x !1 Senw Ÿ f ( x) w f 1 senw Coswxdw S ³0 w 16 .CALCULO AVANZADO: INTEGRAL DE FOURIER. La integral corresponde a una función par puesto que B ( w) función extendida par: f ( x)  Así A( w) 2 ³ 1 / 2Coswvdv 0 ­1 / 2 ° ®! / 4 °0 ¯ 0 .Demostrar que : ³ Coswxdw S 0 w 1 f w Luego: 1  w2 1 ³1 w 2 dw 0 0 d x 1 x 1 x !1 ­1 / 2 ° ®1 / 4 °0 ¯ Solución. escribimos: f ( x) 1 S f ³ ^A(w)Coswx  B(w)Senwx`dw donde : 0 f A( w) ³ f f (v)Cos ( wv)dv ³ f (v)Sen(wv)dv B( w) f f f A( w) v ³ e Cos(wv)dv 0 f B ( w) v ³ e Sen(wv)dv 0 1 e  v (Coswv  wSenwv ) f = 2 0 1 w 1  w2 e  v ( Senwv  wCoswv ) f 0 1  w2 f f ( x) 1 Coswx  wSenwx S dw Si x = 0 Ÿ 2 ³ 2 S 0 1 w f Senw 2. Si la integral converge..Encontrar la integral de Fourier para la función: f ( x) x0 x 0 x!0 Solución. ­0 ° ®1 / 2 °e  x ¯ 1. Ejercicios resueltos y propuestos. Solución. pues A( w) ­1 / 2Senx ® ¯0 considerar la extensión impar : f i ( x) S d x d S x !S S f De ese modo A( w) 0 y B ( w) ³ ³ 1 / 2SenvSenwvdv Ÿ f (v) Senwvdv S f S S ³ SenvSenwvdv B ( w) SenSw ..3. luego debemos 1  w2 0 y B ( w) 0 1 Cos (1  w)v  Cos(1  w)v .Demostrar que: f 1 SenSw Senwxdw S ³0 1  w 2 xS ­1 / 2 Senx ® ¯0 x !S . La integral representa a una función impar. . Así f A( w) 2³ f (v)Cos ( wv)dv 0 2 ½ ­1 2®³ vCos( wv)dv  ³ (2  v)Cos ( wv)dv ¾ usando tablas. 1 ¿ ¯0 17 .dv 2 ³0 B ( w) S½ 1­ 1 1 Sen(1  w)v  Sen(1  w)v ¾ ® 0¿ 2 ¯1  w 1 w B ( w) 1 ^(1  w) Sen(1  w)S  (1  w) Sen(1  w)S ` 2(1  w 2 ) SenwS 1  w2 f Así f i ( x) 1 SenwS Senwxdw S ³0 1  w 2 y corresponde con f(x) si x  (0. Lo que se pide es representar a una función par por lo que hacemos la respectiva extensión de la función dada.Representar mediante una integral de Fourier del tipo f ( x) ­x ° ®2  x °0 ¯ 1 S f ³ A(w)Coswxdx a la función: 0 0  x 1 1 x  2 x!2 Solución . S ) 4. Como x 2 f ( x) 1 f ( x) dA dw S 1 S f ³ A * (w)Cos(wx)dw pues es una función par y como 0 f f ³ Cos(wx)dw con 2³ f (v)Cos ( wv )dv Entonces A( w) 0 0 f d2A dw 2 2 ³ vf (v) Sen( wv )dv 0 f 2 ³ v 2 f (v)Cos ( wv )dv . 6.. Hallar la integral de Fourier de la función Solución. comparando con 0 f 2 ³ v 2 f (v)Cos ( wv )dv Ÿ A * ( w) A * ( w)  0 d 2 A( w) . dw 2 Observación: Para representar la función: f ( x) f ( x) ­1 ® ¯0 g ( x) 0 xa x!a Consideramos la extensión par de 0 xa y aplicamos lo anterior en que A( w) x!a 1 2Senwa w f S ³0 f ( x) Senx .Si f(x) es una función par con su integral f ( x) que: 1 x 2 f ( x) S 1 S f ³ A(w)Coswxdw . 18 .Sea f ( x) ­x 2 ® ¯0 B ( w) Sen( wx )dw ..Demostrar 0 f ³ A * (w)Cos(wx)dw donde A * ( w)  0 d 2 A( w) dw 2 Solución.A( w) ­ 2Cosw  Cos 2w  1½ 2® ¾ y por lo tanto: w2 ¯ ¿ f 2 ­ 2Cosw  Cos 2 w  1 ® S ³0 ¯ w2 f ( x) ½ ¾Coswxdw ¿ 5. Entonces 0 § dA · ¨ ¸Sen( wx )dw . 7.Si f(x) es una función par con integral: f ( x) 1 f 1 S f ³ A(w)Cos(wx)dw.Pero como ( x)dx f 1 S 2 0  dA . Entonces se cumple: 0 f A S³ 2 ³ f (v)Cos ( wv )dv Ÿ B * ( w) . S ³ © dw ¹ xf ( x) 0 Solución Para xf ( x) 1 S f f ³ B * (w)Sen(wx)dw donde B * (w) 0 f dA dw 0 1 8.Probar que si f ( x) f ³f 0 f 2 ³  vf (v)( Senwvdv pues A( w) 2 2 ³ vf (v) Sen( wv )dv ...1 Como f(x) es una función impar.Luego 2 ³ f (v)Sen(1  w)vdv 0 bastaría con conocer el coeficiente B(w). dw f ³ A(w)Cos(wx)  B(w)Sen(wx)dw .luego: I g f A( w) f 2 ³ g (v)Cos ( wv )dv 0 f ³ f (v)Sen(1  w)vdv  0 0 ³ f (v)^Sen(1  w)v  Sen(1  w)v`dv 0 f ³ A(w)Cos(wx)dw donde f 2 ³ f (v) SenvCos ( wv )dv 0 A( w) S f 1 ^B( w  1)  B( w  1) `. g(x) es par . f f$f ³ f 2 ( x)dx f 1 S 1 f ³ A(w)^Cos(wx) $ f `  B(w)^Sen(wx) $ f `dw 0 f ^A S³ 2 ( w) B 2 ( w) `dw . ( w)  B 2 ( w) dw.. 0 Solución.Aplicando lo anterior probar que: f S Sen 2 (aw) ³f w 2 dw a . 0 9. 19 . Utilizar la función: f ( x) f 1 w ³0 (1  w 2 ) 2 Cos(wx)dw xe  x f x t 0 . Como se puede apreciar se trata de una función impar o sea f ( x) 1 ? f ( x) S x S x !S f ³ B(w)Sen(wx)dw donde 0 f B ( w) ­° x ® °¯0 2 ³ vSen( wv )dv 0  2S 2 Cos ( wS )  2 Sen( wS ) ? w w f f ( x) x 2 ­ Sen( wS ) Cos ( wS ) ½  ® ¾Sen( wx )dw w S ³0 ¯ w 2 ¿ 11.. para deducir que 2w ³ (1  w 0 2 2 ) Sen( wx )dw .- 20 .. función par a a 2S 2S Sen( wa ) ? A 2 ( w) Sen( wv ) = 0 w w 2 ³ SCos ( wv )dv entonces: A( w) 0 a a Por otra parte: ³ f 2 ( x)dx a 1 Luego: 2aS 2 f Sa S 4S 2 Sen 2 ( wa ) w2 ³S 2 dx 2 aS 2 a f f 2 ³ A (w)dw 0 1 4S 2 Sen 2 ( wa ) aS dw ? 2 ³ S 0 2 w Sen 2 ( wa ) ³0 w 2 dw o bién 2 Sen ( wa ) dw w2 f ³ f 10. S Si tomamos: f (x)  a d x d a . Usar además esta igualdad y la convergencia para deducir que: f dw ³0 (1  w 2 ) 2 f w 2 dw ³0 (1  w 2 ) 2 .Probar que : x 2 ­ Sen( wS ) SCos ( wS ) ½  ® ¾Sen( wx )dw S ³0 ¯ w 2 w ¿ 0 xS Solución.Solución. .... 0 f i ( x) 1 f 2w S ³ (1  w 2 2 0 ) 1 S f ³ B(w)Sen(wx)dw 0 2w luego (1  w 2 ) 2 Sen( wx )dw Entonces ambas funciones coinciden en x>0 o sea son iguales las integrales... 2 2 ) S ³ (1  w f p ( x) 0 b) Considerando la extensión impar de la función dada. f (1  w 2 ) ³0 (1  w 2 ) 2 Cos(wx)dw f f 0 (1  w 2 ) En a) si x = 0 Ÿ ³ dw S 0 (1  w 2 ) 2 1 2w ³ (1  w 2 2 ) Sen( wx )dw f dw 0?³ 2 2 0 (1  w ) f w 2 dw ³0 (1  w 2 ) 2 21 ... 0 (1  w 2 ) Ÿ (1  w 2 ) 2 2 (1  w ) Cos ( wx )dw .Solución.... f i ( x) f donde B ( w) 2 ³ ve v Sen( wv )dv .......... a) Considerando la extensión par de la función dada: f p ( x) f 2³ ve v Cos ( wv )dv 0 1 f S f ³ A(w)Cos(wx)dw 0 f 2 ³ f p (v)Cos ( wv )dv con: A( w) 1 .... Pruebe que: A( w) x 1 x !1 B( w) 0 Verifique que B ( w) 4w S (1  w 2 ) 2 0 A( w) 2 Senw Sw 2 Senw Cos ( wx)dw converge a ½ si x =1 ó x = -1.Sea: f ( x) xe 2...-Si f ( x) e  x Cosx de Cosenos. a) f ( x) c) f ( x) ­° x ® °¯0 ­1 / 2 ° ®1 °0 ¯ x S x !S 5 d x  1 1d x d 5 b) f ( x) ­°k ® °¯0 d) f ( x) xe x  10 x ! 10 x x !5 4. x t 0 Hallar la integral de Fourier. 1.Haciendo la extensión adecuada encontrar la Integral de Fourier de Senos y de Cosenos para: a) f ( x) ­x 2 ® ¯0 5. 6.Sea f ( x) ­°1 ® °¯0 f y que ³ 0 x .Represente la función como una Integral de Fourier y discuta su convergencia en cada punto...Para f ( x) 0 d x d 10 x ! 10 e  kx. además la de Senos y la 22 . Sw 3.. Hallar las Integrales de Senos y de Cosenos.Ejercicios propuestos. b) f ( x) 0dxd5 ­Cosh( x) ® x!5 ¯0 x ! 0 .