EJERCICIOS RESUELTOS RESISTENCIA DE MATERIALES, COLUMNAS.

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar la longitud mínima, L, de una columna con extremos articulados, que tenga un área transversal 5cm por 7,5 cm y para la cual se aplique la fórmula de Euler para columnas elásticas. Supóngase que E = 2 × 105 MPa y que el límite de proporcionalidad es 2,8 ×102 MPa. El momento de inercia mínimo de la sección 3 transversal es Imin = 7,5 x 5 = 78,125 cm4. 12 En consecuencia. r=r min ¿ √ I min A = h √ 12 = √ 78,125 7,5 5 = 5 √ 12 =1 π2 E σ C= - Luego, utilizando la ecuación: L ( 2) y despejando de ella r la relación L/r correspondiente al limite de proporcionalidad. L 2 π2 E π 2 x 105 ( r ¿ ¿ ¿ =7050 σC 2,8 x 102 - Es decir: L λ ¿ r =84 y L=84 x 1,44=121cm Por lo tanto si esta columna tuviera 121cm o mas de longitud se pandearía elásticamente, ya que para tales dimensiones de la columna la tensión critica en pandeo no excede al limite de proporcionalidad del material. como máximo. Aplicando las especificaciones de la AISC.2mm Para la sección compuesta: . Cuatro ángulos de 100x100x10mm se unen mediante placas en celosía para formar una sección compuesta. como se indica en la figura.4mm l’=177x106mm6 x’=28. determinar la longitud máxima que puede tener si ha de soportar una carga de 500kN.2. con σPC=290MPa. ¿Cuál debe ser la longitud libre entre ángulos. de manera que su esbeltez sea. igual a las tres cuartas partes de la correspondiente a la sección compuesta? P=550 kN σpc=290 MPa L= ? Para el ángulo: (de tabla) A’=1920 mm2 r’=20. b) Le/r > Cc Entonces.8mm I=4(1.77x106 + 1920x96.I=Σ(Ii +Aidi2) ydi = s– x=125–28. a) L=Le (extremos articulados) .2 di= 96.82) = 4(19. aplicando: Reemplazando valores obtenidos: Cumple b) Le/r = 125.76x106) A= ΣAi =4A’ = 4(1920) = 7680 mm2 La relación de esbeltez límite es: Asumimos: .8 > Cc =117 . 8(101) => L=12. Mediante la formula de AISC determinar la carga axial de trabajo en una columna constituida por un perfil W360 X 122 en las siguientes condiciones: a)Articulada en sus extremos y con una longitud de 9m b) Extremos perfectamente empotrados y longitud de 10m . La columna soporta una carga axial de 260 kN y una excentricidad de 360kN.35(30.8m Verificamos que el esfuerzo σmáx > σaplicado 3. Un perfil W360x134 va emplearse como columna con una longitud de 9m. L = Le = 125.7 Para obtener la separación libre entre ángulos: De donde: L’ = 94.4) = 2. que actúa sobre el eje Y. Determinar la excentricidad máxima de carga de 360kN usando el método del máximo esfuerzo y la fórmula lineal de la ecuación: P L =110−0.483( ) A r 4. 4 x 1=18.4 ksi< 30 ksi→ Rango Elástico 1 x 3 x 12 2 ( 0. Suponga extremos simplemente apoyados y una relación de esbeltez permisible L/ r =200 Para una barra sólida cuadrada de 1.29 π 2 x 29 x 106 Fcr = =18.4 klb . Use σ pc = 380 MPa 5. longitud de 10m y sujeta lateralmente en el centro. Determine la carga crítica de pandeo para cada una de las columnas usando la 6 ecuación de Euler.0 pulg. π 2 EA Pu= KL 2 ( ) r A=l 2 =1 x 1=1 ¿2 b h3 1 x 13 1 4 I= = = ¿ 12 12 12 . c) Extremos perfectamente empotrados. b) L = 4 pie. a) L = 3 pie b) L = 4 pie Solución a) L = 3 pie π 2 EA Pu= 2 KL ( ) r 2 2 A=l =1 x 1=1 ¿ 3 3 bh 1 x1 1 I= = = ¿4 12 12 12 KL 1 x 3 x 12 = =124.29 ) Carga Critica de pandeo será : Pu=F cr x A=18.0 pulg. X 1. E=29 x 10 psi Límite proporcional = 30 000 psi.14 <200 r 0. 77 cm = =78>46 r 5. 6. empotrada abajo y libre arriba para las siguientes condiciones. .2 klb. π2 E δ cr = L 2 4 r() L r = √ π2 E 4 δ cr √ ( mN ) =46 π 2 19 x 109 2 L = r N ( m) 4 22 x 10 6 2 Cálculo de la relación de esbeltez según la geometría. KL 1 x 4 x 12 = =165. el esfuerzo crítico. E LP=22 Mpa E=19 Gpa L=4.29 π 2 x 29 x 106 Fcr = =8.52<200 r 0.2 x 1=8. 2 A=30 cm x 20 cm=600 cm 1 12 L 450 cm 3 I = ( 30 cm ) ( 20 cm ) =20 000 cm 4 r= √ 20 000 cm 4 600 cm 2 =5.2 ksi<30 ksi → Rango Elástico 1 x 4 x 12 2 ( 0. para una columna tipo mástil.77 cm Como 78 > 46 se clasifica la columna como COLUMNA LARGA.50 m 20 cm 30cm Cálculo de la relación de esbeltez según los materiales. Calcular la carga critica. Es decir. la carga de trabajo y el esfuerzo de trabajo.29 ) Carga Critica de pandeo será : Pu=F cr x A=8. Calculo del Esfuerzo crítico y el Esfuerzo de trabajo.7 Mpa δ u= =2. el esfuerzo critico debe calcularse con la ecuación de Euler.3 KN 3 . 7. π 2 EI Pcr = 4 xL2 N Pcr = ( π 2 19 x 10 9 m 2 ) ( 20 000 x 10−8 m 4 ) 2 4 x ( 4.9 KN Tomando el mismo Factor de seguridad.50 m) Pcr =462 955 N=462.  Como es una columna larga o esbelta.9 P u= =154.7 Mpa 2 4 ( 78 ) • Para el esfuerzo de trabajo se toma un factor de seguridad de 3.5 Mpa 3 • Calculo de la carga crítica y carga del trabajo. 2 π E δ cr = 2 L 4 () r N δ cr = ( π 2 19 x 10 9 m2 ) =7. 462. Ing. PINTO BARRANTES. Laureate International Universities® FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL COLUMNAS INSTRUCTORES: . Raul Antonio PARTICIPANTES:   ESPINOZA PONTE. Erica CICLO: 2017 – I Lima – Perú 2017 . COLUMNAS Una columna en ingeniería estructural es un elemento estructural que transmite. Otras fueron creadas de múltiples secciones de roca. a través de compresión. como vimos en el párrafo anterior este elemento estructural cumple un rol fundamental en edificaciones. Luego pueden ser revestidas en una cubierta arquitectónica o dejadas sin cubrir. sacadas de una pieza simple de roca. también se diseñan para flexión de tal forma que la combinación así generada se denomina flexocompresión. Estas pueden ser diseñadas para resistir las fuerzas laterales del viento o de los movimientos sísmicos. Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico. usualmente rotándolas sobre un aparato parecido a un torno. es por eso que este modesto trabajo va evocado para a difundir algunos conceptos y metodología de desarrollo de los mismos. En el presente trabajo abordaremos la clasificación y métodos para dimensionar una columna. no necesariamente es un elemento recto vertical. por lo tanto el diseño está basado en la fuerza interna. Las primeras columnas eran construidas de piedras. Las columnas son frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes superiores de las paredes o techos descansan. Esperando que este trabajo sea del agrado del lector. pegadas con mortero o en seco. conjuntamente debido a las condiciones propias de las columnas. así también como parte de su aprendizaje o reforzamiento de lo que a continuación se verá. o de ladrillo. el peso de la estructura sobre otros elementos estructurales que se encuentran debajo. Las columnas modernas son construidas de acero. Columna: La columna es un elemento sometido principalmente a compresión. concreto vertido o prefabricado. sino es el elemento donde la compresión es el principal factor que determina el comportamiento del . este caso se considera inestable. En una columna se puede llegar a una condición inestable antes de alcanzar la deformación máxima permitida o el esfuerzo máximo. y las columnas cortas. el aumento de la deflexión agranda la magnitud del momento flector. La estabilidad es así el nuevo parámetro que define además de la resistencia y la rigidez. funcionalidad y estabilidad.1. lo cuales influyen en el tipo de falla. Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a efectos de geometría.1. las columnas largas se rompen por pandeo o flexión lateral.2 ComportamientoDentro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento estructural están: equilibrio. El fenómeno de inestabilidad se refiere al pandeo lateral.2 Columnas Intermedias: Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se encuentre entre 30 y 100.La diferencia entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento. cuando aparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento. las intermedias.elemento. por una combinación de aplastamiento y pandeo. el de resistencia para columnas cortas y el de estabilidad para columnas largas (véase Figura 1). En algunos casos las columnas cortas también forman parte de esta clasificación (se dice columna corta cuando no cumple que su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensión transversal). el cual es una deflexión que ocurre en la columna (véase Figura 3).1 Columnas Largas: Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor de 10 veces la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se mayor igual a 100. . Por ello la resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites. creciendo así la curvatura de la columna hasta la falla. resistencia. 2. por aplastamiento. Es por ello que el predimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el diseño debido a diversos factores. 2. Las columnas en este trabajo la dividiremos en: 2. Estos factores se conjugan en la relación de esbeltez o coeficiente de esbeltez. De esta forma para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio de giro más grande posible.3 Carga crítica La deformación de la columna varía según ciertas magnitudes de cargas. las condiciones de los extremos y la sección transversal de la columna. para valores de P bajos se acorta la columna. ya que de ambas formas se reduce la esbeltez y aumenta el esfuerzo crítico. . o una longitud que sea menor. el cual es el parámetro que mide la resistencia de la columna.2. Existe una carga límite que separa estos dos tipos de configuraciones y se conoce como carga crítica Pcr Los factores que influyen en la magnitud de la carga crítica son la longitud de la columna. al aumentar la magnitud cesa el acortamiento y aparece la deflexión lateral. A esta distancia se le llama longitud efectiva de la columna. Esta relación del momento respecto a la carga axial se puede expresar en unidades de distancia según la propiedad del momento3. Lt = KL fue deducida para el caso de una columna con extremos articulados. .4 Excentricidad Cuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna. 2. siempre que ‘L” represente la distancia entre puntos con momento cero. al aparecer un momento en los extremos de la columna debido a varios factores. Si la columna que soportada en otras formas. se dice que la carga es excéntrica y genera un momento adicional que disminuye la resistencia del elemento. de igual forma. En otras palabras. Es obvio que para una columna con extremos. la distancia se denomina excentricidad. L en la ecuación representa la distancia no soportada entre los puntos con momento cero.5 Longitudefectiva La longitud efectiva combina la longitud real con el factor de fijación de extremos. Para la columna con un extremo fijo y uno empotrado que se analizó arriba. hace que la carga no actúe en el centroide de la columna (véase Figura 4). pero en figura (5-d).2. Le. se encontró que la curva de deflexión fue la mitad de la de una columna con sus extremos articulados. cuya longitudes 2L y así tenemos más ejemplos con sus valores de longitud efectiva. la fórmula de Euler se puede usar para determinar la carga crítica. o libres de girar. Cuando la excentricidad es pequeña la flexión es despreciable y cuando la excentricidad es grande aumenta los efectos de flexión sobre la columna. La columna articulada en sus extremos. Puede tener dos posiciones de equilibrio: recta o ligeramente deformada. Se . esta es la última carga que puede soportar por columnas largas. es decir.=KL = 2. Columnas con extremos fijos: Le=KL = 0. la carga presente en el instante del colapso. Columnas con pasadores fijos y el otro fijo: L.80(L) Fórmula de Euler para columnas largas o muy esbeltas La fórmula de Euler es válida solamente para columnas largas y calcula lo que se conoce como "carga critica de pandeo".65(L) . Columnas con extremos libres: L. inicialmente recta homogénea. Columnas con extremos de pasador: Le=KL= 1. de sección transversal constante en toda su longitud se comporta elásticamente.10(L) .0(L) = L .Para calcular la longitud efectiva se usaran las siguientes relaciones: .=KL=0.