1Prof. P. Guzmán S. 2 PRESENTACION Se presenta esta colección de ejercicios resueltos sobre rectas y planos como un medio de facilitar el aprendizaje por parte del estudiante. Es una edición previa de uso interno para los alumnos UTEM Es posible se hayan deslizado errores al escribir estas notas, se solicita reportarlas a: [email protected], en respuesta a su colaboración recibirá material relativo al tema. Espero que estos apuntes cumplan su objetivo y le ayuden a comprender una materia se suyo difícil Que tenga un buen semestre. Prof. Patricio Guzmán Sereño Santiago: Abril 2008 Prof. P. Guzmán S. 3 EJERCICIOS RECTAS Y RESUELTOS PLANOS → → "Ñ 3Ñ Sean E Ð$ß &ß (Ñ à F Ð"ß #ß $Ñ ß Encuentre la → → → → proyección de À E sobre F , de F sobre E → ⎯→ 33Ñ Encuentre el coseno del ángulo formado por F y FE → → → → → → · F) Solución: 3Ñ T <9C ./ E =9,</ F œ E → œ ÐE → → F F Ð$ß&ß(цÐ"ß#ß$Ñ Ð"ß#ß$Ñ Ð"ß#ß$Ñ œ → E→ œ F $ "! #" " % * Ð"ß #ß $Ñ œ → → → Proy. de F sobre E œ F → œ E ⎯→ 33Ñ FE œ Ð#ß $ß "!Ñ. -9=Ð) Ñ œ → ⎯→ F † FE → ⎯→ F ¹ ¹† ¹ FE ¹ -9=Ð) Ñ œ œ ## È"&)# F ·F Ð"ß #ß $Ñ ) "% Ð"ß #ß % ' $Ñ œ Ð # ( ß ( ß (Ñ ) *#&%* Ð$ß &ß (Ñ Ð"ß#ß$ÑÐ#ß$ß"!Ñ ÈÐ" % *ÑÐ% * "!!Ñ ¸ !ß &&$"#!".. Prof. P. Guzmán S. œ ) )$ Ð$ß &ß (Ñ 4 → → #Ñ Dados À E œ Ð$ß %ß &Ñß F œ Ð&ß (ß *Ñ → → 3Ñ Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por À E y F → → 33Ñ Encuentre los cosenos directores de la recta que pasa por À E y F A B B - A P=A+t(B- A) ⎯→ → → → → → T œ E > EF œ E >ÐF EÑ Ð B ß C ß DÑ œ Ð$ ß % ß &Ñ >Ð#ß ""ß "%Ñ B œ $ #> à C œ % ""> à D œ & "%> B$ # œ C% "" œ D& "% œ > à Ecuaciones Simétrica 33Ñ -9=Ð!Ñ À -9=Ð" Ñ œ -9=Ð# Ñ œ # À "" À "% -9=Ð!Ñ # œ -9=Ð" Ñ "" œ -9=Ð# Ñ "% œ>Ä -9=# Ð!Ñ -9=# Ð" Ñ -9=# Ð# Ñ % "#" "*' -9=# Ð!Ñ % œ " $#" œ -9=# Ð" Ñ "#" œ œ ># Ä > œ Prof. P. Guzmán S. -9=# Ð# Ñ "*' " „ È$#" œ ># Ecuaciones Simétricas Un conjunto de números directores de L EF : &ß $ ß (à L EF ¼ ÐQ Ñ Prof. Guzmán S.Ecuaciones paramétricas œ D% ( œ > . D œ % (>.5 Z A X Y B La dirección de PEF /= 8/1+>3@+ß Luegoà > ! >œ -9=Ð!Ñ œ " È%"#""*' # à È$#" œ " È$#" -9=Ð" Ñ œ "" È$#" . . P. -9=Ð" Ñ ¸ !Þ'"$*'! . P EF à ÐBß Cß DÑ œ Ð#ß #ß %Ñ >Ð&ß $ß (Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð# &>ß # $>ß % (>Ñ Ç B œ # &>. -9=Ð# Ñ œ -9=Ð! Ñ ¸ !ß """'#*. "% È$#" œ "% È$#" -9=Ð# Ñ ¸ !Þ()"%!$)Þ $Ñ Encuentre la ecuación del plano ÐQ Ñ que es ¼ a la recta que pasa porà EÐ#ß #ß %Ñß FÐ(ß "ß $Ñ y que contiene al punto GÐ &ß "ß #Ñ Solución. B# & œ C# $ C œ # $>. y .2 ) B A P(x. . GÐ &ß "ß #Ñ − al plano pedido puesto que &·Ð &Ñ $·Ð"Ñ (·Ð#Ñ "% œ ! #& $ "% "% œ ! C(-5 .1 .6 Sea PÐBß Cß DÑ − ÐQ Ñß plano pedidoÞ L T U ß tiene como un conjunto de números directores a: B &ß C "ß D # .z) Prof. Como P EF es ¼ a toda recta del plano pedido se tiene que À P EF ¼ L T U Ä &ÐB &Ñ $ÐC "Ñ (ÐD #Ñ œ ! Luego: &B $C (D #& $ "% œ ! Ecuación del plano pedido ÐQ Ñ. &B $C (D "% œ !. P. Guzmán S. %·Ð#Ñ ! ! ) œ ! . D - œ ". ! %·Ð#Ñ ! ) œ !.2) X P(2. Prof.0) Y ⎯→ ⎯→ T U œ Ð #ß #ß !Ñ T V œ Ð #ß !ß #Ñ â 4 â 3 ⎯→ ⎯→ â T U ‚ T V œ Ð #ß #ß !Ñ ‚ Ð #ß !ß #Ñ œ â # # â â # ! œ 3Ð% !Ñ 4Ð % !Ñ 5Ð! %Ñ â 5â â !â œ â #â œ Ð%ß %ß %Ñ vector normal al plano pedido Sea À LÐBß Cß DÑ − al plano pedido ÐKÑß P directores a: B #ß C !ß D ! à Luego : TL à tiene como números %·Ð B #Ñ %·Ð C !Ñ %·ÐD !Ñ œ ! %B %C %D ) œ !. Es la ecuación del plano pedido satisfacen la ecuación. ! ! %·Ð#Ñ ) œ ! Otra solución: de B + C . P. B # C # D # œ" .0) Q(0.0. se tiene. Guzmán S.0. %B %C %D ) œ ! .7 %Ñ 3Ñ Encuentre la ecuación del plano ÐKÑ que pasa por: T Ð#ß !ß !Ñ ß UÐ!ß #ß !Ñß VÐ!ß !ß #Ñ 33Ñ Encuentre la ecuación de la recta que pasa por LÐ$ß $ß $Ñ y que es normal al planoÐT Ñ Z R(0.2. œ ! Prof. Encuentre su ecuación 3. $. #. $B #C $D ' œ ! .1 N a .2.8 33Ñ Sea Q ÐBß Cß DÑ − a la recta PX normal al plano ÐKÑ À LÐ$ß $ß $Ñ − PX Luego PX À ÐBß Cß DÑ œ Ð$ß $ß $Ñ >Ð%ß %ß %Ñ &Ñ Un plano (M) pasa por Ð"ß ß #ß "Ñ y UÐ#ß "ß $Ñ y es perpendicular al plano À ÐX Ñ. 3 N 2 P (1.b . Guzmán S. -2.y. P.z ) (M) L T U à − ÐQ ÑÞ Un conjunto de números directores es: "ß "ß # L T U ¼ N" Ä + .c 1 Q ( 2.œ ! R# ¼ R" Ä $+ #. .3) (T) H(x .1. L" : tiene como un conjunto de números directores a: "ß (ß " L# : tiene como un conjunto de números directores a À "ß #ß # Prof. puesto que: " $·Ð#Ñ " ) œ !Þ # $·Ð"Ñ $ ) œ ! Números directores de la Normal N" À " ß $ ß " Números directores de la Normal N# À $ß #ß $ LuegoÞ "·$ $·Ð #Ñ $ œ ! . Guzmán S. + œ "à +.9 Se tiene entonces que À Luego.œ ".œ$à -œ- -œ" Es un conjunto de números directores de N" PT L − Ð Q Ñß un conjunto de números directores de PT L es: B "ß C # ß D " À Como R" ¼ PT L se tiene que: "·ÐB "Ñ $·Ð C #Ñ "·Ð D "Ñ œ ! Ä B $C D ) œ ! Þ es la ecuación del plano ÐMÑÞ En efectoÞ PÐ"ß #ß "Ñ y UÐ#ß "ß $Ñ − Ð Q Ñ . # . (M) ¼ (T) 'Ñ L" À recta que pasa por : PÐ$. Si . $. Encuentre un conjunto de números directores de una línea ¼ a L" C L # Solución.œ ! Ä . P. "Ñ QÐ#ß *ß #Ñ L# À recta que tiene como un conjunto de números directores a À "ß #. .œ!Ä + œ - . #. œ $-ß . œ $-& œ $& + œ #.œ Si .œ & Ä + œ ) .œ ! –––––––––––––––––––––––––––––Luego: &. $. . Ec $ Þ Simétrica de ÐP" Ñ (P# Ñ Un conjunto de números directores de L: " $ß "ß " L H(x. . Ec del plano pedido Ð"ß #ß "Ñ − ÐQ Ñ à " $Ð#Ñ $Ð "Ñ ) œ ! Prof. œ $ß . P$ ¼ L# y que un conjunto de números directores de L$ : +ß .z) P(1.œ ! + #. #.-1) PT L ß un conjunto de números directores es: B "ß C #ß D " Como PT L ¼ L Ò "$ ·ÐB "Ñ "·ÐC #Ñ "·ÐD "Ñ œ ! B $C $D " ' $ œ ! ÐQ Ñ B $C $D ) œ !.10 Sea P$ recta tal que: P$ ¼ L" .œ & Luego se tiene que un conjunto de números directores de P$ : es )ß $ ß & (Ñ Sean (P" Ñ À $B C & œ ! . P. . . Planos Encuentre la ecuación de un plano que es ¼ a la línea de de ambos planos y que contenga al punto Ð"ß #ß "ÑÞ Solución.œ )& -ß . ÐP# Ñ à C D " œ !. Guzmán S. . P À B " $ % $ œ C" " œ $ D ! " D ! " .2.œ $& .œ ! Ä . ß -Þ Luego debe tenerse que: + (.y. Ð " Ñ B % de ÐT" Ñ: C " œ Ò $B %Ó † Ð "$ Ñ œ " $ de ÐT# Ñ: C " œ D ! œ Luego. +Ñ B œ # > . además son ortogonales puesto que À Ð "Ñ † # Ð $Ñ † # % † # œ !Þ Luego. son alabeadas Prof. P" : B œ # > à C œ " #> à D œ # %> P# : B œ " #= ß C œ # $= ß D œ " #= Luego. no son paralelas . Guzmán S. . P.11 )Ñ L" À B# " œ C" # œ D# % À P# à B" # œ C# $ œ D" # 3Ñ Decida si ambas rectas se intersectan 33Ñ Encuentre la ecuación del plano que contiene a L# C P" ß Solución. están en planos diferentes. luego no existe intersección.Ñ C œ " #> -Ñ D œ # %> B œ " #= À C œ # $= D œ " #= " #> œ # $= Ä #> œ " $= # %> œ " #= Ä %> œ " #= Ä Ä ! œ $ )= Ä = œ $) >œ " # $ # † $ ) " "' œ Reemplazando en + se tiene: # > œ " #= # " "' œ" $$ "' œ "% ) ' ) Ä Ã Lo que es contradictorio. → → → 3Ñ LE//F À T œ E > F ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß "Ñ >Ð $ß %ß &Ñ Ec.12 33Ñ R 9 /B3=>/ /=/ :6+89 *Ñ Encuentre las ecuaciones vectorial. simétricas y paramétricas de la línea recta que pasa por: → → 3Ñ E œ Ð!ß "ß "Ñ y que es // a la dirección dada por F œ Ð $ß %ß &Ñ → → 33Ñ U œ Ð *ß "ß "Ñ y pasa por el extremo de G œ Ð%ß $ß #Ñ 333Ñ ¿ Se intersectan estas líneas. paramétricas C" B D" Ecs. vectorial B œ $>ß C œ " %>ß D œ " &> Ecs. . en qué punto ? Solución. P. paramétricas C" B D" Ecs.Ñ C œ " %>ß C œ " %= Ä " %> œ " %= Ä >œ= -Ñ D œ " &> D œ " = Ä " &> œ " = Ä &> œ = Ä %> œ !ß = œ ! Se intersectan en Ð!ß "ß "Ñ Prof. Guzmán S. simétricas & œ % œ " 333Ñ +Ñ B œ $>ß B œ &= . simétricas $ œ % œ & ⎯→ → → 33Ñ PUG À T œ U > UG ß ⎯→ → → UG œ G U œ Ð &ß %ß "Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß "Ñ >Ð &ß %ß "Ñ B œ &>ß C œ " %>ß D œ " > Ecs. UÐ "ß #ß $Ñ 3Ñ Encuentre la ecuación de la esfera que tiene como diámetro al segmento PQ 33Ñ Encuentre la ecuación del plano que es tangente a la esfera en el punto PÐ"ß #ß "Ñ Solución. .ÐSß UÑ œ È" ! " œ È# .ÐSß T Ñ œ È# Ä B# ÐC #Ñ# ÐD #Ñ# œ # B# C# %C % D # %D % œ œ # B# C# %C D # %D ' œ ! ""Ñ Encuentre la ecuación del plano ¼ a la linea determinada por T Ð #ß &ß "Ñ à UÐ%ß $ß $Ñ y que pasa por el punto medio del trazo PQÞ Solución. P.13 "!Ñ Dados los puntos T Ð"ß #ß "Ñ . Números directores de la recta normal al plano: $ ß %ß # Números directores de PQ X À B "ß C "ß D " La linea LT U es ¼ al plano pedido luego $ÐB "Ñ %ÐC "Ñ #ÐD "Ñ œ ! $B %C #D " œ ! ecuación pedida Prof. El centro de la esfera está en el punto medio de PQ œ SÐ!ß #ß #Ñ V œ . Guzmán S. ⎯→ UT œ Ð%ß $ß $Ñ Ð #ß $ß "Ñ œ Ð'ß 'ß %Ñ ⎯→ ¸ UT ¸ œ È$' $' "' œ È)) ⎯→ UV œ Ð"ß "ß "Ñ Ð%ß $ß $Ñ œ Ð $ß %ß #Ñ ⎯→ ¸ UV ¸ œ È* "' % œ È#* ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ UT † UV œ ¸ UT ¸ † ¸ UV ¸-9=Ð!Ñ -9=Ð!Ñ œ ⎯→ ⎯→ UT † UV ⎯→ ⎯→ ¸ UT ¸ †¸ UV ¸ œ ")#%) È)) †È#* œ &! È)) †È#* → → "$Ñ Sean E œ Ð "ß #ß !Ñ ß F œ Ð#ß "ß "Ñ ⎯→ G œ Ð"ß #ß #Ñß H œ Ð"ß #ß $Ñ 3Ñ Calcular el área del paralelogramo que tiene como lados ⎯→ ⎯→ adyacentes los vectores : EF ß C FG . P. ⎯→ ⎯→ 3Ñ EF œ Ð$ß "ß "Ñ ß FG œ Ð"ß "ß "Ñ Prof. . 33Ñ Calcular el volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes ⎯→ ⎯→ ⎯→ son: EF ß EG ß EH Solución. RÐ"ß "ß "Ñ Encuentre el coseno del ángulo PQR Solución. QÐ%ß $ß $Ñ.14 "#Ñ Dados PÐ #ß $ß "Ñ. Guzmán S. Guzmán S. P. % -" ! → $ -" 5º -# º # â $â â -" â Ÿ œ â -# â -" !º .â→ ⎯→ ⎯→ ââ 3 EF ‚ FG œ â $ â â " → → ââ 4 5â -" -" ââ œ -" " â → -" œ 3º -" 15 → $ -" 4º º " " → $ -" 5º º " " -" -" º → → → œ 3 † Ð #Ñ % † 4 5 † Ð #Ñ œ Ð #ß %ß #Ñ ⎯→ ⎯→ ¸ EF ‚ FG ¸ œ È% "' % œ È#% u. de área 33Ñ Z œ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ¸ EH † Ð EF ‚ EG Ѹ œ ⎯→ EF œ Ð$ß "ß "Ñß â→ â 3 ⎯→ ⎯→ â Ð EF ‚ EG Ñ œ â $ â â # ⎯→ EG œ Ð#ß !ß #Ñß → → ââ 4 5 â → -" -" -" ââ œ 3 º ! ! -# â ⎯→ EH œ Ð#ß %ß $Ñ → $ -" 4º º -# # œ Ð#ß %ß #Ñ â â# ⎯→ ⎯→ ⎯→ â Z œ ¸ EH † Ð EF ‚ EG Ѹ œ EFW â $ â â# Prof. 16 œ EFW #º " ! " $ Ð %Ѻ º # # " $ $º º # # " œ ! ºŸ œ ¸ # † # %Ð ' #Ñ $Ð#Ѹ œ ¸% "' '¸ œ ¸ '¸ œ ? . luego se intersectan 33Ñ Linea de de los planos ÐT Ñ y ÐQÑ ÐT Ñ À $B C & œ ! Ä C # œ $B $ œ $ÐB "Ñ C # œ $ÐB "Ñ ÐQÑ À C # " œ CD"œ! Ä C#œ D" C # œ ÐD "Ñ B" " $ œ D " " à Ä B" " œ C # $ œ D " $ 333Ñ Números directores de la normal al plano pedido: "ß $ß $ Sea UÐBß Cß DÑ cualquier punto del plano. 3Ñ ÐT ÑÎÎÐUÑ Ç RÐT Ñ ÎÎRÐUÑ ÐT Ñ À $B C & œ !ß RÐT Ñ À $ß "ß ! ÐUÑ À C D " œ ! RÐUÑ À !ß "ß " Los planos no son paralelos. números directores de la rectala recta PUX À B "ß C #ß D "Þ Luego se tiene que: " † ÐB "Ñ $ † ÐC #Ñ $ † ÐD "Ñ œ ! B $C $D $ œ ! Ecuación del plano pedido. Prof. . Guzmán S./ @96 œ ¸Ð#ß %ß $Ñ † Ð#ß %ß #Ѹ œ ¸% "' '¸ œ ' u de volumen "%Ñ Dados los planos: $B C & œ ! à C D " œ ! 3Ñ ¿ Se intersectan estos planos ? 33Ñ Encuentre la ecuación de la linea de intersección 333Ñ Escriba la ecuación de un plano perpendicular a la linea de intersección de los planos dados y que contenga al punto X Ð"ß #ß "Ñ Solución. P. 17 → → "&Ñ Dados: E œ Ð$ß #ß &Ñ F œ Ð $ß !ß %Ñ Calcular: →→ → ⎯→ → 3Ñ -9=tÐEß F Ñ œ ? 33Ñ ¹ E ¹ œ ? ß ¹ F ¹ œ ? ß ¹ FE ¹ œ ? ⎯→ ⎯→ → → 333Ñ FE œ ? 3@Ñ EF œ ? @Ñ E → œ ? @3Ñ F→ œ ? F E Solución. P. F Ñ → → →→ "" -9=tÐE . Guzmán S. F Ñ œ →E † F→ œ &†È $) ¹ E ¹†¹ F ¹ → → E † F œ Ð$ß #ß &Ñ † Ð $ß !ß %Ñ œ $ † Ð $Ñ # † ! & † % œ "" → → → ¹ E ¹ œ É E † E œ È* % #& œ È$) → → → ¹ F ¹ œ É F † F œ È#& œ & → → F † F œ Ð $ß !ß %Ñ † Ð $ß !ß %Ñ œ * ! "' œ #& → → → → → → 33Ñ ¹ E ¹ œ É E † E œ È* % #& œ È$) ß ¹ F ¹ œ É F † F œ È#& œ & ⎯→ → → FE œ E F œ Ð$ß #ß &Ñ Ð $ß !ß %Ñ œ Ð'ß #ß "Ñ ⎯→ ¹ FE ¹ œ È$' % " œ È%" ⎯→ ⎯→ → → 333Ñ FE œ FE œ E F œ Ð$ß #ß &Ñ Ð $ß !ß %Ñ œ Ð'ß #ß "Ñ ⎯→ → → 3@Ñ EF œ F E œ Ð $ß !ß %Ñ Ð$ß #ß &Ñ œ Ð 'ß #ß "Ñ →→ → → E†F @Ñ E → œ Ð → → ÑF œ F F†F "" #& Ð $ß !ß %Ñ → @3Ñ F → œ Prof. → → → → →→ 3Ñ E † F œ ¹ E ¹ † ¹ F ¹ † -9=tÐE . E → →→ E†F →→E E†E œ "" $) . ⎯→ ⎯→ ! œ tÐ EG ß EF Ñ ⎯→ → → EG œ G E œ Ð&ß #ß %Ñ Ð$ß #ß "Ñ œ Ð#ß %ß $Ñ ⎯→ → → ⎯→ EF œ F E œ Ð"ß "ß #Ñ Ð$ß #ß "Ñ œ Ð #ß $ß "Ñß ¸ EF ¸ œ È"% ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ EG † EF œ ¸ EG ¸ † ¸ EG ¸ † -9=Ð !Ñ Ð#ß %ß $Ñ † Ð #ß $ß "Ñ œ È#* È"% † -9=Ð !Ñ % "# $ œ È#* È"% † -9=Ð !Ñß -9=Ð !Ñ œ → → → → → → "'Ñ Si F Á !@ .F œ E Ä E ÎÎ F Prof. œ- .18 → → → "&Ñ E œ Ð$ß #ß "Ñ ß F œ Ð"ß "ß #Ñ ß G œ Ð&ß #ß %Ñ A α C γ β O B Calcular À 3Ñ -9=Ð !Ñ œ ß -9=Ð " Ñ œ ß -9=Ð # Ñ œ ⎯→ ⎯→ 33Ñ EF œ ß ¸ EF ¸ œ Solución. T ÞHÞ E ÎÎ F Ç E → œ E F → →→ → → → → → E†F Si Ð Ä Ñ E ÎÎ F Ä E œ . P.F†F → →→ F F†F œ →→ → → → F†F œ -Ò → → ÓF œ . Guzmán S.F Ä E → œ → → F œ F F†F "" È#* † È"% →→ .F œ E F†F → → Sólo si Ð Ã Ñ E → œ E Ä F → →→ E†F →→F F†F → œ Eß →→ E†F →→ F†F → → → → . P. F Ñ œ ! 9 t ÐE ." ß . F Ñ œ 1 →→ → → 33Ñ Sólo si t ÐE .4 × Prof. → → → →→ → E † F œ ¹ E ¹ † ¹ F ¹ † -9=tÐE . o ) œ 1 Solución. F Ñ → → →→ →→ 3Ñ Si E ÎÎ F Ä t ÐE .$ ÐBß Cß DÑ œ Ð+" >.# ß D œ +$ >. œ ." ß C œ +# >. .$ Ñ B œ +" >.ÐT!ß T" Ñ œ 738Ö.# ß . F Ñ œ ) œ !.19 → → → "(Ñ W3 E • F Á ! à → → →→ T ÞHÞ E ÎÎ F Ç t ÐE . desde un punto T! a → → → → → L œ E >F ß Considere el caso en que P ! œ ! @ → → → L œ E >F ß ÐBß Cß DÑ œ Ð+" ß +# ß +$ Ñ >Ð.4 œ ÈÐB! BÑ# ÐC! CÑ# ÐD! DÑ# .# ß +$ >." ß +# >.$ Ñ . Guzmán S. o ) œ 1 Ä E ÎÎ F ")Ñ Obtenga una fórmula para la distancia . F Ñ œ ) œ !. → → 3Ñ 3 ‚ 4 œ â→ → →â â 3 4 5 ââ → ! â Ð"ß !ß !Ñ ‚ Ð!ß "ß !Ñ œ â " ! ! â œ 3 º " â â â ! " !â → œ 5 œ Ð!ß !ß "Ñ â→ â 3 → → â 33Ñ 4 ‚ 5 œ â ! â â ! → → ââ 4 5â → " " ! ââ œ 3 º " " !â → œ Ð!ß !ß "Ñ œ 5 → " ! 4º º ! ! → ! ! 4º º ! ! Prof.20 .4 Ñ œ ! Ç # # Ò #ÐT! EÑ #>¸F ¸ Ó # " #ɸT! E¸ #>ÐT! EÑ># ¸F ¸ # # # # Ò # ÐT! EÑ † F #>¸F ¸ Ó œ ! # # Ç ÐT! EÑ † F >¸F ¸ œ ! Ç >¸F ¸ œ ÐT! EÑ † Fß ÐT! EцF # .Ñ Encuentre 3 ‚ 5 œ Solución. → " ! 5º º ! ! → ! ! 5º º ! ! " "º ! "º .4 œ ɸT! E¸ #>ÐT! EÑ † F ># ¸F ¸ # H> Ð.4 Ñ œ " #ɸT! E¸ #>ÐT! EÑ># ¸F ¸ H> Ð. 4 − # # .4# œ œ ¸T! E¸ #>ÐT! EÑ † F ># ¸F ¸ . P. Guzmán S. œ ʸT! E¸ # ÐT!¸EцF ÐT EÑ † F Ò Ó ¸F ¸ # ! ¸F ¸# F¸ # >œ ÐT! EцF ¸F ¸# # →→→ "*Ñ +Ñ Verifique: 3 ß 4 ß 5 − ‘$ ß son tales que À → → → 3Ñ 3 ‚ j œ 5 ß → → → 33Ñ 4 ‚ 5 œ 3 ß → → → 333Ñ 5 ‚ 3 œ 4 → → .4# œ ÐB! BÑ# ÐC! CÑ# ÐD! DÑ# . Ñ T Ð $ß #ß "Ñß U œ Ð#ß !ß %Ñß G œ Ð"ß "ß "Ñ â → → →â â 4 5 ââ → # → → â 3 Solución.Ñ MHÞ #"Ñ Encuentre el área del # cuyos vértices son À T" œ Ð!ß !ß !Ñß T# œ Ð"ß "ß "Ñß T$ œ Ð#ß !ß !Ñß T% œ Ð"ß "ß "Ñ Ð S.=Þ T$ œ T# T % ß luego el # es generado por los vectores P# ß P% Ñ Prof.â→ â 3 → → â 333Ñ 5 ‚ 3 œ â ! â â " 21 → → ââ 4 5â → ! ! " ââ œ 3 º ! ! !â → œ Ð!ß "ß !Ñ œ 4 â→ â → â 3 → 3@Ñ 3 ‚ 5 œ â " â â ! → → ââ 4 5â → ! ! ! ââ œ 3 º ! ! "â → œ Ð!ß "ß !Ñ œ 4 → ! " 4º º ! " → " ! 4º º " ! → ! " 5º º ! " → " ! 5º º " ! ! !º ! !º → → → → → #!Ñ Calcular T ‚ U . ÐT ‚ UÑ· G . en los siguientes casos À → → → +Ñ T œ Ð " ß # ß !Ñ U œ Ð $ß "ß !Ñß G œ Ð%ß *ß $Ñ → → → . P. # "º . Guzmán S.+Ñ T ‚ U œ â " # ! ââ œ 3 º " â â $ " ! â → → → œ # 3 ! 4 ( 5 œ Ð#ß !ß (Ñ → " ! 4º º ! -$ → " ! 5º º ! -$ → → → ÐT ‚ UÑ· G œ Ð#ß !ß (Ñ·Ð"ß "ß "ß Ñ œ # ( œ * . ¸ =/8Ð" Ñ œ -¸ =/8Ð # Ñ Solución./ +Þ → → → → → ##Ñ +Ñ P. E ‚ ÐE F Ñ œ E ‚ F .D. → → → → → → → → → → → → +Ñ E ‚ ÐE F Ñ œ E ‚ E E ‚ F œ ! @ E ‚ F œ E ‚ F Prof. Guzmán S.Ñ Demuestre el teorema del seno : =/8Ð+! Ñ œ .22 â→ â 3 ⎯→ ⎯→ â T" T # ‚ T" T % œ â " â â " → " œ 3º -" → → ââ 4 5â " " ââ -" -" â → " " 4º º -" " → " " 5º º -" " " œ -" º → → → œ 3 † ! # † 4 # † 5 œ Ð!ß #ß #Ñ ⎯→ ⎯→ Eò œ ¸ T" T # ‚ T" T % ¸ œ È% % œ #È# ? . P. . 23 . Guzmán S. =/8Ð" Ñ Ä FX œ . Ä GH œ . =/8Ð# Ñ œ . =/8Ð" Ñ œ + =/8Ð!Ñ Ð‡Ñ FX + œ Ä FX œ + † =/8Ð# Ñ =/8Ð# Ñ Ð‡‡Ñ =/8Ð# Ñ → → → → → → #$Ñ CalcularÞ E † ÐF ‚ G Ñ œ ß Ð E ‚ FÑ † G œ Solución. P.† =/8Ð!Ñ œ + † =/8Ð# Ñ Ä ." ß . † =/8Ð!Ñ œ + † =/8Ð" Ñ Ä =/8Ð!Ñ œ FX - + =/8Ð!Ñ œ . → → → Sean E œ Ð+" ß +# ß +$ Ñ F œ Ð. .Ñ + =/8Ð! Ñ ./ Ð‡Ñ C Ї‡Ñ + =/8Ð!Ñ œ .ß =/8Ð # Ñ → ¸G ¸ œ - =/8Ð!Ñ œ GH . † =/8Ð!Ñ =/8Ð" Ñ œ GH + Ä GH œ .# ß .† =/8Ð" Ñ Ä .¸ =/8Ð" Ñ œ → ¸ E ¸ œ +ß œ → ¸ F ¸ œ .† =/8Ð!Ñ.$ Ñß G œ Ð-" ß -# ß -$ Ñ → → → → → → → → → ÒEFGÓ œ E † ÐF ‚ G Ñ œ F † ÐG ‚ EÑ œ G † ÐE ‚ F Ñ Prof. # los ángulos del ˜ SEF Demuestre que À -9=Ð! " # Ñ œ " Hint." +" .# ß +$ .$ ß +$ ." +" ." +" . F vectores en ‘$ .# -# º œ +" Ð.# .$ +$ . " .$ â → + +$ 4º " º . !. demuestre que À -9=Ð! " Ñ œ -9=Ð# Ñ.$ ." â â -" œ +" º .$ .$ . +$ º " º -$ -" .$ -# Ñ +# Ð. =/8Ð! " Ñ œ =/8Ð# Ñ Solución +Ñ 1 Ð! " Ñ œ # Ä -9=Ò 1 Ð! " ÑÓ œ -9=Ð# Ñ -9=Ð1Ñ † -9=Ð! " Ñ =/8Ð1Ñ † =/8Ð! " Ñ œ -9=Ð# Ñ " † -9=Ð! " Ñ ! † =/8Ð! " Ñ œ -9=Ð# Ñ -9=Ð! " Ñ œ -9=Ð# Ñ Prof." -$ .$ +$ .# -# +# .# º œ Ð+# . +# º " º -$ -" .# Ñ-" Ð+$ . P.# -# â +$ â â .$ -" Ñ +$ Ð.â â +" → → → â E † ÐF ‚ G Ñ œ â ." -# ." +# Ó † Ð-" ß -# ß -$ Ñ œ .$ Ñ-$ → → #%Ñ Sean E .# -$ ." → + +$ 5º " º .$ . # → → ââ 4 5â +# +$ ââ † Ð-" ß -# ß -$ Ñ œ . Guzmán S.$ Ñ-# Ð+$ . ." → + œÒ 3º # .$ † Ð-" ß -# ß -$ Ñ œ Ð+# .$ â â -$ â 24 ." +" .# -" Ñ â→ → → → ââ 3 ÐE ‚ F Ñ † G œ â +" â â . 25 Análogamente: =/8Ð! " Ñ œ =/8Ð# Ñ -9=Ð! " # Ñ œ -9=Ð! " Ñ-9=Ð# Ñ =/8Ð! " Ñ=/8Ð# Ñ œ -9=Ð# Ñ-9=Ð# Ñ =/8Ð# Ñ=/8Ð# Ñ œ Ò-9=# Ð# Ñ =/8# Ð# ÑÓ œ " . vectoriales . P. simétricas y paramétricas de las → → rectas que pasan por E y son paralelas a la direccion dada por F 33Ñ Encuentre las ecuaciones .Ñ !.Ñ A Ð #ß %ß &Ñß B Ð "ß $ß &Ñ → → -Ñ EÐ #ß &ß (Ñß F Ð$ß &ß *Ñ 3 Ñ Encuentre las ecuaciones. Guzmán S. " .Ñ A Ð #ß %ß &Ñß B Ð "ß $ß &Ñ À T œ E > † F ÐBß Cß DÑ œ Ð #ß %ß &Ñ >Ð "ß $ß &Ñ Prof. simètricas y → → paramétricas de las rectas pasan por À E y F 333Ñ Encuentre los cosenos directores de cada una de las rectas en 3Ñ y 33Ñ 3@Ñ Encuentre un conjunto de números directores para cada una de las rectas en 3Ñ Solución. # los ángulos del ˜ SEF Ä ! " # œ 1 -9=Ð! " # Ñ œ -9=Ð1Ñ œ " #&Ñ Dados los puntos : → → → → +Ñ EÐ$ß #ß "Ñß B Ð "ß &ß (Ñ . → → → → → 3Ñ +Ñ EÐ$ß #ß "Ñß F Ð "ß &ß (Ñ À T œ E > † F ÐBß Cß DÑ œ Ð$ß #ß "Ñ >Ð "ß &ß (Ñ → → → → → . . vectoriales. Ñ Encuentre los cosenos directores de la linea LT"T# Solución. . → → ⎯→ +Ñ T œ T " > T" T # ÐBß Cß DÑ œ Ð #ß $ß "Ñ >Ð&ß &ß #Ñ B œ # &>ß B# & œ C$ & œ D " # ß C œ $ &>ß D œ " #> números directores: &ß &ß # ⎯→ . Guzmán S.26 → → → → → -Ñ EÐ #ß &ß (Ñß F Ð$ß &ß *Ñ à T œ E > † F ÐBß Cß DÑ œ Ð #ß &ß (Ñ >Ð$ß &ß *Ñ → → → → → 33Ñ +Ñ EÐ$ß #ß "Ñß F Ð "ß &ß (Ñ à T œ E > † F ⎯→ FE œ Ð "ß &ß (Ñ Ð$ß #ß "Ñ œ Ð %ß #ß 'Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð$ß #ß "Ñ >Ð %ß #ß 'Ñ B œ $ %>ß C œ # #>ß D œ " '> Ec. Parámetricas B$ % œ C# # œ D" ' Ec.Ñ A Ð #ß %ß &Ñß B Ð "ß $ß &Ñ À ⎯→ ⎯→ → → T œ E > † FE à FE œ Ð "ß $ß &Ñ Ð #ß %ß &Ñ œ Ð"ß "ß "!Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð "ß $ß &Ñ >Ð"ß "ß "!Ñ → → #' Ñ Una recta pasa por T 1 Ð #ß $ß "Ñß T # Ð$ß #ß "Ñ con → → dirección positiva de T 1 a T 2 : +Ñ Encuentre un conjunto de números directores para la linea → → de T 1 a T 2 .Ñ ¸ P" T # ¸ œ ¸Ð&ß &ß #Ѹ œ È#* Prof. P. Simétricas → → . → 3Ñ ¸ E ¸ œ È! " #& œ È#' → ¸ F ¸ œ È"% #& " œ È%! →→ 33Ñ E · F œ Ð!ß "ß &Ñ·Ð È"% ß &ß "Ñ œ !·Ð È"% Ñ "·& &·" œ "! →→ → → 333Ñ E · F œ ¸ E ¸ ¸ F ¸-9=Ð) Ñ Ä -9=Ð) Ñ œ →→ E ·F → → ¸E ¸ ¸F ¸ œ "! È#' È%! œ !ß $"!!)( ) œ +<. ¸ F ¸. → #)Ñ Cual de los siguientes vectores son paralelos a T œ Ð"ß "ß "Ñ ? 3Ñ Ð#ß #ß #Ñ 33Ñ Ð#ß #ß #Ñ 333Ñ Ð #ß #ß #Ñ " " 3@Ñ Ð"ß #ß #Ñ @Ñ Ð " # ß # ß #Ñ Solución.27 -9=Ð!Ñ œ & È#* -9=Ð" Ñ œ & È#* ß -9=Ð# Ñ œ → → #(Ñ Sea E œ Ð!ß "ß &Ñß F œ Ð È"% ß &ß "Ñ → → 3Ñ Calcular : ¸ E ¸. 3Ñ Ð#ß #ß #Ñ œ #Ð"ß "ß "Ñ 33Ñ Ð#ß #ß #Ñ œ >Ð"ß "ß "Ñ Ç # œ #>ß # œ >ß # œ > " œ >ß # œ >ß # œ > Ä Ã No son paralelos 333Ñ Ð #ß #ß #Ñ œ >Ð"ß "ß "Ñ Ç > œ #ß > œ #ß > œ # Ä Ã No son paralelos Prof.-9=Ð!ß $"!!)(Ñ œ "ß #&&&" <+. P. Guzmán S. 33Ñ Calcular : # È#* →→ E ·F → → 333Ñ Calcular el ángulo entre E y F Solución. . 28 3@Ñ Ð"ß #ß #Ñ œ >Ð"ß "ß "Ñ Ç > œ "ß > œ #ß > œ # Ä Ã No son paralelos " " " " @Ñ Ð " # ß # ß # Ñ œ >Ð"ß "ß "Ñ Ç > œ # ß > œ # ß > œ Son paralelos " # #*Ñ +Ñ Encuentre todos los vectores que son ortogonales con /" œ Ð"ß !ß !Ñ . P. Guzmán S.Ñ Encuentre un vector no nulo que sea ortogonal a → → F œ Ð"ß #ß "Ñ y G œ Ð "ß !ß $Ñ Solución. . C œ C ß D œ D Luego los vectores de la forma: Prof. +Ñ ÐBß Cß DÑ † Ð"ß !ß !Ñ œ ! Ä B œ !ß C œ Cß D œ D Luego son ortogonales con /" œ Ð"ß !ß !Ñ todos los vectores de la forma: Ð!ß Cß DÑ œ CÐ!ß "ß !Ñ DÐ!ß !ß "Ñ a C ß D − ‘ß Cß D Á ! → → → → .Ñ E 1 ‚ E # œ Ð"ß !ß "Ñ ‚ Ð!ß "ß !Ñ ¼ E 1 C E # â→ → →â â 3 4 5 ââ → ! " → → → " → " " â 4 ·º 5 ·º E 1 ‚ E # œ â " ! " â œ 3 ·º º º " ! ! ! ! â â â ! " !â → → → → → E 1 ‚ E # œ 3 ·Ð "Ñ 4 ·! 5 ·" œ Ð "ß !ß "Ñ ! "º → $!Ñ +Ñ Encuentre un vector no nulo que sea ortogonal a B œ Ð"ß #ß "Ñ .Ñ Encuentre todos los vectores que son ortogonales a → → E 1 œ Ð"ß !ß "Ñ y a E # œ Ð!ß "ß !Ñ Solución. +Ñ ÐBß Cß DÑ·Ð"ß #ß "Ñ œ ! Ä B #C D œ ! B œ D #C . Guzmán S. È" $ . U 2 . que son ortogonales dos a dos y que cada uno es un vector unitario → → → .Ñ F ‚ G œ â " â â " → # œ 3 ·º ! œ → 4 # ! → ââ 5 â " ââ $ â → " -" 4 ·º º $ -" → → 3 ·' 4 ·# → " -" 5 ·º º $ -" # !º → 5 ·# œ Ð'ß #ß #Ñ → → F ‚ G œ Ð'ß #ß #Ñ es ortogonal a : → → F œ Ð"ß #ß "Ñ y G œ Ð "ß !ß $Ñ → → $"Ñ Dado A œ Ð$ß &ß (Ñ y F œ Ð"ß #ß $Ñ Encuentre la proyección de A sobre B .29 ÐD #Cß Cß DÑ œ CÐ #ß "ß !Ñ DÐ"ß !ß "Ñ a Cß D − ‘ß Cß D Á ! → son ortogonales con B œ Ð"ß #ß "Ñ â → â 3 → → â . → → → → E ·F ) E → œ Ð→ → ÑF œ "% Ð"ß #ß $Ñ F F ·F → → E · F œ Ð$ß &ß (Ñ † Ð"ß #ß $Ñ œ $ "! #" œ ) →→ F · F œ Ð"ß #ß $Ñ † Ð"ß #ß $Ñ œ " % * œ "% → → → → E ·F F → œ Ð→ → ÑE œ E E·E ) )$ Ð$ß &ß (Ñ $#Ñ Seanà ⎯→ " U" œ Ð È"$ . È" ' .Ñ Encuentre la proyección de → / 1 œ Ð"ß !ß !Ñß sobre U 1 .D. de B sobre A Solución. P. . U 3 Prof. !Ñ +Ñ P. $ # È' Ñß U$ œ Ð È" # . " È# . È Ñß U# œ Ð È" ' . # → → " 3Ñ U " † U # œ Ð È"$ . !Ñ œ # ' œ " È") " È' # ' " È' # È") !œ! " ' % ' œ É '' œ " œ É ## œ " → → → " " / → œ Ð E " · U " Ñ→ / " œ ÒÐ"ß !ß !Ñ·Ð È"$ . È ÑÓÐ È"$ . $ È' È' # È' Ñ → → " U " † U $ † œ Ð È"$ . Guzmán S. È"' . → ¸ U " ¸ œ É "$ → ¸ U $ ¸ œ É "# " # " $ # " " È' ÑÐ È# . È" $ . È' Ñ œ Ð "' ß "' ß "' Ñ → → " " / → œ Ð→ / " · U $ Ñ→ / $ œ ÒÐ"ß !ß !Ñ·Ð È" # . !Ñ U$ œ " " " È# Ð È# . È ÑÐ " . P. È" ' . È$ .30 → → SoluciónÞ E œ Ð+ß . !ÑÓÐ È# . È$ Ñ œ Ð $" ß $" ß $" Ñ → → → / → œ Ð E " · U # Ñ→ / " œ ÒÐ"ß !ß !Ñ·Ð È" ' . !Ñ œ $ È# È# → → U # U $ œ Ð È" ' . + $ Ñ sobreà U1 ß U2 . + # . È" $ . œ! !œ! → œ É $$ œ "ß ¸ U # ¸ œ É "' " $ " È") . " . È" $ .ß -Ñ ¸E ¸ œ È+# . È# ß !Ñ œ Ð #" ß " # ß !Ñ → -Ñ Encuentre la proyecciòn de À A œ Ð+" .# . U3 Þ → → → → E ·F E → œ Ð→ → ÑF Þ F F ·F → → →→ → Si F es ?83>+<39 Ò E → œ ÐE · F ÑF F Prof. È# . È Ñ $ $ U1 œ " " " " È$ Ð È$ . " È# . " . È" $ . È' . È# ' ÑÓÐ È" ' ß È" ' ß È# ' ) U# œ # " " # È' Ð È' . È ÑÐ " . È# . È" $ . È .# œ +# . F − ‘$ . F Ñ œ ) . E F œ G . U 2. demuestre que: → → → →→ → ¸ E F ¸# œ ¸ E ¸# ¸ F ¸# #ÐE · F Ñ →→ → → → → . + # . + # .Ñ Si tÐE . " È# .# #·+·. + $ Ñ·Ð È" # .·-9=Ð)Ñ: (Teorema del coseno ) → →# → → → → → → → → → → +Ñ ¸ E F ¸ œ ÐE F Ñ·ÐE F Ñ œ E ·ÐE F Ñ F ·ÐE F Ñ → → →→ →→ →→ →→ ¸ E F ¸# œ E · E E · F F · E F · F → → → →→ → ¸ E F ¸# œ ¸ E ¸# ¸ F ¸# #ÐE · F Ñ →→ → → →→ E · F œ ¸ E ¸¸ F ¸ -9= tÐE . ¸ G ¸ œ Entonces À .!Ñ œ +1 +2 È# " Ð È" # . + $ Ñ·Ð È"$ . P.·-9=Ð)Ñ Prof. È# . È ] . !ÑÓÐ È# . .# #·+·. Ñ Ð Ñ È È È $ $ $ $ U1 œ +1 +2 +3 " " Ð È$ . U 3 son ?83>+<39=. !Ñ œ # +1 +2 # Ð"ß "ß !Ñ → → $$Ñ +Ñ Si E . . F Ñ .# œ +# .31 → → → U 1. Guzmán S. È Ñ È$ $ œ +1 +2 +3 Ð"ß "ß $ → "ÑE → U$ " " œ ÒÐ+" . È" $ . → " " " " A → œ [Ð+" . Guzmán S.Ñ Encuentre el coseno del angulo de la recta que pasa ⎯→ ⎯→ por SE y SF Þ +Ñ Solución.T œ ÈÐB $Ñ# ÐC #Ñ# ÐD " Ñ# . P. +Ñ ⎯→ → → PEF À T œ E > † EF ÐBß Cß DÑ œ Ð #ß $ß "Ñ >Ð&ß &ß #Ñ Los puntos de LEF son de la forma ÐBß Cß DÑ œ Ð # &>ß $ &>ß " #>Ñ La distancia de C a un punto P ÐBß Cß DÑ de la recta LEF es .T œ ÈÐ # &> $Ñ# Ð$ &> #Ñ# Ð " #> " Ñ# Prof. Encuentre la distancia del puntoß GÐ$ß #ß "Ñ a la linea que pasa por E y F . . FÐ$ß #Þ"Ñ .32 $%Ñ +Ñ Una linea pasa por EÐ #ß $ß "Ñ. T Ó œ "!Ð & &> Ñ "!Ð" &> Ñ %Ð # #> Ñ D> Ò .T sea mínimo.33 .T# œ Ð & &> Ñ# Ð" &> Ñ# Ð # #> Ñ# D> Ò . Guzmán S. "( # #( Ñ .T ÎT − PEF × lo cual es equivalente a encontrar el valor de > que hace que .T Ó œ "!Ð&&> Ñ"!Ð"&> Ñ%Ð##> Ñ #.T œ ÈÐ & &> Ñ# Ð" &> Ñ# Ð # #> Ñ# La distancia CD œ Q 38Ö.T D> Ò . .T Ó œ ! Ç "!Ð&&> Ñ"!Ð"&> Ñ%Ð##> Ñ #. FÐ$ß #Þ"Ñ ⎯→ ⎯→ SE † SF œ ' ' " œ "$ Prof.T † D> Ò .T œ! Ç "!Ð & &> Ñ "!Ð" &> Ñ %Ð # #> Ñ œ ! ') "!) œ "( #( Ð" & † "( #( Ñ# Ð # # † "!)> &! "! ) œ ! Ä > œ Luego CD œ ÉÐ & & † "( # #( Ñ œ È)ß ''#"#% ? ./ 6981Þ . P.T# Ó œ #.Ñ Encuentre el coseno del angulo de la recta que pasa ⎯→ ⎯→ por SE y SF EÐ #ß $ß "Ñ. œ $. #·.: Sean +ß . "·. .œ #à $ß "ß # forman un conjunto de números directores de una recta L que es ¼ L" y a L2 $'Ñ Dadas las lineas → → +Ñ P œ Ð!ß "ß "Ñ >Ð $ß %ß &Ñà U œ Ð!ß "ß "Ñ =Ð%ß $ß #Ñ ¿ Se intersectan ? → → . → → +Ñ P œ Ð!ß "ß "Ñ >Ð $ß %ß &Ñ U œ Ð!ß "ß "Ñ =Ð%ß $ß #Ñ C" B! D" B! > " D" $ œ % œ & % œ $ œ # ÐBß Cß DÑ œ Ð $>ß " %>ß " &>Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß "Ñ =Ð%ß $ß #Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð $>ß " %>ß " &> ÐBß Cß DÑ œ Ð%=ß " $=ß " #=Ñ Prof.œ ! Ä + #.Ñ P œ Ð"ß &ß #Ñ >Ð $ß %ß !Ñà U œ Ð$ß "$ß "Ñ >Ð%ß !ß "Ñ ¿ se intersectan ? Solución.Ä + œ $# '. Guzmán S.34 ⎯→ ¸ SE ¸ œ È% * " œ È"% ⎯→ ¸ SF ¸ œ È* % " œ È"% ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ SE † SF œ ¸ SE ¸ † ¸ SF ¸ † -9=Ð)Ñ Ä -9=Ð)Ñ œ -9=Ð)Ñ œ ⎯→ ⎯→ SE † SF ⎯→ ⎯→ ¸ SE ¸†¸ SF ¸ "$ "% $&Ñ Una linea L1 tiene números directores À "ß #ß " y otra linea L2 tiene números directores À "Þ #ß # Determine un conjunto de números directores para una linea que es ¼ a L" y a L2 . P. œ ##+ œ $.Ä .œ ! Ä + #.ß -ß números directores de la recta L que es ¼ L" y a L2 + ·" #·. œ "# -œSi . œ "·+ #·. œ " B! B" œ B# B! ß C! C" œ C# C! ß D! D" œ D# D! #B! œ B" B# ß #C! œ C" C# #D! œ D" D# C" C# B" B# B! œ # ß C! œ # ß D ! œ D" # D# Prof. .D# Ñ Demuestre que si À → P 0 œ Ð B! ß C! ß D! Ñ es el punto medio de P1 P2 . C ! œ C1 # C2 .C # .35 B œ $> C œ " %> D œ " &> B œ %= Ä $> œ %= C œ " $= D œ " #= # " %> œ " $= Ä %> œ $= # Ä > œ $= % % " &> œ " #= Ä &> œ #= # Ä > œ #=# & $= # #=# Ä % % œ & Ä "&= "! œ )= ) (= œ ") Ä = œ ") ( $ ") # #( " "! > œ % † ( % œ "% # œ #! "% œ ( ") $ "! ( œ % ( Ä Ã No se intersectan → → $(Ñ Sean los puntos P 1 ÐB" . P. D ! œ D# # D# T" T ! T! T# œ-Ä ÐB! B" ß C! C" ß D! D" Ñ œ -ÐB# B! ß C# C! ß D# D! Ñ B! B" œ -ÐB# B! Ñß C! C" œ -ÐC# C! Ñ ß D! D" œ -ÐD# D! Ñ W3 . entonces se tiene que À B! œ B1 #B2 . Guzmán S. D" Ñ y P # ÐB# . C" . T" Ð #ß $ß "Ñß T# Ð%ß $ß $Ñ Solución. P. que la linea P œ Ð"ß $ß "Ñ >Ð!ß $ß &Ñà está totalmente contenida en el planoà #B &C $D œ "'. → Solución. U œ Ð"ß !ß "Ñ coordenadas del punto medio Números directores de LT" T# à ' ß ' ß % PLU à B "ß Cß D " LT" T# ¼ PLU Ç 'ÐB "Ñ 'C %ÐD "Ñ œ ! 'B 'C %D "! œ ! $B #C #D & œ ! Ecuación del plano pedido Prof. . P œ Ð"ß $ß "Ñ >Ð!ß $ß &Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß $ $>ß " &>Ñ B œ "ß C œ $ $>ß D œ " &> remplazando en la ecución del plano se tiene: # † " & † Ð$ $>Ñ $ † Ð " &>Ñ œ "' # "& "&> $ "&> œ "' "' œ "' se cumple para todo > $*Ñ Encuentre la ecuación del plano que es perpendicular en el punto medio del segmento de recta que une los puntos .36 → $)Ñ P.D. Guzmán S. C D " œ ! Solución. $B C & œ ! Ä C " œ $B % œ $ÐB %$ Ñ B C" $ % œ "$ CD"œ!Ä C"œ D Ä B %$ " C" $ œ D $ " œ C$ œ D ! $ $B C & œ ! Ä $B C $ # œ ! Ä $ÐB "Ñ œ ÐC #Ñ CD"œ!ÄC # œ D" ÐB"Ñ " œ ÐC#Ñ $ œ ÐB"Ñ " C # Ä $ D " $ Prof.Ñ $B C & œ ! .37 %!Ñ Determine las ecuaciones simétricas de la linea de intersección de los planos +Ñ $B C D # œ !. $B C D # œ ! B #C D % œ ! Ä (B $D œ ! Ä (B $ œ D (C #D "% œ ! Ä (C # "% œ Dß D œ D (C "% (B œ D Ä B $ ! œ C # # œ D " ! $ œ # ( ( . œ œ ÐC#Ñ $ D " $ . C D " œ ! Solución. P.Ñ $B C & œ ! . B #C D % œ ! . Guzmán S. . del plano pedido $B #C (D $ % ( œ ! $B #C (D ' œ ! Prof.38 %"Ñ Escriba la ecuación del plano que es perpendicular a la linea de intersección de los planos À $B C D # œ !. Guzmán S. P. Ecuación de la linea de intersección: $B C D # œ ! Ä $B C œ D # B #C D % œ ! Ä B #C œ D % Ä (B œ $D Ä B $ œ D ( Ä (C œ #D "% Ä (ÐC #Ñ œ #D Ä B ! $ œ C# # œ D! ( C# # œ D ( À Ecuación de la linea de intersección B "ß C # ß D ( números directores de LUT ÐB "Ñ † Ð $Ñ ÐC #Ñ † # ÐD "Ñ † ( œ ! Ec. B #C D % œ ! y que contiene al punto UÐ"ß ß #ß "Ñ Solución. G números directores de la normal N" al plano (H) 6?/19 R † R" œ ! Ç $ † E # † F $ † G œ ! P T U ¼ P R" Ç " † E F # † G œ ! Sea X ÐBß Cß DÑ un punto cualquiera de (H) Números directores de LX U À B #ß C "ß D $ PX U ¼ PR" Ç EÐB #Ñ FÐC "Ñ GÐD $Ñ œ ! Se tiene: 3Ñ $†E#†F$†G œ! 33Ñ "†EF#†G œ! 333Ñ EÐB #Ñ FÐC "Ñ GÐD $Ñ œ ! ______________________________________ $†E#†F œ $†G E F œ # † G Ä &E œ (G Ä E œ ( & G Ä &F œ $G Ä F œ $& G V//7:6+D+8. Sean : E.9 333Ñ ( $ & GÐB #Ñ & GÐC "Ñ GÐD $Ñ œ ! ( ÐB #Ñ $ÐC "Ñ &ÐD $Ñ œ ! (B $C &D % œ ! Ecuación pedida Prof.F . P. .39 %#Ñ Un plano (H) pasa por T Ð"ß #ß "Ñ y UÐ#ß "ß $Ñ y es perpendicular al plano À $B #C $D ' œ !Þ Encuentre su ecuación. Guzmán S. 40 %$Ñ Sea ÐT" Ñ À $B C & œ ! ÐT# Ñ À C D " œ ! Encuentre la ecuación de un plano ¼ que pasa por la linea de de ambos planos y que contenga al punto Ð"ß #ß "Ñ Solución. .B.C son números directores de la normal a (H) se debe tener que si X ÐBß Cß DÑ es un punto cualquiera de (H) la recta LUX es ortogonal a la linea de intersección de los planos . ÐD "Ñ Números directores deLUX Luego:B C $D # œ ! es la ecuación pedida. se tiene entonces que si A. "$ ß " Sea (H) el plano pedido. %%Ñ Decida si el plano $B %C *D ## œ ! ß contiene a P" C" D # P" À B ! " œ $ œ " Solución. B œ >ß C œ " $>ß D œ # > $> %Ð " $>Ñ *Ð # >Ñ ## œ ! $> % "#> ") *> ## œ ! $> "#> *> % ") ## œ ! !œ! La recta pertenece al plano Prof. Guzmán S. ÐT" Ñ À $B C & œ ! Ä C # œ $B $ ÐT# Ñ À C D " œ ! Ä C # œ D " C # œ $B $ œ D " C # œ $ÐB "Ñ œ ÐD "Ñ L: C# " œ B " "$ œ D" " ecuación de la linea de de ambos planos Números directores de L: ". luego se debe tener que: LUX ¼ L Ç "ÐB "Ñ "$ ÐC #Ñ "ÐD "Ñ œ ! en que: ". P. ÐC #Ñ. "$ ß ". Números directores de L ÐB "Ñ. UV . P. ' œ! % º . Guzmán S. están en el mismo plano el volumen del sólido que tiene como lados ayacentes a esoso vectores es nulo.41 %&Ñ Encuentre la ecuacion del plano que pasa por À T Ð #ß $ß "Ñ ß UÐ%ß $ß $Ñß VÐ"ß "ß "Ñ Solución. UT . ⎯→ ⎯→ ⎯→ 3Ñ Si los vectores UX .Ñ %B $C $D H œ ! -Ñ E F G H œ ! Se resuelve el sistema en términos de H Prof. ⎯→ ⎯→ ⎯→ ¸ UX † Ð UT ‚ UV Ѹ œ ! â âB% ⎯→ ⎯→ ⎯→ â UX † Ð UT ‚ UV Ñ œ â ' â â $ œ ÐB %Ѻ ' % C$ ' % â D $â â % âœ! â # â % ' ÐC $Ѻ º # $ % ' ÐD $Ѻ º # $ œ %ÐB %Ñ ÐC $ч! 'ÐD %Ñ œ ! œ %B 'D ) œ ! Ä #B $D # œ ! 33Ñ La ecuación pedida es de la forma: EB FC GD H œ ! Las coordenadas de À T ß Uß V deben satisfacer esa ecuación +Ñ #B $C "D H œ ! . Ñ Encuentre un vector A ß ortogonal a à → @ œ Ð "ß #ß "Ñ y a → A œ Ð "ß ! ß $Ñ Solución.42 %'ÑSean P" À P# À B ! " B! # œ œ C " $ C# 6 # œ D" œ D -# " 3Ñ Decida si el plano: $B %C *D ## œ ! contiene a P" 33Ñ Decida si P" y P# son paralelas 333Ñ Encuentre la distancia entre P" y P# Solución. Guzmán S.Ñ ÐBß Cß DÑ ¼ Ð "ß ! ß $Ñ Ç B $D œ ! Ä B œ $Dß C œ D Ð$Dß Dß DÑ aß D Á !ß D − ‘ son ¼ → @ß → A Prof. . 3Ñ L" à B œ >ß C œ " $>ß D œ # >Þ > − ‘ $B %C *D ## œ ! $> % "#> ") *> ## œ ! *> *> ## ## œ ! Ä ! œ ! Luego L" está en el plano 33Ñ L" es paralela a L# =33 sus números directores son proporcionales " # œ $ ' œ " # à Luego son paralelas 333Ñ Sea T un punto de L" Ð>ß " $>ß # >Ñß > œ " Ð"ß #ß $Ñ − P" El problema se reduce a calcular la distancia de Ð"ß #ß $Ñ a la recta P" %(Ñ +Ñ Encuentre un vector → A ß no nulo ortogonal a → @ œ Ð"ß #ß "Ñ → . +Ñ ÐBß Cß DÑ ¼ Ð"ß #ß "Ñ Ç ÐBß Cß DÑ † Ð"ß #ß "Ñ œ ! B #C D œ ! Ä B œ #C D ß C œ C ß D œ DÞ Luego los vectores de la forma: Ð #C Dß Cß DÑ a Cß D Á !ß Cß D − ‘ son ¼ → @ œ Ð"ß #ß "Ñ ÐBß Cß DÑ ¼ Ð"ß #ß "Ñ Ç B #C D œ ! Ä B #C œ D . P. . El problema se reduce a calcular la distancia del punto Ð!ß #ß "Ñ al plano (P) %*ÑEncuentre las ecuaciónes ( Vectorial. en caso afirmativo calcule la distancia entre los planos Solución. Sean: RÐT Ñ œ 89<7+6 +6 :6+89 T ß RÐT Ñ œ 89<7+6 +6 :6+89 T 3Ñ RÐT Ñ À #ß $ß 'ß RÐUÑ À %ß 'ß "# RÐUÑ Ñ œ #RÐT Ñ ß Son planos paralelos 33Ñ Sea #B $C 'D "# œ ! Ä #B œ $C 'D "# B œ $# C $D ' Si C œ #ß D œ "ß Ä Bœ$$'œ! Luego Ð!ß #ß "Ñ − ÐT Ñ. 33Ñ Decida si estos planos son paralelos. Paramétricas ) de las rectas que pasan porÞ → → 3Ñ A œ Ð"ß "ß "Ñ y que es // a la dirección dada porà B œ Ð"ß %ß &Ñ → → 33Ñ U œ Ð*ß #ß " Ñ y pasa por G œ Ð%ß "ß #Ñ 333Ñ ¿ Se intersectan estas rectas? Solución. P. Simétricas. Guzmán S.43 %)Ñ Dados los planos: ÐT Ñ À #B $C 'D "# œ ! ÐUÑ À %B 'C "#D * œ ! 3Ñ Encuentre un conjunto de números directores para la recta normal a cada plano. → → → 3Ñ T œ A >F Ecuación vectorial ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß "ß "Ñ >Ð"ß %ß &Ñ B œ " >ß C œ " %>ß D œ " &> B" " œ C" % œ D" & Ecuaciones paramétricas Ecuaciones simétricas Prof. Prof. . Encuentre la ecuación del plano que contiene a las dos líneas. → 3Ñ E œ Ð"ß "ß "Ñ es normal a ÐT Ñß B C D œ " Ä B œ C D "ß C œ Cß D œ D → Si C œ "ß D œ "ß T ! œ Ð "ß "ß "Ñ − ÐT Ñ 33Ñ ⎯→ F œ Ð#ß $ß "Ñß es normal a ÐUÑß U À #B $C D œ # Ä D œ #B $C #. P.44 ⎯→ ⎯→ → T œ U > UG 33Ñ Ecuación vectorial ÐBß Cß DÑ œ Ð*ß #ß " Ñ >Ð &ß "ß "Ñ B œ * &>ß B* & œ C# " C œ # > ß D œ " > Ecuaciones paramétricas œ Ecuaciones simétricas D" " &!Ñ Encuentre un vector normal a cada plano y encuentre un punto P! en cada uno de ellos 3Ñ ÐT Ñ À B C D œ " 33Ñ ÐUÑ À #B $C D œ # 333Ñ ÐX Ñ À ÐB #Ñ $Ð C &Ñ %ÐD "Ñ œ ! Solución. Guzmán S.B œ Bß C œ C → Si B œ "ß C œ "ß T ! œ Ð"ß "ß $Ñ − ÐUÑ 333Ñ ⎯→ F œ Ð"ß $ß %Ñ es normal a ÐX Ñß ÐX Ñ À ÐB #Ñ $Ð C &Ñ %ÐD "Ñ œ ! B $C %D #" œ ! Ä B œ $C %D #"ß C œ Cß D œ D Si C œ "ß D œ "ß Ð##ß "ß "Ñ − ÐX Ñ → → &"Ñ Las lineas: T œ Ð #ß %ß 'Ñ >Ð"ß #ß $Ñ ß U œ Ð #ß %ß 'Ñ >Ð$ß #ß "Ñß se intersectan en un punto. P. El punto de es Ð #ß %ß 'Ñ. VÐ"ß 'ß (Ñ &#Ñ Encuentre la ecuación de un plano ¼ a la línea determinada por T Ð #ß #ß "Ñß UÐ%ß $ß $Ñ y que pasa por el punto medio del trazo T U Þ Solución. > œ " ÐBß Cß DÑ œ Ð "ß 'ß *Ñ → Un punto sobre ß U œ Ð #ß %ß 'Ñ >Ð$ß #ß "Ñß > œ " ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß 'ß (Ñ El problema se reduce a encontrar la ecuación del plano que pasa por tres puntos. medio de T U œ Ð"ß "# ß "Ñ Sea (P) el plano pedido À números ditrectores de la normal al plano pedido À "ß &ß % Sea X ÐBß Cß DÑ un punto cualquiera de ÐT Ñ la linea LT! X − ÐT Ñ números directores de LT! X : B "ß C "# ß D " Luego: " † ÐB "Ñ " # † ÐC "# Ñ " † ÐD "Ñ œ ! B "# C D " " % "œ! %B #C %D " œ ! Ec. del plano ÐT Ñ &$Ñ Encuentre el área del paralelogramo que tiene como lados aydacentes a los vectoresà → → 3Ñ E œ Ð "ß #ß !Ñ y G œ Ð #ß "ß "Ñ → → → 33ÑSean E œ Ð $ß #ß "Ñ ß F œ Ð &ß %ß &Ñ ß G œ Ð &ß &ß )Ñ Encuentre el volumen del paralelepípedo que tiene lados: Prof.45 Solución. T Ð #ß %ß 'Ñ. se obtiene cuando > œ !Þ → Un punto sobre T œ Ð #ß %ß 'Ñ >Ð"ß #ß $Ñ. UÐ "ß 'ß *Ñ. Guzmán S. T! œ pto. . Sea ÐX Ñ el plano pedido Números directores de la linea normal al plano(T) LT U À 'ß #ß # Prof. de área ⎯→ ⎯→ ⎯→ 33Ñ EF œ Ð#ß 'ß %Ñß EH œ Ð #ß *ß )Ñß EG œ Ð)ß $ß (Ñ â â # ' % â â ⎯→ ⎯→ ⎯→ â â EF ·Ð EH ‚ EG Ñ œ â -# -* ) â œ -"#' #% $)% #)) %) )% â â â ) $ (â œ $() ⎯→ ⎯→ ⎯→ Z œ ¸ EF ·Ð EH ‚ EG Ѹ œ ¸ $()¸ œ $() u. â → → →â 4 5 ââ → → ââ 3 E ‚ G œ â -" # ! ââ â â # " -" â → # œ 3 ·º " → " ! 4 ·º º " # → " ! 5 ·º º " # # "º → → → œ #· 3 4 & 5 œ Ð#ß "ß &Ñ Eò œ ¸Ð#ß "ß &Ѹ œ È% " #& œ È$! u. Guzmán S. de volumen &%Ñ 3Ñ Encuentre la ecuación de un plano ÐX Ñ ¼ a la línea determinada por T Ð #ß "ß "Ñß UÐ%ß $ß $Ñ y que pasa por el punto medio del trazo T U Þ 33Ñ Encuentre la ecuación del plano que pasa por À T Ð #ß $ß "Ñß UÐ%ß $ß $Ñß VÐ"ß "ß "Ñ sol: #B $D " œ ! 333Ñ Encuentre el ángulo formado por PQR. EH C EG ß → → → → E œ Ð $ß #ß "Ñ ß F œ Ð & %ß &Ñß G œ Ð &ß &ß )Ñß H œ Ð &ß (ß *Ñ Solución. P. sol : t ÐT UVÑ œ )º "#' Solución. .46 ⎯→ ⎯→ ⎯→ EF . 47 T! œ :>9Þ 7/. 3Ñ S œ Ð!ß #ß #Ñ punto medio de PQ . Guzmán S./ T U œ Ð"ß #ß #Ñ Sea T ÐBß Cß DÑ − ÐX Ñß PT T! − ÐX Ñß Números directores de PT T! : B "ß C "# ß D " Luego: 'ÐB "Ñ #ÐC #Ñ #ÐD #Ñ œ ! 'B #C #D ' œ ! &&Ñ Dados los puntos À T Ð"ß #ß "Ñß UÐ "ß #ß $Ñ 3Ñ Encuentre la ecuación de la esfera que tiene como diámetro al segmento PQ.ÐSß T Ñ œ V œ È" ! " œ È# Prof. 33Ñ Escriba las ecuaciones de la recta que pasa por P C Q. 333Ñ Encuentre la ecuación del plano que es tangente a la esfera en el punto T Ð"ß #ß "Ñ Solución. P. .39 . dirección positiva de P a Q. 48 . . Guzmán S. Prof.Ð!ß X Ñ œ ÈÐB !Ñ# ÐC #Ñ# ÐD #Ñ# œ È# B# C# %C D # %D ' œ ! 33Ñ ⎯→ → → L œ T >TU ß ⎯→ → → T U œ U T œ Ð #ß !ß "Ñ ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß "Ñ >Ð #ß !ß "Ñ 333Ñ Números directores de L" À "ß !ß " Números directores de P# À B !ß C #ß D # P" ¼ P# Ç " † ÐB !Ñ ! † ÐC #Ñ " † ÐD #Ñ œ ! B D # œ ! Ecuación pedida. P.