Laboratorio de Investigación Operativa IIFII-UNMSM UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América) FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II CURSO: PRÁCTICA CALIFICADA DE LABORATORIO PROGRAMACIÓN DINÁMICA Ing. ROSMERY MAYTA TEMA: PROFESORA: ALUMNOS DELGADO QUINTANILLA, Manuel A. LOPEZ ZORRILLA, Max Cristian MEJÍA SANCHEZ, Linye Zulyn CÓDIGOS 05170186 05170111 05170153 1 PROGRAMACIÓN DINÁMICA Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Ciudad Universita ria, Julio del 2009. SOLUCIÓN DE LA PRÁCTICA DE LABORATORIO PROBLEMA 1 1. Un estudiante debe elegir diez cursos optativos de cuatro departamentos diferentes. Debe seleccionar al menos un curso de cada departamento. Su objetivo es “repartir” sus diez cursos en los cuatro departamentos, de tal manera que maximice sus “conocimientos” en los cuatro campos. Comprende que si toma un cierto numero de cursos en un departamento su experiencia sobre la materia no aumentará apreciablemente porque el material será demasiado complicado para lo que comprenda o porque los cursos se repiten. Por consiguiente, mide su capacidad de aprendizaje como una función del número de cursos que toma en cada departamento en cada escala de 100 puntos y produce el diagrama siguiente (se supone que los agrupamientos de cursos satisfacen los pre-requisitos para cada departamento). Formule el problema como un modelo de programación dinámica utilizando las ecuaciones recursivas de avance y de retroceso. NÚMERO DE CURSOS DEPART. I II III IV 1 25 20 40 10 2 50 70 60 20 3 60 70 80 30 4 80 100 100 40 5 100 100 100 50 6 100 100 100 60 7 100 100 100 70 8 100 100 100 80 9 100 100 100 90 10 100 100 100 100 SOLUCIÓN A) De manera manual: Datos: 2 Total cursos a seleccionar: 10 Objetivo: maximizar conocimientos PROGRAMACIÓN DINÁMICA Laboratorio de Investigación Operativa II - FII-UNMSM Restricción: debe seleccionar al menos un curso por departamento. Definiendo etapas: Etapa 1: departamento IV Etapa 2: departamento III Etapa 3: departamento II Etapa 4: departamento I - El gráfico mostrado a continuación indica la cantidad de cursos que puede elegir por cada departamento (Xi) y la disponibilidad de cursos (Si), esto es teniendo en cuenta que para cada departamento obligatoriamente se debe de elegir por lo menos un curso siendo la función recursiva: F(Xi,Si)= r(Xi)+F(Xi-1,Si-1), teniendo en cuenta algunas restricciones Aplicando programación dinámica por etapas, se muestra el resultado a continuación. - Etapa 1: departamento IV En esta primera etapa solo se toma los beneficios alcanzado al elegir, cuantos cursos se quiere llevar en el departamento IV, pues no hay etapa anterior - Etapa 2: departamento III En esta etapa ya se empieza a acumular los beneficios alcanzados tomando en cuanta la elección de los cursos en este departamento y en el anterior 3 PROGRAMACIÓN DINÁMICA Haciendo un análisis hacia atrás. teniendo en cuenta todas las restricciones anteriores. Estos cuadros se han realizado tomando en cuanta el grafico inicial.Etapa 4: departamento I Aquí se obtiene el beneficio máximo. Además no se puede cumplir con f(Xi. y 1 en departamento 3.Etapa 3: departamento II Se toma en cuanta los beneficios de la primera. Si>Xi-1). de manera acumulativa. 1 en el departamento II. por la misma razón . LAS DIFERENTES ALTERNATIVAS SON LAS SIGUIENTES: 4 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . hasta el momento el beneficio máximo es 210. segundo y tercera etapa.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM . y la cantidad mínima es 3. en el cual se puede observar que la cantidad máxima de cursos disponibles 7. vemos que existen 5 alternativas distintas que dan el mayor grado de satisfacción. pues se necesita como mínimo 1 en el departamento I. También esta la función de retorno o recursiva que es la que va a indicar el beneficio máximo. INGRESANDO DATOS 5 PROGRAMACIÓN DINÁMICA .1)=10 f(4.2)=20 f(4.7)=70 f(4.3)=30 f(4. tenemos que el conjunto decisión esta conformado por las cantidades de cursos que se pueden llevar en los departamentos(sn1=1. mostradas en la tabla anterior.8)=80 f(4. conforme a la elección de cursos del departamento : F(4. B) Programación en DIN: Ingresando los datos.9)=90 f(4.5)=50 F(4.6)=60 f(4.4) y la cantidad de cursos que se desee llevar SN2 representa la disponibilidad. y para este resultado existen 5 alternativas distintas.3. En este caso hasta el valor 7 pues es lo máximo permito. con la cantidad de cursos con que se cuenta.2.Laboratorio de Investigación Operativa II DEPARTAMENTOS FII-UNMSM ALT 2 2 4 3 1 ALT 3 3 2 4 1 240 240 ALT 4 4 2 3 1 240 ALT 5 5 2 2 1 240 ALT 1 2 2 4 2 240 I II III IV PUNTAJE TOTAL Dando como resultado un puntaje máximo de 240.10)=100 En las definiciones adicionales colocan todos los beneficios dependiendo del departamento (1.3.4). visto anteriormente) .4)=40 f(4.2.En la condición de contorno se coloca los valores de los beneficios que brinda en departamento 4. Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Estados calcula estados Solución calcula solución 6 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . De científicos asignados EQUIPOS 0 1 2 3 7 1 0.96 3 0. E la siguiente tabla se encuentra las probabilidades de éxito del equipo dependiendo del número de científicos que lo conforman.97 4 0.75 0. se puede asignar de 0 a 3 científicos a cada equipo.7 0.8 0.99 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . que las realizadas de manera manual.98 2 0. El objetivo es maximizar la probabilidad de éxito total de la investigación.94 0.89 0.71 0. lo que significa que la resolución esta correcta.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM La cual generan 5 soluciones al igual.8 0. la cual se requiere maximizar.93 0. PROBLEMA 2 2. Se tiene cuatro equipos de investigación y se cuenta con 3 científicos.89 0.9 0.83 0. Nro. es decir de los 4 equipos pueden tener 0 o 3 integrantes y esto genera una probabilidad de éxito.8 0. siendo los valores del árbol lo siguiente: Siendo: .B - 8 PROGRAMACIÓN DINÁMICA .A: número de equipo A. . disponibles para el equipo 1 E .D: probabilidad de elegir C cientif.G C. Aplicando el método del árbol de decisión obtenemos la figura N°1.C: numero de cientif.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM SOLUCIÓN: A) De manera manual: Datos: Total de científicos disponibles: 3 Objetivo: maximizar probabilidad de éxito Restricción: se puede elegir de 0 a 3 científicos.B: número de cientif. (D) . elegidos. E: probabilidad acumulada (del equipo 4 al equipo 1) F: máxima probabilidad de éxito F A. 801 2 0.75 4.8) 0. (0.52448 4.72 2 0.0 3.41748 0. (0.6 0.0 0.1 0.71) 0.8 3. (0. 9 PROGRAMACIÓN DINÁMICA .6 0.89) 0.4464 0.8 2.7387 0. (0.801 0.7387 0.1 0.3 1.776 3 0.8) 3.0 0.3 0.75 0.1 0.705 0 0.75 4.83 4.1 0.7802 1 0.75 4.0 0.99 0 0.426 4.664 1 0.1 0. (0.558 3.62078 3.(0.0 0.48 2. (0. (0.8) 0.426 0.93) 2.4739 0.59096 2. (0.83 0.75 0.89 4.75 0. (0.9 0.664 1 0.75 0.3 4.83 FII-UNMSM 0.9 4.89 0.83 4.6675 0.0 0. (0.7387 1 0.71) 0.6 0 0.71) 1.3 0.93) 0.8 0.75 4.48 4.62078 1.72 2 0.0 0.4272 0.6 0.0 2.7387 1 0.7) 0.89 4.8 Figura N° 1 Siendo la ruta que maximiza el éxito.0 0.664 1 0.558 1.98) 0.2 0.9 0. (0.6 3.83 4.6675 0.94 4.8 0.89 0.8 0.75 3. la siguiente.2 0.0 0.0 0.1 1.6675 0.6 0 0.(0.8 3.0 0.2 0.94 4.Laboratorio de Investigación Operativa II 0.97 3.8 3.2 0. (0.83 0.1 0.94 4.43455 3.705 0.6 0 0.56871 4.2 0.0 0.1 0.71) 0.534 2.8 0.2 0.4464 2.89 3.576 4.6675 0 0.6675 0 0.96) 0.8) 0.0 0.6675 0 0.8 0.0 0.1 0.75 4.89 0.1 0.7425 0 0.6 0 0. siendo d la cantidad de científicos que se puede asignar.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM La probabilidad máxima de éxito es de 0. En la función de contorno colocamos las probabilidades de asignar de 0 a 3 cientificos en el equipo 4. y r la función de recurrencia. Estados calcula estados 10 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . sn2:la cantidad de científicos para el equiposn1. sn1: el numero de equipos.4464 y la cantidad de cientificos por equipo: EQUIPOS ALTERNATIVA 1 2 3 4 1 2 0 0 B) Programación en DIN: Ingresando los datos. y en definiciones adicionales las probabilidades no solo del equipo 4 sino de todos los equipos. Sus volúmenes son de 2. en una escala del 0 al 100. Un excursionista tiene una mochila de 15 pies cúbicos de capacidad y desea saber cuales son los artículos más valiosos que va a llevar a la excursión. en la siguiente tabla se dan los siguientes datos. Articulo 11 Volumen (pies cúbicos) Beneficio PROGRAMACIÓN DINÁMICA . Debe llevar por lo menos 1 de cada artículo. El excursionista estima sus valores correspondientes.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Resultado 9 estados Solución calcular solución Lo que comprueba que solo hay una solución factible cuyo retorno máximo es de 0. Hay tres artículos de donde escoger. 3y 4 pies cúbicos. Determine la solución óptima aplicando programación dinámica. y la distribución es la siguiente: Primer equipo: 1 científico Segundo equipo: 2 científicos Tercer y cuarto equipo: 0 científicos Coincidiendo con lo realizado manualmente PROBLEMA 3 3.4464. Objetivo: Maximiza el Beneficio. Etapa 1: Cantidades del artículo 3. 2.Laboratorio de Investigación Operativa II 1 2 3 2 3 4 30 50 70 FII-UNMSM SOLUCIÓN: Datos: .Restricción: Se debe seleccionar por lo menos uno de cada artículo. W/W3 = 15/4 = 1. Etapa 3: Cantidades del artículo 1. W/W1 = 8/2 = 1. 3. (No se toma en cuenta el 0. 2. 3. 4. . 3. Etapa 2: Cantidades del artículo 2.Total de artículos a seleccionar: 3 . por la restricción. 2.) W/W2 = 11/3 = 1. Cantidades de los artículos y el respectivo volumen que ocupan: Articulo 1 2 3 Total Cantidad 1 3 1 Volumen (pies cúbicos) 1*4=4 3*3=9 1*2=2 15 Cantidad 2 1 2 Volumen (pies cúbicos) 2*4=8 1*3=3 2*2=4 15 Solución en DIN1: Ingresando datos 12 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . 13 PROGRAMACIÓN DINÁMICA .Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Generando estados ejecutando LO QUE DA DOS SOLUCIONES Y EL VALOR OPTIMO ES DE 250 Comprobando que lo realizado manualmente esta correcto. 3. 14 PROGRAMACIÓN DINÁMICA .Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM PROBLEMA 4 4. ¿cuántas hileras de cada vegetal debo plantar? VEGETAL zanahoria betarraga maíz SOLUCIÓN: PREFERENCIA 10 3 7 MEDIDA(pies) 2 3 2 Datos: . 5. 3. y Maíz. betarraga y maíz. . 4. 7 al maíz y 3 a la betarraga. mi esposa insiste en que plante por lo menos dos hileras de betarragas y no más de tres hileras de zanahoria. 5.) W/W2 = 20/3 = 2. 3. (Máximo 3 hileras de zanahoria. Etapa 3: Cantidades del artículo 1. que mide 20x30 pies. Betarraga. Juan Pérez tiene un pequeño jardín en la parte de atrás de mi casa. W/W1 = 20/2 = 0. 2.Objetivo: Maximiza la preferencia de los vegetales. 6.1. 6. 1. y no más de tres hileras de zanahoria Etapa 1: Cantidades del artículo 3. El jardín está organizado en hileras de 30 pies. Etapa 2: Cantidades del artículo 2. 2. Esta primavera planeo planta tres tipos de vegetales: zanahoria. 7. Lo que mas me agrada son las zanahorias y lo que menos me agrada son las betarragas y en una escala de l 1 al 10.Restricción: Plantar por lo menos dos hileras de betarragas. 4. Sin considerar mis preferencias. les asignaría 10 a la zanahoria. W/W3 = 14/2 = 0.Total de vegetales a seleccionar: Zanahoria. . también que los beneficios por la cantidad producida debe ser: b(1. en la parte de restricciones del programa. Para cumplir con las restricciones dadas de que solo se puede sembrar como mínimo dos hileras de betarraga que es el producto 2 y como máximo 3 hileras de zanahoria.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Hileras a plantar: Vegetal Zanahoria Betarraga Maíz Medida (pies) 3 2 4 • 3 hileras de zanahoria*2 + 2 hileras de betarraga*3 + 4 hileras de maíz*2 = 20 hileras de vegetales. se coloca ademas de que: sn1<=3 0<=sn1<=20. Nota: Recordar que cada hilera tiene 30 pies.d)>=6…………. B)Programando en DIN: Se ingresa d: toda la cantidad de artículos que se puedan sembrar de los tres productos.d)<=30 ………lo que obliga a que d sea menor o igual a tres hileras pues el beneficio por unidad es 10 b(2.lo que significa que la cantidad mínima de producción debe de ser 3 pues el beneficio es 2 INGRESANDO DATOS 15 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM TENIENDO EN CUENTA QUE: CALCULANDO LSO ESTADOS: Y POR ULTIMO CALCULANDO LA SOLUCION: 16 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . 5 1. (UNITARIO) C. F. La empresa ABC se dedica a la elaboración de modelos y todo tipo de material didáctico. y la distribución la siguiente: Producto 1: 3 hileras Producto 2 : 2 hileras Producto 3: 4 hileras El mismo resultado que el realizado manualmente PROBLEMA 5 5. 1 2 3 200 300 300 10 10 12 1. que el beneficio maximo es de 64. ALM. C.5 1. Dado que el nivel de inventario inicial y final es “0”. suponiendo que la producción de cada mes es múltiplo de 100.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Lo que permite ver. Determine el calendario óptimo de producción utilizando programación dinámica SOLUCIÓN: a) De manera manual: Datos: 17 Inventario inicial y final: 0 Objetivo: reducir costos No dan producción máxima PROGRAMACIÓN DINÁMICA . MES ENTREGA CV.5 250 250 250 Los modelos fabricados durante un mes pueden servir para abastecer la demanda de este mes y de algún mes futuro. para la enseñanza educativa. La empresa ABC tiene contrato para entregar el siguiente número de modelos de ciencia y ambiente durante los siguientes 3 meses. D = IF P D 300 200 100 300 300 300 300 II 0 100 200 300 IF 0 0 0 0 COSTOS C=CV*P+CF+CA*IF 3850 2650 1450 250 0 - programación en función al II y Producción II 0 100 200 300 Xi 0 250 100 1450 - 200 2650 - 300 3850 - F(Xi) 3850 2650 1450 250 Xi 300 200 100 0 Etapa 2: MES 2 Determinando Costos totales del mes 2 COSTOS POR EL MES 2 COSTO ANTERIOR COSTOS ACUMULADOS C=CV*P+CF+CA*IF 3250 X 3850 CA = C+X II + P .Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Los valores que pueden tomas los inventarios inicial y finales por mes son los siguientes: 1ER MES 2DO MES 3ER MES II IF II IF II IF 0 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 0 100 200 300 0 Definiendo etapas: Etapa 1: mes 3 Etapa 2: mes 2 Etapa 3: mes 1 Etapa 1: MES 3 Determinando Costos totales II + P .D = IF II 0 P D IF 0 300 300 7100 18 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . Laboratorio de Investigación Operativa II 0 0 0 10 0 10 0 10 0 10 0 20 0 20 0 20 0 20 0 30 0 30 0 30 0 30 0 40 0 40 0 40 0 50 0 50 0 60 0 400 300 100 500 300 200 600 300 300 200 300 0 4400 5550 6700 2250 3400 4550 5700 1250 2400 3550 4700 250 1400 2550 3700 400 1550 2700 550 1700 700 2650 1450 250 3850 2650 1450 250 3850 2650 1450 250 3850 2650 1450 250 2650 1450 250 1450 250 250 FII-UNMSM 7050 7000 6950 6100 6050 6000 5950 5100 5050 5000 4950 4100 4050 4000 3950 3050 3000 2950 2000 1950 950 300 300 100 400 300 200 500 300 300 100 300 0 200 300 100 300 300 200 400 300 300 0 300 0 100 300 100 200 300 200 300 300 300 0 300 100 100 300 200 200 300 300 0 300 200 100 300 300 0 300 300 Programación en función al II y Producción para el mes 2 II Xi 0 - 100 200 300 400 500 600 F(Xi) 7100 7050 7000 6950 6100 6050 6000 5950 - Xi 6950 5950 4950 3950 2950 1950 950 600 500 400 300 200 100 0 0 100 200 300 400 500 600 5100 5050 5000 4950 - 4100 4050 4000 3950 3050 3000 2950 2000 1950 950 - 19 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Etapa 3: MES 1 Determinando Costos totales del mes 2 COSTOS POR EL MES 1 COSTO ANTERIOR COSTOS ACUMULADOS C=CV*P+CF+CA*IF 2250 3400 4550 5700 6850 8000 9150 X 6950 5950 4950 3950 2950 1950 950 CA = C+X II + P . en la solución manual del ejercicio 20 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . variando por meses. esto es determinado anteriormente. son los siguentes: MES 1 2 3 PRODUCCIÓN 200 600 0 DANDO COMO COSTO TOTAL LA SUMA DE $9200 b)UTILIZANDO DIN: Se ingresa los datos. d: la producción que pueda ocurrir.D = IF I I 0 0 0 0 0 0 0 P 200 300 400 500 600 700 800 D 200 200 200 200 200 200 200 IF 0 100 200 300 400 500 600 9200 9350 9500 9650 9800 9950 10100 Programación en función al II y Producción para el mes 1 II Xi 200 9200 300 9350 400 9500 500 96510 600 9800 700 9950 800 10100 F(Xi) 9200 Xi 200 0 Por lo tanto la producción a realizar para minimizar los costos. de 0 a 800. el de segundo 600 y el tercero no se produce.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Generando estados: Estados calcular estados Calcular calcular solución Lo que demuestra que el costo mínimo es de 9200 y la producción del primer mes es de 200. 21 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . la pieza A cuesta $ 50.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM PROBLEMA 6 6. La compañía ABC quiere determinar el número de unidades para cada uno de los tres artículos que se incluirán en un equipo cuyo costo total no puede ser mayor de $420. la pieza B cuesta $60 y la pieza C cuesta $60. los beneficios que se logra por cada pieza son: Nro. SOLUCIÓN: Aplicando el árbol de expansión y asumiendo que si se elige comprar 0 artículos de alguna pieza el beneficio es 0 22 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . De piezas en el equipo 1 2 3 4 5 6 7 8 BENEFICIOS B 140 200 250 290 320 345 365 380 A 60 120 160 230 275 310 345 375 C 200 300 380 440 480 510 540 560 Resolver el problema utilizando programación dinámica. Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM 23 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM La cual genera tres posibles soluciones: componentes ALTERNATIVA 1 ALTERNATIVA 2 ALTERNATIVA 3 A 1 2 2 B 2 1 2 C 4 4 3 TOTAL BENEFICIO 700 700 700 Con un beneficio total de 700 b) utilizando DIN INGRESANDO LSO DATOS CREANDO LOS ESTADOS : ESTADOSCALCULA ESTADOS GENERANDO 10 ESTADOS 24 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . La familia desea visitar 3 ciudades y dispone de un total de 5 días para hacerlo.Laboratorio de Investigación Operativa II SOLUCION FII-UNMSM LO QUE DEMUESTRA QUE EFECTIVAMENTE EXISTEN 3 SOLUCIONES Y EL MAXIMO VALOR HALLADO ES DE 700 ADICIONAL 1 Una familia va a salir de vacaciones desde su ciudad natal. Objetivo: Maximizar los beneficios 25 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . La familia desea saber cuantos días permanecer en cada ciudad de modo de maximizar la satisfacción total de sus vacaciones sabiendo que para cada ciudad existe una función de satisfacción que esta en base al número de días de permanencia. Se tiene el siguiente cuadro: Ciudad 1 Dias Dias Dias Dias Dias Dias Solución: 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Ciudad 2 0 1 4 6 8 8 Ciudad 3 0 1 3 3 2 1 Datos: Beneficio de permanecer x cantidad de días en una ciudad. 1 4 6 8 2 4 4 Tercera Etapa: 8+ 0 8+ 8+ 1 0 3 4 9 4.3 2.3 5 f(x (xi) i) 0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 5 9 8 6 4 1 0 9 0.3 2. Y se da en la columna 1 y la 0. Encontrando las soluciones: Alternativa1: 0 – 4 – 1 alternativa 2: 0 – 3 – 2 Alternativa 3: 1 – 4 – 0 26 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . tenemos: Primera Etapa: f(x 5 i) 0 1 3 3 3 1 3 0 1 2 3 4 5 Segunda Etapa: 0 0+ 0 0+ 1 0+ 2 0+ 3 0+ 4 0+ 5 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 - 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 2 2 (xi) 0 1 2 2.3 1 1+ 0 1+ 1 1+ 3 1+ 3 1+ 3 0 - 2 3 6+ 0 6+ 1 6+ 3 2 4 - f(x 5 i) (xi) 0 0 0 1 2 3 4 5 4+ 0 4+ 1 4+ 3 4+ 3 1 1 0.1 Como vemos en la última etapa tenemos que el valor máximo es 9.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Haciendo la Ciudad 3 la Etapa 1. la ciudad 2 la Etapa 2 y la ciudad 1 la Etapa 3. Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Aplicando DIN: INGRESANDO DATOS: ESTADOS CALCULA ESTADOS SOLUYCION CALCULAR SOLUCION 27 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . 2. 4000 aumenta cada año S/. ADICIONAL 2 Un prestigioso taller mecánico. o 3 años.100000. 15000 cada año que pase. • El costo anual de manutención para el primer año es S/. Para ello cuenta con los siguientes datos: • Una maquina nueva cuesta S/. 3000. tiene una maquina especializada para estos fines y desea saber cuando cambiar dicha maquina. • El taller puede mantener una maquina por 1. Tiempo 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 28 Costo Mantenimient o 4000 7000 10000 13000 16000 Tiempo 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años Valor venta 85000 70000 55000 40000 25000 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . • EL valor de venta de la maquina disminuye S/.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM LO QUE NOS PERMITE CONFIRMAR QUE EXISTEN TRES RESPUESTAS Y QUE EL BENEFICIO MAXIMOES DE 9. especialista en mantención y reparación de motores. y valor inicial de la maquina.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM El taller busca una política óptima de reemplazo que minimice los costos totales durante 5 años restringidos a que siempre debe haber una máquina sabiendo que se compro una maquina en el año 1 y que se venderá al final del año 5. Objetivo: Minimizar los costos La maquina solo puede estar en el taller por un máximo de 3 años. Desarrollando el problema mediante el diagrama de árbol tenemos: 29 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . Solucion: Datos: Nos dan información sobre el valor de recupero. costo mantenimiento. las que pueden ser: AÑO 1 – AÑO 2 – AÑO 5 AÑO 1 – AÑO 3 – AÑO 5 AÑO 1 – AÑO 4 – AÑO 5 30 PROGRAMACIÓN DINÁMICA . 74000.Laboratorio de Investigación Operativa II FII-UNMSM Como resultado nos da que el mínimo costo es de S/. Se puede llegar a esto por 3 soluciones.