DuocUC MAT 330Programa de Matemática Cálculo I 1 EJERCICIOS FUNCIÓN CUADRÁTICA Graficar 12 8 ) ( 2 + ÷ = x x x f ) ( 0 1 . 1 arriba hacia abre parábola positiva concavidad a concavidad minar Deter => > = ÷ ) 4 , 4 ( ) , ( : ) " " ( 4 ) 4 ( 12 4 8 4 ) 4 ( 2 ) " " ( 4 1 2 ) 8 ( 2 12 8 1 . 2 2 ÷ = ÷ = + · ÷ = = | . | \ | ÷ = = · ÷ ÷ = ÷ = ¦ ) ¦ ` ¹ = ÷ = = ÷ y x Vértice del s Coordenada vértice del y coordenada f f a b f V vértice del x coordenada a b V c b a s coordenada de plano el en vértice el Ubicar y x 6 2 " " , 2 , 6 2 4 8 2 16 8 1 2 12 1 4 ) 8 ( ) 8 ( 2 4 12 8 1 " " . 3 2 1 2 2 , 1 2 2 , 1 = = = = ± = ± = · · · ÷ ÷ ± ÷ ÷ = ÷ ± ÷ = ¦ ) ¦ ` ¹ = ÷ = = ÷ x y x en x eje el cruza parábola la to tan lo Por x x x a c a b b x c b a x eje el con parábola la de n ntersecció i existe si Analizar 12 " " , 12 ) 0 ( 12 0 8 0 ) 0 ( 0 : " " 12 12 8 1 12 8 ) ( " " . 4 2 2 = = + · ÷ = => = = ¦ ) ¦ ` ¹ = ÷ = = + ÷ = ÷ y en y eje el cruza parábola la to tan lo Por f f x Para también o y eje el con ón intersecci la indica c c b a x x x f y eje con parábola la de n ntersecció i la bicar U DuocUC MAT 330 Programa de Matemática Cálculo I 2 Graficar 32 12 ) ( 2 + ÷ = x x x f Un fabricante determina que el ingreso “R” obtenido por la producción y venta de “x” artículos está dado por la función: 2 25 , 0 350 x x R ÷ = a) Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos. b) Si el ingreso obtenido es 120.000, determine la cantidad de artículos vendidos El ingreso “R” obtenido por la venta de artículos está dado por: 2 25 , 0 350 x x R ÷ = a.-) El ingreso cuando se venden 100 artículos es: 500 . 32 $ 500 . 2 000 . 35 ) 100 ( 25 , 0 ) 100 ( 350 ) 100 ( 2 = ÷ = ¬ · ÷ · = R R Por lo tanto, con 100 artículos se obtienen $32.500 b.-) Para obtener la cantidad de artículos si el ingreso es de $120.000 0 000 . 480 400 . 1 0 25 , 0 000 . 120 25 , 0 350 25 , 0 25 , 0 25 , 0 1 / 0 000 . 120 350 25 , 0 25 , 0 350 000 . 120 2 2 2 2 = + ÷ = + ÷ = + ÷ ¬ ÷ = x x x x x x x x La forma general de la ec. cuadrática es: 0 2 = + + c x b x a Por lo tanto: 000 . 480 ; 400 . 1 ; 1 = ÷ = = c b a Reemplazando en la fórmula: a c a b b x 2 4 2 2 , 1 ÷ ± ÷ = DuocUC MAT 330 Programa de Matemática Cálculo I 3 Se tiene: 1 2 ) 000 . 480 ( ) 1 ( 4 ) 400 . 1 ( ) 400 . 1 ( 2 2 , 1 · ÷ ÷ ± ÷ ÷ = x 800 2 600 . 1 600 2 200 . 1 2 200 400 . 1 2 000 . 40 400 . 1 2 000 . 920 . 1 000 . 960 . 1 400 . 1 2 1 2 , 1 2 , 1 = = = = ¬ ± = ± = ÷ ± = x x x x Por lo tanto, con 600 y con 800 unidades, se obtiene un ingreso de $120.000 Un negocio, al vender “x” artículos, obtiene una utilidad “U” (en dólares) dada por la fórmula: 200 400 2 ÷ ÷ = x x U a) Calcule la utilidad cuando se venden 250 artículos. b) ¿Cuántos artículos debe vender para obtener una utilidad de US$ 39.800? La Utilidad “U” obtenido por la venta de artículos está dado por: 200 400 2 ÷ ÷ = x x U a.-) La Utilidad cuando se venden 250 artículos es: 200 400 2 ÷ ÷ = x x U 300 . 37 200 500 . 62 000 . 100 200 ) 250 ( ) 250 ( 400 ) 250 ( 2 = ÷ ÷ = => ÷ ÷ · = U U Por lo tanto, con 250 artículos se obtienen 37.300 dólares b.-) Para obtener la cantidad de artículos si la Utilidad es de $39.800 0 000 . 40 400 200 400 800 . 39 2 2 = + ÷ => ÷ ÷ = x x x x La forma general de la ec. cuadrática es: 0 2 = + + c x b x a Por lo tanto: 000 . 40 ; 400 ; 1 = ÷ = = c b a Reemplazando en la fórmula: a c a b b x 2 4 2 2 , 1 ÷ ± ÷ = Se tiene: 1 2 ) 000 . 40 ( ) 1 ( 4 ) 400 ( ) 400 ( 2 2 , 1 · ÷ ÷ ± ÷ ÷ = x DuocUC MAT 330 Programa de Matemática Cálculo I 4 valor mismo el son las caso este En soluciones tiene cuadrática ec una x x x x 2 , . 2 . 200 200 2 0 400 2 0 400 2 000 . 160 000 . 160 400 2 1 2 , 1 2 , 1 = = ¬ ± = ± = ÷ ± = Por lo tanto, con 200 unidades, se obtiene una utilidad de 39.800 dólares Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba logra una altura de acuerdo con la función: 2 3 18 ) ( t t t h ÷ = ( “h” en metros, “t” en segundos). a) ¿Cuánto demora en alcanzar la altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima? .-) Observando el coeficiente que acompaña a 2 t se ve que es negativo, por lo tanto, la parábola abre hacia abajo (ver figura). Luego, la altura máxima va a estar ubicada en el vértice de la parábola. La forma general de la ec. cuadrática: 0 2 = + + c x b x a 0 18 3 : , 3 18 ) ( 2 2 = + ÷ ÷ = t t queda general forma la como Escrita t t t h : tanto lo Por Las coordenadas (x,y) del vértice son: | | . | \ | | | . | \ | ÷ ÷ = a b f a b V 2 , 2 La coordenada “x” del vértice es: 3 6 18 ) 3 ( 2 18 2 = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ a b La coordenada “y” del vértice es: 27 9 3 54 ) 3 ( 3 ) 3 ( 18 ) 3 ( 2 = · ÷ ÷ · = f Por lo tanto, el vértice de la parábola está en el punto (3,27). Luego, la coordenada “y=27” indica la altura máxima que alcanza el objeto. Para conocer cuánto tiempo demora en llegar la pelota a esa altura, se reemplaza h = 27 en la función: 3 0 ) 3 ( 0 9 6 0 3 27 3 18 3 3 3 1 / 0 27 18 3 3 18 27 3 18 ) ( 2 , 1 2 2 2 2 2 2 = = ÷ ¬ = + ÷ ¬ = + ÷ = + ÷ ÷ = ¬ ÷ = t t t t t t t t t t t t t h Por lo tanto, la pelota demora 3 seg. en llegar a los 27 mts. DuocUC MAT 330 Programa de Matemática Cálculo I 5 Graficar 6 5 ) ( 2 ÷ + ÷ = x x x f 1.- Analizar concavidad: ¦ ) ¦ ` ¹ ÷ = = ÷ = 6 5 1 c b a La parábola abre hacia abajo porque a= -1 < 0 (concavidad negativa) 2.- Ubicar el vértice en el plano de coordenadas: 2 5 ) 1 ( 2 5 2 = ÷ ÷ = ÷ a b corresponde a la coordenada “x” evaluando “f” en 5/2 para encontrar coordenada “y” 4 1 6 ) 2 5 ( 5 ) 2 5 ( ) 2 5 ( 2 = ÷ + ÷ = f Por lo tanto, las coordenadas del vértice son: | . | \ | = 4 1 , 2 5 ) , ( y x V V 3.- Analizar si existe intersección con el eje “x”: a c a b b x c b a 2 4 6 5 1 2 2 , 1 ÷ ± ÷ = ¦ ) ¦ ` ¹ ÷ = = ÷ = => 2 1 5 ) 1 ( 2 ) 6 ( ) 1 ( 4 ) 5 ( ) 5 ( 2 2 , 1 ÷ ± ÷ = ÷ · ÷ · ÷ · ÷ ± ÷ = x Por lo tanto, la ecuación tiene 2 raíces. La ecuación cruza el eje “x” en 2 ptos. 3 ; 2 2 1 + = + = x x 6 " " , 6 ) 0 ( 6 0 5 0 ) 0 ( 0 : " " 6 " " . 4 2 ÷ = ÷ = ÷ · + ÷ = => = ÷ = ÷ y en y eje el cruza parábola la to tan lo Por f f x Para también o y eje el con ón intersecci la indica c y eje con parábola la de n ntersecció i la bicar U Graficar 16 8 ) ( 2 + ÷ = x x x f DuocUC MAT 330 Programa de Matemática Cálculo I 6 Para encontrar el vértice: 4 ) 1 ( 2 ) 8 ( 2 = ÷ ÷ = ÷ a b Corresponde a la coordenada “x” Evaluando “f” en 4 para encontrar coordenada “y” 0 16 ) 4 ( 8 4 ) 4 ( 2 = + ÷ = f Por lo tanto, las coordenadas del vértice son: (4,0) También, la parábola abre hacia arriba porque a=1 > 0 Para encontrar las raíces de “f”, se iguala: f(x) = 0 => 4 1 2 16 1 4 ) 8 ( ) 8 ( 2 2 , 1 = · · · ÷ ÷ ± ÷ ÷ = x 4 2 0 8 2 64 64 ) 8 ( 2 , 1 = ± = ÷ ± ÷ ÷ = x Por lo tanto, las 2 raíces son iguales. La ecuación toca el eje “x” en un solo pto. Al evaluar f en x = 0, se obtiene el punto donde corta al eje “y” 16 16 ) 0 ( 8 0 ) 0 ( 2 = + ÷ = f 25 a x2 b x c 0 b b2 4 a c 2a a 1 .000 0 0.000.000 120. determine la cantidad de artículos vendidos El ingreso “R” obtenido por la venta de artículos está dado por: a.000 350 x 0.2 2 .25 x2 a) b) Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos.000 0 La forma general de la ec. Si el ingreso obtenido es 120.25 2 350 120. con 100 artículos se obtienen $32.25 x 2 1.500 Por lo tanto.25 x2 R (100) 350 (100) 0.400 x 480. cuadrática es: Por lo tanto: / 1 0.-) Para obtener la cantidad de artículos si el ingreso es de $120. c 480.500 b.-) El ingreso cuando se venden 100 artículos es: R 350x 0.500 $ 32.000 2.25 x 2 350 x 120. b 1.25 (100) 2 R 35.25 0.DuocUC Programa de Matemática MAT 330 Cálculo I Graficar f ( x) x 2 12 x 32 Un fabricante determina que el ingreso “R” obtenido por la producción y venta de “x” artículos está dado por la función: R 350x 0.25 x 2 0.25 0.400 .000 x x 0 0.000 Reemplazando en la fórmula: x1. 400 200 2 x1 1. con 600 y con 800 unidades.2 ( 400) ( 400)2 4 (1) (40. con 250 artículos se obtienen 37.-) La Utilidad cuando se venden 250 artículos es: U 400x x2 200 U 400x x2 200 U (250) 400 (250) (250) 2 200 U 100. cuadrática es: Por lo tanto: a 1 .000) 2 1 3 .400 (1.800 400x x2 200 x2 400x 40. b 400 .400) 1. obtiene una utilidad “U” (en dólares) dada por la fórmula: U 400x x2 200 a) b) Calcule la utilidad cuando se venden 250 artículos.500 200 37.000 1.000 Reemplazando en la fórmula: x1.2 b b2 4 a c 2a Se tiene: x1.2 x1.920. ¿Cuántos artículos debe vender para obtener una utilidad de US$ 39.000 0 a x2 b x c 0 La forma general de la ec.800 39.800? La Utilidad “U” obtenido por la venta de artículos está dado por: a. 2 ( 1. al vender “x” artículos.-) Para obtener la cantidad de artículos si la Utilidad es de $39.000 1. se obtiene un ingreso de $120.000 62.DuocUC Programa de Matemática MAT 330 Cálculo I Se tiene: x1.000 Un negocio.300 dólares b. 2 1.000 2 x1.000) 2 1 1. c 40.960.300 Por lo tanto.400)2 4 (1) (480.400 2 40.600 x2 800 2 Por lo tanto.200 600 2 1. la coordenada “y=27” indica la altura máxima que alcanza el objeto. cuadrática tiene 2 soluciones.000 2 400 2 0 x1. 2 400 160. las 2 son el mismo valor Por lo tanto. 2 3 Por lo tanto. Para conocer cuánto tiempo demora en llegar la pelota a esa altura. se obtiene una utilidad de 39. la pelota demora 3 seg. en llegar a los 27 mts. a) b) ¿Cuánto demora en alcanzar la altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? .27). el vértice de la parábola está en el punto (3. queda : 3 t 2 18 t 0 Las coordenadas (x. Luego.DuocUC Programa de Matemática MAT 330 Cálculo I x1.-) Observando el coeficiente que acompaña a t hacia abajo (ver figura). se reemplaza h = 27 en la función: h(t ) 18t 3 t 2 27 18t 3 t 2 3 t 2 18t 27 0 / 1 3 3 t 2 18t 27 0 t 2 6 t 9 0 (t 3) 2 0 3 3 3 t 1. 2 400 0 2 x1 200 x 2 200 una ec. cuadrática: a x2 b x c 0 Por lo tanto : h(t ) 18 t 3 t 2 Escrita como la forma general . con 200 unidades. 2a b 18 2a 2 (3) b f 2a 18 3 6 f (3) 18 (3) 3 (3)2 54 3 9 27 Por lo tanto. “t” en segundos).000 160.800 dólares Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba logra una altura de acuerdo con la función: h(t ) 18t 3t 2 ( “h” en metros. En este caso.y) del vértice son: La coordenada “x” del vértice es: La coordenada “y” del vértice es: b V . por lo tanto. La forma general de la ec. la altura máxima va a estar ubicada en el vértice de la parábola. 2 se ve que es negativo. 4 . la parábola abre Luego. Analizar concavidad: a 1 b5 c 6 La parábola abre hacia abajo porque a= -1 < 0 (concavidad negativa) 2.. las coordenadas del vértice son: (Vx . la ecuación tiene 2 raíces...DuocUC Programa de Matemática MAT 330 Cálculo I Graficar f ( x) x 2 5 x 6 1.Ubicar el vértice en el plano de coordenadas: b 5 5 corresponde a la coordenada “x” 2a 2 (1) 2 evaluando “f” en 5/2 para encontrar coordenada “y” 5 5 5 f ( ) ( )2 5( ) 6 1 4 2 2 2 5 1 .Analizar si existe intersección con el eje “x”: a 1 b5 c 6 x 1. La ecuación cruza el eje “x” en 2 ptos. x2 3 4.V y ) 3. 2 4 Por lo tanto. 2 (5) (5)2 4 (1) ( 6) 2 (1) 5 1 2 Por lo tanto. 2 b b2 4 a c 2a => x1. Ubicar la intersecció n de la parábola con eje " y " c 6 indica la intersecci ón con el eje " y " o también : Para x 0 f (0) 0 2 5 0 6 f (0) 6 Por lo tanto. x1 2 . la parábola cruza el eje " y " en y 6 Graficar f ( x) x 2 8 x 16 5 . 2 ( 8) (8)2 4 116 2 1 4 x1.DuocUC Programa de Matemática MAT 330 Cálculo I Para encontrar el vértice: b ( 8 ) 4 2a 2 (1) Corresponde a la coordenada “x” Evaluando “f” en 4 para encontrar coordenada “y” Por lo tanto. Al evaluar f en x = 0. 2 ( 8) 2 64 64 80 4 2 Por lo tanto. se iguala: f(x) = 0 => x1. las 2 raíces son iguales.0) f (4) 4 2 8 (4) 16 0 También. La ecuación toca el eje “x” en un solo pto. se obtiene el punto donde corta al eje “y” f (0) 0 2 8 (0) 16 16 6 . las coordenadas del vértice son: (4. la parábola abre hacia arriba porque a=1 > 0 Para encontrar las raíces de “f”.