Ejercicios Resueltos de Series Infinitas

CAP´ ITULO IX. SERIES NUM ´ ERICAS SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos. 401 A. SERIES DE T ´ ERMINOS NO NEGATIVOS. Dada una sucesión {a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . }, se llama serie de término general a n , y que representaremos por n≥1 a n , a la sucesión de sumas parciales {S n } definida por S 1 = a 1 , S 2 = a 1 +a 2 , . . . , S n = a 1 +a 2 +· · · +a n , . . . . Si existe S = l´ım n→∞ S n , la serie n≥1 a n se dice convergente y tiene suma S y se escribe n≥1 a n = S. Si dicho l´ımite es infinito o no existe, la serie n≥1 a n es divergente. Enunciaremos a continuación los criterios generales para estudiar el carácter (convergente o divergente) de una serie. Nos limitaremos a las series de términos no negativos (a n ≥ 0) aunque el primer criterio es válido para series generales. 1. Condición del resto. Si una serie n≥1 a n es convergente, entonces l´ım n→∞ a n = 0. De aqu´ı se deduce que si el término general de una serie no converge a cero, dicha serie es divergente. 2. Criterio de comparación. Dadas dos series n≥1 a n y n≥1 b n , si a n ≤ b n , ∀n y n≥1 b n converge, entonces n≥1 a n converge. Rec´ıprocamente, si una serie es divergente y todos sus términos son mayores o iguales que los de otra serie, esta ´ ultima es también divergente. 3. Criterio de comparación por paso al l´ımite. a) Si l´ım n→∞ a n b n = L (L finito y L = 0), entonces n≥1 a n converge ⇐⇒ n≥1 b n converge. b) Si l´ım n→∞ a n b n = 0, entonces n≥1 b n converge =⇒ n≥1 a n converge. 402 c) Si l´ım n→∞ a n b n = ∞, entonces n≥1 a n converge =⇒ n≥1 b n converge. Para utilizar los criterios de comparación es conveniente conocer la convergencia de las siguientes series: - Serie armónica: La serie n≥1 1/n p es convergente cuando p > 1 y divergente cuando p ≤ 1. -Serie geométrica: La serie n≥1 a · r n es convergente cuando |r| < 1 y divergente cuando |r| ≥ 1. 4. Criterio del cociente (D’Alembert). Sea L = l´ım n→∞ a n+1 a n . Entonces, a) si L < 1, n≥1 a n converge; b) si L > 1, n≥1 a n diverge. 5. Criterio de la ra´ız (Cauchy). Sea L = l´ım n→∞ n √ a n . Entonces, a) si L < 1, n≥1 a n converge; b) si L > 1, n≥1 a n diverge. 6. Criterio de Raabe. a) Si l´ımn · _ 1 − a n+1 a n _ > 1, entonces a n converge. b) Si l´ımn · _ 1 − a n+1 a n _ < 1, entonces a n diverge. Nota: Este criterio puede ser conveniente en los casos en que los criterios del cociente o de la ra´ız no son concluyentes. 7. Criterio de la integral. Sea f : [1, ∞) →R una función decreciente y f(x) > 0, ∀x. Entonces n≥1 f(n) converge ⇐⇒ _ ∞ 1 f(x)dx converge. 403 8. Criterio del producto (Pringsheim). a) Si l´ımn p a n = L ≥ 0, para alg´ un p > 1, entonces a n converge. b) Si l´ımn p a n = L > 0, para alg´ un p ≤ 1, entonces a n diverge. 9. Criterio logar´ıtmico. Si l´ım log 1/a n log n = L, entonces a) a n converge cuando L > 1. b) a n diverge cuando L < 1. PROBLEMA 9.1. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = n(n + 1) n 2 + 2n . Solución Como l´ım n(n + 1) n 2 + 2n = 1 = 0, la serie es divergente. PROBLEMA 9.2. Sabiendo que la suma de los n primeros términos de una serie es S n = 5n 2 −3n + 2 n 2 −1 , hallar el término general y estudiar su naturaleza. Solución Aplicamos la fórmula a n = S n −S n−1 y obtenemos: a n = 5n 2 −3n + 2 n 2 −1 − 5(n −1) 2 −3(n −1) + 2 (n −1) 2 −1 = 3n 2 −17n + 10 n 4 −2n 3 −n 2 + 2n . 404 Como además l´ımS n = l´ım 5n 2 −3n + 2 n 2 −1 = 5, la serie es convergente. Observación: No confundir con la condición necesaria de convergencia en la que debe ser cero el l´ımite del término general de la serie a n , no del término general de la sucesión de sumas parciales S n . En este caso, como l´ımS n = 5, quiere decir que la suma de la serie es precisamente 5. PROBLEMA 9.3. Hallar el mayor valor entero que debe tomar k para que la serie a n de término general a n = n k (n + 1)(n + 2)(n + 3) sea convergente. Solución Aplicando el criterio logar´ıtmico, l´ım log(1/a n ) log n = l´ım log (n+1)(n+2)(n+3) n k log n = l´ım log(n + 1)(n + 2)(n + 3) −log n k log n = l´ım log(n 3 + 6n 2 + 11n + 6) −k log n log n = l´ım log(n 3 )(1 + 6/n + 11/n 2 + 6/n 3 ) −k log n log n = l´ım 3 log n + log(1 + 6/n + 11/n 2 + 6/n 3 ) −k log n log n = l´ım _ 3 −k + log(1 + 6/n + 11/n 2 + 6/n 3 ) log n _ = 3 −k. Para que sea convergente, debe ser 3 −k > 1, y como k debe ser entero, el mayor valor que hace la serie convergente es k = 1. PROBLEMA 9.4. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 1 √ n −1 − 1 √ n + 1 . 405 Solución Tenemos que 1 √ n −1 − 1 √ n + 1 = √ n + 1 − √ n + 1 n −1 = 2 n −1 . Por el criterio de comparación, como l´ım 2/(n −1) 1/n = 2 y la serie 1/n es divergente, la serie dada es divergente. PROBLEMA 9.5. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = n √ 2n 3 + 1 . Solución Aplicamos el criterio de Prinsgheim, y tenemos: l´ımn α n √ 2n 3 + 1 = l´ım n α+1 √ 2n 3 + 1 . Para que dicho l´ımite sea real debe ser el grado del numerador igual al grado del denominador. En este caso α + 1 = 3/2 =⇒ α = 1/2. Como α < 1, la serie es divergente. PROBLEMA 9.6. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = _ n n 4 + 1 . Solución Aplicando el criterio de Pringsheim, tenemos: l´ımn α _ n n 4 + 1 = l´ım n α+1/2 √ n 4 + 1 . 406 Dicho l´ımite es un n´ umero real no nulo cuando α = 3/2. Como es mayor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.7. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 1 1 +n p . Solución Seg´ un el criterio de Pringsheim, si α = p, l´ımn α 1 1 +n p = 1. De este modo, cuando p > 1, la serie es convergente y cuando p ≤ 1, la serie es divergente. PROBLEMA 9.8. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = √ x +n −1 √ x 2 +n 2 + 1 . Solución Aplicamos nuevamente el criterio de Pringsheim y debemos determinar el valor de α para que l´ımn α a n sea un n´ umero real no nulo. Tenemos que l´ımn α √ x +n −1 √ x 2 +n 2 + 1 = 1 cuando α = 1/2. Como es un valor menor que uno, se deduce que la serie es divergente. PROBLEMA 9.9. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = √ n + 1 − √ n. 407 Solución Aplicamos en este caso el criterio de Pringsheim: l´ımn α ( √ n + 1 − √ n) = l´ım n α √ n + 1 + √ n . Este l´ımite es finito cuando α = 1/2 por lo que la serie es divergente. PROBLEMA 9.10. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 1 n √ n + 1 . Solución Como l´ıma n = l´ım 1 n √ n + 1 = l´ım 1 n+1 n = l´ım n n + 1 = 1 = 0, la serie es divergente. PROBLEMA 9.11. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = ln n + 1 n . Solución Debido a la equivalencia de los infinitésimos ln n + 1 n ∼ n + 1 n −1 = 1 n y como la serie 1/n es divergente, la serie dada también diverge. 408 PROBLEMA 9.12. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = n! n 2 . Solución Si calculamos el l´ımite del término general se obtiene que l´ım n! n 2 = ∞ por lo que la serie es divergente. PROBLEMA 9.13. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 5 · log a n 3 · log b n . Solución Aplicando la fórmula del cambio de base de logaritmos, podemos escri- bir a n = 5 · (lnn/ lna) 3 · (lnn/ lnb) = 5 3 · lnb lna . Como el término general es constante, no tiende a cero, por lo que la serie es divergente. PROBLEMA 9.14. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = lnn n . 409 Solución Por el criterio de comparación, como lnn n > 1 n y la serie armónica 1/n es divergente, la serie dada también es divergente. PROBLEMA 9.15. Demostrar que las series u 1 +u 2 +· · · +u n +. . . y ln(1 +u 1 ) +ln(1 + u 2 ) + · · · + ln(1 + u n ) + . . . tienen el mismo carácter si u n > 0 y l´ım n→∞ u n = 0. Solución Utilizando el criterio de comparación tenemos: l´ım ln(1 +u n ) u n = l´ımln(1 +u n ) 1/u n = ln l´ım(1 +u n ) 1/u n = lne = 1 = 0. Esto asegura que ambas series tienen el mismo carácter. PROBLEMA 9.16. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = arc sen(1/ √ n). Solución Debido a que l´ım arc sen(1/ √ n) 1/ √ n = 1, la serie dada es equivalente a la serie armónica 1/ √ n, la cual es divergente. PROBLEMA 9.17. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 1 + sen 2 n n 2 . 410 Solución Como 0 ≤ 1 + sen 2 n n 2 ≤ 2 n 2 y la serie 2/n 2 es convergente, por el criterio de comparación se deduce la convergencia de la serie dada. PROBLEMA 9.18. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = n! n n . Solución Aplicamos el criterio del cociente de D’Alembert: l´ım n!/n n (n −1)!/(n −1) n−1 = l´ım n!(n −1) n−1 n n (n −1)! = l´ım _ n −1 n _ n−1 = e −1 . Como el l´ımite es menor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.19. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = n n 3 n · n! . Solución Aplicando el criterio del cociente: l´ım a n a n−1 = l´ım n n 3 n · n! · 3 n−1 · (n −1)! (n −1) n−1 = l´ım 1 3 · n n−1 (n −1) n−1 = 1 3 l´ım _ n n −1 _ n−1 = 1 3 l´ım _ 1 + 1 n −1 _ n−1 = e 3 < 1. 411 Por tanto la serie dada es convergente. PROBLEMA 9.20. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 1 2 n tg a 2 n . Solución Aplicando el criterio de D’Alembert: l´ım a n+1 a n = l´ım tg(a/2 n+1 ) 2 n+1 · 2 n tg(a/2 n ) = 1 2 l´ımtg a 2 n+1 · cotg a 2 n = 1 2 l´ım a 2 n+1 · 2 n a = 1 4 < 1. Esto prueba que la serie es convergente. PROBLEMA 9.21. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 2 n x 2n 1 +x 2n respecto a los diversos valores de x. Solución En primer lugar, si x 2 = 1 =⇒ a n = 2 n 1 + 1 → ∞ y la serie será divergente. Si x 2 > 1 =⇒ l´ıma n = l´ım2 n · l´ım x 2n 1 +x 2n = ∞ · 1 = ∞. La serie es divergente. Para x 2 < 1 aplicamos el criterio de D’Alembert: l´ım a n a n−1 = l´ım 2 n x 2n 1 +x 2n · 1 +x 2(n−1) 2 n−1 x 2(n−1) = l´ım 2x 2 (1 +x 2n−2 ) 1 +x 2n = 2x 2 , 412 pues x 2n →0 y x 2n−2 →0 cuando x 2 < 1. La serie es convergente cuando 2x 2 < 1, es decir cuando |x| < √ 2/2 y divergente cuando 2x 2 > 1, es decir cuando |x| > √ 2/2. Para el caso en que 2x 2 = 1 tenemos x 2 = 1/2, de donde: a n = 2 n (1/2 n ) 1 + (1/2 n ) = 1 1 + (1/2 n ) →1 con lo que la serie es también es divergente cuando |x| = √ 2/2. PROBLEMA 9.22. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = ln n 2 + 2n + 2 n 2 −2n + 2 . Solución Si aplicamos el criterio de Pringsheim resulta: l´ımn α ln n 2 + 2n + 2 n 2 −2n + 2 = l´ımn α _ n 2 + 2n + 2 n 2 −2n + 2 −1 _ = l´ımn α 4n n 2 −2n + 2 . Si hacemos α = 1, el l´ımite da como resultado 4. De aqu´ı se concluye que la serie es divergente. PROBLEMA 9.23. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 2n −1 ( √ 2) n . Solución Por el criterio de la ra´ız: l´ım n ¸ 2n −1 ( √ 2) n = l´ım 1 √ 2 n √ 2n −1 = 1 √ 2 l´ım 2n −1 2n −3 = 1 √ 2 . 413 Como el l´ımite es menor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.24. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 1 (lnn) ln n . Solución Aplicando el criterio logar´ıtmico tenemos: l´ım ln(1/a n ) lnn = l´ım ln _ (lnn) ln n _ lnn = l´ım lnnln(lnn) lnn = l´ımln(lnn) = ∞> 1. Esto indica que la serie es convergente. PROBLEMA 9.25. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = _ ln n + 1 n −1 _ a . Solución Comparamos esta serie con la de término general b n = _ 2 n −1 _ a , con lo que tenemos: l´ım a n b n = l´ım _ ln _ 1 + 2 n−1 __ a _ 2 n−1 _ a = l´ım _ _ ln _ 1 + 2 n−1 _ 2 n−1 _ _ a = l´ım _ ln _ 1 + 2 n −1 _n−1 2 _ a = (lne) a = 1 a = 1. 414 Esto quiere decir que las dos series tienen el mismo carácter y como la serie de término general b n = _ 2 n −1 _ a es una serie armónica, es convergente cuando a > 1 y divergente cuando a ≤ 1. PROBLEMA 9.26. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = log n a log a n . Solución Aplicando la fórmula del cambio de base en los logaritmos podemos escri- bir a n = lna/ lnn lnn/ lna = _ lna lnn _ 2 . Aplicando el criterio logar´ıtmico: l´ım ln(1/a n ) lnn = l´ım ln _ ln n ln a _ 2 lnn = l´ım 2 ln(lnn) −2 ln(lna) lnn = 2 l´ım ln(lnn) lnn −2 l´ım ln(lna) lnn . El segundo l´ımite da como resultado cero y para calcular el primero, aplicamos el criterio de Stolz: l´ım ln(lnn) lnn = l´ım ln(lnn) −ln[ln(n −1)] lnn −ln(n −1) = l´ım ln ln n ln(n−1) ln _ n n−1 _ = l´ım 1 ln _ n n−1 _ _ lnn ln(n −1) −1 _ = l´ım 1 ln _ n n−1 _ · lnn −ln(n −1) ln(n −1) = l´ım 1 ln _ n n−1 _ · ln _ n n−1 _ ln(n −1) = l´ım 1 ln(n −1) = 0. 415 Como el l´ımite es menor que uno, la serie es divergente. PROBLEMA 9.27. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = _ n 3n −1 _ 2n−1 . Solución Por el criterio de la ra´ız de Cauchy: l´ım n ¸ _ n 3n −1 _ 2n−1 = l´ım _ n 3n −1 _2n−1 n = (1/3) 2 = 1/9. Como el l´ımite es menor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.28. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = _ n + 1 2n −1 _ n . Solución Aplicamos nuevamente el criterio de la ra´ız: l´ım n ¸ _ n + 1 2n −1 _ n = l´ım n + 1 2n −1 = 1 2 < 1. Se deduce que la serie es convergente. PROBLEMA 9.29. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = _ sena n _ n (a fijo). 416 Solución Por el criterio de Raabe, l´ımn _ _ _ 1 − _ sen a n _ n _ sen a n−1 _ n−1 _ _ _ = l´ımn _ 1 − (n −1) n sena n n (n −1) _ = l´ımn _ 1 − _ n −1 n _ n sena n −1 _ = ∞· 1 = ∞. Como el l´ımite es mayor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.30. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = tg n _ a + b n _ con 0 < a < π/2. Solución Aplicamos el criterio de la ra´ız: l´ım n √ a n = l´ımtg _ a + b n _ = tg a. De aqu´ı se deduce que si 0 < a < π/4, la serie es convergente pues el l´ımite anterior es menor que uno. Si π/4 < a < π/2, el citado l´ımite es mayor que uno por lo que la serie es divergente. Para a = π/4 se tiene: l´ıma n = l´ımtg n _ π 4 + b n _ = l´ım _ tg(π/4) + tg(b/n) 1 −tg(π/4) tg(b/n) _ n = l´ım _ 1 + tg(b/n) 1 −tg(b/n) _ n = e L , donde L = l´ımn _ 1 + tg(b/n) 1 −tg(b/n) −1 _ = l´ımn · 2 tg(b/n) 1 −tg(b/n) = l´ımntg(b/n) · l´ım 2 1 −tg(b/n) = 2b. 417 Por lo tanto, l´ıma n = e 2b = 0 y la serie es divergente. PROBLEMA 9.31. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = n ln n (lnn) n . Solución Aplicamos el criterio de Cauchy o de la ra´ız: l´ım n √ a n = l´ım n ln n/n lnn . Tomando logaritmos resulta: l´ımln n √ a n = l´ım _ lnn n lnn −ln(lnn) _ = l´ım _ (lnn) 2 n −ln(lnn) _ . Utilizamos el criterio de Stolz para calcular el l´ımite del primer sumando: l´ım (lnn) 2 n = l´ım (lnn) 2 −[ln(n −1)] 2 n −(n −1) = l´ım[lnn + ln(n −1)][lnn −ln(n −1)] = l´ımlnn(n −1) ln n n −1 = l´ımln(n 2 −n) _ n n −1 −1 _ = l´ım ln(n 2 −n) n −1 = l´ım ln(n 2 −n) −ln[(n −1) 2 −(n −1)] n −1 −(n −1 −1) = l´ımln n 2 −n n 2 −3n + 2 = ln 1 = 0. Como el l´ımite del segundo sumando es l´ımln(lnn) = +∞, resulta que l´ımln n √ a n = −∞=⇒l´ım n √ a n = 0 < 1, de modo que la serie es convergente. 418 PROBLEMA 9.32. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 1 (1 + 1/ √ n) n . Solución Aplicamos el criterio logar´ıtmico: l´ım ln(1/a n ) lnn = l´ım ln _ 1 + 1 √ n _ n lnn = l´ım ln _ _ 1 + 1 √ n _ √ n _ √ n lnn = l´ım √ nln _ 1 + 1 √ n _ √ n lnn = l´ım √ n lnn l´ımln _ 1 + 1 √ n _ √ n . Es evidente que el l´ımite del segundo factor es 1. Utilizaremos el criterio de Stolz para calcular el l´ımite del primer factor: l´ım √ n lnn = l´ım √ n − √ n −1 lnn −ln(n −1) = l´ım n −(n −1) √ n + √ n −1 · 1 ln n n−1 = l´ım 1 ( √ n + √ n −1) _ n n−1 −1 _ = l´ım n −1 √ n + √ n −1 = +∞. En definitiva, l´ım ln(1/a n ) lnn = +∞> 1 y la serie es convergente. PROBLEMA 9.33. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = _ _ n + 1 n _ n+1 − n + 1 n _ −n . Solución Por el criterio de la ra´ız: l´ım n ¸ ¸ ¸ _ _ _ n + 1 n _ n+1 − n + 1 n _ −n = l´ım 1 _ n+1 n _ n+1 − n+1 n = 1 e −1 < 1. 419 Esto muestra que la serie es convergente. PROBLEMA 9.34. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = __ n + 1 n _ n + 2n + 1 n _ −n . Solución Aplicando el criterio de la ra´ız: l´ım n √ a n = l´ım 1 _ n+1 n _ n + 2n+1 n = l´ım 1 _ 1 + 1 n _ n + 2n+1 n = 1 e + 2 < 1. La serie es convergente. PROBLEMA 9.35. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = n n 1 · 3 · 5 · . . . (2n −3)(2n −1) . Solución Aplicando el criterio del cociente de D’Alembert: l´ım a n a n−1 = l´ım n n 1 · 3 · 5 · . . . (2n −3)(2n −1) · 1 · 3 · 5 · . . . (2n −3) (n −1) n−1 = l´ım 1 2n −1 · n n (n −1) n−1 = l´ım n 2n −1 · n n−1 (n −1) n−1 = l´ım n 2n −1 l´ım _ n n −1 _ n−1 = 1 2 · e > 1. Por tanto la serie es divergente. 420 PROBLEMA 9.36. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = ln2 · ln3 . . . lnn n! . Solución Aplicando el criterio del cociente de D’Alembert: l´ım a n a n−1 = l´ım ln2 · ln3 . . . lnn n! · (n −1)! ln2 · ln3 . . . ln(n −1) = l´ım lnn n = 0 < 1. Entonces se trata de una serie convergente. PROBLEMA 9.37. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = n! (a + 1)(a + 2) . . . (a +n) . Solución Aplicamos el criterio del cociente: l´ım n! (a + 1)(a + 2) . . . (a +n) · (a + 1)(a + 2) . . . (a +n −1) (n −1)! = l´ım n a +n = 1. El criterio no permite decidir sobre la convergencia de la serie por lo que aplicamos el criterio de Raabe: l´ımn _ 1 − n a +n _ = l´ım an a +n = a. Resulta que si a < 1, la serie es divergente; si a > 1, la serie es convergente. 421 Cuando a = 1, sustituimos este valor en la serie y obtenemos n! 2 · 3 · · · · · (n + 1) = 1 n + 1 la cual es evidentemente divergente. PROBLEMA 9.38. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = 1 · 3 · 5 · · · · · (2n −1) 2 · 4 · 6 · · · · · (2n + 2) . Solución Aplicaremos el criterio de D’Alembert: l´ım a n a n−1 = l´ım 1·3·5·····(2n−1) 2·4·6·····(2n+2) 1·3·5·····(2n−3) 2·4·6·····(2n) = l´ım 2n −1 2n + 2 = 1. Como este criterio no decide el carácter de la serie, aplicamos el criterio de Raabe: l´ımn _ 1 − a n a n−1 _ = l´ımn _ 1 − 2n −1 2n + 2 _ = l´ım 3n 2n + 2 = 3 2 . Como el l´ımite es mayor que uno, la serie es convergente. PROBLEMA 9.39. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = e −n 2 x seg´ un los valores de x. Solución Por el criterio de Raabe, tenemos: l´ımn _ 1 − e −n 2 x e −(n−1) 2 x _ = l´ımn _ 1 −e −n 2 x+n 2 x+x−2nx _ = l´ımn _ 1 −e x(1−2n) _ . 422 Cuando x = 0, la serie dada es 1 que es evidentemente divergente. Cuando x < 0, l´ımn _ 1 −e x(1−2n) _ = −∞ < 1 por lo que la serie es divergente. Cuando x > 0, l´ımn _ 1 −e x(1−2n) _ = +∞> 1 por lo que la serie es convergente. PROBLEMA 9.40. Estudiar el carácter de la serie a n de término general a n = ¸ α(α + 1) . . . (α +n −1) β(β + 1) . . . (β +n −1) seg´ un los valores de α y β. Solución Por el criterio de Raabe: l´ımn _ 1 − a n a n−1 _ = l´ımn _ _ 1 − _ α(α+1)...(α+n−1) β(β+1)...(β+n−1) _ α(α+1)...(α+n−2) β(β+1)...(β+n−2) _ _ = l´ımn _ 1 − _ α +n −1 β +n −1 _ = l´ımn _√ β +n −1 − √ α +n −1 √ β +n −1 _ = l´ımn · β +n −1 −α −n + 1 √ β +n −1( √ β +n −1 + √ α +n −1) = l´ım n(β −α) β +n −1 + √ n 2 +. . . = β −α 2 . De aqu´ı se deduce que si β −α > 2, la serie es convergente. Si β −α < 2, la serie es divergente. En el caso en que β−α = 2, es decir β = α+2, al sustituir en la serie original resulta ¸ α(α + 1) (α +n)(α +n + 1) . Aplicando ahora el criterio de Pringsheim, resulta que l´ımn p ¸ α(α + 1) (α +n)(α +n + 1) es finito y no nulo cuando p = 1 lo que hace que la serie sea divergente. En definitiva, la serie es convergente si y sólo si β −α > 2. 423 PROBLEMA 9.41. Calcular la suma de la serie ∞ n=1 1 n 2 −2 √ 2n + 1 . Solución Si descomponemos el término general en fracciones simples, obtenemos: 1 n 2 −2 √ 2n + 1 = A n − √ 2 −1 + B n − √ 2 + 1 . Esto implica que 1 = A(n − √ 2 + 1) +B(n − √ 2 −1) por lo que A = 1/2 y B = −1/2. Sumando ahora los n primeros términos de la sucesión tenemos: a n = 1/2 n − √ 2 −1 − 1/2 n − √ 2 + 1 a n−1 = 1/2 n − √ 2 −2 − 1/2 n − √ 2 a n−2 = 1/2 n − √ 2 −3 − 1/2 n − √ 2 −1 . . . a 2 = 1/2 1 − √ 2 − 1/2 3 − √ 2 a 1 = 1/2 − √ 2 − 1/2 2 − √ 2 S n = 1 2 _ 1 1 − √ 2 + 1 − √ 2 − 1 n − √ 2 + 1 − 1 n − √ 2 _ . En definitiva, S = a n = l´ımS n = 1 2 _ 1 1 − √ 2 + 1 − √ 2 _ . PROBLEMA 9.42. Dada la serie de término general a n = n + 12 n 3 + 5n 2 + 6n , demostrar que es convergente y sumarla. 424 Solución Por el criterio de Pringsheim, l´ımn p a n = l´ım n p (n + 12) n 3 + 5n 2 + 6n = 1 cuando p = 2 > 1, por lo que la serie es convergente. Para sumar la serie descomponemos el término general en fracciones simples: a n = n + 12 n 3 + 5n 2 + 6n = A n + B n + 2 + C n + 3 = A(n + 2)(n + 3) +Bn(n + 3) +Cn(n + 2) n(n + 2)(n + 3) =⇒n + 12 = A(n + 2)(n + 3) +Bn(n + 3) +Cn(n + 2). Para n = 0, 12 = 6A =⇒A = 2. Para n = −2, 10 = −2B =⇒B = −5. Para n = −3, 9 = 3C =⇒C = 3. De aqu´ı obtenemos: a n = 2 n − 5 n + 2 + 3 n + 3 a n−1 = 2 n −1 − 5 n + 1 + 3 n + 2 a n−2 = 2 n −2 − 5 n + 3 n + 1 a n−3 = 2 n −3 − 5 n −1 + 3 n . . . a 4 = 2 4 − 5 6 + 3 7 a 3 = 2 3 − 5 5 + 3 6 a 2 = 2 2 − 5 4 + 3 5 a 1 = 2 1 − 5 3 + 3 4 S n = − 2 n + 1 − 2 n + 2 + 3 n + 3 − 3 3 + 2 2 + 2 1 =⇒S = l´ımS n = −1+1+2 = 2. PROBLEMA 9.43. Sumar la serie 1 1 · 3 · 5 + 1 3 · 5 · 7 + 1 5 · 7 · 9 +. . .. 425 Solución El término general de la serie es a n = 1 (2n −1)(2n + 1)(2n + 3) . Al descom- ponerlo en fracciones simples resulta: a n = A 2n −1 + B 2n + 1 + C 2n + 3 = A(2n + 1)(2n + 3) +B(2n −1)(2n + 3) +C(2n −1)(2n + 1) (2n −1)(2n + 1)(2n + 3) =⇒A(2n + 1)(2n + 3) +B(2n −1)(2n + 3) +C(2n −1)(2n + 1) = 1 =⇒A = 1/8, B = −1/4, C = 1/8. Por tanto, a n = 1 8 _ 1 2n −1 − 2 2n + 1 + 1 2n + 3 _ a n−1 = 1 8 _ 1 2n −3 − 2 2n −1 + 1 2n + 1 _ a n−2 = 1 8 _ 1 2n −5 − 2 2n −3 + 1 2n −1 _ . . . a 2 = 1 8 _ 1 3 − 2 5 + 1 7 _ a 1 = 1 8 _ 1 1 − 2 3 + 1 5 _ S n = 1 8 _ 1 2n + 3 − 1 2n + 1 + 1 − 1 3 _ . Tenemos entonces que S = l´ımS n = 1 8 _ 1 − 1 3 _ = 1 12 . PROBLEMA 9.44. Sumar la serie ∞ n=1 1 _ n+3 3 _. 426 Solución Escribimos el término general en la forma a n = 3! (n + 3)(n + 2)(n + 1) y lo descomponemos en fracciones simples: 6 (n + 3)(n + 2)(n + 1) = A n + 3 + B n + 2 + C n + 1 . Esto implica que 6 = A(n+2)(n+1) +B(n+3)(n+1) +C(n+3)(n+2) lo que al resolver produce los valores A = 3, B = −6, C = 3. Sumando ahora los n primeros términos de la sucesión: a n = 3 n + 3 − 6 n + 2 + 3 n + 1 a n−1 = 3 n + 2 − 6 n + 1 + 3 n a n−2 = 3 n + 1 − 6 n + 3 n −1 . . . a 2 = 3 5 − 6 4 + 3 3 a 1 = 3 4 − 6 3 + 3 2 S n = 3 n + 3 − 6 n + 2 + 3 n + 2 + 3 3 − 6 3 + 3 2 . Entonces S = l´ımS n = 1/2. PROBLEMA 9.45. Sumar la serie ∞ n=2 ln n+1 n lnnln(n + 1) . Solución Escribimos el término general como a n = ln(n + 1) −lnn lnn · ln(n + 1) = 1 lnn − 1 ln(n + 1) . 427 Sumando los primeros términos de la sucesión resulta: a n = 1 lnn − 1 ln(n + 1) a n−1 = 1 ln(n −1) − 1 lnn . . . a 3 = 1 ln3 − 1 ln4 a 2 = 1 ln2 − 1 ln3 S n = 1 ln2 − 1 ln(n + 1) . Entonces S = l´ımS n = 1/ ln2. PROBLEMA 9.46. Sumar la serie n≥2 ln _ 1 − 1 n 2 _ . Solución Escribimos el término general de la forma: a n = ln n 2 −1 n 2 = ln (n + 1)(n −1) n 2 = ln(n + 1) −2 lnn + ln(n −1). Dando valores decrecientes a n tenemos: a n = ln(n + 1) −2 lnn + ln(n −1) a n−1 = lnn −2 ln(n −1) + ln(n −2) a n−2 = ln(n −1) −2 ln(n −2) + ln(n −3) . . . a 4 = ln5 −2 ln 4 + ln3 a 3 = ln4 −2 ln 3 + ln2 a 2 = ln3 −2 ln 2 + ln1. S n = ln(n + 1) −lnn −ln2 = ln n + 1 n −ln2. La suma de la serie es S = l´ımS n = ln 1 −ln2 = −ln2. 428 PROBLEMA 9.47. Estudiar el carácter y hallar la suma de la serie n≥1 2n + 1 7 n . Solución Aplicando el criterio de D’Alembert, l´ım a n a n−1 = l´ım 2n + 1 7 n · 7 n−1 2(n −1) + 1 = l´ım 1 7 · 2n + 1 2n −1 = 1 7 < 1. La serie es convergente. Para hallar su suma escribimos S n = 3 7 + 5 7 2 +· · · + 2n + 1 7 n . Los términos de la serie resultan de multiplicar los términos de la progresión aritmética 3, 5, . . . 2n+1 por los correspondientes de la progresión geométrica 1/7, 1/7 2 , . . . 1/7 n . Estas series, llamadas aritmético-geométricas, se suman de la siguiente forma: S n = 3 7 + 5 7 2 +· · · + 2n −1 7 n−1 + 2n + 1 7 n 1 7 S n = 3 7 2 + 5 7 3 +· · · + 2n −1 7 n + 2n + 1 7 n+1 Restando: 6 7 S n = 3 7 + 2 7 2 + 2 7 3 +· · · + 2 7 n − 2n + 1 7 n+1 = 3 7 + 2 7 n+1 − 2 7 2 1 7 −1 − 2n + 1 7 n+1 . Como l´ım 2n + 1 7 n+1 = 0, resulta que la suma de la serie es: 6 7 S = 3 7 + 2/49 6/7 = 10 21 =⇒S = 5 9 . PROBLEMA 9.48. Sumar la serie n≥1 n 2 x n , 0 < x < 1. 429 Solución El proceso que seguiremos es el siguiente: S n = x + 4x 2 + 9x 3 +· · · + (n −1) 2 x n−1 +n 2 x n xS n = x 2 + 4x 3 +· · · + (n −2) 2 x n−1 + (n −1) 2 x n +n 2 x n+1 . Restando miembro a miembro: (1 −x)S n = x + 3x 2 + 5x 3 +· · · + (2n −1)x n −n 2 x n+1 x(1 −x)S n = x 2 + 3x 3 +· · · + (2n −3)x n + (2n −1)x n+1 −n 2 x n+2 . Restando nuevamente las dos ´ ultimas igualdades: (1 −x) 2 S n = x + 2x 2 + 2x 3 +· · · + 2x n −(n 2 + 2n −1)x n+1 +n 2 x n+2 = x + 2 · x n+1 −x 2 x −1 −(n 2 + 2n −1)x n+1 +n 2 x n+2 . Como 0 < x < 1, (n 2 + 2n − 1)x n+1 → 0 y n 2 x n+2 → 0 cuando n → ∞. Resulta entonces que si llamamos S = l´ımS n a la suma de la serie, tenemos: (1 −x) 2 S = x − 2x 2 x −1 =⇒S = x 2 +x (1 −x) 3 . 430 B. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Estudiar la convergencia de las siguientes series: a) n n (2n + 1) n . Resp.: Convergente (ra´ız). b) 2 4n−3 (4n −3)! . Resp.: Convergente (cociente). c) n e n . Resp.: Convergente (cociente). d) 2 n 1 · 3 · 5 . . . (2n + 1) . Resp.: Convergente (cociente). e) cos 2 n n 2 . Resp.: Convergente (comparación con 1/n 2 ). f) 3 √ n + 2 n 3 + 1 . Resp.: Convergente (comparación con 1/n 8/3 ). g) n 2 n! . Resp.: Convergente (cociente). h) n n · n! (3n)! . Resp.: Convergente (cociente). i) (2n)! (n!) 2 . 431 Resp.: Divergente (cociente). j) 1 (lnn!) +n 2 . Resp.: Convergente (comparación con 1/n 2 ). k) 1 3 + 1 · 3 3 · 6 + 1 · 3 · 5 3 · 6 · 9 +. . . Resp.: Convergente (cociente). l) 1 · 3 . . . (2n −1) 2 · 4 . . . 2n . Resp.: Divergente (Raabe). m) 1 _ n(n + 1) . Resp.: Divergente (comparación con 1/n). n) 2 n n . Resp.: Divergente (cociente). o) 2 · 5 · 8 . . . (3n −1) 1 · 5 · 9 . . . (4n −3) . Resp.: Convergente (cociente). p) n n/2 · 5 n n! . Resp.: Convergente (ra´ız). q) 1 (3n −2)(3n + 1) . Resp.: Convergente (comparación con 1/n 2 ). r) 1 nln _ 1 + 1 n _. Resp.: Divergente (l´ıma n = 0). 432 s) 1 · 11 · 21 . . . (10n −9) (2n −1)! . Resp.: Divergente (cociente). t) n! n n . Resp.: Convergente (ra´ız). u) 2 n sen n √ 3 e n n 2 . Resp.: Convergente (ra´ız). v) 1 nlnn . Resp.: Divergente (integral). 2.- Calcular la suma de las siguientes series: a) n≥1 3n + 5 2 n . Resp.: S = 11. b) n≥1 n(n −1)x n para |x| < 1. Resp.: S = 2x 2 (1 −x) 3 . c) n≥1 √ n + 1 − √ n √ n 2 +n . Resp.: S = 1. d) n≥1 1 (3n + 2)(3n + 8) . Resp.: S = 13/240. e) n≥2 _ n −1 e n _ 2 . 433 Resp.: S = e 2 + 1 (e 2 −1) 3 . f) n≥2 2n + 3 (n −1)n(n + 2) . Resp.: S = 65/36. g) n≥1 n (4n 2 −1) 2 . Resp.: S = 1/8. h) n≥1 ne n . Resp.: S = ∞. i) n≥1 2n 2 +n −1 e n . Resp.: S = 2e 2 −2e + 9 (e −1) 3 . 434

Ejercicios Resueltos de Series Infinitas

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