UNIVERSIDAD ANDRES BELLO CAMPUS GRAN CONCEPCION Métodos Cuantitativos Prof.: Yerko Sánchez EJERCICIOS RESUELTOS 1.En una ciudad, se solicitaron 1.118 créditos hipotecarios el año pasado. Una muestra aleatoria de 60 de estos créditos era de una cuantía media de $ 87.300 y tenía una desviación típica de $ 19.200. Estime la cantidad media de todos los créditos hipotecarios solicitados en esta ciudad el pasado y halle el intervalo de confianza al 95%. Solución: Sea µ la media poblacional. Se sabe que ̅ Para obtener estimaciones de intervalos, utilizamos la ecuación: ̂̂ Y usamos la raíz cuadrada para hallar el error típico estimado, ̂̅ Por lo tanto, el intervalo de confianza al 95% de la cantidad media de todas las hipotecas solicitadas en esta ciudad al año pasado es O sea Es decir, el intervalo va de $ 82.574 a $ 92.026 25% de todas las universidades. el curso es anual en alrededor del 35. ¿Cuántas observaciones muestrales se necesitan para lograr ese objetivo? Solución: En primer lugar. Solución: Dados ̂ Nuestra estimación puntual de la proporción poblacional. ̅ El tamaño de la muestra necesario es. pues.2. como en el ejemplo anterior. Basándose en estudios anteriores realizados con esas poblaciones. es simplemente ̂ Es decir. se estima que la desviación típica poblacional es de $20000 aproximadamente. debería ser suficiente una muestra aleatoria simple de 89 observaciones para alcanzar nuestro objetivo. que en una ciudad se solicitaron 1.118 créditos hipotecarios el año pasado y que se toma una muestra aleatoria simple para estimar la cantidad media de créditos hipotecarios. Supongamos. Se ha observado en una muestra aleatoria simple de 400 universidades de las 1395 que hay en una nuestra población que el curso de estadística para los negocios era un curso anual en 141 de la universidades de la muestra. Estime la proporción de todas las universidades en la que el curso es anual y halle el intervalo de confianza al 90%.000 a cada lado de la media muestral. El intervalo de confianza al 95% de la media poblacional debe tener una amplitud de $ 4. ̅ Por lo tanto. 3. P. Para calcular estimaciones de intervalos. la varianza de nuestra estimación se halla mediante la ecuación: ̂ ̂ ̂̂ . al igual que en el ejemplo anterior.04 a cada lado de la proporción muestral. . 4.93% al 38. el intervalo de confianza al 95% no debe tener una amplitud de más de 0. pues. ¿Cuántas observaciones muestrales deben tomarse? Solución: Sabemos que ̂ O sea ̂ El tamaño de la muestra necesario es. Supongamos. confianza al 90% se halla por medio de la ecuación: ̂ ̂ ̂ O sea El intervalo de ̂̂ O sea Por lo tanto. se necesita una muestra de 421 observaciones.Por lo que ̂̂ En el caso de un intervalo de confianza al 90%. el intervalo de confianza al 90% del porcentaje de todas las universidades en las que el curso de estadística para negocios es anual va del 31. ̂ Por lo tanto.57%. Cualquiera que sea la verdadera proporción. que se toma una muestra aleatoria simple de 1395 universidades que hay en un país para estimar la proporción en la que la asignatura de estadística para negocios es anual. Para obtener intervalos de confianza para esta cantidad. pueden utilizarse para calcular intervalos de confianza de las medias poblacionales de los tres estratos. Utilizando los subíndices 1. exactamente como en el ejercicio 1 (aunque en este caso el tamaño de la muestra es demasiado pequeño por comodidad). Solución: Se sabe que Nuestra estimación de la media poblacional es ̅ ∑ ̅ Por lo tanto. 10 de Indiana y 9 de Ohio. el número medio estimado de pedidos semanales por restaurante es 20. µ. se introduce al menú de muestras aleatorias de 20 restaurantes: Illinois12 de Illinois. 2 y 3 para representar Illinois. las medias y las desviaciones típicas muestrales del número de pedidos de este plato por restaurante en los tres estados de una semana es ̅ ̅ ̅ Estime el número medio de pedidos semanales por restaurante. en todos los restaurantes de esta cadena. Indiana y Ohio.1. El paso siguiente es calcular cantidades ̂̅ ̂̅ ̂̅ Estas cantidades. 50 en Indiana y 45 en Ohio. respectivamente. Para averiguar cuál es la demanda probable de este plato. Centramos la atención en la media del conjunto de la población.5. Una cadena de restaurantes tiene 60 en Illinois. . La dirección está considerando la posibilidad de añadir un nuevo plato a su menú. junto con las medias muestrales de cada estrato. al igual que en el ejemplo anterior.̂̅ ∑ ̂̅ Y. ̂̅ Por lo tanto. Tomamos. 6. el intervalo de confianza al 95% del número de pedidos por restaurante realizados en una semana es O sea El intervalo de confianza al 95% va de 16.5 a 23.7 pedidos por restaurante. ¿cuántas observaciones muestrales se necesitan en total? Solución: Obsérvese que ̅ ̅ ∑ Y ∑ . tomando la raíz cuadrada. una muestra aleatoria estratificada para estimar el número medio de pedidos por restaurante de un nuevo plato cuando el número de restaurantes que hay en los tres estados es Supongamos también que la experiencia de la cadena de restaurantes sugiere las desviaciones típicas poblacionales de los tres estados es probable que sean aproximadamente Si se necesita un intervalo de confianza al 95% de la media poblacional cuya amplitud sea de 3 pedidos por restaurante a cada lado de la estimación puntual muestral. A continuación.000 al año en esta zona residencial. la afijación óptima sólo representa un ahorro muy pequeño en comparación con la afijación proporcional. se entra en contacto con cada hogar de las manzanas de la muestra y se obtiene información sobre la renta familiar. como las desviaciones típicas poblacionales son bastante cercanas. Si se utiliza la afijación óptima.En el caso de la afijación proporcional. 7. el tamaño de la muestra necesario es ∑ ̅ ∑ ⁄ Por lo tanto. Estime la renta familiar media y proporción de familias que tienen una renta de menos de $ 15. el tamaño de la muestra necesario es ∑ ̅ ∑ Por lo que puede conseguirse el mismo grado de fiabilidad con 40 observaciones si se utiliza este método de afijación. bastará una muestra de 41 observaciones para conseguir el nivel de precisión necesario. Solución: Se sabe que El número total de hogares que hay en la muestra es ∑ Para obtener estimaciones puntuales. Se toma una muestra aleatoria simple de 20 manzanas de una zona residencial que contiene un total de 1100 manzanas. El fichero de los datos Income Clusters contiene la renta anual media y la proporción de familias que tienen una renta de menos de $ 15.000 al año y que viven en las manzanas de la muestra. En este caso concreto. ∑ ̅ . ̅ ∑ ̅ ∑ ̂ ∑ ̂ Por lo tanto. basándose en esta evidencia muestral. se estima que en esta zona residencial la renta anual media de los hogares es de $ 26. Para obtener estimaciones de intervalos de la media poblacional. ̂̅ El intervalo de confianza al 95% de la media poblacional es O sea . ∑ ̅ ̅ ∑ Por lo que ∑ ̅ ̅ ̅ Y tomando la raíz cuadrada. pues.21% de los hogares tiene una renta de menos de $ 15. el tamaño medio de los conglomerados debe ser ̅ Además.000 al año.Y ∑ ̂ Nuestras estimaciones puntuales son.109 y el 25. 4% a 34. ̂̂ El intervalo de confianza al 95% de la proporción poblacional es O sea Nuestro intervalo de confianza al 95% del porcentaje de los hogares cuya renta anual es de menos de $ 15.120 es el número de miembros de la población en este caso.872 Para obtener estimaciones de intervalos de la proporción poblacional. ̅ . de $ 22. Un auditor desea estimar el valor medio de las facturas pendientes de cobro en una población total de 1.El intervalo de confianza al 95% de la renta media de todas las familias de esta zona va. Para empezar. Para que el intervalo de confianza al 95% tenga la amplitud exigida.120 facturas.27. ¿Cuántas facturas más debe tener la muestra? Solución: El tamaño de la muestra necesario es ̅ Donde N=1.0%. Quiere hallar un intervalo de confianza al 95% de la media poblacional que tenga una amplitud de aproximadamente $4 a cada lado de la media muestral.000 va de 16. pues. 8. toma una muestra aleatoria simple de 100 facturas y observa una desviación típica muestral de $ 30. ∑ ̂ ̂ De donde ̂̂ ( ∑ ̂ ̂ ) Y tomando la raíz cuadrada.346 a $ 29. 657.403 respectivamente. Un investigador quiere tomar una muestra aleatoria estratificada para estimar la renta familiar media de una ciudad en la que el número de familias que hay en cada uno de los tres distritos es Para empezar. . un intervalo de confianza al 95% de la media poblacional que tenga una amplitud de $ 500 a cada lado de la estimación muestral. n3 que deben muestrearse en los tres estratos son los siguientes: ∑ Donde los son las desviaciones típicas poblacionales de los estratos. se estima que es 30. ̅ Dado que ya se ha tomado 100 observaciones. debe ser ̅ La desviación típica poblacional. ¿Cuántas observaciones adicionales deben tomarse en cada distrito? Solución: El requisito de que debe conseguirse un grado especificado de precisión con el menor número de observaciones muestrales posible implica que debe utilizarse la afijación óptima. El número total de observaciones muestrales necesario es. el investigador hace un estudio piloto. $ 6. .Por lo que ̅. Supóngase que el objetivo es obtener. Sin embargo. 9. pues.27. la desviación típica de la media muestral.481 y $ 8. como consecuencia del estudio inicial de 100 facturas pendientes de cobro. Utilizando nuestras estimaciones muestrales en lugar de estas cantidades. serán suficientes 85 más para satisfacer el objetivo del auditor. Los números n1. n2. con el tamaño más posible. se desconoce. tomando una muestra de 30 hogares de cada distrito y obteniendo desviaciones típicas muestrales de $ 3.
Report "Ejercicios Resueltos de Metodos de Muestreo"