EJERCICIOS DE APLICACIÓNEJERCICIO No.1. Los productos X y Y deben tratarse en dos máquinas A y B. Para tratar una unidad de X en la máquina A se necesitan dos horas, mientras que en la máquina B, el tiempo necesario es de cinco horas. Los tiempos de tratamiento del producto Y mediante las máquinas A y B son de tres y dos horas, respectivamente. La capacidad de la máquina A es de 400 horas; la de B, 600 horas. El costo unitario del producto X es de $9.00, el del producto Y es de $15.00, y los precios unitarios de venta son de $12.00 para X y $21.00 para Y. El efectivo disponible para el pago de los costos unitarios es $1125.00. *** Formule el Modelo de Programación Lineal correspondiente, para maximizar las ganancias en el proceso descrito SOLUCION EJERCICIO No.1 PRODUCTO X PRODUCTO Y CAPACIDAD MAQUINA A 2 Horas/und 3 Horas/und 400 Horas MAQUINA B 5Horas/und 2Horas/und 600 Horas Costo X Costo Y $9 Pventa X $15 Pventa Y EFECTIVO DISPONIBLE : $1.125 $12 $21 VARIABLES: X1 No. De Productos X a producir X2 No. De Productos Y a producir F.O: MAX Z = 3 * X1 + 6 * X2 S.A. 2 * X1 + 3 * X2 < 400 Restricción de capacidad Máquina A 5 * X1 + 2 * X2 < 600 Restricción de capacidad Máquina A 9 * X1 + 15 * X2 < 1125 Restricción de Presupuesto X1, X2 > 0 Restricción de No negatividad Una pequeña empresa fabrica dos productos.P. respectivamente.P. cada producto debe pasar por dos (2) secciones.P 4 H DISPON SECC 2 H DISPON VARIABLES: Sean XA = No. La cantidad máxima de unidades de cada producto son 80 y 100 respectivamente. De unidades a fabricar del producto B. Si los Precios de venta son U$250 y U$300.P. A y B. En su elaboración..P SECC M.L. El tiempo de Mano de Obra cuesta U$20 por hora en la Sección 1 y US15 por hora en la Sección 2. Formule un M. GANANCIA = PV – COSTO COSTO = COSTO MATERIA PRIMA + COSTO MANO DE OBRA COSTO PDTO A = 15 + 4*20 + 2*15 = U$125 COSTO PDTO B = 15 + 2*20 + 8*15 = U$175 GANANCIA A = U$250 – U$125 = U$125 GANANCIA B = U$300 – U$175= U$125 .2 M.2. XB = No. De unidades a fabricar del producto A. Las horas de Mano de Obra necesarias por unidad de cada producto y el total disponible se dan así: SECCION PRODUC TO A PRODUCT OB HORAS DISPONIB LES 200 300 1 4 2 2 2 8 PRECIO 250 300 DE VENTA (U$) La materia prima cuesta U$15 por unidad. SOLUCION EJERCICIO No. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS.EJERCICIO No. que permita determinar la producción óptima de A y B. 5 XA. formule un M. Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles.: MAX Z = 32.: XA*0.5 + 15 + 20 = U$42. XB <= 200 >= 0 .O. SOLUCION EJERCICIO No.a. Si el Combustible clase A puede venderse a U$75 el galón y el B a U$90 el galón. El combustible A tiene: 25% de gasolina grado 1. U$40/Galón grado 3.a.5 + XB*0.L.5 <= 200 XA*0. GANANCIA = PV – COSTO COSTO = COSTO MATERIA PRIMA + COSTO MANO DE OBRA COSTO PDTO A = 7. Ay B. 25% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina tipo 3.O. XB >= 0 EJERCICIO No.3.F.25 + XB*0. que debe fabricarse de cada combustible para maximizar la ganancia del fabricante.: MAX Z = 125*XA + 125*XB s. De galones a producir del combustible A. El combustible tipo B. tiene: 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3.5 GANANCIA B = U$90 – U$50 = U$40 F. De galones a producir del combustible B.P.: 4*XA + 2*XB <= 200 2*XA + 8*XB <= 300 XA <= 80 XB <= 100 XA. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. Los costos son: U$30/Galón grado 1.25 <= 500 XA*0.3 VARIABLES: Sean XA = No.5 COSTO PDTO B = 30 + 20 = U$50 GANANCIA A = U$75 – U$42. U$60/Galón grado 2. XB = No. Disponibles para producción hay 500 galones/hora de gasolina grado 1 y 200 galones/hora de gasolina tipo 2 y 3 respectivamente.5 = U$32.5*XA + 40*XB s. 4. 3: Tamaño 3 PROBLEMA: Determinar la composición del paquete en lbs. 3) (lbs.5*(∑Xij) >= 0 .2) del tamaño j (1. 2: Tamaño 2. Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cuál será la composición del paquete que ocasionaría un costo mínimo? SOLUCION EJERCICIO No. 2: Tornillo j=1: Tamaño 1. c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10% del paquete total.6 libras. b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.1*(∑Xij) X11 + X21 + X13 + X23 Xij (lbs) >= 0. Además: a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.: Min Z = 20*(X11 + X21) + 8*(X12 + X22) + 12*(X13 + X23) X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 >= 2 X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 (lbs) = 200 (lbs) X11 + X12 + X21 + X22 <= 1. F.: s. X22.a. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 lbs. Los tamaños 1. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras.O.6 X21.4 VARIABLES: Sean Xij = Peso del material i (1.) i =1: Tuerca. 2.2 y 3 cuestan respectivamente U$20. U$8 y U$12.EJERCICIO No. X23 >= 0. Una empresa manufacturera ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no provechosa. Esto. Unidades a producir del producto 3.O. se resume en la tabla siguiente: TIPO MAQUINA DE TIEMPO DISPONIBLE (HRS MAQ/SEMANA) FRESADORA 500 TORNO 350 RECTIFICADORA 150 El número de Horas-Máquina requeridas por cada unidad de los productos respectivos es: Coeficiente de productividad (Hrs-Máq por unidad) TIPO DE PRODUCT PRODUCT PRODUCT MAQUINA O1 O2 O3 FRESADORA 9 3 5 TORNO 5 4 0 RECTIFICADORA 3 0 2 El Departamento de Ventas indica que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20 unds/semana.2 y 3. Unidades a producir del producto 1. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. U$12 y U$15.L. Formule un M. respectivamente para los productos 1. El gerente está considerando dedicar esta capacidad en exceso a 1 o más de 3 productos. X3 = No.5. Unidades a producir del producto 2. F. X2 = No. La capacidad disponible de las máquinas que podría limitar la producción. SOLUCION EJERCICIO No.2 y 3.a.EJERCICIO No. para determinar cuánto debe producir la empresa de cada producto para hacer máxima su utilidad.5 VARIABLES: Sean X1 = No.: MAX Z = 30*X1 + 12*X2 +15*X3 s. creó un exceso considerable en la capacidad de producción. llamémoslos productos 1.P.: 9*X1 + 3*X2 + 5*X3 <= 500 5*X1 + 4*X2 3*X1 + X3 <= 350 2*X3 <= 150 = 20 . La utilidad unitaria sería de U$30. X2.: MIN Z = 200*X1 + 700*X2 +300*X3 s.6.6 VARIABLES: Sean Xi = cms de espesor de material i usado para 1 m 2 de calzada.L. Su costo estimado para un m2 y un centímetro (cm) de espesor. X3 >= 0 EJERCICIO No. 2. Las especificaciones dadas indican que deben tener un mínimo de 12 cms de espesor y un máximo de 48 cms.P. La firma Pavimentos ha establecido que 3 cms de asfalto son tan fuertes como 1 cm de concreto y que 6 cms de gravilla son tan resistentes como 1 cm de concreto.O. La firma Pavimentos está licitando por un contrato para la construcción de la calzada de una carrertera. X3 >= 0 . ó 3) X1 = Concreto. X2. SOLUCION EJERCICIO No. para el asfalto U$700 y para gravilla. Formule un M. Debe además construirse de concreto.X1. siempre y cuando que la resistencia total sea al menos equivalente a la que tendría una calzada de 9 cms de concreto. asfalto. que le permita a la firma saber cuál es la combinación óptima para la calzada. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR COSTOS F.: 12 <= X1 <= 48 X1>=9 12 <= X1+X2 <= 48 X2>=27 12 <= X2+X3 <= 48 X3>=54 12 <= X1+X3 <= 48 X1 + (1/3)*X2 >= 9 12 <= X1+X2+X3 <= 48 X1 + (1/6)*X3 >= 9 12 <= X2 <= 48 (1/3)*X2 + (1/6)*X3 >= 9 12 <= X3 <= 48 >= 9 X1 + (1/3)*X2 + (1/6)*X3 X1. X2 = Asfalto. U$300. para el concreto es de U$200. (i=1. gravilla o cualquier combinación de los tres (3). X3 = Gravilla.a. 25*(∑Xi) X1 <=300 X2 <=400 X3 <=200 .7 VARIABLES: Sean X1 = Cantidad en libras de aleación 1. Formule el correspondiente M.3*X4 + 0.35*(∑Xi) 0.15*X2 + 0. 35% de Zinc y 25% de estaño. X4 = Cantidad en libras de aleación 4.2*X4 + 0. X3 = Cantidad en libras de aleación 3. F.4*(∑Xi) 0.EJERCICIO No.: MIN Z = 12*X1 + 11*X2 +14*X3 + 13*X4 + 15*X5 s.L.P.7.a. X2 = Cantidad en libras de aleación 2.3*X1 + 0.25*X2 + 0. SOLUCION EJERCICIO No.O.1*X5 = 0. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR COSTOS.6*X1 + 0.1*X1 + 0. Una compañía desea preparar una nueva aleación que contenga 40% de plomo. a partir de las siguientes aleaciones: PROPIEDAD ALEACION ES 1 2 3 4 5 %Pb 60 25 45 20 50 %Zn 10 15 45 50 40 %Estaño 30 60 10 30 10 Costo (U$/lb) 12 11 14 13 15 Disponibilidad 300 400 200 300 100 (lb) El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo.6*X2 + 0. X5 = Cantidad en libras de aleación 5.1*X3 + 0.4*X5 = 0.5*X5 = 0.: 0.5*X4 + 0.45*X3 + 0.45*X3 + 0. Un taller elabora dos clases de cinturones de cuero. de las cuales se pueden obtener 400 por día. X5 >= 0 Nota: (∑Xi) = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 EJERCICIO No. X2. El tipo A es de mejor calidad que el de tipo B. y si todos los cinturones fueran del tipo B.3*X2 s.8. F.L que permita maximizar las ganancias.4 y U$0. X3. Para los cinturones tipo B. La oferta de cuero es suficiente para producir sólo 800 cinturones diarios (combinados A y B). Los cinturones de tipo A requieren una hebilla especial. Las respectivas ganancias son de U$0.: X1 + X2 <= 800 (1/2)*X1 + X2 <= 1000 X1 <= 400 X1 <= 700 X1.8 VARIABLES: Sean X1 = No. Cinturones tipo A a producir por día.X4 <=300 X5 <=100 X1.O. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. SOLUCION EJERCICIO No. Cada cinturón de tipo A requiere para su confección del doble de tiempo que el tipo B.4*X1 + 0. solamente hay disponibles 700 hebillas por día.3 por cinturón. X4. X2 >= 0 . X2 = No. Cinturones tipo B a producir por día.P.: MAX Z = 0. el taller podría elaborar 1000 diarios.a. Formule el M. 4) en cada alternativa j (1.V.9 TIPO DE INVERSION T.000*(X11+X21+X31+X41) + 110.000.000*(X11+X21+X31+X41) + 300. artículos que compran las personas i (1.000/artí culo Sean Xij = No.V. 2.000*(X13+X23+X33+X43) <=10.000.L.000 para inversiones.9.000 respectivamente.000/artí culo $110.000. Cuatro personas viajan a Panamá y disponen de un presupuesto global de $10.a. 3.000/artí culo $100. La Aduana no permite que una persona transporte dos o más artefactos eléctricos.000*(X13+X23+X33+X43) s. Hay tres alternativas: Televisores. QUE PERMITA DETERMINAR CÓMO DEBE INVERTIRSE EL DINERO PARA UNA MAYOR UTILIDAD.000.000/artí culo $250. 3).: X11+X12+X13<=1 (Restricción de la Aduana) X21+X22+X23<=1 (Restricción de la Aduana) X31+X32+X33<=1 (Restricción de la Aduana) X41+X42+X43<=1 (Restricción de la Aduana) 240. Equipos de Sonido y Aspiradoras. cuyos precios correspondientes son: $240. PRECIO DE VENTA $400.000 (Restricción del presupuesto global disponible) Xij >= 0 (Restricción de no negatividad de las variables. 2.000/artí culo $160. SOLUCION EJERCICIO No.) . $300.P.000/artíc SONIDO ulo ASPIRADORA $210. 2=Equipo de sonido. F. FORMULE UN M.EJERCICIO No.O.000*(X12+X22+X32+X42) + 160.000 y 210.. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS.000*(X12+X22+X32+X42) + 100. 550. 3=Aspiradora.000/artíc ulo EQUIPO DE $550.: MAX Z = 250.000 y $100.000/artíc ulo COSTOS UTILIDADES $240.000 y se venden en Cartagena con relativa facilidad en $400.000/artí culo $300. siendo 1=T. F. El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 días. de comidas de res a planear.EJERCICIO No.: MIN Z = 200*X1 + 250*X2 s. El hospital quiere alcanzar en el mes por lo menos 200 puntos en el sabor. Si se juzga el sabor en una escala de 1 a 10. ¿Cuántas comidas de cada tipo debe planear el hospital? Plantee como un modelo de P. Los requerimientos totales de vitaminas en el mes deben ser por lo menos 300 unidades.L. X2 >= 0 . SOLUCION EJERCICIO No. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR LOS COSTOS.O. La comida de pescado proporciona 8 unidades y la de res 12 unidades. X2 = No.a. el pescado obtiene un 5 y la res un 9.: X1 + X2 = 30 5*X1 + 9*X2 >= 200 8*X1 + 12*X2 >= 300 X1.10 VARIABLES: Sean X1 = No. El Hospital Regional está tratando de determinar el número de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes venidero.10. Las comidas de pescado cuestan $200 cada una y de res $250. Ambas comidas cumplen con las necesidades de proteínas. de comidas de pescado a planear. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS.11 AZUCA R CONFITES CARAMELO S DISPONIBILI DAD 100 OZ NUECE S 20% 10% CHOCOLA TE 20 OZ 30 OZ 10% P. La mezcla para producir caramelos tiene que contener por lo menos 10% de nueces y 10% de chocolate. F.a.: X3 <= 100 . Formule un M.O. X4 = Onzas de nueces a utilizar. que se componen solamente de azúcar. X5 = Onzas de chocolate a utilizar. X3 = Onzas de azúcar a utilizar. La mezcla para producir confites tiene que contener por lo menos 20% de nueces. Cada onza de confite se vende a $250 y una onza de caramelo a $200. tiene en bodega 100 oz de azúcar. X2 = Onzas de caramelo a producir. Actualmente.: MAX Z = 250*X1 + 200*X2 s.11. 20 oz de nueces y 30 oz de chocolate. nueces y chocolate.P. Está considerando producir dos tipos de dulces: caramelos y confites.EJERCICIO No. Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. SOLUCION EJERCICIO No.VENT A 250 200 VARIABLES: Sean X1 = Onzas de confites a producir.L que le permita maximizar sus ingresos por la venta de dulces. X5 >= 0 EJERCICIO No. X4 <= 20 X5 <= 30 X1 >= 0.7*X1 0.12. Puede comprar hasta 45 oz del producto químico 1. El medicamento 1 tiene que contener por lo menos 70% del producto químico 1.1*X4 X2 >= 0. SOLUCION EJERCICIO No. y el medicamento 2 tiene que contener por lo menos 60% del producto químico 2. a 6 dólares la onza. y hasta 40 oz del producto químico 2.6*X2 Aclaración: UTILIDAD MEDICAMENTO 1: U$6 – 0.6*U$4 = U$2. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS. a 6 dólares la onza.6 s.7*U$6 = U$1.6*X2 40 30 45 40 . X3.2*X4 X2 >= 0. F. X3 = Cantidad a utilizar de medicamento 1.8 UTILIDAD MEDICAMENTO 2: U$5 – 0.8*X1 + 2.O.a. y hasta 30 oz del medicamento 2. Se puede vender hasta 40 oz del medicamento 1. a 5 dólares la onza.12 VARIABLES: Sean X1 = Cantidad a utilizar de producto químico 1.: MAX Z = 1.1*X5 X1. Medicosta usa 2 productos químicos (1 y 2) para producir dos medicamentos.L que se pueda utilizar para maximizar las ganancias de Medicosta. X2. X4. Formule un modelo de P. X4 = Cantidad a utilizar de medicamento 2.: X3 X4 X3 X4 X1 X2 >= >= <= <= <= <= 0. a 4 dólares la onza. X2 = Cantidad a utilizar de producto químico 2. El costo de la crianza de una gallina.13 VARIABLES: Sean X1 = No.O. formule un M. X3. Sabiendo que la granja puede alojar sólo 500 aves y que el granjero no desea tener más de 300 patos a la vez. SOLUCION EJERCICIO No.X3 >= 0 .: X1 + X2 +X3 <= 500 X3 <= 300 X1. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS.P. un pato y un pavo es de U$1. X2.a.: MAX Z = (5.L. X4 >= 0 EJERCICIO No. de patos a criar. Un granjero cría pavos. X2.5 U$1 y U$4. respectivamente hasta el momento de su venta.5. X3 = No. de gallinas a criar. los patos a U$2 y los pavos a U$5. F.5*X1 + 1.5*X2 + X3 s. gallinas y patos.5)*X2 + (2-1)*X3 MAX Z = 1. X1. que permita determinar cuántas aves de cada especie debe criar a fin de maximizar sus utilidades. Las gallinas se venden a U$3.5-4)*X1 + (3-1.13. de pavos a criar. X2 = No. 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja. Si los datos del inventario son los que se presentan a continuación. X3 = Cantidad de bebida C. F.14 VARIABLES: Sean X1 = Cantidad de bebida A.25 SOLUCION EJERCICIO No. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR LOS COSTOS.P.: .EJERCICIO No.75 2 1. formule un M.75 0.: MIN Z = 1.75*X2 + 2*X3 + 1.5 0.L. BEBID A % JUGO DE NARANJ A % JUGO DE TORONJ A A B C D E 40 5 100 0 0 40 10 0 100 0 % JUG O DE PIN A 0 20 0 0 0 EXISTEN CIA(GAL ) COSTO (U$/GAL ) 200 400 100 50 800 1.a. X2 = Cantidad de bebida B. que permita determinar qué cantidad de cada bebida de fruta debe emplear a fin de obtener la composición requerida a un costo mínimo.75*X4 + 0.14. X4 = Cantidad de bebida D.O.5*X1 + O. Jugos la pulpa de oro debe preparar con cinco (5) bebidas de frutas. X5 = Cantidad de bebida E.25*X5 s. 10% de jugo de toronja y 5% de piña. 3) que se asigna al contratista j(1.15.O. La junta administradora local (JAL) de la comuna 20 tiene tres proyectos de pavimentación de vías.4*X1 + 0.05*X2 + X3 >= 100 0.2.L que permita determinar cómo deben ser asignados los contratos si se quiere minimizar los costos totales de todos ellos y si para evitar descontentos de tipo político.1*X2 + X4 >= 50 0. X1 + X2 +X3 + X4 +X5 = 500 0.14 VARIABLES: Sean Xij = el proyecto i (1.: MIN Z = 280*X11 + 360*X12 + 380*X13 + 320*X21 + 280*X22 + 340*X23 + 360*X31 + 300*X32 + 400*X33 s. SOLUCION EJERCICIO No.X3 >= 0 EJERCICIO No.2*X2 >= 25 X1<= 200 X2<= 400 X3<= 100 X4<= 50 X5<= 800 X1.P.4*X1 + 0. PROYECTOS CONTRATIS P1 P2 P3 TAS C1 280 320 360 C2 360 280 300 C3 380 340 400 Formule un M. F. X2.2. se desea adjudicar un contrato a cada contratista. y tres presentaron diligenciados sus pliegos.3) FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR LOS COSTOS. La junta tiene el problema de determinar qué contratistas llevarán a cabo los proyectos.a. El costo de cada proyecto según propuesta de cada contratista se presenta en la siguiente tabla (en millones).: X11 X21 X31 X11 X12 + + + + + X12 X22 X32 X21 X22 +X13 = 1 +X23 = 1 +X33 = 1 + X31 =1 + X32 =1 . entre contratistas locales. X13 + X23 + X33 =1 Xij >=0 .
Report "Ejercicios Resueltos de Investigación de Operaciones I"