EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA IIRESUMEN DE EJERCICIOS DADOS EN CLASES POR: EILEEN JOHANA ARAGONES GENEY DISTRIBUCIONES DOCENTE: JUAN CARLOS VERGARA SCHMALBACH ESTIMACIÓN PRUEBAS DE HIPÓTESIS Grupo Métodos Cuantitativos de Gestión Programa de Administración Industrial Universidad de Cartagena UNIVERSIDAD DE CARTAGENA PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN INDUSTRIAL CARTAGENA PRIMER SEMESTRE DE 2006 ...............................................1 ...... 8 Ejercicio 6..............................................1............................................................. 11 Ejercicio 9.........................1 .......1 ...... .....................................................3..................... 10 9......... 9 8....... 10 Ejercicio 8....1 ................................................................................................................................................... PRUEBA DE HIPÓTESIS .................................................. DISTRIBUCIÓN T-STUDENT ......................................................... DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES ....................... DISTRIBUCIÓN NORMAL....................................... 4 Ejercicio 2.............TABLA DE CONTENIDO 1............................................................................................................................... 3 2.......................................................................................... 7 Ejercicio 5... 11 Ejercicio 9............... DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES MUESTRALES...............................................................1 ..............................................................................2 ............7 ...................................... 6 Ejercicio 4.................................. .............................................................................................................................. 12 Ejercicio 9.......................... 9 Ejercicio 7............................................................................................... DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES ............................................................................... 16 Ejercicio 10....... 14 Ejercicio 9............................2 .................... APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.................................... 5 Ejercicio 3........1 ............... 4 3...........................................................1 ........................................................................................................ 7 6........................................................................................................... 16 EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 2 .. 14 Ejercicio 9........................................1 ........................................................................................ 13 Ejercicio 9................. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS ......................... 15 10............ 11 Ejercicio 9....................................................... 3 Ejercicio 1.................................................. 6 5....... DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO .................................................................. DISTRIBUCIÓN DE LAS DIFERENCIAS DE MEDIAS MUESTRALES.....1 ............................................................................4.................5 ....................... 5 Ejercicio 3..............................................................6 ......... 5 4........ 8 7..................................... .......................... 33% b. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C? b.56%.5.5° C? SOLUCIÓN a.1. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 3 .5. DISTRIBUCIÓN NORMAL Ejercicio 1. La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a . ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a . emplean una temperatura de -4° con una desviación típica de C 1.1 Se calculó que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una línea de cierta compañía. a.5° es C de 10. La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3° es C de 20.2° C. 97% n = 31 P = 50% Q = 50% Z1 = (19. SOLUCIÓN P(X=20) = 3.2.5-15.43 Z2= (20. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 4 . Ejercicio 2.79 P(X=20) = P(1.5-15.97% La probabilidad de que 20 productos salgan defectuosos es de 3.4633-0.97%.78= 1.43<Z<1. si el 50% de los productos normalmente sale defectuoso.79) = 0.5)/2.78 = 1.5)/2. APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.1 De los 31 productos cuál es la probabilidad de que 20 salgan defectuosos.4236 = 3. Ejercicio 3.5horas) = 4. el espesor promedio de las monedas es de 0.20 cm y una desviación de 0.21 cm?.85%. SOLUCIÓN La probabilidad es de aproximadamente 0%.85% µ = 30 horas de duración σ = 3 horas n = 100 pilas La probabilidad de que el promedio de la vida útil de las pilas supere las 24.1 Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio del espesor de las 36 monedas supere los 0. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más de 30 minutos del promedio? SOLUCIÓN P( X > 24. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 5 .3.01 cm.2 Se toman 36 observaciones de una máquina de acuñar monedas conmemorativas. DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES Ejercicio 3.5 horas es de 4. ¿En cuál de la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas?.4.1 DE LAS DIFERENCIAS DE MEDIAS En un estudio para comparar los pesos promedios de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. SOLUCIÓN µ1= 100 libras µ2= 85 libras σ1= 14.247 libras. Ejercicio 4.247 libras n1= 20 niños n2= 25 niñas Por lo tanto.56%. la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 10. mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas de sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 6 .142 libras σ2= 12. DISTRIBUCIÓN MUESTRALES.142 libras. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14. Ella percibe con respecto a este punto que si tiene el 45% de los votos será nominada de cuerdo con su estrategia de campaña. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 7 . ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra pueda producir una proporción de 45% más dado que la verdadera proporción es del 40%? SOLUCIÓN P = 40% Q =60% N =1660 La probabilidad es de aproximadamente el 0%.1 Previo a una elección la senadora X contrata los servicios de la compañía Y para fijar la contienda establecida con los electores. DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES MUESTRALES Ejercicio 5.5. Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra aleatoria simple de 1600 electores registrados. DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES Ejercicio 6.81% EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 8 . . Q1 = 70% Q2 = 60% La probabilidad de que el candidato 1 supere al candidato 2 es del 6.6.1 Porcentaje de Votantes 30% 40% 30% Candidato 1 Candidato 2 Candidato 3 ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato 1 supere al candidato 2? SOLUCIÓN P1 = 30% P2 = 40% N = 100 . ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: 520 513 496 510 506 521 522 488 510 503 511 500 500 475 487 513 521 502 505 493 510 495 512 521 500 µ=500 h n=25 N c = 90% X = 505.05. porque la muestra poblacional está por encima de esta. él se encuentra satisfecho con esta afirmación.07 SOLUCIÓN α = 1-Nc = 10% v = n-1 = 24 t = 2. y por lo tanto debería estar por encima de 500.05 y t 0. Si el valor y calculado cae entre –t 0.36 S=12.22 Se puede concluir que la media poblacional no es 500.7.1 Un fabricante de focos afirma que us producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. DISTRIBUCIÓN T-STUDENT Ejercicio 7. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 9 . 5-12.5-7. DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO Ejercicio 8.2 años (debido a que el valor de Chi Cuadrado es muy alto y por lo tanto no cae dentro del intervalo de confianza para una muestra de 12).1-13.4-10.2 años? SOLUCIÓN σ = 1.8 2 97.3.2 µ = 10 s = 2.9 De acuerdo a lo anterior se puede observar que la desviación poblacional es mayor que 1.8.515.6-6.5% Nc = 95% 2. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 10 . Se elige una muestra entre los cuales tenemos: 11.3-8.816 X 2α / 2 = 21.53 n =12 V =11 X2 = 48.1 Un fabricante X concluye que su producto tendrá una vida útil de 10 años.8-9.920 21. ¿De acuerdo a lo anterior se puede corroborar que la desviación poblacional es de 1.0-10.5% X 1 − α / 2 = 3.7-10.2 años.3-13. Teniendo en cuenta una desviación poblacional de 1. mientras que la marca B tuvo una resistencia promedio de 87. SOLUCIÓN . POBLACIONAL CON DESVIACIÓN Ejercicio 9.5 cm y una desviación estándar de 6. la marca A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 78. σ = 6.77 µ= -172. Se sabe de antemano que las 11 EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II .9 n = 50 Nc= 98% +176.3 Kg. Se prueban 50 piezas de cada tipo de cuerda bajo condiciones similares.9.9 cm. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL CONOCIDA. Determine un intervalo de confianza del 98% para la altura promedio de todos los estudiantes.1.2 Kg. La lectura de una muestra aleatoria mostraron una media de 174.2 Se comparan dos tipos de rosca de tornillo para ver su resistencia ala tensión.23 ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES CON DESVIACIONES POBLACIONALES CONOCIDAS Ejercicio 9. 03-1.02455 EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 12 .3.desviaciones poblacionales son de 6. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL DESCONOCIDA POBLACIONAL CON DESVIACIÓN Ejercicio 9. Determine el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las dos medias poblacionales. SOLUCIÓN n=9 V=8 = 1.3 Kg para la B.24 La resistencia a la tensión de tornillos de la marca B es superior a la marca A.03.3 Kg n1 = n2 = 50 -6.6 Kg σ2 = 6.01-1. SOLUCIÓN σ1 = 5.56 µ1-µ2= -11.0055 S = 0.97-1. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de esta máquina si se supone una distribución aproximadamente normal. Se toma una muestra de piezas cuyos diámetros son: 1.99-0.98-0. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica.99-1.04-0.01-0.5 Kg para la marca A y 6. 032 La máquina está produciendo cilindros con un diámetro entre 0. SOLUCIÓN S1 = 54.027 cm 0. suponga que las desviaciones poblacionales son iguales.51 m µ1-µ2 = 5. la información en metros de la población 1 fue: 176-289-181-226-265-174-260-260-325-145-207-245-228-144.4. y de la población 2 fue: 129-212-213-191-157-143-136-148-138-167. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 99% para la diferencia media de la distancia desde la madriguera de las dos poblaciones.978 1. Un equipo de vigilancia observa dos poblaciones de estos mamíferos.09 Sp = 46. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 13 .39 m2 114.39 n1 = 14 n2 = 10 Sp2 = 2163.58 S2 = 31.978 cm y 1.µ= e = 0. Los zoólogos están interesados en la distancia promedio que un cierto tipo de mamífero viaja desde su madriguera.032 cm con un nivel de confianza del 99% y con un error de 0.027 cm ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES CON DESVIACIONES POBLACIONALES DESCONOCIDAS Ejercicio 9.524 µ1 en ambos casos debe ser mayor. De una muestra de 159 niños del grupo 1 78 califican con más de 100 puntos. del número total observado 300 compraron los pastelillos.31% La demanda del producto fluctúa entre 62. SOLUCIÓN P= 71.31% que sería lo mínimo y 71.02% 62. Los agentes de la compañía observan a 450 compradores. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 14 . de una muestra de 250 niños del grupo 2 123 califican con más de 100 puntos.6 Oficiales escolares comparan el coeficiente intelectual entre niños de dos grupos. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la venta de la proporción de compradores que prefieren la marca de esta compañía.ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL Ejercicio 9. Construya un intervalo de confianza para la diferencia entre las dos proporciones del grupo 1 y 2 de los niños con califican con más de 100.5 Una compañía que fabrica pastelillo desea estimar la proporción de consumidores que prefieran su marca.02% que sería lo máximo. ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES POBLACIONALES Ejercicio 9. 0028 X1 − α / 2 2 X2 X 2α / 2 La estimación poblacional de la desviación esta entre 0.0.8% -10.065 y 0.87 -1. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 15 .089 0.08 -1.78% Se puede concluir que no hay un grupo mejor que el otro en ambos caso ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA O DESVIACIÓN POBLACIONAL Ejercicio 9.065 σ= Nc = 95% 0.02 .09 -1. (n − 1) S 2 X 2α / 2 σ2 = (n − 1) S 2 2 X1 − α / 2 S = 0.95% q2 = 50.04.SOLUCIÓN q1 = 50.0025. Determinar la estimación de la desviación poblacional.08% P1 – P2= 9.7 Dada la siguiente muestra 1. Utilizar el nivel de significación. al nivel del 5%.10. con una desviación estándar de 2400 Km.083 0 Zα Rechazamos la hipótesis de que µ es igual a 12000. que constituyen una muestra aleatoria. en promedio. Durante un año. docimar la hipótesis donde.1 Una encuesta revela que los 100 autos particulares. luego aceptamos que los autos se condujeron en un promedio superior durante ese año. frente a la alternativa de que el promedio sea superior. PRUEBA DE HIPÓTESIS Ejercicio 10.05 Zcalc = 2. se condujeron a un promedio de 12500 Km. los autos particulares se condujeron a 12000 Km durante un año. Con base en esta información. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA II 16 . SOLUCIÓN H0: µ = 12000 Ha: µ > 12000 n = 100 S = 2400 α = 0.