MECANICA II: EJERCICIOSUNIDAD 2 12.10 Un paquete de 40 kg. Se encuentra sobre un plano inclinado cuando se le aplica una fuerza P. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el paquete y el plano son: 0.30 y 0.25 respectivamente. Determine: la magnitud de P si se requieren 4 s para que el paquete recorra 10 m al ascender por el plano. ∑ F=ma → Tomando la dirección del movimiento como eje x. → ∑ Fx=ma Pcos 500−Wsen 200−f r=ma [ 1 ] ↑ ∑ Fy=0 N−Psen 500−Wcos 200 =0 [ 2 ] MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Si f r =μN De la ecuación [ 1 ] se tiene: f r=μN 0 0 Pcos 50 −Wsen 20 −μN=ma [ 3 ] Despejando N de la ecuación 0 [ 2] 0 N=Psen 50 +Wcos 20 Sustituimos N en la ecuación [ 3] Pcos 500−Wsen 200−μ [ Psen50 0+ Wcos200 ] =ma 0 0 0 0 Pcos 50 −μPsen 50 =ma+Wsen 20 + μWcos20 P ( cos 500−μsen 50 0) =ma+W (sen 200 + μcos 20 0) Despejando P de la ecuación: 0 P= 0 ma+W ( sen 20 + μcos 20 ) [4] ( cos 500−μsen 500 ) Siendo la aceleración la única incógnita, la calculamos utilizando las ecuaciones de movimiento: MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 a= dv ⟹ adt=dv dt Integramos con sus respectivos límites: t v ∫ adt =∫ dv ⟹ at=v−v 0 t=0 v0 v= Sustituimos at= dx dt dx dt e integramos atdt=dx Evaluando en sus respectivos limites: t x ∫ atdt=∫ dx t=0 x0 1 2 a t =x−x 0 2 Despejando la aceleración: a= 2 ( x−x 0 ) t 2 [ m/ s2 ] Sustituyendo valores: 02 =612. . determine a) el ángulo θ del peralte.25 2 2 ( 4) s Tomamos la ecuación [4] y considerando que a=0 y μ=0.01 N 0.) Si se sabe que un automóvil de carreras comienza a derrapar sobre la curva cuando viaja a una rapidez de 180 mi/h.46 =591.413 La fuerza que se requiere para que el bloque se mueva a una aceleración de 1.25 m/s 2 (considerando μ=0. b) el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la pista bajo las condiciones prevalecientes.91 N 0. (Vea en el problema resuelto 12. c) la rapidez mínima a la cual el mismo automóvil podría pasar la curva sin dificultades.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 a= 2 ( 10 ) m =1.30 ma+W ( sen 200 + μcos 200 ) P= (cos 500−μsen 500 ) Así la fuerza necesaria para iniciar el movimiento es: P= 244.25) es: ma+W ( sen 200 + μcos 200 ) P= (cos 500−μsen 500 ) P= 276.451 12.6 la definición de velocidad máxima.51 Una curva en una pista de carreras tiene un radio de 1000 ft y una rapidez máxima de 120 mi/h. La 2 componente normal an =v / ρ . la reacción R de la pista se presenta perpendicular al mismo.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 El automóvil se traslada en una trayectoria circular de radio ρ = 1000 ft. la masa del auto es W / g . Puesto que no se ejerce fuerza de fricción lateral sobre el auto. Aplicando la segunda ley de Newton: +↑ ∑ F y =0 R cos θ−W =0 [ 1 ] R= W [ 2] cosθ + ¿ ∑ F N =ma n → ¿ R senθ= W a [3 ] g n a) ángulo θ del peralte Considerando que 2 an =v / ρ : Sustituimos [2] en [3]: . 2 ft s2 ) θ=44. → ∑ Fx=ma →−F N +Wsenθ =ma .32 2 1000 ft s ( 177 ) b) coeficiente de fricción estática entre las llantas y la pista bajo las condiciones prevalecientes.210 an =v 2 / ρ ft 2 s m an = =31.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 2 ( )( ) W W senθ= cosθ g v ρ v 2=gρ tanθ θ Despejando v2 gρ θ=tan −1 θ=tan ( −1 177 ft s 2 ) ( ( 1000 ft ) 32. MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Con a=0 F N =Wsenθ Pero: μS =F N ↔ μ S=Wsenθ ↑ ∑ F y=0 N−Wcosθ=0 μS =Wcosθ Así que: μS = Wsenθ =tg θ Wcosθ μS =0.972 c) la rapidez mínima a la cual el mismo automóvil podría pasar la curva sin dificultades. . en este caso Movimiento normal y tangencial. → ∑ F N =m an R=F + N Sabiendo que R sen ( μ S−θ )=m y an = v2 ρ v2 [4] ρ ↑ ∑ F y =0 R cos ( μS −θ ) −W =0 R cos ( μS −θ ) −W =mg[5 ] De lo anterior deducimos por identidad trigonométrica: v2 R sen ( μs −θ ) m ρ = R cos ( μs−θ ) mg Y despejando la velocidad: .MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Iniciamos el análisis de movimiento y plateamos las ecuaciones del mismo. 86 ft s .MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 v min =√ gρtg ( μS −θ ) v min =80. MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 12. determine la velocidad del bloque después de que se ha movido 1. Si se ignoran las masas de las poleas y el efecto de fricción.5 Un bloque de 40 lb inicia su movimiento desde el reposo desplazándose hacia arriba cuando se aplican fuerzas constantes de 10 y 20 lb sobre las cuerdas que lo sostienen.5 ft Analizando por poleas se tiene: F=ma Por lo tanto a= f m . MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 2 322 lbft / s a= 40lb a=8.5 ft ) 2 s ft s 12.05 V =4. .5 La plomada de un péndulo de 2 m describe un arco de círculo en un plano vertical.05 ft / s ² a= dv dv =v= dt dy ady=vdv y v a=∫ dy=∫ vdv y0 0 1 a(Y −Y ₀)= V 2 2 V 2=2 a ( y− y 0 ) V =√ 2(8. determine la velocidad y la aceleración de la plomada en esa posición. Si la tensión de la cuerda de estos puntos es cinco veces el peso de la plomada en la posición que se indica.91 ft )(1. MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 DEL DCL SE TIENE QUE 2 ∑ F N =ma n an= v ρ T −mg cosθ=ma n Si T =5 mg 5 mg−mgcosθ=ma n mg (5−cos θ)=m an an =g (5−cos θ) ¿ 9.51 m 2 s .8 m (5−cos 30) 2 s an =40. 0 m )(2 m) s2 m s 12. La velocidad máxima .MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 2 an = v entonces ρ √ v =√ an ρ= (40.51 v =9.6 Determine la velocidad máxima de la curva de una autopista de radio ρ=400 ft que tiene un ángulo de peralte de θ =18 ° . +↑ ∑ F y =0 .MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 de la curva peraltada de una autopista es aquella a la cual un automóvil debe viajar para que no exista fuerza de rozamiento lateral en sus neumáticos. R cosθ−W =0 R= W [ 1] cosθ + ¿ ∑ F n=m an ← ¿ R senθ= W a [2 ] g n ( 1) Al sustituir R de en 2 ( )( ) W W senθ= cosθ g v ρ 2 v =gρ tg θ √( v = 32.2 ft ( 400 ft ) tg 180 2 s ) ( 2) y recordando que v2 an = ρ . a) ρ Determine el radio de curvatura del perfil vertical del camino en A.46 En el transcurso de una persecución a alta velocidad. b) . un automóvil deportivo de 2400lb que viajaba a una rapidez de 100 mi/h apenas pierde contacto con el camino cuando alcanza la cresta A de una colina.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 v =64.7 ft mi =44.1 s h 12. W pers =160 lb W 2 3100 lb auto v =50 mi/h =73. determine la fuerza que ejerce el asiento de un conductor de 160 lb que conduce un automóvil de 3100 lb. determine la fuerza que ejerce el asiento de un conductor de 160lb que conduce un automóvil de 3100lb.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 utilizando el valor de ρ . viajando a una rapidez constante de 50 mi/h. cuando este último. Datos: g=32. Que se encontró en el inciso anterior a). Que se encontró en el inciso anterior a). pasa por A.66 ft/s a) Determine el radio de curvatura ρ del perfil vertical del camino en A.2 ft /s 2 W 1 =2400lb auto v =100 mi/h =146. pasa por A. viajando a una rapidez constante de 50 mi/h. cuando este último.33 ft/s b) utilizando el valor de ρ . . MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Teniendo realizada las conversiones de la velocidad a pies por segundo. +↓ ∑ F n=ma n W pers 2 ∗v g W pers−N = ρ Despejando n se tiene: . por lo tanto. De acuerdo al diagrama de cuerpo libre.66 ft /s )2 =667. +↓ ∑ F n=ma n m= 2 W g a= y v ρ W1 ∗v 2 g = ρ auto ∴W 1 auto Despejando ρ en la ecuación anterior se tiene: g∗¿ W 1 ∗v2 v 2 ρ= =¿ g∗W 1 auto auto ρ= (146. se procede analizar con la ecuación de la segundo ley Newton.: Como la velocidad es constante. entonces se tiene que at =0 .81 m/s 2 Para el inciso b) se analiza el diagrama de cuerpo libre sig. solo se analizara la aceleración normal que ejerce el conductor.98 ft 9. 984 lb .2 ft / s2∗667.98 ft ) 1−¿ N =160 lb¿ N=119.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 W pers 2 ∗v g N=W pers− ρ 2 v N=W pers(1− ) g∗ρ 2 73.33 ft /s ¿ (¿ ¿ 32. 44. determine la tensión en la cuerda AB a) mientras el segundo niño sostiene el columpio con sus brazos extendidos de manera horizontal. . Un niño que tiene una masa de 22 kg se sienta sobre un columpio y un segundo niño lo mantiene en la posición mostrada.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 12. Si se desprecia la masa del columpio. b) inmediatamente después de soltar el columpio. 81 T AB = m =0 s2 215.82 =263.4 =131.7 N 2 b) Σ F=ma .MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Diagrama de cuerpo libre: a) Σ F y =0 ο T AB cos 35 −W =0 ο T AB cos 35 −22 kg x 9.4 cos 35ο La tensión se divide en dos cuerdas 263. 8 =88.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 El movimiento que hace el columpio es curvilíneo por lo tanto tenemos una aceleración normal y tangencial En t=0 .8=0 T¿ T BA= 176.39 N 2 . v =0 2 entonces an = v =0 ρ Hacemos una sumatoria de fuerzas normales Σ F n=0 BA−¿ wcos35 °=0 T¿ BA−¿ 176. m √ x +l −l 2 x +l ( 2 =ma x =a √ x 2 +l2 ) .K √ x +l −l x (√ ) k 2 2 .26 Un resorte AB de constante k se une a un soporte A y a un collarín de masa m. La longitud no alargada del resorte es l. Si se suelta el collarín desde el reposo en x = x0 y se desprecia la fricción entre el collarín y la varilla horizontal. Diagrama de cuerpo libre El movimiento del collarín es en el eje X por lo tanto hacemos el análisis de fuerzas en este eje ΣF=ma Σ F x =ma −F R cos θ=ma Donde: x √ x 2+l2 cos ¿ θ=¿ La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte sobre un cuerpo es proporcional a la deformación x del resorte a partir de la posición inicial x 0 F=Kx F=K √ x 2 +l 2−l 2 2 . determine la magnitud de la velocidad del collarín cuando pasa por el punto C.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 12. En t=0 . . determine la fuerza que ejerce sobre ella el asiento del jet cuando éste se encuentra en el punto B.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 k xl x− =a .49 Una piloto de 54 kg vuela un jet de entrenamiento en una media vuelta vertical de 1 200 m de radio de manera que la velocidad del jet disminuye a razón constante. v =0 Integramos v 0 ∫ vdv= −k ∫ m 0 x0 ( x− xl dx √ x 2+ l 2 [ ) ] 1 2 −k 1 2 v= x −l √ x2 +l 2 0 2 m 2 x0 [ ( 1 2 −k v= (−l 2 ) − 1 x 02−l √ x 02 +l2 2 m 2 v= √ )] k ( √ x 02 +l2−l ) m Problema 12. Si se sabe que los pesos aparentes de la piloto en los puntos A y C son respectivamente de 1 680 N y 350 N.m √ x2 +l2 ( ) Como tenemos a Sabemos que a=v la integramos para obtener la velocidad dv dx Usamos esta ecuación porque necesitamos conocer la velocidad y las ecuaciones anteriores están en función de la posición x y l x=x 0 . Ya que at =es constante de A a C . 2 +↑ Σ F n=m an : N A −W =m v → va ρ N A −mg v 2 n = m ρ m/¿ s 1680 N −9.81 ¿ 54 kg ¿ 2 m / ¿s 2 2 2 A v =( 1200 ) ¿ √( ρ NA −g m ) ¿ v A =159.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Dadom=54 kg . at =constate A +C : ( W A ¿ A =1680 N ( W c ¿c=350 N Finalmente ( F piloto) El peso aparente del piloto es igual a la fuerza vertical que ella ejerce sobre el asiento del avión de entrenamiento.87 m s . 82 m s A ¿ vC .81 ¿ 54 kg ¿ 2 m /¿s 2 v c =( 1200 m ) ¿ 2 2 N ( √ m −g) ρ v C =139.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 DCL A +↓ Σ F n=m an : N c +W =m v2 ρ N A −mg v 2 n = m ρ m/¿ s 350 N +9. 79730 2 Entonces desde A a B 2 2 v B=v A +2 at Δ S AB 2 2 ¿ 25561.79730 m/s )( v 2B=22555.79730 m/s = -0.7 2 =25561.3 m/s +2(−0. Ecuación de MUA.54 m2 /s 2 π x 1200 m) 2 m/ s 2 .3 2 m /s 2 + 2 at ( π∗1200 m ) 19549.3 m2 /s 2 2400 π at =¿ at =−0. Desde teniendo desde v 2c =v 2A +2 at Δ S AC A a C .7 m2 /s 2−25561.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 at =cte . ↔V 2 =V 20 +2 a( X −X 0 ) V 2=V 20 +2 a( ∆ S AC ) 2 m /s 1954. 69)2 F Piloto ¿ B=1126 N ¿ ( F PILOTO ¿ B=1126 N ∢ 25.6 0 .98)2+(486.98 N 1200 m +↓ Σ Ft =m at : w+ PB m|at| P=m at −w P=m( at−mg) PB =( 54 K g ) ( 0.69N ↑ F ¿ ¿ ¿ = √N 2 B + P2B = √(1014.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 +← Σ F n=m an : N B−W =m N B =5 4 Kg ( V 2B ρ 22555 m2 /s 2 ) = 1014.81 ) m/s 2 PB =486.79730−9. 3. Determine la magnitud de P si se requieren 10 s para que el paquete recorra 5 m hacia arriba por el plano inclinado. Un paquete de 20 kg se encuentra en reposo sobre un plano inclinado cuando se le aplica una fuerza P.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Problema 12. m=20 kg t=10 s .9. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el paquete y el plano inclinado son iguales a 0. 1−0.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 x=5 m Usando la ecuación de movimiento se determina la aceleración 1 x=x 0+ v 0 t+ a t 2 2 a= 5 (2) m =0.3 sen 50 .3 P= 124.22 N cos 50−0.3(184.1 2 2 10 s Haciendo sumatorias de fuerzas en xyy ∑ F y =0 N−wcos 20−P sen 50=0 N=mgcos 20+ P sen 50 [ 1 ] Fr =μk ∗N ∑ F x =ma P cos 50−w sen 20−μk N=ma [ 2 ] Despejando la ecuación 1 en 2 P cos 50−mg sen 20−μk (mg cos 20+ P sen 50)=ma Resolviendo para P P cos 50−67.3 ( P sen 50 )=2+67.36+ P sen 50)=2 P cos 50−0.4 =301.1+55. Si se desprecian las masas de las poleas y el efecto de fricción en éstas y se supone que los componentes de fricción entre el bloque A y la superficie horizontal son μ s=0.12 Los dos bloques que se muestran en la figura se encuentran originalmente en reposo. y μ k=0.25 tensión en el cable. determine a) la aceleración de cada bloque.20 .MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Problema 12. b) la . MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Determinando si los bloques se moverán donde primero suponemos que no se mueven por lo tanto: a A =a B=0 . 75 N 3 s ( ∑ F y=0 w A−N A =0 N A =m A g [ 3 ] ) [ 1 ] en [ 2 ] : .MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Haciendo sumatorias de fuerzas ∑ F y =0 w B−3 T =0 1 T = mB g [ 1 ] 3 ∑ F x =0 Fa −T =0 FrA −T =0 [ 2 ] Despejando FrA y sustituyendo la ecuación 1 m FrA = ( 25 kg ) 9.81 2 =81. 2∗m A g [ 5 ] ∑ F x =mA a A Para el bloque A Fr −T =m A a A [ 6 ] Despejando T y sustituyendo la ecuación [ 5 ] en [ 6 ] : T =0.81 F A > Frmax m =73.25∗30 kg∗9.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 Frmax =μs A∗N A [ 4 ] Frmax =μsA∗m A g [ 3 ] en [ 4 ] Despejando ecuación Frmax =0. entonces haciendo sumatorias de fuerzas ∑ F y =0 Para el bloque A w A−N A =0 N A =m A g Fr =μkA∗N A Fr =0.575 N s2 Esto implica que el bloque se moverá Entonces se utilizara el coeficiente de fricción dinámico para resolverlo.2∗m A g−3 mA aB [ 7 ] ∑ F y =mB a B Para el bloque B w B−3 T =m B aB [ 8 ] Sustituyendo la ecuación [ 7 ] en [ 8 ] y resolviendo para aB . 2∗m A g−T = mA mA a A =¿ 0.2327 2 ) 2 s s T =79.81 m m )+(3∗30 kg∗0.67 m =0.58−270 aB =25 a B a B= −68.2327 2 −295 s Despejando para T T =(0.MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 mB g−3 (0.25−176.803 s2 .698 30 kg m s2 m )−79.81 aA= a A =−0.803 N Despejando para aA Fr −T =m A a A F (¿¿ r−T ) 0.2∗m A g+3 m A a B )=mB a B 245.2∗30 kg∗9.2∗(30 kg)(9. .MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 . MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2 .