EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN

EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN DERIVADAS Producción y productividad 1. Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fábrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8.00 a.m. habrá ensamblado radio transistores x horas después. ¿En que momento de la mañana esta actuando el trabajador con máxima eficacia? Cantidad de radios producida por hora= Para hallar el momento en que es mas eficiente, encontraremos en que hora el trabajador alcanza su mayor nivel de producción, para ello derivaremos la función de producción e igualaremos la primera derivada a cero, mientras que para demostrar que realmente es la máxima producción calcularemos la segunda derivara, la cual debe ser negativa para demostrar el máximo nivel de producción. t no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar en unidades negativas Ahora comprobaremos que es la máxima productividad.. y como 2. Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dólares cada una y, a este precio, los consumidores han estado comprando 6,000 bombillas por mes. El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento en el precio se venderán 1,000 bombillas menos cada mes. El fabricante puede producir las bombillas a un coste de 4 dólares por bombilla. ¿A qué precio debería vender el fabricante las bombillas para generar al mayor beneficio posible? P1=6 Q1=6000 P2=6+x Q2=6000-1000x C = 4x Ahora estableceremos la función beneficio la cual la derivaremos para poder calcular el máximo beneficio y si la 2da derivada es negativa comprobaremos lo dicho. y Entonces diremos que el fabricante para obtener más beneficios lo que debe hacer es reducir el precio en 0.002 hasta 5.998 3. Un cultivador de agrios de Tambogrande estima que si se plantan 60 naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total? Árboles de naranja= AN1= 60 AN2 = 60 + x Producción media= PM1 = 400 PM2 = 400 – 4x Producción total = PT = (60 + x)( 400 – 4x) PT = 2400 + 160x – 4x2 Para maximizar PT PN = 60 + x = 60 + 20 = 80 Oferta y demanda 4. Las funciones de oferta y demanda de un cierto articulo son S(p)=4p + 200 y D(p)= -3p +480, respectivamente. Halle el punto de equilibrio y el correspondiente número de unidades ofertadas y demandadas, y dibuje las curvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes. S(p)=4p + 200 D(p)= -3p +480 En punto de equilibrio: S(p) = D(p) 4p + 200 = -3p +480 280 p = 40 S(40)=4(40) + 200=360 D(40)= -3(40) +480=360 7p = 5. Suponga que las funciones de oferta y demanda de un cierto artículo son S(p) = ap + b y D(p) = cp + d, respectivamente. a) ¿Qué puede decir sobre los signos de los coeficientes a, b, c y d si las curvas de oferta y demanda están orientadas como muestra el siguiente diagrama? Si S(p) = ap + b tiene el comportamiento de una oferta y considerando que en el eje de las ordenadas se encuentra q y en el de las abcisas p, concluimos que: a>0 y b<0 c y d. Si d) Use su respuesta de la parte b) para determinar qué le sucede al precio de equilibrio cuando d crece. a) Dibuje esta función de demanda.000 unidades por mes cuando el precio de mercado es de p dólares por unidad. 21. . b. En equilibrio S(p) = D(p) ap+b=cp+ d c) Use su respuesta de la parte b) para determinar que le sucede al precio de equilibrio cuando a crece. La demanda de consumo para un cierto artículo es D(p) = -200p + 12.D(p) = cp + d tiene el comportamiento de una demanda. Si 6. tenemos que: c<0 y d>0 Mientras que b) Exprese el precio de equilibrio en términos de los coeficientes a. e) Use el gráfico de la parte c) para estimar el precio de mercado que genera el mayor gasto de consumo. y el precio de la gasolina permanece constante durante el viaje.) GT = p (-200p + 12000) GT = . . La cantidad de gasolina gastada es directamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camión.b) Exprese el gasto total mensual de los consumidores para el artículo como una función de p. Para determinar con que precio se obtendrá el mayor gasto tendremos que derivar el gasto.200p2 +12000p c) Dibuje la función gasto total mensual. Así también se demuestra en el grafico de c Costos 7. (El gasto total mensual es la cantidad total de dinero gastado por los consumidores cada mes en el artículo. El salario del conductor ha sido fijado por horas y así es inversamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camión. Demostrar que el coste total es menor a la velocidad para la cual el salario del conductor es igual al coste de la gasolina usada. Un camión está alquilado para transportar mercancías desde una fábrica a un almacén. el salario del conductor es igual al coste de la gasolina usada. entonces = kv . ¿Para qué valor de q es menor el coste medio? c.G . Es decir que >0. cuando la velocidad minimiza el costo.G = + kv = cantidad de gasolina coste de la Se pide demostrar que cuando el coste total es menor. Exprese el coste medio de fabricación por unidad como una función de q. 8.Si: salario del conductor : gastada: G=kv Precio de gasolina = gasolina usada: CT = + . a. Primero hallamos el costo marginal Ahora igualamos el Cme y el Cmg . Cme = b. así: = kv pero también lo podemos expresar Con esto queda demostrado. Suponga que el coste total (en dólares) de fabricación de q unidades viene dado por la función C (q) = 3q2 + q + 48. ¿Para qué valor de q es igual el coste medio al coste marginal? Compare este valor con su respuesta de la parte b). ¿Puede construirse la caja por menos de 300 dólares? V = a2b = 250 ab=250/a CT = costo de base + costo de lados . coste marginal y coste medio.Podemos deducir que el valor obtenido es del mismo valor que en la pregunta b). En el mismo conjunto de ejes represente las funciones de coste total. d. con lo cual se puede deducir que el punto en el que se intercepta el costo marginal con el costo medio es justo cuando el costo medio esta en su mínimo. 9. El material para el suelo y la tapa de la caja cuesta 2 dólares por metro cuadrado y el material para los lados cuesta un dólar por metro cuadrado. Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250 metros cúbicos. La primera derivada es C' = s . Costo total es entonces = sx + (qp)/(nx) donde la variable independiente es x. El costo de puesta en marcha de es = sx.2 (2xa2) + s/. Cada una de las máquinas de la empresa puede producir n unidades por hora. Una empresa de artículos electrónicos utiliza 600 cajas de transistores cada año. SOLUCIÓN C total = Costo de puesta en marcha + Costo de operación.000/x.1(4xab) CT= 4a2+2x = 4a2 + 10. Nótese que q artículos a n artículos por hora resulta (q art.45) = 200 cajas .00 por pedido.90)= .45x El costo total es C = .45 . También x = número de máquinas. Una empresa manufacturera recibe un pedido de q unidades de cierto artículo. El costo de puesta en marcha es s dólares por máquina y el costo de operación es p dólares por hora. El costo de almacenamiento = (x/2)(. a) Obtenga una fórmula para hallar el número de máquinas que deben emplearse para mantenerse costo total lo más bajo posible.(qp)/(nx²) = 0 qp/nx² = s qp/nx = sx es decir que el costo de operación = costo de puesta en marcha 11.45x² = 1800 x = sqr(18000/./h) = q/n horas y en p horas qp/n por lo que el costo de operación es =qp/nx.(1800/x²) = 0 . ¿Cuántas cajas debe solicitar la empresa en cada envío para mantener el costo total en un mínimo? SOLUCIÓN En 600 cajas a x cajas por pedido el número de pedidos es = 600/x. Además el costo de operación = k/x. Costo de solicitud a $30 cada uno = (30)(600)/x = 18. b) Demuestre que el costo total es mínimo cuando el costo de puesta en marcha de las máquinas sea igual al costo de operación de éstas. Su derivada es C = . El costo de almacenamiento de una caja durante un año es 90 centavos. y los gastos de envío son $30.CT= s/.45x + (1800/x).) / (n art. Probaremos que este valor hace un mínimo en C: La segunda derivada es C'' = 36.000 /x) + . en dólares. espaciados.000/x Costo de puesta en marcha = 100 (16. los costos de producción son 6 centavos por mapa y los costos de almacenamiento son 20 centavos por mapa al año.1x Costo total C = 960 + (1'600. de manera que cada uno llega justo cuando el anterior se ha agotado.1x La derivada es C' = 0 .000 / .(1'600. 12.000/x³ y si hacemos x=200.1 = 0 1'600.1 x = sqr (1'600. SOLUCIÓN DE LA a) Rm = -2q +68 .000 mapas a x mapas por jornada.06) (16.00 Costo de almacenamiento = (x/2)(. Revisaremos si el ingreso medio es creciente y decreciente en un intervalo donde q>8 y donde q<8 . Los mapas se distribuyen a un ritmo uniforme durante el año y se imprimen en lotes iguales. Además.000/x Costo de producción = (.000/x²) + . una compañía petrolera distribuye 16. de fabricar q unidades de cierto artículo es R(q) = -2q²+68q-128 a) ¿En qué nivel de ventas el ingreso medio por unidad es igual al ingreso marginal? b) Verifique que el ingreso medio sea creciente si el nivel de ventas es inferior al nivel del literal a) y decreciente si el nivel de ventas es superior al del literal a).000/x) = 1'600. El costo de poner en marcha una impresora para editar los mapas es $100.000) = $ 960.(128/q) y además R'= -4q+68 -2q +68 -128/q = -4q +68 .000 mapas de carreteras cada año. resulta un número de jornadas = 16.000 mapas 13. resulta C'' >0 que es la condición necesaria y suficiente para hacer un mínimo. ¿Cuántos mapas debe imprimir la compañía petrolera en cada lote para minimizar el costo? SOLUCIÓN 16.00 por cada jornada de producción.000 /x² = .20) = . Por medio de sus estaciones autorizadas.1) x = 4. Suponga que el costo total. Esto se resuelve valorando la primera derivada del ingreso medio (Rm). 1)(200)] = -20/40 = .0. Suponga que la ecuación de demanda de cierto artículo es q=60-0. digamos 7 R'm = -2 + 128/49 = cifra positiva. c) ¿A qué precio la elasticidad de la demanda es igual a -1? Si q=60-0. 14. Suponga que la ecuación de demanda de cierto artículo es q=a/pm.p amp-m-1) / (ap-m) = -p1-m-1+m a1-1 m = -m p° a° = m (1) (1) = -m elasticidad = -m.. digamos 9 R'm (9) = -2 + 128/81 = -2 + 1. donde a y m son constantes positivas. donde p no tiene restricciones.(.1 SOLUCIÓN a) elasticidad = (p/q) (dq/dp) = p(-0. q² = 64 q=8 SOLUCIÓN DE LA b) Rm = -2q + 68 -128/q R'm = -2 + 128 / q² = 0 Probemos para q> 8.1p) b) Cuando p= 200.1p / (60 -. el costo total de fabricación es de C( q ) = 3 q3 + 5 q + 75 dólares . SOLUCIÓN Usemos q=ap-m cuya derivada sería dq/dp=-amp-m-1.1p .1p) -60 + . dq/dp = -0. Cuando se producen q unidades de un cierto articulo.1p donde p se halla en el intervalo cerrado-cerrado [0.1p = -.1p/(60-0. Probemos para q<8. 16.128 /q = 0 2q² = 128. Demuestre que la elasticidad de la demanda es igual a (-m) para todos los valores de p.1p .1 (200)] / [(60. elasticidad = [-0.5% c) La elasticidad es -1 cuando -1 = -0. b) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es p=200 y explique la respuesta.a) Exprese la elasticidad de la demanda como una función de p.1p) = -0. por lo tanto Rm es creciente.58 = cifra negativa. p = $300 15.1)/(60-0.2p = 60 . Así la elasticidad = (p/q) (dq/dp) = (p/ap-m) (-amp-m-1) elasticidad = (.2q .600]. por lo tanto Rm es decreciente. y después el precio cae en dos centavos por bushel por día.02 X2 = 160 –+0. El primero de julio un labrador tien 80 busheles de patatas en el campo y estima que la producción esta creciendo a un ritmo de un bushel por día.04 X .¿ A que nivel de producción será menor el coste medio por unidad. Los labradores pueden obtener dos dólares por bushel de patatas el primero de julio. = → X = 10 → 0.02 X ) ( 80 +X ) I T = 160 + 2X – 1.02 X X = días transcurridos producción = Q = 80 +X Ingreso total = IT = ( 2 – 0.4 = 0.? Costo medio = costo total Q A ( q ) = C( q ) = 3 q3 + 5 q + 75 = 3q +5 + 75 q q q El costo medio por unidad mínimo cuando se producen 5 unidades. 17.02 X2 Para encontrar el maximo ingreso debemos derivar el ingreso total.6 X – 0.4 X – 0. ¿Cuando debería recoger el labrador las patatas para maximizar los ingresos? Ingreso = 80*2 dólares el primeo de julio Precio = P = 2 – 0. El coste de puesta a punto de las maquinas para producir las tablas es de 20dolares por maquina. Una vez puestas a punto las maquinas. Una firma de plásticos ha recibido un pedido del departamento de recreo de la ciudad para fabricar 8000 tablas de polietileno para su programa de natación de verano. La firma posee diez máquinas. Para comprobar que son los máximos beneficios hallamos la segunda derivada que debe ser negativa.8 X → y= .8 * hora Numero de horas = X numero de maquinas = Y 30 * Y * X = 8000 CT = 20 Y + 4. 18. cada una de las cuales puede producir 30tablas por hora. la operación es totalmente automática y puede ser supervisada por un supervisor de producción que gana 4.Deberán de pasar 10 días desde el primero de julio para que alcance los máximos beneficios es decir deberá recoger las patatas el 11 de julio.80 dólares por hora a) ¿Cuantas maquinas deberían usarse para minimizar el coste de producción? b) ¿Cuanto ganara el supervisor durante la marcha las maquinarias si se usa el numero optimo de maquinas? c) ¿Cuanto costara poner a punto el número óptimo de maquinarias? Solución Total de tablas a fabricar = 8000 Total de maquinas = 10 Producción de cada maquina por hora = 30 Costo de puesta a punto = 20 * maquina Costo del supervisor = 4. esto es 20 * 8 .4 X2 → X = 33.3 en Y . c) El coste de poner a punto las maquinas es de 20dolares por maquina.30 por botella? Costo Total = costo por botella + gastos del pedido + costo de almacenaje X = numero de botellas por pedido Numero de pedidos = . El bourbon cuesta 4 dólares por botella. lo cual da como resultado 160 dólares.8 por hora esto es 4. los gastos del pedido son de 10 dólares por cargamento y el costo de almacenaje del bourbon es de 40 centavos por botella cada año.3 Reemplazando X = 33. El bourbon se consume a un ritmo constante a lo largo del año y cada cargamento llega justo cuando el cargamento anterior ha sido gastado.8 * 33.8 X Para obtener el mínimo costo derivamos el costo total e igualamos a cero. 16000= 14.3 . se obtiene Y = 8 Entonces se concluye que a) se deberían usar 8 maquinas para poder minimizar el coste b) lo que ganara el supervisor es 4. lo que resulta 160 dólares por todas las maquinas 19.CT = 20 * + 4. Una taberna local espera gastar 800 botellas de bourbon este año. a) ¿Cuántas botellas debe pedir el tabernero en cada cargamento para minimizar el coste? b) ¿Con que frecuencia debe pedir el bourbon? c) ¿Cómo cambian las respuestas a las partes a) y b) si el coste del bourbon aumenta a 4. entonces reemplazamos. La cantidad de gasolina gastada es directamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camión. Sea P: precio de la gasolina (cste) conducidas G: nº de galones consumidos Salario del conductor por horas: Cantidad d gasolina gastada: Coste total = salario + gasolina S = k1 V G = k2 * v X: nº de horas . 20. y el precio de la gasolina permanece constante durante el viaje.Promedio de almacenaje = almacenaje = costo de CT = 4 ( 800 ) + + → Respuestas: X2 = → X = 200 a) como x era el número de botellas por pedido. Demostrar que el coste total es menor a la velocidad para la cual el salario del conductor es igual al coste de la gasolina usada. Un camión esta alquilado para transportar mercancías desde una fabrica a un almacén. El salario del conductor ha sido fijado por horas y es así inversamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camión. b) Se sabe que el numero de pedidos viene dado por . Y tenemos que el numero de pedidos debe ser 4 c) Simplemente no varían. ya que al momento de derivar el aumento del precio no afecta a ninguna variable. entonces concluimos que debe de pedir 200 botellas para obtener el mínimo costo. Los gastos de pedido son de 20 dólares por cargamento.C = X*S+P*G Se pide demostrar: X* = 0 = → = → C = X* = P * k2 * v + P * k2 * v que es lo que se quería demostrar >0 → mínimo costo 21.48 X 2 * número de cargamentos = coste del pedido por cargamento . el coste de almacenaje es de 96 centavos por llanta y por año y cada llanta cuesta 25 centavos.96 ) = 0. Suponga que las llantas se usan a un ritmo constante a lo largo del año y que cada cargamento llega justo cuando el cargamento precedente ha sido terminado. Un fabricante de bicicletas compra 6000 llantas al año a un distribuidor y esta tratando de decidir la frecuencia de sus pedidos. ¿Cuantas llantas debería pedir cada vez el fabricante para minimizar el coste? Coste = Coste de total Almacenaje + coste de pedidos + coste de las llantas X = nº de llantas por cargamento C( X ) = coste total Coste de Almacenaje Coste de = Almacenaje Coste total del pedido = X ( coste de almacenar una llanta un año ) 2 X ( 0. se tiene x= 245/6 = x= $41. Si cada monopatín tiene un costo de US$25 para el almacén. 23.3 (x-40)] Costos = 25 [50 . a este precio.Coste del pedido Coste de las llantas Coste de las llantas = coste por llanta = numero total * de pedidos = 6000 ( 0. de donde al despejar x. ha vendido 200 ejemplares por mes. El propietario del almacén desea aumentar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio se venderán 3 monopatines menos cada mes. Un almacén vende monopatines al precio de US$40 por unidad. A este precio las personas han comprado 50 monopatines al mes. La librería ofrece el libro a un precio de US$15 por ejemplar y. Cantidad de venta mensual = 50 .3 (x-40)] Utilidad = (x-25) [50-3(x-40)= U = -3x2 + 245x + 450 y su derivavada es: U` = -6x+245 = 0.25 ) = 1500 C(X) = → X = 500 0. Una librería puede obtener del editor determinado libro a un costo de US$3 por unidad. ¿a qué precio debería vender los monopatines para maximizar las utilidades? SOLUCION Se pide maximizar las utilidades. el fabricante debe pedir las llantas en lotes de 500 22.48 = Para minimizar el coste.00 que debe ser el precio de venta de los monopatines. Utilidad es igual a ingresos menos costos.40) Ingresos = x [ 50 .3(x . por lo que diseñaremos la ecuación que define las utilidades. La librería . SOLUCION .00 de manera que: La cantidad total de ventas es: 50 + 10 (10-x) La Utilidad U = (x-5) [50 + 10 (10-x)] = (x-5) (50 + 100 . Cifras ofrecidas por el libro: Costo $3. Precio de Venta $x.00 cada una. ¿A qué precio debería vender el almacén para maximizar la utilidad total mensual? SOLUCIÓN Se pide maximizar las utilidades. un Precio de Venta actual de $10 y un precio de venta desconocido x. de donde x = (28/2) = x = $14. Un cultivador de fritas cítricas de Florida estima que si plantan 60 naranjos la producción media por árbol será 400 naranjas. Un almacén de estampas de béisbol puede obtener las del novato Mel Schlabotnik un costo de $5.00 24.00 cada una y. Para el almacén se tiene un costo unitario de $5. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total?. El almacén planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada 50 centavos de reducción en el precio se venderán 5 estampas más cada mes. El almacén ofrece las estampas a $10.10 x] = -10x² +200x-750. la cual disminuirá en 4 naranjas por árbol si se planta un árbol adicional en la misma área. U = [200+20(15-x)][x-3] = (200+300-20x)(x-3) = U = 20 (-x2 +28x-75). utilidad = x3 UITLIDAD TOTAL = [UTILIDAD POR LIBRO] * [CANTIDAD DE LIBROS VENDIDOS]. que define la función de la utilidad y cuya derivada es: U´ = 20 (-2x+28) = 0. ¿A qué precio debería la librería vender el libro para generar la máxima utilidad posible? SOLUCIÓN Se pide maximizar las utilidades. a este precio.00 25.planea bajar el precio para estimular las ventas y calcula que por cada reducción de UN $1 en el precio se venderán 20 libros más cada mes. Decir 5 estampas por 50 centavos es lo mismo que 10 estampas por $1. Al derivarla se obtiene U´ = -20x + 200 = 0. ha vendido 50 por mes. de donde se despeja x = 200/20 = x= $10. de manera que el total es 60+20 = 80 árboles se deben plantar.00 . la operación es totalmente automatizada y puede ser vigilada por un solo supervisor de producción que gana US$4.280.80 por hora.00 b) ¿Cuánto costará poner en marcha el número óptimo de máquinas? 20x = 20(8) = $160. Los árboles en total son 60 más los que se añadan. = 60 + x.Lo que se pide es maximizar la Producción.000 tablas de plástico para su programa veraniego de natación. o sea 400 . es decir.(1280/x²) = 0 1280/x² = 20 x²=128/2 x = sqr(64) = 8 máquinas a) ¿Cuánto ganará el supervisor durante la jornada de producción si se utiliza el número óptimo de máquinas? Si x= 8.(4)(20) = 320 naranjas con lo que se tendrán un máximo de (80 árboles) por (320 naranjas). Costo óptimo = 1280/x = $160. La empresa posee 10 máquinas. da: P'= -8x + 160 = 0. es decir. cada una de las cuales puede producir 30 tablas por hora.4x. 26.80 dan $1.000 tablas / 30 tablas por hora = 266. de donde al despejar x. Una empresa de plásticos ha recibido un pedido del departamento de recreación de la ciudad para fabricar 8. Cada árbol produce 400 menos 4 por árbol añadido. Cada árbol dará 400 . El costo de operación es 1280/x. 25600 naranjas como producción máxima. Horas = 8. que al derivar para maximizar. ¿Cuántas máquinas deberían emplearse para minimizar el costo de producción? SOLUCIÓN El costo de la puesta en marcha es 20x.66 horas que a $4.00 CT = 20x + 1280/x y su derivada es CT' = 20 . se tiene x = 160/8 = 20 árboles encima de 60. Una vez puestas en marcha las máquinas. El costo de puesta en marcha de las máquinas para producir las tablas es US$20 por máquina. por lo que hallaremos la ecuación que describe la producción P. = 400 4x La producción total P = [PRODUCCION POR ARBOL]*[TOTAL DE ARBOLES]= P = (400-4X) * ( 60 + X ) = -4X2 + 160x +2400. 27. inelástica y de elasticidad unitaria con respecto del precio. b) Utilice los resultados del literal a) para describir el comportamiento del ingreso total como una función del precio. Suponga que la demanda q y el precio p de cierto articulo están relacionadas por la ecuación: q = 300 – p2 ( para ) a) Determine donde la demanda es elástica. Solución a)La elasticidad de la demanda es La demanda es de elasticidad unitaria cuando . esto es este es el . es decir esta en el intervalo y una fracción decreciente de p cuando la demanda es elástica. cuando Del cual solo p = 10 esta en el intervalo pertinente . . c) Halle la función del ingreso en forma explicita y emplee la primera derivada para determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y el precio al cual se maximiza el ingreso. si Y por consiguiente la demanda es inelástica Si Y por consiguiente la demanda es elástica. b) el ingreso total es la función creciente de p cuando la demanda es inelástica. es decir. Curva de ingreso R(p) R(p) = p ( 300 – p2) 10 p C) la función de ingreso es r = p q  Su derivada es R´(p) = 300 – 3p2 = 3 ( 10.intervalo . la función del ingreso tiene un máximo relativo. Al precio de p = 10 de elasticidad unitaria.p ) ( 10 + p ) R(p) = p ( 300 – p2) = 300p – p3 . R(p) deja de ser creciente y comienza a ser decreciente y por consiguiente tiene un máximo realtivo. del cual solo p = 10 esta en el intervalo . Curva de demanda q 300 Q = 300 – p2 . En el valor critico p=10 . R´( p) es positiva y por lo tanto R(p) es En el intervalo . . 10. R´( p) es negativa y por lo tanto R ( p ) es decreciente.Que es cero cuando p = pertinente En el intervalo creciente. si el dinero se dispensa continuamente a lo largo del año y el tipo de interés anual predominante permanece fijo al 12 por 100 compuestos continuamente.10 p INTEGRALES 28. Una inversión producirá 2400 dólares al año a perpetuidad. ¿Cuál es el valor actual de la inversión? . Si el tipo de interés que prevalece permanece fijo a un 8 por 100 anual compuesto continuamente. Use una integral definida para estimar el valor actual de una anualidad que paga 100 dólares por mes en los próximos 2 años. Suponiendo que el tipo de interés anual predominante permanece fijo al 14 por 100compuesto continuamente. 29. Un donante quiere hacer una donación a un colegio público de la cual puede retirar el colegio 7000 dólares al año a perpetuidad para soportar el funcionamiento de su centro de cálculo. Valor actual de la anualidad = 30.A = V.Valor actual de la inversión= 2400 V.A = 0 +20000 = 20000 = El valor actual de la inversión será de 20000 dólares con una tasa de interés de 12% .A = = V. ¿Cuanto debería dar el donante al colegio? Esto es ¿Cuál es el valor actual de la donación? . 31.2 x2 + 60 = 0.1 x2 + x + 40.2 x2 + 60 la demanda del mercado y g ( x) = 0.1 x2 + x + 40 3 x2 + 10 x – 400 = 0 y x 2 = .2 x2 + 60.1 x2 + x + 40 la oferta de mercado f ( x) = g ( x) en equilibrio se cumple que → -0. determine el excedente de los consumidores y de los productores.33 y P= 60 0.13. Si el precio de mercado se establece como el precio de equilibrio. La cantidad demandada K (en unidades de centena) de las cámaras miniatura MIKADO cada semana se relaciona con el precio unitario y ( en dólares ) como Y = f ( x) = -0. Sea f ( x) = -0. por otro lado la cantidad x ( en unidades de centena ) que el proveedor esta dispuesto a poner a la venta se relaciona con el unitario y en ( dólares ) de la forma Y = g ( x) = 0.3 x2 + x – 40 = 0 → x1 = 10 → en equilibrio x = 10 . Excedentes del consumidor y el productor P oferta E 60 demanda . 600 = 133.10 Q Excedente del consumidor = E.6 + 800 ) – 600 EC = 733.3 .3 excedente del consumidor Excedente del productor = EP = .C = EC = EC = ( -66. Si los ingresos se generan a perpetuidad y el anual de intereses predominante permanece fijo a un 10 por 100 compuestos continuamente. Se estima que dentro de t años una cierta inversión que generara ingresos a un ritmo de f( t ) = 8000 + 400 t dólares por año.A = V.3 = 116.A = .1 t V.A = partes por V. Halle el valor actual de la inversión.A = V. Solución: Si los ingresos son: f( t ) = 8000 + 400 t Valor actual: ( 8000 + 400 t ) e-0.483.EP = EP = EP = 600 .6 excedente del productor 32. 046 Cuando una empresa genera un flujo de ingresos durante cierto periodo (por ejemplo.15) I T = 6 465 453.A = V. Un fabricante de bicicletas espera que dentro de x meses los consumidores estaran comprando 3000 bicicletas por mes a un precio de P ( x) = dólares por bicicleta ¿ cual es el ingreso que el fabricante puede esperar de la venta de bicicletas en los próximos 24 meses? Qconsumidores = 3000 Ingreso total = I T = Qc* P(x) I T = 3000* IT = precio : P ( x) = IT = IT= I T = 3000 ( 1920 + 235.A = -80000( 0 – 1 ) + 400 ( 0 – (-100)) 80000 + 40000 = 120000 33. El flujo de ingresos acumulados futuros durante periodo de cinco años es la cantidad de dinero que obtiene la empresa al fin de ese periodo.A = V. un plazo de 5 años) al obtener los ingresos estos se vuelven a invertir y ganan intereses con una tasa fija.A = V. La .V. .Tn.T] es: A = R(t1)er(T-T1)t+R (t2)er(t-t2) T T…T R(Tn)er(T-Tn) t A = er(T) [R(t1)e-rt1 t1+R(t2)e-rt2 t+ . calculando como si se ganase en el instante T1 es: A1=[R(t1)t]e=r(T-t1). R (t) = Tasa de generación de ingresos en cualquier momento r = Tasa de Interés compuestas en forma Conti nua Plazo tn = T T 0 t1 t2 t3 . de un ingreso R (t) dólares por años que gana intereses a razón de r por año: A= .t] se divide en n intervalos con la misma longitud t = t/n además tn = t como se muestra en la figura 1.. T2. Cuando n tiene al infinito se obtiene el valor futuro total después de un periodo de T años.1 El intervalo de tiempo [o..t2] que obtiene una valor futuro dentro de T años.. Si: t. dentro de T años.1 Si R es la función continua en el intervalo [o..t] entonces R(t) no será muy distinta de R (t1) en el intervalo [o.t1] es aproximadamente: A1 = R (t1) t dólares El valor futuro de esta cantidad..integral de finida se utiliza para calcular el flujo de ingresos futuros totales o acumulados durante cierto tiempo. = tn-1 Figura 1.t1] siempre que éste sea pequeño. t R(tn)e-rtn t] La suma anterior es la suma Rieman de la función ert R(t)e-n en el intervalo [o.t] que esta dividido en T1.. Debido a esto el ingreso generado durante el intervalo [o.. Los mismos ocurre con los ingresos durante el intervalo [t1. de [R(t2)t]er(T-T2) dólares Es por ello que la suma de todos los valores futuros generados durante el periodo [O. 10(T) A= eo.34.000 de ingreso por año durante los próximos años. SOLUCIÓN: R(t) = 80. determinar el valor total acumulado de este flujo de ingresos al cabo de cinco años.200 por año. Si los ingresos se reinvierten y texano genera intereses a razón de 10% por año compuestos en forma continua. es necesario dividir el intervalo de tiempo de 2 años 0  t  en n subintervalor iguales de longitud nt años SOLUCIÓN 2-tj años .10 T =5 A = e0.000 R = 0. Recientemente Texano compró una máquina automática para el lavado de autos que se espera que genere $80. El dinero se transfiere continuamente a una cuenta a razón constante de US$ 1. La cuenta gana intereses a razón anual de 8% capitalizado continuamente ¿Cuánto habrá en la cuenta al cabo de 2 años? Para aproximar el valor futuro del flujo de ingresos.000 El valor futuro de la inversión en cinco años será 518 977 35.T.80. permanecería en la cuenta por 2-tj años y todo crecería a (1200 nt) e0.66 dólares Es otra forma de calcular el valor de un flujo de ingresos es considerar su valor presente.08(2-tj) dólares Valor Futuro del flujo de ingresos = Al cabo de 2 años habrá en la cuenta 2602.1. El valor actual de un flujo de ingresos generado continuamente a cierta tasa durante un periodo específico es la cantidad de dinero que debe depositarse hoy en día a la tasa de interés predominante para generar el mismo flujo de ingresos durante el mismo periodo. Un exitoso empresario textil esta considerando dos planes alternativos para mejorar su producto. 36. El plan A requiere de un . nt 0 2 t t1 tj tj+1 Dinero depositado = (dólares al año) (numero de años) = 1200 An *** se depositará todo el dinero al comienzo del intervalo en el tiempo tj.200nt 08(2-tj) 1200e0. 000 dólares Durante los próximos tres años. mientras que el plan B necesitará un desembolso inmediato de $280.000 r = 0. se ha estimado que la adopción del plan A significaría un flujo neto de ingresos generados a razón de: Y para el plan B representaría un flujo neto de ingresos a razón de: g(t)=680.000 dólares R (t) = 730. Si la tasa de interés durante los próximos 5 años fuese de 10% por año ¿Cual plan que más le más le conviene al empresario? I) Plan A requiere 350.1 t = 3 años Plan B: requiere 280.000 dólares R(t)=680.1 t = 3 años Pv = Respuesta: El Plan A es el plan que más le resulta al empresario .desembolso inmediato de $ 350.000.000 r = 0.000. 000 + 490t dólares al año. Suponga que se espera que una inversión genere ingresos a razón de: R (t) = 200.08 t = 5 años El valor presente de la inversión será 824 200 38. ¿Cuál es el valor presente de la franquicia? Para aproximar el valor presente de la franquicia es necesario dividir el intervalo de 5 años o  t  5 en n subintervalos iguales de longitud nt años. Encuentra el valor presente de una inversión si la tasa interés predeciente es de 8% por año compuesta en forma continua. La experiencia anterior en sitios semejantes indica que dentro de y años la franquicia generará una utilidad a razón de f(t)= 14. La gerencia de una cadena nacional de heladerías esta vendiendo una franquicia de 5 años para operar un nuevo punto de venta en Sullana – Piura. 7% capitalizado continuamente. SOLUCIÓN: r = 0.37.000 por año Durante los próximos cinco años. . Si la tasa de interés anual predominante permanece fija durante los próximos 5 años. Si el precio de mercado se establece como el precio de equilibrio.SOLUCIÓN: Tj años 0 nt 5 t t1 tj tj+1 El valor actual de la franquicia es 63.929.1 x2 + x + 40 la oferta de mercado .2 x2 + 60. Sea f ( x) = -0. por otro lado la cantidad x ( en unidades de centena ) que el proveedor esta dispuesto a poner a la venta se relaciona con el unitario y en ( dólares ) de la forma Y = g ( x) = 0.1 x2 + x + 40. La cantidad demandada K ( en unidades de centena ) de las cámaras miniatura MIKADO cada semana se relaciona con el precio unitario y ( en dólares ) como Y = f ( x) = -0.2 x2 + 60 la demanda del mercado y g ( x) = 0.41 39. determine el excedente de los consumidores y de los productores. en equilibrio se cumple que → f ( x) = g ( x) -0.33 y P= 60 0.3 x2 + x – 40 = 0 → x1 = 10 → en equilibrio x = 10 Excedentes del consumidor y el productor .2 x2 + 60 = 0.13.1 x2 + x + 40 3 x2 + 10 x – 400 = 0 y x 2 = . 600 = 133.3 excedente del consumidor Excedente del productor = .P oferta E 60 demanda 10 Q Excedente del consumidor = E.3 .C = EC = EC = ( -66.6 + 800 ) – 600 EC = 733. Se estima que dentro de t años una cierta inversión que generara ingresos a un ritmo de f( t ) = 8000 + 400 t dólares por año. Halle el valor actual de la inversión. Solución: Si los ingresos son: f( t ) = 8000 + 400 t Valor actual: ( 8000 + 400 t ) e-0. Si los ingresos se generan a perpetuidad y el anual de intereses predominante permanece fijo a un 10 por 100 compuestos continuamente.3 = 116.6 excedente del productor 40.EP = EP = EP = EP = 600 .1 t V.A = partes por .483.A = V.A = V. A = -80000( 0 – 1 ) + 400 ( 0 – (-100)) 80000 + 40000 = 120000 41.A = V.A = V.A = V.V.A = V.15) I T = 6 465 453. Un fabricante de bicicletas espera que dentro de x meses los consumidores estaran comprando 3000 bicicletas por mes a un precio de P ( x) = dólares por bicicleta ¿ cual es el ingreso que el fabricante puede esperar de la venta de bicicletas en los próximos 24 meses? Qconsumidores = 3000 Ingreso total = I T = Qc* P(x) I T = 3000* precio : P ( x) = IT = IT = IT= I T = 3000 ( 1920 + 235.046 .