EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN

EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN DERIVADAS Producción y productividad 1. Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fábrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8.00 a.m. habrá ensamblado radio transistores x horas después. ¿En que momento de la mañana esta actuando el trabajador con máxima eficacia? Cantidad de radios producida por hora= Para hallar el momento en que es mas eficiente, encontraremos en que hora el trabajador alcanza su mayor nivel de producción, para ello derivaremos la función de producción e igualaremos la primera derivada a cero, mientras que para demostrar que realmente es la máxima producción calcularemos la segunda derivara, la cual debe ser negativa para demostrar el máximo nivel de producción. t no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar en unidades negativas Ahora comprobaremos que es la máxima productividad.. y como 2. Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dólares cada una y, a este precio, los consumidores han estado comprando 6,000 bombillas por mes. El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento en el precio se venderán 1,000 bombillas menos cada mes. El fabricante puede producir las bombillas a un coste de 4 dólares por bombilla. ¿A qué precio debería vender el fabricante las bombillas para generar al mayor beneficio posible? P1=6 Q1=6000 P2=6+x Q2=6000-1000x C = 4x Ahora estableceremos la función beneficio la cual la derivaremos para poder calcular el máximo beneficio y si la 2da derivada es negativa comprobaremos lo dicho. y Entonces diremos que el fabricante para obtener más beneficios lo que debe hacer es reducir el precio en 0.002 hasta 5.998 3. Un cultivador de agrios de Tambogrande estima que si se plantan 60 naranjos, la producción media por árbol será de 400 naranjas. La producción media decrecerá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total? Árboles de naranja= AN1= 60 AN2 = 60 + x Producción media= PM1 = 400 PM2 = 400 – 4x Producción total = PT = (60 + x)( 400 – 4x) PT = 2400 + 160x – 4x2 Para maximizar PT PN = 60 + x = 60 + 20 = 80 Oferta y demanda 4. Las funciones de oferta y demanda de un cierto articulo son S(p)=4p + 200 y D(p)= -3p +480, respectivamente. Halle el punto de equilibrio y el correspondiente número de unidades ofertadas y demandadas, y dibuje las curvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes. S(p)=4p + 200 D(p)= -3p +480 En punto de equilibrio: S(p) = D(p) 4p + 200 = -3p +480 280 p = 40 S(40)=4(40) + 200=360 D(40)= -3(40) +480=360 7p = 5. Suponga que las funciones de oferta y demanda de un cierto artículo son S(p) = ap + b y D(p) = cp + d, respectivamente. a) ¿Qué puede decir sobre los signos de los coeficientes a, b, c y d si las curvas de oferta y demanda están orientadas como muestra el siguiente diagrama? Si S(p) = ap + b tiene el comportamiento de una oferta y considerando que en el eje de las ordenadas se encuentra q y en el de las abcisas p, concluimos que: a>0 y b<0 Si 6. Si d) Use su respuesta de la parte b) para determinar qué le sucede al precio de equilibrio cuando d crece. La demanda de consumo para un cierto artículo es D(p) = -200p + 12. 21. a) Dibuje esta función de demanda.D(p) = cp + d tiene el comportamiento de una demanda. b. tenemos que: c<0 y d>0 Mientras que b) Exprese el precio de equilibrio en términos de los coeficientes a. . En equilibrio S(p) = D(p) ap+b=cp+ d c) Use su respuesta de la parte b) para determinar que le sucede al precio de equilibrio cuando a crece. c y d.000 unidades por mes cuando el precio de mercado es de p dólares por unidad. b) Exprese el gasto total mensual de los consumidores para el artículo como una función de p. . e) Use el gráfico de la parte c) para estimar el precio de mercado que genera el mayor gasto de consumo. Para determinar con que precio se obtendrá el mayor gasto tendremos que derivar el gasto. Demostrar que el coste total es menor a la velocidad para la cual el salario del conductor es igual al coste de la gasolina usada.) GT = p (-200p + 12000) GT = . (El gasto total mensual es la cantidad total de dinero gastado por los consumidores cada mes en el artículo.200p2 +12000p c) Dibuje la función gasto total mensual. El salario del conductor ha sido fijado por horas y así es inversamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camión. Un camión está alquilado para transportar mercancías desde una fábrica a un almacén. Así también se demuestra en el grafico de c Costos 7. La cantidad de gasolina gastada es directamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camión. y el precio de la gasolina permanece constante durante el viaje. entonces = kv . Cme = b.G = + kv = cantidad de gasolina coste de la Se pide demostrar que cuando el coste total es menor. ¿Para qué valor de q es igual el coste medio al coste marginal? Compare este valor con su respuesta de la parte b). 8. Es decir que >0. así: = kv pero también lo podemos expresar Con esto queda demostrado.G . cuando la velocidad minimiza el costo. Suponga que el coste total (en dólares) de fabricación de q unidades viene dado por la función C (q) = 3q2 + q + 48. a. Exprese el coste medio de fabricación por unidad como una función de q. ¿Para qué valor de q es menor el coste medio? c.Si: salario del conductor : gastada: G=kv Precio de gasolina = gasolina usada: CT = + . Primero hallamos el costo marginal Ahora igualamos el Cme y el Cmg . el salario del conductor es igual al coste de la gasolina usada. ¿Puede construirse la caja por menos de 300 dólares? V = a2b = 250 ab=250/a CT = costo de base + costo de lados . Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250 metros cúbicos. coste marginal y coste medio. 9. d. En el mismo conjunto de ejes represente las funciones de coste total. con lo cual se puede deducir que el punto en el que se intercepta el costo marginal con el costo medio es justo cuando el costo medio esta en su mínimo.Podemos deducir que el valor obtenido es del mismo valor que en la pregunta b). El material para el suelo y la tapa de la caja cuesta 2 dólares por metro cuadrado y el material para los lados cuesta un dólar por metro cuadrado. 2 (2xa2) + s/./h) = q/n horas y en p horas qp/n por lo que el costo de operación es =qp/nx. Una empresa manufacturera recibe un pedido de q unidades de cierto artículo. y los gastos de envío son $30.(qp)/(nx²) = 0 qp/nx² = s qp/nx = sx es decir que el costo de operación = costo de puesta en marcha 11. Cada una de las máquinas de la empresa puede producir n unidades por hora. a) Obtenga una fórmula para hallar el número de máquinas que deben emplearse para mantenerse costo total lo más bajo posible.000/x. Una empresa de artículos electrónicos utiliza 600 cajas de transistores cada año.00 por pedido. El costo de almacenamiento de una caja durante un año es 90 centavos.90)= . Nótese que q artículos a n artículos por hora resulta (q art.(1800/x²) = 0 . Costo total es entonces = sx + (qp)/(nx) donde la variable independiente es x. El costo de puesta en marcha es s dólares por máquina y el costo de operación es p dólares por hora.) / (n art. El costo de almacenamiento = (x/2)(.45x² = 1800 x = sqr(18000/. La primera derivada es C' = s . Costo de solicitud a $30 cada uno = (30)(600)/x = 18.45) = 200 cajas .1(4xab) CT= 4a2+2x = 4a2 + 10. El costo de puesta en marcha de es = sx. Además el costo de operación = k/x. Su derivada es C = . SOLUCIÓN C total = Costo de puesta en marcha + Costo de operación.CT= s/. b) Demuestre que el costo total es mínimo cuando el costo de puesta en marcha de las máquinas sea igual al costo de operación de éstas.45x + (1800/x). También x = número de máquinas. ¿Cuántas cajas debe solicitar la empresa en cada envío para mantener el costo total en un mínimo? SOLUCIÓN En 600 cajas a x cajas por pedido el número de pedidos es = 600/x.45 .45x El costo total es C = . 000/x Costo de puesta en marcha = 100 (16. Los mapas se distribuyen a un ritmo uniforme durante el año y se imprimen en lotes iguales.000 /x) + .000/x³ y si hacemos x=200.00 Costo de almacenamiento = (x/2)(.000 mapas a x mapas por jornada.000/x) = 1'600.000/x²) + . resulta C'' >0 que es la condición necesaria y suficiente para hacer un mínimo. El costo de poner en marcha una impresora para editar los mapas es $100.000 /x² = .06) (16.000) = $ 960. 12. Revisaremos si el ingreso medio es creciente y decreciente en un intervalo donde q>8 y donde q<8 .000 mapas 13. Por medio de sus estaciones autorizadas. de fabricar q unidades de cierto artículo es R(q) = -2q²+68q-128 a) ¿En qué nivel de ventas el ingreso medio por unidad es igual al ingreso marginal? b) Verifique que el ingreso medio sea creciente si el nivel de ventas es inferior al nivel del literal a) y decreciente si el nivel de ventas es superior al del literal a).000 mapas de carreteras cada año. ¿Cuántos mapas debe imprimir la compañía petrolera en cada lote para minimizar el costo? SOLUCIÓN 16. espaciados.1x Costo total C = 960 + (1'600. de manera que cada uno llega justo cuando el anterior se ha agotado. en dólares.20) = . Esto se resuelve valorando la primera derivada del ingreso medio (Rm).(1'600.000/x Costo de producción = (.1) x = 4.000 / .00 por cada jornada de producción. los costos de producción son 6 centavos por mapa y los costos de almacenamiento son 20 centavos por mapa al año.Probaremos que este valor hace un mínimo en C: La segunda derivada es C'' = 36. Además.1 x = sqr (1'600.1 = 0 1'600. resulta un número de jornadas = 16.1x La derivada es C' = 0 . Suponga que el costo total. SOLUCIÓN DE LA a) Rm = -2q +68 . una compañía petrolera distribuye 16.(128/q) y además R'= -4q+68 -2q +68 -128/q = -4q +68 . dq/dp = -0. Probemos para q<8. Demuestre que la elasticidad de la demanda es igual a (-m) para todos los valores de p. SOLUCIÓN Usemos q=ap-m cuya derivada sería dq/dp=-amp-m-1. Suponga que la ecuación de demanda de cierto artículo es q=60-0. por lo tanto Rm es creciente.600].1)/(60-0.2p = 60 . el costo total de fabricación es de C( q ) = 3 q3 + 5 q + 75 dólares . c) ¿A qué precio la elasticidad de la demanda es igual a -1? Si q=60-0.128 /q = 0 2q² = 128. digamos 7 R'm = -2 + 128/49 = cifra positiva.1 (200)] / [(60.1p donde p se halla en el intervalo cerrado-cerrado [0. p = $300 15. Así la elasticidad = (p/q) (dq/dp) = (p/ap-m) (-amp-m-1) elasticidad = (.58 = cifra negativa.1p / (60 -.2q .(. 14.1p .1p/(60-0.p amp-m-1) / (ap-m) = -p1-m-1+m a1-1 m = -m p° a° = m (1) (1) = -m elasticidad = -m. Suponga que la ecuación de demanda de cierto artículo es q=a/pm. q² = 64 q=8 SOLUCIÓN DE LA b) Rm = -2q + 68 -128/q R'm = -2 + 128 / q² = 0 Probemos para q> 8. Cuando se producen q unidades de un cierto articulo. b) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es p=200 y explique la respuesta.1p) b) Cuando p= 200.1)(200)] = -20/40 = . elasticidad = [-0. 16. digamos 9 R'm (9) = -2 + 128/81 = -2 + 1.0.1p) -60 + .. donde p no tiene restricciones.5% c) La elasticidad es -1 cuando -1 = -0.a) Exprese la elasticidad de la demanda como una función de p.1 SOLUCIÓN a) elasticidad = (p/q) (dq/dp) = p(-0.1p = -. por lo tanto Rm es decreciente.1p) = -0. donde a y m son constantes positivas.1p . y después el precio cae en dos centavos por bushel por día.¿ A que nivel de producción será menor el coste medio por unidad.02 X X = días transcurridos producción = Q = 80 +X Ingreso total = IT = ( 2 – 0. El primero de julio un labrador tien 80 busheles de patatas en el campo y estima que la producción esta creciendo a un ritmo de un bushel por día.02 X2 Para encontrar el maximo ingreso debemos derivar el ingreso total. = → X = 10 → 0. Los labradores pueden obtener dos dólares por bushel de patatas el primero de julio.6 X – 0. 17.4 X – 0.? Costo medio = costo total Q A ( q ) = C( q ) = 3 q3 + 5 q + 75 = 3q +5 + 75 q q q El costo medio por unidad mínimo cuando se producen 5 unidades.02 X2 = 160 –+0.4 = 0. ¿Cuando debería recoger el labrador las patatas para maximizar los ingresos? Ingreso = 80*2 dólares el primeo de julio Precio = P = 2 – 0.04 X .02 X ) ( 80 +X ) I T = 160 + 2X – 1. El coste de puesta a punto de las maquinas para producir las tablas es de 20dolares por maquina. cada una de las cuales puede producir 30tablas por hora. Una firma de plásticos ha recibido un pedido del departamento de recreo de la ciudad para fabricar 8000 tablas de polietileno para su programa de natación de verano. Para comprobar que son los máximos beneficios hallamos la segunda derivada que debe ser negativa.8 X → y= .Deberán de pasar 10 días desde el primero de julio para que alcance los máximos beneficios es decir deberá recoger las patatas el 11 de julio. La firma posee diez máquinas. la operación es totalmente automática y puede ser supervisada por un supervisor de producción que gana 4. 18.8 * hora Numero de horas = X numero de maquinas = Y 30 * Y * X = 8000 CT = 20 Y + 4. Una vez puestas a punto las maquinas.80 dólares por hora a) ¿Cuantas maquinas deberían usarse para minimizar el coste de producción? b) ¿Cuanto ganara el supervisor durante la marcha las maquinarias si se usa el numero optimo de maquinas? c) ¿Cuanto costara poner a punto el número óptimo de maquinarias? Solución Total de tablas a fabricar = 8000 Total de maquinas = 10 Producción de cada maquina por hora = 30 Costo de puesta a punto = 20 * maquina Costo del supervisor = 4. El bourbon se consume a un ritmo constante a lo largo del año y cada cargamento llega justo cuando el cargamento anterior ha sido gastado.3 en Y . los gastos del pedido son de 10 dólares por cargamento y el costo de almacenaje del bourbon es de 40 centavos por botella cada año.8 * 33. El bourbon cuesta 4 dólares por botella.30 por botella? Costo Total = costo por botella + gastos del pedido + costo de almacenaje X = numero de botellas por pedido Numero de pedidos = .3 Reemplazando X = 33. se obtiene Y = 8 Entonces se concluye que a) se deberían usar 8 maquinas para poder minimizar el coste b) lo que ganara el supervisor es 4.4 X2 → X = 33. 16000= 14.3 . lo que resulta 160 dólares por todas las maquinas 19.CT = 20 * + 4. a) ¿Cuántas botellas debe pedir el tabernero en cada cargamento para minimizar el coste? b) ¿Con que frecuencia debe pedir el bourbon? c) ¿Cómo cambian las respuestas a las partes a) y b) si el coste del bourbon aumenta a 4.8 por hora esto es 4. esto es 20 * 8 . Una taberna local espera gastar 800 botellas de bourbon este año.8 X Para obtener el mínimo costo derivamos el costo total e igualamos a cero. c) El coste de poner a punto las maquinas es de 20dolares por maquina. lo cual da como resultado 160 dólares. Demostrar que el coste total es menor a la velocidad para la cual el salario del conductor es igual al coste de la gasolina usada. El salario del conductor ha sido fijado por horas y es así inversamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camión.Promedio de almacenaje = almacenaje = costo de CT = 4 ( 800 ) + + → Respuestas: X2 = → X = 200 a) como x era el número de botellas por pedido. b) Se sabe que el numero de pedidos viene dado por . entonces reemplazamos. Sea P: precio de la gasolina (cste) conducidas G: nº de galones consumidos Salario del conductor por horas: Cantidad d gasolina gastada: Coste total = salario + gasolina S = k1 V G = k2 * v X: nº de horas . ya que al momento de derivar el aumento del precio no afecta a ninguna variable. 20. y el precio de la gasolina permanece constante durante el viaje. Un camión esta alquilado para transportar mercancías desde una fabrica a un almacén. Y tenemos que el numero de pedidos debe ser 4 c) Simplemente no varían. entonces concluimos que debe de pedir 200 botellas para obtener el mínimo costo. La cantidad de gasolina gastada es directamente proporcional a la velocidad a la que conduce el camión. C = X*S+P*G Se pide demostrar: X* = 0 = → = → C = X* = P * k2 * v + P * k2 * v que es lo que se quería demostrar >0 → mínimo costo 21. Un fabricante de bicicletas compra 6000 llantas al año a un distribuidor y esta tratando de decidir la frecuencia de sus pedidos. el coste de almacenaje es de 96 centavos por llanta y por año y cada llanta cuesta 25 centavos. ¿Cuantas llantas debería pedir cada vez el fabricante para minimizar el coste? Coste = Coste de total Almacenaje + coste de pedidos + coste de las llantas X = nº de llantas por cargamento C( X ) = coste total Coste de Almacenaje Coste de = Almacenaje Coste total del pedido = X ( coste de almacenar una llanta un año ) 2 X ( 0.48 X 2 * número de cargamentos = coste del pedido por cargamento . Los gastos de pedido son de 20 dólares por cargamento.96 ) = 0. Suponga que las llantas se usan a un ritmo constante a lo largo del año y que cada cargamento llega justo cuando el cargamento precedente ha sido terminado. La librería ofrece el libro a un precio de US$15 por ejemplar y.25 ) = 1500 C(X) = → X = 500 0. por lo que diseñaremos la ecuación que define las utilidades.3 (x-40)] Utilidad = (x-25) [50-3(x-40)= U = -3x2 + 245x + 450 y su derivavada es: U` = -6x+245 = 0. se tiene x= 245/6 = x= $41. A este precio las personas han comprado 50 monopatines al mes. el fabricante debe pedir las llantas en lotes de 500 22.Coste del pedido Coste de las llantas Coste de las llantas = coste por llanta = numero total * de pedidos = 6000 ( 0. Utilidad es igual a ingresos menos costos. El propietario del almacén desea aumentar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio se venderán 3 monopatines menos cada mes. ha vendido 200 ejemplares por mes. de donde al despejar x. Cantidad de venta mensual = 50 . Un almacén vende monopatines al precio de US$40 por unidad. Una librería puede obtener del editor determinado libro a un costo de US$3 por unidad. 23.00 que debe ser el precio de venta de los monopatines.48 = Para minimizar el coste. La librería .3 (x-40)] Costos = 25 [50 . ¿a qué precio debería vender los monopatines para maximizar las utilidades? SOLUCION Se pide maximizar las utilidades. a este precio.3(x .40) Ingresos = x [ 50 . Si cada monopatín tiene un costo de US$25 para el almacén. de donde x = (28/2) = x = $14.planea bajar el precio para estimular las ventas y calcula que por cada reducción de UN $1 en el precio se venderán 20 libros más cada mes. Para el almacén se tiene un costo unitario de $5. Un almacén de estampas de béisbol puede obtener las del novato Mel Schlabotnik un costo de $5. U = [200+20(15-x)][x-3] = (200+300-20x)(x-3) = U = 20 (-x2 +28x-75). ¿A qué precio debería la librería vender el libro para generar la máxima utilidad posible? SOLUCIÓN Se pide maximizar las utilidades. Cifras ofrecidas por el libro: Costo $3. ha vendido 50 por mes. Precio de Venta $x.00 24. ¿A qué precio debería vender el almacén para maximizar la utilidad total mensual? SOLUCIÓN Se pide maximizar las utilidades. un Precio de Venta actual de $10 y un precio de venta desconocido x. Un cultivador de fritas cítricas de Florida estima que si plantan 60 naranjos la producción media por árbol será 400 naranjas. que define la función de la utilidad y cuya derivada es: U´ = 20 (-2x+28) = 0.00 25.10 x] = -10x² +200x-750. la cual disminuirá en 4 naranjas por árbol si se planta un árbol adicional en la misma área. SOLUCION . utilidad = x3 UITLIDAD TOTAL = [UTILIDAD POR LIBRO] * [CANTIDAD DE LIBROS VENDIDOS]. El almacén planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada 50 centavos de reducción en el precio se venderán 5 estampas más cada mes. a este precio.00 cada una y. de donde se despeja x = 200/20 = x= $10. El almacén ofrece las estampas a $10.00 de manera que: La cantidad total de ventas es: 50 + 10 (10-x) La Utilidad U = (x-5) [50 + 10 (10-x)] = (x-5) (50 + 100 . ¿Cuántos árboles debería plantar el cultivador para maximizar la producción total?. Al derivarla se obtiene U´ = -20x + 200 = 0.00 cada una. Decir 5 estampas por 50 centavos es lo mismo que 10 estampas por $1. Horas = 8.280. de manera que el total es 60+20 = 80 árboles se deben plantar.66 horas que a $4. cada una de las cuales puede producir 30 tablas por hora. La empresa posee 10 máquinas. = 60 + x. es decir. 26. Una vez puestas en marcha las máquinas. es decir. se tiene x = 160/8 = 20 árboles encima de 60. la operación es totalmente automatizada y puede ser vigilada por un solo supervisor de producción que gana US$4. Costo óptimo = 1280/x = $160.000 tablas de plástico para su programa veraniego de natación.80 por hora. o sea 400 . ¿Cuántas máquinas deberían emplearse para minimizar el costo de producción? SOLUCIÓN El costo de la puesta en marcha es 20x. de donde al despejar x.80 dan $1.00 . Una empresa de plásticos ha recibido un pedido del departamento de recreación de la ciudad para fabricar 8.(4)(20) = 320 naranjas con lo que se tendrán un máximo de (80 árboles) por (320 naranjas).00 b) ¿Cuánto costará poner en marcha el número óptimo de máquinas? 20x = 20(8) = $160.4x. El costo de puesta en marcha de las máquinas para producir las tablas es US$20 por máquina. = 400 4x La producción total P = [PRODUCCION POR ARBOL]*[TOTAL DE ARBOLES]= P = (400-4X) * ( 60 + X ) = -4X2 + 160x +2400.(1280/x²) = 0 1280/x² = 20 x²=128/2 x = sqr(64) = 8 máquinas a) ¿Cuánto ganará el supervisor durante la jornada de producción si se utiliza el número óptimo de máquinas? Si x= 8. Cada árbol dará 400 .000 tablas / 30 tablas por hora = 266. da: P'= -8x + 160 = 0. 25600 naranjas como producción máxima.00 CT = 20x + 1280/x y su derivada es CT' = 20 . Los árboles en total son 60 más los que se añadan.Lo que se pide es maximizar la Producción. por lo que hallaremos la ecuación que describe la producción P. que al derivar para maximizar. El costo de operación es 1280/x. Cada árbol produce 400 menos 4 por árbol añadido. es decir. inelástica y de elasticidad unitaria con respecto del precio. si Y por consiguiente la demanda es inelástica Si Y por consiguiente la demanda es elástica. es decir esta en el intervalo y una fracción decreciente de p cuando la demanda es elástica. b) el ingreso total es la función creciente de p cuando la demanda es inelástica. cuando Del cual solo p = 10 esta en el intervalo pertinente .27. c) Halle la función del ingreso en forma explicita y emplee la primera derivada para determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y el precio al cual se maximiza el ingreso. b) Utilice los resultados del literal a) para describir el comportamiento del ingreso total como una función del precio. . Suponga que la demanda q y el precio p de cierto articulo están relacionadas por la ecuación: q = 300 – p2 ( para ) a) Determine donde la demanda es elástica. esto es este es el . Solución a)La elasticidad de la demanda es La demanda es de elasticidad unitaria cuando . Curva de ingreso R(p) R(p) = p ( 300 – p2) 10 p C) la función de ingreso es r = p q  Su derivada es R´(p) = 300 – 3p2 = 3 ( 10. la función del ingreso tiene un máximo relativo. Al precio de p = 10 de elasticidad unitaria.p ) ( 10 + p ) R(p) = p ( 300 – p2) = 300p – p3 .intervalo . . R(p) deja de ser creciente y comienza a ser decreciente y por consiguiente tiene un máximo realtivo. 10. R´( p) es negativa y por lo tanto R ( p ) es decreciente.Que es cero cuando p = pertinente En el intervalo creciente. R´( p) es positiva y por lo tanto R(p) es En el intervalo . Curva de demanda q 300 Q = 300 – p2 . En el valor critico p=10 . del cual solo p = 10 esta en el intervalo . ¿Cuál es el valor actual de la inversión? . Una inversión producirá 2400 dólares al año a perpetuidad. si el dinero se dispensa continuamente a lo largo del año y el tipo de interés anual predominante permanece fijo al 12 por 100 compuestos continuamente.10 p INTEGRALES 28. A = = V.A = 0 +20000 = 20000 = El valor actual de la inversión será de 20000 dólares con una tasa de interés de 12% . Si el tipo de interés que prevalece permanece fijo a un 8 por 100 anual compuesto continuamente.A = V.Valor actual de la inversión= 2400 V. Suponiendo que el tipo de interés anual predominante permanece fijo al 14 por 100compuesto continuamente. ¿Cuanto debería dar el donante al colegio? Esto es ¿Cuál es el valor actual de la donación? . Use una integral definida para estimar el valor actual de una anualidad que paga 100 dólares por mes en los próximos 2 años. Valor actual de la anualidad = 30. 29. Un donante quiere hacer una donación a un colegio público de la cual puede retirar el colegio 7000 dólares al año a perpetuidad para soportar el funcionamiento de su centro de cálculo. 31. La cantidad demandada K (en unidades de centena) de las cámaras miniatura MIKADO cada semana se relaciona con el precio unitario y ( en dólares ) como Y = f ( x) = -0.1 x2 + x + 40 la oferta de mercado f ( x) = g ( x) en equilibrio se cumple que → -0.13.1 x2 + x + 40 3 x2 + 10 x – 400 = 0 y x 2 = .2 x2 + 60.1 x2 + x + 40.2 x2 + 60 = 0. determine el excedente de los consumidores y de los productores. Si el precio de mercado se establece como el precio de equilibrio. Sea f ( x) = -0.33 y P= 60 0.3 x2 + x – 40 = 0 → x1 = 10 → en equilibrio x = 10 .2 x2 + 60 la demanda del mercado y g ( x) = 0. por otro lado la cantidad x ( en unidades de centena ) que el proveedor esta dispuesto a poner a la venta se relaciona con el unitario y en ( dólares ) de la forma Y = g ( x) = 0. Excedentes del consumidor y el productor P oferta E 60 demanda . 6 + 800 ) – 600 EC = 733.600 = 133.C = EC = EC = ( -66.3 .10 Q Excedente del consumidor = E.3 excedente del consumidor Excedente del productor = EP = . 3 = 116.1 t V.483. Si los ingresos se generan a perpetuidad y el anual de intereses predominante permanece fijo a un 10 por 100 compuestos continuamente.A = V.A = V. Se estima que dentro de t años una cierta inversión que generara ingresos a un ritmo de f( t ) = 8000 + 400 t dólares por año. Halle el valor actual de la inversión.A = .6 excedente del productor 32. Solución: Si los ingresos son: f( t ) = 8000 + 400 t Valor actual: ( 8000 + 400 t ) e-0.EP = EP = EP = 600 .A = partes por V. V.A = V. Un fabricante de bicicletas espera que dentro de x meses los consumidores estaran comprando 3000 bicicletas por mes a un precio de P ( x) = dólares por bicicleta ¿ cual es el ingreso que el fabricante puede esperar de la venta de bicicletas en los próximos 24 meses? Qconsumidores = 3000 Ingreso total = I T = Qc* P(x) I T = 3000* IT = precio : P ( x) = IT = IT= I T = 3000 ( 1920 + 235.A = -80000( 0 – 1 ) + 400 ( 0 – (-100)) 80000 + 40000 = 120000 33.046 Cuando una empresa genera un flujo de ingresos durante cierto periodo (por ejemplo.A = V. un plazo de 5 años) al obtener los ingresos estos se vuelven a invertir y ganan intereses con una tasa fija.15) I T = 6 465 453. El flujo de ingresos acumulados futuros durante periodo de cinco años es la cantidad de dinero que obtiene la empresa al fin de ese periodo.A = V. La . de un ingreso R (t) dólares por años que gana intereses a razón de r por año: A= . = tn-1 Figura 1.T] es: A = R(t1)er(T-T1)t+R (t2)er(t-t2) T T…T R(Tn)er(T-Tn) t A = er(T) [R(t1)e-rt1 t1+R(t2)e-rt2 t+ .. Si: t..1 Si R es la función continua en el intervalo [o..Tn. Cuando n tiene al infinito se obtiene el valor futuro total después de un periodo de T años.t2] que obtiene una valor futuro dentro de T años. T2.1 El intervalo de tiempo [o.integral de finida se utiliza para calcular el flujo de ingresos futuros totales o acumulados durante cierto tiempo. dentro de T años..t] que esta dividido en T1.t1] es aproximadamente: A1 = R (t1) t dólares El valor futuro de esta cantidad.. Debido a esto el ingreso generado durante el intervalo [o. calculando como si se ganase en el instante T1 es: A1=[R(t1)t]e=r(T-t1).. R (t) = Tasa de generación de ingresos en cualquier momento r = Tasa de Interés compuestas en forma Conti nua Plazo tn = T T 0 t1 t2 t3 . t R(tn)e-rtn t] La suma anterior es la suma Rieman de la función ert R(t)e-n en el intervalo [o. de [R(t2)t]er(T-T2) dólares Es por ello que la suma de todos los valores futuros generados durante el periodo [O. Los mismos ocurre con los ingresos durante el intervalo [t1..t] entonces R(t) no será muy distinta de R (t1) en el intervalo [o..t1] siempre que éste sea pequeño.t] se divide en n intervalos con la misma longitud t = t/n además tn = t como se muestra en la figura 1. El dinero se transfiere continuamente a una cuenta a razón constante de US$ 1.200 por año. Recientemente Texano compró una máquina automática para el lavado de autos que se espera que genere $80.000 de ingreso por año durante los próximos años.80. La cuenta gana intereses a razón anual de 8% capitalizado continuamente ¿Cuánto habrá en la cuenta al cabo de 2 años? Para aproximar el valor futuro del flujo de ingresos.10(T) A= eo.34.000 El valor futuro de la inversión en cinco años será 518 977 35. es necesario dividir el intervalo de tiempo de 2 años 0  t  en n subintervalor iguales de longitud nt años SOLUCIÓN 2-tj años . SOLUCIÓN: R(t) = 80. Si los ingresos se reinvierten y texano genera intereses a razón de 10% por año compuestos en forma continua. determinar el valor total acumulado de este flujo de ingresos al cabo de cinco años.000 R = 0.T.10 T =5 A = e0. Un exitoso empresario textil esta considerando dos planes alternativos para mejorar su producto.08(2-tj) dólares Valor Futuro del flujo de ingresos = Al cabo de 2 años habrá en la cuenta 2602. permanecería en la cuenta por 2-tj años y todo crecería a (1200 nt) e0. nt 0 2 t t1 tj tj+1 Dinero depositado = (dólares al año) (numero de años) = 1200 An *** se depositará todo el dinero al comienzo del intervalo en el tiempo tj.1. 36.66 dólares Es otra forma de calcular el valor de un flujo de ingresos es considerar su valor presente.200nt 08(2-tj) 1200e0. El plan A requiere de un . El valor actual de un flujo de ingresos generado continuamente a cierta tasa durante un periodo específico es la cantidad de dinero que debe depositarse hoy en día a la tasa de interés predominante para generar el mismo flujo de ingresos durante el mismo periodo. desembolso inmediato de $ 350.000 dólares R(t)=680. se ha estimado que la adopción del plan A significaría un flujo neto de ingresos generados a razón de: Y para el plan B representaría un flujo neto de ingresos a razón de: g(t)=680.1 t = 3 años Pv = Respuesta: El Plan A es el plan que más le resulta al empresario .000.000 r = 0. Si la tasa de interés durante los próximos 5 años fuese de 10% por año ¿Cual plan que más le más le conviene al empresario? I) Plan A requiere 350.000 dólares R (t) = 730.1 t = 3 años Plan B: requiere 280.000 r = 0. mientras que el plan B necesitará un desembolso inmediato de $280.000 dólares Durante los próximos tres años.000. La experiencia anterior en sitios semejantes indica que dentro de y años la franquicia generará una utilidad a razón de f(t)= 14. SOLUCIÓN: r = 0. Encuentra el valor presente de una inversión si la tasa interés predeciente es de 8% por año compuesta en forma continua.000 por año Durante los próximos cinco años. ¿Cuál es el valor presente de la franquicia? Para aproximar el valor presente de la franquicia es necesario dividir el intervalo de 5 años o  t  5 en n subintervalos iguales de longitud nt años.37. Suponga que se espera que una inversión genere ingresos a razón de: R (t) = 200. 7% capitalizado continuamente. La gerencia de una cadena nacional de heladerías esta vendiendo una franquicia de 5 años para operar un nuevo punto de venta en Sullana – Piura. . Si la tasa de interés anual predominante permanece fija durante los próximos 5 años.000 + 490t dólares al año.08 t = 5 años El valor presente de la inversión será 824 200 38. 1 x2 + x + 40 la oferta de mercado .SOLUCIÓN: Tj años 0 nt 5 t t1 tj tj+1 El valor actual de la franquicia es 63. La cantidad demandada K ( en unidades de centena ) de las cámaras miniatura MIKADO cada semana se relaciona con el precio unitario y ( en dólares ) como Y = f ( x) = -0. Sea f ( x) = -0.2 x2 + 60. por otro lado la cantidad x ( en unidades de centena ) que el proveedor esta dispuesto a poner a la venta se relaciona con el unitario y en ( dólares ) de la forma Y = g ( x) = 0.2 x2 + 60 la demanda del mercado y g ( x) = 0. determine el excedente de los consumidores y de los productores.929.41 39. Si el precio de mercado se establece como el precio de equilibrio.1 x2 + x + 40. 13.en equilibrio se cumple que → f ( x) = g ( x) -0.1 x2 + x + 40 3 x2 + 10 x – 400 = 0 y x 2 = .3 x2 + x – 40 = 0 → x1 = 10 → en equilibrio x = 10 Excedentes del consumidor y el productor .33 y P= 60 0.2 x2 + 60 = 0. 3 .C = EC = EC = ( -66.P oferta E 60 demanda 10 Q Excedente del consumidor = E.6 + 800 ) – 600 EC = 733.3 excedente del consumidor Excedente del productor = .600 = 133. 6 excedente del productor 40.483. Halle el valor actual de la inversión.3 = 116. Si los ingresos se generan a perpetuidad y el anual de intereses predominante permanece fijo a un 10 por 100 compuestos continuamente.A = V.A = V.1 t V. Se estima que dentro de t años una cierta inversión que generara ingresos a un ritmo de f( t ) = 8000 + 400 t dólares por año.EP = EP = EP = EP = 600 .A = partes por . Solución: Si los ingresos son: f( t ) = 8000 + 400 t Valor actual: ( 8000 + 400 t ) e-0. A = V.V.15) I T = 6 465 453.046 .A = V.A = -80000( 0 – 1 ) + 400 ( 0 – (-100)) 80000 + 40000 = 120000 41. Un fabricante de bicicletas espera que dentro de x meses los consumidores estaran comprando 3000 bicicletas por mes a un precio de P ( x) = dólares por bicicleta ¿ cual es el ingreso que el fabricante puede esperar de la venta de bicicletas en los próximos 24 meses? Qconsumidores = 3000 Ingreso total = I T = Qc* P(x) I T = 3000* precio : P ( x) = IT = IT = IT= I T = 3000 ( 1920 + 235.A = V.A = V.