III-415 Cálculo Diferencial e Integral IIIArturo Profesor: Arturo Vega Unidad: Cálculo Vectorial Ejercicios Resueltos 1. Sea Calcule a lo largo de la recta que va por el punto Solución: Primero parametrizamos el segmento de recta: El ejercicio será resuelto mediante notación diferencial al punto III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega 2. Sea Verifique que es conservativo Solución: Sea Calculamos las derivadas de primer orden Como se verifica que el campo es conservativo. 3. Determine si el campo vectorial es conservativo; si lo es calcule una función potencial. Solución: Tomamos Por lo tanto, . Calculamos es conservativo. III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega Función potencial Integramos con respecto a , respectivamente Así concluimos que 4. Evaluar Solución: Vector Normal Primero calculamos La proyección sobre el plano es Es decir la región es la comprendida entre los círculos y . III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega Utilizamos coordenadas polares: 5. Calcule Donde . Sabiendo que es la frontera del sólido , el cuál es la región del espacio encerrada por el paraboloide y el plano de ecuación Solución: está formado por dos superficies: parabólica y la segunda el plano; así y . Donde la primera es la superficie III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega Para la Para a Así , está orientada hacia abajo, por lo que podemos tomar como vector normal unitario , obteniendo III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega 6. Considere la integral Dónde es la curva que se muestra en la figura a) Verifique que la integral no depende de la trayectoria dada. b) Calcule la integral planteada, sin usar el teorema fundamental de las integrales de línea. Solución: El probar que la integral no depende de la trayectoria dada es equivalente a probar que el campo vectorial es conservativo así Si es el campo vectorial y tomamos como , entonces Como el rotacional del campo da como resultado el vector entonces se verifica que el campo vectorial es conservativo y por consiguiente es independiente del camino. Es por esto que podemos usar otra trayectoria que inicie en el punto y termine en el punto (2,0,3). Es claro que lo más conveniente es que dicha trayectoria sea un segmento de recta. III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega Por lo tanto, Además Entonces 7. Calcule Siendo y la superficie orientada primer octante con un vector normal superior. en el III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega Solución: Primero Además la proyección en el plano de la superficie es III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega 8. Sea el sólido limitado por el cilindro como se muestra en la figura , en el plano y el plano Calcular Siendo corresponden a las superficies que limitan al sólido . y Solución: Sea entonces III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega Por otra parte la proyección en el plano Entonces del sólido es III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega 9. Considere el campo vectorial definido por a) Verifique que es conservativo. b) Obtenga una función potencial para el campo . c) Suponiendo que es un campo de fuerza, calcular el trabajo realizado por lo largo de la curva desde hasta Solución: Si , entonces Así se verifica que el campo es conservativo. Ahora buscamos la función potencial, estos es una función Para esto debe cumplir Integramos con respecto a , Así respectivamente tal que . a III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega Por último para calcular el trabajo realizado por Donde calculamos es una trayectoria con punto inicial y final los puntos respectivamente. Entonces y