Tarea ILeonel Eduardo Badilla Araya Álgebra Lineal 22 de abril de 2015 Ejercicio I Decida si los siguientes conjuntos son o no una espacio vectorial Desarrollo 1. El conjunto H+ = (x, y) ∈ R2 : y > 0 Es claro que no es espacio vectorial, pues dado (x, y) ∈ H+ (−1) · (x, y) = (−x, −y) ∈ / H+ , pues −y < 0. 2. Todos los (x, y, z, w) ∈ R4 : 2x − y + 4z = w, x − y − z + 10w = 0 . 3. Los vectores en R3 de la forma (x, x, x). Sea S = (x, x, x) ∈ R3 : x ∈ R . Como R3 es una espacio vectorial y S ⊆ R3 , basta con probar que S es un subespacio vectorial. Así, es claro que S 6= ∅, pues (0, 0, 0) ∈ S . Sean u, v ∈ S , con u = (x, x, x) y v = (y, y, y), entonces u + v = (x + y, x + y, x + y) ∈ S , pues u + v = (z, z, z), con z = x + y . Sea α ∈ F y u = (x, x, x) ∈ S , entonces αu = α(x, x, x) = (αx, αx, αx) ∈ S , pues αu = (z, z, z), con z = αx. De lo anterior, S es un espacio vectorial. Ejercicio II Sea V el espacio vectorial que se indica en cada caso, sea W ⊂ V . Decida si W es o no subespacio de V , argumentando su respuesta. 1 Leonel Badilla A. 2 Álgebra Lineal Desarrollo 1. V = {(x, y, z) : 3x − 2y − z = 0} , W = {(x, y, z) = ~x(t) : ~x(t) = t(3, −2, −1)}. 2. V = R3 , W = {(x, y, z) : (x, y, z) · (1, 2, 3) = 0}. 3. V = C([0, 1], R), W = {f ∈ V : f es convexa}. Ejercicio III Sea V un espacio vectorial, sean v1 , v2 , . . . , vm vectores en V , demuestre que h{v1 , v2 , . . . , vm }i es el subespacio más pequeño que los contiene. Desarrollo Sea S un subespacio vectorial que contiene a {v1 , v2 , . . . , vm }, arbitrario. Sea v ∈ h{v1 , v2 , . . . , vm }i, arbitrario. Luego, se tiene que existen a1 , a2 , . . . , am , escalares tales que v = a1 v1 + a2 v2 + . . . + am vm . Ahora, como S es subespacio vectorial, se tiene que ∀ i ∈ {1, 2, . . . , m} ai vi ∈ S . Luego, se cumple que a1 v1 + a2 v2 ∈ S (a1 v1 + a2 v2 ) + a3 v3 ∈ S .. . .. . .. . (a1 v1 + a2 v2 + . . . + am−1 vm−1 ) + am vm ∈ S, de donde se concluye que v ∈ S . Como v es arbitrario y S también, se concluye que el generado por un conjunto es el subespacio más pequeño que contiene al conjunto. si consideramos 1 u+v 2 un escalar. Álgebra Lineal 3 Ejercicio IV Dados v = (x0 . y0 . de donde será el subespacio trivial {θ} Ejercicio V Dado un subespacio W de un espacio vectorial V y dos puntos u. Desarrollo Por ser W subespacio. z1 ) vectores en R3 . de donde será un plano que contiene al punto origen. u y v son linealmente independientes: El subespacio generado por los vectores tendrá di- mensión dos. demuestre que el punto medio u+v 2 ∈ W. por la misma razón. de donde será una recta que contiene al punto origen. expresar cada uno de los siguientes polinomios como una combinación lineal de u1 = 2 + x + 4x2 . Desarrollo (a) −9 − 7x − 15x2 : Escribimos el vector dado como una combinación lineal de los vectores dados: −9 − 7x − 15x2 = a(2 + x + 4x2 ) + b(1 − x + 3x2 ) + c(3 + 2x + 5x2 ) = (2a + b + 3c) + (a − b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x2 . es decir que 2 ∈ W . y1 . v}i? ¾Cómo tienen que ser los vectores u y v en cada caso? Desarrollo Analizaremos los casos según cómo sean los vectores u y v . u2 = 1 − x + 3x2 y u3 = 3 + 2x + 5x2 .Leonel Badilla A. z0 ) y u = (x1 . Además. u = v = θ: El subespacio generado por los vectores tendrá dimensión cero. v ∈ W . β(u + v) ∈ W . se tiene que u + v ∈ W . de donde obtenemos el sistema de ecuaciones 2a + b + 3c = −9 a − b + 2c = −7 4a + 3b + 5c = −15 . u y v linealmente dependientes: El subespacio generado por los vectores tendrá dimensión uno. β= Ejercicio VI En P2 . ¾Qué posibles conjuntos pueden ser h{u. Leonel Badilla A. es decir que 6 + 11x + 6x2 = 4u1 + −5u2 + 1u3 . tenemos la combinación lineal de los vectores. Desarrollo Del ejercicio anterior. Resolvemos ahora (2a + b + 3c) + (a − b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x2 = 0. b = 1 y c = −2. b = −2 y c = 3. es decir que 7 + 8x + 9x2 = −2u2 + 3u3 . u2 = 1 − x + 3x2 y u3 = 3 + 2x + 5x2 linealmente independientes en P2 ? Demuestre su respuesta. dada por (2a + b + 3c) + (a − b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x2 . de donde obtenemos el sistema de ecuaciones 2a + b + 3c = 6 a − b + 2c = 11 4a + 3b + 5c = 6 cuya solución es a = 4. (c) 7 + 8x + 9x2 : Escribimos el vector dado como una combinación lineal de los vectores dados: 7 + 8x + 9x2 = a(2 + x + 4x2 ) + b(1 − x + 3x2 ) + c(3 + 2x + 5x2 ) = (2a + b + 3c) + (a − b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x2 . b = −5 y c = 1. de donde obtenemos el sistema de ecuaciones 2a + b + 3c = 7 a − b + 2c = 8 4a + 3b + 5c = 9 cuya solución es a = 0. Ejercicio VII ¾Son los polinomios u1 = 2 + x + 4x2 . Álgebra Lineal 4 cuya solución es a = −2. . (b) 6 + 11x + 6x2 : Escribimos el vector dado como una combinación lineal de los vectores dados: 6 + 11x + 6x2 = a(2 + x + 4x2 ) + b(1 − x + 3x2 ) + c(3 + 2x + 5x2 ) = (2a + b + 3c) + (a − b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x2 . es decir que −9 − 7x − 15x2 = −2u1 + u2 − 2u3 . b = 0 y c = 0. 2. 0. 2. 6). −1): Como tenemos tres vectores. es decir que no generan todo R3 . es decir a(2. 1) = (0. es decir a(1. ∀ c ∈ R de donde se concluye que los vectores son linealmente dependientes. 2a + 4b + 4c. (b) v1 = (2.Leonel Badilla A. Consideremos la combinación lineal de los vectores que resulte cero. Consideremos la combinación lineal de los vectores que resulte cero. −a + b − c. es decir que generan todo R3 . 0. 0) ⇔ (a + 3b + c. 4. 0. 0) ⇔ a + 3b + c = 0 ∧ 2a + 4b + 4c = 0 ∧ 6a + b − c = 0 ⇔ a=0∧b=0∧c=0 de donde se concluye que los vectores son linealmente independientes. ellos deben ser linealmente independientes para generan todo R3 . Álgebra Lineal 5 de donde obtenemos el sistema de ecuaciones 2a + b + 3c = 0 a − b + 2c = 0 4a + 3b + 5c = 0 cuya solución es a = 0. (c) v1 = (1. 3) + b(4. 3a + 2b + 8c) = (0. −1) = (0. 1. 0) ⇔ (2a + 4b + 8c. v2 = (3. 3) + c(0. v3 = (1. 3). 8): Como tenemos tres vectores. 0) ⇔ 2a + 4b + 8c = 0 ∧ −a + b − c = 0 ∧ 3a + 2b + 8c = 0 ⇔ a = −2c ∧ b = −c ∧ c = c. 2. 1) + c(1. 0. Consideremos la combinación lineal de los vectores que resulte cero. 1. 2) + b(0. ellos deben ser linealmente independientes para generan todo R3 . 2a + 3b + c) = (0. 6a + b − c) = (0. determinar si los vectores dados generan o no a R3 . 2). −1. 4. ellos deben ser linealmente independientes para generan todo R3 . 0. 1. v3 = (8. 0. 6) + b(3. es decir a(2. −1. 2a + c. 0) ⇔ 2a = 0 ∧ 2a + c = 0 ∧ 2a + 3b + c = 0 ⇔ a=0∧b=0∧c=0 de donde se concluye que los vectores son linealmente independientes. 3). 0. −1. 1). . es decir que generan todo R3 . Desarrollo (a) v1 = (2. 1): Como tenemos tres vectores. 2) + c(8. 4. 1. 2. 0. 8) = (0. v2 = (4. v2 = (0. es decir que u1 . 4. u2 y u3 sí son linealmente independiente Ejercicio VIII En cada inciso. 0) ⇔ (2a. −1. 2). v3 = (0. Leonel Badilla A. −2α + 8β. 5) generan el mismo espacio que (1. −1). 6. 8. 5). −2. −2. (0. (2. 6a + 4b + 2c. 9)}i Sea v ∈ h{(1. 4. −1)+c(−1. 4). 5). −5). 4) + b(2. c tales que v = a(1. 2. β tales que v = α(1. 2. b = − 11 12 α + β. −1). de donde se concluye que h{(1. −2. c es α = a + 2b − c. 2. 6a + 4b + 2c. es decir que resolvemos para α y β la ecuación (a + 2b − c. 6. es decir que existen escalares a. . 6. (−1. (2. 9). Veamos que existen escalares α. 4. −5) + β(0. 4. que genera el sistema de ecuaciones a + 2b − c = α 6a + 4b + 2c = −2α + 8β 4a − b + 5c = −5α + 9β 33 1 cuya única solución en función de α. 9). −5). (−1. Veamos que existen escalares a. −5). 4). 4a − b + 5c) = (α. 6. −5α + 9β). 8. se concluye que los vectores (1. Desarrollo Demostraremos la doble inclusión. 4). es decir que resolvemos para a. 4a − b + 5c) = (α. −1). 5)}i. 8. 5)}i De lo anterior. 5) generan el mismo espacio que (1. 8. −2α + 8β. 2. (2. −2. −5α + 9β). (0. β = a + b. de donde se concluye que v ∈ h{(1. −2. (−1. −1) + c(−1. 2. 9). β tales que v = α(1. β es a = 12 α + β. (0. −1). 4). 2. que genera el sistema de ecuaciones a + 2b − c = α 6a + 4b + 2c = −2α + 8β 4a − b + 5c = −5α + 9β cuya única solución en función de a. c = − 12 α. −5)+ β(0. 4)+b(2. 4. −5). −2. 6. 8. Álgebra Lineal 6 Ejercicio IX Muestre que los vectores (1. 8. c tales que v = a(1. es decir que existen escalares α. (−1. b. 9)}i. 4. (0. 4. (2. 9). b. b y c la ecuación (a + 2b − c. Sea v ∈ h{(1. b. 6. −7. 6. 3. 0. 0. 1. (c) (−4. se tiene que si encontramos a. por lo que el vector no pertenece al espacio generado. Luego. 3a + 2b + c). es decir que debemos resolver 2a + 3b − c = 1 a−b = 1 5b + 2c = 1 3a + 2b + c = 1 cuyo sistema no tiene solución. 1). 5. a − b. 2. 3). es decir que debemos resolver 2a + 3b − c = 2 a−b = 3 5b + 2c = −7 3a + 2b + c = 3 cuyo sistema no tiene solución. v2 . v3 }i. 0. 5b + 2c. −13. Álgebra Lineal 7 Ejercicio X Sean v1 = (2. 4). por lo que el vector no pertenece al espacio generado. 0. 3. 3a + 2b + c) = (2. 1. es decir a(2. 1. 3a + 2b + c) = (1. ¾Cuáles de los siguientes vectores están en h{v1 . 5b + 2c. v2 . 2) + c(−1.Leonel Badilla A. a − b. −13. 2. (a) (2. 4): Resolvemos (2a + 3b − c. v2 = (3. −1. 3a + 2b + c) = (−4. Así. b. 3). 5b + 2c. v3 = (−1. 1) = (2a + 3b − c. 5b + 2c. primero consideramos la combinación lineal de los vectores dados. en cada caso. 1. c tales que un vector arbitrario v se escribe como v = av1 + bv2 + cv3 . es decir que debemos resolver 2a + 3b − c = −4 a−b = 6 5b + 2c = −13 3a + 2b + c = 4 . (b) (1. −1. 2). v3 }i Desarrollo Para responder la pregunta. 5. 3): Resolvemos (2a + 3b − c. −7. 1. 1. a − b. 1): Resolvemos (2a + 3b − c. 3) + b(3. se concluye que v ∈ h{v1 . a − b. 1). 6. + wn un ) = (v · u) + (w · u) = 0 de donde se concluye que v + w ∈ M ⊥ . . b = −3. 6. de nimos el Ortogonal a M como el conjunto M ⊥ := {v ∈ Rn : v · u = 0. . . v2 + w2 . −13. Por lo anterior. w2 .Leonel Badilla A. . . . . . . . . Desarrollo Debemos probar dos propiedades: Sean v = (v1 . . vn + wn ) · (u1 . . w = (w1 . . . . dado u = (u1 . . βvn ) · (u1 . . y se escribe como (−4. dado un subespacio M . un ) = (v1 + w1 )u1 + (v2 + w2 )u2 + . . . . + βvn un = β(v1 u1 + v2 u2 + . . c = −1. . . + vn un ) + (w1 u1 + w2 u2 + . . . . . . . Ejercicio XI En Rn . . . En efecto. wn ) ∈ M ⊥ . ∀ u ∈ M } . u2 . u2 . un ) ∈ M (βv) · u = (βv1 . . vn ) ∈ M ⊥ y β escalar. se tiene que M ⊥ es un subespacio vectorial de Rn . . v2 . . En efecto. . . βv2 . . . . + vn un ) = β(v · u) = 0 de donde se concluye que βv ∈ M ⊥ . . . . v2 . un ) = βv1 u1 + βv2 u2 + . . u2 . Álgebra Lineal 8 cuyo sistema tiene como solución a = 3. . Sean v = (v1 . 4) = 3v1 − 3v2 − v3 . + (vn + wn )un = v1 u1 + w1 u1 + v2 u2 + w2 u2 + . Demuestre que M ⊥ es un subespacio de Rn . un ) ∈ M (v + w) · u = (v1 + w1 . . dado u = (u1 . vn ). entonces probaremos que v + w ∈ M ⊥ . . u2 . . por lo que el vector dado sí pertenece al espacio generado. . entonces probaremos que βv ∈ M ⊥ . + vn un + wn un = (v1 u1 + v2 u2 + . Como z = − ac x − cb y . y. Luego. y. b. o bien que M ⊥ = (x. Luego. b. y. demuestre que si M es una recta. Álgebra Lineal Ejercicio XII En R3 . z = t que es precisamente una recta. una base para M es (1. c)}. t ∈ R . z) · (a. M = (x. entonces M ⊥ es un plano. t ∈ R . Desarrollo Dados a. 0. − ac ) = 0 ⇔ x = ac z (x. y. de nimos la recta x = at y = bt . z) · (0. z) : ax + by + cz = 0}.Leonel Badilla A. z) ∈ R3 : (x. 1. 9 . − ac ). y. y. Ejercicio XIII En R3 . 0. − cb ) = 0 ⇔ y = cb z Luego. − cb ) . c) = 0 . 0. z) · (1. y. Desarrollo Dados a. z) · (0. 1. una base para M es {(a. b. se tiene que M ⊥ = (x. demuestre que si M es un plano. z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0 . z) ∈ R3 : (x. y. c escalares. (0. y. se tiene que M ⊥ = (x. − ac ) = 0 ∧ (x. z) · (1. z) ∈ R3 : y = cb t . entonces M ⊥ es una recta. y. M⊥ a x = ct = (x. z) ∈ R3 : z = ct Así. que es precisamente un plano. 1. es decir se tienen las condiciones (x. c escalares. de nimos el plano M = {(x. b. y. − cb ) = 0 . las posibilidades que se tienen para M ⊥ si M es un plano en R4 puede ser el punto origen (dimensión cero). Ejercicio XV Determinar si los siguientes polinomios generan P2 . ¾cuáles son las posibilidades para M ⊥ si M es un una recta? Desarrollo Como primer punto. ¾cuáles son las posibilidades para M ⊥ si M es un plano de R4 ?. Ahora. En R2 . v4 vectores linealmente independientes. es decir que tiene dimensión uno. Basados en los ejercicios anteriores. p3 (x) = 5 − x + 4x2 . v3 . − c ) es una base del plano dado. v2 . lo que nos queda como posibilidad para M ⊥ es otra recta (tiene dimensión uno) u el origen (dimensión cero). y. v3 . (0. p4 (x) = −2 − 2x + 2x2 . v4 }i = 4. que están en un plano Π = {(x. v4 } ⊆ hSi. de los cuatro vectores dados sólo dos son linealmente independiente. S = (1. Además. lo que es una contradicción. 1. z) : ax + by + cz = 0}. supongamos que existen v1 . − c ). Ejercicio XVI Demuestre que no pueden existir cuatro vectores linealmente independiente en un plano que pasa por el origen. 0. contenidos a b Por un lado. la que proviene de suponer . Más aún. se tiene que tiene que es claro que ap1 (x) + bp2 (x) = 0 ⇔ a = 0 = b. v2 .Leonel Badilla A. En efecto. Como los vectores dados son linealmente independientes. pues dim(P2 ) = 3 6= 2 = dim(h{p1 (x). dim(h{v1 . Desarrollo Observamos que los polinomios dados son linealmente dependiente entre ellos. p1 (x) = 1−x+2x2 . si M es una recta en R2 . pero la dim(hSi) = 2 y {v1 . v3 . p2 (x)}i). v2 . 2p1 (x) + p2 (x) = p3 (x) p1 (x) − p2 (x) = p4 (x) de donde los polinomios linealmente independientes son sólo p1 (x) y p2 (x) que no pueden generar todo P2 . Desarrollo Razonando por contradicción. notamos que un plano tiene dimensión dos. p2 (x) = 3+x. una recta (tiene dimensión uno) u otro plano (tiene dimensión dos). Álgebra Lineal 10 Ejercicio XIV Con respecto a los dos ejercicios anteriores. si i 6= j . (3. 0. −2. −2. −3. (2. . Desarrollo 1. de nimos el producto interno de f y g como f · g := int10 f (t)g(t)dt. 2. fn } es ortogonal . 3a − b + c) = (0. 1. 0) ⇔ (a + 5b + 3c. −1) + c(3. 0). 0. −1) + 2(3. −1). ∀ c ∈ R de donde se concluye que los vectores son linealmente dependientes. 0. −1) y v3 = (3. 1). 6. 1) = (0. Álgebra Lineal 11 que existen cuatro vectores linealmente independiente contenidos en un plano que pasa por el origen. −2a + 6b + 2c. (−1. Desarrollo Sea la combinación lineal de los vectores dando el vector nulo. (1. 2. 3) + b(5. 1. . h{(2. 2. 2. es decir que fi · fj = entonces es linealmente independiente. 0) ⇔ a + 5b + 3c = 0 ∧ −2a + 6b + 2c = 0 ∧ 3a − b + c = 0 ⇔ a = − 2c = b ∧ c = c. h x + 2x2 . Ejercicio XIX Si V = C([0. Pruebe que si el conjunto {f1 . 6. . h{(1. −1). −3). Ejercicio XVIII Determine si los vectores v1 = (1. R). x2 . 1) = (0. 4. v2 = (5. f2 . 1). (2. 2. 5)}i.Leonel Badilla A. . es decir a(1. 3). 6. 3) − (5. −2. x3 − x2 i. Ejercicio XVII Encontrar una base de los siguientes espacios vectoriales. 1]. x. −3). 5x2 − x. 6)}i. pues por ejemplo −(1. 3. (8. 1) forman un conjunto linealmente independiente. si i = j 0. 2. . por lo que el vector dado es escribe como (4. −1. an escalares. . . 1). f2 . es decir αj = 0 ∀ j ∈ {1. . −5) ⇔ (a + 2b. si a la igualdad anterior la multiplicamos por fj (usando el producto interior de nido) se tiene fj · (a1 f1 + a2 f2 + . . (3. 1) = (4. . Desarrollo Debemos veri car si existen a. Así. . . . . −5). b escalares tales que a(1. 1). es decir a1 f1 + a2 f2 + . 2 . Así. 4) + 3(2.Leonel Badilla A. . 12 Álgebra Lineal Desarrollo Dados a1 . es decir que debemos resolver a + 2b = 4 b = 3 4a + b = −5 sistema que tiene como solución a = −2. 4) + b(2. (2. . Luego. 4). . 4)? Desarrollo Los vectores serán linealmente dependientes si la matriz formada por los vectores dados como las tiene rango menor que 3. 0. dado j ∈ {1. n}. 4) y (2. Ahora. 1. . Ejercicio XXI ¾Para qué valores de α son linealmente dependiente los vectores (1. . 1. 0. 2 . + an fn = 0. . Ejercicio XX Determine si el vector (4. . . 2 . se concluye que el conjunto {f1 . . α. 1. 3. . . 0. 3. + an (fj · fn ) = fj · 0 ⇔ aj = 0 lo que es válido para todo j ∈ {1. −5) se puede escribir como combinación lineal de (1. . 3. n}. . sea la combinación lineal de los vectores dando cero. 4a + b) = (4. 3). n}. escalonamos la matriz A formada por los vectores como las. a2 . −5) = −2(1. 1 2 3 1 2 2 −1 α ∼ 0 −2 3 4 4 0 0 3 −5 5α−40 2 . fn } es linealmente independiente. b = 3. b. an fn ) = 0 ⇔ a1 (fj · f1 ) + a2 (fj · f2 ) + . 3. v1 + v2 . 1]. . . v2 . . si 5α−40 = 0 ⇔ α = 8 el rango de la matriz es menor que tres. . Demostrar que {v1 . es decir que si α = 8. . + vn } es un conjunto linealmente independiente Desarrollo Dados a1 . .. . . para x = 1.Leonel Badilla A. 2 los vectores son linealmente dependientes. y2 (x) son linealmente independientes. . an escalares. . . . . Luego. . sea la combinación lineal de los vectores dando cero. consideramos la combinación lineal dando cero. vn } un conjunto linealmente independiente. . 1]. + an )v2 + . . . + an )v1 + (a2 + a3 + . . se cumple que a1 + a2 + a3 + . . + an (v1 + . . . = an = 0. . a2 . . . se tiene que b cos (1) = 0 ⇒ b = 0. Ejercicio XXIII En C([0. . se tiene que a = b = 0.. . v1 + . . concluyéndose que el conjunto {v1 . Si agrupamos términos semejantes obtenemos (a1 + a2 + a3 + . se concluye que a1 = a2 = . Álgebra Lineal 13 Luego. es decir que los vectores y1 (x). an = 0 Realizando sustitución regresiva. . . . . Como la igualdad anterior es válida para x ∈ [0. Ejercicio XXII Sean {v1 . . es decir a1 v1 + a2 (v1 + v2 ) + a3 (v1 + v2 + v3 ) + . b escalares. + an vn = 0. Ahora. . + vn } es linealmente independiente. . . + an = 0 a2 + a3 + . v1 + v2 + v3 . pero como el conjunto {v1 . . v1 + . v2 . + vn ) = 0. .. . . . . vn } es linealmente independiente. . en particular si evaluamos en x = 0. . se tiene que a sin (0) + b cos (0) = 0 ⇒ a = 0. es decir a sin (x) + b cos (x) = 0. + an = 0 . v1 + v2 . v1 + v2 + v3 . . R) demuestre que la funciones y1 (x) = sin (x) e y2 (x) = cos (x) son linealmente independiente Desarrollo Dados a. Supongamos ahora que dados wi = ai1 v1 + ai2 v2 + . wn } es un conjunto linealmente independiente. . 0). . con coe ciente en un cuerpo F dada por a11 a12 . . + αn (an1 . . . . con coe ciente en un cuerpo F . . . . concluyéndose así que S = {w1 . an1 an2 . dados los escalares α1 . 0). . . . + (α1 a1n + . . se concluye que α1 a11 + . . α2 . . de donde. . . vn } una base de V . . n} . + αn (an1 . v2 . a1n ) + . wn } es un conjunto linealmente independiente. . . se tiene que S = {w1 . . . .. . . . . . ann y sea B = {v1 . n} . . Se a rma que S = {w1 . . . ∀ i ∈ {1. = αn = 0. . . Álgebra Lineal 14 Ejercicio XXIV Sea A una matriz de n × n. En efecto.. wn } es un conjunto linealmente independiente. w2 . . . . an2 . dados los escalares α1 . . Supongamos que las las de A son un conjunto linealmente independiente en F n . . . .. a2n A= . Sean wi = ai1 v1 + ai2 v2 + . se tiene que α1 = α2 = . . a1n a21 a22 . Como las las son un conjunto linealmente independiente en F n . . w2 . αn an1 = . a12 . αn . . . . . . . . . . vn } una base de V . + αn wn = θ. . . ann ) = (0. . . . . w2 . v2 . . . Se a rma que las las de A son un conjunto linealmente independiente en F n . . sea la combinación lineal nula de los vectores de S dada por α1 w1 + . . . . . ann ) = (0. Desarrollo Sea A una matriz de n × n. Pruebe que sus las son un conjunto linealmente independiente en V = F n si y sólo si sus las forman un conjunto de vectores linealmente independiente en V . . . a1n ) + . . . . = α1 a1n + . αn ann = 0. α2 . . lo anterior se escribe como α1 (a11 . . . . + a1n vn . αn . . . . . como B = {v1 . 2. . αn ann )vn = θ. . . sea la combinación lineal nula de las las de A dada por α1 (a11 . . . + a1n vn . Si agrupamos obtenemos (α1 a11 + . . ∀ i ∈ {1. . . Usando la de nición de vector en F n . . . . an2 . . αn an1 )v1 + . . . 2. . .Leonel Badilla A. En efecto. . . a12 . .. . . . . . + αn an1 )v1 + . 15 Álgebra Lineal De donde se obtienen n ecuaciones dadas por α1 a11 + α2 a21 + . . = αn = 0. . −2). . que genera el sistema de ecuaciones 2a11 + 3a21 = 1 −a11 − 2a21 = 1 que tiene como única solución a11 = 5 y a21 = −3.Leonel Badilla A. α1 a1n + α2 a2n + . . 2)}. .. . sea la combinación lineal (1. −2). . wn } es un conjunto linealmente independiente. . para todo i ∈ {1. dada la de nición de los wi . Así. + ann vn ) = θ. −1)} . es equivalente a α1 w1 + . w2 . Para (1. . . . Calcule las matrices de cambio [T ]BB21 . . 1): Dados a11 . 2. + αn ann )vn = θ. . . B2 = {(2. (3. . . + αn wn = θ. . . concluyéndose así que las las de A son un conjunto linealmente independiente en F n . . + αn ann = 0 Si multiplicamos la ecuación i por vi . . −2)} y B3 = {(−1. 1). . . + αn an1 = 0 α1 a12 + α2 a22 + . + (α1 a1n + . . Compruebe que B2 B3 3 [T ]B B2 [T ]B1 = [T ]B1 Desarrollo Para encontrar la matriz de cambio de la base B1 a la base B2 . . y como S = {w1 . .. de donde agrupando tenemos α1 (a11 v1 + . . (−1. escribimos los vectores de la base B1 como combinación lineal de los vectores de la base B2 . . −1) + a21 (3. . + αn an2 = 0 . n}. + a1n vn ) + . Ejercicio XXV Considere las bases B1 = {(1. 1) = a11 (2. . a21 escalares. se debe tener que α1 = α2 = . −1).. (1. . . + αn (an1 v1 + . . . [T ]BB32 y [T ]BB13 . y sumamos todas la ecuaciones obtenemos (α1 a11 + . expresión que. sea la combinación lineal (3. Así. Luego. 1) = a11 (−1. −1) + a22 (3. que genera el sistema de ecuaciones −a12 − a22 = 3 −2a12 + 2a22 = −2 que tiene como única solución a12 = −1 y a22 = −2. Luego. −2). escribimos los vectores de la base B2 como combinación lineal de los vectores de la base B3 . 2). . −2) = a12 (−1. a22 escalares. Para (1. a22 escalares. que genera el sistema de ecuaciones −a11 − a21 = 2 −2a11 + 2a21 = −1 que tiene como única solución a11 = − 43 y a21 = − 45 . −2): Dados a12 . −2) + a21 (−1. Así. −1) = a11 (−1. −1) = a12 (2. escribimos los vectores de la base B1 como combinación lineal de los vectores de la base B3 . sea la combinación lineal (1. −2) + a22 (−1. 1): Dados a11 . a21 escalares. a21 escalares. que genera el sistema de ecuaciones 2a12 + 3a22 = 1 −a12 − 2a22 = −1 que tiene como única solución a12 = −1 y a22 = 1. −1): Dados a12 . la matriz de cambio de base es B2 [T ]B 1 = 5 −1 −3 1 . Para (3.Leonel Badilla A. sea la combinación lineal (1. Álgebra Lineal 16 Para (1. Para encontrar la matriz de cambio de la base B1 a la base B3 . Para encontrar la matriz de cambio de la base B2 a la base B3 . 2). −2) + a21 (−1. −1): Dados a11 . que genera el sistema de ecuaciones −a11 − a21 = 1 −2a11 + 2a21 = 1 que tiene como única solución a11 = − 43 y a21 = − 41 . 2). sea la combinación lineal (2. Para (2. la matriz de cambio de base es 3 [T ]B B2 = − 43 − 54 −1 −2 . Para ello. escriba (x. comprobamos que B2 3 [T ]B B2 [T ]B1 = − 34 − 45 −1 −2 5 −1 −3 1 = − 34 − 41 − 14 − 34 3 = [T ]B B1 Ejercicio XXVI En R2 sea B = {(1. (2. 17 Álgebra Lineal Para (1. que tiene como única solución a12 = 2 y a22 = 3. Para (1. [(x. 1) = a11 (1. 1): Dados a11 . Para (2. −1) = a12 (−1. y) escrito en la base canónica es (x. 1). −1): Dados a12 . 1)}. 3): Dados a12 . Luego. 1). 0). 1). la matriz de cambio de base es c [T ]B B Así. a22 escalares. es decir que el vector (x. a21 escalares. y) en términos de la base canónica. 0) + a22 (0. 0) − 1(0. 2). (0. y)]Bc = = 1 2 1 3 1 2 1 3 2 −1 . . escribimos los vectores de la base antigua como combinación lineal de los vectores de la base nueva. que tiene como única solución a11 = 1 y a21 = 1. Desarrollo Buscamos la matriz de cambio de base desde B a la base canónica Bc = {(1. −1). −1). sea la combinación lineal (1. = 0 −1 . −2) + a22 (−1.Leonel Badilla A. y) = 0(1. 3) = a12 (1. 3)} y sea [(x. Luego. sea la combinación lineal (1. 0) + a21 (0. 1) = (0. a22 escalares. la matriz de cambio de base es 3 [T ]B B1 = − 34 − 14 − 14 − 34 . Finalmente. que genera el sistema de ecuaciones −a12 − a22 = 1 −2a12 + 2a22 = −1 que tiene como única solución a12 = − 41 y a22 = − 43 . sea la combinación lineal (2. y)]B = (2. Luego. −1) + y(0. . −1). Ejercicio XXVIII En el espacio vectorial V = P2 (R) sea B = 1 − x. 3x. 0. a22 escalares. Para (−1. z) = y(−1. 3). 1)}. 1. y. 0. −1)}. Para la matriz de cambio de base [T ]BB21 . a21 escalares. (b) Calcule la matriz de cambio de base entre las bases que encontró en la parte (a). 0) + z(−1. 1 + x. Para (−1. sea la combinación lineal (−1. de donde (x. 1): Dados a12 . 0. x2 − x − 1 una base Desarrollo (a) Sea [x]B = (2. 0) = a11 (1. 1. Encontramos otra base diferente despejando z = −x − y . sea la combinación lineal (−1. 0): Dados a11 . ¾Qué polinomio es x? El polinomio es p(x) = 2(1 − x) + 3x + 3(x2 − x − 1) = −1 − 2x + 3x2 .Leonel Badilla A. −x − y) = x(1. z) = (x. 1. que tiene como única solución a11 = −1 y a21 = 1. 1. de donde la base queda B1 = {(−1. de donde la base queda B2 = {(1. 1) = a12 (1. (b) Si B2 = 3 − 2x. 1. (0. 1. 1. −1). encuentre [T ]BB2 Para la matriz de cambio de base [T ]BB2 . y. y. que tiene como única solución a12 = −1 y a22 = 0. z) = (−y − z. 1). −1). 0. 0. de donde (x. escribimos los vectores de la B como combinación lineal de los vectores de B2 . −1)+a22 (0. sea la combinación lineal 1−x = a11 (3−2x)+a21 (1+x)+a31 (x+x2 ) = (3a11 +a21 )+(−2a11 +a21 +a31 )x+a31 x2 . 18 Álgebra Lineal Ejercicio XXVII Considere H ≤ R3 dado por la ecuación x + y + z = 0. Para 1 − x: Dados a11 . escribimos los vectores de la B1 como combinación lineal de los vectores de B2 . x + x2 . 0. la matriz de cambio de base es 2 [T ]B B1 = −1 −1 1 0 . 0). y. −1)+a21 (0. a21 . 1. −1). Desarrollo (a) Encuentre dos bases diferentes para este espacio Encontramos una base despejando x = −y − z . (−1. 1. 0. a31 escalares. 0. encontramos [x]B2 haciendo 2 5 [x]B2 = − 15 0 − 53 1 5 4 2 5 . Para 3x: Dados a12 . a33 escalares.Leonel Badilla A. la matriz de cambio de base es 2 5 2 −1 [T ]B B1 = 5 0 − 35 9 5 0 1 5 − 58 . a23 = − 85 . a22 = 95 . Así. a21 = − 15 . Luego. a23 . a22 . a32 escalares. a31 = 0. . Álgebra Lineal 19 que genera el sistema de ecuaciones 3a11 + a21 = 1 −2a11 + a21 + a31 = −1 a31 = 0 cuya única solución es a11 = 25 . que genera el sistema de ecuaciones 3a12 + a22 = 0 −2a12 + a22 + a32 = 3 a32 = 0 cuya única solución es a12 = − 53 . sea la combinación lineal 3x = a12 (3−2x)+a22 (1+x)+a32 (x+x2 ) = (3a12 +a22 )+(−2a12 +a22 +a32 )x+a32 x2 . sea la combinación lineal x2 −x−1 = a13 (3−2x)+a23 (1+x)+a33 (x+x2 ) = (3a13 +a23 )+(−2a13 +a23 +a33 )x+a33 x2 . que genera el sistema de ecuaciones 3a13 + a23 = −1 −2a13 + a23 + a33 = −1 a33 = 1 cuya única solución es a13 = 15 . a32 = 0. Para x2 − x − 1: Dados a13 . a33 = 1. − 58 1 = − 17 5 1 3 3 9 5 0 es decir que el vector en la nueva base es p(x) = 45 (3 − 2x) − 17 5 (1 + x) + 3(x + x2 ) = 1 − 2x + 3x2 . 1 (c) Escriba x en términos de la base B2 . 0. sea la combinación lineal (0. a32 escalares. 1). −1. 1). −1) + a33 (1. 1. 1). 0.Leonel Badilla A. a22 = 2. que genera el sistema de ecuaciones a11 + a31 = 3 −a11 + a21 = 0 −a21 + a31 = 0 cuya única solución es a11 = 23 . a23 . 2. Para ello. 2. 0. (1. a22 . 2. 0) + a22 (0. a31 escalares. 0): Dados a11 . 0. Para (1. −1) = a12 (1. que genera el sistema de ecuaciones a13 + a33 = 0 −a13 + a23 = 1 −a23 + a33 = 5 cuya única solución es a13 = −3. escribimos los vectores de la B1 como combinación lineal de los vectores de B2 . 0. 0). (0. a21 . sea la combinación lineal (3. (1. (0. 1)}. −1) + a31 (1. 0) + a21 (0. 1. 0) + a23 (0. 1. Escriba [x]B1 = (2. 0. 1. a33 = 3. a21 = 23 . 1. Para (0. 1. 0) = a11 (1. 4) en términos de la base B2 . 5): Dados a13 . Para (3. −1. −1. −1): Dados a12 . a33 escalares. a32 = 1. Desarrollo Buscamos la matriz de cambio de base [T ]BB21 . −1. 5)} y B2 = {(1. . 0). −1). 5) = a13 (1. −1) + a32 (1. Álgebra Lineal 20 Ejercicio XXIX En R3 considere las bases B1 = {(3. −1). −1. a31 = 32 . 0. que genera el sistema de ecuaciones a12 + a32 = 1 −a12 + a22 = 2 −a22 + a32 = −1 cuya única solución es a12 = 0. 1. sea la combinación lineal (1. a23 = 2. en vez de W1 + W2 . 1) y w = (−3. hacemos la combinación lineal (−3. β ∈ R. Hay que comprobar que W1 ∩ W2 = {θ}. la matriz de cambio de base es 2 [T ]B B1 = 3 2 3 2 3 2 0 −3 2 −2 . Sea v ∈ W1 ∩ W2 . ¾Cuántas soluciones tiene este problema?. Álgebra Lineal 21 Luego. es decir W1 ∩ W2 = {θ}. 7).Leonel Badilla A. 2. Desarrollo Supongamos en primer lugar que la suma es directa. Ahora supongamos que la descomposición es única y veamos que la suma es directa. Encuentre α. anotamos W1 ⊕ W2 . Por la unicidad de la descomposición. de donde w1 − w10 = w2 − w20 = θ. 2. w20 ∈ W2 . Desarrollo Dados α. β ∈ R tales que w = αu + βv . es decir que w1 = w10 y w2 = w20 . decimos que W1 + W2 es la suma directa de W1 y W2 . éste puede descomponerse como v = v + θ. 7) = α(1. con v ∈ W1 y θ ∈ W2 . 2. 1 3 Ahora. Suponga que W1 ∩ W2 = {θ}. 3). deducimos que v = θ. Ejercicio XXXI Sean W1 . w10 ∈ W1 y w2 . Si v = w1 +w2 = w10 +w20 . con w1 . con θ ∈ W1 y v ∈ W2 . 2. con w1 ∈ W1 y w2 ∈ W2 . Sea v ∈ W1 +W2 . W2 subespacios de V . 1 3 4 16 Ejercicio XXX En R3 consideremos los vectores u = (1. v = (3. entonces w1 − w10 = w2 − w20 ∈ W1 ∩ W2 . 3) + β(3. que tiene asociado el sistema de ecuaciones α + 3β = −3 2α + 2β = 2 3α + β = 7 cuya única solución es α = 3 y β = −2. 2.se tiene que el vector dado escrito en términos de la base B2 está dado por [x]B2 = 3 2 3 2 3 2 2 −9 0 −3 2 −2 −1 = −3 . Además. . con V un espacio vectorial de dimensión nita. En este caso. 1). y también puede descomponerse como v = θ + v . Pruebe que V = W1 ⊕ W2 si y sólo si todo elemento v ∈ V se escribe de modo único como v = w1 + w2 . Veamos que entonces la descomposición es única. 2. Así. 0. v1 . u2 . Sean W1 := h{u1 . 1. v1 = (1. u1 ∈ W1 . b2 . v1 . y v2 ∈ W2 . u2 } es un conjunto linealmente independiente. u2 = (−1. se tiene que en particular. c escalares. basta veri car que u2 no satisface la ecuación del plano de W1 . . obtenemos que el conjunto {u1 . de donde a1 +b1 +c1 = 0. y v1 ∈ W1 . a rmamos que {u1 . 0. Para ver que u2 ∈ / W1 . v2 (2. con c1 = 1. Además. se obtiene el sistema −a2 + 3c2 = 0 2a2 − b2 = 0 que tiene como solución b2 = 6c2 y a2 = 3c2 que tiene in nitas soluciones. Álgebra Lineal 22 Ejercicio XXXII Sean u1 = (0. obtengo que a2 = 3 y b2 = 6. v1 }i y W2 := h{u2 . En efecto. Por otra parte. (b) Muestre que u2 ∈ / W1 y que W1 + W2 = R3 . es decir −3 · (−1) + 1 · 3 = 6 6= 0. Por lo tanto {u1 . c2 tales que W1 = {(x. dados a. b1 . formamos la combinación lineal nula de los vectores a(0. −1. que genera el sistema b−c = 0 a+b = 0 −2a + b + 3c = 0 cuya única solución es a = b = c = 0. 0). como v2 satisface la ecuación del plano que genera W1 . y. Considerando una de ellas. concluyéndose que W1 + W2 = R3 . de donde b1 −2c1 = 0. Desarrollo (a) Encuentre los escalares a1 . se obtiene el sistema a1 + b1 + c1 = 0 b1 − 2c1 = 0 que tiene como solución a1 = −3c1 y b1 = 2c1 que tiene in nitas soluciones. Si agregamos el vector v2 a nuestra base. b. 1. se tiene que W1 ∩ W2 = {v2 }. por ende el conjunto es linealmente independiente. 1. z) : a1 x + b1 y + c1 z = 0} W2 = {(x. 0). u2 } es base de R3 . u2 ∈ W2 . 3) = (0. también generan W1 + W2 . v2 }i. 3). Considerando una de ellas. sin embargo no se tiene que W1 ⊕ W2 = R3 .Leonel Badilla A. −2) + b(1. Análogamente. z) : a2 x + b2 y + c2 z = 0} Se tiene que en particular. de donde 2a2 − b2 = 0. c1 y a2 . 1. v1 . con c2 = 1. Así. 1). obtengo que a1 = −3 y b1 = 2. 0. es decir que v2 ∈ W1 . de donde se concluye que W1 y W2 no están en suma directa. y. y por de nición. de donde −a2 + 3c2 = 0. 1) + c(−1. −2). v2 } generan R3 . . se tiene que v · v = 0. vn ). con u = (u1 . tal que v ∈ V ∩ V ⊥ . . 1. . con vj ∈ V . pruebe que existe un subespacio vectorial G de Rn tal que Rn = V ⊕ G. 2. 3). . En particular. el cual pertenece a V ⊥ . . k}. Como v ∈ V . de donde obtenemos que ai = vi · u. los cuales son únicos. ak vk . Luego. . de nimos v ⊥ = u − v . dado V subespacio vectorial de Rn . 4. 4. . . . En el ejercicio IX se probó que G = V ⊥ es un subespacio vectorial. un ) y v = (v1 . ∀ i ∈ {1. . con v 6= θ. 1) = (1. Luego. por construcción. Por ejemplo. Sí puede ser. Sí puede ser. vk }. y además es un conjunto linealmente dependiente. Álgebra Lineal 23 Ejercicio XXXIII Para todo subespacio vectorial V de Rn . Así. Así. vp en S . . . se concluye que Rn = V ⊕ V ⊥ . 1)} Es claro que S cumple la propiedad (L). . queremos demostrar que existen v ∈ V y v ⊥ ∈ V ⊥ tales que u = v + v ⊥ . (−1. 0. . 2. existen escalares ai tales que v = a1 v1 + . 3. consideramos V = R3 y S = {(1. Desarrollo Recordamos que Rn es un espacio vectorial donde se de ne el producto interior. Probaremos que V ∩ V ⊥ = {θ}. v2 . sea v 6= θ. ∀ i. pues vi · v ⊥ = 0 por de nición de V ⊥ y vi · vj = δij . . de nimos una base ortonormal {v1 . v2 . . Suponga que S tiene la propiedad: (L) Dado un par de vectores vk . 1. como v ∈ V . 0) + (−1. por lo tanto V ∩ V ⊥ = {θ}. . con v ∈ V y v ⊥ ∈ V ⊥ . pero por propiedad de producto interior. Desarrollo (a) ¾Puede ser S un conjunto linealmente dependiente? Dé ejemplos. En efecto. vn }. 3. Así. 0. . encontramos v ∈ V y v ⊥ ∈ V ⊥ tal que u = v + v ⊥ . Por ejemplo. . consideramos V = R4 y S = {(1. . 2. .Leonel Badilla A. es decir que obtuvimos los escalares necesarios. como Rn es de dimensión n y V es subespacio vectorial. a rmamos que existe G = V ⊥ tal que Rn = V ⊕ V ⊥ . es decir que Rn = V + V ⊥ . . dado i ∈ {1. 2. lo que es una contradicción. Ejercicio XXXIV Sean S = {v1 . i=1 Así. la que proviene que de existe v ∈ V ∩ V ⊥ . . no existe un escalar β tal que βvk = vp . dado por u·v = n X ui vi .y además es un conjunto linealmente independiente. Finalmente. 1). 0). que suponemos de dimensión k < n. 1)} Es claro que S cumple la propiedad (L). (−1. 1). es decir que vi · vi = 1. dado u ∈ Rn . donde V es un espacio vectorial de dimensión m ≥ n. dado u ∈ Rn . k} calculamos vi · u = vi · (v + v ⊥ ) = ai . . 2. . como v ∈ V ⊥ . Razonando por contradicción. (0. pues (0. se tiene que v · w = 0 para cualquier w ∈ V . se concluye que v = θ. Falta ver que Rn = V +V ⊥ . . (b) ¾Puede ser S un conjunto linealmente independiente? Dé ejemplos. . 0. j ∈ {1. . Así. . k} y que vi · vj = δij . . es decir. Pasando los pci i con ci negativo al otro miembro. 1) + c(0. . Por la unicidad de la factorización en primos. Veamos que es linealmente independiente. . Consideremos la combinación lineal de los vectores dando cero.Leonel Badilla A. los exponentes deben ser todos nulos. . Ejercicio XXXVI Sea V = C3 y sea B = {(2i. b. 0. Álgebra Lineal 24 (c) ¾En qué caso se puede asegurar que la propiedad (L) garantiza que el conjunto que la posee es linealmente independiente. −1. 0). 1 + i. Supongamos que existe una combinación lineal c1 log(p1 ) + · · · + cn log(pn ) = 0 con ci ∈ Q. Ejercicio XXXV Considere R como espacio vectorial sobre Q. Sean p1 . c ∈ F a(2i. . 0). La expresión anterior. 1 − i) = (0. Luego el conjunto A es linealmente independiente. De donde pc11 · · · pcnn = 1. Desarrollo Sea A = {log(p) | p primo} ⊂ R. es log(pc11 · · · pcnn ) = 0. 1. 1 + i. 1. pn primos distintos. 0) + b(2. es decir dados a. usando las propiedades de los logaritmos. −1. 1 − i)} Desarrollo (a) Pruebe que B es base de V . Podemos suponer que los coe cientes ci son enteros multiplicando por el mínimo común denominador. (0. Los enteros ci pueden ser positivos. (2. Pruebe que la dimensión de este espacio es in nita. c1 = · · · = cn = 0. tenemos un mismo número natural escrito de dos formas distintas como producto de números primos. El conjunto A es in nito porque lo es el conjunto de los números primos y logaritmo es una función inyectiva. La propiedad (L) garantiza que el conjunto S es linealmente independiente sólo cuando S posee dos elementos. . negativos o nulos. 1). como se tienen tres vectores linealmente independiente. Además. 1 − i) = (1. 0. −ai+b+ci) = (0. −i)+b(1+i. 1) en términos de la base B Para encontrar la representación. b. c ∈ F a(1. debemos resolver que dados a. i. 0. c ∈ F a(2i. c = 34 + 14 i. Álgebra Lineal 25 de donde obtenemos el sistema 2ai + 2b = 0 a − b + c(1 + i) = 0 b + c(1 − i) = 0 cuya única solución es a = b = c = 0. por lo que el conjunto dado es linealmente independiente. 1 − i. i) = (0. (1 + i. 1 + i. Desarrollo Consideremos la combinación lineal de los vectores dando cero. Pruebe que U es base de C3 y encuentre la matriz de cambio de base de U a B (del ejercicio anterior). 0) ⇔ (a+b(1+i)+ci. 0).Leonel Badilla A. −1. −i). ellos generan todo C3 . 0. Luego. 1. 0. 1). (b) Encuentre la representación del vector u = (1. 1)+c(i. (1−i)b+ci. Por lo tanto. b = 21 i. 0) + b(2. es decir dados a. el conjunto dado es base. i)}. 0. b. 0. de donde obtenemos el sistema a + b(1 + i) + ci = 0 (1 − i)b + ci = 0 −ai + b + ci = 0 . 1−i. (i. de donde obtenemos el sistema 2ai + 2b = 1 a − b + c(1 + i) = 0 b + c(1 − i) = 1 cuya única solución es a = − 21 − 21 i. 2i 3 1 4 + 4i Ejercicio XXXVII Sea U = {(1. 1) + c(0. i. la representación del vector en la base es 1 1 [u]B = −2 − 2i 1 . 1). 1) + a32 (0. 0) + a21 (2. a21 = 1 − 12 i. Además. el conjunto dado es base. 1). 1 − i) = (1 + i. para encontrar la matriz de cambio de base. 0) + a22 (2. −i): Resolvemos a11 (2i. −i). 1 − i) = (1. 1 − i. de donde obtenemos el sistema 2ia11 + 2a21 = 1 a11 − a21 + (1 + i)a31 = 0 a21 + (1 − i)a31 = −i cuya única solución es a11 = 21 (1 + i). −1. de donde obtenemos la matriz de cambio de base + i) −(1 + i) 32 − 21 i 1 − 1i −1 + 3i −1 − i . a33 = − 34 + 54 i. Por lo tanto. Álgebra Lineal 26 cuya única solución es a = b = c = 0. i. 1 + i. 0. debemos escribir los vectores de la base nueva como combinación lineal de los vectores de la base antigua. a22 = − 21 + 32 i. de donde obtenemos el sistema 2ia13 + 2a23 = i a13 − a23 + (1 + i)a33 = i a23 + (1 − i)a33 = i cuya única solución es a13 = 3 2 − 12 i. a32 = 32 . 1. Para (1 + i. como se tienen tres vectores linealmente independiente. 1 − i) = (i. i): Resolvemos a13 (2i. 1 − i. i). a23 = − 12 − i. ellos generan todo C3 . Para (i. por lo que el conjunto dado es linealmente independiente. −1. −1. es decir Para (1. i. de donde obtenemos el sistema 2ia12 + 2a22 = 1 + i a12 − a22 + (1 + i)a32 = 1 − i a22 + (1 − i)a32 = 1 cuya única solución es a12 = −(1 + i). [T ]B U = 2 2 2 2 3 − 14 − 43 i − 34 + 54 i 2 1 2 (1 . 0) + a23 (2. 0. 1 + i.Leonel Badilla A. 1. 1. Ahora. a31 = − 14 − 43 i. 1 + i. 1) + a31 (0. 1): Resolvemos a12 (2i. 1) + a33 (0. de modo que P A sea escalonada y reducida por las. Álgebra Lineal 27 Ejercicio XXXVIII Dada la matriz 1 i 0 −i 0 1 . 0 1+i 1−i Encuentre una matriz P . las que detallamos a continuación: 1 i 0 −i 0 1 0 1+i 1−i 1 i 0 E +iE1 0 −1 1 −−2−−−→ 0 1+i 1−i 1 i 0 (−1)E2 0 1 −1 −−−−→ 0 1+i 1−i 1 i 0 E3 +(−1−i)E2 −−−−−−−−−→ 0 1 −1 0 0 2 1 i 0 1 2 E3 0 1 −1 −− −→ 0 0 1 1 i 0 E2 +E3 0 1 0 −−−−→ 0 0 1 1 0 0 E1 +(−i)E2 −−−−−−−→ 0 1 0 0 0 1 Así. Desarrollo Debemos aplicar operaciones elementales por las. construimos la matriz P que re eja todas las operaciones elementales por las realizadas.Leonel Badilla A. obteniendo: 1+i 1 + i −i P = 21 −1 − i −1 + i 1 −1 + i 1 + i 1 .