Modelos Básicos Propuestos y Resueltos 1 Resolución de Modelos Básicos1.1 Planificación de Recursos Producto A Producto B Producto C Producto A Producto B Producto C A B C A B C Recurso 1 Producto A Producto B Producto C A B C A B C A B C Recursos en Serie El siguiente problema muestra la diferencia entre ambas definiciones. Una fábrica que elabora tres tipos de teléfonos: celulares, inalámbricos y fijos. Las utilidades de los teléfonos son de $50, $20 y $25 respectivamente. Para elaborar un teléfono éste debe pasar de forma consecutiva o en serie por las tres máquinas uno, dos y tres, las cuales pueden trabajar un máximo de 10 horas, 20 horas y 22 horas diarias respectivamente. La productividad de cada máquina, expresada en unidades por hora, se muestra en la Tabla 1. Tabla 1: Productividad de las Máquinas Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Celulares 9 5 3 Fijos 3 4 1 Inalámbricos 5 1 2 La formulación de este problema se desarrolla a continuación. Variables de decisión: c : números de teléfonos celulares a producir. y : números de teléfonos inalámbricos a producir. f : números de teléfonos fijos a producir. Maximizar: z = 50c 20 y 25 f Sujeto a: Recurso 1 Ilustración 1: Recursos en Serie o en Paralelo Recurso 2 Recurso 3 Recursos en Paralelo Recurso 2 La formulación de este problema como un programa lineal requiere una combinación de variables de tipo de teléfono en cada máquina. 2 . pasteles.c f y 10 9 3 5 c f y 20 5 4 c y f 22 3 2 c. f 0 Si la elaboración de teléfonos se puede realizar en cualquiera de las tres máquinas que dispone la fábrica. 2. y i . 3. Un ejemplo de satisfacción de receta es el problema de un restaurante que ofrece tres tipos de menú: J. pues se pueden producir en paralelo. consisten en buscar la combinación de recursos que satisfacen de la forma más eficiente un conjunto de requerimientos. el número de decisiones aumenta pues se debe determinar en cuál máquina producir qué modelo de teléfono.2 Satisfacción de Receta Los problemas de satisfacción de recetas. 3 3 3 Maximizar: z = 50 i 1 ci 20 i 1 yi 25 i 1 fi Sujeto a: c1 9 c2 5 c3 3 f1 3 f2 4 y1 5 y2 10 20 f3 y3 2 0 22 ci . jugos y bebidas. Variables de decisión: ci = números de teléfonos celulares a producir en la máquina i yi = números de teléfonos inalámbricos a producir en la máquina i fi = números de teléfonos fijos a producir en la máquina i i = 1. f i 1. y. también denominados de satisfacción de dieta. K y L. Se desea entregar el servicio más barato que cumpla con las exigencias que se entregan en la Tabla 2. Cada uno tiene distinto costos y cantidades de canapés. modele el problema planteado. k. de harina y 400 kg. 3 . la cantidad de marraqueta que se produzca debe ser mayor o igual a la cantidad de baguette.Tabla 2: Exigencias de Menús Canapés Pasteles Jugos Bebidas Costo Menú J 10 5 2 500 Menú K 5 3 1 1 200 Menú L 15 5 2 800 Mínimo requerido 500 350 100 120 Para resolver este problema se definen: Variables de decisión: j : cantidad de menú J a comprar k : cantidad de menú K a comprar l : cantidad de menú L a comprar Minimizar: z = 500 j +200 k +800 l Sujeto a: 10 j +5 k +15 l 500 5j+3k+5l 350 2j+k 100 k+2l 120 j. Asumiendo que el objetivo del panadero es maximizar la utilidad por la venta de pan. de marraqueta o baguette: Tabla 3: Insumos por Producto Marraqueta Baguette Harina 0. el cual es compartido en la producción de marraquetas y baguettes.9 0. mientras que el de baguette es de $15 por kg.1 0. Se sabe que el margen de utilidad que obtiene por la marraqueta es de $10 por kg. La Tabla 3 muestra las cantidades de cada insumo que se deben utilizar para la producción de un kg. Dadas las características del proceso productivo. l 0 2 2. Los insumos utilizados para la producción de pan en general son harina y levadura.2 Minutos de horno 15 12 La panadería dispone de 1000 kg. además el horno puede trabajar durante 10 horas al día. de levadura diariamente.8 Levadura 0. además de la utilización de un horno especial.1 Otros Tipos de Problemas Un panadero al comienzo del día debe decidir la cantidad de kilogramos de Baguette y Marraqueta que producirá hoy. 2. i = 1.25 · (5 x1 – 3 x2 +9 x3 + 4 x4) + 0. x3. xb 0 2. x2. El resultado A tiene un 30% de probabilidad de ocurrencia.8 xb 1000 0.2 xb 400 0. Tabla 4: Ganancia o Pérdida por Resultado y Opción Resultado Opción 1 A –3 B 5 C 3 Opción 2 4 –3 –9 Opción 3 –7 9 10 Opción 4 15 4 –8 El jugador tiene un total de $500.2 xb 10 xm. La Tabla 4 indica la ganancia. 4. 3.2 Un jugador participa en un juego que requiere dividir el dinero apostado entre cuatro opciones diferentes. Solución: Variables de decisión: xi = monto de dinero a jugar en la opción i. correspondiente por cada peso depositado en cada una de las cuatro opciones de los tres resultados.Solución: Variables de decisión: xm : producción diaria de marraquetas xb : producción diaria de baguettes Maximizar: z = 10 · xm +15 · xb Sujeto a: xb xm 0. o pérdida.1 xm + 0. x4 0 500 4 . El juego tiene tres desenlaces posibles. que puede jugar sólo una vez.25 xm + 0.9 xm + 0. Maximizar: z = 0. Formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar la riqueza.3 · (–3 x1 + 4 x2 – 7 x3 +15 x4) + 0. el resultado B un 25% y el resultado C un 45%.45 · (3 x1 – 9 x2 + 10 x3 – 8 x4) Sujeto a: x1 + x2 + x3 + x4 x1. se pueden usar de uno a cuatro colores de tinta.5 m + 1 u + 2 d 18. La capacidad de la flota es de 180. pero la mitad de la utilidad de las unidades de un litro? Solución: a) Variables de decisión: m: Unidades de bebidas de medio litro. La cantidad de tinta (en mililitros) usados para imprimir cada uno de los afiches se resume en la Tabla 5. Se sabe que las ventas máximas son de 40 mil unidades de medio litro.3 Un centro de distribución despacha bebidas en envases de medio.000 u 10. Maximizar: z = 251 m + 207 u + 303 d Sujeto a: m 40. Tabla 5: Requerimiento de Tinta para Afiches Liberal Democrático Verde Independiente Rojo 70 0 0 0 Azul 140 80 10 0 Amarillo 50 90 10 0 Negro 60 100 100 50 5 . uno y dos litros. uno y dos litros son de $251. Cada partido tiene sólo un diseño para su afiche. u. u: Unidades de bebidas de un litro. $207 y $303 respectivamente.5 m + 1 u + 2 d 180. 80 mil unidades de un litro y 50 mil unidades de dos litros al mes.000 m.2. a) Formule el problema mediante programación lineal identificando variables.000 u 80.000 litros de unidades de litro.000 0. función objetivo y restricciones. Los márgenes unitarios para las unidades de medio.000 d 50.000 litros al mes y no se pueden transportar más de 10.4 Una imprenta produce afiches para cuatro partidos políticos durante la campaña electoral.000 c) Maximizar: z = 4 u + 2 m + d 2. d 0 b) 0. d: Unidades de bebidas de dos litros. b) ¿Cómo modelaría el hecho que la empresa debe despachar como mínimo un 10% de su capacidad? c) ¿Cómo queda la función objetivo si la utilidad de las unidades de medio litro es el doble que la de dos litros. Para imprimir cada diseño. Democrático. La cazuela debe cumplir con ciertos requisitos en su composición nutricional: tener un contenido en materia grasa de al menos 0. Suponga además que los principales ingredientes a utilizar son verduras. Se pide formular el problema para determinar la mezcla óptima de los ingredientes para preparar la cazuela con los nutrientes requeridos al mínimo costo. 150 litros de tinta amarilla. Los otros partidos quieren cuantos pueda producir la imprenta. En la tabla 6 se resumen los contenidos de cada ingrediente. $2.800. Por razones políticas internas de la empresa. y 500 litros de tinta negra.97 d + 926. amarillo y negro respectivamente. Tabla 6: Nutrientes y Costo de Ingredientes Ingrediente Porcentaje de nutrientes por kilo de Ingrediente Grasa Fibra Almidón 6 Costo [$] por kilo .v.000 l 300 i 2 ( d + l + v) d.2%. El costo de la tinta por litro es de $7. $210 por el uso de 2.000 50 l + 90 d + 10 v 150. Los números de afiches requeridos cada día por el partido Liberal es a lo menos 300. La cantidad de tinta disponible cada día son: 300 litros de tinta roja.24 v + 508.000 60 l + 100 d + 100 v + 50 i 500. carnes y papas.90 i Sujeto a: 70 l 300. Solución: Variables de decisión: l : cantidad de afiches a producir para el partido Liberal d : cantidad de afiches a producir para el partido Democrático v : cantidad de afiches a producir para el partido Verde i : cantidad de afiches a producir para el partido Independiente Maximizar: z = 2253. $350 por el uso de 3 y $420 por el uso de 4. Plantee el problema para ver cómo la imprenta maximizaría su utilidad. $1. 100 litros de tinta azul.100.400 y $700 por el partido Liberal. se ha decidido proveer al partido independiente con al menos el doble de los afiches que la suma de los otros tres partidos. y no más de 5% de almidón. Los precios pagados por cada afiche son de $2.000 140 l + 80 d + 10 v 100.5 Suponga que cocinará una gran cazuela de peso mínimo 100 kgs.i 0 2. Verde e Independiente respectivamente. El costo del papel por cada afiche es $119. azul. en fibra no menor que un 22%.8% y no más de 1.Los costos de trabajo de producir cada afiche depende del número de colores usados: $70 por el uso de 1.30 l + 1621. $35 y $42 para el rojo. $21. 2 (xc + xp +xv) 0.001 0.08 0. La casa sencilla se espera tenga un precio de venta de 10. El costo de conexión y el gasto promedio de las casas se indica en la Tabla 7.8 (xc + xp +xv) 0.0164 xc + 0.00 0. 2 ó 3 familias. xv 0 2. La empresa de agua potable también ha señalado que puede proporcionar a dichas casas un máximo de 200. la casa doble de 15.000UF.02 xp + 0.00 0.38 xc + 0.000UF.002 xv 0.000 a +15.001 xp + 0. Para limitar el uso de estanque de residuo de alcantarillados de las casas se requieren terrenos con tamaños de 2.09 0. Estudios técnicos señalan que el 15% de los terrenos se utilizan en calles y vías de acceso. xp.000UF.Carne Papas Verduras Solución: 0.000 b + 20.0463 xp + 0. el cual debe ser como mínimo de 100.125 Variables de Decisión: xi [kgs. papas y verduras para producir la mezcla.5 xv 22 (xc + xp +xv) xc.002 0. Minimizar: z = 0.02 0.38 xc + 0.]: cantidad de carne.6 Lote diario Grasa Grasa Almidón Fibra No negatividad Una empresa de construcción y dispone de un terreno de 800 há no urbanizadas.5 0.000 c .08 xv 5 (xc + xp +xv) 0. donde las casas de 1 familia constituyen por lo menos el 50% del total de los inmuebles construidos. 3 y 4 há para casas de 1.(1000 a + 1200 b +1400 c) Sujeto a: 2 a +3 b + 4 c 680 (85% de 800) Disponibilidad de Terreno 7 A 1000 400 B 1200 600 C 1400 840 . Tabla 7: Costo de Conexión y Gasto Promedio de Casas Tipo de Construcción Costo de Conexión [UF] Consumo [m3] Solución: Variables de Decisión a: número de casas sencillas b: número de casas dobles c: número de casas triples Maximizar: z = 10.125 xv Sujeto a: xc + xp + xv 100 0.0463 0.38 0.0164 0.001 xp + 0. 2 y 3 familias respectivamente. El costo de conexión del servicio de agua potable es proporcional al número de casas que se construya. De acuerdo al plan de la comuna usted puede construir casas para 1. Plantee el modelo que permita maximizar utilidad.002 xv 1.000UF y la triple en 20.09 xp + 0.000 m3 por día durante los períodos de prueba. 000 a 0. El taller trabaja 250 horas a la semana.400 c 100. b) Modele este problema definiendo las variables como el porcentaje del presupuesto destinado a pintar cada tipo de vehículo.500 para gasto en pintura. Requerimientos de Pintura y Demanda Utilidad por vehículo pintado $5 $7 Pintura necesaria por vehículo 15 litros 20 litros Demanda máxima mensual 26 buses 24 camiones Bus Camión Si el costo de cada litro de pintura es de $30 y el taller dispone de un presupuesto semanal máximo de $2.7 0 Agua potable Consumo Construcción de casas No negatividad Un taller especializado en el pintado de buses y camiones desea maximizar sus utilidades mensuales. b. b 0 2500 Horas trabajadas Demanda Demanda Presupuesto No Negatividad b) Variables: xb: porcentaje del presupuesto destinado a pintar buses semanalmente xc: porcentaje del presupuesto destinado a pintar camiones semanalmente Maximizar: z = 5 xb 2500 / (15 30) + 7 xc 2500 / (30 20) Sujeto a: xb 2500 3 / (15 30) + xc 2500 / (30 20 2) 250 xb 2500 / (15 30) 26/4 xc 2500 / (30 20) 24/4 8 . se pide: a) Modele este problema definiendo las variables como las horas de trabajo destinadas a pintar cada tipo de vehículo.000 400 a + 600 b + 840 c 200. Solución: a) Variables: b: horas destinadas a pintar buses semanalmente c: horas destinadas a pintar camiones semanalmente Maximizar: z = 5b/3+ 7c 2 Sujeto a: b+ c 250 b/3 26/4 2 c 24/4 30 15 b/3 +20 30 2 c c. Tabla 8: Utilidad de Buses y Camiones. los requerimientos de pintura y la demanda máxima se muestran en la Tabla 8. La utilidad por vehículo pintado. c 2.200 b +1.1. en tanto que es posible pintar 2 camiones en una hora. Para el pintado de cada bus son necesarias 3 horas.000 a + 1.5 (a + b + c) a-b-c 0 a. 2 · 580 u 1800 Tiempo de packing 0. defina las variables de decisión como: p : los kilos de peras a vender m : el tiempo dedicado a cosechar manzanas u : % del presupuesto de las cajas destinados a empaquetar uvas Solución: Maximizar: z = 3000·0.025 m + 5·10·580 u 90. Tabla 9: Información para el Exportador de Fruta Cosecha (minutos/kilo) 4 2 5 Packing (cajas/hora) 20 10 5 Capacidad caja (kilos/caja) 25 20 10 Peras Manzanas Uvas Se estima que no hay restricción en la demanda por manzanas y uvas.025 m +580 u) Sujeto a: 4·25·0.1· 0. y también de cajas para dicho packing. Cada caja de peras. Modele como un problema lineal de modo de maximizar la utilidad.025 m + 580 u 580 Presupuesto p 2500 Máxima demanda peras p. u 0 No negatividad 9 .04 p + 2·20·0.05 · 0.8 Un exportador de peras. $2500 y $4000 respectivamente.04 p + 0.000 Tiempo cosecha 0.04 p +0.04 p + 2500·0. m. manzanas y uvas requiere de temporeros para la cosecha y el packing de las frutas. manzanas y uvas se vende a $3000. xb 0 2. Para esto.xc + xb 1 xc. pero que a lo más se venderán 100 cajas de peras.000 para dicho insumo.04 p + 0.025 m + 4000·580 u – 150·(0. Además se cuenta con la información de la Tabla 9 a continuación.025 m + 0. El costo directo de una caja es de $150 pesos y se cuenta con un presupuesto de $87. Actualmente cuenta con 30 personas que disponen de 50 horas cada uno para realizar el trabajo de cosecha y otras 60 horas cada uno para realizar el trabajo de packing. El segundo proceso es el horneado de las masas.5 · m + (390 – 140) · 0.000.9 Una panadería produce marraquetas. quienes tienen una disponibilidad semanal de 50 horas cada uno. la panadería tiene una política de que la producción de pan especial debe ser al menos un cuarto de la producción total de hallullas y marraquetas sumadas.15 · h + (75 / 25) · 5000 · e ≤ 7200 Restricción tiempo horneado 160 · 1.5 · m + 140 · 0.500 Máxima demanda pan especial 4 · 5000 · e ≥ 1.15 · h + 190 · 5000 · e ≤ 950.15 · h + (600 – 190) · 5000 · e Sujeto a: (60 / 12) · 1.000 Restricción tiempo panaderos (40 / 60) · 1. a cargo de 15 panaderos. Tabla 10: Datos de Cada Tipo de Pan Preparación Masa [Kilos/Hora] 12 9 6 Horneado Masa [Minutos] 40 30 75 Capacidad de cada Horno [Kilos] 60 30 25 Marraquetas Hallullas Pan Especial Al mismo tiempo se sabe que la demanda mínima entre hallullas y marraquetas es de 1600 kilos y que históricamente. para lo cual necesita dos procesos.5 · m + (60 / 9) · 0. Por ejemplo.5 · m + (30 / 30) · 0. Además se cuenta con la información de la Tabla 10 para cada tipo de pan. cada horno puede procesar 60 kilos de marraqueta para lo cual requiere de 40 minutos de cocción. Para cubrir los costos de producción se cuenta con un presupuesto de $950. Modele como un problema lineal de modo de maximizar las utilidades de la panadería.15 · h + (60 / 6) · 5000 · e ≤ 45. . $140 y $190 por kilo.5 · m + 0.600 Mínima demanda hallullas y marraquetas 1. Para esto se definen las siguientes variables: m h e Solución: Maximizar: z = (450 – 160) · 1.15 · h Política de producción m.2. $390 y $600. hallullas y pan especial son respectivamente de $ 450.5 · m ≤ 3. h. e ≥ 0 No negatividad 10 : Minutos dedicado a hornear marraquetas semanalmente : Minutos dedicado a la preparación de la masa de las hallullas : % del presupuesto semanal destinado a la producción de pan especial. El primero es la preparación de las masas. Conjuntamente. no se venden más de 3800 kilos de marraquetas ni más de 2500 kilos de pan especial. y sus costos directos de producción respectivos son $160.15 · h ≥ 1. para lo cual se tiene dos hornos con una capacidad de utilización semanal máxima de 60 horas cada uno El precio del kilo de marraquetas.5 · m + 0.000 Restricción presupuestaria 1.800 Máxima demanda Marraquetas 5000 · e ≤ 2. hallullas y pan especial. Desde el punto de vista de la seguridad: Debe resguardarse una población de por lo menos 3 millones de habitantes.10 Suponga que el cuerpo de Carabineros quiere maximizar su dotación total. El número mínimo de efectivos dedicados a la seguridad debe ser de 3000.2. Cada una de las 1. La diferencia entre efectivos a pie y efectivos motociclistas debe ser mayor o igual que 500. alcanzaría para disponer en forma exclusiva de 3000 efectivos motociclistas. 1000 efectivos destinados a radiopatrullas ó 5000 efectivos a pie. Respecto del control de tránsito: El porcentaje de efectivos dedicados a tránsito debe ser al menos un 30% del total del cuerpo de Carabineros. El tiempo necesario por cada efectivo a pie para realizar una ronda es de 4 horas. que consiste en el número de efectivos motociclistas. También existen requerimientos de participación en ceremonias oficiales tales como desfiles y convenciones: Asumiendo que cada efectivo no puede participar en más de una ceremonia al año. Debe haber por lo menos 4 efectivos a pie por cada 3 efectivos motociclistas. 11 . Su objetivo debe cumplirse sujeto a un conjunto de condiciones de diversa índole. que es independiente al de sueldos.000 motos disponibles requiere de por lo menos 1. la institución debe participar en por lo menos 20 ceremonias anualmente. Plantee el programa lineal que describe esta situación. El presupuesto de operación. Aspectos operacionales: Por cada 4 efectivos destinados a radiopatrullas no debe haber más que 2 efectivos motociclistas. en tanto que cada una de los 500 radiopatrullas disponibles requiere de por lo menos 3 efectivos dedicados. considerando los datos presentados en la Tabla 11. No pueden haber menos efectivos motociclistas que los destinados a radiopatrullas.2 efectivos motociclistas. Restricciones presupuestarias: El presupuesto anual de la institución para sueldos brutos es de 500 millones de pesos al año. y cada uno de ellos trabaja 8 horas al día. La proporción entre efectivos destinados a radiopatrullas y efectivos a pie no puede ser inferior a ½. Se debe tener capacidad para realizar un mínimo de 1000 arrestos al mes. número de efectivos destinados a radiopatrullas y número de efectivos a pie. 5 r + 200 0.3 p 2 0.3 m + 0.3 m+r+p m–r 2r–4m 3p–4m 2r–p p–m m r 12 0 500 1000 motos 500 radiopatrullas 500 MM 1.1 r + 0.000 p m/3000 + r/1000 + p/5000 1 12 .000 $ al mes/ efectivo m + 600. número de efectivos en motocicletas r: número de efectivos en radiopatrullas p: número de efectivos a pie Maximizar: z = m + r + p Sujeto a: 300 hab/efectivo 0.5 r + 0.000 3 20 300.4 p m r p 10 20 20 20 100 20 0 0 0 0.5 r + 2 0.3 p 0. 0.3 p 3.4 m efectivos + 500 0.000 1000 3 MM.4 m + 3 0.4 m + 0.000 2 100 Porcentaje de efectivos dedicados a tránsito Porcentaje de efectivos dedicados a la seguridad Población resguardada por cada efectivo dedicados a la seguridad [habitantes / efectivo] Sueldo bruto [$/(efectivo mes)] Tasa de arrestos [arrestos/(efectivo mes)] Necesidad de efectivos en cada ceremonia [efectivos / ceremonia] Solución: Variables de decisión: m.000 2 10 600.000 r + 300.2 efectivos / moto 3 efectivos / radiopatrullas 500.Tabla 11: Datos sobre Tipos de Efectivos de Carabineros Efectivos Efectivos en Efectivos a motociclistas radiopatrullas pie 30% 10% 40% 40% 50% 30% 300 500 200 500. El rendimiento de uvas por hectárea puede explicarse según la Tabla 13.] $310 $260 13 . Tabla 12: Concentración de Minerales Mezcla A Mezcla B Nitrógeno 64% 25% Fósforo 5% 65% Potasio 31% 10% Es decir. de uva por cada Kg. cada Kg. de Nitrógeno. La uva es exportada a EE.UU. las cuales contienen tres tipos de minerales en distintas concentraciones. de mezcla B debe haber al menos 2 Kg. por lo cual debe cumplirse que por cada Kg.003. de Fósforo aplicado por hectárea el pH sube en 0. Tabla 14: Costos de las Mezclas Mezcla A B Costo [$/Kg. de manera de obtener el mayor rendimiento posible de la tierra y así maximizar sus utilidades. de la mezcla A contiene 640 grs.005 y por cada Kg. p >=0 2. de Nitrógeno (N). Las mediciones que se han hecho a la tierra destinada a cultivos de uva han mostrado que ésta tiene un pH (grado de acidez) igual a 7. se ha determinado que ésta no puede tener un pH menor a 5. Además se ha determinado que cuando se usan los dos tipos de mezcla en un campo debe cumplirse que por cada Kg. 50 grs.m.r.11 El dueño de un fundo que produce uvas debe decidir la cantidad de fertilizantes que va a comprar para aplicar en su campo. A y B. de Nitrógeno aplicado por hectárea. Como la uva es una especie sensible a la acidez de la tierra. como se muestra en la Tabla 12. de Fósforo (P) y 310 grs. y el productor recibe por ella $300 por kilo. de Potasio (K). de Fósforo que se aplica a la tierra no puede aplicarse más de 3 Kg. Los costos de las mezclas de fertilizante se muestran en la Tabla 14. de mezcla) 30 20 Es importante que los minerales se encuentren balanceados en la tierra. Tabla 13: Rendimiento de Uvas Tipo Mezcla Mezcla A Mezcla B Rendimiento por hectárea (Kgs. Se sabe que por cada Kg. el pH de la tierra baja en 0. de mezcla A. Existen dos tipos de mezclas de fertilizantes disponibles en el mercado. 05 a + 0.25 b) -2 Restricción de PH 3 P N 3 (0. Formule un modelo que permita determinar cuántos manteles se deben comprar inicialmente y cuántos se deben mandar a lavar cada día de manera de minimizar costos.64 a + 0. y otro normal (tarda 2 días) que cuesta $8 por mantel. y después de haberlos usado puede mandar los manteles sucios a lavar.]: Kg. de Fósforo K [Kg.003 (0.003 P – 0.]: Kg. para lo cual tiene dos servicios de lavandería disponibles: uno rápido (el lavado tarda un día) que cuesta $15 por cada mantel. Solución: Variables de Decisión x: Cantidad de manteles comprados (sólo se puede comprar 1er día) r: Cantidad de manteles lavados en servicio rápido en 1er día n: Cantidad de manteles lavados en servicio normal en 1er día s: Cantidad de manteles lavados en servicio rápido en 2do día Minimizar: z = 20 x + 15 r + 8 n + 15 s Sujeto a: x – 40 + r 60 14 .005 N -2 0. b 0 Restricción de no negatividad 2.65 b ) (0. Él puede adquirir manteles a un costo de $20 cada uno.65 b) – 0.05 a + 0.Considerando todos los datos anteriores.25 b) Restricción de minerales a 2b Restricción de mezclas a.005 (0. considerando que las variables son los kilos de mezcla A y de mezcla B a comprar.12 Un dueño de un restaurante necesitará en 3 días sucesivos 40. 60 y 70 manteles.]: Kg. de Potasio Maximizar: z = $300 (30 a + 20 b) – ($310 a + $260 b) Sujeto a: 0. Solución: Variables de decisión: a [Kg]: cantidad que se compra de la mezcla A b [Kg]: cantidad que se compra de la mezcla B Variables auxiliares: N [Kg. modele este problema como programación lineal para maximizar las utilidades del fundo.64 a + 0. de Nitrógeno P [Kg. a $300 pesos el litro.000 Merlot 1 $2400 Min. 5. Merlot y Premium. Para poder producir los vinos debe decidir cuántas cajas de uva debe comprar. El resto del vino se vende a productores de vino corrientes. Tabla 15: Datos de los Viñedos Tipo de vino Costo por caja Rendimiento por caja Costo de proceso por caja % de alta calidad extraíble Viñedo A Cabernet Sauvignon $400 200 litros $350 40% Viñedo B Merlot $600 400 litros $500 50% Para obtener la mezcla Premium que distingue a la marca. Los viñedos de donde provienen dichas uvas determinan el porcentaje de vino de alta calidad que se puede extraer. siendo este último una mezcla de los dos primeros. Tabla 16: Información de Demanda Cabernet Sauvignon 1 $2500 Máx 10. sin importar de cuál viñedo provino. información expresada en la Tabla 15.n.r. así como el tipo de vino.000 Premium 1 $2200 Entre 2000 y 9000 Litros por unidad Precio por unidad Demanda de unidades Hint: modele el problema con cuatro variables Solución: 15 .x – 40 + r – 60 + n + s 70 x 170 100 70 r+n+s r+n s 70 40 x. se deben usar 2 partes de Merlot por cada parte de Cabernet Sauvignon.13 Una bodega produce tres tipos de vinos de alta calidad: Cabernet Sauvignon. De acuerdo a los precios y demandas que se muestran en la Tabla 16 modele el problema lineal que permitirá buscar la maximización de utilidades.s 2. Para cumplir con regulaciones de la empresa deben respetarse las siguientes condiciones: i) Por lo menos la mitad de petróleo tipo DB debe destinarse a bencina.4 · as : litros de vino Cabernet Sauvignon M : 400 · 0. La empresa debe ocupar este stock en un período máximo de dos años. Se obtienen 8 litros de parafina con 1 litro de DR.5 · bm : litros de vino Merlot C : 200 · 0. bm.14 La refinería de petróleo “MÄRKLIN” tiene actualmente en stock dos tipos petróleo: 3000 litros del tipo DB y 2000 litros del tipo DR.4 · ac + 400 · 0. Modele el siguiente problema de decisión como programa lineal. y con 1 litro del tipo DB se obtienen 5 litros de parafina. y se requieren 3 litros de DR para producir 1 litro de bencina. Dados los procesos de refinamiento con 4 litros del tipo DB se produce 1 litro de bencina. ii) Al menos el 30% de petróleo tipo DR debe procesarse el segundo año. bc 0 Mezcla del Carmenere Demanda máxima de Cabernet Sauvignon Demanda mínima de Merlot 9000 Demanda de Carmenere No negatividad 2.Variables de decisión: (6 puntos) ac : Cajas de uva compradas en el terreno A para producir Carmenere as : Cajas de uva compradas en el terreno A para producir Cabernet Sauvignon bc : Cajas de uva compradas en el terreno B para producir Carmenere bm : Cajas de uva compradas en el terreno B para producir Merlot Variables auxiliares: S : 200 · 0. ac. por cada litro de bencina la utilidad es de $70 el primer año y $110 el segundo. iii) No se puede producir más de 15 litros de parafina en cada año. Por cada litro de parafina vendido se obtiene una utilidad de $10 el primer año y de $15 el segundo. para lo cual tiene dos opciones: producir bencina o parafina.5 · bc : litros de vino Carmenere Maximizar: z = 2500 · 80 as + 2400 · 200 bm + 2200 · (80 ac + 200 bc ) – 750 · (as + ac) – 1100 · (bm + bc) + 300 · (120as + 120ac + 200bm + 200bc) Sujeto a: 2 · 80 ac = 200 bc 80 as 10000 200 bm 5000 2000 80 ac + 200 bc as. 16 . iv) Debe producirse al menos 170 litros de bencina. y probabilidad = 1 si se apuestan 500 puntos en el caso de los ramos mínimos.Solución: Variables de decisión: DBbi: litros de petróleo del tipo DB destinados a bencina en el año i DRbi: litros de petróleo del tipo DR destinados a bencina en el año i DBpi: litros de petróleo del tipo DB destinados a parafina en el año i DRpi: litros de petróleo del tipo DR destinados a parafina en el año i Tabla 17: Variables de Decisión DB Año 1 Año 2 DBb1 DBb2 DBp1 DBp2 DR Año 1 DRb1 DRp1 Año 2 DRb2 DRp2 Bencina Parafina Relaciones: 1 litro de DB = 5 litros de parafina 1 litro de DB = 1/4 litros de bencina 1 litro de DR = 8 litros de parafina 1 litro de DR = 1/3 litros de bencina Maximizar: z = 10(5DBp1 + 8DRp1) + 15(5DBp2 + 8DRp2) + 70(DBb1 /4 + DRb1/3) + 110(DBb2/4 + DRb2/3 ) Sujeto a: i) DBb1 + DRb2 1500 (0. en tanto que D requiere un sexto de lo que demanda A. y 300 en el caso de los optativos. (debe transformar la expresión de “valor absoluto” a fórmulas lineales.5 3. DRpi. Los ramos A y C son de la rama de Economía en tanto que B y D son de Administración. La asignación de puntos debe respetar las siguientes condiciones: El valor absoluto de la diferencia entre puntaje asignado a los ramos económicos y el puntaje asignado a los ramos administrativos no puede superar el 25% del total de puntaje apostado.000) 2 2 ii) DRb + DRp 600 (30% de 2. Se sabe que el ramo B demanda 10 horas semanales de estudio. no puede ocupar el símbolo “|”) 17 .15 Suponga que usted dispone de 800 puntos para apostar en la inscripción de los ramos mínimos A y B.2 2. DBpi 0 para i = 1.000) 1 1 iii) 5DBp + 8DRp 15 5DBp2 + 8DRp2 15 iv) DBb1/4 + DRb1/3 +DBb2/4 + DRb2/3 170 DBb1 + DBb2 +DBp1 + DBp2 = 3000 DRb1 + DRb2 +DRp1 + DRp2 = 2000 DRbi. un tercio de lo que requiere A y el doble de lo que requiere C. es decir. La probabilidad de ser aceptado en un ramo es lineal respecto del número de puntos apostados: probabilidad = 0 si se apuesta 0 puntos. DBbi. y de los ramos optativos C y D. Por cada punto apostado al ramo D la escuela subsidia en 0. Además. b 500. c 300. c. Maximizar: 2 a/500 + 2 b/500 + c/300 + d/300 Sujeto a: a 500. Las góndolas pueden exhibir más de un tipo de producto así como también un mismo producto puede encontrase exhibido en más de una góndola.5 puntos la disponibilidad de puntos del alumno. b. donde el flujo de caja se mide como los 18 . d 0 60Horas semanales de estudio No negatividad 2. Plantee el programa lineal que asigna de manera óptima los puntos. debe cumplirse con la política de que todos los días haya un mínimo de cada producto en exhibición (al final del día).5 d Subsidio ¼ (a + b + c + d) -¼ (a + b + c + d)) Valor absoluto de la diferencia Puntaje mínimos al menos duplica Probabilidad ramo mínimo a+b+c+d d 300 30/500 a + 10/500 b + 5/300 c + 5/300 d a. si bien el total de puntos apostados a D no puede superar 300. El supermercado tiene la política de mantener las góndolas con su capacidad Kg de exhibición copada al menos en un 87% todos los días (al final del día) y se supone que las compras diarias van directamente a reposición de las góndolas.16 Un supermercado debe planificar las compras diarias de los distintos tipos productos [en kilos] dados los precios diarios y considerando que existe un cierto espacio en góndolas para exponer los distintos productos en venta. La probabilidad de ser aceptado en un ramo mínimo no puede ser inferior al 20%. considerando que usted valora en el doble el ser aceptado en un ramo mínimo que en uno optativo. Se sabe además que cada producto enfrenta una demanda distinta cada día. Defina las variables y modele este problema para maximizar el flujo de caja del supermercado en un horizonte de un año. d 300 Probabilidades 1 a + c – (b + d) a + c – (b + d) a+b a b 2 (c+d) 100 100 800 + 0.El puntaje asignado a los ramos mínimos al menos debe duplicar al puntaje asignado a los optativos. El valor esperado de horas semanales de estudio debe ser no superior a 60. d . el día d en la góndola g xt.d Ecuación Inventario it ..d Solución:.} D = {1.. Conjuntos: G = {pasillo1 superior. d . it.g. vt.d. . pasillo 4 inferior. el día d en la góndola g : precio del producto t el día d : capacidad de la góndola g : costo del producto t comprado el día d : cantidad diaria mínima en exhibición del producto t : demanda del producto t el día d : Tipos de Productos : Días del año Maximizar: 360 z= t d 1 pt . d . g t Kg 0.2. g Ct .g g. d Ventas máximas vt .g t. d g vt .g = it. : Compras del producto t. . d .. d .d. Utilice los parámetros que se definen a continuación.} : Góndolas T = {peras.g. g Sujeto a: it.g.d Mínimo de inventario en las góndolas it .Variables: vt. g g Mínimo de cada producto en exhibición t.d.g : Inventario del producto t.d. : Ventas del producto t.. manzanas.vt.g . el día d en la góndola g it.d Capacidad de las góndolas g.d-1. d .d.d 0 t.d Kg Ct.d Et Dt.d..ingresos por ventas menos los costos por compras realizadas durante el año.d.d. g g it .. 360} Parámetros: Pt.g + xt. ..d. g g xt.g No negatividad 19 .d. d g xt . d g.87*Kg Et dt.g.