Ejercicios propuestosPROBABILIDADES. Ejemplo: Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados. Ejemplo: Cual es la probabilidad de la siguiente valuación cualitativa: LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces? LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON. Ejemplo: La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? Ejemplo: La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos? DISTRIBUCIONES NORMAL Ejemplo: una variable aleatoria sigue el modelo de una distribución normal con media 10 y varianza 4, para una variable X distribuida entre 15 y 20. Transformarla en una normal estandarizada. Ejemplo: una variable aleatoria sigue el modelo de una distribución con las siguientes características, transformarla en una normal estandarizada. Ejemplo: El diámetro interno de un aro de pistón esta distribuido normalmente con media de 4.5 cm. y una desviación estándar de 0.005 cm. ¿Qué porcentaje de aros tendrán un diámetro que exceda a 4.51 cm.? Ejemplo: el salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con una media 5 mil $. y desviación típica de mil $. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 mil $. Ejemplo: La renta media de los habitantes de un país es de 4 millones de ptas/año, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular: a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de ptas. b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos. c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 80% de la población con renta media. Ejemplo: La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes: a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años? b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años? Ejercicio: El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un país es de 58 litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una distribución normal. a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe? b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho ¿qué podría argumentar en su defensa? Ejercicio: Un estudio de la DGT estima que el número de horas prácticas necesarias para la obtención del permiso de conducir sigue una distribución normal con N(24, 32). 1 (a) ¿Qué probabilidad hay de obtener el permiso de conducir con 20 horas de prácticas o menos? (b) ¿Cuántas horas de prácticas ha necesitado un conductor para obtener el permiso si el 68% de los conductores ha necesitado más horas de prácticas que él? La autoescuela D¶spacio tiene un ingreso por alumno una parte fija de 250 euros, más 23 euros por hora de práctica. (c) Calcular el ingreso por alumno esperado. (d) Calcular la desviación típica del ingreso por alumno. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL Ejemplo: Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en llevar un paquete, con una desviación típica de 8 minutos. Supongamos que durante el día de hoy han repartido doscientos paquetes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos de entrega de hoy esté entre 35 y 36 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en total, para los doscientos paquetes hayan estado más de 115 horas? Ejemplo: Suponga que la tabla siguiente muestra la antigüedad en años en el trabajo de tres maestros universitarios de matemáticas: Maestro de matemáticas A B C Antiguedad 6 4 2 Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin reemplazo. Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral. Ejemplo: Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas. Ejemplo: Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: a) El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. b) El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros. INTERVALOS DE CONFIANZA. CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL W 2 ES CONOCIDA Ejercicio: La duración media de los neumáticos de un camión fue de veinte días. Se toma una muestra de cien neumáticos este año y se obtiene una media de dieciocho días con una desviación estándar de 8.1 días. Construir un intervalo de confianza para la duración media de los neumáticos del 99%. Ejercicio: Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. Ejercicio: La prueba de corte sesgado es el procedimiento más aceptado para evaluar la calidad de una unión entre un material de reparación y su sustrato de concreto. El artículo ³Testing the 2 Bond Between Repair Materials and Concrete Substrate´ informa que, en cierta investigación, se obtuvo una resistencia promedio muestral de 17.17 N/mm2, con una muestra de 48 observaciones de resistencia al corte, y la desviación estándar muestral fue 3.28 N/mm2. Utilice un nivel de confianza inferior del 95% para estimar la media real de la resistencia al corte. CUANDO LA VARIANZA POBLACIONAL, W2 , SE DESCONOCE Ejercicio: Dadas las siguientes resistencias a la tensión: 28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psi, y con un nivel de confianza del 95% Ejercicio: Se ha recogido una muestra aleatoria para prever la inflación en el ano, en siete países. Las previsiones han sido: 1.5 2.1 1.9 2.3 2.5 3.2 3.0 a). Utilizando estos datos, construye un intervalo de confianza al 99% para la media de la previsión de inflación, en estos siete países. Indica los supuestos que necesitas hacer b). Los expertos opinan que el intervalo de confianza calculado para la media es demasiado amplio, y desean que su longitud total sea de 1.0 puntos. Hallar el nivel de confianza para este nuevo intervalo. PARA ESTIMAR LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIONAL TDE UNA POBLACIÓN BINOMIAL Ejercicio: Se aplica un test que mide la actitud hacia la autoevaluación de su conducta y comportamiento hacia sus compañeros de trabajo, a una muestra aleatoria de trabajadores de la empresa ´Gardilcicµ. De un total de 364 trabajadores, 247 evidencian actitud positiva hacia la autoevaluación. Se solicita que estime la proporción de trabajadores de la empresa con actitud positiva hacia la autoevaluación de su conducta y comportamiento para un nivel de confianza del 90%. Ejercicio: En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales. TAMAÑO DE MUESTRA. Ejemplo: Un biólogo quiere estimar el peso promedio de los sólidos contenidos en las muestras de agua contaminada de su localidad. Un estudio anterior de diez nuestras mostró que la desviación estándar de sus pesos es de 12.2 gramos. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el 95% de confianza de que el error de estimación es a lo más de 4 gramos? Ejemplo: Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente normal con una desviación estándar de 40 horas. a). ¿De qué tamaño se necesita una muestra si se desea tener 96% de confianza que la media real esté dentro de 10 horas de la media real? b). ¿Qué pasaría si en lugar de tener un error de estimación de 10 horas sólo se requiere un error de 5 horas? c). Suponga que en el ejercicio anterior se tiene una población de 300 focos, y se desea saber de que tamaño debe de ser la muestra. El muestreo se realizará sin reemplazo. Ejemplo: En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de Hamilton, Canadá, se encuentra que 340 están suscritas a HBO. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la estimación de P esté dentro de 0.02? Ejemplo: Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su distrito para conocer qué proporción del electorado conoce la opinión de ella, respecto al uso de fondos 3 estatales para pagar abortos. ¿Qué tamaño de muestra se necesita si se requiere un confianza del 95% y un error máximo de estimación de 0.10? PRUEBAS DE HIPÓTESIS. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA MUESTRAS GRANDES Ejercicio: Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04 Ejercicio: Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10 Ejercicio: Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción de controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura críticos no sea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con este nivel de calidad, utilizando E = 0.1. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son defectuosos. ¿El fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso? Ejercicio: Existen dos tipos de plástico apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrónicos. La tensión de ruptura de ese plástico es un parámetro importante. Se sabe que 1= 2= 1.0 psi. De una muestra aleatoria de tamaño 10 y 12 para cada plástico respectivamente, se tiene una media de 162.5 para el plástico 1 y de 155 para el plástico 2. La compañía no adoptará el plástico 1 a menos que la tensión de ruptura de éste exceda a la del plástico 2 al menos por 10 psi. Con base a la información contenida en la muestra, ¿la compañía deberá utilizar el plástico 1? Utilice E= 0.05 para llegar a una decisión. Ejercicio: Se evalúan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para su posible uso en una operación de pulido en la fabricación de brocas saca testigos. Se pulen 300 brocas con la primera solución y, de éstos, 253 no presentaron defectos inducidos por el pulido. Después se pulen otras 300 brocas con la segunda solución, de los cuales 196 resultan satisfactorios. ¿Existe alguna razón para creer que las dos soluciones para pulir son diferentes? Utilice E = 0.01 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA MUESTRAS PEQUEÑAS. Ejercicio: Un artículo publicado en la revista Materials Engineering describe los resultados de pruebas de resistencia a la adhesión de 22 especímenes de aleación U-700. La carga para la que cada espécimen falla es la siguiente en MPa: 19.8 15.4 11.4 19.5 10.1 18.5 14.1 8.8 14.9 7.9 17.6 13.6 7.5 12.7 16.7 11.9 15.4 11.9 15.8 11.4 15.4 11.4 ¿Sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10 Mpa? Supóngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribución normal, y utilícese E = 0.05. Calcule el valor de P. Ejercicio: Para encontrar si un compuesto químico detiene el deterioro del puntal en el sostenimiento de la caída de roca, se seleccionan nueve puntales, todos preparados para su aplicación en el sostenimiento. Cinco puntales reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de duración en años, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes: Con tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9 4 Sin tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1 ¿Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el compuesto químico es efectivo? Suponga que las dos poblaciones se distribuyen normalmente con varianzas iguales. Ejercicio: Dos proveedores fabrican un engranaje de acero utilizado en un equipo de bajo perfil. Una característica importante de estos engranajes es la resistencia al impacto la cual se mide en pies-libras. Una muestra aleatoria de 10 engranajes suministrados por el primer proveedor arroja = 321 y S1 = 12. Del segundo proveedor se toma una muestra los siguientes resultados: = 290 y S2 = 45. ¿Existe evidencia que aleatoria de 16 engranajes, donde los resultados son: apoye la afirmación de que los engranajes del proveedor 2 tienen una mayor resistencia promedio al impacto. Use un nivel de significancia de 0.05. Ejercicio: El rendimiento de los carros de transporte de mineral se ven afectadas por el sobre peso de los operadores, para ello diez hombres se sometieron a una dieta especial registrando sus pesos antes de comenzarla y después de un mes de estar en ella. Los resultados de los pesos, en libras, se muestran a continuación: Hombre A B C D E F G H I J Antes 181 172 190 186 210 202 166 173 183 184 Después 178 175 185 184 207 201 160 168 180 189 Haga una prueba con a = 0.05 para determinar si la dieta logró alguna diferencia, ya sea positiva o negativa. PRUEBA DE JI CUADRADO Y ANÁLISIS DE VARIANCIA Ejercicio: En un procesos de llenado, la tolerancia para el peso de los recipientes es de 8 gramos, para reunir este requisito la desviación estándar en el peso debe ser de 2 gramos, los pesos de 25 recipientes seleccionados al azar dieron como resultado una desviación estándar de 2.8 gramos; si los pesos se encuentran normalmente distribuidos, determinar si la varianza de esta muestra es diferente del valor necesario al 2.5% de nivel de significancia. Ejercicio: Un inversionista desea comparar los riesgos asociados con dos diferentes mercados A y B; el riesgo de un mercado se mide por la variación en los cambios diarios de precio. El inversionista piensa que el riesgo asociado con el mercado B es mayor que del mercado A. Se obtienen muestras aleatorias de precios de 21 días para el mercado A y de 17 días para el mercado B siendo estas las siguientes características: Comparación de riesgos de mercado Mercado A Mercado B 0.3 0.4 0.25 0.45 21 17 Si n Si se dispone que las muestras provienen de dos poblaciones normales e independientes a un nivel del 5% ¿encuentra apoyo la creencia del inversionista? REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN Ejemplo: El volumen de ahorro y la renta del sector familias en billones de ptas. constantes de 1.977, para el período 77-86 fueron: Año 77 78 79 80 81 82 Ahorro (X) 1.9 1.8 2.0 2.1 1.9 2.0 Renta (Y) 20.5 20.8 21.2 21.7 22.1 22.3 5 83 84 85 86 2.2 2.3 2.7 3.0 22.2 22.6 23.1 23.5 a). Recta de regresión del ahorro sobre la renta. b). Recta de regresión de la renta sobre el ahorro. c). Para el año 87 se supone una renta de 24.1 billones de ptas. ¿Cuál será el ahorro esperado para el año 87? d). Cual es el grado de relación entre el ahorro y la renta. Ejemplo: Las siguientes cifras son mediciones de la velocidad del aire y del coeficiente de evaporación de gotitas de combustible en la cámara de combustión de un motor de impulsión: Nuestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Velocidad del aire (cm/s) (X) 20 60 100 140 180 220 260 300 340 380 Coeficiente de evaporación (mm2/s) (Y) 0.18 0.37 0.35 0.78 0.56 0.75 1.18 1.36 1.17 1.65 6