EJERCICIOS PROPUESTOS CALCULO INTEGRAL LUIS.docx

EJERCICIOS PROPUESTOSSi se reconoce que la integral definida de una función dada, f entre a y b es n b ∫a f (x )dx =Lím n→∞ ∑ f ( c i ) ∇ x=F ( b)−F( a) i =1 para cualquier función f definida en [a, b] para la que ese límite exista y sea el mismo para toda elección de los puntos de evaluación, c 1, c2,…, cn. En tal caso, se dirá que f es integrable en [a, b]. Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo NO se cumple para resolver integrales, tal es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto. Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a, b), entonces: b t ∫ f ( x ) dx=Lim∫ f ( x ) dx a t →b− a Si el límite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el límite es el valor de la integral. Si el límite no existe, decimos que la integral impropia es divergente. Primera parte (punto 1 al 4) Evaluar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen: ∞ 3 ∫ x 2+9 dx 1. √3 b b b 3 3 1/3 lim ∫ 2 dx=lim ∫ 2 dx=lim ∫ 2 dx b → ∞ 3 x +9 x (( ) ) x b→∞ 3 b→∞ 3 √ √ 9( +1) √ +1 9 3 x 1 u= ; Por lo tanto du= dx , Es decir :3 du=dx 3 3 1/3 1 ∫ 2 3 du=∫ 2 du=tan−1 u+c ( u +1 ) (u + 1) ¿ b ¿ =lim tan √3 b→∞ −1 b 3 ( () −tan −1 ( √33 )) b 3 lim ∫ 2 dx= lim tan −1 b→ ∞ 3 x + 9 √ b →∞ ( 3x )¿ b π π π π π ¿ lim tan−1 b →∞ ( () ) − =tan −1 ( ∞ )− = − = 3 6 6 2 6 3 ∞ dx ∫ x 2 +2 x +2 2. −∞ 0 b 1 1 ∫ lim 2 a →−∞ a x +2 x+2 dx+ lim ∫ 2 b →∞ 0 x + 2 x +2 dx  x 1 1 ∫ (¿ ¿2+2 x +1)+1 dx =∫ (x+ 1)2 +1 dx =tan −1 ( x +1) ∫ x2 +21x+ 2 dx=¿ u=x +1 ; Por lotanto du=dx 1 1 ∫ 2 du=∫ 2 du=tan−1 u+ c ( u +1 ) ( u +1 ) 0 b 1 1 lim ∫ 2 dx+ lim ∫ 2 dx a →−∞ a x +2 x+2 b →∞ 0 x + 2 x +2 ¿ |)0 tan −1 ( x+ 1 ) ¿ ¿ a ¿ |)b tan −1 ( x+ 1 ) ¿ ¿ 0 ¿ lim ¿ a →−∞ lim ( tan−1 ( 0+1 )−tan −1 ( a+1 )) + lim ( tan −1 ( b+1 ) −tan −1 ( 0+1 ) ) a →−∞ b →∞ tan ¿ (−∞ ) ¿−1 ( 1 )−tan−1 ¿ ¿ tan ¿ ¿ −tan −1 (−∞ ) + tan−1 ( ∞ )=− ( −π2 )+ π2 =π  1 dx ∫ √ 1−x 3. 0 1 1 1 lim ∫ a→0 a √ 1 1−x dx=lim ∫ a →0 1 a ( 1−x ) 1 /2 a→0 a ( a →0 | ) dx=lim ∫ (1−x )−1 /2 dx=lim −2 √ 1−x 1 ¿a u=1−x ; Por lo tanto du=−dx ; Es decir−du=dx 1 2 u −1 − 1 1 ∫ u 2 (−du)= 1 + c=−2 u 2 +c=−2 √u+ c 2 ( lim −2 √ 1−x a→0 | ) 1 ¿a =−2 lim ( √ 1−1−√ a−1 ) =−2 ( 0−√ 1−0 ) =−2 (−1 )=2 a→0 2 dx ∫ 4. 1 ( x−1 )2/3 Segunda parte (punto 5 al 8) Integral Indefinida - Integral Definida Aplicando las propiedades y definición de integral, resolver las siguientes integrales: 2 3 x 3 −24 x 2 + 48 x+5 ∫ 2 dx 5. −3 x −8 x+16 3 x3 −24 x 2+ 48 x+5 x 2−8 x+16  3 −3 x +24 x −48 x 2 3x 5 2 3 2 2 2 ∫ 3 x −24 2 x +48 x +5 x −8 x+16 dx=∫ 3 x + 2 5 x −8 x +16 ( dx=∫ 3 x + 5 2 dx ) ( ) −3 −3 −3 ( x−4 ) 2 2 ( x−4 )−1 2 3 x2 ∫ ( 3 x+5 ( x−4 )−2 ) dx =3 x2 +5 −3 ( −1 )| ¿−3 = 2 − 5 2 x−4 ¿−3 | 3(2)2 3 (−3 )2 ¿ ( 2 − 5 2−4 − 2 − )( 5 −3−4 5 = 6+ − 2 27 5 17 199 −40 + = − 2 7 2 14 = 7 )( )( ) 5 ∫ x 2 √ x−4 dx 6. 4 Integración por partes. ∫ udv=uv −∫ vdu 1 u=x 2 dv=( x−4 )2 3 2 du=2 xdx v = ( x−4 ) 2 3 5 3 5 3 3 5 3 ∫ x 2 √ x−4 dx=x 2 23 ( x −4 ) 2 −∫ 32 ( x−4 ) 2 (2 x) dx ¿ x 2 23 ( x−4 ) 2 − 43 ∫ ( x−4 ) 2 x dx 4 4 4 Efectuó nuevamente la sustitución para la otra integral 5 3 5 5 5 7 3 ∫ 4 ( x−4 ) 2 x dx=x 2 5 ( x−4 ) 2 −∫5 4 2 ( x−4 ) 2 dx=x 2 5 ( x−4 ) 2 − 2 2 5 7 () ( x−4 ) 2 ( ) 3 2 u=x dv=( x−4 ) 5 2( du=dx v= x−4 2 ) 5  Por lo tanto: 5 3 ( )) 3 7 ∫ √ 4 x 2 x−4 dx=x 22 3 ( x −4 ) 2 − 4 2x 3 5 ( x−4 ) 2 − 2 2 5 7 ( ( x−4 ) 2 3 3 7 2 8 x 2 ( x−4 ) 2 − x ( x−4 ) 2 + 3 15 16 105 ( x−4 ) 2 5 ¿4| [ ][ ] 3 3 7 3 3 7 2 8 16 2 8 16 5 2 ( 5−4 ) 2 − 5 ( 5−4 ) 2 + ( 5−4 ) 2 − 4 2 ( 4−4 ) 2 − 4 ( 4−4 ) 2 + ( 4−4 ) 2 3 3 105 3 3 105 1486 ¿ =14,152 105 dx ∫ 7. √ 25−x 2 x =sen ( θ ) x=5 sen ( θ ) dx=5 cos ( θ ) dθ 5 5 √ 25−x 2=5 cos ⁡( θ) x θ √ 25−x 2 θ=sen−1 ( 5x ) dx 5 cos ( θ ) dθ x ∫ √ 25−x 2 ∫ = 5cos ⁡( θ) =∫ 5 dθ=θ +c=sen−1 5 +c () 1 ∫ dx 8. √ x −1 2 x =sec ( θ ) x=sec ( θ ) dx=sec (θ ) tan ( θ ) dθ 1 x √ x2−1=1 tan ( θ )=t an ⁡( θ) √ x −1 2 θ  1 dx sec ( θ ) tan ( θ ) dθ ∫ =∫ tan ⁡( θ) =∫ sec ⁡( θ)dθ=ln|sec ( θ ) + tan (θ )|+c √ x 2−1 ln |sec ( θ )+ tan ( θ )|+ c=ln |x + √ x2 −1|+c Tercera parte (punto 9 al 12) Existen otros métodos para resolver integrales como integración por partes, integración por fracciones parciales, también métodos para resolver integrales de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas. Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad usada. 9. ∫ (6x2 ex ) dx Integración por partes. ∫ udv=uv −∫ vdu 2 x u=x dv=e dx du=2 xdx v =e x ∫ 6 x 2 e x dx=6 [ x 2 e x−∫ e x 2 xdx ]=6 [ x 2 e x−2∫ x e x dx ]=6 [ x 2 e x −2 ( x e x−∫ e x dx ) ] Nuevamente aplico partes para: x u=x dv=e dx x du=dx v=e ∫ x e x dx =x e x −∫ e x dx Continua: ∫ 6 x 2 e x dx=6 [ x 2 e x −2 ( x e x−∫ e x dx ) ]=6 [ x 2 e x−2 ( x e x−e x ) ] +c ¿ 6 x 2 e x −12 x e x +12 e x +c 5 x −2 ∫ x 2−4 dx 10. ∫ 5xx2 −4 −2 5x dx=∫ 2 x −4 dx−∫ 2 2 x −4 5 1 dx= ln |x 2−4|+ ln 2 4 | x−2 x +2 |+c Desarrollo cada integral por separado Primera: Sustitución Simple 5x xdx du /2 5 5 2 ∫ x2 −4 dx=5 ∫ x2 −4 =5∫ = ln |u|+c= ln |x −4|+c u 2 2  2 u=x −4 du du=2 xdx , Por lotanto =xdx 2 Segunda: Sustitución Trigonometrica 2 dx ∫ x2 −4 dx=2 ∫ x2−4 x =sec ( θ ) x=2 sec ( θ ) 2 x √ x2−4 dx=2 sec ( θ ) tan ( θ ) dθ √ x2−4=2 ta n ( θ ) θ x 2−4=4 tan 2 ( θ ) 2 dx 2 sec ( θ ) tan ( θ ) dθ sec ( θ ) 1 −1 ∫ x2 −4 =∫ 2 4 tan (θ)⁡ =∫ 2 tan ( θ ) dθ= ∫ csc (θ ) dθ= 2 2 ln |csc ( θ ) +cot ( θ )|+ c −1 2 ln|csc (θ ) +cot ( θ )|+c = −1 2 ln | x + 2 2 √ x −4 √ x −4 2 + c= −1 2|ln | x +2 | √ x 2−4 +c | | |√ | (| ) |+ c= −14 ln| x−2 1 1 ¿− ln 2 x +2 √ ( x−2 ) ( x+ 2 ) + c= −1 2 ln x +2 x−2 +c= −1 2 ln x +2 x−2 2 x +2 |+c π /2 ∫ cos4( x) sen3( x) dx 11. 0 π π π 2 2 2 ∫ cos 4 ( x ) se n3 ( x ) dx=∫ cos 4 ( x ) se n2 ( x ) sen ( x ) dx=∫ cos 4 ( x ) (1−cos 2 ( x ) ) sen ( x ) dx 0 0 0  2 2 Identidad trigonométrica Fundamental: se n ( x ) =1−cos (x) π u( ) 2 [cos4 ( x )−¿ cos 6 ( x ) ] sen ( x ) dx= ∫ ( u 4−u6 ) (−du) u(0) π π 2 2 ∫ cos 4 ( x ) se n3 ( x ) dx=∫ ¿ 0 0 Sustitución Simple: u=cos ( x ) , Por lo tanto du=−sen ( x ) dx |( ) π | π −cos5 ( x ) cos7 ( x ) π 2 5 u7 u ∫ cos 4 ( x ) se n3 ( x ) dx=−u5 + 7 2 = 5 + 7 2 0 ¿ u (0) ¿0 ¿ [ −cos 5 5 7 ] ( π2 ) + cos ( π2 ) − −cos ( 0) + cos ( 0) =0− −1 + 1 = 2 7 [ 5 7 ] ( 5 5 ) 35 5 7 1 4 senh(2z ) ∫ 4 3 dz 12. √z . 1 ( ) dz= senh 2 z 4 1 ( ) ( dz )=∫ senh ( u ) ( 2 du)=2 ∫ senh (u ) du=2 cosh ( u ) +c ∫ ∫ senh 2 z 4 √4 z 3 4 √ z3 1 ( ) dz=2 cosh (2 z )+c senh 2 z 4 1 ∫ 4 √4 z 3 Sustitución Simple: 1 −3 1 1 1 1 u=2 z 4 , Entonces dz=2 () 4 z 4 dz= 2z 3 4 dz= 2 2√ z 3 dz ; Es cecir 2 du= 2 √ z3 dz