INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESINTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones EJERCICIO 3 La carne con papas es el plato favorito de Ralph Edmund. Por eso decidió hacer una dieta continua de sólo estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos de vitaminas) en todas sus comidas. Ralph sabe que no es la dieta más sana y quiere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Él ha obtenido la información nutricional y de costo que se muestra en el siguiente cuadro. Ralph quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este problema utilizando el método simplex gráfico. Solución: Ingredientes Gramos de Ingredientes por Porción Requerimiento diario en gramos Res Papas Carbohidratos 5 15 50 Proteínas 20 5 40 Grasas 15 2 60 Costo por porción $4 $2 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Identificando Variables: X 1 = Numero de porciones necesarias de Res que debe consumir X 2 = Numero de porciones necesarias de Res que debe consumir Formulación Minimizar Z= 4x 1 +2x 2 Sujeto a: 5x 1 +15x 2 50 20x 1 +5x 2 40 15x 1 +2x 2 60 x 1 , x20 a) 5x 1 +15x 2 =50 Si x 2 =0; x 1 = = 10 Si x 1 =0; x 2 = = 3.33 c) 20x 1 +5x 2 =40 Si x 2 =0; x 1 = = 2 Si x 1 =0; x 2 = = 8 b) 15x 1 +2x 2 60 Si x 2 =0; x 1 = = 4 Si x 1 =0; x 2 = = 30 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Graficacion en GeoGebra INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Soluciones Factibles a) Z(0,8) = 4(0)+2(8) = 16 b) Z(1.27,2.91)= 4(1.27)+2(2.91) = 10.9 c) Z(3.72,2.09)= 4(3.72)+2(2.09) = 20.68 d) Z(0,30) = 4(0)+2(30) = 60 RESPUESTA: “Se deben consumir 1.27 porciones de res y 2.91 de papas a un costo mínimo de $10.9 dólares” INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones EJERCICIO 4 La compañía Par es un pequeño fabricante de equipo y suministros para golf. El distribuidor de Par cree que existe un mercado tanto para una bolsa de golf de precio moderado, denominada modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio elevado, denominada modelo de lujo. El distribuidor esta tan confiado en el mercado que, si Par puede hacer las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor comprará todas las bolsas que Par pueda fabricar durante los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de manufactura dio como resultado la siguiente tabla, que muestra los requerimientos de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación hecha por el departamento de contabilidad de la contribución a la ganancia por bolsa. El director de manufactura estima que dispondrá de 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de bolsas de golf durante los siguientes tres meses. a) Formule un modelo de programación lineal para este problema. b) Resuelva el problema utilizando el método simplex gráfico ¿Cuál es la solución óptima? Producto Tiempo de producción (horas) Ganancia por bolsa Corte y teñido Costura Terminado Inspección y empaque Estándar 7/10 1/2 1 1/10 $10 Lujo 1 5/6 2/3 1/4 $ 9 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Solución: Identificando Variables: X 1 = Cantidad de bolsas de golf estándar. X 2 = Cantidad de bolsas de golf de lujo. Función Objetivo: zMax: 10x 1 +9x 2 Sujeto a: x 1 + 1x 2 630 X 1 + x 2 600 1x 1 + x 2 708 X 1 + x 2 135 x 1 ,x 2 0 Procesos Tiempo de producción en horas Horas Disponibles Estánd ar De Lujo Corte y Teñido 1 630 Costura 600 Terminado 1 708 Inspección y empaque 135 Ganancias por Bolsa $10 $9 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones a) x 1 + 1x 2 630 Si x 2 =0; x 1 = = 900 Si x 1 =0; x 2 = 630 b) X 1 + x 2 600 Si x 2 =0; x 1 = = 1200 Si x 1 =0; x 2 = = 720 c) 1x 1 + x 2 708 Si x 2 =0; x 1 = Si x 1 =0; x 2 = = 1062 d) X1 + x2 135 Si x 2 =0; x 1 = = 1350 Si x 1 =0; x 2 = = 540 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Graficacion en GeoGebra INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Solución Factible a) Z(0,540) = 10(0) +9(540) = 4860 b) Z(300,420)= 10 (300)+ 9 (420) = 6780 c) Z(540,252)= 10 (540)+ 9 (252) = 7668 d) Z(708,0) = 10 (708)+ 9 (0) = 7080 RESPUESTA: “Se deben producir 540 bolsas de golf estándar y 252 de bolsas de lujo para obtener una ganancia máxima de $7668 dólares” INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones EJERCICIO 5 Al restaurante Jacarandas le gustaría determinar la mejor forma de asignar un presupuesto de publicidad mensual de $1000 entre periódicos y radio. La administración decidió que al menos 25% del presupuesto debe gastarse en cada tipo de medio de comunicación y que la cantidad de dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe ser al menos el doble de la cantidad gastada en publicidad en radio. Un asesor en mercadotecnia elaboró un índice que mide la penetración en la audiencia por dólar de publicidad en una escala de 0 a 100, en la que valores más altos implican una mayor penetración. Si el valor del índice para la publicidad en periódicos locales es 50 y el valor del índice para los espacios publicitarios en radio es 80, ¿cómo debería asignar el restaurante su presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la penetración total en la audiencia? a) Formule un modelo de programación lineal que pueda usarse para determinar cómo debería asignar el restaurante su presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la penetración total en la audiencia. b) Resuelva el problema utilizando el método simplex gráfico. Solución: Hipótesis Medios de Difusión Recurso con el que se cuenta Periódicos Radio $1000 Administración 25% 25% Administración 2 2x x Índice de Penetración por medio 50 puntos 80 puntos INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Identificando Variables: X 1 = Presupuesto de Publicidad en Periódicos X 2 = Presupuesto de Publicidad en Radio Formulación Maximizar Z= 50x 1 +80x 2 Sujeto a: x 1 +x 2 100 x 1 250 x 2 250 x 1= 2x 2 x 1 ,x 2 0 b) x 1 250 c) x2250 x 2 =250 x 1 =250 a) x 1 +x 2 =1000 Si x 2 =0; x 1 = Si x 1 =0; x 2 = d) 2x 1= x 2 Por ejemplo: si x 1 vale 200, x 2 valdría 100. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Graficacion en GeoGebra INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Solución Factible a) Z(666.67,333.33)= 50 (666.67)+ 80(333.33) = 59,999.99 Z(750,250) = 50(750)+ 80(250) = 57,500 RESPUESTA: “Se deben asignar $666.67 dólares para la publicidad en Periódicos y $333.33 dólares para publicidad en Radio para obtener un nivel máximo de audiencia de 59,999.99 puntos” INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones EJERCICIO 6 Embassy Motrocycles (EM) fabrica dos motocicletas ligeras diseñadas para un manejo fácil y seguro. El modelo EZ-Rider tiene un motor nuevo y un perfil bajo que la hace fácil de equilibrar. El modelo Lady-Sport es un poco más grande, usa un motor más tradicional y está diseñada de manera específica para atraer a las mujeres. Embassy produce los motores para ambos modelos en su planta de Des Moines, Iowa. Cada motor EZ-Rider requiere 6 horas de manufactura y cada motor Lady-Sport requiere 3 horas de manufactura. La planta de Des Moines tiene 2100 horas de manufactura de motores disponibles para el siguiente periodo de producción. El proveedor de cuadros de motocicleta de Embassy puede surtir tantos marcos de la EZ-Rider como sean necesarios. Sin embargo, el cuadro de la Lady-Sport es más complejo y el proveedor sólo puede proporcionar hasta 280 cuadros para el siguiente periodo de producción. El ensamble y prueba finales requieren 2 horas para cada unidad de EZ-Rider y 2.5 horas para cada unidad de Lady-Sport. Se dispone de un máximo de 1000 horas de tiempo de ensamble y prueba para el siguiente periodo de producción. El departamento de contabilidad de la compañía proyecta una contribución a la ganancia de $2400 dólares para cada EZ-Rider producida y $1800 dólares para cada Lady-Sport producida. a) Formule un modelo de programación lineal que pueda usarse para determinar la cantidad de unidades de cada modelo que deberían producirse para maximizar la contribución total a la utilidad. b) Resuelva el problema utilizando el método gráfico. ¿Cuál es la solución óptima? Procesos necesarios Tipo de Presentación Recursos disponibles(horas) EZ-Rider Lady-Sport Manufactura 6 3 2100 Provisión Las que sea necesario 280 Ensamble y pruebas finales 2 2.5 1000 Contribución de Ganancia $2400 $1800 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Identificando Variables: X 1 = Numero de motos EZ-Rider X 2 = Numero de motos Lady Sport Formulación Maximizar Z= 2400x 1 +1800x 2 Sujeto a: 6x 1 +3x 2 2100 X 2 280 2x 1 +2.5x 2 1000 x 1 ,x 2 0 b) x 2 280 x 2 =280 a) 6x 1 +3x 2 =2100 Si x 2 =0; x 1 = Si x 1 =0; x 2 = c) 2x 1 +2.5x 2 1000 Si x 2 =0; x 1 = Si x 1 =0; x 2 = INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Graficacion en GeoGebra INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hugo Alberto Rivera Diaz---Investigación de Operaciones Solución Factible: a) Z(0,280) = 2400(0) +1800(280) = 504000 b) Z(150,280)= 2400 (150)+ 1800 (280) = 864000 c) Z(250,200)= 2400 (250)+ 1800 (200) = 960000 d) Z(350,0) = 2400 (350)+ 1800 (0) = 840000 RESPUESTA: “Se deben producir 250 unidades de la moto EZ-Rider y 200 unidades de la moto Lady Sport para obtener un máximo de ganancia de $960000 dólares”