ejercicios probabilidad 1

EJERCICIOS CAPITULO 3 1. Sea P(A) = 0.6 P(AΡ B) = 0.25 P(B´)= 0.7 a. Encontrar P (B/A) Solución: a. - P (B/A) = P (A∩B) P (A) P (A/B) = P (A∩B) P (B) entonces: 0.25= P (A∩B)* 0.3 dado que P (B)=1- P (B’)=1 - 0.7=0.3 Luego P (A∩B)=0.25/0.3=0.833 Aplicando en la formula P (B/A) = P (A∩B) P (A), hallemos: P (B/A) = P (A∩B) P (A) = (0.25/0.3)*0.6 = 0.5 b.- Son A y B independientes, compruebe? b.- no. Porque si fuesen independientes P (A∩B) = P (A) P (B) =0.6*0.3=0.18 ≠0.833 c.- Encontrar P(A´) P (A´) = 1- P (A) = 1 - 0.6 = 0.4 2.- Se extrae una carta al azar de una baraja de 40 cartas. a. Cual es la probabilidad de que sea dos o sea un siete? 2/40 + 7/40 = 0,05 + 0,175 = 0,225 = 22,5% B. Cual es la probabilidad de que sea oro o un 6? 1/40 + 6/40 = 0,025 + 0,15 = 0,175 = 17,5% 3. Consideremos el lanzamiento de un dado, usted gana si el resultado es impar o divisible por dos. .cual es la probabilidad de ganar? Solución: β= (1, 2, 3, 4, 5,6) A = (1, 3, 5) A=el resultado es impar P(A) = 3/6 = ½ =0.5 = 50% B = (2, 4, 6) B=el resultado es divisible por dos P(A) = 3/6 = ½ = 0.5 = 50% Como los eventos no son mutuamente excluyentes por la regla de la adición: P (AuB) = P (A) + P (B) – P (AnB) = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1 4. En el curso de estadistica la probabilidad de que los estudiantes tengan computador es de 0.60, la probabilidad de que tengan auto es de 0.25 y ambas cosas es de 0.15. Cual es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar tenga computador o auto? Solucion: A --> tener computador B --> tener auto P(A)=0.60 P(B)=0.25 P(A y B) = 0.15 P(A o B) = P(A) +P(B) - P(AyB) P(A o B) = 0.60 + 0.25 - 0.15 = 0.7 5. De entre 20 tanques de combustible fabricados para el transbordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente 4 tanques: a.- cual es la probabilidad de que ninguno de los tanques sea defectuoso Solución: A=el tanque no sea defectuoso P(A) = 1720 B=el tanque es defectuoso P (B) = 320 a.- S=ningun tanque sea defectuoso S=AAAA Como los eventos son independientes la probabilidad total es la multiplicación de las probabilidades marginales: P(S) = P (A) P (A) P (A) P (A) = 1720*1619*1518*1417 = 0.4912 b.- Cual es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos. Existen 4 posibilidades para el evento: AAAB AABA ABAA BAAA H=uno de los tanques sea defectuoso P (H)= P (AAAB) + P (AABA) + P (ABAA) + P (BAAA) = 1720*1619*1518*320+1720*1619*320*1518+1720*320*1619*1518+ 320*1720*1619*1518 = 0.3578 6.- En la tabla aparecen 1000 estudiantes universitarios clasificados de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en un examen de admision a la universidad. Tambien muestra la clasificacion de los colegios en donde se graduaron de bachilleres: 075 = 7.05= 5% d) haya obtenido un puntaje bajo en el examen dado que se haya graduado en un colegio de nivel inferior P(G)= 75= 0.90 Como los eventos son independientes: P (A∩B) = P (A) P (B) = 0.2= 20% b) Se haya graduado en un colegio de nivel superior P(B)= 500 = 0.765 .5= 50% P(CnD) = 50= 0.Fabian y Pilar estudian en un mismo curso.85*0. P(A) = 200 = 0.90 = 0.5% 7.075 = 7. a) Cual es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia.05= 5% c) haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado en un colegio de nivel superior P(CnD) = 50= 0.85 P (B) = 0. Solución: A’=fabian pierda materia B= pilar no pierda ninguna materia B’=pilar pierda materia P (A) = 0. P(A)= 75= 0.Calcular la Probabilidad de que un estudiante escogido al azar: a) haya obtenido un puntaje bajo en el examen.. La probabilidad de que Fabian no pierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%.5% e) si el estudiante escogido termino en un colegio de grado regular encontrar la probabilidad de que tenga un puntaje alto en el examen. b) Cual es la probabilidad de que Fabian pierda una materia y Pilar ninguna.90) =0.504 10. 0.9*0.Una maquina que produce un determinado articulo fue adquirida bajo la condicion de que el 3% de los articulos producidos son defectuosos. 0.10 respectivamente.9. 0. 0.135 C) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia. es decir independiente cual es la probabilidad de que .7 respectivamente.Cuatro amigos se dirigen a un lugar y toman 4 rutas diferentes de acuerdo al riesgo de tener un accidente. 0.8*0.15 + 0..25.20 + 0.8 y 0.7 = 0. Las probabilidades de riesgo de cada ruta son 0..2.25 + 0.10 = 0.015 8. P (A∩B’) = P (A) P (B’) = (1-0.El consejero escolar de un colegio estimo las probabilidades de exito en la universidad para tres alumnos de ultimo ano en 0..8 P (C) = 0.15.9 P (B) = 0.85)*0. P (A’∩B) = P (A’) P (B) = (1-0.85)*(1-0.90=0. Cual es la probabilidad de que los tres tengan exito en la universidad? Solución: A=el alumno 1 tiene exito B=el alumno 2 tiene exito C=el alumno 3 tiene exito P (A) = 0. Cual es la probabilidad de que ninguno sufra un accidente. Si el proceso se realiza bajo control.70 9.7 Como los eventos son independientes: P (A∩B∩C) = P (A) P (B) P (C) = 0. 90 Como P (D/C’) = P (D∩C’)P (C´) entonces: 0. la probabilidad de que un paciente presenta una demanda es de 0.000873 b. p (2) = 0. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto. p1 (1) = 0. p (2) = 0.03^2 * 0..97 P (p1 ∩ p2) = 0.03 * 0. la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga mas de 30 anos es de 0.03^0 = 0.97 = 0.dos articulos seguidos sean defectuosos. cual es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda? Solución: C=el doctor diagnostica en forma correcta una determinada enfermedad C’=el doctor diagnostica en forma incorrecta una determinada enfe rmedad D= el paciente presenta una demanda D’= el paciente no presenta una demanda P (D/C’) = 0..03^1 = 0.7..30 = 0.03 p2 (1) = 0.dos articulos seguidos no sean defectuosos.97^1 * 0..97^0 = 0.0291 11.9.La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0.55.90*0.55 .028227 c.97^1 = 0.03^1 * 0.a. Cual es la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga 30 anos o menos? La probabilidad de x > 30 años = 0.27 12..97^2 * 0.90= P (D∩C’)0.En una empresa.el primero sea defectuoso y el segundo bueno.30 luego despejamos y tenemos: P D∩C’ = 0. 9 P (A∩B) = P (A) P (B) P (C) = 0.7*0. es decir 1 .0.9 = 0.7 P (B) = 0. Si se supone que los dos eventos son independientes cual es la probabilidad de que un hogar escogido al azar sea uno de los que compra ambos periodicos? Solución: A=compran periodico matutino B=compran periodico vespertino P (A) = 0.63 14.45 13.En una ciudad grande el 70% de los hogares compra un periodico matutino y el 90% uno vespertino.La tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una encuesta. Si se selecciona un cuestionario.55 = 0.La probabilidad de x ≤ 30 es el complemento.. Los datos se clasificaron segun el sector de la ciudad donde se aplico el cuestionario.. Cual es la probabilidad de a) No se haya contestado 65 / 500 x 100 = 13% b) La persona no estaba en casa 135 / 500 x 100 = 27% . calcular las probabilidades de: a. la ocurrencia de uno de ellos afecta el que pueda producirse el otro: Sea A=el sector M conteste la encuesta B=el sector N conteste la encuesta P (B/A) = P (A∩B)P (A) = 215100 = 2. esto es. 60 / 125 x 100 = 48% 15. 100 / 125 x 100 = 80% F) Si la persona no estaba cual es la probabilidad de que viva en el sector O.haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A . no haya contestado el cuestionario 15 / 125 x 100 = 12% e) La persona viva en el sector M o Conteste el cuestionario. 16. los eventos son dependientes entre sí..El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y el 60% aprueba otra asignatura B. el resultado de la entrevista es independiente del sector de la ciudad donde vive la persona? Comprobar la respuesta Solución: El resultado de la encuesta es dependiente del sector.c) el cuestionario se haya contestado y la persona viva en el sector N 115 / 125 x 100 = 92% d) Dado que la persona viva en el sector O. que el 35% del total de los estudiantes aprueba ambas.En el ejercicio anterior..15 Para que los eventos sean independientes es necesario que: P (B/A) = P (B) lo que no ocurre en este caso. Sabemos ademas.. Elegido un estudiante al azar. (0..P(AyB) = 0.35 P(B|A) = P(A y B) / P(A) = 0.60 .70 P(B)=0.25 / 0.40 = 0.5% 17.0.35 / 0.30 = 0.35 = 0.70 = 0..no haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A P(no B|A) = P(A y no B) / P(A) P(A y no B) = P(A) .60 = 0.( P(A) + P(B) .Los pedidos nuevos de los productos de una compania varian en valor monetario.0.haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A P(B| no A) = P(no A y B) / P(A) **P(no A y B) = P(B) .05 P(no A|no B) = P(no A y no B) / P(no B) = 0. segun el siguiente cuadro .5833 --> 58.35 P(no B|A) = P(A y no B) / P(A) = 0.P(AyB)) = 1 .33% d.no haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A P(no A|no B) = P(no A y no B) / P(no B) **P(no B) = 1-0.70 = 0.60 .125 --> 12..70 +0.5 b.35 / 0.35) = 0.05/0.0.40 **P(no A y no B) = 1-P(AoB) = 1 .8333 --> 83.60 P(A y B) = 0..35 = 0.70 .60 = 0.30 P(B| no A) = P(no A y B) / P(no A) = 0.A --> aprueba A B --> aprueba B P(A)=0.33% c.P(AyB) = 0.25 /// P(no A) = 1-P(A) = 1-0. un 39% de probabilidad de que el sea igual o menor que $ 2000.000 Solución: P (x > 3.10 = 0. c) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $3.000) = P (2.000) = 0.55 Hay un 55% de probabilidad de que el pedido sea mayor que $ 2. un 55% de probabilidad de que el nuevo pedido sea mayor que $3000.10 = 0.3888… Hay.300.000 dado que la venta excede a $2.25 + 0.001<x <3.000 Solución: P ([x ≤ 2. 18.000]) P(x > 2. b) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea igual o menor a $2000 dado que el pedido excede a $1.5454 Hay aproximadamente. dado que las ventas exceden a $ 2000. Si un aspirante nuevo llega al curso cual es la probabilidad de que termine el curso y se convierta en un vendedor productivo.351-0.000] / [x > 1.001< x <5.000] ∩ [x > 2.000]) P(x > 2.000) = P( [x > 3.000) + P (4.001< x <4.000) = 0. aproximadamente..55 =0.000])P(x > 1.000]) =P( [x ≤ 2.000 Solución: P (x >2.Una compania encontro que el 82% de las personas seleccionadas para su programa de entrenamiento de vendedores termino el curso.000.000] ∩ [x > 1.000) = P([x > 3.000)+ P (3.000) = 0. . De estos solamente 60% se convirtieron en vendedores productivos.a) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $2.20 + 0. dado que el pedido excede a mil.000/ x > 2. el 30% la enfermedad D2.55*0.936416 B) Cual es la probabilidad de que la persona tenga cancer. y el 50% la .492=49.P(AuB)=P(A) * P(B) P(AuB)=0..En un centro medico.45*0.55 a) P (AB) = ? Luego por el Teorema de Bayes tenemos: P (AB) = P(A)P(BA) P(B) = P(A)P(B/A)[ P(A)P(B/A) + P(A´)P(B/A´) ] = 0. el 90% lo tenia.90 + 0.05 = 173/400 = 0.2% 19.90 P (BA') = 0. Datos. Si la proporcion de fumadores es del 45% a) Cual es la probabilidad de que un paciente con cáncer seleccionado al azar sea fumador? Solución: Definamos los siguientes sucesos o eventos.492 0.90 + 0. B’: la persona no tiene cáncer pulmonar. los fumadores que se sospecha tenian cancer pulmonar.82 * 0.45 P (BA) = 0.90 ( 0..45*0.05 Sabemos que P A)+P (A’) = 1 ⇒ P (A’) = 1-P (A) = 1-0. P (A) = 0.6= 0.4325 20. A’: la persona no es fumadora. mientras que el 5% de los no fumadores lo padecia. B: la persona tiene cáncer pulmonar.45 = 0. P (B) =? Por definición de la probabilidad total tenemos: P (B) = P(A) P (B/A) + P (A’) P (B/A’) P (B) = 0.45*0.05 ) = 162/173 = 0.55*0. A: la persona es fumadora.Un investigador de una clinica de especialistas ha descubierto que durante un periodo de varios anos. el 20% de los pacientes que llegaron a la clinica tenian la enfermedad D1. 20) + (0. A₂: los pacientes permanecen en el hospital 30 días o más.20 P (B₁/A₂) = 0. 60% de los que tenian la enfermedad D2.50) + (0. mientras que el 85% de los pacientes permanece 30 dias o mas. Tambien ha descubierto que el 20% de los que se quedan menos de 30 dias y el 60% de los que se quedan 30 dias o mas.80 Teorema de Bayes cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D3 P(D3) = (0.25 x 0. cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D1.60 D3 = 0.60 P (A₁/B₁) =? .20 S = 0.30 S = 0.25 x 0.85 P (B₁/A₁) = 0. A₁: los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 días.50) = 0. y 80% de los que tenian la enfermedad D3. D1 = 0. El investigador descubrio tambien que un conjunto de sintomas bien definidos al que denomino S..80 x 0. B₁: los pacientes presentan cierto tipo de características.25 D2 = 0. cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D3. presentan cierto grupo de caracteristicas. El investigador quiere utilizar esta informacion para hacer rapidamente el diagnostico a los pacientes recien llegados.50 S = 0.Un cientifico ha descubierto en un hospital para enfermedades cronicas que el 15% de los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 dias. Supongamos que ha sido admitido un paciente con el conjunto de sintomas S.33 21.80 x 0. se encontraba en un 25% de los pacientes con la enfermedad D1.15 P (A₂) = 0. B₂: los pacientes no presentan cierto tipo de características. Solución: Definamos los eventos o sucesos. Cual es la probabilidad de que un paciente que llega al hospital con esas caracteristicas permanezca menos de 30 dias?.825 cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D1 P(D1) = (0.60 x 0.enfermedad D3.20) = 0.60 x 0. P (A₁) = 0.20) + (0.50) + (0. 11 si es medio.05 P(I/SC)= P(SC/I) * P(I) + P(SC/C) * P(C) P(SC/I) * P(I) = 0. 0.20 ) (0. 8 medios. Si el sospechoso se escogio de un grupo del cual solo 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable.055 si es defensa y 0 si es portero.9 P(SI/I)=0.01 * 0. la probabilidad de que se lesione un jugador es 0..20 + 0. Solución: Definamos: D=se lesione un delantero M=se lesione un medio Df=se lesione un defensa .60) = 118= 0.Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido.P(B₁/A₂) ] P (A₁/B₁) = ( 0.15*0. a. 6 delanteros y 2 porteros.95 =0. cual es la probabilidad de que sea inocente? Sea SI={Suero lo encuentra Inocente} SC=SIc={Suero lo encuentra Culpable} I={El sujeto es Inocente} C=Ic={ El sujeto es Culpable} P(SC/C)=0. En otras palabras el 10% de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el suero y el 1% de los inocentes se juzgan culpables.9 * 0.01 P(I)=0. 0556 22.85*0.05 0.95 + 0.99 P(SC/I)=0.1743 23. entre los dos equipos se reunen 6 defensas.Con los jugadores de un club de futbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento.A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en 90% cuando la persona es culpable y en 99% cuando la persona es inocente..95 P(C)=0.P(B₁/A₁) + P(A₂).22 si es delantero.Por el teorema de bayes tenemos: P (A₁/B₁) = P(A₁∩B₁) P(B₁) = P(A₁). El entrenador sabe que en estos partidos.01 * 0.15*0.. 0.P(B1/A₁) [ P(A₁). 06 = 0.115 b.54 (54 de la suma del 70% de varones y 30% de mujeres que llevan casco.22 + 822*0. .22 = 0. Se pide: a.04+0..0150. de estos. del numero de personas en total) b.Tras un estudio estadistico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y.055 0.P (L) = 622*0. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Cual es la probabilidad de que sea varon? p(AnB) = (70/100) x (42/70) = 0.055 + 222*0..11 P (Df) =0. A=motoristas varones B=Llevan casco p(B) = 54/100 = 0..055 P (P) =0 a.Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco.P=se lesione un portero L=se lesione cualquiera de los jugadores del equipo P (D) =0..115 = 0. 100. el 60% llevan habitualmente casco.Si se sabe que un jugador se ha lesionado.11 + 622*0.1304 24.42 La fórmula para la intersección es P(AnB) = p(A) x p(B/A) El (70/100) sale de la probabilidad que sea varón (hay 70 varones de 100 .Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. Solución: Aplicando el teorema de Bayes: P (Df/L) = P(Df ∩L) P(L) = 622 * 0.22 P (M) =0. determinar la probabilidad de que haya sido un defensa.015+0.115 = 0. 5=0.48 Por lo tanto no son independientes. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teorica es de 0.83 25.. Al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento.6 = 0.6 x 0.8 .. la probabilidad de que sean blancas es 1/2.4 Probabilidad de aprobar un único examen. una teorica y otra practica..Cual es la probabilidad de que apruebe tambien la practica? P(B|A)= P(A∩B)/P(A)= 0. d. Solución: En la caja hay x+1 bolas: x blancas y 1 roja. 0.-Se sabe que un alumno aprobo la teoria. b.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0..5/0.6. a... el 60% (o sea 42) usan casco. .Los alumnos de Primero de Biologia tienen que realizar dos pruebas.9 – P(A∩B)= 0.En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Calcula el numero de bolas blancas que debe tener la caja.motoristas) el (60/70) sale de que de 70 motoristas varones. la probabilidad de que apruebe la parte practica es de 0..1=Probabilidad de no aprobar ningún examen c..5.P(A) –P(B) + P(A∩B)= 0.Cual es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos examenes? P(E)=1 à 1. 24. 0. .5≠0.Son independientes los sucesos aprobar la parte teorica y la parte practica? Si son independientes: p(A∩B)=P(A) x P(B) .Cual es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos examenes? P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A∩B)=0. . Cual es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? ingenieros 20% = 20 (15 . mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. 26.directivo(50%) + 10 no directivo(50%) no ingenieros y no economistas = 60 (12 . El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas tambien.El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas.directivo(20%) + 48 no directivo(80%) P(empleado directivo sea ingeniero) = ingenieros directivos / total directivos = P(empleado directivo sea ingeniero) = 15 / (15 + 10 + 12) = 15/37 P(empleado directivo sea ingeniero) = 15/37 Respuesta = 15/37 = ~40.Sea: B=sacar una bola blanca R=sacar una bola roja P (B) = xx+1 P (R) = 1x+1 P(B∩B) = xx+1* x-1x = 12 Entonces: xx+1* x-1x = 12 de aqui tenemos: 2*x-1=x+1 2x-2=x+1 x=3 Hay 3 bolas blancas en la caja.57% .directivo(75%) + 5 no directivo(25%) economistas 20% = 20 (10 . 4 6 --.1 --> 5 4.4 --> 6 3.4 --> 5 2. 4 con suma 5 .frecuencia 3 --.1 --> 3 2. 3 y 4.4 --> 7 4.2 con suma 6 y 2 con suma 7 es decir X --. respectivamente.2 5 --. Solucion: Posibilidades Bolas --.2 --> 3 1.2/12 = 1/6 4 --.3 --> 5 2. 2.2/12 = 1/6 .2 --> 5 3.EJERCICIOS CAPÍTULO 1 1.Una urna contiene cuatro balotas con los numeros 1. Si se toman dos balotas de la urna sin sustitucion y X es la suma de los números de las dos balotas extraidas.2 4 --. 2 con suma 4.2 7 --.2 --> 6 4..2/12 = 1/6 5 --.2/12 = 1/6 7 --.Suma 1. determine la distribucion de probabilidad de X y representela por medio de un histograma.1 --> 4 3.2 Tenemos 2+2+4+2+2=12 posibilidades por lo que las probabilidades son 3 --.4/12 = 1/3 6 --.3 --> 7 Hay 2 posibilidades con suma 3.3 --> 4 1. 5)+(3^2-0. determine si se trata de una distribucion de probabilidad.1/6 E(x)= suma de x*f(x) E(x)= 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/3+6*1/6 + 7*1/6 E(X)=5 La varianza es la suma de f(x)*(x-E(X))² V(X)=1/6*(3-5)² + 1/6*(4-5)² + 1/3*(5-5)² +1/6*(6-5)² + 1/6*(7-5)² V(X)=5/3 2.. En los casos en que si se describa una distribucion de probabilidad.125) +(1*0.5 σ_x^2 =V(x)= [(0^2-0. P(X=x) = 0.125) μx = E(x)= 1.375)+(2*0.1/6 4 --.1/3 6 --. En los casos en que sea asi.375)*(1.5)+(2-0.125)*(1.Para las siguientes tablas de datos.0.f(x) 3 --.75+0. calcule su media y desviacion estandar.375)*(1. identifique los requisitos que no se satisfacen.125 = 1 Si es una distribución de probabilidad μx = E(x)= ∑(0*0.5)] .375)+(3*0.125+.375+0.5 + (1^2-0.por lo tanto la función de probabilidad es X -.1/6 5 --.1/6 7 --.125)*1. El espacio muestral de un experimento aleatorio es {a.9606)*(3.0001+0.0001)*(3.0387)+(4*0.098+0. d.966 No se cumple la distribución de probabilidad porque la sumatoria de P(X=x) es 0.σ_x^2=V(x)= 19.00)*3.9598)+(2^20.9606 = 1 Si es una distribución de probabilidad μx = E(x)= {(0*0.9598 + (1^2-0.0000)+(0. y cada resultado es igualmente probable.9598 σ_x^2=V(x)= [(0^2-0.9598)+(4^2-0.0387)*(3.0006+0.0006)*(3.e.c.9598)+(3^2-0.b.9606)} = 3. Se define una variable aleatoria de la siguiente manera: .0000+0.0387+0. f }.9598)] = 114..5 P(X=x) = 0.8342 3.0001*1)+(2*0.011+0.365+0.966 y debe de dar uno P(X=x) = 0.001 = 0.0006)+(3*0.502+0. 5<X<2...7) =5/6 d....138 .333) ∗1/6+(0−1..333) ∗1/6+(1.5−1.....5∗1/6)+(2∗1/6)+(3∗1/6) =1. P(X=1... La funcion de probabilidad de X X.1/3 2.f(x) 0..a. P(x =0 o x =2) = 1/3 + 1/6 = 1/2 g.. P(X>3) = 0 e. P(0<=x<2) = 2/3 f.5) =1/3 c.5−1.....333) ∗1/6+(3−1. 1/6 3.333) ∗1/6+(1. 1/3 1...333) 2 2 2 2 2 2 ∗1/6+(2−1..5.333) ∗1/6 =1. 1/6 b.5∗1/6)+(1. P(0..333 Var X (X)= ∑ 2 (x i −μ) p i = (0−1. Media μ X =E X [x]= ∑ x i p X (x i ) La probabilidad de todos los eventos es la misma p X (x)=1/6 μ X =E X [x]= ∑ Varianza x i p X (x i )= (0∗1/6)+(0∗1/6)+(1. Si es función de probabilidad la suma ha de ser 1.24) 6. Si cada valor es igualmente probable y la media de X es 6. calcule x. 3.88 O también P(1<= X <= 3) = 1 – P(X=4) = 1..2. x].1. Nos dicen que la media de X es 6. osea: media =xi /n (0+1+2+3+x)/5 = 6 6+x=30 x=24 entonces X=(0.12/25 •1/ 4 = 22/25 = 0. 2.Compruebe que la siguiente funcion es funcion de distribucion acumulada de la variable aleatoria discreta X y calcule la funcion de probabilidad y las probabilidades pedidas. . f(1) + f/2) + f(3) + f(4) = 1 k/1 + k/2 + k/3 + k/4 = 1 k(1+1/2+1/3`1/4) = 1 k * 25/12 = 1 k = 12/25 P(1<= X <= 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 12/25 • 1 + 12/25 • 1/2 + 12/25•1/3 = 12/25 ( 1+1/2+1/3) = 12/25 • 11/6 = 22/25 = 88/100 = 0. 1..3. donde x es una incognita.88 5.El rango de la variable aleatoria X es [0. comienza en cero y termina en uno.1) = F(0.25 d.1 -------------> F(x) = 0 -0.75 = 0. P(X≤0.F(0. P(0≤X<0.25 .1) = 0.1) = F(0..0.0.5---> F(x) = 0.3 -> F(x) = 0.25 = 0 7.25 . P(X≤0.1 <= x < 0.4≤X≤0.Verifique que la siguiente funcion es una funcion de probabilidad y calcule las probabilidades pedidas. P(X<0) = F(0) = 0.5)=1 b.4) = 1 .75 c.1<X<0.F(-0.6)= F(0.1) .0. P(-0.4)=F(0.25 = 0 f.75 0.6) . por lo tanto es una función de distribución válida a.25 e. P(0. .1) .25 0.3 <= x < 0.5)=F(0.supongo la función x< -0.5 <= x -----------> F(x) = 1 Esta función es monótona creciente.F(0) = 0.4)=0. P(x<=2) = 1 b. P(x>=1) = 3/2 c. P(x<=-1 o x =2) = 3/8 + 1/8 = 4/8 e. P(-1<=x<=1) = 6/8 d. P(x>-2) = 7/8 c.a. a.Dada la siguiente funcion de probabilidad acumulada de la variable aleatoria discreta X.Sea X una variable aleatoria que representa el numero de clientes que llega a un almacen en una hora.562 + 0 + 0. P(x=3) = 3/4 e.25) +(-1−0.25) = 5. Dada la siguiente informacion: . P(x=5) = 1 9.25) +(2−0.4<x<4) = 7/4 f.25) +(1−0. P(x<=3) = 3/4 b.25) +(0−0.. Media μ X =E X [x]= ∑ μ X =E X [x]= ∑ x i p X (x i ) x i p X (x i )= (-2∗1/8)+(-1∗2/8)+(0∗2/8)+(1∗2/8)+(2∗1/8) = -1/4 -1/4 + 0 +2/8 + 1/4 = 1/4 = 0.062 + 1.062 = 10.25 Varianza Var X (X)= ∑ 2 2 2 2 2 (x i −μ) p i = (-2−0.2 8.. P(-0.562 + 3. P(x<3) = 3/4 d. 25 + 0.4) +(4 .10)+(3∗0.20 + 0.4) +(2 .4) +(1 .40 = 4 Varianza Var X (X)= ∑ 2 2 2 2 2 2 2 2 (x i −μ) p i = (0 .4) + 2 2 (7 .60 + 0..4) +(6 .20) (5∗0.35 + 0.25)+(6∗0.10)+(7∗0. determine el valor de k.Demuestre que las siguientes funciones son funciones de densidad de probabilidad para algun valor de k. La función es monótona creciente. debe tomar el valor 1 para la integral en todo el eje x Para x <= 4 F(x) =∫ = k^2 ∫ .10)+(4∗0.10 + 0.Media μ X =E X [x]= ∑ x i p X (x i ) μ X =E X [x]= ∑ x i p X (x i )= (0∗0.05)+(1∗0.05) = 0 + 0. Calcule la media y varianza de cada una de las tres funciones de densidad.4) +(3 .05)+ (8*0.4) +(5 .10)+(2∗0.80 + 1.4) +(8 .30 + 0.4) = 16 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 60 10. (11/9)^2 =23/81 ∗ .6 .6 Varianza = 9.6 b) Para x <=2 F(x) = k∫ = k ( x + x^2) entonces normalizamos k (2 + 2^2) = 1 k = 1/6 F(x) = (1/6) (1+2x) E(x) = media = (1/6) ∫ = (1/6) ∫ =(1/6) (2^2/2 + (2/3)*2^3) =(1/6) (2 + 16/3) = 11/9 E(x^2) = 16/9 varianza = 16/9 .= (k^2/3) x^3 Entonces normalizamos (k^2/3) 4^3 =1 k^2 = 3/(4^3) F(x) = 3 x^2/64 E(x) = Media =∫ =∫ ∗ = (3/256) * 4^4 = 3 E(x^2) = ∫ ∗ = (3/320) * 4^5 = 48/5 =9.3^2 = 0. 5x3) = 4.Sea X una variable aleatoria continua. b.11.5 12.. a.La funcion de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X esta dada por: a.. Determine el valor de k. f x=∫ f x= k f x= f x= = → ∮ → . a. Determine P(3 < X < 5) P(3 < X < 5) = 1-(1. de manera que la funcion f(x) sea la función de densidad de probabilidad de X. Demuestre que el area bajo la curva de esta funcion es igual a 1. P(X>=1/ 2) = 10/27 P(-1/2<=X<=1/ 2)= 0 13. P(X<=1) F(1) 01 c.La funcion de distribucion acumulada de una variable aleatoria continua X esta dada por: a. p(x<1/2) = 1/2 c. p(x>3/4) = 1 . P(X<=-1) F(-1) 0 b. f(x)= 0 b.. a.b. 25*4^2/2 .5) =0 c. p(x<-2) =0 d. para 0 < x < 4 .25*0^/2 = 2 Varianza = E(X^2) .0.0.4) --> 0.8) = 1 b. p(-1<x<1) =0.3333 . Media= ∫ 0.25x dx E(x)= 0.33333 .E(X)^2 E(X^2) =∫ x^2 dx = 0.25 ..25x^2 E(x^2)= 0.14.Suponga que la funcion de distribucion acumulada de la variable aleatoria continua X es: a.E(X)^2 = 5.33333 Varianza = E(X^2) . Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria continua X.25*x^3/3 (x=0.25*x^2/2 (x=0.4) --> 0. Suponga que f (x) = 0. p(x<1.25*4^3/3 .75 15.2^2 = 1.25*0^/3 = 5. p(x>-1. Suponga que . luego es muy infrecuente registrar dos casos de rabia en un mes en esa ciudad. 17. 18.16.1/20 P(x<=40<=70)>=0..entre que valores oscilara el ritmo cardiaco del 75% de los pacientes tratados? P(x<=40<=70)>=1. . Sería muy extraño que se registras en más de dos pulgadas..Sea X la variable que representa la cantidad de lluvia caida de una semana en una region determinada. Sea X el numero de latidos por minuto.25 = 4 Y observa que en las tablas la probabilidad Pr(X<4) está redondeada a 1.Se lleva a cabo un estudio de un farmaco destinado a mantener un ritmo cardiaco constante en pacientes que ya han sufrido un infarto.Sea X el numero de casos de rabia registrados en un mes en una ciudad determinada.. luego es muy pequeña la probabilidad.95 .Seria extraño que esta region registre mas de dos pulgadas de agua durante una semana? Tipificamos: z = (x-m)/s = (2-1)/0.Podria considerarse infrecuente registrar dos casos de rabia en un mes en esa ciudad? 2 z = (u)/s = 1/2 / 1/25 = 25/2 Y observa que en las tablas la probabilidad Pr(X<25/2) está redondeada a 12.5. registrado durante la utilizacion de este farmaco con la siguiente funcion de probabilidad: Utilizando la desigualdad de Chebyshev. . . Suponga que pulgadas. cuando menos 0.01 .99? 1.99 = 0. cuando menos 0.95? 1..0.0..95 = 0.19.Cual es el valor minimo de k en el teorema de Chebyshev para el cual la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor entre que sea: a.05 b.