UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHIESCUELA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y MARKETING 1.- Una fábrica produce dos tipos de camisas A y B, las camisas tipo A requiere 2,5 minutos para cortarlas y 5 minutos para confeccionarlas, las de tipo B requieren 4 minutos para cortarlas y 4 minutos para confeccionarlas. Se necesita 1 hora y 40 minutos para corte y 2 horas para confeccionarlas. El beneficio es de 2,50 dólares por cada camisa tipo A y 3 dólares por cada camisa tipo B. ¿Cuántas camisas de cada clase debe producirse para obtener la máxima ganancia? 1.- variables de decisión camisas A camisas B 2.- función objetivo Z(MAX)= 3.-Restrcicciones 2,5x1 + 4x2 ≤ 100 5X1 + 4X2 ≤ 120 C1 C2 cortar confeccionar X1 X2 2,5X1 + 3X2 expresado en min X1 2.5 5 X2 4 4 Disponible 100 120 X1 ᴧ X2 ≥ 0 4.-Gráfico de ecuaciones C1= 2,5x1 + 4x2 = 100 X 0 40 Y 25 0 C2= X 0 24 5X1 + 4X2 = 120 Y 30 0 A= B= C= 0; 25 8 ; 20 24 ; 0 B 2.5 5 -5 5 X1 X1 X1 X1 0 + + + + + 4 4 -8 4 -4 100 120 -200 120 -80 -80 -4 X2 = 20 X2 X2 X2 X2 X2 X2 = = = = = = -2 debe producirse Reemplazamos 5 5 5 X1 X1 X1 + + + 4 4 80 5 5 X2 = 120 20 = 120 = 120 X1 = 120 X1 = 40 X1 = 40 5 X1 = 8 - 80 A= Z(MAX)= 2.5 X1 + Z(MAX)= 2.5 0 + Z(MAX)= Z(MAX)= 0 75 + 75 3 3 X2 25 B= Z(MAX)= 2.5 X1 + Z(MAX)= 2.5 8 + Z(MAX)= Z(MAX)= 20 80 + 60 3 3 X2 20 C= Z(MAX)= 2.5 X1 + Z(MAX)= 2.5 24 + Z(MAX)= Z(MAX)= 60 60 + 0 3 3 X2 0 Debe producir 8 camisas de tipo A Y 20 camisas de tipo B 2.- Una empresa fabrica dos productos A y B. El beneficio para A es de 25 dólares por tonelada y para B 20 dólares. La planta consta de tres departamentos de producción: Cortado, Mezclado y Enlataje. El equipo en cada departamento puede emplearse 4 horas diarias. El proceso de producción es el siguiente. El producto A emplea ¼ hora de la capacidad de cortado y enlataje y 0,5 hora de mezclado por tonelada. El producto B requiere 0,5 hora por tonelada de la capacidad de mezclado y 1/3 hora de la capacidad de enlataje. ¿Qué combinación de producto deberá elaborar la empresa para maximizar su beneficio? 1.- variables de decisión Producto A Producto B 2.- función objetivo Z(MAX)= 3.-Restrcicciones 15X1 ≤ 240 30X1 + 30X2 ≤ 240 15X1 + 20X2 ≤ 240 C1 C2 corte mezclado enlataje X1 15 30 15 X2 30 20 disponible 240 240 240 X1 X2 25X1 + 20X2 X1 ᴧ X2 ≥ 0 4.-Gráfico de ecuaciones C1= 15X1 = 240 X 0 16 Y 0 0 C2= X 0 8 30X1 + 30X2 = 240 Y 8 0 C3= 15X1 + 20X2 = 240 X 0 16 Y 12 0 A= B= 0; 8 8;0 mplearse 4 horas e la capacidad de A= Z(MAX)= 25 Z(MAX)= 25 Z(MAX)= Z(MAX)= 0 160 X1 + 0 + + 160 20 20 X2 8 B= Z(MAX)= 25 Z(MAX)= 25 Z(MAX)= Z(MAX)= X1 8 200 + 200 + + 0 20 3 X2 0 Debe producir 8 unid producto tipo A y no es factible producir el producto tipo B 3.- Una compañía produce dos tipos de pantalones A y B, cada pantalón tipo A requiere del doble de mano de obra que el de tipo B. Se deben producir por lo menos 250 pantalones combinados. El mercado limita la venta diaria de pantalones tipo A, a un máximo de 75 y los de clase B a un total de 125 pantalones. Los beneficios por pantalón son 6 dólares para el tipo A y 4 dólares para el tipo B. Determinar el número de pantalones de cada clase que maximice la ganancia. 1.- variables de decisión pantalones A pantalones B 2.- función objetivo Z(MAX)= 3.-Restrcicciones 75X1 +125X2 ≤ 250 2X1 + X2 ≥ 250 C1 C2 X1 2 75 X2 1 125 producción 250 250 X1 X2 6X1 + 4X2 mano de obra venta X1 ᴧ X2 ≥ 0 4.-Gráfico de ecuaciones C1= 75X1 +125X2 = 250 X 0 3.33 Y 2 0 C2= X 0 125 2X1 + X2 = 250 Y 250 0 No hay región básica factible 4.- Dos pantalones tienen el siguiente proceso. Hay un taller que lo más que puede hacer es 200 productos del tipo A o 100 del tipo B por día. El taller de pintura tiene una capacidad diaria de 120 productos del tipo A o 160 del tipo B. También el tratamiento técnico puede procesar un total de 90 artículos del tipo A por día. El producto A tiene una utilidad de 4 dólares y el producto B de 6 dólares. Determine la producción óptima que maximice los beneficios. 1.- variables de decisión pantalones A pantalones B 2.- función objetivo X1 X2 A= B= Z(MAX)= 3.-Restrcicciones 120X1 +160X2 ≤ 200 90X1 ≤ 100 4X1 +6X2 C1 C2 X1 ᴧ X2 ≥ 0 4.-Gráfico de ecuaciones C1= 120X1 +160X2= 200 X 0 1.67 Y 1.25 0 C2= X 0 1.11 90X1 = 100 Y 0 0 A= B= 0; 1,25 1,11 ; 0 Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= 4 4 0 7.5 X1 0 + + + 7.5 6 6 X2 1.25 Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= 4 X1 4 1.11 4.44 + 4.44 + + 0 6 6 X2 0 Se debe producir 1 unid de pantalon tipo B y no es factible la produccion del pantalon tipo A 5.- Se producen dos artículos A y B los mismos que son procesados por tres máquinas M1, M2 y M3. La máquina M1 procesa 0,5 unidades de A y 0,5 de B; M2 procesa 1 de A, y 0,5 de B; M3 procesa 0,5 de a y tres de B. Se dispone al menos de 65 horas semanales para M1, 95 para M2 y 100 para M3. El costo de A es de tres dólares y cinco dólares el de B. ¿Cuántas unidades de A y B se debe producir para que el costo sea mínimo? 1.- variables de decisión Artículo A Artículo B 2.- función objetivo Z(MIN)= 3.-Restrcicciones 0,5X1 + 0,5X2 ≥ 65 X1 + 0,5 X2 ≥ 95 0,5X1 + 3X2 ≥ 100 C1 C2 C3 X1 X2 3X1 + 5X2 X1 ᴧ X2 ≥ 0 4.-Gráfico de ecuaciones C1= 0,5X1 + 0,5X2 = 65 X 0 130 Y 130 0 C2= X 0 95 X1 + 0,5 X2 = 95 Y 190 0 C3= 0,5X1 + 3X2 = 100 X 0 200 Y 33.33 0 A= B= C= 0; 130 18 ; 14 200 ; 0 B 0.5 0.5 -0.5 0.5 X1 X1 X1 X1 0 + + + + + 0.5 3 -0.5 3 2.5 X2 X2 X2 X2 X2 X2 X2 = = = = = = = 65 100 -65 100 35 35 2.5 14 -1 Reemplazamos 0.5 0.5 0.5 X1 X1 X1 + + + 0.5 0.5 56 0.5 0.5 X2 14 X1 X1 X1 X1 = = = = = = = 65 65 65 65 9 9 0.5 18 - 56 A= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= 3 3 0 650 X1 + 0 + + 650 5 5 X2 130 B= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= 3 3 54 124 X1 18 + + + 70 5 5 X2 14 C= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= 3 3 600 600 X1 200 + + + 0 5 5 X2 0 Debe producir 18 unid producto tipo A y 14 unid del producto tipo B 6.- Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustible A y B. El combustible A tiene 12,5% de gasolina grado 1 y 2 y 25% de gasolina grado 3. El combustible B tiene 25% de gasolina grado 2 y 3. Disponible para la producción hay 25 galones / hora de gasolina grado 1 y 100 / hora de gasolina 2 y 3. Los costos son de 15 centavos por galón de gasolina grado 1, el galón de gasolina grado 2 cuesta 30 centavos y 45 centavos por galón de gasolina grado 3. El combustible A puede venderse a 0,71 dólares por galón, mientras que el combustible B alcanza 0,75 centavos por galón. ¿Qué cantidad debe fabricarse de cada combustible para obtener el mayor beneficio? 1.- variables de decisión Combustible A Combustible B 2.- función objetivo Z(MAX)= A= B= X1 X2 0,54X1 + 0,56X2 UT= P - C 0,71 - 0,17= 0,54 0,75 - 0,19= 0,56 (0,125*0,15) + (0,125*0,30) + (0,25*0,45)= 0,17 (0,25*0,30) + (0,25*0,45)= 0,19 3.-Restrcicciones 0,125X1 ≤ 25 0,125X1 + 0,25 X2 ≤ 100 0,25X1 + 0,25X2 ≤ 100 C1 C2 C3 grado 1 grado 2 grado 3 X1 0.125 0.125 0.25 X2 0.25 0.25 costos 0.15 0.3 0.45 X1 ᴧ X2 ≥ 0 4.-Gráfico de ecuaciones C1= 0,125X1 = 25 X 0 200 Y 0 0 C2= X 0 800 0,125X1 + 0,25 X2 = 100 Y 400 0 C3= 0,25X1 + 0,25X2 = 100 X 0 400 Y 400 0 A= B= C= 0; 400 200 ; 200 200 ; 0 B 0.125 0.25 -0.5 0.5 X1 X1 X1 X1 0 + + + + 0.25 0.5 0.5 X2 X2 X2 X2 X2 = = = = = = = 25 100 -100 200 100 100 0.5 200 -4 2 Reemplazamos 0.25 X1 0.25 X1 0.25 X1 + + + 0.25 X2 0.25 200 50 0.25 X1 0.25 X1 X1 X1 = = = = = = = 100 100 100 100 50 50 0.25 200 - 50 A= Z(MAX)= 0.54 X1 Z(MAX)= 0.54 0 Z(MAX)= Z(MAX)= 0 224 + + + 224 0.56 X2 0.56 400 B= Z(MAX)= 0.54 X1 Z(MAX)= 0.54 200 Z(MAX)= Z(MAX)= 108 220 + + + 112 0.56 X2 0.56 200 C= Z(MAX)= 0.54 X1 Z(MAX)= 0.54 200 Z(MAX)= Z(MAX)= 108 108 + + + 0 0.56 0.56 X2 0 Debe fabricar 400 galones del combustible tipo B y no es factible la fabricación del combustible tipo A 7.- Un estacionamiento puede atender cuando más a 100 vehículos entre automóviles y camiones. Un automóvil ocupa diez metros cuadrados, mientras que un camión necesita un área de 20 metros cuadrados, y se sabe que el área total del estacionamiento es de 1200 metros cuadrados. La tarifa que se cobra mensualmente es de 20 dólares por auto y 35 dólares por camión. ¿Cuántos vehículos de cada tipo le proporcionarán al establecimiento una ganancia máxima? 1.- variables de decisión Automóvil Camión 2.- función objetivo Z(MAX)= 3.-Restrcicciones X1 + X2 ≤ 100 10X1 + 20X2 ≤ 1200 C1 C2 X1 X2 20X1 + 35X2 X1 ᴧ X2 ≥ 0 4.-Gráfico de ecuaciones C1= X1 + X2 = 100 X 0 100 Y 100 0 C2= X 0 120 10X1 + 20X2 = 1200 Y 60 0 A= B= C= 0; 60 80 ; 20 100 ; 0 B 1 10 -10 10 X1 X1 X1 X1 0 + + + + + 1 20 -10 20 10 X2 X2 X2 X2 X2 X2 X2 = = = = = = = 100 1200 -1000 1200 200 200 10 20 -10 Reemplazamos X1 X1 X1 + + + 1 1 20 X2 20 X1 X1 X1 X1 = = = = = = = 100 100 100 100 80 80 1 80 - 20 A= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= 20 X1 + 20 0 + 0 + 2100 2100 35 35 X2 60 B= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= 20 X1 20 80 1600 + 2300 + + 700 35 35 X2 20 C= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= 20 X1 20 100 2000 + 2000 + + 0 35 35 X2 0 El estacionamiento debe atender a 80 automóviles y a 20 camiones 8.- Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de hierro, 2100 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos. ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? 1.- variables de decisión Píldora MA Píldora MB 2.- función objetivo Z(MIN)= 3.-Restrcicciones 40X1 + 10X2 ≥ 2400 10X1 + 15X2 ≥ 2100 5X1 + 15X2 ≥ 1500 X1 ᴧ X2 ≥ 0 C1 C2 C3 Hierro vitamina B-1 vitamina B-2 costo X1 40mg 10mg 5mg 0.06 X2 10mg 15mg 15mg 0.08 disponible 2400mg 2100mg 1500mg X1 X2 0,06X1 + 0,08X2 4.-Gráfico de ecuaciones C1= 40X1 + 10X2 = 2400 X 0 60 Y 240 0 C2= X 0 210 10X1 + 15X2 = 2100 Y 140 0 C3= 5X1 + 15X2 = 1500 X 0 300 Y 100 0 A= B= C= D= 0 ; 240 30 ; 120 120 ; 60 300 ; 0 D= El paciente debe comprar 30 B 40 10 40 -40 X1 X1 X1 X1 0 + + + + + 10 15 10 -60 -50 X2 X2 X2 X2 X2 X2 X2 = = = = = = = 2400 2100 2400 -8400 -6000 -6000 -50 120 -4 hierro y vitamina ada píldora de la Reemplazamos 10 X1 10 X1 10 X1 + + + 15 15 1800 10 10 X2 120 X1 X1 X1 X1 = = = = = = = 2100 2100 2100 2100 300 300 10 30 - 1800 C 10 5 10 -10 0 X1 + X1 + X1 + X1 + + 15 15 15 -30 -15 X2 X2 X2 X2 X2 X2 = = = = = = 2100 1500 2100 -3000 -900 -900 -15 60 -2 X2 = Reemplazamos 5 X1 5 X1 5 X1 + + + 15 15 900 5 5 X2 60 X1 X1 X1 X1 = = = = = = = 1500 1500 1500 1500 600 600 5 120 - 900 A= Z(MIN)= 0.06 Z(MIN)= 0.06 Z(MIN)= 0 Z(MIN)= 19.2 X1 + 0.08 X2 0 + 0.08 240 + 19.20 B= Z(MIN)= 0.06 Z(MIN)= 0.06 Z(MIN)= 1.8 Z(MIN)= 11.4 X1 30 + + + 9.60 0.08 X2 0.08 120 C= Z(MIN)= 0.06 X1 + 0.08 Z(MIN)= 0.06 120 + 0.08 Z(MIN)= 7.2 + 4.80 Z(MIN)= 12 X2 60 D= Z(MIN)= 0.06 X1 + 0.08 Z(MIN)= 0.06 300 + 0.08 Z(MIN)= 18 + 0.00 Z(MIN)= 18 X2 0 El paciente debe comprar 30 píldoras MA y 120 píldoras MB 9.- Un laboratorio farmacéutico desea preparar un tónico de tal manera que cada frasco contenga al menos 32 unidades de vitamina A, 10 de vitamina B y 40 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas, el laboratorio emplea el aditivo X1, a un costo de 2 dólares por onza, el cual contiene 15 unidades de vitamina A, 2 de B y 4 de C; un aditivo X2 a un costo de 4 dólares por cada onza, que contiene 4 unidades de vitamina A, 2 de B y 14 de C. ¿Cuántas onzas de cada aditivo se deben incluir en el frasco para minimizar el costo? 1.- variables de decisión Aditivo A Aditivo B 2.- función objetivo Z(MIN)= 3.-Restrcicciones 15X1 + 4X2 ≥ 32 2X1 + 2X2 ≥ 10 4X1 + 14X2 ≥ 40 X1 ᴧ X2 ≥ 0 C1 C2 C3 X1 15 2 4 2 X2 4 2 14 4 disponible 32 10 40 X1 X2 2X1 + 4X2 vitamina A vitamina B vitamina C costo 4.-Gráfico de ecuaciones C1= 15X1 + 4X2 = 32 X 0 2.13 Y 8 0 C2= X 0 5 2X1 + 2X2 = 10 Y 5 0 C3= 4X1 + 14X2 = 40 X 0 10 Y 2.86 0 A= B= C= 0;5 3;2 10 ; 0 B 2 4 -4 4 X1 X1 X1 X1 0 + + + + + 2 14 -4 14 10 X2 X2 X2 X2 X2 X2 X2 = = = = = = = 10 40 -20 40 20 20 10 2 -2 Reemplazamos 2 X1 2 X1 2 X1 + + + 2 2 4 2 2 X2 2 X1 X1 X1 X1 = = = = = = = 10 10 10 10 6 6 2 3 - 4 A= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= 2 2 0 20 X1 + 0 + + 20 4 4 X2 5 B= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= 2 2 6 14 X1 3 + + + 8 4 4 X2 2 C= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= Z(MIN)= 2 2 20 20 X1 10 + + + 0 4 4 X2 0 El laboratorio farmacéutico debe incluir 3 onzas del aditivo X1 y 2 onzas del aditivo X2 para cada frasco del tónico. 10.- Una fábrica elabora dos clases de cerveza Pílsener y Club, para lo cual dispone de ingredientes para llenar por lo menos 30 botellas combinadas. Toma una hora llenar 20 botellas de cerveza Pílsener y dos horas llenar 25 botellas de cerveza Club, se dispone a lo mucho de 2 horas. La demanda de la cerveza Pílsener se estima en el mercado en un total de 22 botellas y a lo mucho 10 botellas de cerveza Club. Cada botella de cerveza Pílsener deja una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de cerveza Club. ¿Cuántas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la máxima ganancia? 1.- variables de decisión C.Pílsener C. Club 2.- función objetivo Z(MAX)= 3.-Restrcicciones 22X1 + 10X2 ≥ 30 X1 ≤ 20 2X2 ≤ 25 X1 ᴧ X2 ≥ 0 C1 C2 C3 X1 X2 10X1 + 15X2 4.-Gráfico de ecuaciones C1= 22X1 + 10X2 = 30 X 0 1.36 Y 3 0 C2= X 0 20 X1 = 20 Y 0 0 C3= 2X2 = 25 X 0 0 Y 0 12.5 A= B= C= 0 ; 12,5 20 ; 12,5 20; 0 A= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= 10 X1 + 15 X2 10 0 + 15 12.5 0 + 187.5 187.5 B= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= 10 X1 + 15 X2 10 20 + 15 12.5 200 + 187.5 387.5 C= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= Z(MAX)= 10 10 200 200 X1 20 + + + 0 15 15 X2 0 Se debe llenar 20 botellas de cerveza pílsener y 13 botellas de ceveza club 11.- Un vivero desea añadir árboles frutales y arbustos orientales a sus cultivos existentes. Los árboles proporcionan 14 dólares por unidad. Cada árbol requiere de 2 metros cuadrados para exhibición, mientras que cada arbusto necesita de tres metros cuadrados, además, el tiempo necesario para preparar un árbol para exhibición es de dos minutos, mientras que el que se requiere para cada arbusto es de un minuto. Las restricciones de espacio y tiempo son las siguientes: Hay a lo más 12 metros cuadrados para exhibición disponible. Se dispone a lo mucho de 8 minutos de tiempo de preparación. Si el vivero puede vender todos los árboles y arbustos en exhibición. ¿Cuántos árboles y cuantos arbustos deberá exhibir diariamente para maximizar su ganancia?. (Suponga que es posible preparar una exhibición solamente una vez al día) 1.- variables de decisión A.frutales Arbustos 2.- función objetivo Z(MAX)= 3.-Restrcicciones 2X1 + 3X2 ≤ 12 2X1 + X2 ≤ 8 X1 ᴧ X2 ≥ 0 4.-Gráfico de ecuaciones C1= C1 C2 X1 X2 14X1 + 14X2 2X1 + 3X2 = 12 X 0 6 Y 4 0 C2= 2X1 + X2 = 8 X 0 4 Y 8 0 A= B= C= 0;4 3;2 4;0 B 2 2 -2 2 X1 X1 X1 X1 0 + + + + + 3 1 -3 1 -2 X2 X2 X2 X2 X2 X2 = = = = = = 12 8 -12 8 -4 -4 -2 2 -1 ?. (Suponga que X2 = Reemplazamos 2 X1 2 X1 2 X1 + + + 3 X2 = 3 2 = 6 = 2 X1 = 2 X1 = X1 = X1 = 12 12 12 12 6 6 2 3 - 6 A= Z(MAX)= 14 X1 + Z(MAX)= 14 0 + Z(MAX)= Z(MAX)= 0 + 56 56 14 X2 14 4 B= Z(MAX)= 14 X1 + Z(MAX)= 14 3 + Z(MAX)= Z(MAX)= 42 + 28 70 14 X2 14 2 C= Z(MAX)= 14 X1 + Z(MAX)= 14 4 + Z(MAX)= Z(MAX)= 56 + 0 56 14 X2 14 0 El vivero debe exhibir 3 árboles frutales y 2 arbustos