Ejercicios OlímpicosTeoría de Números 1 1.- Obtener la suma de todas las fracciones que se obtienen formando todos los cocientes de cada par de números de la siguiente lista: 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512. 2.- Probar que el número 2 cifras cifras 111...1 222...2 r r ÷ es el cuadrado de un entero para toda r. 3.- ¿Cuántos ceros hay al final de 2011!? 4.-¿Cuál es el dígito de las unidades de millar de 2011 1 ! n n = ¿ ? 5.- Se efectúa el producto de todos los números impares que no son múltiplos de 5 y que están comprendidos entre el 1 y el 2011. ¿Cuál es el dígito de las unidades? 6.- Una sucesión está definida por 1 1 a = , 1 1 1 n n a a ÷ = + . Calcular 20 1 i i a = [ 7.- Si 333 3 3 3 3 x x x + + = , ¿cuánto vale x? 8.- En cierto planeta hay tantos días en una semana como semanas en un mes como meses en un año. Si un año tiene 1331 días, ¿cuántos días tiene una semana? 9.-¿Cuántas cifras tiene el número 1996 2011 (2 )(5 ) ? 10.- Si m, n son enteros positivos que satisfacen 1 2 39 n n n m m m + + + + = , entonces , ¿cuánto vale m n ? 11.- Si 1 2 2 16 4 y x x + + = + , y , y es un número primo menor que 100, ¿cuáles es la suma de los posibles valores de x? 12.- Si 2 a =5 b =10. ¿Cuánto vale 1 1 a b + ? 13.- Sean x,y,z tres números reales positivos diferentes entre sí. Si y x y x x z z y + = = ÷ , cuánto vale y x ? 14.- ¿Cuántos divisores tiene 30!? 15.- Encontrar el valor de r, donde 6 r es igual al producto de todos los divisores de 100 100 2 3 · 16.- Mostrar que de la siguientes lista de números, ninguno es primo: 1573,157573,15757573,… (Estos números se forman poniendo un 1, después varios números 57 y al final un 3) 17.- Demuestre que para cualquier número natural n, la fracción 2 2 1 2 n n n n + ÷ + es irreducible. 18.- Sea n la suma de todas las cifras de 5555 5555 , Sea m la suma de todas las cifras de n y sea r la suma de todas las cifras de m. Encontrar r. 19.- Sean n,m y r números naturales tales que 2 2 2 n m r + = . Probar que (n)(m)(r) es múltiplo de 30. 20.- Encontrar todos los enteros positivos n, tales que n+1 divide a 2 1 n + 21.- Encontrar todos los números primos que son tanto suma de 2 primos como diferencia de 2 primos. 22.- En el número 12345678910111213…,¿ qué cifra ocupa la posición 2011? 23.- Demuestre que si 2 fracciones son irreducibles y su suma es un entero , entonces ambas fracciones tienen el mismo denominador. 24.- Calcular el producto de todos los enteros positivos menores que 200 y que tienen exactamente 3 divisores. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto. 25.- Probar que para cualquier entero positivo n, el número 3 8 4 4 2 ( )(5 3 ) n n n n + + ÷ + es un múltiplo de 3804. 26.- Si a y b son enteros positivos , pruebe que 19 divide a 11a + 2b si y solo si 19 divide a 18a+5b. 27.- Si a y b son números distintos que cumplen que 2 2 a b + = 4ab , entonces el valor de 2 a b a b + | | | ÷ \ . es: 28.- Si dividimos el número N=10a+b entre a+b, en el cociente obtenemos 7 y de residuo 6. Si ese mismo número N se divide entre ab en el cociente obtenemos 3 y de residuo a+b. ¿Cuál es el número N? 29.- ¿Qué número mayor de 30 y menor de 200 divide a 2 2 1 11 12 n n + + + , con ne ? 30.- Encontrar 3 números impares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea de 4 cifras iguales. 31.- Si , r s son las raíces de la ecuación 2 0 ax bx c + + = , el valor de 2 2 1 1 r s + es: 32.- Calcular 2 2 2 2 2 2 2 2011 2010 2009 2008 ... 3 2 1 2011 2010 2009 2008 ... 3 2 1 ÷ + ÷ + + ÷ + ÷ + ÷ + + ÷ + . 33.- ¿En qué base 14 divide a 41? 34.- Calcular 1 2 1 4 1 8 1 16 ... 2 4 8 16 2 2 2 2 + + + + + + + + 35.- Definimos 0 ( ) 2 P x x = ÷ , 1 ( ) ( 2) ( ) n n P x x P x ÷ = + · . En 20 ( ) P x ,¿cuál es el coeficiente de 20 x ? 36.- Definimos 4 3 2 0 ( ) 1 P x x x x x = ÷ + ÷ + , 1 ( ) ( 1) n n P x x P ÷ = + . ¿Cuál es el coeficiente de x en 6 ( ) P x ? 37.- ¿Cuántos enteros positivos x menores o iguales a 100 son tales que la diferencia 2 2 x x ÷ es divisible entre 7? 38.- El número de gatos de Abolengo Se escribe con seis dígitos, eso mantengo El número es un cubo perfecto y también cuadrado. Si seis gatos del reino deciden abandonarlo Quedaría un número primo, eso sostengo. ¿Cuántos gatos hay en el reino de Abolengo? 39.- La raíz sexta de un número entero de 2 dígitos ab es a b ÷ . ¿Cuánto es a+b? 40.- ¿Cuántos números entre 1 y 10000son divisibles entre 5, pero no entre 7? 41.- En la secuencia de Fibonacci : 1,1,2,3,5,8,… cada término se obtiene como la suma de los 2 anteriores. ¿Cuántos enteros hay en la secuencia 1998 n n f f + , donde n f es el n-ésimo término de Fibonacci? 42.- ¿Cuáles son las últimas 3 cifras de 1998 5 ? 43.- ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a 3500 tienen todas sus cifras impares ó la suma de sus cifras es impar? 44.- x,y son enteros positivos tales que 1<x<6, 3 x = . Si 2 2 ( 1998) ( 1998) 0 x y y x ÷ + ÷ = , ¿cuánto vale x+y? 45.- Encontrar un número de 6 dígitos cuyo producto por 2,3,4,5 y 6 contenga los mismos dígitos que el número inicial. 46.- Encontrar todos los enteros positivos para los cuales 2 1 n ÷ es divisible entre 7 47.- Si el número 1998 2 tiene n cifras y el número 1998 5 tiene m cifras, ¿cuánto es n+m? 48.- Encontrar el número natural n más pequeño que cumpla las siguientes condiciones: a) El dígito de las unidades es 6 b) Si el 6 se borra y se traslada al principio del número , el resultado es 4n. 49.- Demostrar que la fracción 21 4 14 3 n n + + es irreducible para todo entero n. 50.-¿Cuál es la suma de todos los números de 4 dígitos distintos que pueden formarse con los números 1,2,3,4 y 5? 51.- ¿Cuál es el valor de 7+77+777+…+77..7 ,donde el último sumando tiene 2011 dígitos? 52.- La siguiente sucesión está formada como se indica : se escriben los dígitos de 1997 y después los de 7991 luego los de 1997 2 veces y luego los de 7991 dos veces , y así sucesivamente 19977991199719977991799119971997119977991… ¿Qué dígitos están en los lugares 19971997 y 79911997? 53.- Si 2 8 2 0 x x + ÷ = , ¿cuánto vale 4 3 8 16 10 x x x + + + ? 54.- Encontrar un número en el que la suma de sus divisores más el número de sus divisores es 2448. 55.- ¿Cuántos enteros positivos n hay, tales que 2 2 4 183 3 n n n + + + es un entero. 56.- Si a y b son las raíces del polinomio 2 7 15 0 x x + + = , ¿cuánto vale 2 2 12 a b ab + + ? 57.- Todos los números del 19 al 80 son escritos uno después de otro para formar el número 19202122…7980. ¿Es este número divisible entre 1980? 58.-Los números 49, 4489, 444889, …, se forman agregando un 48 en medio del número anterior . Demostrar que todos estos números son cuadrados perfectos. 59.- Demostrar que en el triángulo de Pascal hay una infinidad de renglones con sólo números impares. 60.- ¿Cuántos números de 8 cifras hay cuyos dígitos sean 1,2,3 y 4 tales que cifras consecutivas sean dígitos no consecutivos distintos? 61.- ¿Cuántos números de 7 cifras se pueden formar con los números 1,2,3 y 4 tales que los dígitos 1 y 2 no sean cifras consecutivas? 62.- Probar que si un número de 3 cifras (abc) es divisible entre 27, entonces 27 divide al número cab. 63.- Probar que si x,y son enteros y además 3 divide a 2 2 x y + , entonces 3 divide a x , y 3 divide a y . 64.- Encontrar todos los números de 4 cifras con las siguientes propiedades: a) La primera y tercera cifra son iguales b) La segunda y cuarta cifra son iguales c) El número más uno es un cuadrado perfecto 65.- probar que si a,b,c,a’,b’,c’ son enteros positivos y ' ' ' a b c a b c = = entonces también se tiene que ' ' ' ( )( ' ' ') aa bb cc a b c a b c + + = + + + + . 66.- Si 10 x x y + + = y . Calcular x+y. 67.- Si a,b son enteros tales que 2 1 x x ÷ ÷ es un factor de 3 2 1 ax bx + + . Calcular a-b. 68.- Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: 2 2 3 3 3 1 1 1 x y z x y x y z + ÷ = ÷ ÷ = ÷ + + = ÷ 69.- Sea f una función definida como sigue: (1) 1 f = , (2 1) (2 ) 1 f n f n + = + , (2 ) 3 ( ) f n f n = , para todo natural 2 n > . Determinar la imagen de f . 70.- Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación 2 2 2 3 3 1 0 x x y y ÷ ÷ ÷ + = . 71.- Determinar todos los pares de enteros positivos (a,b) con a+bs100 que satisfacen 1 1 13 a b a b ÷ ÷ + = + . 72.- Encontrar el menor entero positivo con exactamente 750 divisores. 73.- Sean a,b,c,d,e números reales tales que : i) a > b ii) e – a = d – b iii) c – d < b – a iv) a + b = c + d Ordenar los números a,b,c,d,e de mayor a menor 74.- Los niños A,B y C tomaron 13 dulces de una mesa. Al final A dijo que tomó 2 dulces más que B; B dijo que tomó la mitad de dulces que A y 5 menos que C; finalmente C dijo que tomó un número par de dulces. Si sabemos que a lo más uno de ellos mintió, ¿quién fue el mentiroso? 75.- Una manguera llena un estanque de agua en 12 horas. Otra manguera lo llena en 10 horas y un tubo de desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llena el estanque si las 2 mangueras y el desagüe están abiertos? 76.- Un niño tiene fichas redondas que pondrá dentro de los cuadros blancos de una cuadrícula coloreada como tablero de ajedrez. Seguirá los siguientes pasos: En el primer paso colocará una ficha en un cuadro blanco. En el segundo paso pondrá fichas en todas las casillas blancas que rodean la ficha colocada en el primer paso. En cada uno de los siguientes pasos colocará fichas en todos los cuadros blancos que rodean las fichas puestas en el paso anterior. Si el niño dispone de 5000 fichas (y la cuadrícula es tan grande como sea necesario), ¿para cuántos pasos completos le alcanzarán sus fichas? 77.- Ana compró 3 plumas, 7 lápices y una regla, y pagó $31.50 pesos. Sofía compró 4 plumas, 10 lápices y una regla y pagó $42 pesos. Pedro compró una pluma, un lápiz y una regla. ¿Cuánto pagó Pedro? 78.- Si 3 8 2 0 x x + ÷ = , ¿cuánto vale 5 3 2 10 2 16 10 x x x x + ÷ + + ? 79.- Ayer en la clase el 12.5% de los alumnos faltó. Hoy hay un alumno ausente más, y el número de presentes es 5 veces el de ausentes. ¿cuál es el número total de alumnos en la clase? 80.- Los números enteros a,b,c,d están en progresión aritmética ( en ese orden). Demostrar que 1 1 1 3 a b b c c d a d + + = + + + + 81.- La suma de los 1993 elementos de un cierto conjunto de números es 19931993. Hallar el promedio de los elementos de ese conjunto. 82.- ¿Cuántos enteros positivos n son tales que el residuo de la división de 399 entre n es 14? 83.- Ordenar de menor a mayor 1234 321 , 2 10 , 3 100000 , 5 t 84.- Para obtener 8 8 , ¿a qué potencia tenemos que elevar 4 4 ? 85.- Una calculadora descompuesta no muestra el dígito 1. Por ejemplo , si escribimos el número 3131, en la pantalla se ve escrito el 33 (sin espacios). Pepe escribió un número de 6 dígitos en la calculadora pero apareció el 2007. ¿Cuántos números pudo haber escrito Pepe? 86.- Mónica Salió a correr durante 2 horas. Su recorrido comenzó en un terreno plano donde su velocidad fue de 4 km/h y siguió con un terreno inclinado donde su velocidad fue de 3 km/h. regresando por el mismo lugar, la velocidad en la parte inclinada fue de 6 km/h mientras que la velocidad en la parte plana fue de 4 km/h. ¿Cuál es la distancia total (ida y vuelta) que recorrió Mónica? 87.- El primer dígito de un número de 4 cifras es la cantidad de ceros que aparecen en él, el segundo dígito es la cantidad de 1’s, el tercer dígito es la cantidad de 2’s y el último dígito es la cantidad de 3’s. ¿Cuántos números de cuatro dígitos cumplen con estas condiciones? 88.- Cinco enteros se escriben en círculo de forma que no haya dos ó tres números consecutivos cuya suma sea múltiplo de 3. ¿Cuántos de esos números son divisibles entre 3? 89.- ¿Cuántos números n satisfacen al mismo tiempo las 5 condiciones siguientes? a) n es par b) n deja residuo 1 al dividirlo entre 5 c) n es múltiplo de 7 d) n es menor que 1000 e) La suma de los dígitos de n es 23 90.- Mi clave secreta es un número de 3 dígitos. Si lo divido entre 9 tengo como resultado un número cuya suma de dígitos disminuye en 9 con respecto a la suma de los dígitos de mi clave. ¿Cuántos números pueden ser mi clave secreta? 91.- ¿Cuántos números de cuatro cifras N=abcd cumplen las siguientes tres condiciones? a) 4000sNs6000 b) N es múltiplo de 5 c) 3sbsc s6 92.- Los números reales a = 0, y b= 0 cumplen que ab=a – b . ¿Cuántos valores son posibles para a b ab b a + ÷ ? 93.- Sean x,y,z enteros no negativos tales que x + y + z = 12. ¿Cuál es el valor más grande de la suma xyz + xy + yz + zx? 94.- Sea E(n) la suma de los dígitos pares de n. Por ejemplo E(5681)=6+8=14. Calcular 2011 1 ( ) i E n = ¿ 95.- La suma de las longitudes de las 12 aristas de una caja rectangular es 140 y la distancia de una esquina de la caja a la esquina más lejana es 21. ¿Cuál es el área total de la caja? 96.- El máximo número de valores enteros que pueden ser obtenidos de la expresión 100 2 1 n ÷ donde n es un entero positivo es: 97.- Para elegir el número ganador (entre 1 y 2007) de una rifa, se elegirá al azar un número entre 1 y 2007, se le restará la suma de sus dígitos y finalmente se le sumará 5. Escribir todos los números que no saldrán premiados. 98.- Se empieza con el número 1. Una “operación” consiste en multiplicar el número 1 por 3 y sumarle 5, luego multiplicar el resultado por 3 y sumarle 5, y así sucesivamente. ¿Cuál es el dígito de las unidades después de aplicar la operación 2011 veces? 99.- ¿Cuántas ternas x, y, z de números reales positivos satisfacen el sistema ( ) 26 x x y z + + = ( ) 27 y x y z + + = ( ) 28? z x y z + + = 100.- ¿Cuál es la suma de todos los números enteros entre 1 y 2011 que se escriben exactamente con dos unos?