X2 . X2 → Mezcla Regular . y un 30% de almendras. mientras que la más cara contiene un 50% de cacahuates 25% de nueces y almendras. X3≥ 0 VARIABLES DE HOLGURA 720 X 1 +540 X 2 +900 X 3 + S1=1800 360 X 1 +480 X 2 +300 X 3 +S 2=1200 .EJERCICIO Nº 3 Una compañía vende tres mezclas diferentes de nueces. la mezcla regular contiene 30% de cacahuates un 40% de nueces y un 30% de almendras. X1 → Mezcla Barata . $65 por cada kilo de la mezcla regular y de $24 por cada kilo de la mezcla más cara? . X3 → Mezcla Cara FUNCIÓN OBJETIVA Z ( máx )= 72 X +65 X +24 X 1 2 3 RESTRICCIONES 720 X 1 +540 X 2 +900 X 3 ≤1800 360 X 1 +480 X 2 +300 X 3 ≤ 1200 450 X 1 + 450 X 2 +375 X 3 ≤ 1500 X1 . La mezcla más barata contiene un 40% de cacahuates un 30% de nueces. ¿Cuántos kilos de cada mezcla debería producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $72 por cada kilo de la mezcla barata. 1200 kilos de nueces y 1500 kilos de almendras de sus fuentes de suministros. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuate. 2 1 0 0 300 5 .450 X 1 + 450 X 2 +375 X 3 +S 3=1500 −72 X 1−65 X 2−24 X 3+ Z=0 TABLAS X1 X2 X3 S1 720 540 900 1 0 0 0 1800 . 225 2 -11 -150 375 2 66 S2 S3 Z B 0 0 0 5 2 1 .8 0 1 0 375 1 10 0 0 1 180 Variable Entrante: X2 Variable Saliente: S2 X1 . X1 1 X2 0 X3 S1 25 14 1 315 S2 1 . S2 0 210 S3 0 . S1 S2 S3 Z B Variable Entrante: X1 Variable Saliente: S1 X1 X2 X3 S1 5 4 1 720 X1 1 3 4 . Z 0 .280 0 S3 Z 0 B 10 7 . S2 360 480 300 0 1 0 0 1200 S3 450 450 375 0 0 1 0 1500 . . Z -72 -65 -24 0 0 0 1 0 . . 2857 2 → 195. Z 0 0 407 7 .28 1 0 1 10 7 0 1500 7 1370 7 RESULTADOS . S2 = 0 .420 1 210 5 . X2 0 1 S3 0 0 1875 7 .7 . X3 = 0 .4285 . 1 .4285 .7142 3 Z ( máx )= 72(10 /7)+65(10/7 )+24 (0) Z ( máx )= 1370/ 7 RESPUESTA: La Compañía debe producir 1.4285kilos de la mezcla más barata y 1. S3 = 1500 7 .4285kilos de la mezcla regular pero no debe producir de la mezcla más cara pues de esa manera obtendrá la máxima ganancia de $ 195.71 EJERCICIO Nº4 . X1 = 10 7 → 1.14 31 420 11 210 0 0 15 .5 . Z (máx) = 1370 7 Z ( máx )= 72 X +65 X +24 X 1 → 214. X2 = 10 7 → 1. S1 = 0 . produce en 2 min una caja de galletas de chocolate. las de vainilla $5 y las arequipe es de $4. produce en 2 min una caja de galletas de chocolate. la maquina II. 1min una caja de galletas de vainilla. utiliza tres máquinas para su fabricación. X2 . 2 min una caja de galletas de arequipe. la maquina III. en 1 min una caja de galletas de vainilla y en 3 min una caja de galletas de arequipe. X3≥ 0 VARIABLES DE HOLGURA . 240 min para la maquina III diariamente. 3 min una caja de galletas de vainilla.Una Compañía produce 3 tipos de galletas. produce en 1min una caja de galletas de chocolate. La ganancia que produce una caja de galletas de chocolate es de $6. de chocolate. ¿Cuál es la máxima ganancia? . la maquina I. La compañía tiene una disponibilidad de 180 min para la maquina I. 2 min una caja de galletas de arequipe. X1 → Caja de Galletas de Chocolate . X2 → Caja de Galletas de Vainilla . vainilla y arequipe. X3 → Caja de Galletas de Arequipe FUNCIÓN OBJETIVA Z ( máx )= 6 X +5 X +4 X 1 2 3 RESTRICCIONES 2 X 1+ 1 X 2+3 X 3 ≤ 180 1 X 1+ 3 X 2+ 2 X 3 ≤ 300 2 X 1+ 1 X 2+2 X 3 ≤ 240 X1 . 300 min para la maquina II. 2 1 0 0 210 S3 0 0 -1 -1 0 1 0 60 . . S2 0 5 2 1 2 1 .2 X 1+ 1 X 2+3 X 3+ S 1=180 1 X 1+ 3 X 2+ 2 X 3 + S2=300 2 X 1+ 1 X 2+2 X 3 + S 3=240 −6 X 1−5 X 2−4 X 3+ Z=0 TABLAS X1 X2 X3 S1 S2 S3 Z B S1 2 1 3 1 0 0 0 180 . . . Z Variable Entrante: X1 Variable Saliente: S1 X1 X2 X3 S1 S2 S3 Z B X1 1 1 2 3 2 1 2 0 0 0 90 . Variable Entrante: X2 Variable Saliente: S2 . Z 0 -2 5 3 0 0 1 540 . S2 1 3 2 0 1 0 0 300 S3 2 1 2 0 0 1 0 240 -6 -5 -4 0 0 0 1 0 . 00 RESPUESTA: La Compañía debe producir 48 cajas de galletas de chocolate y 84 cajas de galletas de vainilla además no deben producir cajas de galletas de arequipe para obtener una máxima ganancia de $708.00. S 3 = 60 . X 1 =48 .5 2 5 0 0 84 S3 0 0 1 0 60 . X2 0 1 1 5 1 . Adicional A esto tendrá un sobrante de 60min en la Maquina III Ejercicio 5 .5 0 0 48 . Z (máx) = 708 Z ( máx )= 6 X +5 X +4 X 1 2 3 Z ( máx )= 6 (48)+5 (84)+ 4(0) Z ( máx )= $ 708.X1 X2 X3 S1 S2 S3 Z B X1 1 0 7 5 3 5 1 . S2 = 0 . X 2 =84 . . S1 = 0 . X3 = 0 . Z 0 0 0 1 708 . -1 27 5 -1 13 5 0 4 5 RESULTADOS . 03x 0. Las especificaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de 6%.03 ≤0. respectivamente. y (3) el contenido de carbón debe ser de entre 3 y 7%.06y +0. Los costos por tonelada de las chatarras A y B son de $100 y $80.03y +0. A y B. La chatarra A contiene 6% de aluminio.04x 0. La chatarra B contiene 3% de aluminio. y 3% de carbón.03y x +y ≥0.07 =1 ton) x y Puntos: ≥0 ≥0 .x Chatarra de Aluminio B – y Función Objetiva z ( min )=100 x+80 y Restricciones x 1 Aluminio 2 Aluminio 3 Silicio 4 Silicio 5 Carbón 6 Carbón 7 Total a producir(1000 0. y 4% de carbón.04x y +0. para producir una aleación especial.03y +0.06x 0.Un centro de reciclaje industrial utiliza dos chatarras de aluminio.06x 0. 6% de silicio.03x 0.06y +0.06 ≥0. Variable Chatarra de Aluminio A . 3% de silicio. (2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%.03 ≤0.03 ≤0. Determine la mezcla óptima de las chatarras que deben usarse para producir 1000 toneladas de la aleación.05 ≥0.03y +0. 5 0 x 0 1 2 1 0 6 x 0 y 3/7 4/7 0 x 0 1 1 0 x 0 2 x 0 y 5/6 75/3 0 1 y 3 0.67) Z (min)=100*0.33. 0.3333+80*0.x 0 y 1 0.3333 de A y 0.5 0 4 5 x 0 y 1 3/4 0 Gráfico Vértices.6667 de B para minimizar su costo a $86.66667 .6667 = 86.66667 Respuesta: La mezcla óptima de chatarras que debe utilizar la empresa es de 0. A= (0. 10y +0.1. respectivamente. OilCo pronostica que la demanda y las cuotas de petróleo crudo no cambiarán durante los próximos 10 años.1. La demanda mínima (en barriles por día) de cada uno de esos productos es de 14. Las especificaciones de los dos crudos conducen a mezclas de productos diferentes: Un barril de crudo de Iraq rinde 0. gasolina.15y +0.10x 0.000 y 8000. 30.15x y -0. 0.20x 0. Debido a las cuotas de producción especificadas por la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo).25 barriles de gasolina. la nueva refinería puede recibir por lo menos 40% de su crudo de Iraq y el resto de Dubai. 0. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.15 y 0.60y +0. 0. lubricantes y combustible para avión. 0.25x 0.40x 0.6.Ejercicio 6 OilCo está construyendo una refinería para producir cuatro productos: diesel. respectivamente. Variables Iraq – x Dubai – y Función Objetiva z ( min )=x+ y Restricciones A Diesel Gasolina Lubricantes Combustibles x 0. 10.000.2 barriles de diesel.15 barriles de combustible para avión. Iraq y Dubai firmaron un contrato para enviar crudo a OilCo.1 barril de lubricante y 0.10y ≥0 ≥14000 ≥30000 ≥10000 ≥8000 .000. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería (barriles por día).60y +0. X ≥0 ≥0 Y Puntos: x 1 y 2/3 3/2 1 1 2 3 x 0 y 140000 x 0 y 50000 7000 0 0 120000 0 4 5 x y 0 200000/3 10000 0 0 Gráfico: x 0 1600 00/3 y 800 000 0 . 30000) C=() D=() Z(min) = x + y Z(min)= Z(min)= Z(min)= Z(min)= .Vértices: A= () B=(55000. cada onza del alimento B proporciona 10 unidades de P 5 unidades de Q y 7 unidades de R. Cada onza del alimento A proporciona 4 unidades de vitamina P. que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Encontrar la manera menos costosa para satisfacer las necesidades vitamínicas.Ejercicio 7 Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos. Alimento A x Alimento B y Z (MIN)= 5x + 8y x 0 xy 07 yy 4 7 0 10 0 x Restricciones: 0 10 Vitamina P 5 0 4x + 10y ≥40 Vitamina Q 10x + 5y ≥50 Vitamina R 7x + 7y ≥ 49 x≥0 y≥0 1) 4x+10y=40 2)10x+5y=50 3)7x+7y=49 . El alimento A cuesta 5 pesos/kilogramo y el alimento B cuesta 8 pesos/kilogramo. 10 unidades de vitamina Q y 7 unidades de vitamina R. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina P. 50 unidades de vitamina Q y 49 unidades de vitamina R. Vértices A= (0.0) Resolviendo el sistema de ecuaciones: Vértice B 2 ¿10 x +5 y=50 (7) 3 ¿ 7 x +7 y =49 (-5) 70x+35y=350 x=3 -35x-35y=245 35x = 105 y=4 28x+70y = 280 x=5 Vértice C 1¿ 4 x+ 10 y=40 (7) 3 ¿ 7 x +7 y =49 (-4) -28x-28y = -196 y=2 42y = 84 Punto Coordenadas Z(MIN) = 5x + 8y (0.0) 80 A B C RESPUESTA: La solución menos costosa es 5 kilogramos de alimento A y 2 kilogramos de alimento B.2) D= (10.10) B= (3. D 8(2) = 25 + 16 = 41 pesos Z(MIN) = 5x + 8y = 5(5) + .10) 50 (3.4) C= (5. 2) 41 (10. 4) 47 (5. a un costo de 41 pesos. 12 unidades de alimento B y 12 unidades de alimento C. una presa de la especie II suministra 1.B. Estos requerimientos se satisfacen cazando dos tipos de especies. Capturar y digerir una pieza de la especie I requiere 3 unidades de energía en promedio. ¿Cuántas presas de cada especie deberá capturar el depredador para satisfacer sus necesidades alimenticias. haciendo un gasto mínimo de energía? Especie I x Especie II y Z(MIN)= 3x + 2y x 0 y 3 12 0 Restricciones: Alimento A 5x + y ≥ 10 Alimento B 2x + 2y ≥ 12 Alimento C x + 4y ≥ 12 x≥0 y≥0 1) 5x+y=10 2)2x+2y=12 x 0 yy 10 2 0 x 0 6 6 0 3)x+4y=12 .2 y 1 unidades de los alimentos A.B. Una presa de la especie I suministra 5. mientras que el gasto de energía correspondiente para la especie II es de 2 unidades. un animal rapaz necesita 10 unidades de alimento A.C respectivamente.2 y 4 unidades de los alimentos A.C respectivamente.Ejercicio 8 En su consumo diario promedio de alimento. 2) 16 (12.0) Resolviendo el sistema de ecuaciones: Vértice B 1¿ 5 x + y=10 (-2) 2 ¿2 x +2 y =12 -10x-2y = -20 x=1 2x+2y = 12 8x = 8 x=1 y=5 Vértice C 2 ¿2 x +2 y =12 3 ¿ x+ 4 y=12 2x+2y = 12 (-2) -2x-8y = -24 x=4 y=2 -6y = -12 y=2 Punto Coordenadas Z(MIN) = 3x + 2y (0.10) 20 (1.2) D= (12.10) B= (1.5) C= (4.Vértices A= (0. D 2(5) = 3 + 10 = 13 Z(MIN) = 3x + 2y = 3(1) + . 5) 13 (4.0) 36 A B C RESPUESTA: Deberá comer 1 presa de la especie I y 5 presas de la especie II haciendp un gasto mínimo de energía de 13 unidades.