158EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN II.2 1. En un colegio hay 30 estudiantes en sexto, 45 en séptimo, 25 en octavo, 20 en noveno, 32 en décimo y 28 en undécimo. Calcula: a) La razón entre el número de estudiantes de sexto grado y el total de estudiantes. 6 ¿ razonde sexto=¿ 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11o r= 30 30+ 45+25+20+32+28 30 3 1 = = 18 18 6 b) La razón entre el número de estudiantes de grado impar y el total de estudiantes. 93 31 r= = 180 60 r= c) La razón entre el número de estudiantes de grado par y el total de estudiantes. 29 r= 60 d) La razón entre el número de estudiantes de grado octavo y el de estudiantes de noveno de estudiantes. 8 25 5 r= = = 9 20 4 2. Calcular la razón entre la medida del lado de un triángulo equilátero y su perímetro. ⎛ 1 ⎞ 3. Para dibujar el croquis de una ciudad se utilizó una escala 1: 500 ⎜ ⎟ ¿qué significa esta ⎝ 500 ⎠ expresión? Razón = 1:500 (1/500) resulta 1:1 4. Dibuja cuadrados de 1, 2, 3, 4, 5 cm de lado. Encuentra la razón entre la diagonal y el lado. ¿Qué puedes concluir de esta razón? a2 +b 2=c 2 c=√ a 2+b 2 c=√ 22 +22 c=√ 12 +12 c=√ 32 +32 c=√ 9+ 9 c=√ 18 c=√ 9 c=3 √ 2 c=√ 4 2 +4 2 c=√ 16+16 c =√ 32 c= √2 √ 16 c=4 √ 2 c=√ 52 +52 c=√ 25+25 c= √ 50 c= √2 √ 25 c=5 √ 2 c=√ 1+1: c=√ 2 c=√ 4 +4 c=√ 8 c= √2 x 8 c= √2 x √ 2 Cuerdas 34 10 12 9 2 10 9 12 2 12 2 1 2 .− .159 5. Dar la razón. Violoncelos a violines Contrabajos a arpas 3. 2.2.− 4. No reducir a su mínima expresión.8. Dibuja triángulos equiláteros de 1.− 34 2 34 34 10 2 5 6 violines violoncelos violas contrabajos arpas Viento 2 1 2 1 5 6 2 oboes corno inglés flautas flautin fagots clarinets saxofones . 2. 5 cm de lado. 7. Flautas a arpas Flautines a fagotes 8.− . Saxofones a clarinetes.− .− . 7. ¿Qué puedes concluir de esta razón? 6. 5. 4. a) ¿Cuál es la razón entre las horas que duerme y las que permanece despierto? 8 1 r= 16 2 b) ¿Cuál es la razón entre el total de horas diarias y el de las horas que duerme? 24 r =3 8 7. 1.− .− 2 1. traza la altura y encuentra la razón entre la altura y la longitud de medio lado. 3. 3. Cornos ingleses a flautines 4. Arpas a violines 5. Si una persona duerme diariamente 8 hrs. Violas a Violoncelos 6. 6. . Escribe tres razones equivalentes a cada una de las razones dadas: 3 1 60 2 a) . c) . 9. ¿cuáles son los medios y cuáles los extremos? y v 12. Escribe las razones en forma de fracción. ¿cuál es el antecedente?. Escribe R si la solución de la proporción es razonable. Escribe la razón para comparar las horas de estudio de historia con las de matemáticas. n = 68 2 8 20 x 9 36 a) 6/2 = a/8 48=2a 6/2 = 24/8 = 48/48 48/2 = a = 24 b) 15/20 = 456/x = 15x=900 9120/15=68 15/20=456/68=9120/9120 a=24 x=68 c) R 14. Usa el cálculo mental para averiguar si las razones son equivalentes. Sofía pasó una hora estudiando para una prueba de historia y 25 minutos para una de matemáticas. ¿Cuánto mide el monumento y cuál es la razón que existe entre la medida de la persona y el monumento? 10. 4 8 5 10 2. b) . Después redúcelas a su mínima expresión: a) 5 a 15 b) 8 a 12 c) 9 a 3 d) 12 a 15 e) 24 a 8 11. Escribe en tu cuaderno sí o no. . Utiliza los productos cruzados para verificar si las siguientes expresiones son proporciones. 5 10 9 18 1 7 5 4 a) = b) = c) = d) = 6 12 10 4 7 1 4 5 25 5 8 32 4 10 10 1 e) = f) = g) = h) = 24 4 9 36 10 25 1000 10 13.3 1 a) . 6 15 456 17 n a) = a . c) b) . a = 4 = = . b) c) 23 10 3 7 25 100 No 15. si no es razonable escribe el valor correcto. Un monumento tiene 70 veces el tamaño de una persona que mide 1.75m. no . Contesta las siguientes preguntas: x a) En la razón . ¿Cuál es el consecuente? y b) ¿Qué nombre recibe la igualdad de dos razones? x u c) En la proporción = . x = 60.8.. no . 1 d) 5 6 0 7 .5 . e) 85 . halla los valores aproximados de las razones siguientes: A a) B AB .000. 5 15 2 14 15 7 6 22 16 4 20. Resuelve los siguientes problemas: A. 1 peso lo destina a alimentación. ¿cuánto gasta en alimentación? B. 4 12 5 35 4 3 8 28 9 3 1) 2) . En un país de cada 100 personas. Por cada 4 pesos que gana una persona. 20 son analfabetas. 4) . Si el salario mensual de esta persona es de 320. Escribe el símbolo = ó ≠ en cada . AF 17. 25 ingresan a la universidad. 24 4 5 y 1 m t 5 = a) b) = = c) = d) x 3 3 42 2 18 14 2 a) b) 24 (3) = 4x 24/18=4/3 72/4=x 24(3)=(18)(4)=72/72 5/3=y/42 5(42)=3y x=18 210/3=y y=70 5/3=70/42=210/210 c) ½=m/18 (18)=2m 18/2=m m=9 ½=9/18 18/18 d) f/14 =5/2 f(2)=14(5) f=70/2 f=35 35/14=5/2=70/70 e) 12/27 = 8/m 12m=8(27) 12/27=8/18=216/216 m=216/12=18 m=18 e) 12 = 27 8 m . Halle el valor de la literal y comprueba la proporción. 5) . DE c) AF EF d) CE . Usa la propiedad de las proporciones. BC b) C E F D AD . Escriba una razón equivalente a: 3 a) cuyo antecedente sea 15 7 b) 1 cuyo consecuente sea 18 6 19. Si la población de Bolivia es de 7 065 000. 3) . Con la ayuda de esta gráfica. Por cada 100 habitantes bolivianos .16. ¿Cuál es la población universitaria si la población de ese país es de 12 000 000 de habitantes? 18. ¿cuántos analfabetas hay en Bolivia? C. Resuelve cada proporción y verifica la solución. 2 4 1 x +2 32 a) = a + 1 b) n + 1 = 2 c) = d) = 3 3 x −1 5 9 6 12 25 e) x − 3 12 = 6 9 f) 5 y +1 = 4 8 .21. a) d) 24 8 = x . X 2 a) = = . ¿Cuánto mide cada lote? 25. a) Si compro más cosas en la tienda será el costo b) Si camino a mayor velocidad será el tiempo de llegada. 2100. c) 3 18 Y 5 X 20 5 100 Y 12 60 Y e) 3 10 X = 100 9 = . b) = = = = = = . f) Y 1 3 = 20 = X Y . La razón de dos números es de y su diferencia 55. e) 1 216 3 = x 1 23. 2 X d) 1 6 4 28 Y 1 X 2.22. Encuentra los números sabiendo que su suma es 49. c) 1 12 3 = x 20 . Halla el número que falta para que cada par de razones sean iguales. 4 30. Halla dos números cuya razón sea 3 y su suma. Un terreno de 420 m . b) 1 10 = 5 x . 4 3 y la suma de sus cuadrados es 625. 1 = 4 x . Halla dos números conociendo su razón 29. 21 g) 5 = X = 8 1000 10 Y 2 h) 1 8 = 3 = X 24. Escribe la palabra mayor o menor de manera que las siguientes proposiciones sean verdaderas. 8 27. d) Si elevo la temperatura de una esfera metálica será su volumen e) Entre más alto sea un objeto será su sombra. c) Si más hombres trabajan por día en una obra es la cantidad de trabajo hecho en ese mismo día. Dos grupos A y B tienen un total de 105 alumnos. Halla los números. Encuentra los valores de X y Y en cada igualdad de razones. 3 28. . La relación entre dos números es de 5 a 2 . de superficie se divide en dos lotes de tal manera que uno es Y 160 3 del 4 otro. ¿Cuántos alumnos tiene cada grupo si la 7 razón de A a B es ? 8 26. Con el fin de planificar los gastos diarios.31.3 1. 33.6 3 6 7 2. definiendo correctamente los ejes y distribuyendo la escala de valores en forma apropiada. una familia contabilizó el tiempo que tarda prendida la parrilla de la estufa y el tiempo que tarda el gas en consumirse.. Los resultados se presentan en la siguiente tabla. de estatura proyecta una sombra de 0. d) ¿Corresponde la gráfica a las magnitudes inversamente proporcionales? . Si un edificio proyecta una sombra de 20 m. No olvides determinar correctamente los ejes y distribuir los valores en forma apropiada. b) Analiza de acuerdo a la tabla de datos si las magnitudes son inversamente proporcionales.5 3.80 m. al mismo tiempo que una persona que mide 1. d) Analiza de acuerdo con la gráfica si las magnitudes son inversamente proporcionales. de largo. NÚMERO DE TRABAJADORES 1 3 6 12 15 20 24 TIEMPO EMPLEADO (EN HORAS) 60 20 10 5 4 3 2. Para la recolección de la cosecha se ha estudiado la relación que existe entre los trabajadores y el tiempo que tardan en hacer la recolección. ¿calcula la altura del edificio? 32.3 a) ¿Cuál es la magnitud dependiente y cuál la independiente? b) ¿Son estas magnitudes inversamente proporcionales? c) Haz la gráfica cartesiana correspondiente. Los datos obtenidos se presentan en la tabla siguiente: TIEMPO DIARIO ENCENDIDA LA PARRILLA ( HORAS ) DURACIÓN DEL CILINDRO DE GAS ( DÍAS ) 1 2 18 9 3 4 5 4.5 a) Identifica cuál es la magnitud independiente y cuál la dependiente. c) Haz la gráfica cartesiana.70 m. Si el grupo se encuentra con 40 personas más. ¿en cuántos días la harán 12 obreros menos? 39. a) y es 24 cuando x es 3 . de largo. Un grupo de personas de la tercera edad hacen un paseo al campo y tienen provisiones para 30 días.Encuentre y cuando x es 4 b) y es –12 cuando x es –6 . Encuentre y cuando x es 7 c) y es 3 cuando x es 21.5 cm llena un tanque en 16 horas. ¿qué tiempo tardará en llenar el mismo tanque? 36. ¿Cuántos tubos de 4.000 tubos de 2. Un tubo cuya sección es de 3. Para tender la red de alcantarillado entre dos puntos se necesitan 6.5 b) T(h) 6 V(km/h) 7.4 0. Si y varía directamente con x.5 9 90 15 45 15 c) De las tablas anteriores encuentra la constante de proporcionalidad de cada una 2 35. Encuentre x cuando y es 6 . ¿para cuántos días les alcanzarán las provisiones? 38. Veinticuatro obreros hacen una obra en 48 días. Otro tubo cuya sección es 2 de 5 cm ..34.00 m se necesitarán para tender el mismo alcantarillado? 37.40 m. Encuentre y cuando x es 35 d) y es –4 cuando x es 36 . Completa las siguientes tablas: a) X 1 Y 12 3 24 2. ¿Cuáles tablas expresan variaciones directas? Por cada variación directa indica la constantes de variación.4.x Y 1 2 5 20 1 6 -1 2 3 4 10 15 2 12 -2 4 5 6 15 10 3 18 -3 6 7 8 20 5 4 24 -4 8 42. 7 10 b= 4 6 = .40.3 6 1 1 3 6 5 20 -2 -9 -1 -1 6 12 -10 -10 36 ½ 0 0 -3 -6 -4 -18 -1 2 2 -6 -12 1/2 200 -25 - ½ -2 -1 1 -3/4 4/3 1 -1 41. a 6 = a) a: 5 : : 6 : 13 o sea . a) r • t = 60 b) c= 3.14d c) x . x y x y 1. 5 c c= b) 8: 7 : : b: 10 o sea c) 4: 5 : : 6 : c o sea d) d :2 : : 11 : 7 o sea d 11 = .X y 2. Encuentra el valor que deben tener las letras que aparecen en cada una de las siguientes proporciones para hacerlas verdaderas.3.5. ¿Cuáles fórmulas describen variaciones inversas? Por cada variación inversa indica la constante de variación. ¿Cuáles tablas expresan variaciones inversas? Por cada variación inversa indica la constante de variación. a= 5 13 b 8 = .x y x y 2. y = −8 d) 36 = b • h e) x • y = 1 s p 22 1 − 20 = =s g) r = i) h) ⋅y = x j) f) y = x 5 6 4 a b 43.5.4. x y x y x y 1. d x= 2 7 -2 y 8 -1 4 1 -4 2 -8 .3. ¿cuánto ganará si trabaja 7 horas?. da una sombra de 33.40 m. Una torre de 25.8 días 54. 46. ¿cuánto costarán 15 agendas? 47. 20 días 6 horas x días 8 hora x= (20x6)/8= 15 x=15 53. Si 4 hombres terminan una obra en 12 días. Sabiendo que 30 obreros emplean 8 días para hacer una obra..8 x=6.05 m. en 5 horas.? 48. 52. ¿cuánto recorrerá en 7 horas?. Si por 5 horas gana 150 pesos. de altura. la sombra de una persona cuya estatura es 1. Un corazón adulto sano bombea 5 litros de sangre por minuto.80 m.2 centímetros 51. ¿cuántos litros bombea en 8 horas?. 50. 26m altura x=1cm(26)/5=5. Si ya lo resolviste aritméticamente. ¿cuál será. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros. Un ciclista ha recorrido 150 Km. represéntalo geométricamente. Si 4 agendas cuestan 80 pesos. ¿cuánto tiempo necesitan 12 obreros para hacer el mismo trabajo? 30 obreros 12 8 días x X= (30)(8)/12=20 x=20 días .44.2 5. ¿cuál será la capacidad de los 3/8 del mismo estanque? 49. 4 hombres 7 12 días x x= (4)(12)/7= 6. Una cuadrilla de obreros concluye una obra en 20 días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días la habrían terminado trabajando 8 horas diarias?. Haga un croquis de su salón en la escala 1:250. Un hombre gana cierta cantidad por hora. Un árbol tiene 26 m. ¿qué altura tendrá un dibujo del árbol hecho a escala 1:500. ¿cuántos días les llevarían a 7 hombres terminar la misma obra?. a la misma hora. 45. Resuélvelo geométricamente. 120 min 40 3 llaves x X=_(120)((3)/40=9 x=9 surtidores 57. 9 hombres 5d x 15 x=6 hombres 58. ¿Cuántos surtidores se deben emplear si debe llenarse en 40 minutos?. ¿En cuánto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres menos?. Si 9 obreros tardan en pavimentar un tramo de carretera en 24 días. 9 obreros 12 24 días x x = (9)(24)/12= 18 x=18 días 56. por hora un automóvil emplea 8 ¼ horas en ir de una ciudad a otra. A la velocidad de 30 Km. Nueve hombres pueden hacer una obra en 5 días. Un tanque de agua tarda en llenarse en 120 minutos con 3 llaves (surtidores). 2 de ancho y uno de profundidad. ¿cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 12 obreros?. 8 hombres han cavado en 20 días una zanja de 25 m.55. de largo. ¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado al triple de la velocidad?. ¿cuántos hombres sobrarían para hacer la obra en 15 días?. . 8 hombres 20 dias 25 metros 2mx1m 2 x x=8(20)/2=80 x= 80 días 59. Una guarnición de 1600 hombres tienen víveres para 10 días. ¿Cuántos litros de gasolina se necesitan para recorrer 500 Km. Hombres 1600 400 viveres 10 2.5 62. ¿cuántos días necesitan 5 hombres trabajando las mismas horas en hacer la misma obra?. A este ritmo.60. 1 cm. Si se refuerza con 400 hombres más.5 65. Si en este mapa hay una distancia de 24. ¿Cuánto se atrasará en dos horas? minutos horas Retraso 2 15 Retraso .? Km 150 150 150 50 500 Gasolina (l) 12 12 12 4 40 O multiplicamos 12x500/150 = 40 63. Si tres hombres trabajan 8 horas diarias y hacen 80 metros de una obra en 10 días. Cuál es la distancia real entre ellas? km Cm 3. ¿Cuántos días durarán los víveres?. Un reloj se atrasa 2 minutos cada 15 horas.2666666667 2 .115 24.27 1 80. ¿Cuántas cajas pueden cargar en una hora? Linea de 8cajas 8 cajas 8 cajas 24cajas carga minutos 20 20 20 60 60 x 8 /20 = 24 64. En un mapa.5 cm. Un auto recorre 150 Km. Los miembros de una línea de carga estiman que pueden cargar 8 cajas en 20 minutos.27 Km. entre dos ciudades. Representa 3. metros Horas hombres dias 80 8 3 10 80 8 5 6 61. con 12 litros de gasolina. ¿Cuántos adultos se necesitan para llevar a 180 estudiantes de viaje? Alumnado 15 180 Adultos 2 24 67. por hora. 1 80 2 160 3 240 4 320 5 400 6 480 7 560 Un impuesto indirecto se paga de acuerdo con el precio de venta de los artículos al consumidor o a la consumidora. Completa la tabla siguiente. varía de acuerdo con el tiempo Tiempo (en horas) Ladrillos pegados Hr 1 2 Hr 2 3 1 20 2 40 3 60 4 80 ladrillos 20 x x=20(2) / 1 = 40/1=40 x=40 ladrillos 40 x x=3 (40) /2 = 120/2 =60 x=60 5 100 6 120 7 140 . Precio P (en $) Impusto I ( en I) 20 2 40 4 60 6 80 8 100 10 00 120 12 22 140 14 71. Completa la tabla que se muestra considerando que un automóvil viaja a 80 km. Para hacer cemento se necesitan 4 palas de arena por cada 5 de grava. ¿Cuántos estudiantes extranjeros asisten a este colegio si hay 1575 estudiantes americanos? extranjeros americanos 2 35 90 1575 69. Tiempo (en horas) Kilómetros recorridos 70. La razón entre estudiantes extranjeros y americanos en un colegio es de 2 a 35. 2 adultos deben acompañar a cada grupo de 15 estudiantes. Completa la tabla que indica que el número de ladrillos pegados por un obrero. ¿Cuántas paladas de grava se necesitan para 64 de arena? Arena Grava 4 5 64 80 68.66. Una escuela tiene un reglamento que indica que en viajes escolares. Por transportar 48. en 4 horas a velocidad constante.76 x=11.800 por cada 1000kg de carga. Un telar teje 425 metros de tela en 5 horas.76 75. Al recorrer 180 km. Un automóvil recorre 348 km.Hr ladrillos 3 4 60 x Hr x=4(60)=240/3=80 x=80 ladrillos 4 5 80 x Hr x=6(80)/4 = 400/4= 100 x=100 ladrillos 5 6 100 x Hr x=6(100)/5=600/5=120 x=120 ladrillos 6 7 120 x x=7(120)/6=840/6=140 x=140 72. ¿Qué distancia recorrerá en 6 horas? Km horas 348 x 4 6 x=348(6)/4=2088/4 2088/4=522 x=522 73. ¿cuánto cobrará? $ 5800 x Kg 1000 48000 5800x48000=278400000/1000= 278400 x=278400 74.5 x=37.000 kg al mismo destino. ¿Cuántas horas demorará en tejer 1000 metros de tela? 425m 5 hrs 1000m x x=1000(5)/425=5000/425= 11. Un automóvil consume 25 litros de gasolina en 120 km de recorrido.5 litros . Una empresa transportadora cobra $5. ¿cuántos litros consumirá? 25litros 120 Km x=180(25)/120 x 180 Km 4500/120=37. 8 Perímetro del triángulo equilatero (en cm) 2.2 16. encuentra los valores que faltan: Proporcionalidad y saltos de rana Brincos de la rana Espacio recorrido 1 2.9 15.76.2 12. Expliquen a) La cantidad de dinero que lleva una pareja al supermercado y lo que puede comprar con él. Las magnitudes relacionadas en las tablas de datos son directamente proporcionales. ¿Cuáles de los siguientes pares de magnitudes están directamente correlacionadas?. 78.8 22. b) El consumo de luz en casa y el costo que debe pagar mensualmente c) El precio de un artículo y el número de éstos que puede comprar un señor d) La cantidad de kilómetros recorridos por un taxista y la cantidad de combustible que gasta.7 46.4 16.1 48.8 15 36 Proporcionalidad y perímetro Longitud del lado (en cm) 0.6 7.3 18 54 .4 3 7.4 38.2 5 12 8 19.2 10 24 12 28.4 5. e) La cantidad de kilómetros recorridos por un taxista y el combustible que resta por quemarse. ¿Cuál es la razón de área de un cuadrado de lado 16 metros con otro cuadrado de lado 3 metros? 77. M.M. determina la constante de proporcionalidad de cada una. 4 1/ 2 P . 2 1/ 2 P . ¿ y voleibol? c) ¿Cuánto mayor es el porcentaje que escogió fútbol como su deporte favorito que el porcentaje que escogió patinaje? . La siguiente tabla muestra los deportes preferidos por 100 estudiantes. M .M. 1 P. M .5 13 1/ 2 K m 15 De las tablas anteriores. ¿qué porcentaje corresponde a esa cantidad? b) ¿Qué porcentaje escogió patinaje como su deporte favorito?. M . Dis t anc ia 1 1/ 2 K m 3 6 7. Completa las siguientes tablas No de lim ones 3 15 27 25 No de pes os 23 92 3150 Cantidad 1 Cantidad 2 8 7 16 24 32 35 Cues tan 1 P es o No de dólares 3 10 17 6 Cantidad 13 39 52 Cantidad 303 202 Tiem po 1/ 2 P . 80.79. 47 Futbol 16 Baloncesto 29 Patinaje 8 Voleybol a) ¿Cuántos estudiantes escogieron fútbol como su deporte favorito?. 5 P. 2 P. 81. Una fábrica de tejidos elabora 1250 sacos en 3 meses. Por una casa cuyo valor es de $8.500. ¿Cuál será la producción en año y medio? 83.000 anual ¿cuál será el precio de una casa por la cual se paga $180000 de impuesto anual? 82. Escribe como porcentaje: a) 9 de 100 b) 10 de 100 c) 16 de 100 d) 99 de 100 e) 43 de 100 84.000 se paga un impuesto de $125. Escribe en forma de porcentaje: a) 17 100 b) 8 10 c) 1 2 d) 43 50 e) 1 25 f) 3 5 g) 19 20 . 85.005 88. Completa la tabla : Por ciento Fracción Decimal Fracción Simplificada 20% 16/20 0.62 b) 0. Completa la tabla: Cantidad Capital 750 2400 % = tasa Tasa de interés 14% 3% Porcentaje Interés o rédito 27 96 .8 c) 0.05 h) 0. a) 0. ¿A qué número entero es igual 100%?. a ) 10 % b ) 57 % c ) 75 % d ) 6 % e) 1 % f ) 72 % g ) 22 % h) 67% 86.15 4/5 50/100 89.001 g) 0.015 d) 1. Escribe en forma de fracción y halla su mínima expresión.5 e) 0.465 f) 0. Escribir cada decimal en forma de tanto por ciento. ¿A qué fracción es igual 150%? 87.