Ejercicios Leyes de Kepler y Gravitación Universal

EJERCICIOS LEYES DE KEPLER Y GRAVITACIÓN UNIVERSALSolucionario 1.- ¿A qué distancia debiera estar un cuerpo de la superficie terrestre para que su peso se anulara? El peso de un cuerpo se anularía en dos circunstancias: 2.- i) En donde g, la intensidad de campo gravitatoria, sea nula. Y eso ocurre Solamente a una distancia infinita. ii) En algún lugar en donde debido a la presencia de otro cuerpo estelar la fuerza gravitacional debida a la Tierra y debida a ese otro cuerpo se anulen entre sí. Esto ocurre, por ejemplo, en la línea recta que une a la Tierra con la Luna, a ocho novenos de la distancia que hay entre esos cuerpos medida desde la Tierra. Calcular la intensidad del campo gravitatorio a 630 km de la superficie terrestre. Datos: R = RTierra + h = 6.370 km + 630 km = 7.000 km = 7x106 m m = 5,98x1024 kg 3.- Gm 6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24 m = = 8,14 2 2 2 R s 7 x10 6 ( ) ¿A qué distancia entre la Tierra y la Luna debiera situarse un satélite de 10 toneladas para ser igualmente atraído por ambos? © g= e rd u g o .c l Datos: mT = 5,98x1024 kg m = 10 ton = 104 kg distancia entre la Tierra y la Luna, dTL = 384.000 km = 3,84x108 m distancia entre la Tierra y el satélite, dT = x distancia entre la Luna y el satélite, dL = dTL - x dTL - x x T L FTS FLS .h v La fuerza de atracción de la Tierra sobre el satélite, FTS, y la de la Luna sobre el satélite, FLS, son iguales, por lo tanto: w FTS = FLS
al extraer raíz, se tiene: w w mT Gm T m GmL m mT mL mT 1 1 81 =
2 =
2 =
2 = 2 2 2 2 x (dTL − x ) x (dTL − x ) x (dTL − x ) x 81(dTL − x )2 1 1 8 8 =
9d TL − 9 x = x
x = d TL = 3,413x10 m = 341.333 km x 9(d TL − x ) 9 4.- A cierta altura sobre la Tierra se encuentra un satélite de 500 kg sobre el cual el campo gravitatorio terrestre actúa con la fuerza de 400 N. ¿Cuál es la intensidad del campo gravitacional y la aceleración de gravedad a esa distancia? Datos: W = 400 N m = 500 kg Como la aceleración de gravedad y la intensidad del campo gravitacional numéricamente tienen el mismo valor, entonces: Hernán Verdugo Fabiani Profsor de Matemática y Física www.hverdugo.cl 1 como R = RT + h.99 2 2 2 7 R s 10 Un satélite de 80 kg gira en una órbita circular. Hernán Verdugo Fabiani Profsor de Matemática y Física www.061 km F 8.000 kg mT = 5.h Se puede determinar.67 x10 −11 ⋅ 5.- Calcular la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a 3630 km de la superficie terrestre. además.658 km – 6370 km = 38.98 x10 24 ⋅ 10 3 R= = = 7.370 km + 3.- l ( ) .922 m = 44.67 x10 −11 ⋅ 5.67 x10 −11 ⋅ 5. entonces se determina R: R2 Gm T m 6.98x1024 kg F = 8.98 x10 24 R= = = 44.657.630 km = 10.061.037 m = 7. También se podría determinar velocidad lineal con que gira en torno a la Tierra.370 km = 691 km 6.cl 2 . esto pues la fuerza con que la Tierra lo atrae también es la fuerza centrípeta a que se ve afectado el satélite.630 km Datos: m = 80 kg v F = 16 N w w .98 x10 24 m = = 3.hverdugo.W = mg
g = 5. la aceleración que tendría el satélite si empezara a caer en forma libre.c g= © h = 3. g= w 16 N m = = 0. el satélite está a h = 44. además de aceleración de gravedad. Si el campo gravitatorio actúa sobre el satélite con una fuerza de 16 N ¿cuál es la intensidad del campo gravitatorio a esa distancia?. ¿qué más se podría calcular? e rd u g o 7.658 km g 0. entonces se tiene R2 Gm 6.000 N F= Gm T m . Gm .000 km = 107 m Gm 6. Datos: R = RT + h = 6. También se puede conocer la altura a que se encuentra el satélite respecto a la superficie terrestre.288 km de altura sobre la superficie terrestre. la intensidad de campo gravitatorio.000 h = R – RT = 7.- w 400 N m = = 0.2 2 m 80 kg s w W = mg.061 m – 6.2 Como g = Entonces. como g es.8 2 m 500 kg s ¿A qué distancia de la superficie terrestre gira un satélite en órbita circular si su masa es de 1000 kg y el campo actúa sobre él con la fuerza de 8000 N? Datos: m = 1. 37g w Datos: 12.98 x10 24 ρM = = 0. y como ésta también es la R2 v2 fuerza centrípeta que afecta al planeta.8 w gM = 0. Calcular la aceleración de gravedad en un punto situado a la distancia a que se encuentra la Luna de la Tierra.98 x10 24 m m = 2. ¿Cuál es la densidad de Marte? Datos: ρT = 5.37x9. si despejamos m R R2 Como ambas fuerzas son iguales.hverdugo.14 ⋅ 6.8.000 km) ) La aceleración de gravedad de Marte respecto a la de la Tierra es 0.5 g/cm3 y la de Marte con relación a la de la Tierra es 0.8 3 m cm 3 3 .cl ) 3 = 3.5 2 ⋅ 13 TT2 TS2 3 =
RS = = = 9.626 2 2 s s La densidad media del planeta Tierra es 5.00273 2 = 2 2 R s s 3. y como R La fuerza con que el Sol atrae a un planeta es F = l adecuadamente se tiene: v 2R = Gm T que es constante. gm = 0.5 años. Gm T m . Calcular la aceleración de gravedad en Marte.69. en m/s2. Calcular su distancia al Sol.822x108 m (en realidad son 384. Datos: TS = 29.813 kg g = 3.69 ⋅ 4 4 VM VT 3 πR T ⋅ 3.73 x10 −3 2 = 0.- .69 ρT m . © Gm T m v2 = .c Esto es considerando que la velocidad de un planeta en torno al Sol es aproximadamente constante. que es de 60 radios terrestres. por lo tanto.h 11.Demuestre que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantánea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante. e rd u g 10.5 g cm 3 ρT = 0.370 km = 382.67 x10 −11 ⋅ 5.822x10 8 w g= m m = 3.69 0.- ( v Gm 6.Datos: R = 60 RT = 60 x 6.69 = 0.37. se tiene TS2 ⋅ R 3T 3 29.- El período de revolución de Saturno es aproximadamente 29.5 años TT = 1 año RT = 1 UA Aplicando Tercera ley de Kepler. se tiene V mM mT mT 5. se tiene que F = ma C = m .55 UA R 3T R 3S TT2 11 9. se tiene: o .200 km = 3.37 x10 6 3 3 Como se ha de saber: ρ = ( Hernán Verdugo Fabiani Profsor de Matemática y Física www. h g = 4.- Construya un gráfico W v/s R (peso en función de la distancia) de un cuerpo de masa m que viaja desde la Tierra a la Luna.- La distancia media de Marte a l Sol es 1. ese lugar está a h = 9. W WT 1 WT 6 0 8d TL 9 RT dTL. e rd u 15. RL el radio de la Luna y dTL la distancia entre la Tierra y la Luna.98 x10 24 R= = = 9.263 m = 9. Encontrar el número de años que tarda Marte en efectuar una revolución en torno al Sol. Datos: TT = 1 año RT = 1 UA RM = 1. ¿cuál es su aceleración en caída libre? l Gm Gm 1 Gm 1 = = = g 2 2 R (4R ) 16 R 2T 16 .524 UA Aplicando Tercera ley de Kepler.9 m/s2.- Cuando un meteoro que cae está a una distancia de 3RT sobre la superficie terrestre.67 x10 −11 ⋅ 5. se tiene TT2 TM2 TT2 ⋅ R M3 3 12 ⋅ 1.022. 14.cl 4 .9 w w w Como g = Entonces.524 veces la de la Tierra al Sol.524 3 3 =
T = = = 1. 16.c g= © Datos: R = 4RT ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra sería la aceleración de gravedad aproximadamente de 4.- g o Es decir.13.652 km de altura sobre la superficie terrestre.022 km g 4. aceleraría con la dieciséis-ava parte de la aceleración en caída libre que tendría en la superficie de la Tierra.022 km – 6370 km = 2.9 Gm .hverdugo. RT el radio de la Tierra.88 años M R 3T R M3 R 2T 11 Hernán Verdugo Fabiani Profsor de Matemática y Física www.RL R Con WT el peso en la Tierra. entonces se tiene R2 Gm 6. Datos: v m s2 . entonces: R2 2  2πR    2 GmMm GmM v 2πR T   m = .- Una manzana es soltada desde el reposo.- Determine la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos bolas de billar de masa 0.16 kg R = 450 mm = 0. La hormiga usa como referencia a la Tierra. y el gusano usa como referencia la manzana. pero como entre ese objeto y Marte hay una fuerza R Gm Mm gravitacional F = .16 kg cuando la distancia entre ellas es de 450 mm.769 3. T2 4π 2 despejando la masa de Marte. dicen cosas diferentes solamente porque utilizan sistemas de referencia diferentes.689 Fobos es un satélite de Marte que posee un período de 7 horas y 39 minutos y una órbita de 9. entonces se tiene = . 18.16 F= = = 8. despejando 2 R T R R R2 adecuadamente.551 7.45 19. Un gusano en la manzana afirma que la Tierra se acelera hacia la manzana y la golpea.- Complete la siguiente tabla.45 m Gm1m 2 6.17.5 x10 23 kg 2 GT 5 .4x106 m Sobre un satélite que gira en torno a Marte actúa una fuerza centrípeta w w w v2 F = ma c = m . e rd u g 20.152 16. y como v = . se tiene: m M = Hernán Verdugo Fabiani Profsor de Matemática y Física www.hverdugo.h v Datos: T = 7 h 39 min = 27. en 106 m 421. en días 1. y como ambas fuerzas son equivalentes. suponiéndola en reposo.070 1.cl 4 π 2R 3 = 6.6 670.67 x10 −11 ⋅ 0. entonces. Una hormiga sobre el suelo afirma que la manzana se acelera hacia la Tierra y la golpea.9 1.c l © Periodo.882 o Nombre Io Europa Ganímedes Calisto .4x106 m de radio. . suponiéndola en reposo. se tiene: Gm M R 3 = . ¿Qué afirmación es más acertada y por qué? Ambos bicharracos tienen razón. Determine la masa de Marte a partir de estos datos. que es otra forma de expresar la Tercera Ley de Kepler. Datos: m1 = m2 = 0. Los datos corresponden a las Lunas de Júpiter: Se debe aplicar la Tercera Ley de Kepler.16 ⋅ 0.43 x10 −12 N 2 2 R 0.540 s R = 9.- Radio orbital. 21.98 x10 = 2 R12 6.63 Gm . aproximadamente. g0 = 2 = = 9.- w g= Encuentre la distancia entre Júpiter y el Sol sabiendo que el periodo de rotación del Sol es un año y que el de Júpiter es de casi 12 años terrestres.370 km. tiene el mismo valor que la aceleración de gravedad Lunar? Datos: mT = 6x1024 kg w m s2 w g = 1. Datos: TT = 1 año RT = 1 UA TJ = 12 años TJ2 ⋅ R 3T 3 12 2 ⋅ 13 TT2 TJ2 3 =
R = = = 5.37 x10 ( ) −11 A los 10 km de altura. entonces: R2 Gm 6.74 x10 g mL = ) .cl 6 .- Determinar el tanto por ciento de reducción que experimenta la aceleración de la gravedad al aumentar la altura en 10 km sobre la superficie terrestre. sobre la superficie terrestre. Determine: a) La intensidad de campo gravitatorio en la superficie Lunar. 6.63 m Y. g1 = Gm 6.299 km s 23.98 x10 24 m En la superficie de la Tierra.hverdugo.c l m T 6 x10 24 = = 7. 1740 km y la distancia que hay entre la Tierra y la Luna es de.407 x10 22 m g= 2 = = 1. aproximadamente.0308 m .67 x10 −11 ⋅ 5.- Datos: .63 2 es h = 9. como R = RT + h. su radio es. Datos: h = 10 km RT = 6. su radio es.h v b) ¿A qué altura. la intensidad de campo gravitatorio.67 x10 −11 ⋅ 6 x10 24 R= = = 15. que la aceleración de gravedad a una altura de 10 km sobre la superficie terrestre disminuye en 0.407 x10 22 kg 81 81 o R = 1. La masa de la Luna es 1/81 veces la masa de la Tierra.74x106 m ( e rd u Gm 6.125 m = 15.7991 m s2 Se observa. © La masa de la Tierra es. 60 radios terrestres.67 x10 −11 ⋅ 7. la altura en donde g = 1.37x106 m R = RT + h = 6.24 UA J R 3T R 3J TT2 11 Hernán Verdugo Fabiani Profsor de Matemática y Física www.669 km g 1. y esta cantidad corresponde a una s2 disminución del 0.37x106 6 m Gm 6.31 %. aproximadamente.63 2 2 6 R s 1.8299 2 2 6 R0 s 6.740 km = 1. aproximadamente. 22.669.67 x10 ⋅ 5. entonces.38 x10 6 ( ) 24 = 9. 6x1024 kg. entonces la masa de ese planeta es: m = ρV. y según el teorema del trabajo y la energía. .56 2 .hverdugo. mientras que a una distancia 3R.- © superficie terrestre. se tiene W = . tenemos que la energía total mecánica de un satélite a una distancia 2R del centro de la Tierra es: E = U1 + K1.14 ⋅ 1.76 x10 25 kg Entonces.500 ⋅ ⋅ 3. que es el doble de la que hay en la 2 2 R s 1. Gm T m Gm T m Gm T m − = 2R 3R 6R w w w . o menor. en la superficie del planeta Egabbac la intensidad de campo gravitatorio (aceleración de gravedad) es: g= Gm 6. entonces m = ρ ⋅ 4 4 πR 3 = 5. ¿El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sería igual. y considerando que tiene la misma densidad que nuestro planeta.76 x10 25 m = = 19.24. Por lo tanto. pero una densidad media de masa igual a la de la Tierra.500 kg m3 Si el radio es el doble que en la Tierra.274 x10 7 ( ) Calcule el trabajo necesario para mover un satélite terrestre de masa m de una órbita de radio 2R a una de radio 3 R.h v W= e rd u g o Sabemos que la energía total mecánica se conserva. de la igualdad U1 + K1 = U2 + K2.cl 7 . mayor.- El planeta Egabbac (situado en otro sistema Solar) posee un radio doble del de la Tierra. por lo tanto.c l 25.67 x10 −11 ⋅ 4. entonces K2 – K1 = U1 – U2 se tiene: W = U1 – U2 Hernán Verdugo Fabiani Profsor de Matemática y Física www.(K2 – K1).274 x10 7 3 3 ( ) 3 = 4. por lo tanto un cuerpo en la superficie del planeta pesaría el doble de lo que pesaría en la superficie terrestre. es E = U2 + K2. que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor: ¿cuánto es el valor? Datos: R = 2RT ρ = 5.