TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOSLa ley de Senos. En todo triángulo, cada lado es proporcional al seno trigonométrico de su ángulo opuesto. Basándonos en el triángulo dibujado a continuación y en las nomenclaturas de sus elementos, podemos escribir la ley de senos de la siguiente manera: A a b c = = Sen A Sen B Sen C c b B a C Aplicaremos esta ley a la solución de triángulos oblicuángulos cuando se dé alguno de los siguientes casos: Caso I. Dado un lado y dos ángulos cualesquiera. Caso II. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. (Caso ambiguo) La ley de cosenos En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de esos lados multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre dichos lados Basándonos en un triángulo oblicuángulo como el utilizado en los casos anteriores, podemos escribir la ley de cosenos de la siguiente forma: A a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc Cos A c b b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac Cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab Cos C B a C a CASO III. Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos Caso IV. Dados los tres lados Elaborado por: IQI Juan A. Trejo Peña LE. Enrique Rodríguez Tut EJERCICIOS RESUELTOS I.88 cm c = ( 81 x . 7.8191 = 69.1435 = 564. 10. 4. <A = 80º <A = 55º <B = 35º <C = 42.9997) / .3 / Sen 55º c / Sen 61º 30’ = 63. Trejo Peña LE.9848) / .6 cm b= 40.28 cm c / Sen 91º 45’ = 81 / Sen 8º 15’ 2. 2.1435 = 555..8949) / .3 x .(80º+8º15’) => 81 / Sen 8º 15’ = a / Sen 80º B 179º60’ – 88º15’ = 91º 45’ a = (81 x . <C= 61º30' Y a= 63.10 cm c= 45 cm c= 8 cm c= 8 cm c= 25.3 / Sen 55º Elaborado por: IQI Juan A.1 <A = 110º20' <A = 100º30' <B = 39º a = 4 cm a = 24.3 cm Solución: B 63. 6.5 cm a = 29.5 b= 25 cm a= 15 cm b= 5 cm b= 18.00 cm c= 3.8191 = 67.. 9. < B= 8º15' Y b= 81 cm Solución: A 80º 81 cm 8º15’ C < C = 180º .2 cm c= 34.3 x .1 Km 1.6 Km Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y b= 81 cm a= 63.3 cm a= 8.8788) / .13 cm c= 6. c = (63. 5.3 Km <B= 8º15' <C= 61º30' <C= 44º25' a= 3. 3.( 55º + 61º 30’) = 63º 30’ b / Sen 63º 30’ = 63.3 cm 61º30’ 55º C < B = 179º 60’ .<A = 55º. Enrique Rodríguez Tut A b = ( 63. .91 cm.< A = 80º. 8. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos (ABC) cuyos datos son: 1.6 a= 8.16 cm. 1 / Sen C Sen C = ( 6.3.6 x Sen 42º ) / 3.6 / Sen A < A = 50º 19’ C < Sen A = ( 3.5 x .70 cm A 3.6691 = 4.9830 = 4..1 a= 3.5 = .1 cm 110º 20’ b = ( 3.13 = 0.6729 < C = 42º 18’ < B = 179º 60’ – ( 110º20’ + 42º18’) = 27º 22’ b / Sen 27º 22’ = 8.<B = 35º <C= 44º25' Y a= 8.17 .67 A C 8.13 cm 3.6 cm 44º 10’ B b = ( 8 x ..9830 = 5.<C = 42.5cm 6.13 / Sen 42º 5.9992) / .1 x .(35º + 44º 25’) = 100º 35’ b/ Sen 35º = 8 / Sen 100º 35’ c /Sen 44º 25’ = 8 / Sen 100º 35’ 4.00 cm Solución: A 44º25’ 35º C 8 cm < A = 179º 60’ .13 x .6 Y c= 3.13 / Sen 42º = 3.<A = 110º20' a= 8.5 / 110º 20’ Elaborado por: IQI Juan A. Trejo Peña LE.5736) / .13 cm Solución: B 3.7696 < B = 179º 60’ – ( 42º + 50º 19’) = 87º 41’ b / Sen 87º41’ = 3.9377) / 8. c = ( 8 x .5 / Sen 110º 20’ = 6.9377) / 8.5 Y c= 6.. Enrique Rodríguez Tut b = ( 8.6999) / . 67 cm.5 = 4.10 cm Solución: B 8. 32 55.4091 <A = 24º 9' Elaborado por: IQI Juan A.7771 10. Trejo Peña LE. Enrique Rodríguez Tut 4 cm B Sen A = ( 4 x Sen 125º 6')/ 8 y < B =179º60'-(24º9'+125º6')=30º 45' .4443 = 26º 23’ < C = 179º 60’ – (100º 30’ + 26º 23’) = 53º 7’ 7.5 b = 10.6.a = 4 cm b= 5 cm Y c= 8 cm Solución: C 5 cm A 8 cm c2 = a2 + b2 ..9328 -1 < A = Sen .12 = .0.50 = 102.( 39º+111º 8') =29º 52' 8.<B = 39º a= 15 cm Y c= 8 cm Y c= 8 cm Solución: B 39º 8cm 15cm A b2 = 2 C 8 + 152 .9328 <A = 111º 8' < C= 179º 60' .2ab Cos C Cos C = (a2 +b2-c2)/ 2ab Cos C = (16 + 25 -64)/ 40 = .240 x ..12 / Sen 39º = 15 / Sen A Sen A = (15xSen 39º)/10.9833) / 55.32 = .575 < C = Cos-1-.575 = 125º 6' 8 / Sen125º 6' = 4 / Sen A Sen A = .32 / Sen 110º 30’ = 25 / Sen B Sen B = (25x .2 (8)(15) Cos 39º = 289.<A = 100º30' b= 25 cm Y c= 45 cm Solución: C 25 cm 100º 30’ 45 A B a2 = 252 + 452 – 2 (25)(45) Cos 110º 30’ = 625+2025 –(-410) = 3060 a = 3060 = 55.12 b2 = 64 + 225 ..186.4443 < B = Sen –1 . 3 km A 34.22 = 18.80 Elaborado por: IQI Juan A.3414 <C= Cos-1 .36-858.6 = .2(29.6)(24.3414 = 70º2' 24.25)/2021.2 cm Solución: C 18.25+345.1 Km Solución: C 40. Enrique Rodríguez Tut h = 409.707 40.3 / Sen A < A = 45º 1' y < C = 179º 60' .3)2 + (34.6 Km Y c= 34.2(18.( 66º2'+ 70º 2') = 43º56' 10.(60º+ 75º) = 45º 3000/ Sen 45º = b / sen 75º b = (3000x.7071 = 409.6 km 29.6 / Sen 78º 35' = 29.2 / Sen 70º 2' Sen A = .52 . ..a = 24.9138 <A= 66º 2' < B = 179º 60' .9659)/.a = 29.4=.49-1190.96-635.5 cm b= 18.1)2 .6)2= (29. Determinar la altura a que se encuentra en ese momento el helicóptero.5)Cos C Cos C= (600. uno del otro.3)(34. Resuelve los siguientes problemas 11.866 = 3549 mts.( 45º 1'+ 78º35') = 56º 25' II.80 x .5 cm A 25.2 cm B 25.1) Cos B Cos B= (1648.62 + 24.6 cm 24.7 = .1 km B ( 40.3 Km b= 40. Trejo Peña LE.9.Dos hombres que están en el campo en un llano.3x Sen 78º 35') / 40.5/ Sen A = 25. Solución: ' ' ' ' ' ' A 60º ' 75º B 3000 mts < C = 180º .6 cm Y c= 25. observan un helicóptero.04)/911. .8 Sen 60º = h / 409.. Sus ángulos de elevación respecto al objeto volador son 60º y 75º.1980 < B= 78º 35' Sen A = (29. separados 3000 mts. Cuánto miden los lados no paralelos del trapecio.70x+ 1.52 Sen 23º = h / 15. Trejo Peña LE.57/. 2 Elaborado por: IQI Juan A.(144 x ..2(8)(9) Cos 65º 30' = 145 .77-x Tan 57º 30' = h /(27. ¿Cuál es el ancho de la bahía ? Solución: B C B a C 8 65º 30’ 9 A A a = 64+ 81 .5373 = 32.57 x 2.28 a = 9. y los ángulos en los extremos del último de dichos lados son 57º30'y 69º40'. Cuál es la altura del puente con respecto al vértice del ángulo formado por las dos laderas.70 cm.72=85.59 .59 x= 10.52 h = 15.3907 = 6. Solución: 78.. Solución: A 24 B 24 mts 23º 32º 23º 32º < C = 180º .20)/b b= 17. Cos 57º 30' = (27..4147) = 145-59.52x . las distancias AB=8 Km y AC=9 Km.Un puente de 24 metros de largo une 2 colinas cuyas laderas forman con el horizonte ángulos de 23º y 32º.77-x) Tan 57º 30' 2.( 32º+ 23º) = 125º 24 / Sen 125 = a / Sen 32º a = (24x . respectivamente.77-x) x Tan 60º 40' = (27.23 km. 13.1. desde un punto A.5299)/ .8192 = 15.23 y 106 cm.Los lados paralelos de un trapecio miden 78.35 cm.70 x = 43.20/a a = 10.20 Cos 69º 40' = 10.77-10.Para calcular la anchura BC de una bahía se miden.12.20x Cos 69º40'= 29. 14.06 mts. Enrique Rodríguez Tut . y el ángulo BAC=65º30'.23 cm ' b ' ' a 'h h' 57º 3'0’ ' 69º 40º ' x Tan 69º 40' = h / x h=h y 106 cm ' 27.57x =43. 37 x . Cos 71º 40' = h / 611. Calcular a que distancia se encuentra de A y cual ha de ser la dirección que ha de tomar ahora para llegar a A Solución: O E 51º 40’ S N 38º 20’ O A S d2= 1252+1252-2(125)(125)Cos13º20' d= 29.Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 125 metros de altura.9730= 842.250x. Trata entonces de regresar al punto de partida.3145 =192.37 x . < ABC = 71º40'. 125 / Sen 10º 20 ' = t / Sen 61º 20' Ahora trabajando con el triángulo rectángulo ABC. Desde el extremo superior de la torre el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta es de 28º40'y desde la base de la torre el ángulo de depresión del mismo punto es 18º20'.3 Elaborado por: IQI Juan A.. Enrique Rodríguez Tut . 16.34 mts.37 h = 611. T 28º 40’ 125 mts B ' ' 'h ' ' C' 18º 20’ t A x Considerando el Triángulo ABT < ATB= 61º20' y < TBC = (18º20'+90º)=108º20' y <TAB= 10º20' b= (125xSen 61º20')= 611.30 mts. Encontrar el ancho del río y la altura del peñasco. pero por un error.37 mts. Trejo Peña LE.Un piloto sale de A y vuela 125 millas en dirección N–38º20'–O.15.9492 = 580. vuela 125 millas en dirección S–51º40'–E.2 km y dirección Suroeste.. E d2 = 31.250-31. Sen 71º 40' = x/611.37 x = 611. 5 h = 6.8 = . Solución: N Tan 18º 10' = d / 10. de B. de A y 555. 8 mts. Solución: C A B 555.77 mi/h Tan C = 10. Un punto C que es visible desde A y B se encuentra a 384.39 millas . Cuál es la longitud del túnel si < ABC=35º40'.6 mts. < C = 26º 55' Rumbo es N-63º5'-O Elaborado por: IQI Juan A.. Hallar la velocidad a que salió el barco y el rumbo a las 10 horas.8 / sen 35º 40' Sen A = (555.5831= 659.8 x Sen 87º)/ Sen 35º 40' => 18..( 57º20'+35º40') = 87º d / Sen 87º = 384.8419 < A = 57º 20' y < ACB = 179º 60' .77mi/hrx 3 hr = 20.32=.Se va construir un túnel a través de una montaña desde A hasta B. Trejo Peña LE. el faro está a 18º10' al oeste del norte.06 mts. v = d / t v = 3.5078 Distancia de A hasta C = 6.Un navío sale exactamente hacia el este a una velocidad uniforme.32/20.39 mi/. d = (384.17.8 / Sen 35º 40' d= 384. A las 7 horas se observa un faro exactamente hacia el norte a 10.32 millas.6 / Sen A = 384.32 d = 3.27/.6 Sen 35º 40')/384.32 millas y a las 7:30 hrs. Enrique Rodríguez Tut . Enrique Rodríguez Tut .EJERCICIOS PROPUESTOS 1 El navegante de un barco visualiza dos faros separados tres millas entre sí a lo largo de un tramo recto de la costa. Para medir la altura de una montaña. Determina que los ángulos formados entre las dos líneas visuales a los faros y la visual perpendicular a la costa miden 15º y 35º respectivamente. un topógrafo toma dos visuales de la cima desde dos posiciones separadas entre sí 900 metros sobre una línea directa a la montaña. ¿Qué tan lejos está el barco de la costa? 2. Trejo Peña LE. ¿cuál es la altura de la montaña? Elaborado por: IQI Juan A. La primera inclinación da un ángulo de elevación de 47º y la segunda inclinación da un ángulo de 35º Si el tránsito está a dos metros del suelo. Trejo Peña LE.5 pies de altura. encontramos que el ángulo de elevación a la parte superior de la torre es de 60º Calcula el ángulo de inclinación de la torre. La llamada a la estación Able indica que el barco se encuentra a 35º al nordeste. La estación Able está situada a 150 millas al sur de la estación Baker. Un barco envía una llamada de auxilio que es recibida por las dos estaciones. La famosa torre inclinada de Pisa tenía originalmente 184. Calcula la distancia del barco a cada estación y su distancia a la costa. Con respecto al suelo Elaborado por: IQI Juan A. Enrique Rodríguez Tut .3. la llamada a la estación Baker indica que el barco está a 30º al sureste. 4. Si nos alejamos 123 pies de la base de la torre. . ¿Cuánto miden los a = 32....Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 125 metros de altura...549.. Desde el extremo superior de la torre el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta es de 28º40’ y desde la base de la torre el ángulo de depresión del mismo punto es 18º 20’....7082 cm Elaborado por: IQI Juan A...... h = 192...... Determina la altura a que se encuentra en ese momento el helicóptero. observan un helicóptero........... Sus ángulos de elevación con respecto al objeto volador son 60º y 75º. LEY DE COSENOS 8.... 0816 cm........3277 m 5.. ¿Qué distancia habrá entre ellos al cabo de 45 minutos de viaje? d = 17......Un puente de 24 metros de largo une dos colinas cuyas laderas forman con el horizonte ángulos de 23º y 32º ..Dos lados de un paralelogramo son 83 y 140 cms....1673 m .. 9... calcula los ángulos internos del paralelogramo. Enrique Rodríguez Tut .. ¿Cuál es la altura del puente con respecto al vértice del ángulo formado por las dos laderas. Calcula la altura perpendicular sobre el piso de la parte superior de la misma...........Los lados paralelos de un trapecio miden 78........ P = 48.......08 km.3908 cm lados no paralelos del trapecio? 4.23 y 106 centímetros respectivamente.3º con la vertical.Dos barcos zarpan simultáneamente del mismo punto.Calcula el perímetro y el área de un paralelogramo si una de sus diagonales mide 18 metros y los ángulos que forma ésta con los lados del paralelogramo son de 35º y 49º......000 metros uno del otro..... Trejo Peña LE......LEY DE SENOS 1......... uno navega hacia el Norte con una velocidad de 32 Km/h y el otro hacia el Noreste a 20 Km/h......... separados 3....Dos hombres que están en el campo en un llano....La torre inclinada de Pisa forma un ángulo de 8. El ángulo de elevación a la parte superior de la torre desde un punto situado a 298 metros de la base de la torre es de 42º .. diagonal = 9.... h = 237..... A = 113º 24’ 22” B = 66º 35’ 38” 6. los ángulos en los extremos del último de dichos lados son 57º 30’ y 69º 40’...Calcula la longitud de cada diagonal de un pentágono regular cuyos lados miden seis cms...... h = 8....038 m 2. Encuentra el ancho del río y la altura del peñasco.. A = 141.066 m 3..6768 cm b = 29... h = 3.. y una de las diagonales mide 189 cms..026 cm2 7............ ...9204 cm d2 = 9..09017 cm 3... respectivamente..... Sus velocidades son de 45 y 60 km/h... Trejo Peña LE.............. d1 = 18... 5.......A 75 metros de la base de una antena el ángulo de elevación a su parte más alta es de 34º20’... y 16 cms.. Descubre una isla y observa que el ángulo de depresión al punto donde se inicia la isla es de 39º.El propietario de un terreno triangular construyó un muro de 42 metros de largo con dirección S – 48º 10’ – O sobre una de las líneas limítrofes del terreno.91342 cm diámetro es de 5 centímetros..10.. Enrique Rodríguez Tut .. Los otros dos lados limítrofes tienen dirección Norte-Sur y Este-Oeste....M. adelanta 30 metros hacia la torre y entonces el ángulo de elevación es de 47º ..... y 12 cms.. Calcula las medidas de las diagonales...... ¿Cuál es la altura de la torre? h = 31.Dos trenes parten simultáneamente de la misma estación en vías férreas rectilíneas que se cortan formando un ángulo de 57º 20’.......5926 cm ....... Halla la distancia del buque al faro en el momento de la primera observación..821........Calcula el perímetro y el área de un octágono regular inscrito en una circunferencia cuyo l = 1.7086 m Elaborado por: IQI Juan A......2366 km 11. respectivamente..¿Cuál es el radio de una circunferencia inscrita en un pentágono regular de dos centímetros de lado? r = 1. un faro se ve hacia el Este.... EJERCICIOS MISCELÁNEOS 1. Calcula la anchura de la isla.6385 m 7. calcula la longitud del lado de dicho polígono l = 3..Un buque B está navegando hacia el Sur con una velocidad de 36 Km/h..3764 cm 4. d = 7..... calcula la altura de esta torre..8 cm 12.....5 h = 62..El copiloto de un aeroplano vuela a una altura de 8..000 metros de altura sobre el nivel del mar..... ¿A qué distancia se encontrarán entre sí al cabo de 36 minutos de viaje? d = 31.....M.7255 m metros 2... L2 = 7. formando un L1 = 18.....Un observador halla que el ángulo de elevación a la cima de una torre vista desde cierto punto A es de 28º ...Las diagonales de un paralelogramo miden 24 cms.. se le ve en dirección Norte-Noreste..... A las 12 I.4558 km 6.... calcula los lados del paralelogramo... ¿Cuál es el área del terreno? A = 438......Dos lados de un paralelogramo miden 9 cms............3086 m2 8... el punto donde termina la isla tiene un ángulo de depresión de 27º.......... y uno de sus ángulos es de 128º.....84 cm ángulo de 140º.Se inscribe un decágono regular en una circunferencia de cinco centímetros de radio.. si la altura del aparato con que se midió el ángulo es de 11. d = 5. y a las 12:30 P.... 01385 m 14.63 m Sí tiene que desalojar 10. Tienes que obtener la distancia de la casa a la industria. los ángulos de elevación al remate de la torre son de 37º y 52º .0255 m calle. La distancia de un poste a otro se midió como 75.9. Calcula la altura del asta... respectivamente. y que desde otro lugar. haciendo girar la escalera sin mover su base. Enrique Rodríguez Tut .8882m Elaborado por: IQI Juan A. 11. h = 22. éste se ve bajo un ángulo de 15º.. el ángulo de elevación al tope de la misma asta es de 32º 10’.. Desde un punto del plano de la base de la casa los ángulos de elevación de la punta y base del asta son respectivamente 60º y 50º. 200 metros más cerca del fuerte. h = 17.074 m 12. desde la base del mismo edificio.268 metros.Un hombre observa desde un globo que las visuales a las bases de dos torres que están apartadas por una distancia de un kilómetro medido sobre el plano horizontal forman un ángulo de 70º .2517 m 18. d = 350. calcula la altura del globo. ¿Cuál es la altura del fuerte? h = 103. ¿A qué distancia se encuentra un punto desde el cual el ángulo de elevación del poste es de 12º 46’? d = 133..Una colina tiene una inclinación de 5º 12’ respecto de la horizontal. Trejo Peña LE.027 metros.3762 m.1337 m 13.. α = 36º 37’ 56” 15.Desde el techo de un edificio de 90 metros de altura se ve que el ángulo de depresión a la parte superior de un asta bandera es de 62º 15’. se tuvo que desalojar todas las casas que estuvieran dentro de un radio de 402 metros de distancia con respecto a la fábrica. determina la altura de la torre.. Desde dos puntos: N y G de la ladera y en línea con la torre.. Halla la altura de la casa.Un asta-bandera de seis metros de longitud se alza sobre la azotea de una casa..315 m 17. 16. h = 35. El ángulo de elevación del poste sobre el cero respecto al otro es de 28º 30’. Halla el ancho de la calle... Si N y G distan 60 metros entre sí. Si el observador está exactamente sobre la vertical del punto medio de la distancia entre las dos torres.Una escalera de doce metros de longitud puede colocarse de tal manera que alcance una ventana de diez metros de altura de un lado de la calle y. calcula el ángulo central correspondiente a un arco cuya cuerda mide 1.6 metros en terreno en nivel horizontal y además 120 metros sobre la pendiente del cerro. ¿Cuál es la distancia que cubre el cable de poste a poste? d = 180..Se desea tender un cable eléctrico entre dos postes.En una colina cuya inclinación es de 21º se levanta una torre. Un hombre vivía a 200 metros al Este y a 288 metros al Sur de la fábrica.Al aproximarse una patrulla de reconocimiento a un fuerte situado en una llanura encuentra que desde cierto lugar el fuerte se ve bajo un ángulo de 10º. h = 714. uno de los cuales se encuentra en la parte superior de un cero de pendiente uniforme.Debido a un accidente en una industria química.Si el diámetro de un círculo es de 3. Se desea saber si tuvo que desalojar su casa o no. en su cima hay un poste de 18 metros de alto. puede alcanzar una ventana que está a seis metros de altura en el otro lado de la d = 17.. Desde un punto A cercano a ésta los ángulos de elevación al pie y al tope del asta son respectivamente de 21º y 39º. los ángulos en los extremos de la base mayor son 53º y 67º .19.Un asta-bandera de doce metros de altura está sobre una torre.. los ángulos de depresión a los puntos más alto y más bajo de éste son de 20º y 38º 40’ respectivamente.. Calcula la altura del globo.Las bases de un trapecio miden 24 cm. Enrique Rodríguez Tut .Desde el extremo de un edificio se observa otro.. si los ángulos que forman con la pasarela son de 32º y 41º 50’. A = 434.Dos observadores. Calcula la distancia A a la torre y la altura de ésta. Trejo Peña LE. h = 10. y 40 cm. 20. h = 76.. respectivamente. distantes 200 metros entre sí en un plano horizontal.031 m ¿Cuál es la altura del primer edificio? 22. h = 55. h = 7.8151 m Elaborado por: IQI Juan A. Calcula la altura de la pasarela. de 30 metros de altura.35 m 21. miden los ángulos de elevación a un globo cautivo y hallan que son de 33º 30’ y 42º.-Una pasarela horizontal de veinte metros de largo uno los extremos superiores de dos planos inclinados que se apoyan en un mismo punto del suelo.29 m.62432cm2 23. Calcula el área del trapecio.