Ejercicios Estadistica

....... .) ( j a 0 c o s s a n e n c) exactamente 3 mueran • — L - A l . lanzar cuatro, monedas, ¿cuáes la probabilidad de obtener exactamente dos caras? Si en el ejercicio anterior, solo, qieremos determinar la probabilidad de que apa-, rezcan exactamente 3 caras. • . . . 3 . En el caso de un dado, se quiere determinar la probabilidad de obtener exacta" -• mente 2.cincos en 4 lanzamiento;: .- ----— r : 4. En una facultad, la probabilidad de que un»alumno apruebe el semestre es del .80%. Si consideramos 8 alumnos,¿Cuál es la probabilidad de que; . a) cios gane;:? .. _ » . b) dos pierdan? c) por lo menos dos pierdan? d)comg_máximo_6 ganen? ' ———e) seis pierdan el -semestre?" 5. Se lanza 6 veces una moneda. Encontrar la probabilidad de obtener: . . . a) exactamente 4 caras b) máximo 4 caras 6. Se lanzan 7 dados. Si el éxito consiste en sacar un 5 ó 6,-encontrar la probabilidad de obtener: a) exactamente 4 éxitos b) máximo 4 éxitos •--?.- Se sabe que en la rnanufactura de cierto articulo, uno de cada 10 resulta defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 4 artículos contena) ninguno defectuoso? 'c) exactamente dos defectuosos? r 0 r e n o s ( r e s m u e r an — — — — — ~.¿¿ - 12. Si el 20% de los cerrojos producidos poiuna máquina son defectuosos, determi-'.'"" narla probabilidad, que de 4 cerrojos elegidos al azar. —. a) Uno . b) Cero " c) Nomás "dé dos cerrojos_sean defectuosos. Se encuentran resueltos en el O que acompaña al libro. 2. j,) p"¿ j b) exactamente uno defectuoso? d)_no más de dos defectuosos? 8. Si un jugador que al batear tiene un promedio de 0,40, llega a batear 5 veces en un juego, cuál es la probabilidad de que obtenga: a) exactamente dos golpes? b) menos de dos golpes? • 9. A l lanzar 8 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener menos de 6 caras? 10. Según los registros universitarios, fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ¿Cuál es la probabilidad que de 6 (estudiantes seleccionados al azar, que hayan seguido dioho curso, menos de 3 hayan fracasado? 11. Los registros hospitalarios indican que el 10% de los casos de cierta enfermedad resultan fatales. Si hay 5 pacientes que sufren de la enfermedad, encontrar la probabilidad de que: 13. La probabilidad de que se gradúe un estidiante que ingresa a una. universidad es de 0,4. Calcular la probabilidad entre 5 anadiantes que ingresan. a) Ninguno se gradúe b) Se gradúerno c) Se gradúe al menos uno""' 14. Un dado se lanza cinco veces. Calcular líprobabilidad de que el 3 aparezca: a) una vez ~"b) "disveces —I. ~il'' c)-rres-yeces———-—-^zr^rzrr^tesa¿£CiB3Krzri: e) ninguna vez —- . ' i 15. El 10% de los artículos producidos mediente cierto proceso son defectuosos (no ' aceptables). Si se toma, al azar,- uña muestra de cuatro artículos, ¿cuál es la probabilidad de que contengan:^^ . ~— a) ninguno defectuoso? b) al menos uno defectuoso ... .' ... c) menos de dos defectuosos 16. En una fábrica el 2.0% de los artículos que produce cierta "máquina resultan defectuosos. Si 10 artículos son elegidos al azar, de todos los producidos en el día por dicha máquina, calcular la probabilidad de que haya: a) exactamente dos defectuosos " b) 3 ó más defectuosos c) más de cinco defectuosos d) ninguno defectuoso 17. Suponga que "la mitad de.'los habitanfes de cierto pueblo ven regularmente televi- --' sión. De 100 investigadores, cada uno encuesta a 10 personas. ¿Cuántos se espe--- -ra que mencionen 3 órnenos que sean televidentes regulares? ..... ,.18. En promedio cierto estudiante püéde"resolver la mitad de los problemas que se le presentan; para aprobar es necesario solucionar 7 de i 0 problemas de un examen. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen? 19. En promedio el 10% de las varillas de madera usadas en cierto producto se encuentran demasiado nudosas para ser usadas. ¿Cuál es la probabilidad de que en ' un paquete de 15 varillas: a) exactamente 5 estén demasiado nudosas,? b) por lo menos 10 estén demasiado nudosas? c) más de 4 estén demasiado nudosas? 20. Por regla, el 25% de ciertos productos manufacturados por un cierto torno, son " defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en 20 de estos productos haya: a) exactamente 15 defectuosos? b) míenos de 5 defectuosos? c) por lo menos 8 defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 500 personáis. en promedio (np) es de tres por día. c) 6. de cada 2. por minto. . dos. si se programan 1. c) 2. la probabilidad de que la adquieranexaetamente 5 personas en una población de 10. 57. Si el 3% de las bombillas fabricada. ¿cuál es la probabilidad de que: a) más de 3 casas se incendien durante el año? .000 casas en dicha zona. sean exactam:nte dos los defectuosos.000 individuos: . ¿cuál es la probabilidad de que máximo tres de ellos sufran accidente? 69.000 habitantes. se incendia durante el año. La probabilidad de que un cajero se equivoque en el pago' de un cheque es de 0. b) 1.500 vuelos en un mes: a) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente. hallar la . Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera.000 haya: a) 0. en promedio.: 72. uno de cada 150 vuelos se retrasan más de una hora. que más de 3 vuelos se retrasen en una hora? c) ¿cuál es la probabilidad de que menos de 5 vuelos se retrasen más de una hora? -— 61. Una distribución de Poisson es dada: p= ± ' cuando: a) x = 0 b) x = 1 y -o. b) por lo menos se presentan dos demandas? . en promedio. se presentan 10 accidentes cada ^semestre. seleccionados al azar. d) 3. ¿cuál es la probabilidad de obtener: a) dos o menos artículos defectuosos? b) más de dos defectuosos? -70. en un país X es de tres por cada 100. b) 1. 5i hay 6. f) 5. determinar la probabilidad de que en un día dado. en promedio.000 vacunados? 62. Hallar la probabilüad que de una muestra de diez utensilios. d) 8. Eritre las 2 y las 4 de la tarde. La empresa tiene 10.0005. » /.-Las estadísticas sobre la-aplicación de normas de seguridad en una fábrica indican •que.64. Suponga que una empresa aérea. d) 3 llamadas. ¿Cuál es la probabilidad de que en 800 cheques pagados por dicho cajero: a) por lo menos se equivoque en el pago de tres cheques? b) máximo se equivoque en dos cheques? 73. a) no se presente ninguna demanda? . haya: a) no más de tres atracos b) a lo más dos atracos '68. ¿cuál es la probabilidad de que por lo r. 60.'. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero es 0.000 individuos: a) exactamente 3 tengan reacción.) y o 63. mediante: " a) distribución binomial b) distribución de Poisson.72 > c) x = 2 Hallar la probabilidad d) x = 3 65. . por año. — Se encuentran resueltos en el C I que acompaña al libro. Si 1. Supongamos que. 71. Utilizando la distribución de Poisson. Utilice la distribución de Poisson para determinar la probabilidad de que no haya más de dos accidentes de trabajo en un trimestre. — —• • — a) exactamente 3 tengan reacción b) más de 2 individuos tengan reacción. una caá. a) más de dos mueran? b) oomo máximo dos mueran? . por una compañía son defectuosas. b) exactamente dos-se incendien durane el año? 67. 56. Una compañía de seguros considera qie solamente alrededor del 0. b) 2. Hallar la probabilidad deque en • un determinado minuto haya: a) 0. Se toma una muestra de 1. e) 4.000. determinarla probabilidad que de un total de 2.000 asegurados contra este tipo de accidentes. í) menos de 3 ahogados por año. es 0. e) entre 4 y 8. Si la probabilidad de que un indivicuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero es 0.000 vehículos tnnsitan por la autopista durante cierto día. _— s 59. El número de demandas presentadas a una compañía de seguros. La tasa de mortalidad de cierta enfermedad es de tres por mil.01% de la población le ocurre cierto tipo de accidentes cada año. Hallar la probabilidad de que en una ciudad cuya población es de 200.001. sean defectuosos. Si la probabilidad de que una persona adquiera la enfermedad como consecuencia de una vacuna contra la misma.3. el 24% de defectuosos. b) más de dos individuos tengan reacción.tienen problemas Con las llantas" en una autopista.500 artículos de un lote de producción que arroja . el promdio de llamadas telefónicas que recibe un conmutador de una empresa. El número de ahogados en un accidente. probabilidad de que en una muestrí de 100 bombillas: a ) 0. _vuelos-se retarden-más de una— hora? < ' _ • b) ¿cuál es la probabilidad. es 2.0001 ¿Cuál es.001. U n 10% de los utensilios producios en un cierto proceso de fabricación resultaser defectuoso. Él promedio de atracos en cierta ciudades de dos por día.enos dos vehículos tengan problemas con las llantas? "7* (Jj6.000 vehícilos. Supongamos que -de cada 5. deteminar la probabilidad que de un total de 2. 58.5. c) 2. en cierta zona de Buenos Aires. ' ] 1 . g e o m é t r i c o u o t r o .. S u p ó n g a s e t a m b i é n que los valores se asumen con probabilidades dadas p o r 3 : P(X = ¿) k =¡ f( ) función de probabilidad. x . A s í en el caso de C C (eo decir 2 caras) X — 2 en tanto que para S C (1 cara) X = 1. 1 i I .• . .CS. Supóngase que se lanza una moneda dos veces de tal forma que el espado muestra! es cT [CC.1 SC ' SS 0 '\ 1-i Debe observarse que también podrían definirse otras muchas variables aleatorias en este espacio muestra!. E n general una variable aleatoria tiene algún significado f í s i c o . definida p o r P(X='x) Para x = x k i !• k = 1. U n a variable aleatoria que t o m a u n n ú m e r o finito o i n f i n i t o contable de valores (véase pagina 4) se denomina variable aleatoria discreta mientras que una que t o m a u n n ú m e r o i n f i n i t o n o Contable de valores se llama variable aleatoria no discreta ó continua. .2.\. A s í d e f i n i m o s una función en el espacio muestra!. Xk = f(x) (2) se reduce a| (1) en t a n t o que para otros valorea de x. f(x) — 0. SS). Con cada punto muestra! podamos asociar un n ú m e r o para X como se muestra en la Tabla 2-1.. Es conveniente i n t r o d u c i r la probabilidad. ••• I' ¡ ' ' I i • ¡. . . i\ . C o m ú n m e n t e se denote p o r u n a l e t r a m a y ú s c u l a c o m o X ó Y. •' • • j ' ¡ Ü . Se concluye que 'X es una variable aleatoria. SC.uapílálo -2 mimmm©m ¡ 0B0 i pr© a >iiidcio . ¡ ] E J E M P L O 2.:. l ! = Tabla 2-1 Punto muestra! • X' ¡j CC CS i 2 ." S u p ó n g a s e que a cada p u n t o de u n e s p a c i ó muestra! asignamos u n n ú m e r o . ! '. 'Represéntese por X el número de caras que pueden resultar. ' ' i ! I. ' 1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA Sea X una variable aleatoria discreta y s u p ó n g a s e que los valores posibles que puede tomar e s t á n dados por x .} i ' • : |. ordenados en orden creciente de m a g n i t u d . : I ' i .1. etc.'.' por ejemplo el cuadrado del numero de caras. . x-¡. Esta f u n c i ó n se llama variable aleatoria (o variable estocástica) o m á s precisamente función [aleatoria (función estocástica). ! E n general f(x) es una f u n c i ó n de p r o b a b i l i d a d si 2 - t a m b i é n conocida c o m o la /(«) 3® fRíi tlr r i (1) listribución de (2) . . el n ú m e r o de caras menos el n ú m e r o de sellos. (Í) F(x) • = P ( X S s ) = £ / ( « ) donde la suma a la derecha se t o m a para todos los valores de u para los cuales u S x. 2-1 Espectro •• P U N C I O N E S D E D I S T R I B U C I O N P A R A V A R I A B L E S A L E A T O R I A S D I S C R E T A S L a función. 2-1 la suma de las ordenadas es 1 mientras que en el histograma la suma de las áreas rectangulares es 1. 2-2. 2] donde la suma en 2 se t o m a sobre los valores posibles de x. E n el caso del histograma podemos considerar la variable aleatoria X como continua. ' (o) Suponiendo que la moneda es honrada tenemos ~ P( C C ) P(CS) P ( X = 1) P(SS) - II i ' Luego P(X-O) P(SC) = P(SS) = Tabla 2-2 P ( C S ) -f. . 0 i 9 1/4 1/2 1/4 Así.1 y (b) construir la gráfica da probabilidad. R e c í p r o c a m e n . te la f u n c i ó n de probabilidad puede obtenerse de la f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n . de distribución acumulada!. j . .'x„ entonces la f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n e s t á dada por 7 0¡ -oo /(*> F(x) = X\ < X < x < Xi Xz (5) /(Xl)'+/( ' + • • • ' + f(Xr) £„ S í < M . .VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DEPROBABILIDAD CAP. . x . (o) Hallar la función de probabilidad correspondiente a la variable aleatoria X del Ejemplo 2. es decir -*. la función de probabilidad está dada en la Tabla 2-2 (6) La gráfica de probabilidad puede representarse como se indica en la Fig. | I. 1 '.5 y 1. E n la Fig. por ejemplo X = 1 significa que está entre 0. para una P{X S i ) = F.51 /(*) g. de E J E M P L O 2.{x) donde x es cualquier n ú m e r o real.'.i I ' de distribución. | Si X ú n i c a m e n t e t o m a un h ú m e r o f i n i t o de valores x ¿ .P(SC) P( CS u SC) P ( X = 2) = P ( C C ) = i• = i + ± 1 /(«}.. variable a l e a t o r i a X se define por o simplemente la función ¡.« < x < °°. U n a gráfica de f(x) se llama gráfica probabilidad. l i a f u n c i ó n de d i s t r i b u c i ó n obtenerse de la f u n c i ó n de p r o b a b i l i d a d notando que : j puede sde. 2-1. o por un histograma.2. como se indica en la Fig. águila o sello. ya. etc..Jfáge 1 oí 6 111 las distribuciones discretas a tratar en este caso están: Entre I ! I Binómial Multinomial . que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda. lo primero que hay que hacer es . y podemos decir que efectivamente así es. de ahí se obtendrá el espacio miiesíral y " írmemte la probabilidad ©edida. en donde representaremos los tres lanzamientos. no defectuoso.un diagrama' de árbol. 'ejem. * i b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes. •-•A partir de un ejemplo'. Defectuoso. siempre se esperjan dos tipos' i ¡de resultados. Desarrollaremos una fórmula que nos permi problema que tenga este tipo de distribución. \ Ejemplo: ' IJ • Antes ae empezar a resolver est como un problema que tiene una distribución binoraial.edu. o repeticiones del experimento son independientes . D I S T R I B U C I Ó N BÍNbWTÍAL.i^ A 13/02/2008 . etc. 3t Hipergeométrica 4i Hipergeoinétricsi generalizada 11 PotSSOUj 6! 71 3: . pasaj no pasa. es decir.. c) Cada uno de los ensayos. denominados ^arbitrariamente "éxito" (que es lojlque se esfera que ocurra) o "fracasó"'(lo contrario del éxito).d) El número de ensayos o Repeticiones'del experimento (n) es constante. Las características de esta distribución son: • j l-J a) j En los experimentos que tienen este tipo de distribución.lHj 1. cutas probabilidades de ocurrencia son ÍS es inc o repeticiones : j Para dar solución a este problema. ¡usando la fórmula corresi 1/2 http://www. i i Aproximación de Pdissor Geométrica Biuomial N egativ a líí ¡Liilíi.itch. no .