COLECCIÓN DE PROBLEMAS DE DINÁMICAColegio Retamar NIVEL I (34 ejercicios) 1. La resultante de las fuerzas que actúan sobre un móvil puntual es de 200 N y es constante en módulo )⃗ ( dirección y sentido. La velocidad del móvil es ⃗ ( ) ⃗ ms-1. Calcule la masa del móvil y exprese vectorialmente la fuerza que actúa sobre él. 2. Un trineo desliza sobre una superficie de hielo que tiene una pendiente del 10%. Si el coeficiente de rozamiento entre el trineo y el hielo es 0,07, calcule la velocidad del trineo a los 10 s de iniciado el movimiento. 3. En la caja de un camión de 3 t está depositado un bulto de 100 kg. El coeficiente de rozamiento entre el paquete y el camión es 0,1. Calcule la aceleración que adquirirá el paquete cuando el camión arranque con una aceleración de 2 ms-2. ¿Qué le ocurrirá al paquete? 4. Un bloque A de 4 kg descansa sobre otro B de 10 kg. El coeficiente de rozamiento cinético de B con el suelo es 0,1 y el coeficiente estático de A con B es 0,3. Se quiere empujar el conjunto con una fuerza F sin que A deslice sobre B, empujando sobre B. ¿Cuál es el valor máximo de F? 5. Un lanzador de jabalina llega a la posición de lanzamiento con una velocidad de 5 ms-1 y queda justo en la posición adecuada para aplicarle toda su fuerza, lanzar el artefacto y lograr su medalla olímpica. La jabalina (m = 800 g) sale de su mano a una velocidad de 28 ms-1. Estimando que el tiempo que dura el movimiento del brazo de lanzamiento dura un tiempo 0,02 s, calcule la fuerza F que ha aplicado el atleta sobre la jabalina. 6. Una vagoneta ferroviaria de 1500 kg se mueve por una vía horizontal con una velocidad de 3 ms-1. De la parte trasera de la vagoneta cuelga una cuerda que tiene una resistencia de 350 N. 6.1. ¿Durante cuánto tiempo será necesario estirar de la cuerda, sin que se rompa, para que se pare la vagoneta? 6.2. ¿Durante cuánto tiempo será necesario estirar de la cuerda, sin que se rompa, para que se pare la vagoneta? 7. Cuando el pie de un futbolista golpea muy fuerte un balón parado, lo “acompaña” impulsándolo durante un tiempo, que podemos suponer de 10 ms. Muchos jugadores consiguen dar al balón (de masa 0,43 kg) una velocidad inicial de 100 km/h. Calcule: 7.1. El momento lineal que imprimen al balón. 7.2. El valor de la fuerza media F durante el contacto. 8. Un coche a 80 km/h choca de frente contra una pared, se deforma mucho y se acaba parando. Todo lo que hay dentro del coche, incluido el conductor que va bien sujeto con el cinturón de seguridad, recorre una distancia de 1 m antes de detenerse por completo. 8.1. Calcula la duración del choque. 8.2. Calcula la aceleración del coche durante el frenado. 9. En un parque de atracciones hay un cilindro, de radio 4 m, dentro del cual se colocan varias personas apoyadas en su pared interior. Cuando el cilindro gira alrededor de su eje las personas que están en el interior quedan apretadas contra la pared. 9.1. ¿Cuál es la mínima velocidad angular del cilindro para que pueda girar en un plano vertical sin que nadie se separe de la pared en el punto más alto? 4 m de radio. Del techo de un tranvía pende una esfera colgada de un hilo. En el supuesto anterior. hasta llegar a detenerse.3 y μk = 0. 14. de coeficiente de fricción estático y cinético μs = 0. describe una trayectoria cuyas ecuaciones paramétricas son: x = 2 + 5t − 2t2 m e y = t2 m. Si la fuerza F actúa durante 3 s solamente.1. Un cuerpo de masa m = 1 kg es empujado por una fuerza horizontal F de módulo 15 N. mediante una cuerda de largo 40 cm. La fuerza resultante sobre el bloque si F = 45N. ¿Cuál será el ángulo que se desvía el hilo de la esfera en estas condiciones? 11.1. Determine la fuerza aplicada sobre el cuerpo en t = 2s. La tensión en los extremos superior e inferior de la cuerda. se pide calcular: 12.2.25. Si sobre el cuerpo se aplica una fuerza horizontal de valor F. Si la rapidez angular es constante y de magnitud 30 rad·s−1. calcule: 17. Un cuerpo de masa 16 kg. La distancia horizontal que recorre el cuerpo. 17. de modo que describa una trayectoria circular en un plano vertical. La aceleración centrípeta en el punto más alto de la trayectoria. 11. respectivamente. desde el pie de un plano inclinado en 37° respecto a la horizontal y cuyo coeficiente de rozamiento cinético es 0. Si la plataforma comienza a moverse verticalmente de modo que su desplazamiento es y(t) = A sen (ωt) siendo A y ω constantes y t el tiempo. La magnitud mínima de F para poner en movimiento al cuerpo. Determine la condición que deben cumplir esas constantes para que durante el movimiento de la plataforma la partícula se despegue de ella. 11.1.2. 15.2. La aceleración del sistema.1. 12.035. Si se aplica al bloque superior A una fuerza vertical de módulo 480N. 15.2. ¿qué fuerza ejerce el cilindro contra una persona de 60 kg en el punto más bajo de su trayectoria? 10. Demuestre que el coeficiente de roce entre el disco y el hielo es 0. determine: 11.9. El tranvía lleva una velocidad de 9 km/h y toma una curva de 36. Una partícula descansa sobre una plataforma horizontal inicialmente en reposo. si F = 80N y actúa sólo durante 4 s. están unidos por una cuerda cuya masa total es m = 8 kg como se indica en la figura. . Dos bloques A y B de masa mA = 14 kg y mB = 10 kg. se encuentra sobre una superficie horizontal áspera. 13. Una partícula de masa 25 g se hace girar. La distancia que alcanza a subir por el plano. determine: 15. Un cuerpo de masa 8 kg.3. El tiempo que tarda en volver al punto de partida.2. 16. 12. Un disco de hockey abandona el palo de un jugador con una rapidez de 5ms−1 y desliza 36m antes de detenerse. Calcule: 25. 18. Una partícula da vueltas por el interior de un aro liso vertical de radio R que tiene su plano vertical. La tensión en la cuerda.1. determine el punto donde se pierde el contacto.1. 22. si la rapidez en el punto más bajo es v0 determine la reacción normal N en función de θ. 18. L y θ. El trabajo realizado por la fuerza F en el intervalo 0 − 3 s. sometida a su peso y a la reacción normal. La tensión en el punto más bajo de la trayectoria.2. 24. Calcule: 18. Sea θ el ángulo formado por la cuerda y la vertical.3. El plano gira junto con el bloque en torno a un eje vertical con rapidez angular ω = 1 rad·s−1. Respecto a la situación del problema anterior.1. desde que se lanza hasta que adquiere la altura máxima. se lanza desde el origen de un sistema de coordenadas.2.17. determinar: 19. 24. Un bloque de masa 5 kg. La partícula se mueve sobre un plano horizontal áspero. está girando en un círculo horizontal con rapidez constante v0. formando un ángulo α = 37° con la horizontal. La velocidad angular para la cual el bloque pierde contacto con el plano. 25. Despreciando el peso de la cuerda. 21. actúa una fuerza F desconocida. Una pelota de peso W está unida a una cuerda de longitud L y está moviéndose como péndulo cónico. 19.1. La energía mecánica del proyectil después del lanzamiento. 25. con rapidez v0 = 100 ms−1. Respecto a la situación del problema anterior. Un proyectil de masa m = 1 kg. de acuerdo a la ecuación itinerario x = 3+t2 donde x está en metros y t en segundos. unida a un eje vertical eje mediante una cuerda de longitud √ m. .2. Sobre una partícula de masa m = 2 kg. 20. Determine la velocidad mínima que debe tener la partícula en el punto más bajo para que la partícula realice vueltas completas sin perder contacto con el aro.2.3. Una partícula de masa m se coloca en el punto más alto de un hemisferio liso de radio R y se perturba levemente de modo que ella comienza a caer deslizando. La rapidez v0 en función de g. 23. La energía cinética del proyectil en el punto de impacto contra el suelo. El coeficiente de roce cinético entre el plano y la partícula es μk = 0. si la velocidad en el punto más bajo es la 3/4 de la mínima calculada. La tensión de la cuerda. Determine el punto sobre el hemisferio donde la partícula pierde el contacto con él. El trabajo realizado por la fuerza neta que actúa sobre el proyectil.2. 24. descansa sobre un plano inclinado 30° con la horizontal. calcule: 24. La energía cinética de la partícula en el instante t = 3s. Es decir. Si se desprecia la resistencia del aire. 19. Determinar la fuerza que deben soportar los pernos de unión al eje.1. Al llegar abajo. Como consecuencia del impacto la bola se desvía 30º. 34. Determinar a qué altura llegará en el segundo plano. Un bloque de masa m = 10 kg se encuentra en reposo comprimiendo a un resorte de constante elástica k = 2000 Nm−1 en 1 m respecto a su largo natural como se indica en la figura. 32. sube una altura h. Por efecto del choque el sistema “saco + bala”. . Se deja caer un cuerpo de 3 kg por un plano inclinado 60º y desde una altura de 10 m. suspendido formando un péndulo.26. Determinar la altura a que se elevará el bloque después del impacto y la fuerza resistente de la madera a la penetración si la bala penetró 12 cm. Un móvil parte con velocidad inicial V0 y está sometido a una aceleración constante. En ambos planos el coeficiente de rozamiento es 0. Determinar las ecuaciones del movimiento. 27. determinar la aceleración del sistema. g. Una bola se mueve por un plano con una velocidad de 5 ms-1 y choca elásticamente con otra bola igual en reposo. choca y se empotra contra un bloque de madera de 5 kg. Tres partículas iguales están inicialmente en línea recta. Una partícula de masa m (una bala) se acerca horizontalmente con rapidez V y se incrusta en un saco de arena de masa M que cuelga de un cordel de longitud L. y a un rozamiento proporcional y opuesto a la velocidad. Un cuerpo de 60 kg está en reposo sobre un plano inclinado 60º y está unido mediante una cuerda sin masa a otro cuerpo de 70 kg que está en un plano inclinado 30º. Una bala de 5 g lleva una velocidad de 400 ms-1. 29. La partícula del medio está inicialmente está en reposo. 28. Determine la velocidad de la bala. el plano asciende formando 30º. Las aspas de un molino son uniformes de masa 200 kg y de longitud 7 m. Si el coeficiente de rozamiento en ambos planos es 0. 31. respecto a su altura inicial. Determine la máxima altura que sube el bloque respecto a su altura inicial. Determinar las velocidades de las bolas después del choque.2. igualmente espaciadas sobre un plano horizontal liso y unidas por dos hilos de largos “a“. Si el cuerpo se suelta comienza a subir por el plano inclinado liso que se ilustra en la figura. No hay roce. 30. Calcule la velocidad con que chocan las partículas. Sus extremos giran a una velocidad máxima de 36 km/h. 33. y a las partículas externas se les da una velocidad V0 perpendicular a la línea que las une. Sobre una partícula que se mueve sobre el eje X.2.001 g s−1.2 s. 36. 39. ¿Se conserva la cantidad de movimiento y la energía mecánica del sistema? . La longitud mínima que alcanza el resorte. 37.1. y que la velocidad inicial es v0. 37. La rapidez de la partícula en el punto C.2. ¿Cuál es la velocidad del balde justo cuando queda vacío? 39. La rapidez de la partícula cuando t = 0. Una gota de agua de masa 0. Si en t = 0. determine la posición de la partícula en t = 0. 39.1.NIVEL II (5 ejercicios) 35. El vapor de agua se condensa en ella a razón constante de 0. pero pierde agua a razón constante de σ kg·s−1 de modo que después de cierto tiempo. Calcule: 35. La velocidad en función de t. x0 = a. ⃗ Se sabe que en t 38.2. la rapidez de la partícula es 40 ms−1. donde F está medido en N y t en s. La velocidad en función de x. el balde queda vacío. La rapidez de la partícula en el punto B.5. Inicialmente el balde contiene una masa m0 de agua. Un bloque de masa m = 2 kg parte del reposo en A ubicado a 2 m de altura y baja deslizando sobre una curva que a nivel del suelo continúa en línea recta. x = 0. Una partícula de masa 1kg. Hay rozamiento solamente en el tramo CB donde μK = 0. 37. 35.2 s. Un balde de masa m está siendo tirado hacia arriba por una cuerda la cual ejerce una fuerza de magnitud constante F. 37. Determine: 37. Considerando en reposo el vapor. determine la rapidez de la gota al cabo de 10 s.1.2. Pasado el tramo con roce el bloque comienza a comprimir un resorte de longitud natural 2 m y constante elástica k = 10Nm−1 hasta detenerse e invertir su sentido de movimiento. La ubicación del punto entre C y B donde finalmente se detiene el bloque.1. Cuando t = 0.1g se deja caer desde cierta altura en un ambiente de vapor de agua.4. Calcule: 36.3. actúa una fuerza dada por ⃗ = 0. 36. se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de una fuerza cuya magnitud es F = 4π2 sen (8πt) . Demuestre que: 44. determine la altura que sube la cadena en función del tiempo. 46. 44. demuestre que ella llegará al origen en un tiempo t .2. determine las expresiones para la posición de la partícula en función del tiempo. dado por √ 41. El trabajo total que realiza la fuerza resistente. supuestamente muy larga de tal modo que siempre queda cadena depositada. amortiguado crítico y sobreamortiguado. Una partícula de masa m se mueve en el plano XY tal que: ⃗ constantes positivas. Determinar las ecuaciones del movimiento a partir de este momento.NIVEL III (22 ejercicios) 40.4. Al llegar al plano horizontal su velocidad es v0. La distancia total que recorre la partícula. Una partícula de masa m. Si ( ) √ ∫ ⃗ ⃗. 43. Encuentre la trayectoria de la partícula. donde A y B son √ ( ) y en t = 0. 47.3. Un tren de longitud l y masa por unidad de longitud d. Calcule la fuerza que actúa sobre la partícula. realizando n oscilaciones completas por segundo.3. La energía cinética de la partícula en la mitad del recorrido.2. 45. Calcule el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se mueve de A hacia B. desciende sin impulsarse y sin rozamientos por un plano inclinado constante. 43. Demuestre que el hilo permanecerá tenso siempre que . sometido a una fuerza de atracción hacia el origen de magnitud k/x2. en los tres casos: subamortiguado. Si la cadena se levanta de un extremo aplicando una fuerza constante F hacia arriba. Si la partícula parte del reposo en x = a. Calcule: 45.1.2. Un cuerpo se ata a un extremo de un hilo inextensible y el otro extremo del hilo tiene movimiento armónico simple vertical de amplitud a. Demuestre que la fuerza es conservativa. La energía total de la partícula. 45. Una partícula de masa m. Una partícula de masa m se mueve en una línea recta (en el eje X) sometida a una fuerza elástica −Kx y a una fuerza de roce viscosa de la forma −2βV.1. se lanza con rapidez inicial v0 sobre un plano horizontal liso. 43. Una partícula de masa m se mueve sobre el eje X de un sistema de coordenadas.1. El aire ejerce sobre la partícula una fuerza resistente proporcional a la velocidad con constante de proporcionalidad k. demuestre que √ 45. Si inicialmente la velocidad es V0 y la posición es 0. se mueve por la acción de una fuerza conservativa cuyo potencial es U(x).5. 43. 42. donde k es una constante positiva. 43. 43. Una cadena de longitud L y masa total M está amontonada sobre el suelo. Discuta sobre la altura máxima que alcanza la cadena. x = a y v = 0. Si en t1 la partícula está en x1 y en t2 está en x2: 44.6. ¿Cuál es la energía potencial en x = A e y = B? 43. 51. Está sometida únicamente a una fuerza central de atracción hacia 0 0 el origen de coordenadas y de magnitud proporcional al módulo del vector de posición. con constante de proporcionalidad k. encontrándose la partícula en el punto A. Velocidad de la partícula cuando esta pase por la posición opuesta de la situación inicial respecto del punto O (intersección con la recta de dirección OB). Las masas apoyan sobre una superficie en forma de cuña que forma un ángulo α=30º con la horizontal. En un determinado instante. Tensión del hilo en dicho momento. 53. el hilo está arrugado. En la posición inicial. Un globo cuyo peso total es W.48. como se muestra en la figura. En el instante inicial. y se mueve en el plano XOY. Expresión de la fuerza sobre la partícula. Se tiene el sistema de la figura donde un bloque de masa M se mueve unida a dos resortes iguales de largo natural l0 y constante elástica K. Obténgase: . t = 0. 52. está sujeto a la acción de una fuerza ascendente vertical constante P. Si se le comunica una velocidad inicial v0 normal al vector OA.2.1. sin rozamiento. x indica el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio. ¿Qué cantidad de lastre debe arrojarse fuera del globo para que éste se eleve con aceleración constante de magnitud a? No considere la resistencia del aire. a una distancia L/2 del punto O. 51. Un bloque de masa m se halla situado sobre un bloque en forma de cuña. Vector aceleración.4. 0) con velocidad inicial v = v j . No hay rozamiento.3. 49.1. con ángulo de inclinación α. 52. La masa puntual de valor m está unida a un punto fijo O por un hilo ideal de longitud L. El conjunto se encuentra en un plano horizontal. calcúlese: 52. Trayectoria. una partícula de masa m se encuentra en el punto (a. Un sistema está constituido por dos masas de idéntico valor m unidas mediante una cuerda que pasa por una polea ideal.2. El coeficiente estático de rozamiento entre la masa m y la cuña es µe. Determínese el mínimo valor del coeficiente de rozamiento estático μ que permite el equilibrio del sistema. 51. en coordenadas cartesianas: 51. representada en la figura. 51. Calcular. Entre los bloques y la superficie en forma de cuña existe rozamiento. 50. Vector velocidad. Determine la frecuencia y periodo del movimiento del bloquea partícula. incluyendo el lastre. Si el sistema se coloca en movimiento. con el mismo coeficiente para los dos bloques. que se mueve sobre una superficie horizontal con aceleración constante a0 desconocida hacia la izquierda. el globo comienza a descender con una aceleración constante de magnitud a. 2.2. El valor de a0 máximo que permite que la masa m esté en reposo relativo respecto de la cuña. La cuña apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento y se halla sometida a una fuerza horizontal de valor F dirigida hacia la derecha.1.2.53. 54.1. La aceleración absoluta de la masa m. La aceleración y velocidad de la masa m respecto de la cuña. 54. El sistema de la figura está constituido por una masa rectangular de valor m y otra en forma de cuña de valor M que forma un ángulo α con la horizontal. El sistema está inicialmente en reposo. El sistema de la figura está constituido por una masa rectangular de valor m y otra en forma de cuña de valor M que forma un ángulo α con la horizontal.2. 55.2. 55. 55. . 55. El sistema está inicialmente en reposo.3.2. Obténgase: 54. Entre ambos bloques no existe rozamiento. La aceleración y velocidad de la cuña. 55.4. Condición que debe cumplir la aceleración de la cuña para que la masa m esté en reposo relativo respecto de ésta. 53. La aceleración de la cuña. El valor de a0 máximo que permite que la masa m esté en contacto con la cuña estando en reposo o movimiento relativo respecto de ésta. En el supuesto de que no se dé esa condición: 55.2.1.2. Entre ambos bloques existe rozamiento dinámico de coeficiente μd y estático μe.1. Distancia horizontal recorrida por la cuña en función del tiempo. La aceleración de la masa m respecto de la cuña. La cuña apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Obténgase: 55. 57. Obténgase: 58.55.2. Una polea ideal de cuerdas ideales se halla colgada dentro de un ascensor que asciende con aceleración a0. Determínense: 56. Valor de θ para el cual la partícula pierde contacto con la superficie si parte inicialmente de una posición muy próxima a θ = π/2 con velocidad nula. El sistema se encuentra inicialmente en reposo relativo respecto del ascensor. Distancia vertical recorrida por la masa m respecto de la cuña en función del tiempo suponiendo que inicialmente se halla a una altura y0. Una partícula de masa m se mueve sometida a la acción de un campo de fuerzas conservativo describiendo las ecuaciones paramétricas: X = 2sen t Y = cos 4t donde t es el tiempo y x e y las coordenadas de su posición en un sistema cartesiano. Su posición viene definida por el ángulo θ de la figura.1. Obténgase: 57. La partícula sufre una fuerza proporcional a la separación del eje Y con constante de proporcionalidad k y de sentido negativo al eje x ( ⃗ ⃗). Entre la partícula y la superficie no hay rozamiento. Velocidad de las masas relativa al ascensor al cabo de un tiempo t. 58.1. Los valores de θ en los cuales la partícula se halla en equilibrio.3.5. 58. Una partícula de masa m está situada sobre un semicírculo de radio R. 56.2. Tensión de las cuerdas. 57.1. El trabajo realizado por el campo de fuerzas sobre la partícula desde el instante t=0 y t=π/4. 57.2. De cada una de las cuerdas cuelgan dos masas de valores m1 y m2 diferentes.2. Ecuación de la trayectoria. Valor de la fuerza en función del tiempo y en función de las coordenadas x e y. . 56. 1. Una masa m se halla colgada del techo por medio de un muelle de constate elástica k y longitud natural L0. Se lanza desde el puente (posición x=0 medida en el sistema de referencia de la figura).1. 61. La solución de las ecuaciones de movimiento del joven hasta que la cuerda se estira. La solución de las ecuaciones de movimiento si se suelta desde una posición x=0 medida en un sistema de referencia colocado en el techo tal y como se muestra en la figura.3. La solución de las ecuaciones de movimiento después de que la cuerda se estira y hasta que alcanza de nuevo su longitud natural suponiendo que ponemos a cero el contador de tiempos justo cuando esta se estira x(0) = L0. En instantes posteriores 2 . La posición de equilibrio respecto de un sistema de referencia colocado en el techo.2. 59.2. 60. 60. Obténgase: 60. 59.58. Obténgase: 59. Un joven de masa m = 70 kg hace puenting con una cuerda elástica de constate elástica k=10 Nm-1 y longitud natural L0 = 10 m. Desplazamiento de las masas relativa al ascensor al cabo de un tiempo t. El tiovivo empieza a moverse con una aceleración angular α = 1 rad/s antihoraria según se indica en la figura. Un niño de masa m se halla sobre un tiovivo a una distancia R de su centro. el niño se mueve rígidamente unido al tiovivo gracias a una fuerza de rozamiento estático de coeficiente µe. .2.1. Instante en el que el niño empieza a deslizar sobre la plataforma. Valor de las fuerzas reales que actúan sobre el niño en función del tiempo. Valor de las fuerzas de inercia que mide un observador ligado al tiovivo y con origen en su centro O’ en función del tiempo. 61. Obténgase: 61.3. 61.