Dibujo Técnico IIRicardo Moreno Luquero, Colegio Retamar, Madrid DIBUJO TÉCNICO II EJERCICIOS PROPUESTOS 2º de Bachillerato Ricardo Moreno Luquero Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero, Colegio Retamar, Madrid TEMA 1 TRAZADOS EN EL PL AN O 1. Dibujar el conjunto de puntos desde los que se ven a un segmento de 3 cm bajo un ángulo de 70º. 4. ¿Cuánto han de valer los ángulos α y β para que el cuadrilátero ABCD sea inscribible en una circunferencia? α β 60º 2. Construir un triángulo conociendo la longitud de un lado 6 cm, el ángulo opuesto 60º y que la altura desde ese vértice es 4 cm. 70º 5. A la vista de la figura adjunta y teniendo en cuenta los valores acotados en los ángulos, deducir razonablemente y en este orden los valores de los ángulos α, β, γ y δ. β δ α γ 3. Construir un triángulo conociendo la longitud de un lado 5'5 cm, el ángulo opuesto 45º, y la longitud 6 cm de la mediana que llega al lado dado. 90º 30º 45º 2 Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero, Colegio Retamar, Madrid 9. Los segmentos AB y BC son lados de dos triángulos que tienen un lado común BD. Dibujar ambos triángulos sabiendo que los ángulos ABD y BDC valen 30º. 6. Dibujar un cuadrilátero inscribible ABCD del que se da en posición y magnitud el lado AB. Se conocen además los lados BC = 60 mm, AD =45 mm y el ángulo A= 120º. B A A 7. Los puntos A, B y C son tres vértices del cuadrilátero convexo ABCD inscrito en una circunferencia. Dibujar dicho cuadrilátero sabiendo que el lado CD mide 40 mm. B C A 10. Desde un navío se divisan los faros F y P formando un ángulo de 60º y las posiciones del faro P y la colina C formando un ángulo de 45º; ambas mediciones se realizan en un plano horizontal. Determinar la posición del navío. C F P B C 8. Hallar los punto del plano desde los que se ven bajo un ángulo de 45º los segmentos AB y BC. 11. Dadas las circunferencias C1 y C2 hallar los puntos del plano desde los que se ve a C1 bajo un ángulo de 60º y a C2 bajo un ángulo de 90º. Se recuerda que un punto ve a una circunferencia bajo un ángulo α cuando las tangentes trazadas desde el punto a la circunferencia forman un ángulo de valor α. O1 A B O2 C1 2 3 Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero, Colegio Retamar, Madrid 15. Construir un cuadrilátero ABCD tal que AB= 75 mm, <DAB=75º, <BCD=105º, <DCA=15º y AD=CD. 12. Dibujar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 80 mm, y la altura sobre ella sea de 35 mm. 13. Dado el triángulo ABC, hallar un punto de su interior desde el cual se vean los tres lados bajo el mismo ángulo. A 16. Sea AB el diámetro de una circunferencia. Tracemos una cuerda arbitraria AC que sale de A. Prolonguémosla una cantidad CM=CB. Hallar el lugar geométrico del punto M. C B C A B 14. Construir un cuadrilátero inscriptible en una circunferencia de modo que AB= 20, BD= 60 y AD = 50 mm, siendo BC=CD. 17. Dado un punto P en el plano de un círculo, ¿Cuál es el lugar geométrico del punto medio M de las cuerdas que pasan por P? P M 4 Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero, Colegio Retamar, Madrid 19. Los puntos A y B son dos puntos fijos de una circunferencia y CD es una cuerda de longitud constante que ocupa todos las posiciones posibles en la circunferencia. Hallar los lugares geométricos de los puntos M y N. 18. Un ángulo constante α pivota alrededor de su vértice V que está en una circunferencia fija. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios P de las cuerdas AB que sus lados interceptan en la circunferencia? V α C A P M D B A B 5 Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero, Colegio Retamar, Madrid TEMA 2 PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA 1. Inscribir un cuadrado en el triángulo dado. 3. Construir un triángulo semejante al ABC y que tenga de perímetro 180 mm. A C B 2. Hallar gráficamente el perímetro de un triángulo A'B'C' cuyo lado mayor mide 50 mm, sabiendo además que es semejante a otro triángulo ABC cuyos lados miden a = 35 mm, b = 30 mm y c = 25 mm. 4. Inscribir en el triángulo ABC, en la forma que indica la figura explicativa, un rectángulo en el que un lado es los 2/3 del otro. C 2 3 l l CROQUIS A B 6 Madrid 5. 6. Colegio Retamar. Dividir áureamente un segmento AC = 40 mm. Dibujar todos los cuadrados ABCD tales que el lado AB quede contenido en r y el vértice C opuesto al A quede contenido en r'. Los dos herederos de un terreno triangular ABC. 9.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. deciden dividir en dos partes iguales con un lado paralelo a AC. inscribir en ella un rectángulo que tengo un lado doble del otro. Dado un segmento b = 50 mm. hallar gráficamente los segmentos a y c sabiendo que a es el segmento áureo de b y que b es el segmento áureo de c. 11. Determinar los divisiones del terreno. r' r A 7. 7 . C 12. Conocemos las rectos r. que sólo tiene acceso desde la calle del lado AB. Dado la circunferencia C. r' y un punto A situado sobre r. A B 8. de forma que ambos tengan acceso desde dicha calle. Construir un rectángulo áureo conociendo la medida de los dos lados mayores = 60 mm 10. Dibujar un triángulo isósceles de perímetro 18 cm y cuyos lados iguales sean cada uno segmento áureo de la base. Dibujar un triángulo isósceles de perímetro 10 cm y en el que la base es el segmento áureo de uno de sus lados laterales. 16. 14. Hallar el cuadrado equivalente al polígono dado. 8 . Trazar el cuadrado equivalente al polígono dado. Determinar el triángulo equilátero equivalente al paralelogramo dado. Colegio Retamar. equivalente al triángulo dado.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 15. Madrid 13. Determinar un rectángulo de doble base que altura. 4. Colegio Retamar. tales que la distancia del punto P al punto de contacto sea 35 mm. Dibujar el lugar geométrico de los puntos que tienen 25 cm2 de potencia respecto de una circunferencia de radio 3 cm. Dadas las circunferencias C1 y C2 hallar los puntos P del plano desde los que se pueden trazar tangentes a ambas circunferencias.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 3. Hallar los puntos del plano que tengan igual potencia respecto a las circunferencias dadas y desde los que se vea el segmento que une sus centros bajo un ángulo de 60º. calcular de forma teórica el radio del horizonte que ve un observador a 2 m de altura. O O' C2 C1 9 . Madrid TEMA 3 POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA 1. (Radio de la Tierra = 6 400 km). 2. Supuesta la superficie de la Tierra lisa y esférica. Madrid 5. C O M N 6. r O B 9. M N P 10 . tal que AB2= AM · AC. Determinar el centro radical de las tres circunferencias. Colegio Retamar. Hallar gráficamente un punto P entre M y N tal que OP = OM ⋅ ON 8. Dibujar una circunferencia de centro O de forma que el eje radical de la misma y de la circunferencia dada C sea la recta r. Trazar una circunferencia con centro M y tal que P tenga igual potencia respecto de ella y de la (N).Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Determinar un punto M sobre el lado AC del triángulo. A C 7. 11. Hallar el punto P desde el cual pueden dibujarse tangentes de igual longitud a las circunferencias dadas. Trazar una circunferencia que pase por el punto P y que comparta el mismo eje radical con las circunferencias dadas C1 y C2. Colegio Retamar.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Madrid 10. C1 C2 O2 O1 P 11 . Dibujar las posibles tangentes. m 3. Dibujar un pentágono regular inscrito en una circunferencia de r = 4 cm. Madrid TE MA 4 FORMAS POLIGONALES 1. 12 . Construir un decágono regular de 3'5 cm de apotema. Dibujar un pentágono regular de 4 cm de lado. ángulo A 2. mA = 6 cm. ˆ =60º. Colegio Retamar. 4. C ˆ =75º y la 5. Construir un triángulo ABC dados B longitud de¡ segmento m que es la mediana desde A. el ˆ = 45º y la mediana desde A.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Construir un triángulo ABC conociendo a= 5'5 cm. 60° M β B α C 10. Construir un triángulo del que se conocen la mediana mA = 50 mm. Construir un triángulo del que se conocen el lado a = 40 mm y las alturas hA =25 mm y hB = 35 mm. En el triángulo ABC el ángulo A circuncentro del triángulo deducir razonadamente y en este orden los valores de los ángulos α y β. y que el lado a es el doble de b. y la altura hC = 30 mm. la bisectriz wA = 40 mm y la altura hA = 30 mm. 7. Madrid ˆ vale 60º. 13 . la suma b + c = 80 mm. Construir un triángulo del que se conocen a = 50 mm. Construir un triángulo del que se conocen el ángulo B = 60º. A ˆ 9.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Si M es el 6. ˆ 8. Construir un triángulo del que se conocen el ángulo A = 60º. la altura hA = 40 mm y hB = 30 mm. la altura hA =40 mm. Colegio Retamar. ¿Cuántas soluciones hay? 11. la mediana de a = 35 mm. Construir un triángulo rectángulo de perímetro 180 mm. 12. Analizar el número de soluciones posibles. wC =75 mm. un cateto debe pasar por el punto P. 13. Colegio Retamar. 17. y la altura de a =30 mm. B ˆ = 60º y el radio de la circunferencia circunscrita A R= 30 mm. Q P r 14. el otro por el punto Q y además la altura correspondiente a la hipotenusa debe valer 40 mm. Dibujar un triángulo ABC del que se conoce el ángulo ˆ = 45º. 16. Madrid 15.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. el ángulo A al vértice C. siendo uno de sus ángulos de valor 30º . Construir un triángulo conocido el lado a = 40 mm. Dibujar un triángulo ABC del que se conoce que su ˆ es de 30º y lado AB tiene de longitud 60 mm. 14 . el ángulo C la altura correspondiente al vértice B es hB = 30 mm. Construir un triángulo rectángulo que tenga su hipotenusa contenida en la recta r. Dibujar un triángulo ABC del que se conoce el lado AC ˆ = 45º y la bisectriz correspondiente = 90 mm. 22. De un triángulo ABC se sabe que su base AB mide 70 mm y ha de estar contenida en la recta r. 18. la altura hB = 5 cm. Madrid 21. G A B 15 . Colegio Retamar. C G r 19. Dibujar un triángulo ABC del que se conocen el lado b ˆ = 45º y la bisectriz correspondiente = 60 mm. Dibujar todos los triángulos ABC que cumplan los requisitos anteriores. Su baricentro es el punto G y la mediana mC relativa a la base mide 50 mm. De un triángulo ABC se conocen los vértices A. Además.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. se sabe que la mediana sobre el lado AC es mB = 81 mm. el ángulo A a este ángulo wA = 45 mm. Dibujar el triángulo ABC del que se conocen el ángulo ˆ = 60º. 23. y la mediana mA =6 cm. B y la posición de su baricentro G. Dibujar un rombo de lado l=35 mm cuyas diagonales sumen d1 + d2 = 90 mm. 20. Construir un triángulo que tiene por mediana y altura sobre el lado BC los segmentos mA =51 mm y hA = 49 mm. Terminar el dibujo de dicho triángulo. En una circunferencia de 30 mm de radio inscribir un rectángulo cuyo perímetro valga 140 mm. Colegio Retamar. A B D 25. Madrid 27.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Tenemos un pentágono (no necesariamente regular) cuyos lados miden cada uno un metro y otro pentágono cuyos lados miden cada uno dos metros. Dibujar un decágono regular estrellado de tres vueltas. siendo CD=DA. 29. diagonales AC=50 y BD=45 mm. 24. Dibujar un trapecio ABCD de altura h=30 mm. Inscribir un cuadrado de 35 mm de lado en el cuadrado ABCD. sabiendo que el radio de la circunferencia donde se inscribe es 25 mm. 28. Contestar razonadamente si ambos pentágonos han de ser necesariamente semejantes. Construir un pentágono regular estrellado de dos vueltas conocido I = 20 mm. 26. A D B CROQUIS C 16 . Dibujar un octógono regular sabiendo que dos de sus lados paralelos están situados en las rectas r y s. s 31. BC=DA=30 mm y su diagonal AC=60 mm. siendo el ángulo <A=45º y la altura hA= 45 mm. Dibujar el trapecio ABCD cuyos lados cumplen las relaciones: AB-CD= 20mm. Madrid 30. Construir un paralelogramo en el que dos de sus lados formen un ángulo de 60º y sumen 75 mm. 17 . siendo la diagonal menor de 40 mm. Construir un triángulo ABC tal que el radio de su circunferencia circunscrita sea 35 mm.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 33. Colegio Retamar. r 32. Madrid TEMA 5 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 1. hallar en esta recta un punto P tal que la suma PA + PB tenga un valor mínimo.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. C B A r C' 18 . Las circunferencias C y C' son tangentes exteriormente y el radio de una es el doble que el de la otra. 2. Existe una homotecia directa (K>0) de centro O y razón K que transforma C en C' y otra inversa (K<0) de centro O' razón K' que realiza la mismo función. Colegio Retamar. Dados los puntos A y B y la recta r. Dibujar sobre la figura los puntos O y O' y dar los valores de K y K'. construir los posibles centros de homotecia que transforman C en C' e indicar las correspondientes razones de homotecia. Madrid 6. 5. Dado un triángulo ABC. dibujar una recta t que pase por P y que forme el mismo ángulo con r y con s. Dadas las circunferencias C y C' de la figura. Dibujar la figura transformada del trapecio ABCD mediante una homotecia de razón -3/2. Colegio Retamar. 3. Construir una figura semejante a la dada pero que tenga el doble de área. 7. Una lupa está situada sobre un mosaico regular del modo que se muestra en la figura. Se conoce el transformado A' del punto A. C C' A 4. siendo centro de homotecia el baricentro G. r P s 19 . construir el triángulo homotético A'B'C' de superficie la cuarta parte de la superficie del primero. sabiendo que en ella se producen 2 aumentos en su área. Dadas las rectas r y s y un punto P. Completa el dibujo añadiendo las formas que se ven a su través. B A C C D A' A B 8.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Hallar la figura inversa del triángulo ABC respecto de O. Hallar la figura inversa de la circunferencia dada. Figura inversa de la dada. B A O C A 11. b) Dibujar las cuerdas que pasen por A y sean cortadas por BC en su punto medio. Hallar la figura inversa respecto de O del segmento circular dado. Madrid 12. siendo A inverso de sí mismo. Potencia de inversión: K= -9 cm x cm. B A O C O 13. 9.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Nos dan una circunferencia. Hallar la figura inversa de la dada respecto de O. 10. Colegio Retamar. un punto A de la misma y una cuerda BC. C 14. siendo A el centro de la inversión y B y C inversos de sí mismos. O A A A' B' B 20 . Se pide: a) trazar la circunferencia homotética de la dada con centro de homotecia en A y razón k = 1/2. conociendo los inversos de dos de sus puntos. sabiendo que A es inverso de sí mismo. O A A' C O P 16. Hallar el centro de la inversión que transforma A en A' y B en B'. 15. cada punto de la circunferencia C se trasforma en su diametralmente opuesto. Hallar el inverso del punto P. sabiendo que A' es el inverso de A. 20. 19. En una inversión positiva definida por la circunferencia C y la recta r. O A A' A B B' A' C 17. Madrid 18.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Colegio Retamar. Si los puntos A y A' son homólogos en una inversión de centro O. indicar cuáles son los posibles centros de inversión que transforman C en r y cuáles serían las correspondientes potencias de inversión. dibujar la inversa de la circunferencia C. hallar la figura inversa del punto P. en la que se verifica que AB = BO = OD = a. Hallar la figura inversa de la dada respecto de O. Dada la circunferencia C y la recta r de la figura. En una inversión de potencia negativa. C D O a C B A 2a r P r 21 . En la inversión definida por el centro de inversión O y una pareja de puntos inversos A y A'. Determinar la figura A’B’C’D’. en una inversión de centro O que convierte el punto A en el A’ A' C A O D B O r C 22 .Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. A' A O r B A 23. hallar la figura inversa de la recta r. Hallar la inversa de la recto r en una inversión de centro O y potencia de inversión la potencia que el punto O tiene respecto a la circunferencia C. 25. Dado el cuadrilátero AA'B'B de la figura. inversa de la ABCD dada. cuyo ángulo AA'B' vale 120º. tal que ÁB2=AM·AC. Colegio Retamar. A') y (B. hallar el inverso del arco AB. Madrid 24. Determinar un punto M sobre el lado AC del triángulo. En una inversión de centro O y potencia positiva K=OP·OQ. 21. B') sean parejas de homólogas en una inversión? B A α A 12 B 0° O B' P Q A' 22. ¿cuánto ha de valer el ángulo B para que las parejas de puntos (A. 26. trazar por los puntos A y B dos rectas que pasen por el punto de corte de r y s.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Se pide dibujar un segmento perpendicular a la recta r. Madrid 30. el B pertenezca a la C2 y el vértice C está fijado. cuyos extremos se encuentren en las circunferencias C1 y C2. Se pide construir un triángulo equilátero cuyo vértice A pertenezca a la circunferencia C1. Dadas las rectas r y s que se cortan fuera de los límites de¡ papel. 27. P P C1 C2 C 23 . en los dos casos dados: con P fuera y dentro de la circunferencia. Dibujar los posibles segmentos iguales y paralelos al segmento s. con su centro perteneciente también a la recta r. Se pide dibujar un segmento con su punto medio en M. Trazar por P un segmento que corte a la circunferencia en dos puntos A y B tales que PA=2·PB. y cuyos extremos se encuentren en las circunferencias C1 y C2. A C1 B C2 r 29. 32. de modo que sus extremos estén en las circunferencias de centros O y O1. Colegio Retamar. 28. O O1 C1 M C2 s 31. cumpliéndose la relación PA=2PB. Trazar por P las rectas que corten a la circunferencia en segmentos de longitud 2 cm.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. r a c1 c2 P b 24 . Hallar los segmentos de 55 mm de longitud que sean paralelos a la recta r dada y que apoyen sus extremos en cada una de las dos circunferencias c1 y c2 dadas. s r c O P 34. 36. Madrid 35. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada. Determinar el segmento AB que pasa por el punto P conocido. 33. cuyos extremos se sitúan sobre las recta a y b respectivamente. y que tengan uno de sus extremos en la circunferencia c y el otro extremo en al recta s. Dibujar los segmentos de 45 mm de longitud que sean paralelas a la recta r. Colegio Retamar. Madrid TEMA 6 HOMOLOGÍA 1. Determinar el homólogo del triángulo equilátero dado. Colegio Retamar. eje E y siendo A' el homólogo de A. A O A' C B E 2. en una homología de centro O. dados el eje y un par de puntos homólogos. Hallar la figura homóloga de ABCD. E D A C B A' B' 25 .Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Dada una afinidad por su eje y dos puntos afines A-A'.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. L O E 20 25 17 8 25 4. conocidos el eje y dos pares de puntos homólogos. Hallar la figura homóloga de la dada. A' A E 26 . la recta límite L y el eje E. Madrid 3. Colegio Retamar. se pide obtener la figura afín de la dada. En una homología. dados el centro O. hallar la figura homóloga del polígono dado. 10 10 E D A' C B A B' 5. Medidas en mm. Madrid 6. con los datos que se indican. Hallar la figura afín de la circunferencia dada. Colegio Retamar. O 27 .Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. A A' 7. Trazar la figura afín de la dada. Hallar el cuadrilátero homotético del dado. A D C B E B' 8. siendo O el centro y K =. sabiendo que el punto afín de su centro es el A'.1/2su razón de homotecia. Colegio Retamar. O 28 . hallar el triángulo transformado del ABC. Teniendo una homología afín definida por su eje e y un par de puntos homólogos P y P'. Madrid 9. B P' A E C 10. Dibujar la figura homotética de la circunferencia dada. siendo O el centro de la homotecia y su área la mitad de la del círculo conocido.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. C B A A B 2. Trazar las circunferencias tangentes a las rectas r y s. Trazar una circunferencia tangente interiormente a la dada en M y tangente a la recta r. una en A y la otra en B. Madrid TEMA 7 TANGENCIAS EN EL PL AN O 1. 3. Colegio Retamar. Indicar el número de soluciones posibles. Explicación razonada. y que pasan por el punto P.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Dados los puntos A y B y la circunferencia C. trazar una de las posibles circunferencias tangentes a esos tres elementos. 4. r r P s M 29 . Trazar dos circunferencias tangentes interiormente entre sí y tangentes a las rectas dadas. tangente interior a la B y tangente exterior a la A. Determinar las circunferencias tangentes a la c que pasan por los puntos A y B. Determínese éste gráficamente. y a un tercero cuyo diámetro máximo se pretende calcular. La circunferencia C de la figura representa un tubo que alberga en su interior a dos cables cilíndricos de igual diámetro. C1 C2 30 . A 9. O A B O1 O2 6. Madrid 8. 5. Dado el triángulo equilátero de la figura. además. Colegio Retamar. Trazar una circunferencia de 3 cm de radio. a los lados del triángulo. c B C C 7. Trazar una circunferencia tangente a los tres dadas. trazar en su interior tres circunferencias de igual radio siendo cada circunferencia tangente exteriormente a las otras dos y siendo tangentes.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. de tal modo que éstas resulten exteriores y sabiendo que las circunferencias de centros O1 y O2 son iguales. Trazar las circunferencias que sean tangentes a la circunferencia C y a la recta r en el punto T. Un jugador de fútbol se dirige desde el centro del campo O hacia la esquina C. T r 14. r C C A s B 12. B y C. de igual radio. trazar tres circunferencias con centros en estos puntos y que cada una sea tangente a las otras dos. siguiendo una trayectoria rectilínea. Trazar dos circunferencias tangentes circunferencia dada y a la recta r en el punto T. 15. ¿Desde qué punto de esta trayectoria divisa los extremos A y B de la portería con el ángulo máximo? A B C C O T r O 31 . trazar las circunferencias tangentes a s. y a la recta t. r y C. Colegio Retamar. siendo esta última paralela a la que une los centros de ambas circunferencias.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. a la 10. Obtener la circunferencia de menor radio posible que sea tangente a las circunferencias c1 y c2. Dados los puntos A. Dados las rectas r y s y la circunferencia C tangente a ambas. C1 C2 O t 11. Madrid 13. Determinar con precisión los centros y los puntos de tangencia de las circunferencias. 21. Dibujar a escala natural la figura cuyo croquis se adjunta y situar en él la recta tangente t con la condición angular que se expresa. Determinar el punto P que equidiste de los A y B y que su distancia a C sea 30 mm mayor que las distancias a los anteriores puntos. hallar geométricamente la recta s. De conformidad con las condiciones de diseño expresadas en el croquis adjunto. Trazar las circunferencias que son tangentes a C1 y a C2 siendo P el punto de tangencia con esta última. (Explicación razonada). t R 45° 2R C C1 m s 2m CROQUIS P M C2 18. Madrid 19.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. una boca de metro M y un paseo P. Una castañera que cursó Dibujo en 2º de Bachillerato quiere poner un puesto equidistante a esos lugares. 70 15 R C1 R7 R2 0 15° 0 t CROQUIS C2 P 32 . Indicar en el plano la posición que escogió. hallar los puntos del plano que equidistan de A. Dados los puntos A y B y la recta r. r C B A A B 17. 16. B y r. En una ciudad hay una plaza de toros C. Colegio Retamar. 20. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada t c A 26. Determinar las circunferencias tangentes a las rectas paralelos r y s y a al circunferencia c 22. Representar la arandela cuya circunferencia exterior es tangente a la recta t y la interior. de 10 mm menos de radio. Determinar la circunferencia tangente a la recta t que pasa por el punto R y tiene su centro en r. Dibujar a escala 1:1 el objeto representado en el croquis adjunto. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada. pasa por los puntos A y B. según los datos del mismo. indicando los centros y los puntos de tangencia. A B 23. R1 5 0 Ø5 r 5 Ø2 5 Ø2 50 C s 25. que pasan por los puntos A y B. Madrid 24. B t r R 33 . Colegio Retamar.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Determinar las circunferencias tangentes a la circunferencia c dada. Colegio Retamar. Dibujar las circunferencias tangentes a c1.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Madrid 28. Dada la circunferencia de centro C y el punto P de la recta r. que pasen por el punto P y tengan su centro en la recta r. 27. hallar las circunferencias tangentes a la dada y a la recta r en el punto P. r C1 P C r P 34 . Dibujar la epicicloide con los siguientes datos: Rb = 45 mm Rr = 15 mm 35 . Dibujar la cicloide engendrada por una ruleta de radio 35 mm. Madrid TEMA 8 C U R VAS TÉCNICAS 1. 2. Colegio Retamar.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. El disco 36 . Dibujar la hipocicloide con los siguientes datos: Rb = 60 mm Rr=20 mm 4. 5. Trazar la evolvente de una circunferencia de radio 15 mm. Colegio Retamar.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Un insecto camina en un disco desde el centro al exterior en línea recta. Madrid 3. a una velocidad de 1 cm/s. Madrid 7. 6. 37 . Dibujar una espiral de 5 centros. Dibujar la curva descrita durante 8 segundos. Dibujar una voluta de paso 6 cm.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Dibujar una Lemniscata de Bernouilli cuya distancia entre los focos sea 10 cm. Colegio Retamar. tarda 4 segundos en dar una vuelta. 8. los cuales forman un pentágono regular de 1 cm de lado. dos tangentes t 1y t2 y el punto de contacto T de la tangente t1. se pide el punto T de tangencia con la elipse de la recta t. Madrid TEMA 9 CURVAS CÓNICAS 1. Colegio Retamar.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Dado el punto P de una elipse y los vértices C y D del eje menor. t1 t F t2 F' F t3 2. Dados los focos F – F' y la tangente t a una elipse. Hallar los ejes de la elipse de la que se conoce un foco F. 4. t2 y t 3. 1 P C t T F D t2 38 . 3. hallar el punto de tangencia y los ejes 2a y 2b. Hallar los vértices de la elipse de foco F que tiene por tangentes a las rectas t1. 10. Dibujar sus asíntotas y la tangente en el punto P. Asimismo obtener los puntos de contacto de las tangentes dadas. 8. la tangente t con su punto de tangencia T y la longitud de su eje real V-V'. t3 t2 t T 9. De una elipse conocemos la recta r que contiene a su eje mayor. Dibujar las asíntotas de una hipérbola conociendo un foco F. t2 y t 3. t T P V' V r F F 39 . Tenemos una hipérbola definida por sus focos F y F' y un punto P de la misma. un punto T y su tangente t. Madrid 5. Determinar los ejes de la elipse definida por un foco F1. a t b t1 F1 F 6. El foco F' se encuentra a la izquierda de F. sabiendo que dicho punto dista la mitad de F1 que de F2.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Determinar las posiciones de los ejes y el otro foco de una elipse conociendo el foco F. Hallar los ejes de una cónica de la que se conoce el foco F1 y las tangentes t1. un foco F y la tangente en uno de sus puntos P. la tangente t y las magnitudes de los ejes a y b. Colegio Retamar. P F1 F' F 7. Dibujar la circunferencia focal de centro el otro foco F' y los ejes y vértices de la citada elipse. T C r t A B F D 40 . 14. t2. Colegio Retamar. Determinar con exactitud los puntos de intersección de la elipse de ejes AB y CD con la recta r dada. Un rayo (impulso lumínico. t1 15. t A F F F' A F El punto F es el foco de una parábola que además. Obtener con exactitud (sin dibujar la parábola) el punto de incidencia y el rayo reflejado. 16. Hallar gráficamente las tangentes desde el punto P a la elipse determinada por sus ejes y calcular sus puntos de tangencia. sin dibujar la cónica. y una tangente t. etc) incide en una parábola de foco F y vértice A. Dibujar la directriz y el eje de dicha parábola. C F P A B t2 D 13. Determinar los vértices y las asíntotas de la hipérbola determinada por sus focos F y F'.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. es tangente a las rectas t1. Determinar la directriz y el eje de la parábola cuyo foco es F y que es tangente a la recta t en el punto T. acústico. Madrid 11. d 20. Obtener los puntos de intersección de las parábolas. Dada una elipse por sus focos F-F' y su eje mayor AB. Razonar la construcción empleada. Una recta fija r es la directriz común de dos parábolas de focos F y F’ respectivamente. Hallar los puntos de intersección de la parábola de vértice V y directriz d con la recta dada. determinar los puntos de intersección de la misma con la recta r. perpendicular a dicho eje. sin necesidad de trazar las mismas. Dibujar todas las soluciones posibles. Hallar sobre esta última recta los puntos que equidistan de A y de r'. Determinar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia c.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. determinar sus tangentes paralelas a la dirección d. Dada una elipse de ejes AB y CD. Indicar los puntos de tangencia. 21. Colegio Retamar. r' F' F r A r 41 . c A C A B r D 18. Conocemos dos rectas r. Madrid 17. r' y un punto A situado sobre r. 22. r d r V A F F' B 19. Determinar los puntos de intersección de la recta h con la parábola de foco F que tiene tangente a la recta t en el punto A. Justificar razonadamente la construcción empleada. Obtener los puntos de tangencia. 23. Trazar desde el punto Q las rectas tangentes a la parábola de foco F y directriz d. Colegio Retamar.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Madrid 24. A t d Q F h F 42 . 3. Madrid TE MA 1 1 SISTEMA DIÉDRICO I 1. Dibujar las trazas del plano determinado por las dos rectas r y s. 1 β2 α2 r2 β1 s2 r1 α1 4. Colegio Retamar. 2. cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo. 2 β2 α2 α2 α1 β1 β1 α1 43 . Determinar la recta intersección de los planos. Hallar las proyecciones de la recta intersección de los planos α y β. Hallar la recta intersección de los planos α y β .Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 5. Hallar el punto común A de intersección de los tres planos dados. Hallar el punto de intersección de la recta s con el plano α. una recta que sea paralela al plano α y al plano β. β y π.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 9. 7. Hallar la intersección de la recta r con el plano α en los dos casos siguientes: π2 α2 β2 2 α2 r2 r2 α1 β1 π1 r1 α1 r1 α1 10. s2 α2 β2 2 π2 s1 β1 α1 α1 44 . Hallar la recta intersección de los planos α y β . Colegio Retamar. α2 β1 α2 β2 A2 β2 α1 A1 β1 α1 6. Madrid 8. Trazar por el punto A. Hallar el punto de intersección P de los planos α. Hallar el punto de intersección de la recta r con el plano β. α2 C2 A2 B2 B1 C1 α1 A1 45 . B y C. Trazar las proyecciones de la sección producida en la pirámide por el plano que pasa por los puntos A. Dibujar la sección de la pirámide por el plano indicado. Madrid 14. Colegio Retamar. β2 α2 β1 16. Dibujar la sección de la pirámide por el plano indicado. 13. β2 r2 α2 r1 β1 α1 12. Hallar la sección producido por el plano β en el cuerpo mostrado en la figura siguiente. Dibujar la sección del prisma por el plano indicado 11.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 15. 18. Determinar el plano perpendicular al segmento AB y que equidiste de ambos puntos. s2 V2 r2 α2 A1 A2 α1 s1 V1 r1 Hallar las trazas de un plano perpendicular a la recta s y que pase por el punto A. determinando su punto de intersección. Madrid 19.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 17. 21. Colegio Retamar. Se pide hallar el pie de la perpendicular trazada desde el punto A sobre dicho plano. La recta r es de máxima pendiente de un plano α. s2 r2 A2 s1 A1=A 2 r1 A1 46 . B2 α2 A2 B1 A1 α1 20. Determinar las trazas del plano paralelo a los rectas dadas y que pasa por el punto dado. Determinar las proyecciones de la sección que el plano α produce en la pirámide representada. Trazar por el punto A la recta perpendicular al plano dado. 22. trazar otro paralelo a una distancia D dada. Hallar la distancia que separa a los dos planos paralelos α y β. 2 A2 α2 A2 r1 A1 A1 α1 26. Colegio Retamar. Madrid 25. 24. Obtener en diédrica la distancia del punto A al plano dado y calcular su verdadera magnitud. Hallar la longitud del segmento de recta comprendido entre los dos planos dados.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Determinar la distancia entre las rectas paralelos dadas. r2 s2 β2 α2 r1 s1 β1 α1 27. 23. Dado el plano α. D α2 β2 r2 α2 α1 r1 β1 α1 47 . Hallar la distancia del punto A a la recta r. Hallar el punto del plano α más cercano al punto A. Dibujar la proyección horizontal del segmento AB conociendo su proyección vertical A2-B2 y sabiendo que su verdadera longitud es de 40 mm. Colegio Retamar. Determinar gráficamente la verdadera magnitud de la longitud del cable CD y el ángulo que forma AB con el plano horizontal. El asta de una bandera está fijado mediante tres cables de los que se han representado el AB y el CD. El segmento AB se proyecta horizontalmente en A1-B1. A2 B2 r1 A1 A1 30. A2 C2 α2 D2 B2 r1 A1 C1 α1 B1 48 . Hallar sus posibles proyecciones verticales sabiendo que su verdadera magnitud es de 45 mm. Trazar todas las soluciones posibles. Determinar las proyecciones de los posibles puntos P de la recta r que disten 25 mm. A2 A1 B1 A1 α1 32. r2 A2 29.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. del punto de intersección de r con el plano α. Madrid 31. α2 A2 28. Hallar la distancia entre el punto A y el plano perpendicular al plano horizontal de proyección que contenga a la recta r dada. r2 33. 34. r2 A2 C2 C1 B2 B1 A2 A1 r1 α1 A1 49 . Determinar la verdadera magnitud de la distancia a dicha línea desde el punto A. α2 r2 A2 A1 α1 r1 35. Hallar uno de los puntos de la línea de tierra que dista 25 mm. un triángulo equilátero. 37. del plano α. Una línea eléctrica está representado por la recta r. Determinar la traza vertical del plano α para que la sección producida en el prisma recto de base el triángulo isósceles ABC sea.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Madrid 36. Colegio Retamar. Hallar las proyecciones de una recta horizontal que sea perpendicular a la recta r en el punto A. en verdadera magnitud. Dos tarjetas ABCD y EFGH se han insertado mediante un corte dado a una de ellas. Madrid 40. quedando colocadas como muestra la figura. Complétese la representación atendiendo a la visibilidad de cada arista. Determinar la intersección de los planos opacos ABCD y EFG. indicando la visibilidad. 38. Completar la representación diédrica del triángulo ABC y el paralelogramo DEFG atendiendo a su intersección y visibilidad. pasando por todas las caras laterales del prisma. B2 D2 G2 C2 A2 A1=B1 E2 A2 G1 B2 C1 F2 F1 A1 D1 B1 E1 41.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Colegio Retamar. E2 D2 D2 H2 G2 E2 A2 A1=D 1 H1 B2 F2 C2 C2 A2 F2 E1 B2 B1 C1 G2 A1 D1 G1 G1 F1 E1 B1 =C 1 F1 50 . Dibujar el camino más corto desde el vértice A al B. 39. las proyecciones de los vértices indicados y que el vértice C es el de mayor cota posible.42) mm. α2 A2 B2 A1 2. B(12. del que se conocen α2. 4. Determinar sus proyecciones. P2 A2 B2 A1 P1 B1 α1 (α2) 51 . Determinar las proyecciones diédricas de un hexágono regular de lado AB situado en el plano definido por los puntos A. Madrid TEMA 12 SISTEMA DIÉDRICO II 1.18.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero.32). Determinar las proyecciones de un triángulo equilátero ABC contenido en el plano α. Se dan abatidos el hexágono de la figura y la traza vertical del plano que lo contiene. Colegio Retamar. 3.12. Hallar el área del triángulo A(24. B y P.6.16). C(36. Determinar el menor de los ángulos que forman las rectas coplanarias r y s. r2 s2 A2 A2 r2 A1 s1 r1 A1 r1 52 . Dada la recta frontal r y el punto A. A2 8. s2 r2 B2 A1 C2=C1 B1 s1 r1 6. Madrid 5. 10. A2 r2 B2 A2 C2 A1 A1 C1 r1 B1 7. Obtener las proyecciones del incentro del triángulo ABC. Hallar las proyecciones de los lados AD y CD del cuadrilátero ABCD sabiendo que éstos miden 20 y 30 mm respectivamente. 9.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. dibujar las proyecciones del triángulo equilátero que tenga un vértice en A y el lado opuesto en r. Colegio Retamar. Determinar la mínima distancia existente entre el punto A y la recta r. Hallar la distancia existente entre las rectas paralelas r y s. V2 α1 15. desarrollo y transformada de la sección. Seccionar el prisma de la figura por el plano dado. Determinar la traza vertical del plano α para que la sección producida en el paralelepípedo sea. Madrid 11. Determinar la verdadera magnitud de la sección que produce en la pirámide el plano que pasa por los puntos A. Hallar la verdadera magnitud de la sección plana producida en la pirámide por el plano α. verdadera magnitud. Colegio Retamar. 2 14. un cuadrado. α2 A2 B2 C2 V1 A1 B1 C1 α1 16. Dibujar la sección.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. en verdadera magnitud. hallando la verdadera magnitud de la sección y el desarrollo. 13. al ser cortada por un plano de canto. Hallar la verdadera magnitud de la sección de la pirámide pentagonal dada. B y C. α2 α1 12. α2 α1 α1 53 . 21. Hallar la traza horizontal del plano β sabiendo que es perpendicular al plano α. Colegio Retamar. De las dos soluciones posibles. Dibujar los planos α y β paralelos al plano dado π y distantes del mismo 15 mm. Dibujar las proyecciones diédricas de un triángulo equilátero ABC. α2 β2 20. sabiendo que está contenido en el plano α y conociendo la proyección vertical del vértice A y la horizontal del vértice B. α2 A2 B2 α1 β1 B1 α1 A1 18. A2 α2 π2 α1 A1 19. Hallar las proyecciones del punto intersección del segmento A y B con el plano α. Hallar la recta intersección de los planos α y β. Hallar la distancia del punto A al plano α. Madrid 17.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. A2 α2 β2 α2 α1 B1 α1 54 . π1 22. elegir la de mayor cota para el vértice C. sea paralela a la línea de tierra. 25. A2 B2 A2 α2 C2 C1 B1 A1 24. sabiendo que AB=40 mm. V2 a2 b2 a1 b1 V1 55 .Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Hallar la recta intersección del plano α con el definido por la línea de tierra y el punto A. Hallar las trazas de una recta de perfil que pase por el punto A y sea paralela al plano α. 23. Dado el cono de revolución de la figura. apoyándose en las rectas a y b. de la intersección con la pirámide. A1 α1 27. Hallar la verdadera magnitud de la distancia entre el punto C y la recta definida por los puntos A y B. Obtener la recta r que. dibujar las trazas de los planos que sean tangentes al mismo y paralelos a la línea de tierra. Colegio Retamar. Madrid 26. A2 α2 A1 A1 r1 α1 28. Determinar la proyección vertical de la recta frontal r y sus puntos A y B. π2 α2 A2 α2 β2 β1 A1 π1 α1 30. 29. que está contenido en el plano α y en el primer bisector. Representar las proyecciones de un punto de cota 20 mm. α1 33. Hallar los ángulos que forma el plano α con el horizontal y el vertical de proyección. β y π. Hallar la verdadera magnitud de los ángulos que la recta r forma con los planos de proyección. Madrid 32.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Obtener la verdadera magnitud de la sección producida en la pirámide dada por un plano que pasa por AB y forma 45º con el plano horizontal. 34. r2 A2 B2 r1 B1 A1 56 . Obsérvese que el plano β está determinado por el punto A y la línea de tierra. α2 r2 r1 α1 31. Colegio Retamar. Hallar las proyecciones del punto de intersección de los tres planos α. hallar las trazas de los posibles planos que contengan a dicha recta y que formen 60º con el plano horizontal. Dada la recta r. E2 F2 2 α2 A2 C2=B2 B1 r1 D1 E1 F1 A1 C1 α1 57 . Dada la recta r contenido en el plano α hallar el plano perpendicular a α que pase por r. Este pertenece al PH. Colegio Retamar.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Hallar el punto B. hallar el punto de intersección de la recta y el plano . Una recta r pasa por los puntos A y B. Sabiendo que el plano α es vertical y que la proyección r1 de la recta r es perpendicular a la traza α1. Madrid 38. 40. y el ángulo que forman. Hallar las trazas de un plano β que pase por los puntos A y B y sea perpendicular al plano α. Dibujar la traza vertical de dicho plano. 35. α2 r2 A2 B2 A1 B1 α2 r1 α1 α1 37. Se conoce la traza horizontal α1 de un plano que forma 60º con el plano horizontal. Determinar el ángulo que forman los planos ABC y ABDEF. ¿Cuántas soluciones hay? A2 α1 36. Además sabemos que la recta forma 45º con el plano horizontal y está contenida en un plano proyectante sobre el horizontal. r1 A1 39. que se cortan en el punto P. P2 46. Madrid 44. Dadas las rectas r y s. hallar la nueva posición vertical al mover el plano vertical mediante el cambio de plano definido por la nueva LT. Determinar en posición y magnitud el segmento “mínima distancia” entre las rectas r y s. Determinar la distancia del punto P a la recta r. P2 r2 s2 r2 r1 P1 r1 s1 P1 58 . Hallar el plano β que pasa por el punto A y es perpendicular al plano α y paralelo a la recta r.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. s2 r2 A2=B2 B1 s1 r1 A1 43. Determinar la verdadera magnitud de la sección del prisma con el plano α proyectante vertical. 45. 2 r2 A2 A1 r1 α1 42. Vα 41. hallar la verdadera magnitud del ángulo que forman entre ellas. Dado el cubo inferior en diédrica. Colegio Retamar. apoyado en la arista AB. ¿Cuántas aristas tiene? 3. Determinar el ángulo que forman dos caras cualesquiera de un tetraedro regular. s2 r2 s1 r1 59 . siendo ambas rectas horizontales y ortogonales entre sí. Un tetraedro regular ABCD tiene la arista AB contenida en la recta r y la arista opuesta CD contenida en la recta s. α1 4. Dibujar las proyecciones del tetraedro. Colegio Retamar. Madrid TE MA 1 3 SUPERFICIES 1. Dado la proyección horizontal de un tetraedro regular y un plano α que lo corta. α2 2. hallar las proyecciones de la sección.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Dibújese en perspectiva libre un poliedro de 6 caras y 5 vértices. 8. teniendo además paralela a dicho plano una de sus secciones principales. B2 A2 B1 B1 A1 A1 60 . Dibujar las proyecciones horizontal y vertical de un cubo.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Madrid 7. dibujar su proyección vertical. sabiendo que los vértices C y D son los de mayor cota de tetraedro y que la arista AB es horizontal. completar las proyecciones del cubo. Colegio Retamar. distinguiendo partes vistas y ocultas. El cubo debe quedar a la derecha del plano de perfil que contiene a la arista AB y el vértice A debe ser el de menor cota del mismo. C2 D2 D1 D2 A1 E1 D1=F1 C1 B1 H1 C1 G1 6. cuya arista AB está contenida en una recta de perfil. 5. Hallar las proyecciones diédricas de un tetraedro regular de arista CD. Un cubo se apoya en el plano horizontal de proyección sobre una arista AB del mismo. Conociendo la proyección horizontal A1B1 de la arista de apoyo. Sabiendo que la figura adjunta representa la proyección horizontal de un cubo con una diagonal vertical. siendo A uno de sus vértices y estando todo el sólido situado a la derecha de α. 2º)otra de las caras que pasa por A forma 30º con el plano horizontal de proyección. Hallar la verdadera magnitud de la sección que el plano α produce en el cubo que está apoyado en el plano horizontal de proyección mediante su cara ABCD. α2 14. 13. Indicar el número de aristas y el número de vértices. Dada la recta de punta r. Dibujar el desarrollo del poliedro obtenido al seccionar el octaedro regular por planos a 1/3 de la arista. Colegio Retamar. y dibujar el desarrollo de la superficie. El cubo debe quedar a la derecha del plano de perfil que contiene a r. Basta trazar cuatro o cinco caras yuxtapuestas. Madrid 12.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. del que se conoce que: 1º) tiene una cara contenida en el plano α. dibujar las proyecciones de un cubo que tenga su arista AB contenida en r y la arista opuesta de una de las caras contiguas contenida en el plano horizontal de proyección. El segmento AB es arista de un hexaedro regular y las rectas r y s son diagonales de las caras perpendiculares a la arista AB. 3º) el cubo está totalmente situado en el primer cuadrante. Hallar las proyecciones del poliedro. Dibujar sobre el cubo dado el poliedro resultante de unir los puntos medios de sus aristas. r2 =s2 A 2=B2 B1 r1 A1 s1 α1 A1 10. Interpretar correctamente las partes vistas y ocultas del sólido resultante. Dibujar las proyecciones de un cubo de arista 30 mm. D1 C1 A1 α1 B1 61 . α2 A2 9. r 2=A2=B2 B1 r1 A1 11. Colegio Retamar.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Madrid 17. A1=B1 18. Dada la superficie esférica de la figura y las proyecciones horizontales P1≡Q1 de dos puntos de la misma. A1=B1 es la proyección horizontal de la altura de un octaedro regular que tiene un vértice sobre el plano vertical y cuyas aristas horizontales forman 45º con dicho plano. Dibujar las proyecciones del octaedro. Completar la sección producida por el plano ABC en el octaedro regular representado. Interpretar correctamente las aristas vistas y ocultas. hallar las proyecciones verticales de estos puntos sabiendo que P tiene mayor cota que Q. 15. B2 A1 A2 C2 B1 C1 P1 =Q1 62 . y visualizar las partes vistas y ocultas. 16. Dibujar las proyecciones de un octaedro regular que está apoyado sobre el plano horizontal de proyección sobre la cara ABC. Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 30 mm. Dibujar los ejes de la elipse en que se proyecta horizontalmente la intersección del plano α con la esfera dada. del plano vertical de proyección. A2 r1 A1 63 . Dada la esfera de la figura. 22. r2 24. O2 α2 O2 O1 O1 P1 α1 21. Hallar el plano tangente a la esfera dada en el punto P de la misma situado por debajo de su contorno aparente sobre el horizontal. Hallar los puntos de intersección de la recta r con el cuerpo representado. Colegio Retamar. Trazar los proyecciones de la esfera de centro 0 que es tangente al plano α. hallar los puntos de la misma cuyos planos tangentes son paralelos al primer bisector. Madrid 19. 23. O2 O1 α1 20. Hallar las proyecciones de los puntos que disten 20 mm. del horizontal y 40 del punto A. Madrid 27. 25. dibujar las proyecciones de su esfera circunscrita e inscrita. dibujar las proyecciones de una esfera que sea tangente a sus aristas. C2 D2 A2 A1 B2 D1 C1 B1 64 . 26. 28. Colegio Retamar. apoyado sobre una arista en el plano horizontal. Hallar las proyecciones de la esfera circunscrita al tetraedro regular de la figura. dibujar los proyecciones de la esfera interior al mismo que es tangente a sus aristas. Dado el tetraedro regular de la figura. Dado el cubo. cuyas proyecciones diédricas son las de la figura. cuyas aristas AB y CD son horizontales. Dado el tetraedro regular de la figura.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 29. Madrid 31. 32. Hallar las trazas del plano que pasa por el punto P y que es paralelo a las generatrices del cono que pasan por Q y R. 30. hallar las proyecciones de la esfera que sea tangente a sus aristas. V2 2 P2 R1 V1 Q1 P1 V1 65 . dibujar las trazas de los planos de canto que pasan por su vértice y que producen en el mismo una sección que es un triángulo equilátero. Dibujar la proyección vertical de los zonas de la superficie cónica marcados en la proyección horizontal.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Colegio Retamar. Dado el cubo de la figura. Dado el cono de revolución de la figura. La figura representa la proyección horizontal de un octaedro con el vértice inferior apoyado en el plano horizontal. 33. G2 r2 B2=A2 B1 r1 C2=D2 G 1=C1 A1 D1 34. Colegio Retamar. Dibujar la sección del cono por el plano indicado. α2 α1 66 . Determinar la intersección entre la recta r y el cono representado. Obtener la sección que le produce un plano horizontal de cota 35 mm. Calcular la verdadera magnitud del ángulo que forma la diagonal AG de un cubo con la cara ABCD. 36. Madrid 35.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Hallar las trazas de la recta AB: A(3.4). en una caballera de µ = 0'5 y ϕ = 150º.1.2. Datos: µ = 0'5 y ϕ = 135º.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 67 .3.1.3).5. 2. Hallar las trazas del plano que pasa por los siguientes puntos: A (2. en una caballera de µ = 0'7 y ϕ = 135º. Hallar las trazas de la recta AB: A(2. en una caballera de µ = 0'7 y ϕ = 150º. Colegio Retamar.-1) y B(3.6).1) y C (-1.1. Madrid TE MA 1 4 PERSPECTIVA C ABAL L ER A 1. Hallar las trazas de la recta AB: A(1.3) y B(1.2.2).4).8.2. 4.2) y B(-1. B (-2. 3. µ = 0'6 y ϕ = 135º.1. a escala libre. E(5.1) y F (1. 7. Representar la siguiente figura en caballera.2'5. Representar la siguiente figura en caballera.2). R=2/3 160° 6.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Hallar las trazas del plano que pasa por los puntos D(1'5.0'5). B (1.4. Madrid 5. a escala libre. R=1/2 45° 68 .0'5).1'5). 8.1) y C (3. Colegio Retamar. µ = 0'5 y ϕ = 150º. Hallar las trazas del plano que pasa por los puntos A(2.2.6.4. Colegio Retamar. Representar la siguiente figura en caballera. Y Y Z Z O X X R=3/5 Y 120° X Z 10. 11.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. a escala libre 12. Representar la siguiente figura en caballera. Y X Z Z X X Y 135° R=0'5 Y 69 . Representar la figura en una caballera de Cz=3/4. Representar en perspectiva caballera la pieza dada por sus vistas normalizadas. a escala libre. Madrid 9. Coeficiente de reducción 3/4. z2 y 16. Madrid 15. situándola según las referencias y con coeficiente de reducción en el eje z de 0. Dibujar la pieza resultante de seccionar el sólido dado por el plano definido por los tres puntos M. N y P. O2 y1 O1 x2 O x A B x1 z 70 . Dimensiones del cubo a elección del alumno. eliminando la parte anterior.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. a escala libre Z M X 1/2 135° Y R=0'5 1/4 N P 1/2 14. B y C.5. Representar en perspectiva caballera la pieza dada por sus proyecciones diédricas. 13. Dibujar la pieza resultante de cortar el sólido dado por el plano definido por los puntos A. Representar la siguiente figura en caballera. Colegio Retamar. Colegio Retamar. Dibujar la pirámide indicando las líneas ocultas. Madrid TE MA 1 5 PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA 1. El triángulo ABC es el triángulo de trazas de una perspectiva axonométrica. C V Z L M N M1 Y V1 L1 N1 X A B 71 . y su base está en el plano XOY. Los puntos L.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. M y N pertenecen a las aristas laterales de una pirámide oblicua de vértice el punto V. Dibujar los ejes y graduar cada uno con tres marcas que correspondan a centímetros en verdadera magnitud. 2. B y C. Madrid 5.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 6. 3. Determinar la sección producida en la pieza dada por el plano definido por los puntos A. Colegio Retamar. Z B A A D C Y B X C 72 . Determinar la verdadera magnitud del ángulo que forma la cara ABCD con el plano XY. Determinar la sección producida en el prisma por el plano definido por los puntos A. B y C. Representar en perspectiva isométrica la pieza adjunta. A B C 4. Colegio Retamar. Dibujar en perspectiva isométrica el cuerpo definido por sus Dadas las proyecciones de la pieza siguiente. en el sistema diédrico. z Z r B=B2 A=A3 r1 X Y s1 x y 8. Hallar la verdadera magnitud de la longitud del segmento AB. dibujarla en isométrico (no aplicar reducción). que es paralelo al plano XOY. Madrid 9. Calcular el valor del ángulo que forman. Las rectas r y s pertenecen a un plano cuyas rectas horizontales (paralelas al XY) forman 60º con el ZY. 7. Las rectas r y s están situadas en el plano horizontal del sistema isométrico dado. Hallar la proyección directa de la recta s. 10.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Z r Y s X 73 . 12. La sombra del extremo A del mástil vertical a se proyecta en el punto P del plano Oxy. Representar en perspectiva isométrica la pieza dada a escala E=1:1. Colegio Retamar. Madrid 13. dada en diédrica. Ø vástago Y Z O X A P=P 1 B a O b cabeza exagonal x z A1 B1 74 . y 14. situando su eje longitudinal paralelo al OY.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Determinar la sombra producida por el mástil b. Representar en perspectiva isométrica la pieza adjunta. 11. con la misma iluminación de rayos paralelos. Representar el “dibujo isométrico” de la pieza dada en sistema diédrico. Z X Y Y Y X X 75 . Representar en dibujo isométrico la figura dada por sus vistas en sistema europeo. Representar como dibujo isométrico la pieza adjunta. Z 15. Madrid 17. trazar el dibujo isométrico de la pieza.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Representar en dibujo isométrico la pieza adjunta. dada en diédrico. Z Z 18. dada en diédrico. Colegio Retamar. Conociendo las vistas principales. Z Z X X O Z X Y Z X X Y O X Y Y 16. a 76 . y de magnitud 2a.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Madrid TEMA 1 6 SISTEMA CÓNICO DE PERSPECTIVA LINEAL EJERCICIO RESUELTO 2 Dibujar el cubo después de una traslación paralela a la arista a. Colegio Retamar. la nueva posición del cubo de lado a cuando se le ha girado 135º alrededor de su arista vertical e. en la perspectiva lineal que se ofrece. CROQUIS 5° 13 e a EJERCICIO RESUELTO 4 Añadir a la perspectiva de escalera un tercer peldaño cuya huella (parte horizontal) duplica a las anteriores.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Colegio Retamar. Madrid EJERCICIO RESUELTO 3 Representar. 77 . y dividir la primera contrahuella (parte vertical en cinco baldosas de idéntica anchura. Madrid A partir del cubo dado. Colegio Retamar. A C B 78 . B y C. P EJERCICIO RESUELTO 6 Hallar el corte del cubo por el plano que pasa por los tres puntos A. aplicarle una homotecia de razón 2/3 y centro de homotecia el vértice P.Dibujo Técnico II EJERCICIO RESUELTO 5 Ricardo Moreno Luquero. LH LT PC V 79 . Colegio Retamar.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Madrid Realizar las perspectivas cónicas a escala 2:1 de los siguientes dibujos: 1. LH LT PC V 2. LH LT V PC 80 . Colegio Retamar. Madrid LH LT PC V 4. Ricardo Moreno Luquero.Dibujo Técnico II 3. Madrid Dibujar en perspectiva cónica el siguiente conjunto. LH LT PC V 81 . Colegio Retamar. Ricardo Moreno Luquero. LH LT PC V 6. a escala 2 : 1. a escala 3:1. Realizar la perspectiva cónica del edificio adjunto.Dibujo Técnico II 5. Dibujo Técnico II 7. Ricardo Moreno Luquero, Colegio Retamar, Madrid Dibujar la perspectiva cónica del sólido adjunto, a escala doble. Cotas en milímetros. LH LT PC V 8. Dibujar en perspectiva cónica el conjunto representado. LH LT PC V 82 Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero, Colegio Retamar, Madrid 9. Dibujar en perspectiva cónica oblicua la figura dada por sus dos proyecciones, siendo el alejamiento del punto de vista vV'=60 mm, la cota vv'= 32 mm y la escala 2:1, tanto en los datos como en las cotas. V' v v' V 10. Dadas las proyecciones diédricas, dibujar la perspectiva cónica frontal de este módulo obtenido a partir de un cubo de 15 mm de arista. Coordenadas del punto de vista: V(-95, 125, 75). Origen de coordenadas: O. No borrar las construcciones auxiliares. LT O2 α1 O1 83 Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero, Colegio Retamar, Madrid 11. Dibujar en perspectiva cónica la figura definida por sus vistas. Datos: alejamiento del punto de vista vV = 80 mm, cota vv'=80 mm, ángulo = 30º; cotas en milímetros; escala 1:1. V' 16 v 15 25 60 v' 30° V PC 12. Dados los cuadrados A y B en perspectiva cónica oblicua, inscribir dos círculos en éstos según el sistema cónico. A F2 LH P F1 60 B LT 100 84 Madrid 13. Dibujar en perspectiva cónica la figura definida por sus vistas. Colegio Retamar. cota vv'= 40 mm. V' v v' 30° PC V 14. Datos: alejamiento del punto de vista v' V = 60 mm. cotas en las mismas. B P A D LH b a LT 85 . Determinar la verdadera magnitud del segmento AB. del que se conocen las proyecciones cónicas de sus extremos. ángulo = 30º y escala E = 2:1.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. v'V = 60 mm. LH LT PC v' 86 . Dibujar en perspectiva cónica la figura definida. Madrid 15. Colegio Retamar. Datos. Datos. escala 2:1. Dibujar en perspectiva cónica la figura definida por sus vistas. LH LT v' V PC 16.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. v'V = 80 mm. escala 2 : 1. Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Colegio Retamar. Determinar la nueva posición del cubo. Madrid 17. LT 18. D A B C 87 . tras desplazarlo en la traslación definida por la diagonal AC. representado en perspectiva lineal en al figura. Hallar en verdadera magnitud la longitud de la diagonal del cubo dado en perspectiva y situada sobre el suelo. Madrid TEMA 17 SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS EJERCICIO RESUELTO 1 Sobre los aleros dados se desea construir una cubierta a dos aguas. Colegio Retamar. 88 . cuyos planos tengan un talud de 0’5 cm.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Dibujar la cubierta. Dibujo Técnico II EJERCICIO RESUELTO 2 Ricardo Moreno Luquero. EJERCICIO RESUELTO 3 Hallar el perfil que el plano P produce en el terreno que se da. Madrid Completar la planta y el alzado de la cubierta. Colegio Retamar. Todas las vertientes forman 30º con el plano horizontal. determinando las intersecciones de los planos que la constituyen. K J P 7 6 5 4 3 2 1 0 H G F E D C B A I 89 . B (8’5. Madrid Sobre un plano ascendente de talud 2 cm. Dibujar el conjunto final del terreno y el perfil por un plano vertical perpendicular al lado AB que pasa por su punto medio.Dibujo Técnico II EJERCICIO RESUELTO 4 Ricardo Moreno Luquero. 5). Colegio Retamar. cuya traza está en el eje x. 5). 13. Talud de los desmontes: 0’5cm. Talud de los terraplenes: 1cm. se construye una explanación cuadrada ABCD horizontal. Datos: A (5. 11. 90 . de talud 3/2. en posición vertical. Madrid 1. a 4 cm de la parte inferior de la lámina. Colegio Retamar. 91 . La línea de nivel de cota 0. Se pide: a) Representar el conjunto del terreno con sus desmontes y terraplenes y con las líneas de nivel d cota entera.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. El talud de los desmontes es ½ y el de los terraplenes es ¾. Se considera un plano P ascendente. Los vértices A y B se proyectan respectivamente sobre horizontales de cota 11 y 12 del plano P. Se desea construir una explanación cuadrada ABCD de 5 de lado y cota 10. El punto B está a la derecha del A. Nota: la lámina. b) Dibujar el perfil del conjunto por el plano vertical equidistante y paralelo a los lados AD y BC. Medidas en cm. Colegio Retamar. El talud de los terraplenes es de 1cm y el de los desmontes es 2/3. La traza de la ladera es una línea horizontal que dista 1 cm del eje x. Hallar el plano topográfico de la explanación y el perfil por el plano vertical paralelo al AB y que pasa por el punto medio de la pista. D(8. 5). 8.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. B (7. 5). 5) cm. En la ladera de talud 2 cm se va a construir una pista de tenis de vértices ABCD. Datos: A(5. 13. Madrid 2. 9. C(10. 14. 92 . 5). Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Colegio Retamar. A B C D EJERCICIO RESUELTO 2 Acotar la pieza representada. realizando en las propias vistas los cortes que se consideren necesarios. Madrid TEMA 18 NORMALIZACIÓN Y ACOTACIÓN EJERCICIO RESUELTO 1 Rerlacionar las secciones representadas con los cortes indicados en la figura. rellenando la tabla que se adjunta. A B C D Sección 1 Sección 2 Sección 3 Sección 4 Corte Sección (indicar el nº) A-A B-B C-C D-D 2 93 . Madrid Representar y acotar en diédrico la pieza adjunta. representada en el dibujo isométrico. 15 20 Pieza 2 15 0 Ø1 6 Ø1 4 Ø2 A B 94 10 10 . Representar el alzado de la pieza 1 con un corte a 90º. 60 EJERCICIO RESUELTO 6 La pieza 1. Pieza 1 0 Ø2 0 Ø4 EJERCICIO RESUELTO 4 Representar el corte AB de la pieza en la posición que le corresponda. EJERCICIO RESUELTO 5 Acotar según normas la pieza representada por sus vistas diédricas. Los agujeros son pasantes. Acotar según normas.Dibujo Técnico II EJERCICIO RESUELTO 3 Ricardo Moreno Luquero. añadiendo los cortes y/o secciones que se consideren necesarios. cortes y/o secciones que se consideren necesarios. dando las vistas. Colegio Retamar. tiene en su interior un hueco que se ajusta a la pieza 2. Dibujo Técnico II EJERCICIO RESUELTO 7 Ricardo Moreno Luquero. Madrid Representar y acotar según normas. cortes y/o secciones que se consideren necesarias. 40 10 10 10 10 40 30 ALZADO 95 10 . 20 Representar y acotar en diédrico la pieza adjunta. dando las vistas. las tres vistas principales de las siguientes piezas: 1. dada en perspectiva isométrica. a escala E= 1:1. Colegio Retamar. Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 5 14 12 5 20 35 22 35 10 24 10 15 50 36 17 25 10 50 17 ALZADO 20 ALZADO 96 25 12 . Colegio Retamar. 8 35 3. Madrid 2. 4. Madrid 7. según normas. 97 . la pieza de revolución que aquí se representa. para su correcta definición dimensional. la pieza de revolución que aquí se representa. 5.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. 8. a partir de las dos vistas proporcionadas: alzado y perfil izquierdo. Completar la representación diédrica dada con la vista lateral derecha. Completar la representación de la figura con la tercera vista. para su correcta definición dimensional. según normas. 6. Colegio Retamar. Acotar. Completar la representación diédrica dada con la vista lateral derecha. Acotar. Todos los taladros son pasantes. Madrid 11. Colegio Retamar. teniendo en cuenta que se debe delinear la mitad en proyección y la otra mitad en corte. Completar la representación diédrica con la vista lateral derecha. la pieza adjunta dada en isométrica. 12. con las vistas que se consideren necesarias.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Completar el alzado de la pieza dada. Representar en sistema diédrico. Sustituir la vista menos significativa de la representación adjunta por otra más adecuado que incluya los cortes y/o secciones que se consideren oportunos. Acotar el objeto sin especificar el valor de las dimensiones. 98 . 10. 9. cortes y/o secciones que se consideren necesarios. Los cuatro agujeros son pasantes. Z Y X 15. 13. Representar en diédrico la pieza dada en perspectiva isométrica. Cy=1 y el diámetro mayor es de 60 mm. a escala E=1:1. cortes y/o secciones que se consideren necesarios. una tercera vista. mediante vistas.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. dando las vistas. la pieza adjunta. 99 . con sección por su plano de simetría. Representar y acotar en diédrico. Representar. Colegio Retamar. Madrid 14. según normas. dando las vistas. 17. 36 100 . Ambos taladros son pasantes. Representar en diédrico la pieza dada en perspectiva isométrico. Colegio Retamar.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Representar y acotar en diédrico la pieza adjunta. cortes y/o secciones que se consideren necesarias . Madrid 16. la parte izquierda que le falta. para su correcta definición dimensional. conforme a la norma UNE.Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Completar la representación de la figura. Acotar en dicho perfil. 23. 20. la pieza de revolución que aquí se representa. la pieza de revolución que aquí se representa. según normas. 22. Acótese según normas para su correcta definición dimensional. Madrid 21. añadiendo –sin seccionar. Completar la representación diédrica dada con la vista lateral derecha. Colegio Retamar. Acótese según normas para su correcta definición dimensional. que corresponde a una pieza de revolución con un “corte a una cuarto”. según normas. Completar la representación de la figura. que corresponde a una pieza de revolución con un “corte a una cuarto”. 101 . añadiendo –sin seccionar. 19. Acotar. 18. para su correcta definición dimensional. Acotar. Representar el perfil seccionado “al cuarto” de la pieza dada por su alzado y planta en sistema europeo a E 1:1.la parte izquierda que le falta. todas las cotas necesarias para la correcta definición dimensional de la pieza. Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero. Acotar la pieza de la representación adjunta añadiendo a esta los cortes o secciones que se consideren convenientes para su correcta definición y acotación. La representación de la figura corresponde a una pieza de revolución con un “corte a un cuarto”. Madrid 26. según normas. Acotar la pieza de la figura representada en diédrico. Acótese. Colegio Retamar. 102 . para su correcta definición dimensional. 25. 24.