5.Después de analizar económicamente un proyecto se obtuvieron las siguientes cifras: inversión inicial, $ 310,000; ganancia neta anual de $ 130,000 cada año durante 5 años; valor de salvamento de los activos al final del quinto año. $160,000. Las aportaciones de dinero para la inversión inicial fueron: accionistas 60%, TMAR = 43%; Banco A 20%, interés que cobra el banco, 35%; Banco B 25% de la inversión y una tasa de interés por el préstamo de 55%. Calcúlese la TMAR mixta y determine la conveniencia económica de la inversión por el VPN y TIR. Solución: Diagrama de Flujo: Aportación Interes Promedio Accionistas 60% 43% 0.258 Banco “A” 20% 35% 0.07 Banco “B” 25% 55% 0.138 Total 1.05 0.466 𝑇𝑀𝐴𝑅𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜 = 0.466 = 46.6% Aplicando la fórmula: 130,000 130,000 130,000 130,000 𝑉𝑃𝑁 = −310,000 + + 2 + 3 + (1 + 46.6%) (1 + 46.6%) (1 + 46.6%) (1 + 46.6%)4 130,000 160,000 + + (1 + 46.6%)5 (1 + 46.6%)5 𝑉𝑃𝑁 = −48374.54 130,000 130,000 130,000 130,000 130,000 𝑉𝑃𝑁 = 0 = −310,000 + + + + + (1 + 𝑖) (1 + 𝑖)2 (1 + 𝑖)3 (1 + 𝑖)4 (1 + 𝑖)5 160,000 + (1 + 𝑖)5 𝑖 = 37.28% = 𝑇𝐼𝑅 𝑇𝐼𝑅 < 𝑇𝑀𝐴𝑅 Se rechaza la 𝑉𝑃𝑁 < 0 inversión 7. Una persona contrató su servicio telefónico domiciliario y en el momento del contrato adquirió unas acciones de la empresa en $ 1,200. Esta persona no cobró los intereses en ningún periodo; después de 8 años, un comprador le ofrece $ 3,350 por las acciones. Si decide vender las acciones, ¿qué tasa de interés anual habrá ganado a lo largo de los ocho años? Solución: Diagrama de Flujo: Aplicando la fórmula: 3350 VPN = 0 = −1200 + (1 + 𝑖)8 𝑖 = 13.69% ≅ 13.7% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 14. Encuentre el VPN del problema 2, si la TMAR es del 8 %. Solución: Diagrama de Flujo: 𝑇𝑀𝐴𝑅 = 𝑖 = 8% 80 30 100 100 𝑉𝑃𝑁 = −250 + + + + (1 + 0.08) (1.08)2 (1.08)4 (1.08)5 𝑉𝑃𝑁 = −8.64 21. Una constructora desea adquirir una Mezcladora para utilizarla en sus construcciones. El periodo de planeación es de cinco años y la TMAR de la constructora es del 8 % anual. ¿Cuál Mezcladora debe seleccionarse si se calcula el VPN? (Véase la tabla). M1 M2 Costo inicial 2,600 3,400 Beneficio anual (años 1 a 5) 460 740 Costo de mantenimiento anual (años 1 a 5) 100 140 Valor de salvamento 1,300 1,500 Solución: Datos para M1: Tasa de interés 8% Costo inicial 2600 Beneficio anual (1 a 5 años) 440 Costo de mantenimiento (1 a 5 años) 100 Valor de salvamento 1300 Aplicando la fórmula: 𝑛 𝐹𝑁𝐸 𝑉𝑆 𝑉𝑃𝑁𝑀1 = −𝑃 + ∑( 𝑛 + ) (1 + 𝑇𝑀𝐴𝑅) (1 + 𝑇𝑀𝐴𝑅)𝑛 𝑖 (460 − 100) 360 360 360 360 1300 𝑉𝑃𝑁𝑀1 = −2600 + + 2 + 3 + 4 + 5 + (1 + 8%) (1 + 8%) (1.08) (1.08) (1.08) (1.08)5 𝑉𝑃𝑁𝑀1 = −277.87 ≅ −278 Datos para M2: Tasa de interés 8% Costo inicial 3400 Beneficio anual (1 a 5 años) 740 Costo de mantenimiento (1 a 5 años) 140 Valor de salvamento 1500 Aplicando la fórmula: 𝑛 𝐹𝑁𝐸 𝑉𝑆 𝑉𝑃𝑁𝑀2 = −𝑃 + ∑( + ) (1 + 𝑇𝑀𝐴𝑅)𝑛 (1 + 𝑇𝑀𝐴𝑅)𝑛 𝑖 (740 − 140) 600 600 600 600 1500 𝑉𝑃𝑁𝑀2 = −3400 + + 2 + 3 + 4 + 5 + (1 + 8%) (1 + 8%) (1.08) (1.08) (1.08) (1.08)5 𝑉𝑃𝑁𝑀2 = 16.5 Por tanto la mezcladora M2 debe seleccionarse. 28. Una empresa para estatal de enorme expansión ha fijado una TMAR propia 11.5 %y ha podido aportar hasta 53.7% del capital total de la empresa, que asciende de a $ 25,000 millones. Hasta ahora ha recibido financiamiento de los bancos mostrados en la tabla. Esta empresa piensa elevar su capital a $28,750 millones mediante un financiamiento adicional, pero el trato es que, por cada 5 % de aumento en financiamiento sobre el capital total actual, la tasa del préstamo se elevará en 1.5 puntos porcentuales sobre su TMAR mixta actual. Si la empresa ha calculado que el porcentaje de rendimiento que se obtendrá en los años siguientes es de 11.1% ¿cuál es el endeudamiento máximo a que puede llegar, adicional a su deuda actual, para no tener problemas financieros en el futuro? Banco % aportación Interés Squeezer National Bank 18.5 8.0 Saving Lost Bank 5.1 7.1 Loan Shark Bank 22.7 12.4 Aportación Interés Promedio Empresa 53.7% 11.5% 0.0618 Squeezer National Bank 18.5% 8% 0.0148 Saving Lost Bank 5.1% 7.1% 0.0036 Loan Shark Bank 22.7% 12.4% 0.0281 Total 100% 0.1083 𝑇𝑀𝐴𝑅𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜 = 0.1083 = 10.83% La empresa eleva su capital a $28,750 con la condición de que por 5 % de aumento del capital total, la tasa aumenta en 1.5% de su 𝑇𝑀𝐴𝑅𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜 Primer aumento de 5% de $25,000 asciende a $1,250 con una Tasa de interés de 10.83% + 1.5% = 12.33% Aportación Aportación Interés Promedio Empresa 13,425 51.14% 11.5% 5.88% Squeezer National Bank 4,625 17.62% 8% 1.41% Saving Lost Bank 1,275 4.86% 7.1% 0.35% Loan Shark Bank 5,675 21.62% 12.4% 2.68% Financiamiento 1,250 4.76% 12.33% 0.58% adicional Total 26,250 100% 10.90% 𝑇𝑀𝐴𝑅𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜 = 10.90% Segundo aumento de 5% de $25,000 asciende a $1,250 con una Tasa de interés de 10.90% + 1.5% = 12.40% Aportación Aportación Interés Promedio Empresa 13,425 48.82% 11.5% 5.61% Squeezer National Bank 4,625 16.82% 8% 1.35% Saving Lost Bank 1,275 4.64% 7.1% 0.33% Loan Shark Bank 5,675 20.64% 12.4% 2.56% Financiamiento 1,250 4.55% 12.33% 0.56% adicional Financiamiento 1,250 4.55% 12.40% 0.56% adicional Total 27,500 100% 10.97% 𝑇𝑀𝐴𝑅𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜 = 10.97% Tercer aumento de 5% de $25,000 asciende a $1,250 con una Tasa de interés de 10.97% + 1.5% = 12.47% Aportación Aportación Interés Promedio Empresa 13,425 46.70% 11.5% 5.37% Squeezer National Bank 4,625 16.09% 8% 1.29% Saving Lost Bank 1,275 4.43% 7.1% 0.31% Loan Shark Bank 5,675 19.74% 12.4% 2.45% Financiamiento 1,250 4.35% 12.33% 0.54% adicional Financiamiento 1,250 4.35% 12.40% 0.54% adicional Financiamiento 1,250 4.35% 12.47% 0.54% adicional Total 28,750 100% 11.04% 𝑇𝑀𝐴𝑅𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜 = 11.04% Primer aumento adicional al establecido de 5% de $25,000 asciende a $1,250 con una Tasa de interés de 11.04% + 1.5% = 12.54% Aportación Aportación Interés Promedio Empresa 13,425 44.75% 11.5% 5.15% Squeezer National Bank 4,625 15.42% 8% 1.23% Saving Lost Bank 1,275 4.25% 7.1% 0.30% Loan Shark Bank 5,675 18.92% 12.4% 2.35% Financiamiento 1,250 4.17% 12.33% 0.51% adicional Financiamiento 1,250 4.17% 12.40% 0.52% adicional Financiamiento 1,250 4.17% 12.47% 0.52% adicional Financiamiento 1,250 4.17% 12.54% 0.52% adicional Total 30,000 100% 11.10% 𝑇𝑀𝐴𝑅𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜 = 11.10% Este es el rendimiento esperado por la empresa, por lo que el endeudamiento adicional asciende a $1,250 sobre los $28,750, con un 𝑇𝑀𝐴𝑅𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜 = 11.10% 35. Una compañía minera ha hecho exploraciones durante cierto tiempo, en la búsqueda de alguna veta aurífera, Finalmente, al cabo de 27 meses de iniciadas las actividades encontró un yacimiento. Los datos de sus costos se muestran en la tabla. Mes Concepto Costo (en millones) 0 Compra de equipo 102 1-15 Mantenimiento mensual de la exploración 21 16-20 Mantenimiento mensual de la exploración 25.5 20 Equipo adicional 62.8 21-27 Mantenimiento mensual de la exploración 26.5 28 Evaluación del yacimiento 10.8 29 Costo de instalaciones de extracción y 1,005.00 procesamiento Estimaciones hechas por expertos señalan que es posible obtener una cantidad mensual de metal con un valor de $32 millones, por un periodo de 8 años, a partir del mes 30; al cabo de los 8 años, la veta se agotaría. El valor de salvamento de todas las instalaciones y equipo se estima en 250 millones. Determínese la TIR anual de la inversión a lo Largo de los 10 años y 5 meses de negocio minero. Aplicando la fórmula: 21 21 21 25.5 25.5 𝑉𝑃𝑁 = 102 + + + ⋯ + + + +⋯ (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%)2 (1 + 𝑖%)15 (1 + 𝑖%)16 (1 + 𝑖%)17 25.5 62.8 26.5 26.5 + 20 + 20 + 21 + +⋯ (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%)22 26.5 10.8 1005 32 32 + 2 + 28 + 2 − 30 − (1 + 𝑖%) 7 (1 + 1%) (1 + 1%) 9 (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%)31 32 250 − ⋯− + (1 + 𝑖%)125 (1 + 𝑖%)125 21 21 21 25.5 25.5 𝑉𝑃𝑁 = 0 = 102 + + 2 + ⋯+ 15 + 16 + (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%)17 25.5 62.8 26.5 26.5 + ⋯+ + + + +⋯ (1 + 𝑖%)20 (1 + 𝑖%)20 (1 + 𝑖%)21 (1 + 𝑖%)22 26.5 10.8 1005 32 32 + 2 + 28 + 2 − 30 − (1 + 𝑖%) 7 (1 + 1%) (1 + 1%) 9 (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%)31 32 250 − ⋯− 125 + (1 + 𝑖%) (1 + 𝑖%)125 Se rechaza la 𝑖 = 0.92% = 𝑇𝐼𝑅 inversión Sol: Hoja de Cálculo de Excel 42. La gerencia de explotación de una compañía petrolera recibió los siguientes datos sobre un pozo petrolero: inversión en equipo en el tiempo cero de $15 853 dólares. Gastos de exploración al final del primer semestre de $20000 dólares. Gastos de instalación para la extracción de crudo de $20000 dólares, al final del primer año. Los ingresos se calculan en $20000 dólares, al final de cada uno de los años del 2 al 7, cantidad que disminuirá a $15 000 dólares al final del año 8, a $10 000 dólares al final del año 9 y a $5000 dólares al final del año 10, momento en que se abandonaría el pozo. Si la compañía petrolera explotara comercialmente este pozo, determine la tasa de rendimiento anual que ganaría por la inversión. Solución: Diagrama de Flujo: 2 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑐.𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = ((1 + 𝑖 ´ ) − 1) 2 𝑖 = ((1 + 𝑖 ´ ) − 1) , 𝑖 = 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑐.𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 1 𝑖´ = (1 + 𝑖´)2 − 1 , 𝑖´ = 𝑖𝑒𝑓𝑒𝑐.𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Aplicando la fórmula: 20000 20000 20000 20000 20000 20000 𝑉𝑃𝑁 = 0 = −15853 − 1 − 1 + 2 + 3 + 4 + (1 + 𝑖´) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖)5 20000 20000 20000 15000 10000 5000 + + + + + + (1 + 𝑖)6 (1 + 𝑖)7 (1 + 𝑖)7 (1 + 𝑖)8 (1 + 𝑖)9 (1 + 𝑖)10 Se obtiene: 𝑖 = 26.24 % 𝑖´ = 12.36 % El interés efectivo anual será del 26.24% 49. El señor Pedro Picapiedra compró a ORBE LTDA. un lote de terreno por valor de $20.000.000 y se comprometió a pagarlo de la siguiente forma: una cuota inicial de $5.000.000, un pago de $3.500.000 dentro de 4 meses, un pago de $5.500.000 dentro de 6 meses y un pago de $ 10.000.000 dentro de 12 meses. Calcular la tasa de interés que le cobraron en la operación. Solución: Diagrama de Flujo: Aplicando la fórmula: En el presente: 20,000 – 5,000 = 15,000 3500 5500 10000 𝑉𝑃𝑁 = 0 = −15000 − 4 − 6 + (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖)12 𝑖 = 2.78% 56. Usted abre una cuenta de ahorros con $ 10.000.000 y después de 4 meses retira $ 8.000.000. A partir del final del mes 6 y durante 3 meses consecutivos deposita $ 500.000 cada mes. Calcular la tasa de interés que le pagaron, sí al final del año puede retirar de la cuenta$ 4.965.480. Solución: Diagrama de Flujo: Aplicando la fórmula: 8000 500 500 500 4965.48 𝑉𝑃𝑁 = 0 = −10000 + 4 − 6 − 7 − 8 + (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖) (1 + 𝑖)12 𝑖 = 2.00% 63. Una concesionaria local está anunciando el alquiler estándar de su nuevo auto deportivo de la serie XT 3000, durante 24 meses a $1,150 por mes. El alquiler estándar requiere un enganche de $4,500, más un depósito inicial reembolsable de $1,000. El primer pago del alquiler debe efectuarse al finalizar el primer mes. Por otra parte, el concesionario ofrece un plan de arrendamiento de 24 meses que requiere un pago único por adelantado de $30,500, más un depósito inicial reembolsable de $1,000. En ambas opciones, el depósito inicial será reembolsado al término del mes 24. Considere una tasa de interés del 6% compuesto mensual. Con el criterio del valor presente, ¿cuál opción es preferible? Solución: OPCION 1: INTERES: 0.06 PERIODOS PAGO MENSUAL PAGO ACTUAL 0 5500.00 5500.00 1 1150.00 1084.91 2 1150.00 1023.50 3 1150.00 965.56 4 1150.00 910.91 5 1150.00 859.35 6 1150.00 810.70 7 1150.00 764.82 8 1150.00 721.52 9 1150.00 680.68 10 1150.00 642.15 11 1150.00 605.81 12 1150.00 571.51 13 1150.00 539.16 14 1150.00 508.65 15 1150.00 479.85 16 1150.00 452.69 17 1150.00 427.07 18 1150.00 402.90 19 1150.00 380.09 20 1150.00 358.58 21 1150.00 338.28 22 1150.00 319.13 23 1150.00 301.07 24 1150.00 284.03 TOTAL 19932.91 REEMBOLSO 1000.00 $18932.91 OPCION 2: 31500 – 1000 = $30500 Se elige la opción 1, por ser menor. 70. Suponga que usted depositó $1,000 en su cuenta de ahorros hace cinco años, y luego otros $1,000 hace tres años. Si el saldo actual de su cuenta es de $2,529.24, ¿cuál es la tasa de retorno de su depósito? Solución: Diagrama de Flujo: Aplicando la fórmula: 1000 2529.24 𝑉𝑃𝑁 = 0 = −1000 − + (1 + 𝑖)2 (1 + 𝑖)5 𝑖 = 6.00% = 𝑇. 𝐼. 𝑅.