Ejercicios propuestos1. Halle el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas de y = x− 2. 1 2 x , y = 0 , x = 1 , x = 3 gira alrededor del eje X. 4 Hallar el volumen generado en la rotación del área del primer cuadrante limitada por la parábola y 2 = 8 x y la recta x = 2 , con respecto al eje x. 3. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por la parábola y 2 = 4x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y. 4. Halle el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región que se halla en el primer cuadrante y que está limitada por las gráficas y2 = x, y = 0 , x = 1 , x = 4 . 5. En los ejercicios siguientes formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido formado al girar la región alrededor del eje y __________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA 1 Hallar el volumen generado al rotar las curvas alrededor del eje X: a. x 0= . = y 1 . y = 0 c. x 3 x __________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA 2 .= y b. 1 = .Alrededor del eje x Alrededor del eje y Alrededor del eje y Alrededor del eje x Alrededor del eje x 6.= y 0= . 7. Encontrar el volumen del sólido (el segmento esférico) sobre el plano. Alrededor del eje y Una esfera de radio r es cortada por un plano situado h (h < r ) unidades sobre el ecuador. y 0= . x 1= . x 4 x +1 y= x 9 − x2 . Fig. x= −1 .x 1 x f.(2) c. x= 3 h. (1) b. = y e− x = . 1 y =x . y= x2 + 1 . y = − x2 + 2x + 5 . La región circundada por = x 2sin 2 y = . x= 0 . y 0= . 0 ≤ y ≤ π 2 . x 0= . y = 0 . x π j. x 0= . x= 8 2 x+4 . La región circundada por x = 5 y2 . 2 La región circundada por = x y 3= . = y sen x = . x = 0. y = 0.Fig. x = 2 En los ejercicios siguientes. Fig. − 2 ≤ y ≤ 0 . x 0= . x 0 . determine el volumen de cada uno de los sólidos generados al hacer girar la región acotada por las rectas y curvas dadas alrededor del eje y a. y= −1 . La región circundada por x= cos (πy 4) . x 4 g. x = 0 . Fig. (2) Fig. = y e2 = .(1) Fig. y 2 . x = i. (3) d. x 0= . (4) __________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA 3 . y= e x 2 + e −x 2 . x 0= . 8. y 0= . = y 2 = . y 0= .x 6 x +1 e.d. y 0= . y = 1 . Fig. 1 ≤ y ≤ 4 . eje x 2 2 b. x 0. x − y = 16. eje x c. 4 x 2 + 9 y 2 = 36 . e. x= 2 y ( y 2 + 1) . eje y 10. = y 2 x 2= . f. (4) La región circundada por x =2 ( y + 1) . alrededor del eje y (ver figura 5) Fig. eje x . y =0 . x = 0 .= y 4 x − x 2 . y = 1 Calcular el volumen del sólido generado al girar la región dada alrededor del eje indicado: a. = y x .= x 0.Fig. y 0. eje x 2 f.= y 16 . y = x − 5 x + 6. eje y 2 d. y =3 . x =0 . (5) __________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA 4 . x = 8. eje x e. y = 0 . Determinar el volumen del sólido resultante al hacer girar la región comprendida entre el eje y y la curva = x 2 / y . = y 4 x 2= .= x 5. (3) 9. y = 0. 8) __________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA 5 . El volumen de un tanque de combustible Un tanque en el ala del avión de motor de reacción tiene la forma de un sólido de revolución generado al girar la región acotada por la gráfica= de y 1 8 x 2 2 − x y el eje x (0 ≤ x ≤ 2) alrededor del eje x . imagine la sartén como un sólido de revolución semejante al que se muestra a continuación y calcule su volumen con una integral.5 g / cm3 . Diseño de un sartén Se le pide diseñar una sartén con forma de tazón esférico con asas. ¿Qué volumen tiene la sartén realmente? Redondee la respuesta al centímetro cubico más cercano (1L=1000 cm3 ) (Fig. 7) Fig(7) Fig(6) 13. Para asegurarse de ello. Diseño de una plomada se le ha pedido que se diseñe una plomada que pese alrededor de 190 g. Para cumplir su cometido. Su experiencia doméstica le indica que puede obtener una sartén con capacidad para 3 L si la construye con 9 cm de profundidad y un radio de 16 cm. (Fig. Determine el volumen de la plomada. 6) 12. donde x y y son medidos en metros. decide que su forma debe ser parecida a la del sólido de revolución que se muestra a continuación. Si para su fabricación elige latón que tiene un peso de 8. ¿Cuánto pesará la plomada (redondee al gramo más cercano)? (Fig.11. (Fig.9) a.5 1 0. alrededor del eje x (las medida están en pies).8 14.5 0 1 1 0 -4 0 -2 0 2 4 0 -1 -1 (Fig. usted tiene que diseñar un tanque auxiliar de gasolina que deberá caber en la parte inferior del fuselaje. ¿Cuántos pies cúbicos de gasolina podrá contener el tanque (redondee al pie más cercano)? b. − 4 ≤ x ≤ 4 . Después de experimentar un poco en su mesa de dibujo.5 0.Fig. ¿Cuántas millas adicionales podrá volar una vez que se instale el tanque (redondee a la milla más cercana)? 2 1 1. Tanque auxiliar de gasolina. Un pie cúbico equivale a 7. Si el helicóptero recorre 2 millas por galón..481 galones. Con el propósito de ampliar el alcance de un helicóptero. decide que la forma del tanque será parecida a la superficie generada al hacer girar la curva y =1 − ( x 2 16) .9) __________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA 6 .