Ejercicios de Variable Aleatoria Discreta TONY

Ejercicios de variable aleatoria discreta: N: 1 En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuación se lanzan tres dados. Si el número elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veces lo apostado, y se recupera ´este. Si no aparece el número elegido, se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia. Obtener E(X). Resolución:  x P( x) Sea x la variable aleatoria que proporciona la ganancia -1 125/216 1 15/216 2 75/216 3 1/216 E [X] = −1 × 125 /216 + 1 × 15 /216 + 2 × 75 /216 + 3 × 1/ 216 = −0,078 N: 2 x 1 2 3 4 P( x) 0,05 0.20 0.05 0.45 Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad, 5 0.25 1. Comprobar que es una función de probabilidad. 2. Calcular P(x ≤ 3). 3. Calcular P(x > 3). 2. Calcular P(x ≤ 3). 3. Calcular P(x > 3). 4. Calcular P(x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5). 5. Calcular E(X). 6. Representar la función de distribución FX(x). Se define la función indicatriz del suceso A como aquella función IA tal que IA = 1 si A es cierto e IA = 0 si A es falso. Resolución: .3 P(x > 3) = 1 − P(x ≤ 3) = 1 − Fx (3) = 0. 0 x Ɇ A E [IA] = 1 × P(A) + 0 × P (Ā) = P(A) Luego E [IA] indica la probabilidad de que la componente funcione. Se verifica que P (xi) ≥ 0.Resolución: 1.7 P(x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5) = P(x = 1) + P(x = 3) + P(x = 5) = 0.05 + 2 × 0. 35 E [X] = 1 × 0.65 N: 3 Fiabilidad de un componente. Representar F(x) y calcular la función de probabilidad de esta variable. 5. Para una componente de un sistema. 3. 2. N: 4 Sea una variable aleatoria definida por su función de distribución: 1.25 = 3.20 + · · · + 5 × 0. ∀i y Pn i=1 P (xi) = 1 P(x ≤ 3) = Fx (3) = 0. 4. Calcular E(X). sea A el suceso “la componente funciona”. ¿Qué indica E (IA)? Resolución: Sea IA la variable aleatoria definida como IA(x) = 1 x E A. 2. 5) − F (0.5) = F (0. 6. p (−2) = P(x = −2) = F (−2) − F (−2-) = 0.4 p (3) = P(x = 3) = F (3) − F (3. número de caras obtenidas: p (0) = 1/ 8 p (1) = 3/ 8 p (2) = 3/ 8 p (3) = 1/ 8 N: 6 Sea X la variable aleatoria que representa la demanda semanal de una máquina de premios que esta puesta en un supermercado. 7 si x= 4.5 × 0.4 − 0 = 0. E [X] = −2 × 0.2 = 0 N: 5 Se lanza una moneda tres veces.2 2. sea X el número de caras obtenidas.) = 1 − 0.5) = P(x = 0.5 -) = 0.4 + · · · + 3 × 0. F(x)= x2-3x 60 Encuentre: para x= 4.4 = 0.8 − 0.4 + 0. La función de probabilidad para Z está dada por. 7 . 6.4 p (0.1. 5. 5. Resolución: Sea x la variable aleatoria.8 = 0. Hallar la función de probabilidad y de distribución de X. a) la distribución acumulada b) la desviación estándar Función de Probabilidad X P (Xi) 4 5 6 7 4/60 10/60 18/60 28/60 P(X=4)= (4)2-3/4) = 4/60 60 2 P(X=5)= (5) -3/5) = 10/60 60 2 P(X=6)= (6) -3/6) = 18/60 60 2 P(X=7)= (7) -3/7) = 28/60 60 Resolución: a) Función de Distribución Acumulada X 4 5 6 7 P(X) 4/60 10/60 18/60 28/60 F(X) 0+4/60 = 4/60 4/60+10/60 = 14/60 14/60+18/60 = 32/60 32/60+28/60 = 1 Media µ = (4) (4/60) + (5) (10/60) + (6) (18/60) (7) (28/60) = 37/60 Varianza V(x)= (4 .560 .37/60)2(4/60) + (5 – 37/60)2 (10/60) + (6 – 37/60)2 (18/60) + (7 – 37/60) (28/60) V(x)=8. 8 en otro caso 0 a) Determine K b) encuentre la media y la varianza de X Resolución: a) P(X=5) = k (9-5) = 4k P(X=6) =k (9-6) =3k P(X=7) =k (9-7) =2k P(X=8) =k (9-8) =1k Sabemos que: 10k = 1 entonces tenemos que: k = 1/10 Función de Probabilidad X P (X) 5 4/10 6 3/10 7 2/10 8 1/10 Función de Distribución Acumulada X 5 6 7 8 P(X) 4/10 3/10 2/10 1/10 F(X) 0+4/10 = 4/10 4/10+3/10 =7/10 7/10+2/10 =9/10 9/10+1/10 = 1 0 si X < 5 .925 N: 7 Una variable aleatoria discreta X tiene la función de probabilidad f(x) donde F(x)= k (9-x) si x= 5.560)1/2 = 2.b) Desviación Estándar σ= (8. 6. 7. la espe ranz a ma te mática y la var ianz a Resolución: N: 9 .F(X) b) 4/10 si 5 ≤ X ≤ 6 7/10 si 6 ≤ X ≤ 7 9/10 si 8 ≤ X ≤ 9 1 si X> 8 Media µ = (5) (4/10)+ (6) (3/10)+ (7) (2/10)+ (8) (1/10) = 6 Varianza V(x)= (5 – 6)2(4/10) + (6-6)2 (3/10) + (7-6)2 (2/10)+ (8-6)2 (1/10) = 1 N: 8 Se lanz a un par de dado s . Hal lar la fu nció n de pr o bab ilida d. Se de fine la var iable ale ato r ia X co mo la sum a de las pu ntua cio ne s o bte nidas . pe/p/ejercicios-resueltos-variables.unican.pd R OY EST E ES MI PARTE F ÍJATE HAG A MIK ITA SIN L ENT ES ESTA CO MO ME DIJO Q UE LO . Resolución: Bibliografía: http://personales. De te r minar la func ió n de pr o babil idad y la espe ranz a mate mát ica de l jue go.ugr.pdf http://www.upm.es/~mvargas/PTema3.pdf http://probabilidad2iv4. pie r de tanto s cie nto s de e uro s co mo mar ca e l dado .es/ingor/estadistica/Grado/cap2E.pdf http://www.com/pro/3/a_a.ar/materias/estadistica_Q/2011/1/EstadQuimVariablesAleato riasDiscretas. gana tanto s cie nto s de e ur o s co mo mar ca e l dado . Si sale núme r o pr imo .uba.blogspot.dm.etsii. pe r o si no sale núme ro pr imo.html http://www.Un j ugado r lanz a un dado cor r ie nte .html http://www.vitutor.es/gonzaleof/Itop/variables.