Facultad de Ingeniería UNACHSerie de Ejercicios Teoría de Decisiones enero-mayo de 2013 M. I. José Francisco Grajales Marín Semestre Grupo A 1 Semestre 7º. Se desea ampliar las facilidades de un puerto, construyendo muelles dedicados a la descarga de mineral. Debe decidirse el número de muelles y el tipo de instalación en cada uno de ellos en forma tal que se minimicen los costos totales de descarga. Se debe elegir entre tres tipos de instalación de descarga, I1, I2 e I3 cuyas características se muestran en la tabla: Tipo Ij I1 I2 I3 Costos diarios Fijos Operación $5 000 $6 000 10 000 9 000 15 000 12 000 Capacidad de descarga diaria 3 000 ton 5 000 7 000 Los costos fijos C fj incluyen conceptos tales como amortización de la instalación, mantenimiento general, etc., y son aplicables independientemente de que se utilice o no el equipo. Los costos de operación C oj sólo se presentan cuando se usan las instalaciones. Los barcos transportan 9 000 toneladas de mineral y arriban al puerto en forma Poisson con una relación media de llegadas de dos barcos cada tres días. Los tiempos de servicio de cada tipo de instalación se consideran exponenciales con una relación media de servicio definida por la capacidad de descarga C dj correspondiente. El tiempo de permanencia en el sistema representa un costo de $20 000 por barco y por día. Finalmente, por razones de homogeneidad, se desea que todas las instalaciones de descarga sean del mismo tipo. Se considerará a priori la posibilidad de construir de uno a cuatro muelles, de esta manera cada tipo de instalación puede utilizarse en 1, 2, 3 y 4 muelles. 2 Un estudio estadístico ha demostrado que las llegadas de aviones a un aeropuerto tienen distribución de Poisson con una relación media de llegadas de 27 por hora y que los tiempos de ocupación de una pista tienen distribución exponencial con media de 2 minutos. ¿Cuántas pistas de aterrizaje deben preverse si se desea que la probabilidad de que un avión tenga que esperar pista sea menor que 0.1 y en este caso, cuál será el tiempo medio de espera? 3 A la ventanilla de un restaurante de servicio en su automóvil llega un promedio de 20 automóviles por hora. Si el tiempo de servicio de cada automóvil es de dos minutos, ¿Cuántos coches, en promedio, estarán esperando en la cola? Suponer tiempos exponenciales entre llegadas. 4 Un taller de silenciadores tiene tres mecánicos. Cada mecánico tarda 45 minutos en instalar un silenciador. Suponer que llega un promedio de un cliente por hora. ¿Cuál es el número esperado de mecánicos que están desocupados en cualquier momento dado? Suponer que los tiempos de servicio y los tiempos entre llegadas son exponenciales. 5 La producción diaria de un sistema hidroeléctrico en Kw-hr, obedece a una distribución de probabilidad uniforme en el intervalo [10,16] kw-hr. El número diario de consumidores de energía producida tiene una distribución normal con μ=7 consumidores y una σ=2 consumidores. La probabilidad de que un consumidor requiera de 1, 2 o 3 kw-hr está dada por la siguiente distribución: Kw-hr/consumidor Probabilidad 1 0.45 2 0.35 3 0.20 Estimar con simulación, el número medio de kw-hr no consumidos y el número medio de kw-hr requeridos por día debido a una producción insuficiente. Suponer que la producción de un día no puede ser utilizada en el siguiente. 6 Una compañía envía cereales al extranjero en barcos cargueros. La compañía no es propietaria de los barcos de carga sino que simplemente le vende los granos al propietario de los barcos en los casos en que llega un carguero para ser atendido. Las naves llegan al azar, lo que sucede a una tasa promedio de y la utilidad que resulta por automóvil se distribuye exponencialmente con media de 8 minutos. Es necesario determinar cuántos equipos deben tenerse disponibles para cargar los buques y minimizar los costos totales. la tripulación permanece desocupada. La alternativa 2 consiste en proporcionar un taller de pintura aerosol que implica un costo anual de $400 000.1) si 1 ≤ x ≤ 3 . existe espacio para cargar un solo barco a la vez. Los trabajos que esperan a ser procesados en cada centro pueden esperar en la cola.una diaria. la compañía ha acordado pagar a los propietarios de los barcos $1 000 por día completo que el barco invierte en el muelle. 7 días a la semana. si 0 ≤ x ≤ 1 0. el tiempo de pintado por carro (de nuevo uno a la vez) es de 3 horas. Para ambas alternativas. 10 ¿A qué tasa promedio debe trabajar un empleado de un supermercado para asegurar una probabilidad de 0. primero en A y después en B. Esto significa que mientras el barco espera ser cargado y mientras está siendo cargado. El tiempo de procesamiento de un trabajo en el centro A. ¿cuál es el tiempo esperado que está desocupado cada día? ¿qué tantos aparatos están por delante del que acaba de llegarle? 12 Un taller que tiene dos centros de trabajo. Si el espacio alcanza su capacidad no pueden salir los trabajos del centro A. 7 Una compañía ferroviaria pinta sus propios carros de ferrocarril según se vayan necesitando. La alternativo 1 consiste en proporcionar 2 talleres de pintura en los que se pinta a mano (un carro a la vez en cada taller). En el momento actual.9 de que el cliente no tenga que esperar más de 12 minutos? Se supone que hay solamente un mostrador. ¿Qué alternativa debe elegir la compañía ferroviaria? Supóngase que los talleres siempre están abiertos. Dado que la utilidad del propietario de los barcos depende de un tiempo breve. Los equipos pueden trabajar turnos de 8 horas. y si la llegada de ellos es aproximadamente de tipo Poisson con una tasa media de 10 por día de 8 horas. Si repara los aparatos en el orden en que llegan. los carros llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con una tasa media de uno cada 5 horas. Cada trabajo necesita procesarse en ambos centros. Estimar el número óptimo de empleados. El costo del tiempo inútil por carro es de $50/hora. Cuando el número de automóviles que esperan recibir servicio es mayor de dos. toda la labor de carga deben llevarla a cabo empleados de la compañía y no la tripulación del barco. 8 Suponer que se necesitan observaciones aleatorias a partir de una distribución triangular cuya función de densidad de probabilidad es: f(x)= 2x. de otra manera Determinar una expresión para cada observación aleatoria como una función del número aleatorio decimal r. con un solo costo anual de $300 000. El tiempo de pintado para cada carro es de 6 horas. El tiempo de procesamiento para un trabajo en el centro B se representa mediante la siguiente distribución triangular: ¼(x . a una frecuencia exponencial de 5 por hora. se distribuye de modo uniforme en el intervalo [6. Cada automóvil es atendido por un solo empleado. 11 Un experto en reparaciones encuentra que el tiempo que invierte en sus trabajos tiene una distribución exponencial con media de 30 minutos. un equipo de tres estibadores puede cargar los barcos a una tasa promedio de ¼ de barco por día. De acuerdo con los registros de la compañía. El tiempo del servicio que da el empleado tiene una distribución exponencial. la cola para el centro A tiene espacio ilimitado y la cola para B sólo tiene espacio para cuatro trabajos. En este caso. y los trabajadores de cada equipo reciben de la compañía $10 por hora. A Y B. es decir. También debido a acuerdos contractuales. 9 Los empleados de una estación de gasolina reciben un salario a razón de $15 cada uno por día de 8 horas. En otras palabras. el centro A interrumpe su trabajo hasta que haya lugar en la cola de B. otros automovilistas que llegan se desaniman y se van (negocio perdido). al que los clientes llegan según una distribución de Poisson con una tasa media de 15 por hora. le llegan trabajos en serie. trabajan 24x365=8 760 horas por año. Los automóviles llegan a recibir servicio de acuerdo con una Poisson con tasa media de un automóvil cada 3 minutos.10]. en donde n es el número de personas que trabajan en un automóvil. Por ejemplo. La nueva tasa de lavado para cada taller será de 2n. Comenzando con los cuatro tubos nuevos. Los autos llegan a la instalación de limpieza en forma aleatoria a una tasa de 5 por día.5). 13 Calcular por simulación. Tiempo.22 0. La compañía les paga a sus trabajadores $30 por día y ha determinado que el costo por un automóvil que no esté disponible para rentarlo es de $25 por día. Los tubos fallan con bastante frecuencia. tardando en procesarla una media de 5 minutos siguiendo una distribución de Poisson. La compañía ha determinado que el costo adicional de las nuevas instalaciones es $50 diarios. en donde n=número de empleados en cada taller. pero hay una propuesta para reemplazar los cuatro siempre que falle uno de ellos. ¿Qué alternativa se sugeriría? 17 Un estudio estadístico ha demostrado que las llegadas de aviones a un aeropuerto tienen distribución de Poisson con una relación media de llegadas de 27 por hora y que los tiempos de ocupación de una pista tienen distribución exponencial con una tasa media de 2 minutos. ¿cuál será el tiempo medio de espera de los aviones? 18 Tres operarios trabajan de la siguiente forma: A recibe exactamente cada 5 minutos una pieza sobre la que realiza unas operaciones. b) Calcular las características de operación para el número de empleados que se eligió. El equipo debe apagarse durante una hora para cambiar un tubo y durante dos horas para cambiar los cuatro. simular la operación de las dos alternativas.f (x)= ¼(5 .6. 16 Una compañía tiene un problema de mantenimiento con una compleja pieza de equipo. el tiempo de operación hasta que falla tiene una distribución uniforme aproximada en el intervalo [1 000. Se ha determinado que este procedimiento de lavado se ajusta a la distribución exponencial.10 0. para reducir la frecuencia con la que debe apagarse el equipo.5 (b=1. C recibe las piezas que ha trabajado A y B y las monta y acaba tardando unos tiempos distribuidos según la tabla adjunta. 2 000] horas. minutos 3 4 5 Frecuencia 0. 14 Una compañía arrendadora de automóviles opera su propia instalación de lavado y limpieza de automóviles para prepararlos para su renta. a) Calcular el número de empleados que deben contratarse en la instalación de lavado que produzca el menor costo. La práctica actual es reemplazar los tubos sólo cuando fallan. determinar si la compañía debe añadir la instalación adicional o no. (b) calcular por simulación el volumen de revolución generado por la elipse. a) Bajo estas nuevas condiciones. El costo asociado total con la máquina apagada y el reemplazo de los tubos es de $100/hora más $20 por cada tubo nuevo. b) Calcular las características de operación para el plan que se determine que tiene el menor costo. para determinar las siguientes medidas de desempeño: (1) el número esperado de trabajos en el taller en cualquier momento. 15 La misma compañía está considerando añadir un taller de lavado para incrementar su negocio. Este equipo contiene 4 tubos de vacío que son la causa del problema. Los datos pertinentes son los siguientes: para cada tubo. forzando a que se apague el equipo mientras se reemplazan. Si el aeropuerto tiene dos pistas. (a) el área de un cuarto de la elipse con valores de radio menor=1 (a=1) y de radio mayor=1. B recibe las piezas otra pieza cada 5 minutos. La compañía arrendadora ha determinado que los automóviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por día.40 . si se encuentran 4 personas trabajando la tasa de lavado es de 8 automóviles.x) si 3 ≤ x ≤ 5 Construir un modelo de simulación de este sistema. tardando un tiempo distribuido según una distribución normal de media igual a 5 y una desviación estándar de 1. (2) el porcentaje de tiempo que se detiene el centro A por falta de espacio en la cola del centro B y (3) el tiempo esperado de terminación de un trabajo. ¿Cuál es el número de trabajadores que la compañía debe utilizar para descargar los botes y que produzca el menor costo total? Los botes camaroneros llegan a una tasa promedio de uno por hora y cada trabajador puede descargar medio bote por hora. En estas condiciones. Opciones Acciones Bonos Mercado de dinero Tasa preferencial al final del año 8% 12% 15% 125 000 110 000 60 000 140 000 112 000 75 000 108 000 112 000 115 000 Ha entrevistado a diversos profesores en economía y ha determinado que el 40 % de ellos considera que la tasa preferencial se reducirá. 21 El propietario de una peluquería tiene tres sillas en su local pero en la actualidad sólo tiene dos peluqueros. Contratar un peluquero adicional costaría $3. puesto que el rendimiento sobre la inversión estaría en función de esta tasa de interés. estos datos aparecen en la tabla siguiente. Los trabajadores que descargan los botes ganan $8 por hora ya sea que estén trabajando o no. Cuando estos botes llegan durante la temporada. Determinar si sería redituable que la compañía rente ese espacio adicional al muelle. En la actualidad. En la actualidad la tasa preferencial es del 12%. 20 Un individuo acaba de recibir una cantidad suficiente de dinero que le permite considerar cuáles son las inversiones disponibles.6 7 8 0. se recopilaron los datos que aparecen en la tabla. Ha observado que los clientes llegan al azar. Está considerando la contratación de un peluquero adicional.04 19 Una compañía utiliza sus propios barcos camaroneros para pescar camarón y después lo empaca para enviarlo a otras partes.50. ha preparado las siguientes tablas que muestran el valor de una inversión de $100 000 después de un año. La elección depende de la tasa preferencial. .00 por comisión por corte. Con base en el rendimiento actual sobre las inversiones. el precio de un corte es de $4. ¿Cuál es el valor de la información perfecta? También le han comentado que un servicio de pronósticos afirma estar en posibilidades de pronosticar las tasas futuras de interés. Si el patrón de llegadas para los botes es aleatorio y el tiempo de descarga también lo es. acciones y bonos. También hizo algunas estimaciones del tiempo que se necesita para hacer un corte.08 0. Cambio pronosticado en la tasa preferencial Aumento Igual Baja Cambio real en la tasa preferencial Aumento Igual Baja 60% 20% 10% 20% 50% 30% 20% 30% 60% Determinar si el individuo debe utilizar el servicio de pronósticos. Puede rentar un muelle adyacente en $20 la hora para descargar los botes camaroneros durante la temporada fuerte de pesca. Suponer que todos los valores siguen siendo los mismos que en el problema original. pero se considera bastante inestable y puede subir o bajar en forma considerable en año próximo. acerca del tiempo entre llegadas. que son: fondos monetarios.75 por hora más $1. ningún cliente nuevo se une a la línea de espera. El servicio puede obtenerse por $5 000. dependiendo de la tasa preferencial al final del año. Se ha estimado que el costo de que un bote permanezca detenido es de $50 por hora (esto incluye los salarios al igual que el tiempo de pesca). hay que descargarlos tan rápido como sea posible para que puedan volver al mar. el 30% opina que subirá.16 0. Ha observado que si se encuentran dos clientes en el local esperando por el servicio. la tabla muestra los resultados anteriores del servicio de pronósticos. Ha decidido que sólo hay tres tipos que se ajustan a sus necesidades.Acaba de surgir una nueva oportunidad para la compañía. 5) 12 máquinas. éstos pasen cada 15 minutos. O. En todos los casos la distribución de los tiempos de atención es una normal. un operario puede atender a 4. 3ª. 8 o 12. En el tiempo medio de atención influye el número de máquinas que atiende.Simular la operación para determinar si se debe contratar al peluquero adicional. y la demanda sigue otra distribución (10500. 200). El hilo de cada uno de los husillos se rompe de vez en cuando siguiendo una distribución de Poisson de dos roturas de husillo por hora. ya que el tiempo mayor es el de desplazamientos.5 2ª. en la realidad. Los clientes llegan según una distribución de Poisson de media 3 llegadas por hora. Distribución normal. 3. que de acuerdo con el número de máquinas que atendidas es: 4 máquinas: N (8. 2. En los autobuses no se permite viajar de pie y el número de asientos libres. Exponencial con media 1/15 servicios por minuto. cada cliente debe pasar sucesivamente por tres estaciones. se ha comprobado que pasan con unas desviaciones sobre la hora prevista que siguen una distribución normal de media cero y una desviación estándar de 3 minutos.10 12-14 40 14-16 20 16-18 5 18-20 5 22 Está programado que en una cierta parada de autobuses. al llegar a esta parada sigue una distribución de Poisson de media 3/2. 1. ¿Cuál es el tiempo medio de espera de los viajeros en la parada? 23 Se tiene un sistema de colas en tres etapas. N (16. 4) Indicando los números entre paréntesis la media y la desviación estándar en segundos. el fabricar durante horas extraordinarias del sábado. Constante. 6. 1000). ¿Cuántas máquinas debe atender un operario para que el costo total (pérdidas por paradas y costo de M. Dada la distribución de planta de las máquinas.30 8-10 35 35-45 0. Los viajeros llegan a la parada siguiendo una distribución de Poisson de media de 4 por hora. Los tiempos de servicio en las estaciones son: 1ª. para reparar la rotura de los hilos y volver a poner cada husillo en marcha. cada una de ellas tiene 10 husillos. Se puede programar. media 10 minutos.5) 6 máquinas: N (10. desviación estándar 2. Cada artículo producido en horas extras tiene un sobrecosto de $8. de 15 minutos ¿Cuál es el tiempo medio de espera? 24 En un telar hay un número elevado de máquinas. por adelantado. N (15. 20).) sea mínimo? 25 La producción semanal de un determinado artículo sigue una distribución normal (1000.15 10-12 50 45-55 0. 3) 10 máquinas. Tiempo entre llegadas Tiempo de servicio Minutos Frecuencia Minutos Probabilidad 2-4 10 5-15 0. El beneficio bruto de la producción de una hora de husillo es de $5 y el costo de una hora de operario es de $10. Cada artículo que falte al final de la semana supone un costo (por pérdida de venta) de $10.5) 8 máquinas: N (12.35 6-8 20 25-35 0. La producción en . lo que aumenta la producción en una cantidad que sigue otra distribución normal (500.10 4-6 15 15-25 0. 28 El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso.4. al día siguiente. con probabilidad de un 20% tendrá que seguir en la misma ciudad al día siguiente. para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta. sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. 31 La cervecería más grande del mundo (Guiness) ha contratado a un analista de investigación de operaciones para analizar su posición en el mercado. Debido a circunstancias de la respuesta de informaciones y a las relaciones sindicales. Después de estar trabajando un día en C. Se pide: a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena.1.3 y a C con una probabilidad de 0. Si una persona toma Pepsi. 26 Un taller dispone de tres estaciones de engrasado.2. El analista piensa que el cambio marca se puede modelar como una cadena de Marcov incluyendo tres estados. ¿Cuál es la posibilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy? b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. los estados G y H representan a los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cervecerías y el estado I representa todas las demás marcas. Se pide: a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. siempre finaliza en el bajo. con una probabilidad de 0. permanecerá en esa misma ciudad. y al 80% de los días nublados le siguen días nublados. el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos? 29 Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A. mientras que si un viaje comienza en el primer piso. mientras que irá a A con una probabilidad de 0. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora? c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. desplazándose a otra ciudad al día siguiente.6 a) Si hoy el viajante está en C. B y C.4 y la de tener que ir a A es de 0. Están preocupados en especial por su mayor competidor (Heineken). si un trayecto comienza en el segundo piso. Si el viajante duerme un día en B. en el 60% de los casos viajará a C. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola a la vez siguiente. A tres compras a partir de ahora. El piso en el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Marcov. ¿Cuál es el número esperado de horas trabajadas por semana en una estación de engrasado? 27 En un pueblo. la de tener que viajar a B es de 0. Los datos se toman cada mes y el analista ha construido la siguiente matriz de transición de los datos históricos: G H I .exceso tiene un costo de $5 por articulo (venta a bajo precio) y no puede atender a la demanda de semanas sucesivas. Los autos llegan al taller según una distribución de Poisson a razón de 20 por turno de 8 horas de trabajo y son atendidos según su orden de llegada. Determinar por el Método de Montecarlo si merece la pena producir el sábado mediante horas extras. Los tiempos de engrasado para cada automóvil tienen distribución exponencial con una relación media de servicio de 40 minutos. si no tiene trabajo. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Marcov.2. b) Dibujar el grafo asociado c) ¿Cuál es la probabilidad de que. a largo plazo. la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es de 0. hay un 80% de que repita la vez siguiente. Por último. irá a B con una probabilidad de 0. ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro días? b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que en agente comercial está en cada una de las tres ciudades? 30 Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. la decisión debe ser o trabajar todos los sábados horas extras o no trabajar ninguno. ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola? d) Determinar el estado estable. al 90% de los días soleados le siguen días soleados. Por último si el agente comercial trabaja todo el día en A. 7 0.1 0. B) un mecánico especial. 33 Los consumidores de café en el área de Pontevedra usan tres marcas A.5 por hora ¿A cuál de los dos conviene contratar? 35 Suponer que un centro de cómputo pone a disposición de los alumnos una Terminal conectada a un ordenador central que funciona a tiempo compartido.G H I 0. a) Establecer la matriz de transición b) ¿Cuál es la proporción de clientes para que los supermercados el 1 de noviembre? c) Hallar el vector de probabilidad estable. ¼ de los clientes va al S1. ¿Cuál será la distribución del mercado de café en Pontevedra en el mes de junio? b) A la larga. el resto de los usuarios que esperen lo harán de pie.05 0. 1/3 al S2 y un 5/12 al S3 de un total de 10 000 personas. ¿Cómo se distribuirán los clientes de café? c) En junio. El tamaño de la cola puede ser ilimitado. capaz de repararlas según un servicio exponencial de media 5 por hora y que cuesta $6. capaz de reparar las máquinas según un servicio exponencial de media de 4 por hora y que cuesta $5 por hora. S2. Es necesario contratar un operario para que las repare y se tiene la posibilidad de: A) Un mecánico normal.1 0. el S3 retiene solo el 40%. Número de sillas necesario en la fila de espera para que por lo menos el 90% de los usuarios no tenga que esperar de pie. B. El costo de parada de una máquina se evalúa en $10 por hora. S3) existe la movilidad de un cliente de uno a otro. pero sólo hay 4 sillas para esperar. . ¿Cuál es la proporción de clientes leales a su marca de café? 34 En un taller las máquinas se averían según la ley de Poisson de media 3 por hora. En marzo de 1995 se hizo una encuesta en la que se entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados fueron: TOTALES Compra actual Marca A Marca B Marca C Marca A=1690 507 845 338 1690 Marca B= 676 2028 676 3380 3380 Marca C=3380 845 845 1690 3380 TOTALES 2028 3718 2704 8450 a) Si las compras se hacen mensualmente. Se averiguó que el S2 sólo retiene el 5% y pierde el 85% que va al S1 y el resto se va al S3.1 0.2 0. Cada mes el S1 retiene al 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va al S2. Los tiempos de servicio siguen una distribución Exponencial con media de 10 minutos.8 ¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos cervecerías grandes? 32 En una comunidad hay tres supermercados (S1. C. El 1 de septiembre.75 0. Se desea hacer un estudio de este sistema basado en los siguientes puntos: Las entradas siguen una distribución de Poisson con media de 5 usuarios por hora. Se desea conocer: Número medo de usuarios en el sistema Número medio de usuarios en la cola Número medio de usuarios cuando hay cola Tiempo medio de espera Porcentaje de usuarios que al llegar al sistema no tienen que esperar Porcentaje de usuarios que tienen que esperar algún tiempo de pie. pierde el 50% que va al S1 y el 10% va al S2.2 0.