II.PROGRAMACION LINEAL A. MODELACION MATEMATICA DE PPL 1. FORMA GENERAL DE UN MODELO MATEMATICO DE UN PPL F.O. MAX Función Objetivo o Z = c1 X1 + c2 X2 + c3 X3 +............+ cn Xn MIN Sujeto a: a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 +..........+ a1n Xn = b1 a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 +..........+ a2n Xn = b2 a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 +..........+ a3n Xn = b3 ----- ----- ----- ----- ----- am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 +..........+ amn Xn = bm DONDE: Z = Representa un parámetro o cantidad que se desea optimizar (Maximizar o Minimizar). Ej.: Ingresos, Utilidades, Costos, Tiempo de ejecución de un trabajo, etc. cj = Coeficiente de proporcionalidad. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico. Xj = VARIABLES DE DECISION aij = Coeficiente de proporcionalidad. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico. bi = Valor que representa la disponibilidad de un recurso (Limitación), límites de producción, disponibilidad de materia prima, disponibilidad de horas hombre, etc., o un requerimiento como demanda, compromisos de entrega, etc. Todas ellas forman parte de las restricciones del entorno. Para efectos didácticos es una constante, pero en la realidad normalmente su valor será probabilístico. n = Cantidad de Variables de Decisión. m = Cantidad de Restricciones. n no necesariamente debe ser igual a m a. Estos productos se obtienen por medio de cualquiera de dos procesos. Por otra parte. A. una hora de ejecución del proceso 2 cuesta US$ 1 y rinde 4 unidades de producto "A" y 1 unidad de producto "B". respectivamente.A. 3) La empresa NAGO C. alcanzable con su solución? 2) Una empresa produce dos tipos de producto. los procesos 1 y 2. Los antecedentes y restricciones relevantes que se han identificado en el sistema productivo son las siguientes: Los productos 1 y 2 dejan una utilidad unitaria de $ 5000 y $ 4000 c/u. Ambos productos se producen en los mismos departamentos y con la misma maquinaria. las estimaciones del departamento de venta indican que la producción diaria máxima de producto A debería ser a lo más de 16 unidades. El consumo de horas máquina por unidad de producto y la disponibilidad de ellas para el próximo mes se indican en la tabla: Departamentos A B Por Producto 1 10 20 Horas Por Producto 2 15 10 Total Disponible 150 160 Se ha establecido con el sindicato un número de horas mínimas de trabajo para el personal de la sección control de calidad que es de 135 horas. 10 horas. ¿Cuántas horas de ejecución diarias se deben implementar de cada proceso para minimizar el costo y cumplir con los clientes? b. Cada producto 1 que se fabrique requiere de 30 horas de control y cada producto 2. diariamente. 1 unidad del producto "B" y 1 unidad del producto "C".1) Una industria fabrica tres productos químicos. Un cliente importante ha ordenado un total de cinco unidades de producto. Para satisfacer la demanda de los clientes se deberían producir a lo menos 8 unidades de producto "A". identificados con A y B. ¿Cuál es el costo diario mínimo. el producto 1 y el producto 2. está en capacidad de fabricar dos tipos de productos. en cualquier combinación de tipo 1 y tipo 2. No obstante lo anterior.. Cada proceso se puede ejecutar como máximo 7 horas al día pues requieren tiempo de preparación. B y C. Una hora de ejecución del proceso 1 tiene un costo de US$ 4 y se obtienen 2 unidades del producto "A". El gerente de mercadotecnia cree que podrá vender todos los productos 1 y 2 que sean capaces de producir el próximo mes. cada unidad del producto A requiere para su producción 4 . 5 unidades de producto "B" y 3 unidades de producto "C". Como política de mercado la gerencia ha definido que se debe fabricar a lo menos un producto 2 por cada tres productos 1. ¿Cuántas unidades de cada producto se producirán? c. 20 m2 en la grande. 20 horas hombres y 6 kilogramos de materia prima. La necesidad diaria de materia prima por toneladas de pintura para interiores y exteriores se resumen en la tabla que sigue: .80 m2 en la mediana y 3. medianas y grandes. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual? 7) Reddy Mikks Company posee una pequeña fábrica de pintura para interiores y exteriores de casas. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. 7 horas para la mediana y 10 horas para la grande. respectivamente. Se pretende determinar.horas máquinas. 6 000 euros en las de tipo B. Nos recomiendan dos tipos de acciones. El tiempo de elaboración es de 5 horas para la pequeña. 10 y 8 respectivamente. queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. Las disponibilidades diarias de los recursos son. La utilidad que se obtiene por cada una de ellas es de $1000. Se utilizan dos materiales básicos (A y B) para producir las pinturas. como mínimo. 5 medianas y 5 grandes semanalmente. La disponibilidad máxima de (A) es de 6 toneladas diarias. Si dispone de 40 horas-hombres y de 30 m2 de madera por semana. y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. Decidimos invertir un máximo de 130 000 euros en las de tipo A y. El beneficio unitario de los productos A y B es de Bs. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 6) Disponemos de 210 000 euros para invertir en bolsa. 10 horas hombres y 12 kilogramos de materia prima. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B. para su distribución al mayoreo. $ 1300 y $ 1500. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. 2.40 m2 en la pequeña. ¿Qué se le recomendaría fabricar al carpintero? 5) En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. además. ¿Cuántas unidades diarias deben producirse de A y B para maximizar el beneficio? 4) Suponga que un carpintero fabrica puertas de tres medidas: pequeñas. 28 horas-máquinas. la de B es de 8 toneladas. Finalmente el carpintero estima que puede vender cuando mucho tres puertas pequeñas. el consumo de madera es de 2. 120 horas hombres y 72 kilogramos de materia prima. Además. Cada unidad de producto B requiere 4 horas máquinas. la otra 8 horas. Douglas hace marco de madera y puede terminar 6 al día. a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades: . ¿Cuántas pinturas para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto? 8) La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano. cada uno de estos productos debe ser procesado en dos máquinas diferentes. 35% de Zinc. El precio al mayor por tonelada es de $3000 para la pintura de exteriores y $2000 para pintura de interiores. Cada Teddy producido requiere 3 horas de tiempo en la primera máquina y una hora en la segunda máquina. 10) Una compañía desea hacer una nueva aleación que contenga 40% de aluminio. 25% de plomo. Use el método grafico para resolver el problema.Toneladas de materia prima por toneladas de pintura Exteriores Interiores Disponibilidad Materia Prima A 1 2 6 Materia Prima B 2 1 8 Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para exteriores en más de una tonelada. si se quiere maximizar la ganancia. el estudio señala que la demanda máxima de pintura para exteriores está limitada a 2 toneladas diarias. Construir el modelo de programación lineal que resuelva el problema. Una máquina tiene 12 horas de capacidad disponibles. 8 pies cuadrados. Use método grafico para resolver el modelo. la firma puede vender tantas unidades de cada producto que fabrique. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar las ganancias. La ganancia incremental es de $6 por Bobby y $7 por Teddy vendidos. El problema es determinar cuántas unidades de Bobby y Teddy deben producirse. 9) La compañía BELMAR produce dos juguetes. los osos Bobby y Teddy. Así mismo. Cada Bobby producido requiere 3 horas de tiempo en ambas maquinas. con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y $30 con marco de aluminio. Roberto forma y corta el vidrio y puede hacer hasta 48 pies cuadro de vidrio y cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio. para obtener el máximo provecho de la operación. 5 Tm de b² y ninguna de b³ para cada Tm. $200 por Tm de X2 y $50 por Tm de X3. 13) A una persona le tocan 10 millones de pesos en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones. A partir de dichos minerales pueden extraerse y fundirse los productos X1. Hay dos líneas de producción. el Astro y el Cosmo. ambos intervienen en la producción de cada aparado. Determine el planteamiento del modelo matemático. a partir de los minerales aprovechables. X2 y X3. Actualmente. 2 millones en la . El fabricante obtendrá $100 de beneficio por Tm de producto X1. La utilidad por aparato es de 20 y 10 dólares. Las de tipo B son más seguras. La capacidad de línea de producción Astro es de 70 televisores diarios y la de la línea Cosmo es de 50. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. 10 de b² y Tm de b³ por cada Tm. por lo menos. en el departamento A se pueden asignar un máximo de 120 horas de trabajo por día a la producción de ambos tipos de aparatos. En el departamento B se construye el chasis. los televisores Astro requieren 1 hora de trabajo igual que los Cosmo. El producto X2 precisa 5 de b¹. Se desea conocer las cantidades a fabricar de cada uno de los productos X1. 12) Una compañía de TV produce dos tipos de equipos para televisión. En este departamento . En la actualidad se puede asignar un máximo de 90 horas de trabajo diario al departamento B para la producción de ambos televisores. Se pide construir un modelo de programación lineal que ayude a resolver este problema. X2 y X3. En ese departamento los televisores Astro requieren 1 hora de trabajo y los Cosmo 2 horas. así como el beneficio que se obtendría. A y B. respectivamente.Propiedad Aleación 1 Aleación 2 Aleación 3 Aleación 4 Aleación 5 % Aluminio 60 25 45 20 50 % Zinc 10 15 45 50 40 % Plomo 30 60 10 30 10 Costo 22 20 25 24 27 ($/Libra) El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir nuevas aleación a un costo mínimo. El producto X1 precisa 5 de b¹. 2000 Tm del mineral b² y 500 Tm del mineral b³. una para cada equipo de televisor y dos departamentos. La empresa desea mantener la cantidad de cada producto que debe fabricar. pero producen sólo el 7% anual. 8 de b² y 5 de b³ por Tm. En el departamento A se fabrican los cinescopios. 11) Una empresa cuenta con 1000 Tm del mineral b¹. El producto X3 precisa 10 Tm de b¹. por lo menos. el distribuidor está de acuerdo en adquirir las bolsas que Par puede fabricar en los siguientes tres meses.compra de acciones B. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si Par puede fabricar las bolsas a un precio competitivo. . decide que lo invertido en A sea. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo? Determine el planteamiento del modelo matemático. ¿Cuántas bolsas de cada modelo deberá fabricar? Construir el grafico. 14) Par es un pequeño fabricante de equipo y accesorios de golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para bolsa de golf de precio medio. Además. PRODUCTO TIEMPO DE PRODUCCIÓN (horas) Corte y Teñido Costura Terminado UTILIDAD POR BOLSA US$ Inspección y Empaque Estándar 7/10 1/2 1 1/10 10 Deluxe 1 5/6 2/3 1/4 9 El director de manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido. conocida como modelo estándar. como para bolsa de golf de precio elevado. igual a lo invertido en B. conocido como modelo deluxe. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dieron como resultado la tabla siguiente. 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de bolsa de golf. que muestra las necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactureras requeridas y la estimación por parte del departamento de contabilidad de contribución a la utilidad por bolsa. Si la empresa desea maximizar la contribución total a la utilidad. 600 horas en costura.