Ejercicios de Procesos Estocasticos

Ejercicios de Procesos EstocásticosBernardo D’Auria Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid G RUPO M AGISTRAL G RADO EN I NGENIERÍA DE S ISTEMAS AUDIOVISUALES Otros G. B. tal que Pr(B = 0) = p y Pr(B = 1) = q. Φ es una variable aleatoria uniforme en [−π/2. de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 2 / 11 . π/2]. donde f es una constante real.I. y B es una variable aleatoria discreta. Definir y calcular la esperanza de la variable aleatoria X (t). D’Auria (UC3M .Ejemplo Considerar la oscilación aleatoria X (t) = cos(2π f t + B Φ). independiente de Φ. G.Ejemplo Considerar la oscilación aleatoria X (t) = cos(2π f t + B Φ). y B es una variable aleatoria discreta. tal que Pr(B = 0) = p y Pr(B = 1) = q. Definir y calcular la esperanza de la variable aleatoria X (t). S OLUCIÓN: µx (t) = p+q 2 π cos(2π f t) B. π/2]. donde f es una constante real.I. de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 2 / 11 . D’Auria (UC3M . independiente de Φ. Φ es una variable aleatoria uniforme en [−π/2. 2005.T EC.I. ¿es estacionario en sentido débil? B. t2 ) y RY (t1 .S EP.G.C1 A partir de los procesos estocásticos X (t) e Y (t) incorrelados y de media cero. a) Calcular la función de autocorrelación de Z (t). b) El proceso formado. t2 ) respectivamente.Ejercicio T EL . de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 3 / 11 . con funciones de autocorrelación RX (t1 . se forma el proceso Z (t) = X (t) + t Y (t). D’Auria (UC3M . B.G. ¿es estacionario en sentido débil?. t2 ) = E[Z (t1 )Z (t2 )] = E[(X (t1 ) + Y (t1 )t1 )(X (t2 ) + Y (t2 )t2 )] = RX (t1 . de forma equivalente. por tratarse de procesos incorrelados. t2 ) = 0 o. el proceso NO es estacionario en sentido débil. D’Auria (UC3M . de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 4 / 11 . CXY (t1 . E[X (ti )Y (tj )] = µX (ti )µY (tj ) = 0. Por tanto. t2 ) + t1 t2 RY (t1 . t2 ) = E[X (t1 )X (t2 )] y análogamente para Y (t). RZ (t1 . t2 ) b) El proceso formado.I. Por tanto. Además.S OLUCIÓN: a) Calcular la función de correlación de Z (t) La función de autocorrelación de X (t) es RX (t1 . La media es independiente del tiempo porque es nula pero la correlación no depende solamente de la distancia entre dos tiempos considerados. I.C3 Sean X1 .S EP.T EC. Sea X (n) el proceso estocástico discreto en el tiempo definido por X (n) = y sea Y (n) = X (n + N ) − X (n) con N constante a) Calcular la media y la autocorrelación de X (n). de media nula y varianza uno. b) ¿Es X (n) estacionario en sentido débil? c) Obtener la función de densidad de primer orden de Y (n) suponiendo N grande. de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 5 / 11 . variables aleatorias continuas. 2. . D’Auria (UC3M . X2 .Ejercicio T EL . B. . .G. independientes. .2006. . n X k=1 Xk con n = 1. . . " n # La media de X (n) viene dada por n X X µX (n) = E[X (n)] = E Xk = E [X k ] = 0 k=1 k=1 n2 X que no depende de n. de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 6 / 11 . .G. D’Auria (UC3M . k1 = k2 = k. n2 ) = E[X (n1 )X (n2 )] = E 4@ n1 X 13 Xk2 A5 n1 n2 X X n1 n2 X X k1 =1 k2 =1 Xk1 A @ k1 =1 k2 =1 = E[(X1 + . . k1 = k2 . + Xn2 )] =  wk1 k2 = con lo que que no es función de m = n2 − n1 . n2 ) B. RX (n1 . E[Xk1 Xk2 ] = wk1 k2 k1 =1 k2 =1 2 ] = Var[X 2 ] + (E[X ])2 = 1.I. E[Xk k k 0.S OLUCIÓN: 1/2 a) Calcular la media y la autocorrelación de X (n). . n2 ) = min(n1 . + Xn1 )(X1 + . La autocorrelación por 20 de X (n) 1 0 RX (n1 . . σY ) siendo 2 3 n +N X 4 µY = E[Y (n)] = E Xk 5 = E[Xn+1 ] + . de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 7 / 11 . por el Teorema Central del Límite se tiene que para N grande Y (n) ∼ N(µY . Pn+N Pn Pn+N Dado que Y (n) = X (n + N ) − X (n) = k = 1 Xk = k=1 Xk − k=n+1 Xk . porque no cumple simultáneamente que la función media no dependa de n y que a la vez la función de la autocorrelación sólo dependa de m = n2 − n1 . + E[Xn+N ] = 0 + . c) Obtener la función de densidad de primer orden de Y (n) suponiendo N grande. . + 0 = 0 k=n+1 2 σY = Var[Y (n)] = Var 4 2 n +N X 3 Xk 5 = Var[Xn+1 ] + .I.S OLUCIÓN: 2/2 b) ¿Es X (n) estacionario en sentido débil? X (n) NO es estacionario en sentido débil. . . 2N 2nN B. . . + 1 = N ind k=n+1 Por tanto la función de densidad de primer orden de Y (n) suponiendo N grande es „ « 1 1 2 exp − fY (y) = √ y . .G. + Var[Xn+N ] = 1 + . D’Auria (UC3M . . a 20 a ∈ {1. .I. 2. B = b) = Calcula: a) La media del proceso Y (t) b) La autocorrelación del proceso Y (t) c) Calcula la estacionariedad débil y la ergodicidad del proceso. B. de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 8 / 11 . . . a + 1}. B) es Pr(A = a. 3}.Problema vector discreto En un sistema de comunicación se utiliza la siguiente señal aleatoria Y (t) = A sin(ω t + Φ) + B donde Φ ∼ U[0. b ∈ {1. D’Auria (UC3M .G. . 2π ] y la función de masa del vector aleatorio (A. b = 2. b = 4. a) La media del proceso Y (t). P(B = b) = P(A = a) =          3 10 . a = 2. de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 9 / 11 .I. µY (t) = E[Y (t)] = E[A sin(ω t + Φ) + B] = E[A] E[sin(ω t + Φ)] + E[B] 9 = E[B] = . b = 3. 4 B. a = 3. 1 4. 6 10 . 3 20 .G.S OLUCIÓN: a) Las funciones de masas marginales de A y B son iguales a      1 10 . a = 1. 3 10 . 3 10 . b = 1. D’Auria (UC3M . I. RY (t. D’Auria (UC3M . t + τ ) = = ind E[(A sin(ω t + Φ) + B)(A sin(ω (t + τ ) + Φ) + B] E[A2 sin(ω t + Φ) sin(ω (t + τ ) + Φ)] + E[B2 ] +E[AB sin(ω t + Φ)] + E[AB sin(ω (t + τ ) + Φ)] E[A2 ] E[sin(ω t + Φ) sin(ω (t + τ ) + Φ)] + E[B2 ] +E[AB] E[sin(ω t + Φ)] + E[AB] E[sin(ω (t + τ ) + Φ)] cos(τ ω ) E[A2 ] + E[B2 ] 2 123 67 cos(τ ω ) + . de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 10 / 11 . 20 20 = = = B.S OLUCIÓN: b) b) La autocorrelación del proceso Y (t).G. S OLUCIÓN: c) c) Calcula la estacionariedad débil y la ergodicidad del proceso. 2 que quiere decir que la media temporal y la autocorrelación temporal son variables aleatorias y no constantes. El proceso es estacionario en el sentido débil pero no es ergódico.I. De hecho µT RT (τ ) = = 1 T →∞ 2T lim 1 T →∞ 2T lim T Y (t)dt = B.G. de Sistemas Audiovisuales) Ejercicios de Procesos Estocásticos Otros 11 / 11 . D’Auria (UC3M . −T T Y (t)Y (t + τ )dτ = −T A2 cos(τ ω ) + B2 . B. 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