BLANCA LIGIA QUIROGA CAVICHECUN TALLER EJERCICIOS DE PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES BASICAS compruebe c. 4. 3.01 = 0.1 + 0.¿Son A y B independientes?.5 = 50% B = (2..25 P(B) = No 6 = 4/40 = 0. 4.. usted gana si el resultado es impar o divisible por dos.833… Aplicando en la formula P (B/A) = P (A∩B) P (A).¿Cuál es la probabilidad de que sea dos o sea un siete? P(A)= No 2 = 4/40= 0..0.Consideremos el lanzamiento de un dado.325 32.EJERCICIOS DE PROBABILIDADES BASICAS DE LAS PROBABILIDADES 1) Sea P(A) = 0.25 + 0.1 P(B)= No 7 = 4/40= 0.4 2.25/0.no.P (B’)=1 . 3.19 19% b. 5. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? Solución: β= (1.3)*0.P (A) = 1 .7=0.6) A = (1.3=0. .5% 3.6 P (A/ B) = 0.25 P (B´)= 0. a.7 a.25 * 0.25/0..3 Luego P (A∩B)=0.2 – 0. 5) A=el resultado es impar P(A) = 3/6 = ½ =0.Encontrar P (A´) Solución: a. .1 * 0.5 b.1) – (0.6 = 0.Cual es la probabilidad de que sea oro o un 6? P(A) = oro = 10∕40 = 0.P (A´) = 1.833… c.5 = 50% Como los eventos no son mutuamente excluyentes por la regla de la .3=0.0..1) P(A U B) = 0. hallemos: P (B/A) = P (A∩B) P (A) = (0. 6) B=el resultado es divisible por dos P(A) = 3/6 = ½ = 0.18 ≠0. Porque si fuesen independientes P (A∩B) = P (A) P (B) =0.1 P(A U B) = P(A) + p(B) – p(A ∩ B) P(A U B) = (0.Encontrar P (B/A) b.Se extrae una carta al azar de una baraja de 40 cartas..025 P(A U B) = 0.25= P (A∩B)* 0..1) – (0.6*0..1 P(A U B) = P(A) + p(B) – p(A ∩ B) P(A U B) = (0.P (B/A) = P (A∩B) P (A) P (A/B) = P (A∩B) P (B) entonces: 0. 2.1) = 0.6 = 0.3 dado que P (B)=1.35 – 0. 25) –(0..cual es la probabilidad de que ninguno de los tanques sea defectuoso b.De entre 20 tanques decombustible fabricados para el transbordador espacial..Cual es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos. Si se seleccionan aleatoriamente 4 tanques: a.5 = 50% B = (2..60 P(B) = 0. Solución: A=el tanque no sea defectuoso P(A) = 1720 B=el tanque es defectuoso P (B) = 320 a. 2. 5) A=el resultado es impar P(A) = 3/6 = ½ =0.4912 . 4.En el curso de estadística la probabilidad de que los estudiantes tengan computador es de 0..S=ningun tanque sea defectuoso S=AAAA Como los eventos son independientes la probabilidad total es la multiplicación de las probabilidades marginales: P(S) = P (A) P (A) P (A) P (A) = 1720*1619*1518*1417 = 0.adición: P (AuB) = P (A) + P (B) – P (AnB) = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1 impar o divisible por dos.7 70% 5. 4. tres se encuentran defectuosos.15) P (AuB) = 0.85 – 0.. 6) B=el resultado es divisible por dos P(A) = 3/6 = ½ = 0.15 P (AuB) = P (A) + P (B) – P (AnB) P (AuB) = (0.25 y ambas cosas es de 0. la probabilidad de que tengan auto es de 0.25 P(A ∩ B)= 0.15 P (AuB) = 0.60 + 0.5 = 50% Como los eventos no son mutuamente excluyentes por la regla de la adición: P (AuB) = P (A) + P (B) – P (AnB) = 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1 100% 4.6) A = (1. Cual es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar tenga computador o auto? P(A) = 0.15. ¿cuál es la probabilidad de ganar? Solución: B= (1. 3.60. 5. 3. En la tabla aparecen 1000 estudiantes universitarios clasificados de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en un examen de admisión a la universidad.5 50% c) haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado en un colegio de nivel superior P(B ∩ S) = (0.075 7..1 10% e) si el estudiante escogido termino en un colegio de grado regular encontrar la probabilidad de que tenga un puntaje alto en el examen.1 10% d) haya obtenido un puntaje bajo en el examen dado que se haya graduado en un colegio de nivel inferior P(I) = (100/1000) = 0. a) Cual es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia.Fabián y Pilar estudian en un mismo curso.5) = 0.Existen 4 posibilidades para el evento: AAAB AABA ABAA BAAA H=uno de los tanques sea defectuoso P (H)= P (AAAB) + P (AABA) + P (ABAA) + P (BAAA) = 1720*1619*1518*320 + 1720*1619*320*1518 + 1720*320*1619*1518 + 320*1720*1619*1518 = 0.5% 7. P(R) = 75/1000 = 0.3578 6.2 b) Se haya graduado en un colegio de nivel superior P(S) = 500/100= 0. La probabilidad de que Fabián no pierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%. P(B) = 200/1000 = 0.b. También muestra la clasificación de los colegios en donde se graduaron de bachilleres: Puntaje Colegio Total Inferior (I) Regular ( R ) Superior (S) Bajo (B) 100 50 50 200 Medio (M) 75 175 150 400 Alto (A) 25 75 300 400 Total 200 300 500 1000 Calcular la Probabilidad de que un estudiante escogido al azar: a) haya obtenido un puntaje bajo en el examen. b) Cual es la probabilidad de que Fabián pierda una materia y Pilarninguna..2 * 0. .. c) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia. 25 P(C’)=(1-0. 0.2.8 P(B) = 0.15)=0. 0.85*0.2 P(A’)= (1-0.10 P(D’)=(1-0.25 + 0.8*0. 0.90=0.85)*0.10)=0.90 = 0. 0.504 10.Solución: a) A=fabian no pierda ninguna materia A’=fabian pierda materia B= pilar no pierda ninguna materia B’=pilar pierda materia P (A) = 0.7 Como los eventos son independientes: P (A∩B∩C) = P (A) P (B) P (C) = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres tengan éxito en la universidad? Solución: A=el alumno 1 tiene exito B=el alumno 2 tiene exito C=el alumno 3 tiene exito P (A) = 0.25)=0.15 P(B’)= (1-0.85)*(1-0.90 P(N)= P(A) + P(B) + P(C) + P(D) P(N) = 0. Cuál es la probabilidad de que ninguno sufra un accidente.85 P(C) = 0.10 respectivamente.2) = 0.85 P (B) = 0.15 + 0.Cuatro amigos se dirigen a un lugar y toman 4 rutas diferentes de Acuerdo al riesgo de tener un accidente.75 P(D) = 0.9.25..135 c) P (A∩B’) = P (A) P (B’) = (1-0. .90) =0.15..8 P (C) = 0.765 b) P (A’∩B) = P (A’) P (B) = (1-0.7 = 0.9 P (B) = 0.90 a) Como los eventos son independientes: P (A∩B) = P (A) P (B) = 0.7 respectivamente.2 + 0.Una máquina que produce un determinado artículo fue adquirida bajo .015 8.10 P(N) = 0.70 70% 9.El consejero escolar de un colegio estimó las probabilidades de éxito en la universidad para tres alumnos de último año en 0. Las probabilidades de riesgo de cada ruta son 0.8 y 0.9*0. Sufran algún accidente No sufran accidente P(A) = 0. 9 * 0.. Si el proceso se realiza bajo control.03 P(A ∩ B) = P(A) * P(B) P(A ∩ B) = (0.03 a.0.0.9 = P(D ∩ C’) / 0.03*0.. P(A’ ∩ A) = 0.09% 9% b.03 * 0.. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto.97 97% P(A ∩ B)= P(A)*P(B) P(A ∩ B)= 0.9 P(D/C’) = (P(D) ∩ P(C’))/ P(C’) 0.7 P(C’) = 1 .97 P(A ∩ B)= 0. P(A’) = (1.03) P(A’)= 0.97 P(A’ ∩ A)= 0.03 P(B) = 0.0009 0. P(A) = 0.La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0.3 P(D ∩ C’) = 0.0291 2.dos artículos seguidos no sean defectuosos.03) P(B’)= 0. la probabilidad de que un paciente presenta una demanda es de 0.0.9409 94% c.P(A)) P(A’) = (1.3 P(D/C’)= 0.la condición de que el 3% de los artículos producidos son defectuosos.3 P(D ∩ C’) = 0.7.P(C) P(C’) = 1.el primero sea defectuoso y el segundo bueno.03) P(A ∩ B) = 0.dos artículos seguidos sean defectuosos.97 * 0.91 % 11..9.97 P(B’)= (1.7 P(C’) = 0. ¿cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda? P(C) = 0.27 . es decir independiente cual es la probabilidad de que P(D) = 0. 7. Los datos se clasificaron según el sector de la ciudad donde se aplico el cuestionario...30 = 0. Si se selecciona un cuestionario. 15. Cuál es laprobabilidad de: a) No se haya contestado b) La persona no estaba en casa c) el cuestionario se haya contestado y la persona viva en el sector N d) Dado que la persona viva en el sector O. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda? Solución: C=el doctor diagnostica en forma correcta una determinada enfermedad C’=el doctor diagnostica en forma incorrecta una determinada enfermedad D= el paciente presenta una demanda D’= el paciente no presenta una demanda P (D/C’) = 0. Si se supone que los dos eventos son independientes ¿cuál es la probabilidad de que un hogar escogido al azar sea uno de los que compra ambos periódicos? Solución: A=compran periodico matutino B=compran periodico vespertino P (A) = 0.En una ciudad grande el 70% de los hogares compra un periódico matutino y el 90% uno vespertino.En el ejercicio anterior.90*0.7*0.. la probabilidad de que un paciente presenta una demandaes de 0.27% 12.90= P (D∩C’)0. el resultado de la entrevista es independiente del sector de la ciudad donde vive la persona? Comprobar la respuesta .63 14. Dado que el doctor hace un diagnostico incorrecto.La probabilidad de que un doctor diagnostique en forma correcta una determinada enfermedad es de 0.9 = 0.9 P (A∩B) = P (A) P (B) P (C) = 0.30 luego despejamos y tenemos: P D∩C’ = 0. no haya contestado el cuestionario e) La persona viva en el sector M ó Conteste el cuestionario..7 P (B) = 0. f) Si la persona no estaba cual es la probabilidad de que viva en el sector O.27 13.La tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una encuesta.90 Como P (D/C’) = P (D∩C’)P (C´) entonces: 0.9. 30..35 / 0.El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y el 60% aprueba otra asignatura B....30 = 0..........haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A c.70 = 0.....15 Para que los eventos sean independientes es necesario que: P (B/A) = P (B) lo que no ocurre en este caso.....35 / 0. En este caso me da una probabilidad conjunta porque dice la probabilidad de que apruebe A y B .0..40 El 35% aprueba ambas asignatura ..35.Los pedidos nuevos de los productos de una compañía varían en valor monetario...0.. B / ap.05 / 0. la ocurrencia de uno de ellos afecta el que pueda producirse el otro: Sea A=el sector M conteste la encuesta B=el sector N conteste la encuesta P (B/A) = P (A∩B)P (A) = 215100 = 2. P ( Apruebe A y Apruebe B ) = 0... Elegido un estudiante al azar.....25/0.A . Sabemos además....no haya aprobado la asignatura B sabiendo que no ha aprobado la A Solución: El 70% de los estudiantes aprueba la asignatura A .05... A ) = P ( ap.. Por lo tanto podemos simbolizar que la P ( Apruebe A ) = 0.25...... los eventos son dependientes entre sí.....35 ...B Y ap A ) / P ( ap A ) = 0... Por lo tanto P ( Apruebe B ) = 0.000 b) cual es la probabilidadde que un nuevo pedido sea igual o menor a $2000 dado que el pedido excede a $1... calcular las probabilidades de: a...30 = 0.....0.....16 17... que el 35% del total de los estudiantes aprueba ambas...... B / nap. esto es...haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A b.. 0... NAp A . B Y ap A ) / P ( ap A ) = 0.Solución: El resultado de la encuesta es dependiente del sector... Ap....no haya aprobado la asignatura B sabiendo que ha aprobado la A d...0...50 B ) P ( ap ..B........60 y por lo tanto P ( No apruebe B ) = 0.. A ) = P ( ap. según el siguiente cuadro: a) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $2.. 16.0...60 NapB..70 y P ( No apruebe A ) = 0......0.50 D) P ( nap B / nap A ) = P ( nap B Y nap A ) / P ( nap A ) = 0.......000 dado que la . P(A/B)=P(AYB)/P(B)....70.. Ap.. B / ap A ) = P ( nap......35. .B Y nop. A ) / P ( nop..A ) = 0.30 El 60% aprueba otra asignatura B ... A ) P ( ap..70 = 0..000 c) cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $3.......83 C ) P ( nap..... o sea. el 90% lo tenía. Datos.000)+ P (3. 19.25 + 0. B’: la persona no tiene cáncer pulmonar.55 =0.000) + P (4.000] ∩ [x > 2.venta excede a $2.000] ∩ [x > 1.55 Hay un 55% de probabilidad de que el pedido sea mayor que $ 2.001< x <5.10 = 0.000])P(x > 1.10 = 0.351-0. B: la persona tiene cáncer pulmonar. 18.20 + 0. Si la proporción de fumadores es del 45% a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer seleccionado al azar sea fumador? b) Cual es la probabilidad de que la persona tenga cáncer.001<x <3. dado que el pedido excede a mil.En un centro médico. los fumadores que se sospecha tenían cáncer pulmonar.5454 Hay aproximadamente.000) = 0.000) = P([x > 3.001< x <4. 60% de 80% Entonces 60% de 80= 60·80/100= 48% Res/ La probabilidad de que un nuevo aspirante llegue a ser vendedor es del 48%.000 Solución: a) P (x >2. Solución: Definamos los siguientes sucesos o eventos.000) = P (2. aproximadamente.000. Si un aspirante nuevo llega al curso cual es la probabilidad de que termine el curso y se convierta en un vendedor productivo? Solución: El 80% aprueban y de estos solo 60% se convierten en vendedores.000) = 0.000]) P(x > 2.000] / [x > 1. . A: la persona es fumadora. un 39% de probabilidad de que el sea igual o menor que $ 2000. c) P (x > 3.3888… Hay. b) P ([x ≤ 2. A’: la persona no es fumadora. De estos solamente 60% se convirtieron en vendedores productivos. un 55% de probabilidad de que el nuevo pedido sea mayor que $3000.000]) P(x > 2. mientras que el 5% de los no fumadores lo padecía.000/ x > 2.000]) =P( [x ≤ 2.300.000) = P( [x > 3.Una compañía encontró que el 80% de las personas seleccionadas para su programa de entrenamiento de vendedores termino el curso.000) = 0. dado que las ventas exceden a $ 2000. D1= 20% D2= 30% D3= 50% S= SINTOMAS S1= 25% = 0.45*0.90 + 0.6 S3= 80% = 0. Supongamos que ha sido admitido un paciente con el conjunto de síntomas S.4325 20.05 = 173/400 = 0.90 P (BA') = 0.8 Se aplica el teorema de bayes P( Ai/B) = P(Ai) P(B/A)¬¬¬¬¬¬______________ P(Ai) P(B/A) + P(A2) P(B/A2) .P (A) = 0.45 P (BA) = 0.90 ( 0.45 = 0. El investigador quiere utilizar esta información para hacer rápidamente el diagnostico a los pacientes recién llegados. y 80% de los que tenían la enfermedad D3. cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D3. 60% de los que tenían la enfermedad D2. el 30% la enfermedad D2.05 ) = 162/173 = 0. se encontraba en un 25% de los pacientes con la enfermedad D1.55*0.90 + 0. y el 50% la enfermedad D3. el 20% de los pacientes que llegaron a la clínica tenían la enfermedad D1.55*0.25 S2=60% = 0.05 Sabemos que P A)+P (A’) = 1 ⇒ P (A’) = 1-P (A) = 1-0. El investigador descubrió también que un conjunto de síntomas bien definidos al que denomino S.45*0.Un investigador de una clínica de especialistas ha descubierto que durante un periodo de varios años. cual es la probabilidad de que tenga la enfermedad D1.45*0..55 a) P (AB) = ? Luego por el Teorema de Bayes tenemos: P (AB) = P(A)P(BA) P(B) = P(A)P(B/A)[ P(A)P(B/A) + P(A´)P(B/A´) ] = 0.936416 b) P (B) =? Por definición de la probabilidad total tenemos: P (B) = P(A) P (B/A) + P (A’) P (B/A’) P (B) = 0. P (A₁) = 0. en otras palabras el 10% de los culpables se consideran inocentes Cuando se usa el suero.Un científico ha descubierto en un hospital para enfermedades crónicas que el 15% de los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 días. A₁: los pacientes permanecen en el hospital menos de 30 días.25 = 0. 0556 22.01 .20 ) (0. B₁: los pacientes presentan cierto tipo de características.P(B₁/A₁) + P(A₂).15*0.15*0.05 P(D1) = P(D2/S1) *P(D2)+P(D3/S3) *P(D3) 21..60 P (A₁/B₁) =? Por el teorema de bayes tenemos: P (A₁/B₁) = P(A₁∩B₁) P(B₁) = P(A₁). mientras que el 85% de los pacientes permanece 30 días o más. B₂: los pacientes no presentan cierto tipo de características.P(D1) =0.9 P(CC/I) = 0. También ha descubierto que el 20% de los que se quedan menos de 30 díasy el 60% de los que se quedan 30 días o más.60) = 118= 0. A₂: los pacientes permanecen en el hospital 30 días o más.85 P (B₁/A₁) = 0. presentan cierto grupo de características.P(B₁/A₂) ] P (A₁/B₁) = ( 0.20 P (B₁/A₂) = 0.cuando es inocente. y el 1% de los inocentes se juzga culpable SI el sospechoso se escogio de un grupo del cual solo el 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable ¿Cual es la probabilidad que sea inocente Solución: CC considerado culpable CI considerado inocente C Culpable I Inocente Se sabe P(CC/C) = 0.20 + 0.P(B1/A₁) [ P(A₁).2 P(D1/S1) = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llega al hospital con esas características permanezca menos de 30 días? Solución: Definamos los eventos o sucesos.85*0.15 P (A₂) = 0.2 *0. 0095/0.Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento..22 + 822*0.055 P (P) =0 a.9·0.055 si es defensa y 0 si es portero.Si se sabe que un jugador se ha lesionado.11 si es medio. 6 delanteros y 2 porteros.05) = 0. la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.95 P(CC) = P(CC/I)·P(I) + P(CC/C)·P(C) P(CC y I) = P(CC/I)·P(I) =P(I/CC)·P(CC) Despejando P(I/CC) = P(CC/I)·P(I) / P(CC) P(I/CC) = 0.06 = 0.P (L) = 622*0.11 P (Df) =0.. .22 P (M) =0.22 si es delantero.05 P(I) = 0.045) = 0.015+0.01 ·0.95 / (0. determinar la probabilidad de que haya sido un defensa.04+0.055 + 222*0. b.01 · 0. 0.95 + 0. Solución: Definamos: D=se lesione un delantero M=se lesione un medio Df=se lesione un defensa P=se lesione un portero L=se lesione cualquiera de los jugadores del equipo P (D) =0. a.1743 Se aplica el teorema de Bayes 23. 0.22 = 0.115 . El entrenador sabe que en estos partidos.0095 / (0.0545 = 0..P(C) = 0.Calcular laprobabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido.0095 + 0.11 + 622*0. 8 medios. entre los dos equipos se reúnen 6 defensas. Se pide: Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco.Aplicando el teorema de Bayes: P (Df/L) = P(Df ∩L) P(L) = 622 * 0.115 = 0.54=0. . Al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento. Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y.3*0. de estos.b.4=0.7*0.54=54% b)0.En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Calcula el número de bolas blancas que debe tener la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón? Solución: a)0.6/0.055 0. el 60% llevan habitualmente casco.. Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. la probabilidad de que sean blancas es 1/2.6+ 0. Sea: B=sacar una bola blanca R=sacar una bola roja P (B) = xx+1 P (R) = 1x+1 P(B∩B) = xx+1* x-1x = 12 Entonces: xx+1* x-1x = 12 de aqui tenemos: 2*x-1=x+1 2x-2=x+1 x=3 Hay 3 bolas blancas en la caja.1304 24.0150.7*0.. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%.77=77% 25. Solución: En la caja hay x+1 bolas: x blancas y 1 roja.115 = 0. se pide: calcular el número de bolas blancas que debe tener la caja NB = numero de blancas P(2 blancas) = NB/(NB+1) + (NB-1)/NB = 1/2 el despeje da NB = 3 27. En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja? al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas.directivo(20%) + 48 no directivo(80%) P(empleado directivo sea ingeniero) = ingenieros directivos / total directivos = P(empleado directivo sea ingeniero) = 15 / (15 + 10 + 12) = 15/37 P(empleado directivo sea ingeniero) = 15/37 Respuesta = 15/37 ===>>> ~40. mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupan un puesto de directivo. ¿Cual es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? Solución: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas.directivo(50%) + 10 no directivo(50%) no ingenieros y no economistas = 60 (12 . ¿Cual es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero Suponga : 100 empleados ingenieros 20% = 20 (15 . mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupan un puesto de directivo. la probabilidad de que sean blancas es 1/2. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas tambien.57% .directivo(75%) + 5 no directivo(25%) economistas 20% = 20 (10 .26. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas tambien.
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