ejercicios de probabilidad resueltos y propuestos

Ejercicios Resueltos y PropuestosCurso EYP2300 Primera Edición Trabajo de Recopilación, Organización y Elaboración Eduardo M. Rodr´ıguez F. Departamento de Estad´ıstica - Facultad de Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Chile Santiago, Diciembre 2004 2 Prefacio Con la intenci´ on de apoyar la labor docente que desarrolla el Departamento de Estad´ıstica de la Facultad de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Chile, se ha realizado un trabajo de recopilación y elaboración de ejercicios resueltos y propuestos, además de gu´ıas con respuestas para el curso EYP2300, donde algunos de los cuales ya fueron desarrollados en ayudant´ıas y han sido parte de interrogaciones en semestre anteriores. Queremos agradecer muy en especial a FONDEDOC, por haber confiado en este proyecto y habernos entregado todo su apoyo para poder ver realizada esta necesidad tanto para el Departamento de Estad´ıstica, como para todos los alumnos y alumnas que son beneficiados de los cursos de servicio que ofrece el mismo. Este trabajo ha sido fruto de la labor que desarrollaron docentes y ayudantes que dictaron el curso entre los a˜ nos 2000 y 2004. Espec´ıficamente deseamos agradecer a los profesores • Claudio Beltrán. • Rolando de la Cruz. • Eduardo Rodr´ıguez. Además quisiéramos agradecer el aporte de Patricia Jiménez, Romina Mesa, Ricardo Olea y Mario Tagle, tanto por el material donado, como por la revisión de este libro. Atentamente. Dirección Departamento de Estad´ıstica Facultad de Matemáticas Santiago, Diciembre 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. ii Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. ´ Indice General 1 Estad´ıstica Descriptiva 1 2 Probabilidad 23 3 Variable Aleatoria Discreta 45 4 Variable Aleatoria Continua 59 5 Estimación 87 6 Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis 105 7 Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste 119 8 Tablas de distribución 125 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. iv ´ INDICE GENERAL Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. Cap´ıtulo 1 Estad´ıstica Descriptiva 1.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 1 1 Los siguientes datos corresponden a tiempos de vida (en horas) de unas ratitas de laboratorio expuestas a un cierto veneno. Se quiere ver la efectividad de dicho veneno. 0.03 0.03 0.04 0.05 0.07 0.11 0.12 0.14 0.22 0.22 0.23 0.24 0.29 0.29 0.31 0.33 0.36 0.47 0.51 0.60 0.61 0.73 0.85 0.86 0.86 0.93 0.97 0.99 1.05 1.06 1.11 1.14 1.18 1.21 1.35 1.40 1.44 1.71 1.79 1.88 1.91 1.93 1.96 2.21 2.34 2.63 2.66 2.93 3.20 3.53 a) Construir la respectiva tabla de Frecuencias, (CON 7 INTERVALOS) calculando: marca de clase, intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada. b) Hacer el correspondiente Histograma para la frecuencia absoluta, comente las caracter´ısticas de éste histograma. c) Calcular la Media (Aritmética) y Mediana (Intervalar). Interpretar cual de las anteriores medidas de centralización representa mejor a la muestra. (Incluir en su comentario, lo visto en el histograma). d) Obtenga el intervalo donde se encuentra el 40% central de la distribución. e) ¿En que intervalo de tiempo mueren el 90% de las ratitas? SOLUCI ´ ON a) La tabla de frecuencias esta dado por: 1 I1 segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva x = m i L i−1 L i n i N i f i F i 0.28 0.03 0.53 19 19 0.38 0.38 0.78 0.53 1.03 9 28 0.18 0.56 1.28 1.03 1.53 9 37 0.18 0.74 1.78 1.53 2.03 6 43 0.12 0.86 2.28 2.03 2.53 2 45 0.04 0.9 2.78 2.53 3.03 3 48 0.06 0.96 3.28 3.03 3.53 2 50 0.04 1 50 b) En este Histograma la gran parte de los datos se encuentran en los primeros cuatro intervalos, presenta un decaimiento de ratitas muertas a medida que el tiempo de vida aumenta c) – Media Aritmética: x = ¸ 7 i=1 m i n i n x = 0.28 ×19 + 0.78 ×9 + 1.28 ×9 + 1.78 ×6 + 2.28 ×2 + 2.78 ×3 + 3.28 ×2 50 x = 54 50 = 1.08 – Mediana: Me = L i−1 + n 2 −N i−1 n i ×a i Me = 0.53 + 25 −19 9 ×0.5 = 0.863 Claramente la mediana representa mejor el centro de la distribución que la media. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 1.1 Ejercicios Resueltos 3 d) Intervalo (P 30 ,P 70 ) Formula para Percentiles: P p = L i−1 + p×n 100 −N i−1 n i ×a i – Intervalo ocupando la formula intervalar de percentil: (0.42, 1.41). – Intervalo calculado con las respectivas posiciones: (0.31, 1.35). e) En el intervalo (0.03, 2.53). PROBLEMA 2 2 Responda brevemente: a) ¿Qué relación hay entre el método cient´ıfico y el método estad´ıstico? b) De dos definiciones de tipo de muestreo. c) Diga que se entiende por : “ No depende de la unidad de medida” y se˜ nale por lo menos dos medidas que cumplan y dos medidas que no cumplan con lo antes se˜ nalado. d) Describa en que consiste el percentil-p y haga un esquema para el cálculo en el caso de una variable. e) ¿Qué porcentaje de la muestra está contenido en el Rango-Intercuartil? f) Considere la variable:Estatura. Escriba esta variable en Escala Nominal y en Escala Ordinal. SOLUCI ´ ON a) El método estad´ıstico es el que nos proporciona las técnicas necesarias para recolectar y analizar la información requerida, en particular la hipótesis inicial que conlleva el método cient´ıfico. b) – Muestreo Aleatorio(m.a): indica que los elementos incluidos en esa muestra han sido seleccionados mediante alg´ un procedimiento de sorteo o azar. – Muestreo Aleatorio Simple(m.a.s.): cuando el procedimiento(anterior) se aplica sin restricciones sobre toda la población y cada elemento tiene igual chance de ser incluido en la muestra, hablamos de m.a.s. – Muestreo Aleatorio Estratificado(m.a.e): cuando una población se divide(en forma natural) en sub-poblaciones o estratos(mas o menos homogéneos) se puede aprovechar esta información formando nuestra muestra en base a submuestras aleatorias simples sorteadas en cada estrato. 2 I1 segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva c) Veamos esto a través de un ejemplo: si pensamos en medir el peso quiere decir que da lo mismo si utilizamos kilos o libras(es decir distintas unidades de medida). caso : cumplan coef. variación coef. curtosis coef. as´ımetr´ıa caso : no cumplan media varianza d) Percentil-p (P p ) . .. .. .. . p% (100 −p)% P p Figura 1.1: significa que hay p% de las observaciones por debajo P p y hay (100 − p)% de las observaciones por sobre P p Esquema: np 100 Parte entera (i) Parte decimal (d) § ¦ ¤ ¥ ¿d = 0? si no x i +x i+1 2 x i+1 Figura 1.2: e) El 50%. de la muestra f) Variable: Estatura Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 1.1 Ejercicios Resueltos 5 ESCALA NOMINAL = Estatura Normal Estatura No Normal ESCALA ORDINAL = Estatura Baja Estatura Media Estatura Alta PROBLEMA 3 3 Los siguientes datos corresponden a las cantidades máximas de emisión diarias de óxido de azufre (en toneladas) registradas seg´ un planta de emisión, en cierta zona industrial Cantidad de óxido(ton.) Planta A Planta B Planta C 05-10 50 40 20 10-15 30 30 40 15-20 60 0 70 20-25 20 10 15 25-30 40 20 5 a) Indique la unidad de información y clasifique las variables seg´ un nivel de medición y tama˜ no de recorrido. b) Entre las plantas B y C. ¿Cuál presenta mayor variabilidad relativa seg´ un la cantidad de óxido de azufre emitido? c) ¿ Qué porcentaje de las emisiones producidas por la planta C, supera las 28 toneladas? SOLUCI ´ ON a) Unidad de información: La Planta de emisión Variable Seg´ un nivel de emisión Seg´ un tama˜ no de recorrido Planta de emisión Nominal Discreta Cantidad de óxido De razón Continua b) La siguiente tabla muestra la marca de clase (m i ) de la planta B y C y la frecuencia absoluta n i de las mismas plantas. 3 I1 segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 6 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva Cantidad de óxido(ton.) m i n i Planta B n i Planta C 05-10 7.5 40 20 10-15 12.5 30 40 15-20 17.5 0 70 20-25 22.5 10 15 25-30 27.5 20 5 n B = 100 n C = 150 – Media Aritmética para la planta B y C: x = 5 i=1 m i ×n i n x B = 40×7.5+...+20×27.5 100 = 14.5 x C = 20×7.5+...+5×27.5 150 = 15.67 – Varianza para las plantas B y C: S 2 = 5 i=1 m 2 i ×n i n −x 2 S 2 B = (7.5) 2 ×40+...+(27.5) 2 ×20 100 −(14.5) 2 = 61 S 2 C = (7.5) 2 ×20+...+(27.5) 2 ×5 150 −(15.67) 2 = 22.37 Luego el coeficiente de variación (CV) esta dado por CV B = S B x B = √ 61 14.5 = 0.5386 CV C = S C x C = √ 47.3941 15.67 = 0.30 ∴ la planta B presenta mayor variabilidad seg´ un la cantidad de óxido de azufre emitido con respecto a la planta C. c) P p = L i−1 + p×n 100 −N i−1 n i ×a i 28 = 25 + p×150 100 −145 5 ×5 ⇒ p = 98.66% ∴ 1 −p = (100 −98.66)% = 1.34% Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 1.1 Ejercicios Resueltos 7 PROBLEMA 4 4 Lo que a continuación se presenta corresponde a la información obtenida de hoteles Interna- cionales. Las variables que fueron examinadas son: TH : Tipo de Hotel(Categor´ıas 1 y 2) NH : N´ umero de habitaciones PTA : Precio temporada alta PTB : Precio temporada baja SC : Servicio cena (1:=S´ı,0:=No) TP : Si el cuenta con piscina(1:=S´ı,0:=No) En base a la siguiente información, responda las preguntas que al final se se˜ nalan: Resumen de la Información Tipo de hotel TH Frecuencia Porcentaje Frecuencia Acumulada Porcentaje Acumulado 1 14 43.75 14 43.75 2 18 56.25 32 100 Servicio cena TH Frecuencia Porcentaje Frecuencia Acumulada Porcentaje Acumulado 1 12 37.5 12 37.5 2 20 62.5 32 100 Figura 1.3: Gráfico seg´ un tipo de Hotel en relación a la Presencia o no de piscinas Variable N Desv.Estándar Suma M´ınimo Máximo Q1 Q2 Q3 Moda NH 32 ¿? 515 8 40 ¿? ¿? ¿? ¿? PTA 32 30.1395 3208 64 169 — — — — PTB 32 9.99921 1868 39 94 52 59 61 59 4 I1 segundo semestre de 2000 y 2001 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 8 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva Diagrama de tallo y dos hojas para la variable: NH 4 0 3 3 4 2 5 5 5 2 0 1 1 1 1 5 5 6 7 9 1 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 0 8 8 9 9 Preguntas: a) Clasifique las variables seg´ un nivel de medición y tama˜ no de recorrido. b) Indique la medida de tendencia central más adecuada para la variable PTB. Justifique. c) ¿Qué medidas de posición tienen en com´ un las variables TH,SC,TP? Justifique. d) Resuma en una tabla Bivariada, las variables TH y TP. e) Para las variables PTA y PTB.¿Cuál de ellas presenta menor variabilidad? f) Para la variable NH, llene los signos ¿? con la información que se da en el diagrama de tallo y hoja. SOLUCI ´ ON a) Unidad de información: La planta de Emisión. Variables Seg´ un nivel de emisión Seg´ un tama˜ no de recorrido TH Nominal Discreta NH Razón Discreta PTA Razón Cont´ınua PTB Razón Cont´ınua SC Nominal Discreta(Dicotómica) TP Nominal Discreta(Dicotómica) b) Variable:PTB Moda = 59 Mediana = Q 2 = 59 Media = 1868 32 = 58.375 Como “hay simetr´ıa”la medida de tendencia central mas adecuada es el PROMEDIO (Media). c) La Moda, por ser del tipo Nominal. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 1.1 Ejercicios Resueltos 9 d) Tabla Bivariada de las variables TH y TP. TH 1 2 Total TP 0 5 3 8 1 9 15 24 Total 14 18 32 e) El coeficiente de variaci´ on (CV) para las variables PTA y PTB son: CV PTA = 30.1395 (3208/32) = 0.30064 CV PTB = 9.99921 (1868/32) = 0.17129 ∴ la variable PTB presenta menor variabilidad con respecto a la variable PTA. f) – Desviación Estandar:7.6474 (n=32). – Moda: 10, 11, 12, 14, 21, 25. – Los Cuartiles Q1 = X 8 +X 9 2 = 11+11 2 = 11 Q2 = X 16 +X 17 2 = 11+11 2 = 14 Q3 = X 24 +X 25 2 = 11+11 2 = 20.5 PROBLEMA 5 5 Responda brevemente: a) Se˜ nale las etapas en la aplicación del método cient´ıfico. b) Diga que diferencia hay entre población objetivo y población muestreada. c) Diga cuando una variable es del tipo discreta y cuando es del tipo continua. d) Si una variable es de nivel de medición nominal, entonces la medida de tendencia central más adecuada es la mediana. Justifique. e) Describa en que consiste el percentil-p y haga un esquema para el cálculo en el caso de una variable. 5 I1 recuperativa,segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 10 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva f) Considere la variable:PESO. Escriba esta variable en Escala Nominal y en Escala Ordinal. Además escriba esta variable seg´ un tama˜ no de recorrido en forma dicotómica. SOLUCI ´ ON a) – Detección y Enunciado del Problema. – Formulaci´ on de una hipótesis. – Deducción de una consecuencia verificable. – Verificación de la consecuencia. – Conclusión. b) Poblaci´ on Objetivo : A quien o quienes va dirigido el estudio(Universo). Poblaci´ on Muestreada : Una fracción de este universo a estudiar. c) Discreta : Dominio finito o infinito numerable. Continua : Dominio es un intervalo en los reales. d) Falso, Nominal→ asigna nombre(no categoriza)luego no puedo calcular la mediana. e) Percentil-p (P p ) . .. .. .. . p% (100 −p)% P p Figura 1.4: significa que hay p% de las observaciones por debajo P p y hay (100 − p)% de las observaciones por sobre P p . Esquema:Ver figura 1.5 f) Variable: Peso Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 1.1 Ejercicios Resueltos 11 np 100 Parte entera (i) Parte decimal (d) § ¦ ¤ ¥ ¿d = 0? si no x i +x i+1 2 x i+1 Figura 1.5: ESCALA NOMINAL = Peso Normal Peso No Normal ESCALA ORDINAL = Peso Bajo Peso Medio Peso Alto DICOT ´ OMICA = 1 Sobre Peso 0 Bajo Peso PROBLEMA 6 6 En un proceso de destilación qu´ımico, el porcentaje (Y ) de pureza de ox´ıgeno producido está relacionado con el porcentaje (X) de hidrocarburo, presente en el condensador principal de la unidad de destilación. Se efectuaron 55 mediciones, en las cuales se observaron conjuntamente las variables X e Y , cuyos resultados se incluyen en la siguiente tabla: Nivel de pureza del Ox´ıgeno (%) Nivel de Hidrocarburo(%) 87 −90 90 −93 93 −96 96 −100 0.87 −1.07 10 5 0 0 1.07 −1.27 5 12 2 1 1.27 −1.47 1 4 9 2 1.47 −1.67 0 1 2 1 a) ¿En qué porcentaje de las mediciones se observa un nivel de hidrocarburo superior a 1.2 % en el condensador principal, cuando en nivel de pureza de ox´ıgeno es por lo menos 90 %? 6 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 12 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva b) Calcule el porcentaje de variabilidad del nivel de pureza del ox´ıgeno para los casos en que se observa en el condensador principal un nivel de hidrocarburo inferior a 1.27 % . SOLUCI ´ ON a) Nivel de Hidrocarburo(%) n N 0.97-1.07 5 5 1.07-1.27 15 20 1.27-1.47 15 35 1.47-1.67 4 39 P p = L i−1 + p×n 100 −N i−1 n i ×a i 1.2 = 1.07 + p×39 100 −5 15 ×0.2 ⇒ p = 37.82% ∴ 1 −p = (100 −37.82)% = 62.18% b) Nivel de Pureza n m i 87-90 15 88.5 90-93 17 91.5 93-96 2 94.5 96-100 1 98 x = 15 ×88.51 + 17 ×91.5 + 2 ×94.5 + 1 ×98 35 = 90.5714 S 2 = ¸ 5 i=1 m 2 i ×n i n −x 2 = 4.7215 ∴ C.V = 2.729 90.5714 ≈ 0.024 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 1.1 Ejercicios Resueltos 13 PROBLEMA 7 7 Un fabricante de bicicletas de competición, ha reunido información sobre los diferentes sillines existentes en el mercado, respecto de alguna de las variables de interés Marca : A, B, C. Material : Acero(A); Aluminio(AL); Cromoly(C). Peso en gr. Precio en U.M.(unidades monetarias) Long: Longitud Si Long ∈ [23, 26], entonces longitud=1 Si Long ∈ [23, 26], entonces longitud=2 Si Long ∈ [23, 26], entonces longitud=3 En base a la siguiente información, responda las preguntas que al final se se˜ nalan: Resumen de la Información Variable: Precio Material: A Material: AL Material: C N Media Varianza N Media Varianza N Media Varianza 13 4282 4254805.69 25 1687.50 191406.25 15 6794.50 37711420.50 Variable: Peso N Media Desv. Estándar Coef. Variaci´ on Mediana Suma Kurtosis Moda 53 307.92 93.18 30.26 280 16320 1.31 220 Percentiles 100% 95% 90% 75% 25% 590 524 462 324 246 Tabla de Frecuencias : Marca vs. Longitud A B C Total 1 6 2 2 10 2 1 15 4 20 3 8 13 2 23 Total 15 30 8 53 7 I1 recuperativa, segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 14 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva Preguntas: a) Clasifique las variables seg´ un nivel de medición y tama˜ no de recorrido. b) Construya un gráfico Box-Plot que muestra la distribución de los sillines seg´ un peso, ubique los valores correspondientes en el gráfico e indique las medidas de posición y dispersión más adecuadas. Justifique su respuesta. c) Compare la variabilidad (coef.variaci´ on) del precio de todos los sillines con la variabilidad del precio de los sillines Cromoly.(Varianza(precio de todos los sillines)=8157632.44). d) Construya un gráfico que muestre la distribución de los sillines marca C, seg´ un longitud. SOLUCI ´ ON a) Variables Tama˜ no Recorrido Nivel de medición Marca Discreta Nominal Material Discreta Nominal Peso Continua Razón Precio Continua Razón Long Discreta Ordinal b) Gráfico Boxplot 246 280 324 Figura 1.6: Moda = 220 Media = 307.92 ⇒ Asimetr´ıa Mediana = 280 Medida de Posici´ on: Me=280 gr. Medida de Dispersión: Q3-Q1= 324-246=78 gr. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 1.1 Ejercicios Resueltos 15 c) Los coeficientes de variaci´ on son: C.V C = √ 3711420.50 6794.50 = 0.2835 C.V T = S T x T donde x T = 4282 ×13 + 1687.50 ×25 + 6794.50 ×15 53 = 3769.264151 Luego C.V T = 2856.156935 3769.264151 = 0.7577 y por lo tanto C.V C < C.V T lo que significa que los sillines marca Cromoly son más homogéneos. d) Long n c d i 23-26 2 2/3 27-30 4 4/3 31-30 2 2/9 Figura 1.7: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 16 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva PROBLEMA 8 8 La distribución adjunta son las frecuencias en mediciones de resistencia a la fractura (en MPa) para barras de cerámicas quemadas. Clase 81-83 83-85 85-87 87-89 89-91 91-93 93-95 95-97 97-99 Frecuencia 6 7 17 30 43 28 22 13 3 a) Trace un histograma basando en frecuencias relativas y comente sus propiedades interesantes. b) ¿Qué proporción de las observaciones son cuando menos 85?¿Menores que 95? c) Aproximadamente,¿qué proporción de las mediciones fueron menores que 90? d) Calcule el promedio e interprete su resultado. SOLUCI ´ ON a) Propiedades: unimodal, un poco de asimetr´ıa para valores peque˜ nos(asimetr´ıa negativa), etc. Figura 1.8: b) Proporción cuando menos 85 = 17 + 30 + 43 + 28 + 22 + 13 + 3 169 = 156 169 = 0.923 8 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 1.1 Ejercicios Resueltos 17 ó 1 − 6+7 169 = 0.923 Proporción menores 95 = 6 + 7 + 17 + 30 + 43 + 28 + 22 169 = 153 169 = 0.905 ó 1 − 6+7 169 = 0.923 c) Aproximadamente 81.5 169 = 0.482 d) x = ¸ 9 i=1 m i ×n i n = 82 ×6 + 84 ×7 +. . . + 98 ×3 169 = 90.17 La resistencia promedio a la fractura para barras de cerámica quemadas es de 90.17. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 18 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva 1.2 Ejercicios Propuestos 1. 9 La carga de fuego (Mj/m 2 ) es la energ´ıa calor´ıfica que se puede liberar por metro cuadrado de área de piso por combustión del contenido y de la estructura misma de un recinto. El art´ıculo “Fire Loads in Office Building”(J. of Structural Engr., 1997, 365- 368 ) presenta los siguientes porcentajes acumulados, le´ıdos de una gráfica, de cargas de fuego en una muestra de 388 recintos: Valor 0 150 300 450 600 750 900 % acumulado 0 19.3 37.6 62.7 77.5 87.2 93.8 Valor 1050 1200 1350 1500 1650 1800 1950 % acumulado 95.7 98.6 99.1 99.5 99.6 99.8 100.0 a) Trace un histograma de frecuencia relativa y comente sus caracter´ısticas interesantes. (b) ¿Qué proporción de cargas de fuego son menores que 600? ¿Por lo menos 1200? (c) ¿Qué proporción de cargas están entre 600 y 1200? 2. Los siguientes datos corresponden al peso recién nacidos en un hospital durante una semana. N o Sexo Peso (g) N o Sexo Peso (g) 1 M 3700 11 F 3400 2 M 2600 12 F 2700 3 F 3100 13 M 3800 4 F 3300 14 F 3500 5 F 3500 15 M 4200 6 F 3400 16 M 3300 7 F 3200 17 M 2800 8 M 2600 18 F 3600 9 M 3500 19 F 3200 10 M 2500 20 M 3500 a) Elegir una muestra diferenciando por sexo, (muestreo aleatorio estratificado) 5 hombres y 5 mujeres utilizando muestreo sistemático. (Tomando por primer sujeto el uno). b) Calcular el promedio del peso por grupo.¿ Se puede decir que el sexo influye en el peso de los recién nacidos? 3. La siguiente tabla representa el n´ umero de personas activas dentro de una muestra de 50 familias:. 9 I1 segundo semestre de 2002 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 1.2 Ejercicios Propuestos 19 Fr. Absoluta Frec. Fr. abs. Fr. rel. Personas N o Familias relativa acum. acum. Activas n i f i N i F i 1 16 2 20 3 9 4 5 50 a) Complete la tabla de frecuencia. b) ¿ Cuántas familias tiene a lo mas 2 personas activas?. c) ¿ Qué porcentaje de familias tiene solamente una persona activa?. 4. Al comenzar el curso se paso una encuesta a los alumnos del primer curso de un colegio, preguntándoles, entre otras cosas, por el n´ umero de hermanos que ten´ıa, obteniéndose los siguientes resultados: 3 3 2 8 2 3 4 3 3 3 5 1 3 3 2 3 2 4 3 3 2 4 3 4 3 2 4 3 2 4 2 2 3 4 A: Represente este conjunto de datos con un diagrama de barras. B: Calcule media, moda y mediana. 5. Al comenzar el curso se paso una encuesta a los alumnos del primer curso de un colegio, preguntándoles, entre otras cosas, por el n´ umero de hermanos que ten´ıa, obteniéndose los siguientes resultados: 60 56 54 48 99 65 58 55 74 52 53 58 67 62 65 76 85 92 66 62 73 66 59 57 54 53 58 57 55 60 65 65 74 55 73 97 82 80 64 70 101 72 96 73 55 59 67 49 90 58 63 96 100 70 53 67 60 54 Obtenga: A: La distribución de frecuencias agrupando por intervalos. B: La mediana de la distribución. C: La media de la distribución, indicando su nivel de representatividad. 6. En el Consejo de Apuestas del Estado se han ido anotando, durante una temporada, el n´ umero de premiados de quinielas seg´ un la cantidad de aciertos, obteniéndose la siguiente tabla: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 20 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva N o de aciertos 11 12 13 14 15 N o de personas (miles) 52 820 572 215 41 Calcule: A: El n´ umero medio de aciertos por temporada. B: La mediana, la moda y los cuartiles de la distribución. 7. En un puerto se controla diariamente la entrada de pesqueros seg´ un su tonelaje, resultando para un cierto d´ıa los siguientes datos: Peso (Tm.) 0-25 25-50 50-70 70-100 100-500 N o de barcos 5 17 30 25 3 Se pide: A: El peso medio de los barcos que entran en el puerto diariamente, indicando la representatividad de dicha medida. B: El intervalo donde se encuentra el 60% central de la distribución. 8. Los datos siguientes que aparecen a continuación corresponden al n´ umero de tornillos defectuosos por caja en una muestra de 90 cajas de un lote llegado a una ferreter´ıa en Marzo de 1997: 6 4 3 5 2 5 2 4 7 10 7 4 5 8 5 10 11 6 7 6 8 8 5 6 3 8 8 9 4 6 4 11 4 4 4 9 8 4 5 10 6 3 2 8 4 3 4 5 8 6 7 6 3 5 8 5 3 6 3 12 7 6 3 5 6 5 4 2 7 8 5 7 3 5 7 5 7 3 6 4 6 4 4 4 5 5 2 3 3 4 Obtenga: A: La distribución de frecuencias. B: La media, mediana, moda de la distribución. C: Hacer el respectivo Histograma y gráfico de Pol´ıgonos. 9. Los datos siguientes representan en cent´ımetros las longitudes de 50 art´ıculos producidos por una máquina. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 1.2 Ejercicios Propuestos 21 4,15 4,8 5,15 5,33 5,57 5,74 6,02 6,66 6,98 7,3 4,27 4,86 5,27 5,39 5,63 5,86 6,04 6,66 7,1 7,38 4,62 4,92 5,27 5,45 5,63 5,86 6,1 6,75 7,14 7,54 4,68 4,98 5,33 5,51 5,63 5,86 6,33 6,92 7,22 7,7 4,68 5,15 5,33 5,51 5,63 6,02 6,66 6,98 7,22 7,72 Obtenga: A: Construya una tabla de frecuencias para los datos, con intervalos. B: Construya un histograma y pol´ıgono de frecuencias para la tabla construida en a). C: Si el 25% de los art´ıculos de menor longitud y el 10% de los art´ıculos de mayor longitud son considerados defectuosos por el Dpto. de control de calidad. Indique entre que longitud los art´ıculos serán considerados aceptables. 10. Los valores de la presión sangu´ınea se reportan a veces a los 5 mm Hg más cercanos (100, 105, 110, etc). Suponga que los valores reales de presión sangu´ınea para nueve individuos seleccionados al azar son: 118.6 127.4 138.4 130.0 113.7 122.0 108.3 131.5 133.2 a) ¿Cuál es la mediana de los valores reportados de la presión sangu´ınea? b) Suponga que la presión del segundo individuo es de 127.6 en lugar de 127.4 (un peque˜ no cambio en un sólo valor). ¿Cómo afecta esto a la mediana de los valores reportados?. ¿Qué dice esto sobre la sensibilidad de la mediana para redondear o agrupar los datos? 11. El art´ıculo Oxygen Consumption During Fire Suppression: Error of Heart Rate Esti- mation present´ o los datos siguientes sobre consumo de ox´ıgeno en ml/Kg/min, para una muestra de diez bomberos que hicieron un simulacro de combate de incendio: 29.5 49.3 30.6 28.2 28.0 26.3 33.9 29.4 23.5 31.6 Calcule lo siguiente: a) El intervalo de la muestra. b) La varianza muestral S 2 de la definición (es decir, calcular primeramente desviaciones con respecto a la media y luego elevarlas al cuadrado, etc.). c) La desviación estándar muestral. 12. Un estudio de la relación entre la edad y varias funciones visuales, por ejemplo, agudeza y percepción de profundidad, reportó las siguientes observaciones sobre el área de la lámina esclerótica (mm 2 ) de cabezas de nervios ópticos humanos: 2.75 2.62 2.74 3.85 2.34 2.74 3.93 4.21 3.88 4.33 3.46 4.52 2.43 3.65 2.78 3.56 3.01 a) Calcule ¸ x i y ¸ x 2 i Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 22 Cap´ıtulo 1. Estad´ıstica Descriptiva b) Utilice los valores calculados en el inciso (a) para determinar la varianza muestral S 2 y la desviación estándar muestral S. c) Determine los cuartos inferior y superior. d) Calcule el valor de la cuarta dispersión. e) Si los dos valores muestrales más grandes, 4.33 y 4.52 hubieran sido 5.33 y 5.52, ¿Cómo afectará esto a f s ?. Explique. f) Si a la muestra se agrega una décimo octava observación x 18 = 4.60, ¿Cuánto vale f s ?. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. Cap´ıtulo 2 Probabilidad 2.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 1 1 La biblioteca de una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto texto de reserva. Dos ejemplares(1 y 2) son primeras impresiones y las otras tres(3, 4 y 5) son segundas impresiones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio, deteniéndose sólo cuando selecciona una segunda impresión. Dos posibles resultados son 5 y 2, 1, 3. a) Haga una lista de los resultados posibles. b) Si A simboliza el evento cuando exactamente un libro es examinado, ¿cuáles resultados están en A? c) Si B es el evento cuando el libro 5 es seleccionado, ¿cuáles resultados están en B? d) Si C es el evento cuando el libro 1 no se examina, ¿cuáles resultados están en C? SOLUCI ´ ON a) S = {3, 4, 5, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 123, 124, 125, 213, 214, 215} b) A = {3, 4, 5} c) B = {5, 15, 25, 125, 215} d) C = {3, 4, 5, 23, 24, 25} 1 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 24 Cap´ıtulo 2. Probabilidad PROBLEMA 2 2 Un sistema puede tener tres tipos de defectos: A i (i = 1, 2, 3) es cuando este sistema tiene un defecto del tipo i. Suponga que P(A 1 ) = 0.12 P(A 2 ) = 0.07 P(A 3 ) = 0.05 P(A 1 ∪ A 2 ) = 0.13 P(A 1 ∪ A 3 ) = 0.14 P(A 2 ∪ A 3 ) = 0.10 P(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = 0.01 a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema no tenga el defecto tipo 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y 2 al mismo tiempo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y 2 al mismo tiempo, pero que no tenga defectos tipo 3? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga dos de estos defectos? SOLUCI ´ ON a) P(A c 1 ) = 1 −P(A 1 ) = 1 −0.12 = 0.88 b) P(A 1 ∩ A 2 ) = P(A 1 ) +P(A 2 ) −P(A 1 ∪ A 2 ) = 0.12 + 0.07 −0.13 = 0.06 c) P(A 1 ∩ A 2 ∩ A c 3 ) = P(A 1 ∩ A 2 ) −P(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = 0.06 −0.01 = 0.05 2 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2.1 Ejercicios Resueltos 25 d) 1 −P(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) . .. . = 1 −0.01 prob. de a lo más dos errores = 0.99 PROBLEMA 3 3 Cierto télefono p´ ublico(que usalmente falla) devuelve la moneda insertada con probabilidad 0.6; hace la conexión con el n´ umero que uno marca con probabilidad 0.2 ; se queda con la moneda y no da la conexión requerida con probabilidad 0.3. Encuentre la probabilidad que una persona haga la llamada gratis. SOLUCI ´ ON A :“el teléfono p´ ublico devuelve la moneda insertada”. B :“el teléfono p´ ublico hace la conexión con el n´ umero que uno marca”. Se tiene P(A) = 0.6, P(B) = 0.2, P(A c ∩ B c ) = 0.3 Se pide encontrar P(B ∩ A) P(B ∩ A) = P(B) +P(A) −P(A ∪ B) = P(B) +P(A) −P[(A c ∩ B c ) c ] = P(B) +P(A) −{1 −P[(A c ∩ B c )]} = 0.2 + 0.6 −{1 −0.3} = 0.1 Luego la probabilidad que una persona haga la llamada gratis es 0.1. PROBLEMA 4 4 Se sabe que A contiene a B y que es disjunto con C. También se sabe que A es dos veces más probable que B, tres veces más probable que C y un medio veces más probable que su complemento, A c . Encuentre P(B ∪ C) y P(B ∩ C). 3 I1 segundo semestre 2003 4 I1 y examen, segundo semestre 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 26 Cap´ıtulo 2. Probabilidad SOLUCI ´ ON Se tiene B ⊂ A, A ∩ C = φ, P(A) = 2P(B) P(A) = 3P(C), P(A) = 1 2 P(A c ) De aqu´ı obtenemos P(A) = 1 3 , P(B) = 1 6 , P(C) = 1 9 Debemos calcular P(B ∪ C) P(B ∪ C) = P(B) +P(C) −P(B ∩ C) = 1 6 + 1 9 −0 = 5 18 P(B ∩ C) = 0, ya que B ⊂ A por lo tanto es disjunto con C. PROBLEMA 5 5 Una muestra aleatoria de 200 mujeres que toman anticonceptivo oral y se controlan en el Ser- vicio Obstétrico y Ginecológico de cierto hospital fueron clasificadas seg´ un grupo sangu´ıneo (GS) y si presentan o no tromboembolismo (T) seg´ un se muestra en la tabla siguiente: Grupo Sangu´ıneo N´ umero de Tromboelismo Mujeres Sanas A 32 51 B 8 19 AB 6 5 O 9 70 Total 55 145 Si selecciona en forma aleatoria a una mujer de esta muestra. Calcule la probabilidad de que: a) Su GS sea A. b) Su GS sea O y se presente Tromboembolismo. c) Su GS sea B dado que la mujer está sana. d) Su GS no sea A y presente Tromboebolismo. SOLUCI ´ ON Completando la tabla con los totales se tienen: 5 segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2.1 Ejercicios Resueltos 27 Grupo Sangu´ıneo(GS) N´ umero de Tromboelismo (T) Mujeres Sanas (MS) Total A 32 51 83 B 8 19 27 AB 6 5 11 O 9 70 79 Total 55 145 200 a) P(GS A ) = 83 200 = 0.415 b) P(GS O ∩ T) = 9 200 = 0.045 c) P(GS B |MS) = P(GS B ∩ MS) P(MS) = 19/200 145/200 = 0.1310 d) P(GS 2 A ∩ T) = 8 + 6 + 9 200 = 0.115 PROBLEMA 6 6 Suponga que cierto rasgo oftálmico está asociado con el color de ojos. Se estudiaron 300 individuos elegidos aleatoriamente, con los resultados siguientes: Color de ojos Rasgos Azul Café Otro Totales Presencia 70 30 20 120 Ausencia 20 110 50 180 Totales 90 140 70 300 Calcular la probabilidad de que una persona elegida aleatoriamente: a) Tenga los ojos azules. b) Tenga el rasgo. 6 I2 recuperativa, segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 28 Cap´ıtulo 2. Probabilidad c) No tenga el rasgo y presente ojos café. d) Tenga el rasgo dado que presentó otro color de ojos. SOLUCI ´ ON Definamos los siguientes eventos A : Tenga ojos azules C : Tenga ojos café R : Tenga el rasgo O : Tenga otro color de ojos a) P(A) = 90 300 = 0, 3 b) P(R) = 120 300 = 0, 4 c) P(R c ∩ C) = 110 300 = 0, 366 d) P(R|O) = P(R∩O) P(O) = 20/300 70/300 = 0.2857 PROBLEMA 7 7 En una prueba de Métodos Estad´ısticos un alumno dispone de siete lápices para realizar ésta prueba, de los cuales dos son de color rojo y cinco de color azul. El alumno selecciona un lápiz al azar y enseguida extrae el otro de los restantes. (a) Defina los eventos involucrados (b) ¿Cuál es la probabilidad que el primer lápiz extra´ıdo sea azul y el segundo sea de color rojo? (c) ¿Cuál es la probabilidad que el segundo lápiz extra´ıdo sea rojo? SOLUCI ´ ON a) A:“El primer lápiz extra´ıdo es de color azul”. B:“El segundo lápiz extra´ıdo es de color rojo”. b) Se pide calcular P(A ∩ B) y se tiene P(A) = 5 7 y P(B|A) = 2 6 , luego P(A ∩ B) = P(A) ×P(B|A) = 5 7 × 2 6 = 5 21 7 I1 segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2.1 Ejercicios Resueltos 29 c) Aqu´ı se pide calcular P(B), en donde B = (A∩ B) ∪ (A c ∩ B) y, como A∩ B, A c ∩ B son disjuntos, se tiene: P(B) = P(A ∩ B) +P(A c ∩ B) = 5 21 +P(A c ) ×P(B|A c ) = 5 21 + 2 7 × 1 6 = 6 21 PROBLEMA 8 8 En una industria de productos Qu´ımicos, las unidades son producidas por tres l´ıneas en proporciones 25:35:40. Un 5% un 4% y un 2% de las unidades producidas por cada l´ınea, respectivamente, son defectuosos. Las unidades son mezcladas y enviadas a los compradores. a) Determine la probabilidad que una unidad escogida al azar sea defectuosa. b) Si un cliente encuentra una unidad defectuosa, determine la probabilidad que se haya producido en la primera l´ınea. SOLUCI ´ ON a) Los eventos son: D :“ unidad defectuosa ” L i : “ l´ınea de producción i ”; i = 1, 2, 3 P(D) = 3 ¸ j=1 P(D|L j )P(L j ) = 0.05 ×0.25 + 0.04 ×0.35 + 0.02 ×0.40 = 0.0345 (b) La probabilidad que se haya producido en la primera l´ınea, dado que la unidad es defectuosa. P(L 1 |D) = P(D|L 1 )P(L 1 ) P(D) = 0.05 ×0.25 0.0345 = 0.36 8 I1 segundo semestre 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 30 Cap´ıtulo 2. Probabilidad PROBLEMA 9 9 Un paciente de cáncer está siendo tratado con una combinaci´ on de tres fármacos. Se observa que cuando se utilizan simultáneamente, la probabilidad de que dos de los tres fármacos se inactiven es de 1/3, resultando que sólo uno de ellos permanece activo frente al tumor. La efectividad de cada fármaco, con respecto a producir una remisión del tumor, es diferente. El fármaco A se ha mostrado efectivo en un 50% de los casos; el fármaco B, en un 75%, y el fármaco C, en un 60%. La enfermedad remite en el paciente. ¿Cuál es la probabilidad de que el responsable de ello sea el fármaco B? SOLUCI ´ ON Se tiene los eventos R :Remisión del tumor A :Fármaco A B :Fármaco B C :Fármaco C P(A) = P(B) = P(C)(= 1/3), P(R|A) = 0.5, P(R|B) = 0.75, P(R|C) = 0.6 P(B|R) = P(R|B)P(B) P(R|A)P(A) +P(R|B)P(B) +P(R|C)P(C) = 0.75 0.5 + 0.75 + 0.6 = 0.75 1.85 = 0.4054 PROBLEMA 10 10 Sólo 1 de 1000 adultos está afectado por una rara enfermedad, para la cual se ha desarrollado una prueba de diagnóstico. Durante la prueba, cuando un individuo padece la enfermedad presentará un resultado positivo 99% de las veces, mientras que un individuo sin la enfermedad mostrará un resultado de prueba positivo sólo en 2% de las veces. Si se hace una prueba a un individuo seleccionado al azar y el resultado es positivo,¿cu´ al es la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad? 9 TAV 2004 10 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2.1 Ejercicios Resueltos 31 SOLUCI ´ ON Sea IE : individuo enfermo IS : individuo sano RP : resultado positivo de la prueba Del enunciado se tiene: P(IE) = 0.001 P(IS) = 0.999 P(RP|IE) = 0.99 P(RP|IS) = 0.02 Se pide P(IE|RP) P(IE|RP) = P(IE ∩ RP) P(RP) = P(RP|IE)P(IE) P(RP) = 0.99 ×0.001 0.02097 = 0.047 PROBLEMA 11 Se dispone de tres dados A, B y C. El dado A es equilibrado, mientras que B está cargado a favor de los n´ umeros impares y C lo está a favor de los pares. Sea p > 1 2 (resp. q < 1 2 ) la probabilidad de obtener un n´ umero impar al lanzar el dado B(resp. el dado C). El experimento consiste en elegir uno de los dados de acuerdo al mecanismo que se indica a continuación y luego lanzarlo tres veces(simpre el mismo dado). El mecanismo de selección consiste en lanzar una moneda no equilibrada D(con probabilidad de cara α) y seleccionar el dado A si sale cara; de salir sello se elige B o C con igual probabilidad. a) Calcule la probabilidad de que en el primer lanzamiento del dado aparezca un n´ umero par. b) Calcule la probabilidad de que el dado A haya sido seleccionado en la primera etapa si los dos primeros n´ umeros obtenidos son impares. c) Calcule la probabilidad de obtener un n´ umero impar en el tercer lanzamiento si se ha obtenido un n´ umero impar en los dos anteriores. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 32 Cap´ıtulo 2. Probabilidad SOLUCI ´ ON a) Sea A: dado equilibrado B: dado cargado P(impar) = p > 1/2 C: dado cargado P(impar) = q < 1/2 Moneda D P(cara) = α, cara −→A, sello −→ B ó C Primera forma Sean H: La moneda D mostró cara I i : En el lanzamiento i−ésimo aparece un n´ umero par P(I 1 ) = P(I 1 |H)P(H) +P(I 1 |H c )P(H c ) = 1 2 ×α + [P(I 1 |B)P(B) +P(I 1 |C)P(C)] ×(1 −α) = α 2 + ¸ (1 −p) × 1 2 + (1 −q) × 1 2 ×(1 −α) = 1 − α 2 + 1 −α 2 (p +q) Segunda forma Sean p A , p B y p C las probabilidades de elegir A, B y C respectivamente p A = α, p B = p C = 1−α 2 = β P(I 1 ) = 1 −P(I c 1 ) = 1 − α 2 +β ×p +β ×q = 1 − α 2 +β ×(p +q) Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2.1 Ejercicios Resueltos 33 b) Sea A:el dado dado A es seleccionado Primera forma: Usando el teorema de Bayes P(A|I c 1 ∩ I c 2 ) = P(I c 1 ∩ I c 2 |A)P(A) P(I c 1 ∩ I c 2 |A)P(A) +P(I c 1 ∩ I c 2 |B)P(B) +P(I c 1 ∩ I c 2 |C)P(C) = 1 4 ×α 1 4 ×α +p 2 × 1−α 2 +q 2 × 1−α 2 = 1 1 + 2(1−α) α (p 2 +q 2 ) Segunda forma P(A|I c 1 ∩ I c 2 ) = P(A ∩ I c 1 ∩ I c 2 ) P(I c 1 ∩ I c 2 ) = α × 1 2 × 1 2 α × 1 2 × 1 2 +β ×p 2 +β ×q 2 = 1 1 + 4β α (p 2 +q 2 ) c) P(I c 3 |I c 1 ∩ I c 2 ) = P(I c 3 ∩ I c 1 ∩ I c 2 ) P(I c 1 ∩ I c 2 ) = α × 1 2 3 + 1−α 2 ×p 3 + 1−α 2 ×q 3 α 4 + 1−α 2 (p 2 +q 2 ) Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 34 Cap´ıtulo 2. Probabilidad 2.2 Ejercicios Propuestos 2.2.1 Eventos y formas de contar 1. Todos los d´ıas, un ni˜ no dispone de 30 diarios para vender en la misma esquina. Defina un espacio muestral para el experimento, que consisite del n´ umero de ventas en un d´ıa cualquiera. Defina además los eventos: A: vende al menos cinco diarios. B: vende exactamente cinco diarios. C: vende a lo más cinco diarios. 2. Considerando el ejercicio anterior y si ahora, el experimento consisite en registrar el n´ umero de ventas que el hace en dos d´ıas sucesivos. Defina un espacio muestral razonable para este experimento y describa los eventos: A: vende al menos cinco diarios el primer d´ıa. B: vende al menos cinco diarios el segundo d´ıa. C: vende al menos cinco diarios ambos dias. 3. Considere el juego del lanzamiento de dos dados ordinarios. a) Determine el espacio muestral asociado. b) ¿Cuántos eventos puede usted definir? c) Describa los siguientes eventos: A: la suma de los dos dados es menor o igual a 3. B: el segundo dado muestra el n´ umero 6. C: el segundo dado muestra un n´ umero par. 4. Un animal muere(M) o sobrevive(S) en el curso de un experimento quir´ urgico. El experimento será ejecutado con dos animales, si ambos sobreviven, no se realizará ning´ un otro ensayo, si exactamente un animal sobrevive, a uno más se le aplicará el experimen- to. Finalmente si ambos animales mueren, serán tratados dos adicionales. Determine el espacio muestral asociado al experimento. 5. Considere el experimento aleatorio siguiente: Una moneda es lanzada hasta obtener cara por primera vez. a) Describa el espacio muestral asociado a este experimento. b) Describa los siguientes eventos: A: la primera cara ocurre en tres o menos lanzamientos. B: un n´ umero impar de lanzamientos es necesario para obtener cara por primera vez. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2.2 Ejercicios Propuestos 35 6. Se lanza una moneda hasta que aparezca un total de dos sellos, pero no se hacen más de 4 lanzamientos. Liste todos los resultados de un espacio muestral apropiado para este experimento. 7. Una urna contiene 5 fichas, marcadas del 1 al 5. Se extraen tres fichas, liste todos los resultados que constituyen el evento “el segundo n´ umero más grande extra´ıdo fue 3”. 8. En el juego del “crapito”, un jugador lanza un par de dados. Si obtiene una suma de 7 u 11, él gana inmediatamente; si él obtiene una suma de 2, 3 ó 12 él pierde inmediatamente. De otra manera, si la suma es x, él continua lanzando hasta obtener un mismo puntaje x(en cuya caso gana)u obtener un 7(en cuyo caso pierde). Describa el evento “el jugador gana con un puntaje de 5”. 9. Determine el n´ umero de elementos en los conjuntos i)-iii) y haga una lista de ellos. i.- Un comité de dos personas se va a formar de un grupo de 5 estudiantes: Patricia, Ricardo, Eduardo, Romina y Joaqu´ın. ii.- Se va elegir un presidente y tesorero del grupo de estudiantes de arriba. El presidente debe ser mujer. iii.- Los cinco estudiantes arriba van a bailar. ¿Cuántas parejas(var´ on y dama)se pueden formar? 10. Un experimentador investiga el efecto de tres variables: presión, temperatura y el tipo de catal´ıtico sobre el rendimiento en un proceso de refinado. Si el experimentador intenta usar tres niveles para la temperatura, tres niveles para la presión y dos tipos de catal´ıtico, ¿cuántos ensayos experimentales tendrá que realizar si quiere considerar todas las combinaciones de presión, temperatura y tipos de catal´ıticos? 11. ¿Cuántos n´ umeros se pueden formar al arreglar los d´ıgitos del n´ umero 4130131(exclu- yendo los que comienzan por 0? 12. Una Galer´ıa de Arte tiene que montar una exposición, para ello tiene 10 cuadrados distintos; a) Si tiene uno sólo para 8 cuadros. ¿De cuántas formas distintas puede organizar la Exposición? Resp: 1814400 b) Si tiene otro sólo con 6 espacios. ¿De cuántas formas puede organizar la Exposi- ción? Resp: 151200 13. Un curso de Métodos Estad´ıstico de 40 alumnos tiene que formar una comisión para organizar un congreso; a) Si la comisión debe ser de 4 alumnos. ¿Cuántos comités distintos se podr´ıan formar? Resp: 91390 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 36 Cap´ıtulo 2. Probabilidad b) Si la comisión debe ser de 8 alumnos. ¿Cuántos comités distintos se podr´ıan formar? Resp: 769046685 14. En una baraja de naipes se reparten 4 naipes a cada jugador: a) ¿Cuántas manos distintas pueden formarse? Resp: 316251 b) ¿Cuántas manos de 20 Ases y 2 Queinas? Resp: 36 c) ¿Cuántas manos distintas de 3 Reyes y 1 Jota? Resp: 16 d) ¿Cuántas manos distintas con 2 Jotas y 2 cartas cualquiera? Resp:7956 15. Un testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huy´ o, le indica a un polic´ıa que el n´ umero de matr´ıcula del automóvil ten´ıa las letras RLH seguidas por tres d´ıgitos, el primero de los cuales era un cinco. Si el testigo no puede recordar los otros dos d´ıgitos pero está seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el n´ umero máximo de registros de automóvil que debe verificar la policia. Resp: 72 16. Cuatro matrimonios compraron ocho lugares para un concierto. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse?: a) Sin restricciones Resp: 40320 b) Si se sientan por parejas Resp: 384 c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres Resp: 576 17. ¿Dé cuántas maneras puede un cliente ordenar un emparedado y una bebida si hay cinco clases de emparedado y una bebida si hay cinco clases de emparedado y cuatro de bebidas en el men´ u? Resp:20 maneras 18. A diez ratas de laboratorio se le asignan rangos por su habilidad para aprender cinco diferentes tareas. A una rata se le asigna los valores tres, dos, uno y cero por cada tarea si ella es aprendida en uno, dos, tres o más per´ıodos de entrenamiento. a) ¿Cuántos valores totales son posibles para una rata en particular? b) Suponiendo que no hay empates(dos ratas no puden recibir el mismo puntaje total)¿cuántos rangos son posibles? Resp:a) 16 valores b)10! rangos Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2.2 Ejercicios Propuestos 37 19. Una empresa alimenticia desea numerar las fichas de sus clientes con n´ umeros de cuatro cifras. Para ello dispone de los d´ıgitos del cero al nueve. ¿Cuántas fichas podrá numerar si a) los d´ıgitos pueden repetirse? b) los d´ıgitos no pueden repetirse? c) el ´ ultimo n´ umero debe ser cero y los d´ıgitos no pueden repetirse? Resp: a)1000 fichas b)5040 fichas c)504 fichas. 20. a) Determine el n´ umero de palabras de cuatro letras que se pueden formar con las letras de la palabra HEMBRAS. b) ¿Cuántas de ellas contienen sólo consonantes? c) ¿Cuántas empiezan y terminan con consonante? d) ¿Cuántas empiezan con vocal? e) ¿Cuántas contienen la letra B? f) ¿Cuántas empiezan con H y terminan con vocal? g) ¿Cuántas contienen ambas vocales? Resp: a)840 palabras b) 120 palabras c) 400 palabras d)240 palabras e) 480 palabras f)40 palabras g)240 palabras. 21. ¿Cuántos códigos de cuatro letras se pueden obtener con las primeras diez letras del alfabeto si a) ninguna letra se puede repetir? b) se pueden repetir las letras las veces que se desee? c) en b) las letras abyacentes no pueden ser iguales? Resp:a)5040 códigos b)10000 códigos c)7290 códigos. 22. Considere los siguientes d´ıgitos: uno, dos, tres, cinco y seis a) ¿Cuántos n´ umeros de tres cifras, se pueden formar si no se permiten repatición? b) ¿Cuántos de los obtenidos en a) son menores de 500? Resp:a)60 n´ umeros b)36 n´ umeros. 23. En la formación de un rasgo de un individuo intervienen cinco tipos de genes distintos. ¿Cuántos genotipos distintos se pueden obtener?. Resp:15 genotipos. 24. Suponga que hay seis s´ıntomas reconocidos para una cierta enfermedad. La enfermedad puede ser diagnosticada si el paciente muestra cuatro ó más de los s´ıntomas. ¿Dé cuántas maneras pueden combinarse los s´ıntomas para poder dar un diagnóstico? Resp: 22 maneras 25. ¿Cuántas se˜ nales de tres luces distintas pueden obtenerse con cinco luces distintas? Resp:60 se˜ nales Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 38 Cap´ıtulo 2. Probabilidad 26. Un médico visita seis salas diferentes de un hospital todos los d´ıas. Con el objeto de impedir a los pacientes que sepan cuando los visitará, var´ıa el orden de las visitas. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar sus visitas el médico? Resp:720 maneras. 27. a) ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra ESTADISTICA? b) ¿Cuántas de ellas empiezan y terminan con S? Resp:a)249480 palabras b)45360 palabras. 28. En un laboratorio se dispone de cinco ratas blancas y ocho grises. En un experimento deben participar cuatro ratas de las cuales una debe ser blanca. ¿Cuántas maneras distintas tiene el investigador de elegir las ratas? Resp:280 maneras. 29. Se dispone de doce claveles de colores distintos y cinco rosas de colores distintos. Se desea formar un ramo de seis flores. ¿Cuántos ramos distintos se pueden formar si se desea que el ramo contenga al menos tres rosas? Resp:11110 ramos. 30. Un grupo de profesionales está formado por seis médicos, tres farmacéuticos y cuatro biólogos. Se nombra una comisión de cinco personas para asistir a un congreso. a) ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar? b) ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar i) si el presidente y el secretario del grupo van por derecho propio? ii) si asiste por lo menos un farmacéutico? c) si asiste dos médicos, dos biólogos y un farmacéutico? Resp:a)1287 comisiones b) i) 165 comisiones ii)1035 comisiones c)270 comisiones. 31. Un estudiante debe contestar ocho de diez preguntas de un examen. a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? b) ¿Cuántas si las tres primeras preguntas son obligatoria? c) ¿Cuántas si tiene que contestar por lo menos cuatro de las cinco primeras preguntas? Resp:a)45 maneras b)21 maneras c)35 maneras. 32. Un estudiante tiene once amigos. a) ¿Dé cuántas maneras puede invitar a cinco de ellos? b) ¿Dé cuántas maneras, si dos de ellos están enojados y no asisten juntos? Resp:a) 462 maneras b)378 maneras. 33. De un grupo de ocho farmacéuticos, tres biólogos y cuatro médicos se elige una comisión de cinco personas. ¿Cuántas comisiones Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2.2 Ejercicios Propuestos 39 a) distintas se pueden formar? b) tiene exactamente dos médicos? c) tiene por lo menos tres farmacéuticos? d) tiene a un farmacéutico determinado? e) tiene a lo más un biólogo? Resp: a)3003 comisiones b)990 comisiones c) 1722 comisiones d)1001 comisiones e)2277 comisiones. 34. Un sicólogo está tratando a catorce pacientes, seis hombres y ocho mujeres. Debe seleccionar nueve pacientes para un experimento en grupo. a) ¿Cuántos grupos puede formar el sicólogo? b) ¿Cuántos grupos puede formar que i) contengan cuatro hombres? ii) incluyan a lo más dos mujeres? Resp:a)2002 grupos b)i)840 grupos ii)0 grupo. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 40 Cap´ıtulo 2. Probabilidad 2.2.2 Probabilidad Condicional, Independencia y Teorema de Ba- yes 1. 11 Los eventos A y B son disjuntos y uno de ellos debe ocurrir. Sus probabilidades son p y p 2 respectivamente. Encuentre p. Resp:p = (−1 + √ 5)/2 2. Suponga queP(A) = 0.4, P(B c ) = 0.6, P(A ∩ B c ) = 0.1. Encuentre P(A ∪ B c ). 3. Se sabe que A contiene a B y que es disjunto con C. También se sabe que A es dos veces más probable que B, tres veces más probable que C y un medio más probable que su complemento, A c . Encuentre P(B ∪ C) y P(B ∩ C). Resp:P(B ∪ C) = 5/18 y P(B ∩ C) = 0 4. Un grupo de alumnos siguió tres asignaturas: A, By C. Se sabe que: El 5% aprobó las tres asignaturas, el 45% aprobó A ó B, el 25% aprobó A y C, el 80% no aprobó B, el 40% aprobó A y el 35% aprobó C. Si se elige al azar un alumno de éste grupo. Calcule la probabilidad de que: a) Haya aprobado sólo A. b) Haya aprobado todas las asignaturas, sabiendo que aprobó A y B. c) Haya reprobado B, sabiendo que también reprobó A. Resp:a)0.5 b) 0.3 c)0.167 5. Sean A, B y C tres sucesos de un espacio probabil´ıstico (Ω,A,P) tales que P(A) = 0.4, P(C) = 0.3, P(A ∩ B) = 0.1, P(A ∪ B) = 0.5, P(A ∩ B ∩ C) = φ a) Calcular la probabilidad de que no ocurre ninguno. b) Determine la probabilidad de que ocurren A y B, pero no C. Resp: a)0.2 b)0.1 6. Un vendedor de autos nuevos ha comprobado que los clientes solicitan en especial algunos de los siguientes extras: transmición automática (A), neumáticos panteros(B) y radio(C). Si el 70% de los clientes solicitan A, el 75% solicitan B, el 80% solicitan C , el 80% requieren A o B, el 85% requieren A o C, el 90% requieren B o C y el 95% requieren A o B o C. Calcular la probabilidad que: a) El próximo cliente solicite las tres opciones. b) El próximo cliente solicite sólo una radio. c) El próximo cliente solicite sólo una de las tres opciones. d) El próximo cliente no solicite ning´ un extra especial. 11 Examen recuperativo 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2.2 Ejercicios Propuestos 41 Resp: a) 0.25 b)0.8 c)0.3 d)0.05 Respuesta parte a) Se sabe P(A) = 0.4, P(B) = 0.65, P(C) = 0.8, P(A ∪ B) = 0.8, P(A ∪ C) = 0.85, P(B ∪ C) = 0.9, P(A ∪ B ∪ C) = 0.95 Nos interesa P(A ∩ B ∩ C) P(A ∩ B ∩ C) =P(A ∪ B ∪ C) −P(A) −P(B) −P(C) +P(A ∩ B) +P(A ∩ C) +P(B ∩ C) =0.95 −0.4 −0.65 −0.8 +P(A ∩ B) +P(A ∩ C) +P(B ∩ C) (∗) Primero calculemos P(A ∩ B) =P(A) +P(B) −P(A ∪ B) =0.4 + 0.65 −0.8 =0.25 y P(A ∩ C) =P(A) +P(C) −P(A ∪ C) =0.4 + 0.8 −0.85 =0.35 y P(B ∩ C) =P(B) +P(C) −P(B ∪ C) =0.65 + 0.8 −0.9 =0.55 Volviendo a (*) y por lo anterior se tiene P(A ∩ B ∩ C) = 0.25 7. Sean A, B y C tres sucesos de un espacio probabil´ıstico (Ω,A,P) tales que P(A) = 5/10, ,P(B) = 7/10, P(C) = 3/5, P(A ∩ B) = 2/5, P(A ∩ C) = 2/5, P(B ∩ C) = 1/5, P(A ∩ B ∩ C) = 1/10 a) Calcular la probabilidad de que ocurra al menos uno de los sucesos anteriores. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ninguno de los sucesos anteriores? c) Determinar la probabilidad de que ocurran exactamente dos de éstos sucesos. Resp:a)0.9 b)0.1 c)0.8 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 42 Cap´ıtulo 2. Probabilidad Respuesta a) Se pide P(A ∪ B ∪ C) P(A ∪ B ∪ C) =P(A) +P(B) +P(C) −P(A ∩ B) −P(A ∩ C) −P(B ∩ C) +P(A ∩ B ∩ C) =5/10 + 7/10 + 3/5 −2/5 −2/5 −1/5 + 1/10 =0.9 8. Una caja de fusibles contiene 20 unidades, de los cuales 5 son defectuosas. Si tres de estos fusibles son tomados al azar, en sucesión y sin remplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad que los tres sean defectuosos? b) Si cada una de las dos primeras se extrajo un defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que el tercero extra´ıdo sea bueno? c) Si los dos primeros estaban buenos, ¿cuál es la probabilidad que el tercero extra´ıdo sea defectuoso? d) ¿Cuál es la probabilidad que los dos primeros sean buenos y el tercero defectuoso? Resp:a)0.0087 b)0.83 c)0.277 d)0.15 9. Un caja contiene fichas blancas y negras cada una de las cuales tiene grabadas una letra A o C, la composición de la caja es: N B Total A 5 3 8 C 1 2 3 Total 6 5 11 Calcular la probabilidad de: a) Obtener una ficha negra. b) Que una ficha sea negra si se sabemos que tiene una A. c) Obtener una ficha que tenga una A. d) Obtener una ficha negra con una A. e) Obtener una ficha que tenga una A sabiendo que es negra. Resp: a)6/11 b)5/8 c)8/11 d)5/11 e)5/11 10. Suponga que una una caja con n 1 fichas blancas y n 2 fichas negras, se extraen al azar dos fichas sin reemplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos fichas extra´ıdas sean blancas? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una ficha negra en la primera extracción y una blanca en la segunda extracción? Resp: a) ( n 1 n 1 +n 2 ) ×( n 1 −1 n 1 +n 2 −1 ) b)( n 2 n 1 +n 2 ) ×( n 1 n 1 +n 2 −1 ) Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2.2 Ejercicios Propuestos 43 11. Un grupo de alumnos está compuesto de cuatro Qu´ımicos y cinco F´ısicos. Se eligen al azar dos de ellos. ¿Cuál es la probabilidad que: a) el primero sea f´ısico y el segundo qu´ımico? b) el segundo es qu´ımico? c) los dos sean f´ısicos? d) Si se eligen cuatro alumnos, uno a continuaci´ on del otro. ¿Cuál es la probabilidad que los primeros sean f´ısicos y los dos ´ ultimos qu´ımicos? e) ¿Cuál es la probabilidad que sean alternados las carreras? Resp:a)5/18 b)4/9 c)5/18 d)5/63 e)10/63 12. La probabilidad que un estudiante estudie para un examen final es 0.20. Si estudia , la probabilidad de que apruebe el examen es 0.8 en tanto que si no estudia, la probabilidad es de sólo 0.50. a) ¿Cuál es la probabilidad que dicho estudiante apruebe su examen final?. b) Dado que aprobó su examen, ¿cuál es la probabilidad que él haya estudiado? Resp:a) 0.56 b)0.286 13. Se usa un interruptor para cortar un flujo cuando este alcanza un cierto nivel de profundidad en un estanque. La confiabilidad del interruptor(probabilidad que trabaje cuando debe) se supone de 0.9. Un segundo tipo de interruptor es puesto en paralelo y su confiabilidad es 0.7. Los interruptores trabajan en forma independiente. a) ¿Cuál es la confiabilidad de la combinación de los interruptores? b) ¿Cuál es la probabilidad, que solo trabaje el primer interruptor? c) ¿Cuál es la probabilidad que sólo uno de los interruptores trabaje? Resp:a)0.97 b)0.27 c)0.34 14. Dos máquinas de una planta elaboran el 10% y el 90% de la producción total de cierto art´ıculo. La probabilidad de producir un art´ıculo defectuoso con dichas máquinas es 0.01 y 0.05 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad que un art´ıculo tomado al azar de la producción de un d´ıa haya sido producido con la primera máquina, sabiendo que es defectuoso? 15. Sean A y B dos eventos asociados a un espacio muestral Ω, tales que: P(A) = 1/4, P(B|A) = 1/2 y P(A|B) = 1/4. a) ¿Son A y B eventos mutuamente excluyentes? b) ¿Es A ⊂ B? c) ¿Son A y B eventos independientes? d) Determine P(A c |B c ) Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 44 Cap´ıtulo 2. Probabilidad 16. La probabilidad que un alumno de un curso determinado se titule en cinco a˜ nos es 3/5. La probabilidad que una alumna de dicho curso tenga su t´ıtulo en cinco a˜ nos más es 5/8. Calcular: a) Probabilidad de que ambos se titulen en cinco a˜ nos más. b) Probabilidad de que al menos uno de ellos lo haga. c) Probabilidad de que el alumno no se titule y la alumna s´ı. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. Cap´ıtulo 3 Variable Aleatoria Discreta 3.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 1 1 Usted tiene cinco monedas en su bolsillo; dos de un peso, dos de cinco pesos y una de diez pesos, donde las monedas de igual valor son distinguibles. Tres monedas son extra´ıdas al azar. Sea X la cantidad extra´ıda(en pesos). Encuentre: a) La función de distribución acumulada de probabilidades de X. b) P(X ≤ 10|X ≤ 15). c) La función generadora de momentos y calcule mediante ésta la esperanza y la desvia- ción estándar de X e interprete. SOLUCI ´ ON a) X 7 11 12 16 20 P(X = x) 2 10 2 10 1 10 4 10 1 10 b) P(X ≤ 10|X ≤ 15) = P(X≤10,X≤15) P(X≤15) = 2 10 5 10 = 2 5 c) Sabemos de a) que el recorrido de X esta dado por R X = {7, 11, 12, 16, 20} M X (t) = E[e tx ] = ¸ x∈R X e tx P(X = x) luego la función generadora esta dado por: 1 I2 segundo semestre 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 46 Cap´ıtulo 3. Variable Aleatoria Discreta M X (t) = 1 10 (2e 7t + 2e 11t +e 12t + 4e 16t +e 20t ) calculemos ahora el primer y el segundo momento M X (t) = 1 10 (14e 7t + 22e 11t + 12e 12t + 64e 16t + 20e 20t ) M X (t) = 1 10 (14 ×7e 7t + 22 ×11e 11t + 12 ×12e 12t + 64 ×16e 16t + 20 ×20e 20t ) evaluando ahora en cero obtenemos la esperanza y varianza E[X] = M X (0) = 13.2 V [X] = M X (0) −{M X (0)} 2 = 190.8 −(13.2) 2 = 16.56 PROBLEMA 2 2 Considere la v.a. X con función de distribución acumulada F(x) dada por: X -2 -1 0 1 2 F(x) 0.1 0.3 0.5 0.7 1 a) Determine la función de distribución de la variable alatoria X. b) Defina Y = X 2 + 1 i) Determine la función de distribución acumulada de la variable aleatoria asociada a Y . ii) Calcule E[X] y V [X]. SOLUCI ´ ON a) X -2 -1 0 1 2 P(X = x) 0.1 0.2 0.2 0.2 0.3 b) i) P(Y = 1) = P(X = 0) = 0.2; P(Y = 2) = P(X = −1) +P(X = 1) = 0.2 + 0.2 = 0.4; P(Y = 5) = P(X = 2) +P(X = −2) = 0.3 + 0.1 = 0.4 De aqu´ı se obtiene la función de probabilidad para Y 2 I2 Segundo semestre 2001 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 3.1 Ejercicios Resueltos 47 Y 1 2 5 P(Y = y) 0.2 0.4 0.4 La función de distribución es: Y 1 2 5 F(y) 0.2 0.6 1 ii) E[Y ] = ¸ y yp(y) = 1 ×0.2 + 2 ×0.4 + 5 ×0.4 = 3 E[Y 2 ] = ¸ y y 2 p(y) = 1 2 ×0.2 + 2 2 ×0.4 + 5 2 ×0.4 = 11.8 V [Y ] = E[Y 2 ] −(E[Y ]) 2 = 11.8 −3 2 = 2.8 PROBLEMA 3 3 Para promocionar sus helados de paleta, una fábrica pone cada 15 helados una etiqueta que dice “vale otro”. Cualquiera persona que compre un helado y le salga “vale otro o btiene uno gratis. Estos helados cuestan 100 pesos cada uno. Si Ud. decide comprar estos helados hasta obtener uno gratis. ¿Cuánto esperar´ıa gastar? SOLUCI ´ ON Sea X : n´ umero de helados hasta obtener uno gratis, X ∼ G(p = 1 15 ) E[X] = 1 p = 15 helados pero como cada helado cuesta $100, se esperar´ıa gastar $1500. PROBLEMA 4 4 Un basquetbolista efect´ ua repetidos lanzamientos desde una l´ınea de tiros libres. Suponga que sus lanzamientos son ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de acertar de 0.7. a) ¿Cuál es la probabilidad que le tome menos de cinco lanzamientos para efectuar un segundo acierto? b) ¿Cuál es la probabilidad que le tome menos de cinco lanzamientos para efectuar su primer acierto? 3 I2 segundo semestre de 2003 4 I2 segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 48 Cap´ıtulo 3. Variable Aleatoria Discreta c) ¿Cuál es el n´ umero esperado de lanzamientos para lograr su cuarto acierto? SOLUCI ´ ON a) Y :“n´ umero de lanzamientos hasta el segundo acierto”, Y ∼ Bineg(r = 2, p = 0.7) 4 ¸ y=2 y −1 1 0.7 2 0.3 y−2 = 0.9163 b) X :“n´ umero de lanzamientos hasta el primer acierto”, X ∼ G(p = 0.7) P(X < 5) = 1 −P(X ≥ 5) = 1 −P(X = 5) = 1 −0.3 4 = 0.9919 c) Z :“n´ umero de lanzamientos hasta el cuarto acierto”, Z ∼ Bineg(r = 4, p = 0.7) E[Z] = 4 0.7 = 5.7143 PROBLEMA 5 5 En cierta área rural, una extra˜ na enfermedad está afectando a uno de cada 100 ni˜ nos. Además se observa que en promedio, aparece un caso cada 30 d´ıas. a) Se tiene la información que en el sector existen un total de 300 ni˜ nos, determine la probabilidad que la extra˜ na enfermedad afecte tan sólo a 2 de ellos. Hacerlo de dos formas diferentes. b) Determine la probabilidad que en un per´ıodo de 15 d´ıas se observe 2 casos como m´ınimo. SOLUCI ´ ON a) Primera Forma X :“n´ umero de casos afectados en 30 d´ıas”, X ∼ P(λ = np = 300 ×0.01 = 3) P(X = 2) = 3 2 e −3 2! = 0.22404 Segunda Forma X ∼ Bin(n = 300, p = 0.01) P(X = 2) = 300 2 0.01 2 0.99 298 = 44850 ×0.0001 ×0.0500 = 0.2244 5 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 3.1 Ejercicios Resueltos 49 b) λ = 1/2 λ = 1 casos 30dias = 1 2 casos 15dias ∴ P(X ≥ 2) = 1 −P(X < 2) = 1 −e −1/2 1 2 0 0! + 1 2 1 0! = 0.0902 PROBLEMA 6 6 En las moscas de la fruta, cuatro de cada 10 5 espermatozoide presentan una mutuaci´ on del color rojo de los ojos a blanco, o viceversa. a) ¿Cuántas mutuaciones esperar´ıa usted que se produjesen en 200000 espermatozoide? Justifique b) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan entre 6 y 10, ambas inclusive para el caso de 200000 espermatozoide? (Nota: Si X ∼ Bin(n, p) con n > 30 y p ≈ 0, entonces X ∼ P(λ) con λ = n ×p) SOLUCI ´ ON P(presenta mutuación) = 4 10 5 = 0.00004 a) n = 200000 y p = 0.00004 X : n´ umero de mutuaciones, X ∼ Bin(n, p). Luego E(X) = n ×p = 8 b) P(6 ≤ X ≤ 10) = P(X = 6) +P(X = 7) +P(X = 8) +P(X = 9) +P(X = 10) Nota: X ∼ Bin(n = 200000, p = 0.00004) ⇒ X ∼ P(λ = 8) ⇒ P(X = k) = 8 k e −8 k! ; k = 0, 1, 2, . . . Luego P(6 ≤ X ≤ 10) = e −8 8 6 6! + 8 7 7! + 8 8 8! + 8 9 9! + 8 10 10! ¸ = 0.6246 PROBLEMA 7 7 Se˜ nale si es verdadero(V) o falso(F), justifique cuando sea falso dando a conocer el verdadero significado o valor n´ umerico seg´ un corresponda: 6 I2, segundo semestre de 2000 7 I2 segundo semestre de 2001 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 50 Cap´ıtulo 3. Variable Aleatoria Discreta a) Si X ∼ Geo(p), entonces X es el n´ umero de la repetición en la cual se obtiene éxiste por 3 vez. b) Si X ∼ Bin(n, p), entonces X es el n´ umero de veces que ocurre éxito en una cantidad n(n : indefinida). c) La v.a. X : n´ umero de ocurrencias en el intervalo o región tiene una distribución de Poisson con tasa λ. d) Será cierto que: E[g(x)] = ¸ x g(x)P(X = x) e) En el modelo Hipergeométrico el tipo de muestreo es con restitución(esto es, se toman elementos uno a uno y cada vez que se saca uno de ellos se devuelve). f) Si X ∼ Poisson(4), entonces P(X ≥ 6) = 0.1042. SOLUCI ´ ON a) Falso; X: n ◦ de la repetición en la cual se obtiene éxito por primera vez. b) Falso; n es conocido. c) Verdadero. d) Verdadero. e) Falso; es sin reposición. f) Falso; P(X ≥ 6) = P(X = 6) +P(X = 7) +. . . donde P(X = 6) = 4 6 e ( −4) 6! = 0.104195, y P(X = 7) = 4 7 e ( −4) 7! = 0.05954 lo que implica P(X = 6) +P(X = 7) = 0.1637 > 0.1042 PROBLEMA 8 8 Diez individuos, cada uno de ellos propenso a la tuberculosis, entran en contacto con un portador de la enfermedad. La probabilidad de que la persona se contagie del portador a un sujeto cualquiera es 0.10. a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos personas contraigan la enfermedad? b) ¿Cuántos se espera que contraigan la enfermedad? 8 I2 segundo semestre de 2001 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 3.1 Ejercicios Resueltos 51 SOLUCI ´ ON a) X:“n ◦ de personas que contraen la enfermedad. (X ∼ (10; 0.1)) P(X ≥ 2) =1 −P(X < 2) =1 −[P(X = 0) +P(X = 1)] =1 − ¸ 10 0 0.1 0 0.9 10 + 10 1 0.1 1 0.9 9 =0.2639 b) E[X] = n ×p = 10 ×0.2639 ≈ 3 PROBLEMA 9 9 Un comité de 3 integrantes se forma aleatoriamente seleccionado de entre 4 doctores y dos enfermeras. (se eligen uno a uno las personas y estas no se vuelve a considerar en el siguiente paso) a) Escriba la función de probabilidad para la variable aleatoria X que representa el n´ umero de doctores en el comité. b) Encuentre P(X ≤ 4σ). SOLUCI ´ ON a) X : n ◦ de doctores en el comité (X ∈ {1, 2, 3}) P(X = 1) = 4 1 2 2 6 3 = 0.2 P(X = 2) = 4 2 2 1 6 3 = 0.6 Luego X 1 2 3 P(X = x) 0.2 0.6 0.2 b) E[X] = ¸ x xp(x) = 1 ×0.2 + 2 ×0.6 + 3 ×0.2 = 2 E[X 2 ] = ¸ x x 2 p(x) = 1 2 ×0.2 + 2 2 ×0.6 + 3 2 ×0.2 = 4.4 9 I2 segundo semestre de 2001 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 52 Cap´ıtulo 3. Variable Aleatoria Discreta V [X] = E[X 2 ] −(E[X]) 2 = 4.4 −2 2 = 0.4 ⇒ σ = 0.6324555 Luego P(X ≤ 4σ) = P(X ≤ 2.5298) = P(X = 1) +P(X = 2) = 0.2 + 0.6 = 0.8 PROBLEMA 10 10 El n´ umero de infracciones expedidas por un lector de parqu´ımetro puede modelarse mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro se expidan durante una hora en particular? c) ¿Cuántas infracciones se espera expedir durante un per´ıodo de 45 minutos? SOLUCI ´ ON X : n´ umero de infracciones expedidas por un lector de parqu´ımetro X ∼ Poisson(λ = 5) a) P(X = 4) = e −5 ×5 4 4! b) P(X ≥ 4) =1 −P(X < 4) =1 −P(X ≥ 3) =1 −[P(X = 0) +P(X = 1) +P(X = 2) +P(X = 3)] =1 −0.265 =0.735 c) λ = 5 × 45 60 = 3.75 10 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 3.2 Problemas Propuestos 53 3.2 Problemas Propuestos 1. 11 Una gran empresa qu´ımica compra varios componentes de laboratorio cada a˜ no, cuya cantidad depende de la frecuencia de reparaciones en el a˜ no anterior. Suponga que el n´ umero de componentes de laboratorio, X, que se compran cada a˜ no tiene la siguiente distribución de probabilidad. x 0 1 2 3 p(x) 1 10 3 10 2 5 1 5 a) Calcular E[X], E[X 2 ] y V ar[X]. b) Si el costo del modelo que se desea adquirir permanece sin cambio en $1200 durante un a˜ no y se ofrece un descuento de 50X 2 en cualquier compra, ¿Cuánto dinero espera esta firma invertir en componentes de laboratorio para fin de a˜ no? 2. 12 Cierta empresa env´ıa 40% de sus paquetes de correo nocturnos por servicio de correo expreso E 1 . De estos paquetes, 2% llega después de la hora garantizada de entrega (se˜ nalar con L el evento de entregado tarde). a) Si se selecciona al azar un registro de env´ıos nocturnos de los archivos de la compa˜ n´ıa, ¿Cuál es la probabilidad de que el paquete sea enviado v´ıa E 1 y llegue tarde? Suponga ahora que el 50% de los paquetes nocturnos son enviados por servicio de correo expreso E 2 y el restante 10% son enviados por E 3 . De los enviados por E 2 sólo el 1% llega tarde, mientras que 5% de los paquetes manejados por E 3 llega tarde. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado al azar llegue tarde? c) Si un paquete seleccionado al azar llega a tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido enviado por E 1 ? 3. 13 En cierto servicio telefónico, la probabilidad de que una llamada sea contestada en menos de 30 segundos es 0.75. Suponga que las llamadas son independientes. a) Si una persona llama 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente nueve de las llamadas sean contestadas en un espacio de 30 segundos? b) Si una persona llama 20 veces, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 16 de las llamadas sean contestadas en menos de 30 segundos? c) Si una persona llama 20 veces, ¿cuál es el n´ umero promedio de llamadas que serán contestadas en menos de 30 segundos? 11 I1 segundo semestre de 2002 12 I1 segundo semestre de 2002 13 I1 segundo semestre de 2002 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 54 Cap´ıtulo 3. Variable Aleatoria Discreta d) ¿Cuál es la probabilidad de tener que llamar cuatro veces para obtener la primera respuesta en menos de 30 segundos? e) ¿Cuál es el n´ umero promedio de llamadas necesario para obtener dos respuestas en menos de 30 segundos? 4. Un Asociación de qu´ımicos comienza una campa˜ na telefónica con el propósito de aumentar el n´ umero de socios. Con base en experiencia previa, se sabe que una de cada 20 personas que reciben la llamada se une al club. Si en un d´ıa 25 personas reciben la llamada telefónica. a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas se inscriben en el Asociación? b) ¿Cuál es el n´ umero esperado de personas? Resp. a)0.3576 b)aprox 1. 5. La probabilidad de que una persona tenga una mala reacción a la inyecci´ on de determinado suero es 0.001, determine la probabilidad de que 20 individuos, a) exactamente tres tengan una reacción mala. b) Más de dos individuos tengan una reacción mala. c) ¿Cuál es el n´ umero de individuos que se espera que tengan una mala reacción? Resp: a)0.000001120 b)1.125 ×10 −6 c)0.02 6. La Colorado Power Company proporciona tarifas más bajas a los clientes que prefieran las horas de menos consumo, el 30% de sus clientes aprovecha estos ahorros. El departamento de servicios a clientes ha elegido a 12 clientes al azar para que participen en un grupo de interés para discutir a qué horas se produce el mayor consumo de energ´ıa. Al departamento de supervisión le preocupa que el grupo contenga una gran proporción de usuarios que prefieran la tarifa baja. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de tres usarios de tarifa baja en el grupo de interés? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de cuatro usuarios de tarifa baja en el grupo de interés? c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de ocho clientes normales en el grupo de interés? d) calcule la media y la desviación estándar para los usuarios de tarifa baja en el grupo de interés. Resp: a)0.253 b)0.276 c)0.275 d)3.6 y 1.59. 7. El 60% de los residentes de la región metropolitana se registraron para votar. Si se elige al azar 10 personas con edad para votar, encuentre la probabilidad de obtener: a) diez electores registrados Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 3.2 Problemas Propuestos 55 b) exactamente cinco electores registrados c) ning´ un elector registrado Resp: a)0.006 b)0.201 c)0 8. Dado que no todos los pasajeros de una aerol´ınea abordan el vuelo para el que han reservado un lugar, la aerol´ınea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros. La probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es 0.10, y el comportamiento de los pasajeros es independiente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros aborden el vuelo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el vuelo parta vac´ıo? Resp: a)0.996 b)0.989 9. La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01. Si se supone que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara, ¿cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar exactamente 125 muestras antes de detectar una molécula rara? Resp: 0.0029 10. La probabilidad de un alineamiento óptico exitoso en el ensamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos es 0.8. Suponga que los ensayos son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera exactamente cuatro ensayos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera como máximo cuatro ensayos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera al menos cuatro ensayos? Resp. a)0.0064 b)0.9984 c)0.008 11. Supóngase que el costo de efectuar en experimento qu´ımco es $1000. Si el experimento falla, se incurre en un costo adicional de $300 debido a ciertos cambios que deben efectuarse antes de que se intente un nuevo experimento. Si la probabilidad de éxito en cualquiera de los ensayos es 0.2, si los ensayos aislados son independientes y si los experimentos contin´ uan hasta que se obtiene el primer resultado exitoso, ¿cuál es el costo esperado del procedimiento completo? Resp: $6200 12. En cierta región, la probabilidad de que ocurra una tormenta con truenos en un d´ıa cualquier durante dos meses de verano es igual a 0.1. Suponiendo independencia de un d´ıa con otro, ¿cuál es la probabilidad de que la primera tormenta con truenos del verano ocurra el d´ıa 3 del segundo mes?(considere 1 mes=31 d´ıas) Resp:0.003 13. Si la probabilidad de que cierto examen dé una reacción positiva igual a 0.4, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran menos de cinco reacciones negativas antes de la primera Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 56 Cap´ıtulo 3. Variable Aleatoria Discreta positiva? Resp:0.92 14. Una aeronave de alto rendimiento contiene tres computadoras idénticas. Sólo una de ellas se utiliza para controlar la nave; las otras dos son reservas que se activan en caso de falla en el sistema primario. Durante una hora de operación, la probabilidad de falla en el computador primario(o en cualquiera de los sistemas de reserva que se encuentre activo) es 0.0005. Si se supone que cada hora representa un ensayo independiente, a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres computadoras fallen durante un vuelo de cinco horas? b) ¿Cuál es el tiempo promedio de las tres computadoras fallen? Resp:a)1.249 ×10 −9 b)6000 horas. 15. La escala electrónica de un proceso de llenado automático detiene la l´ınea de produc- ción después de haber detectado tres paquetes con un peso menor de lo especificado. Suponga que la probabilidad de llenar un paquete con un peso menor es de 0.001 y que cada operación de llenado es independiente. a) ¿Cuál es el n´ umero promedio de operaciones de llenado antes de que detenga la l´ınea de producción? b) ¿Cuál es la desviación estándar del n´ umero de operaciones de llenado antes que se detenga la l´ınea de producció? Resp:a)3000 b)1731.18 16. Un auditor elige tres cuentas al azar de un grupo de 10 para examinarlas con todo cuidado. La compa˜ n´ıa a la que se le hace la auditor´ıa sabe que cuatro de las cuentas de impuestos tiene errores. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cuentas elegidas no tengan errores? Resp: 0.167 17. Un lote de 25 tubos de ensayo se someten a inspección. El procedimiento consiste en extraer 5 al azar, sin reemplazo y someterlos a prueba. Si menos de 2 tubos fallan, el lote es aceptado.De otra manera el lote rechazado.Suponga que el lote contiene 4 defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad que el lote sea aceptado? b ¿Cuál es el n´ umero esperados de tubos defectuosos en la muestra? Resp: a)0.8335 b)1 18. Un lote de piezas contiene 100 de un proveedor local de tuber´ıa, y 200 de un proveedor del mismo material, pero de otro estado. Si se eligen cuatro piezas al azar y sin reemplazo, a) ¿Cuál es la probabilidad que todas provengan del proveedor local? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 o mas piezas de la muestra sean del proveedor local? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 3.2 Problemas Propuestos 57 c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza sea del proveedor local? Resp: a)0.0119 b)0.408 c)0.196 19. Suponga que el n´ umero de fallas en un alambre delgado esta descrito por una distri- bución de Poisson con una media de 2.3 fallas por mil´ımetros. a) Determine la probabilidad de tener exactamente dos fallas en un mil´ımetro de alambre. b) Determine la probabilidad de tener 10 fallas en dos mil´ımetros de alambre. c) Determine la probabilidad de tener al menos una falla en dos metros de alambre. Resp:a)0.2652 b)0.01175 c)0.989948 20. Después de una prueba de laboratorio muy rigurosa con cierto componente qu´ımico, el fabricante determina que en promedio, sólo fallarán dos componentes antes de tener 1000 horas de prueba. Un comprador observa que son cinco las que fallan antes de las 1000 horas. Si el n´ umero de componentes que fallan es una v.a. de Poisson, ¿exista suficiente evidencia para dudar de la conclusión del fabricante? Resp:0.0361 21. Suponga que en un cruce transitado ocurren de manera aleatoria e independiente dos accidentes por semana. a) Determinar la probabilidad de que ocurra un accidente en la próxima semana. b) ¿Cuál es la probabilidad que en per´ıodo de dos semanas ocurran al menos dos accidentes? Resp: a)0.2707 b)0.908 22. Una industria acerera fabrica una muestra reducida de alambre delgado de cobre para ser ofertado a los clientes preferenciales. El inspector de calidad en unos de los controles habituales determinó que el n´ umero de fallas está descrito por una distribucción de Poisson con una media de 2.3 fallas por mil´ımetro. Determine la probabilidad de: a) Tener exactamente dos fallas en un mil´ımetro de alambre. b) Tener 10 fallas en cinco mil´ımetros de alambre. c) Tener al menos una falla en dos mil´ımetro de alambre. Resp:a)0.265 b)0.113 c)0.9899 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 58 Cap´ıtulo 3. Variable Aleatoria Discreta Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. Cap´ıtulo 4 Variable Aleatoria Continua 4.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 1 1 Un estudio realizado por investigadores, con pacientes con altos niveles de colesterol, de- mostró que una dieta de 12 d´ıas basada en alimentos sin colesterol junto con un poco de ejercicio moderado, desencadena una baja en tales niveles en la sangre. Demostró además que la pérdida representa un comportamiento de tipo normal con una media del 15% y una desviación estándar del 2,5%. a) Para los investigadores, la disminuci´ on de los niveles de colesterol por sobre el 12.5% se considera como un objetivo logrado en su totalidad. Si la disminuci´ on se ubica entre el 10.1% y 12.5%, el objetivo se ha logrado medianamente, en cambio si la disminuci´ on es por debajo del 10.1%, el objetivo no se ha logrado. Suponga que se someterán a este tipo de dieta 5400 pacientes, determine la cantidad de personas que caerán en cada categor´ıa. b) Para un grupo de 5 pacientes que realiza la dieta, determine la probabilidad que 3 de ellos logren el objetivo en su totalidad SOLUCI ´ ON a) La figura 4.1 muestra la disminuci´ on de los niveles de colesterol n = 5400 pacientes, X :“perdida en los niveles de colesterol”, X ∼ N(15%, (2.5%) 2 ) Definamos L:logrado, NL: no logrado, ML: medianamente logrado 1 I2 recuperativa segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 60 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua NL ML 10.1% 12.5% L µ = 15% Figura 4.1: – P(L) =P(X > 12.5) =1 −P(X ≤ 12.5) =1 −P(Z ≤ 12.5 −15 2.5 ) =1 −Φ(−1) =0.8413 – P(NL) =P(X < 10.1) =1 −P(Z ≤ 10.1 −15 2.5 ) =Φ(−1.96) =0.025 – P(ML) =P(10.1 < X < 12.5) =Φ(−1) −Φ(−1.96) =0.1337 Luego la cantidad de personas que caerán en cada categor´ıa es N 1 : n´ umero de personas en al categor´ıa L=5400 × 0.8413=4543 N 2 : n´ umero de personas en al categor´ıa NL=5400 ×0.025=135 N 3 : n´ umero de personas en al categor´ıa ML=5400×0.1337=722 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.1 Ejercicios Resueltos 61 b) n = 5; Y : n´ umero de personas que logran el objetivo en su totalidad, Y ∼ Bin(n = 5, p = 0.8413) ∴ P(Y = 3) = 5 3 0.8413 3 0.1587 2 = 10 ×0.5955 ×0.0252 = 0.15 PROBLEMA 2 2 El tiempo que un alumno de la carrera de Qu´ımica y Farmacia, dedica diariamente a estudiar el curso de Métodos Estad´ısticos, es una variable aleatoria normal con media de 5 horas y desviación estándar de 2 horas. a) Si el 25% de los alumnos estudian más de x horas diarias. Encuentre el valor de x. Supongamos que cada padre le paga a un hijo por estudiar estas horas diarias y además definamos este pago mediante la función P(X) = 1000X + 500. b) Verificar que P(X) es una distribución normal, y encuentre µ Y y σ 2 Y . c) ¿Calcular la probabilidad de que un estudiante gane entre $3500 y $6200 ? SOLUCI ´ ON a) X : “tiempo que un alumno dedica en estudiar”, donde X ∼ N(5, 4) P(X ≥ x) = 0.25 1 −P(X ≤ x) = 0.25 P(Z ≤ x−5 2 ) = 0.75 luego x = 6.3489796 b) Primera forma Como X ∼ N(5, 4), entonces por teorema visto en clase P(X) = 1000X + 500 ∼ N(1000 ×5 + 500 = 5500, 1000 2 ×4 = 4000000) , aqu´ı sus parámetros son µ P = 5500, σ 2 P = 4000000 Segunda forma P = 1000X + 500 lo que es equivalente P−500 1000 = x 2 I2 segundo semestre 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 62 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua f P (p) = f X p−500 1000 1 1000 = 1 √ (2×π×4×1000 2 ) e − 1 2 (p−5500) 2 4×1000 2 Luego la función de densidad se distribuye X ∼ N(µ P = 5500,σ 2 = 4000000). c) P(3500 ≤ p ≤ 6200) = P(− 3500−5500 2000 ≤ z ≤ 6200−5500 2000 ) = P(−1 ≤ z ≤ 0.35) = Φ(0.35) −Φ(−1) = 0.6368 −0.1587 = 0.4781 La probabilidad de que un estudiante gane entre $3500 y $6200 es de 0.4781. PROBLEMA 3 3 El peso de un moderno zapato deportivo para correr tiene una distribución normal con media 12 onzas y desviación estándar de 0.5 onzas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el zapato pese más de 13 onzas? b) ¿Cuál debe ser la desviación estándar del peso para que la compa˜ n´ıa que los produce pueda garantizar que el 99,9% de los zapatos tiene un peso menor que 13 onzas? SOLUCI ´ ON Sea X :“peso del zapato”, X ∼ N(12, (0.5) 2 ) a) P(X > 13) = P(Z > 13−12 0.5 ) = P(Z > 2) = P(Z < −2) = 0.0228 b) P(X < 13) = 0.999 ⇒P(Z < 13−12 σ ) = 0.999 Luego 1 σ = 3.1, entonces σ = 0.322 PROBLEMA 4 4 Se tiene la siguiente función f(x) = cx 0 ≤ x ≤ 1 c(2 −x)/2 1 < x ≤ 2 0 e.o.c. 3 Examen segundo semestre de 2001 4 I2 segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.1 Ejercicios Resueltos 63 Encuentre el valor de c de modo que la función f sea de densidad, obtenga la función de distribución acumulada y calcular P(X ≤ 1.5), P(X = 1) y P(0.5 ≤ X ≤ 1.5) SOLUCI ´ ON Se debe cumplir que f(x)dx = 1 y f(x) ≥ 0 1 0 cxdx + 2 1 c(2−x) 2 dx = 1 c( 1 2 + 1 4 ) = 1 c = 4 3 Luego f(x) = 4x/3 0 ≤ x ≤ 1 2(2 −x)/2 1 < x ≤ 2 0 e.o.c. Obtengamos la función de distribución acumulada • Si 0 ≤ t, entonces F X (t) = 0 • Si 0 ≤ t < 1, entonces F X (t) = t 0 4 3 xdx = 2 3 t 2 • Si 1 ≤ t < 2, entonces F X (t) = 1 0 4 3 xdx + t 1 2 3 (2 −x)dx = 1 − (2−t) 2 3 • Si t ≥ 2, entonces F X (t) = 1 0 4 3 xdx + 2 1 2 3 (2 −x)dx + t 2 0dx = 1 Luego se tiene la función de distribución acumulada F X (t) = 0 t ≤ 0 2t 2 /3 0 ≤ t < 1 1 −(2 −t) 2 /3 1 ≤ t < 2 1 t ≥ 2 De aqu´ı podemos obtener las probabilidades que se piden Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 64 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua • P(X ≤ 1.5) = F X (1.5) = 11 12 = 0.9166667 • P(X = 1) = 0, ya que F es continua en X = 1 • P(0.5 ≤ X ≤ 1.5) = P(0.5 ≤ X ≤ 1.5) = P(X ≤ 1.5) −P(X ≤ 0.5) = F X (1.5) −F X (0.5) = 0.75 PROBLEMA 5 5 Una amplia experiencia en ventiladores de cierto tipo, empleados en motores diesel, ha sugerido que la distribución exponencial es una buen modelo para el tiempo hasta que se presente una falla. Suponga que el tiempo medio hasta una falla es de 25 000 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20 000 horas? ¿a lo sumo 30 000 horas? y ¿entre 20 000 y 30 000 horas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un ventilador exceda el valor medio en más de 2 desviaciones estándar? y ¿en más de 3 desviaciones estándar? SOLUCI ´ ON T :“tiempo hasta que se presenta una falla” T ∼ Exp(λ) µ = E[T] = 1 λ = 25000 ⇒λ = 1 25000 F T (x) = 1 −e −λx V [T] = 1 λ 2 = (25000) 2 ⇒ σ = 25000 a) – P(T > 20000) = 1 −P(T ≤ 20000) = 1 −F T (20000) = 1 − 1 −e − 20000 25000 = e − 20 25 = 0.449 5 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.1 Ejercicios Resueltos 65 – P(T ≤ 30000) =F T (30000) =1 −e −30000 25000 =0.699 Luego P(20000 < T < 30000) =P(T ≤ 30000) −P(T ≤ 20000) =0.699 −[1 −0.449] =0.148 b) – P(T > µ + 2σ) =P(T > 25000 + 2(25000)) =P(T > 75000) =1 −P(T ≤ 75000) =1 −F T (75000) =0.05 – P(T > µ + 3σ) =P(T > 25000 + 3(25000)) =P(T > 100000) =1 −P(T ≤ 100000) =1 −F T (100000) =0.018 PROBLEMA 6 6 En una industria qu´ımica, la venta mensual de cierto producto, en miles de libras, está representado por una v.a. X con función de densidad f(x) = x/4, 0 ≤ x < 2 (4 −x)/4, 2 ≤ x < 4 0, e.o.c. a) Comprobar que la función es de densidad. b) Determinar la función de distribución acumulada de X y calcular P(X = 2), P(1.5 ≤ X ≤ 3.5). 6 examen segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 66 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua c) Si se sabe que la venta en un mes dado no alcanza a 3000 libras, ¿cuál es la probabilidad que se haya tenido una venta de a lo menos 1500 libras? d) Sea Y = 2X −3. Determine P(Y > 2). SOLUCI ´ ON a) Se debe cumplir que f(x)dx = 1 y f(x) ≥ 0, ∀x 2 0 x 4 dx + 4 2 (4 −x) 4 dx = x 2 8 2 0 + x − x 2 8 4 2 = 1 2 + 2 − 3 2 =1 b) Obtengamos la función de distribución acumulada – Si 0 ≤ t, entonces F X (t) = 0 – Si 0 ≤ t < 2, entonces F X (t) = t 0 x 4 dx = x 2 8 t 0 = t 2 8 – Si 2 ≤ t < 4, entonces Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.1 Ejercicios Resueltos 67 F X (t) = 2 0 x 4 dx + t 2 4 −x 4 dx = x 2 8 2 0 + x − x 2 8 t 2 = 1 2 +t − t 2 8 −2 + 1 2 = t − t 2 8 −1 – Si t ≥ 4, entonces F X (t) = 2 0 x 4 dx + 4 2 4 −x 4 dx =1 Luego se tiene la función de distribución acumulada F X (t) = 0 t ≤ 0 t 2 /8 0 ≤ t < 2 t −t 2 /8 −1 2 ≤ t < 4 1 t ≥ 4 De aqu´ı podemos obtener las probabilidades que se piden – P(1, 5 ≤ X ≤ 3.5) = F X (3.5) −F X (1.5) = 0.97 −0.28 = 0.69 – P(X = 2) = 0, ya que F es continua en X = 2 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 68 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua c) P(X > 1.5|X < 3) = P(1.5 < X < 3) P(X < 3) = F X (3) −F X (1.5) F X (3) = 0.875 −0.28 0.875 = 0.68 La probabilidad que haya tenido una venta de a lo menos 1500 libras, dado que la venta en un mes no alcanza a 3000 libras es de 0.68 d) P(Y > 2) = P(2X −3 > 2) = P(X > 5/2) = 1 −F X (5/2) = 0.28125 PROBLEMA 7 7 Una envasadora de harina de trigo, es ajustada de tal manera que la probabilidad de que llene una bolsa con menos de 6.0204 kg. sea 0.102 y que la llene con más de 6.1984 kg. sea 0.008. Un comerciante que desea comprar este producto elige 10 bolsas de la producción de un d´ıa y decide comprar una gran partida, si a lo más una de estas bolsas pesan menos de 6.08 kg. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el comerciante compre la partida si es llenado de la envasadora se distribuye aproximadamente normal? b) Si elige bolsas uno a uno de la producción diaria ¿cuál es la probabilidad de que encuentre la primera bolsa que pese menos de 6 kg. en la segunda elección? SOLUCI ´ ON 7 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.1 Ejercicios Resueltos 69 X :Contenido de harina de trigo en cada bolas (kg); X ∼ N(µ, σ 2 ) De los datos podemos obtener P(X ≤ 6.0204) = 0.102 P(X ≤ 6.1984) = 0.992 ⇒ 6.0204−µ σ = −1.27 6.1984−µ σ = 2.41 Luego µ = 6.08 (kg), σ = 0.048 (kg); P(X < 6.08) = 0.5 a) Y : “n ◦ de bolsas que pesan a lo más 6.08 kg”Y ∼ Bin(10, 0.5) P(Y ≤ 1) = 10 0 0.5 1 0 + 10 1 0.5 1 0 =0.0107 b) W :“n ◦ de bolsas revisadas hasta encontrar la primera que pese menos de 6(kg)”. W ∼ Geom(p); p = P(X < 6) = 0.0475 P(W = 2) =0.0475 ×(1 −0.0475) =0.04524 PROBLEMA 8 El tiempo de reparación en (en horas) T de un art´ıculo sigue aproximadamente una distri- bución de probabilidad con densidad f(t) = te −t , t > 0 a) El factor de depreciación Z se define por Z = e −αT . Calcular su media y varianza. b) El costo de reparación de un art´ıculo es S + cT, donde la constante c es un costo por unidad de tiempo y la variable aleatoria S toma los valores s 1 y s 2 con probabilidad p y 1 −p respectivamente. Calcule el costo esperado. SOLUCI ´ ON Sea T: tiempo de reparación de un art´ıculo (en horas). Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 70 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua a) Sea Z = e −αT “factor de depreciación” E[Z] = ∞ 0 e −αt te −t dt = ∞ 0 te −(α+1)t dt sea s = (α + 1)t E[Z] = ∞ 0 s (α + 1) 2 e −s ds = 1 (α + 1) 2 ∞ 0 se −s ds = 1 (α + 1) 2 ∴ E[Z] = 1 (α+1) 2 V [Z] = E[Z 2 ] −(E[Z]) 2 E[Z 2 ] = ∞ 0 e −2αt te −t dt = ∞ 0 te −(2α+1)t dt = ∞ 0 s (2α + 1) 2 e −s ds = 1 (2α + 1) 2 Luego V [Z] = 1 (2α+1) 2 − 1 (α+1) 4 b) Costo de reparación de un art´ıculo=S +cT S = s 1 , P(S = s 1 ) = p s 2 , P(S = s 2 ) = 1 −p. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.1 Ejercicios Resueltos 71 Costo esperado=E(S +cT) = E(S) +cE[T] E[s] = s 1 P(S = s 1 ) +s 2 P(S = s 2 ) = s 1 p +s 2 (1 −p) E[T] = ∞ 0 t 2 e −t dt = −t 2 e −t ∞ 0 + 2 ∞ 0 te −t dt = 2 −te −t ∞ 0 + ∞ 0 e −t dt = −2e −t ∞ 0 = 2 Luego E[S +cT] = s 1 p +s 2 (1 −p) + 2c. PROBLEMA 9 Considere los tiempos de reparación T 1 , . . . , T n de n art´ıculos como los descritos en el Pro- blema 1. Estos tiempos se suponen independientes entre s´ı. a) Verifique que el valor esperado del tiempo promedio de reparación de 32 items es 2 y que su desviación estándar es 0.25. Aproxime la distribución del tiempo promedio de reparación por una distribución normal de media 2 y desviación estándar 0.25 y en base a esto: b) Calcule P(U 32 < 1.8). c) Encuentre una cota superior c tal que P(U 32 > c) = 0.90. d) Encuentre la probabilidad de que dos o más de estos 32 art´ıculos tengan un tiempo de reparación inferior a una hora. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 72 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua e) Sea Φ la función de distribución acumulada de la distribución N(0.1). En términos de Φ encuentre una expresión aproximada para la probabilidad de que la mitad o menos de los 32 art´ıculos tengan un tiempo de reparación inferior a 1.8 horas. (no se requiere valuar numéricamente esta expresión) SOLUCI ´ ON Sea T 1 , . . . , T n tiempos de recuperación de n art´ıculos; los T i son independientes entre s´ı; i = 1, . . . , n a) E[T] = E ¸ n ¸ i=1 T i /n ¸ = 1 n n ¸ i=1 E[T i ] = E[T] = E[T j ], ∀j E[T 1 ] = ∞ 0 t 2 e −t dt = 2! = 2 E[T 2 ] = ∞ 0 t 2 te −t dt = 3! = 6 As´ı V [T 1 ] = 6 −4 = 2 V [T] = V ¸ n ¸ i=1 T i /n ¸ = 1 n 2 n ¸ i=1 V [T i ], por independencia de losT i = 2 n Para n = 32 V [T] = 2 32 = 1 16 ⇒ σ T = 1 √ 16 = 0.25 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.1 Ejercicios Resueltos 73 b) Sea U 32 : “tiempo promedio de reparación de 32 items”U 32 ∼ N(2; (0.25) 2 ) P(U 32 < 1.8) = P U 32 −µ σ < 1.8 −2 0.25 = Φ(−0.8) = 0.2119 c) P(U 32 > c) = 0.90 P U 32 −µ σ > c −2 0.25 = 0.90 Φ c −2 0.25 = 0.1 c = 2 −0.25 ×1.28 d) Sea Y :“n´ umero de art´ıculos con tiempo de reparación inferior a una hora Y ∼ Bin(32, p) p = P(T 1 ≤ 1) = 0 1te −t dt = −te −t 1 0 −e −t 1 0 = −e −1 −e −1 + 1 = 1 −2e −1 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 74 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua Entonces P(Y ≥ 2) = 1 −P(Y = 0) −P(y = 1) = 1 − 32 0 1 − 2 e 0 2 e 32 − 32 1 1 − 2 e 2 e 31 = 1 − 2 e 32 −32 1 − 2 e 2 e 31 e) Sea Y :“n´ umero de art´ıculos con tiempo de reparación inferior a 1.8 hrs”Y ∼ Bin(32, p), donde p = P(T 1 < 1.8) = 1 −e −1.8 −1.8e −1.8 = 1 −2.8e −1.8 La distribución aproximada de Y es: Y ∼ N(32p, 32p(1 −p)) P(Y ≤ 16) = P Z ≤ 16 −32p 32p(1 −p) = Φ 16 −32p 32p(1 −p) PROBLEMA 10 Suponga que el n´ umero de horas X que funcionará una máquina antes de fallar es una variable aleatoria con distribución Normal de parámetros µ = 720 y σ 2 = 48 2 . Suponga que en el momento en que la máquina comienza a funcionar Ud. debe decidir cuando el inspector regresará a revisarla. Si el vuelve antes de que la máquina falle, se ocasiona un costo de a dólares por haber desperdiciado una inspección. Si vuelve después de que la máquina haya fallado, se ocasiona un costo de b dólares por el no funcionamiento de la máquina. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.1 Ejercicios Resueltos 75 a) Determine una expresión para el costo esperado, considerando que el tiempo hasta que el inspector vuelve a inspeccionar la máquina es t horas. b) Suponga que el inspector decide volver en un tiempo de t = 816 hrs. Calcule la probabilidad de que el inspector llegue tarde a la inspección, es decir, la máquina ya ha dejado de funcionar. c) Se observa este proceso durante 15 per´ıodos. Determine la probabilidad de que el inspector llegue tarde más de 12 veces. SOLUCI ´ ON X :“tiempo de funcionamiento de una máquina hasta que falla”, X ∼ N(720, 48 2 ) a) Costo = a x > t b x < t E(Costo) = aP(X > t) +bP(X < t) = a −aP(X < t) +bP(X < t) = a + (b −a)F Z t −720 48 b) P(X < 816) = P X −720 48 < 816 −720 48 = P (Z < 2) = 0.9772 c) X :n´ umero de veces que el inspector llega tarde, X ∼ Bin(15, 0.9772) P(X > 12) = 15 ¸ 13 15 x (0.9772) x (0.0228) 15−x Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 76 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua PROBLEMA 11 8 Suponga que Y 1 , . . . , Y 40 es una muestra aleatoria de mediciones con respecto a las proporciones de impurezas en unas muestras de minerales de hierro. Cada Y i Tiene una función de densidad de probabilidad dada por f Y (y) = 3y 2 0 ≤ y ≤ 1 0 e.o.c. Un comprador potencial rechazar´ a el mineral si Y es mayor que 0.7. Calcular P(Y > 0.7) para un tama˜ no de muestra igual a 40. SOLUCI ´ ON P(Y > 0.7) = 1 −P(Y ≤ 0.7) = 1 −P Y −µ σ/n ≤ 0.7−µ σ/n = 1 −P Z ≤ 0.7−µ σ/n = 1 −Φ 0.7−µ σ/n (∗) Nos falta calcular µ y σ 2 • µ = E[Y ] = 1 0 y3y 2 dy = 3y 4 4 1 0 = 3 4 • σ 2 = E[Y 2 ] −(E[Y ]) 2 = 1 0 y 2 3y 2 dy − 3 4 2 = 3y 5 5 1 0 − 9 16 = 3 5 − 9 16 = 3 80 8 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.1 Ejercicios Resueltos 77 Volviendo a (∗) tenemos P(Y > 0.7) = 1 −Φ 0.7−3/4 √ 3/80/ √ 40 = 1 −Φ(−1.63) = 0.9484 PROBLEMA 12 9 Supongamos que extraemos una muestra simple(aleatoria) de una población que se distribuye seg´ un una uniforme U(0, 2). Encontrar aproximadamente la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 0.8 y 1.1, si el tama˜ no de muestra es 48. SOLUCI ´ ON Se tiene que X i ∼ U(0, 2) , i = 1, . . . , n, de aqu´ı obtenemos E[X i ] = 2 2 = 1 V [X i ] = 1 3 , i = 1, . . . , n Luego • E[X 48 ] = 1 48 E ¸ 48 ¸ i=1 X i ¸ = 1 • V [X 48 ] = 1 48 2 V ¸ 48 ¸ i=1 X i ¸ = 48 48 2 V [X i ] = 1 48 × 1 3 = 1 144 Se nos pide P(0.8 ≤ X 48 ≤ 1.1), y utilizando el T.C.L. tenemos P(0.8 ≤ X 48 ≤ 1.1) = Φ 1.1−1 1/12 −Φ 0.8−1 1/12 = Φ(1.2) −Φ(−2.4) = 0.8767 9 Examen segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 78 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua 4.2 Ejercicios Propuestos Distribuciones Continuas 1. 10 Considere que X es la temperatura a la que tiene lugar cierta reacción qu´ımica y suponga que X tiene densidad f(x) = 1 9 (4 −x 2 ), −1 ≤ x ≤ 1 0, en otro caso. a) Construya la gráfica de f(x). b) Determine la función de distribución acumulada y trácela. c) ¿Es 0 la temperatura mediana en la cual tiene lugar la reacción? Si no es as´ı, ¿es la temperatura mediana menor o mayor que 0? d) Suponga que está reacción se realiza independientemente una vez en cada uno de los diferentes laboratorios y que la pdf del tiempo de reacción en cada laboratorio es la de arriba. Sea Y =n´ umero entre los diez laboratorios y que la pdf del tiempo de reacción en cada laboratorio es la de arriba. Sea Y =n´ umero entre los diez laboratorios en los que la temperatura rebasa 1. ¿Qué clase de distribución tiene Y ? (Dé el nombre y valores de cualesquiera parámetros). 2. 11 El art´ıculo ” Computer Assisted Net Weight Control”(Quality Progress, 1983, pp. 22-25) sugiere una distribución normal, con media de 137.2 onza y desviación estándard de 1.6 onzas, para el contenido real de frascos de cierto tipo. El contenido establecido era 135 onzas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un solo frasco contenga más que el contenido establecido? b) Entre diez frascos seleccionados al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos ocho contengan más del contenido establecido? c) Si se supone que la media permanece en 137.2, ¿a qué valor tendr´ıa que haberse cambiado la desviación estándard para que 95% de todos los frascos contengan más de lo establecido? 3. 12 La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una distribución en particular es una v.a. X con densidad f(x) = 2 1 − 1 x 2 , 1 ≤ x ≤ 2 0, en otro caso. a) Calcule la función de distribución acumulada de X. b) Obtenga una expresión para el (100p)mo percentil.¿Cu´ al es el valor de ˜ µ? 10 I2 segundo semestre de 2002 11 I2 segundo semestre de 2002 12 I2 segundo semestre de 2002 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.2 Ejercicios Propuestos 79 c) Calcule E(X) y V (X). d) Si 1500 galones están en existencia al principio de semana y no se recibe nuevo suministro durante la semana, ¿cuánto de los 1500 galones se espera que queden al fin de semana? [Sugerencia: sea h(x)=cantidad que queda cuando la demanda es = x.] 4. El espesor de la capa de sustancia fotoprotectora que se aplica a las obleas en el proceso de fabricación de semiconductores en cierta área de la oblea, tiene una distribución uniforme entre 0.2050 y 0.2150 micrómetros. Obtenga la función de distribución acumulada del espesor de la sustancia fotoprotectora. a) Calcule la proporción de obleas en las que el espesor de la sustancia es mayor que 0.2125 micrómetros. b) ¿Qué espesor exceden el 10% de las obleas? c) Calcule la media y la varianza del espesor de la sustancia fotoprotectora. Resp:a)0.25 b)0.214 c)0.21, 8.33 ×10 −6 . 5. La destiladora Los Vascos produce entre 200 y 300 galones de vino diarios. La distri- bución uniforme es la que mejor describe este proceso. a) ¿Cuánto vino se produce al d´ıa en promedio? b) ¿Cuál es la cantidad de variabilidad en el n´ umero de galones de vino producidos de un d´ıa a otro? c) ¿En qué porcentaje de los d´ıas puede esperarse que la producción caiga entre 220 y 270 galones? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la producción de ma˜ nana sea mayor que 280 galones? Resp: a)250 b)28.9 c)0.5 d)0.2. 6. El tiempo que transcurre entre llamadas a una empresa de art´ıculos computacionales tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas en un lapso de 15 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 30 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera llamada entre 5 y 10 minutos después de haber abierto la empresa? c) Calcule la dimensión de un intervalo de tiempo, de modo tal que la probabilidad de recibir al menos una llamada en ese per´ıodo sea 0.9. Resp: a)0.1353 b)0.2031 c)34.54 min. 7. El tiempo (en horas) requeridas para reparar una máquina es una distribución exponencial λ = 1/2 : a) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo de reparación exceda 2 horas? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 80 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua b) ¿Cuál es la probabilidad que una reparación tome al menos 10 horas dado que su duración exceda en 9 horas? Resp: a)0.5128 b)0.6065 8. El tiempo de vida de los reguladores de voltaje de los automóviles tiene una distribu- ción exponencial con un tiempo de vida medio de seis a˜ nos. Una persona compra un automóvil que tiene una antig¨ uedad de seis a˜ nos, con un regulador en funcionamiento, y planea tenerlo por espacio de seis a˜ nos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el regulador de voltaje falle en el lapso de seis a˜ nos? b) Si el regulador falla después de tres a˜ nos de haber efectuado la compra del au- tomóvil y se reemplaza,¿cuál es el tiempo promedio que transcurrirá hasta que el regulador vuelva a fallar? 9. Los accidentes de automóviles ocurren en Santiago, durante un fin de semana largo(72 horas), seg´ un un proceso de Poisson a una tasa de 10 por hora. Determinar la probabilidad que el segundo accidente ocurra después de una hora. Resp: 11 exp(−10). 10. En el Restaurante Los Buenos Muchachos, se ha instalado una máquina para la venta de cervezas. La máquina puede regularse de modo que la cantidad media de cerveza por vaso sea la que se desee; sin embargo, en cualquier caso esta cantidad es una variable aleatoria con una distribución normal con una desviación estándar de 5.9cc. a) Si el nivel se ajusta a 501 cc,¿que porcentaje de los vasos contendr´ a menos de 487 cc? b) ¿A que nivel medio debe ajustarse la máquina para el 83.15% de los vasos contenga más de 490 cc? Resp:a)0.89% b)496 11. Suponga que los conteos registrados por un contador Gieger siguen un proceso Poisson con un promedio de dos conteos por minuto. a) ¿Cuál es el tiempo promedio entre conteos? b) ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo entre conteos? c) Calcule x, de modo tal que la probabilidad de que ocurra por lo menos un conteo antes de x minutos, sea 0.95 Resp:a)0.5 b)0.5 c)1.5 12. Si el volumen de una máquina automática en latas de una bebida gaseosa tiene una distribución normal con media de 12.4 onzas de l´ıquido y desviación estándar de 0.1 onzas de l´ıquido. Se pide: a) Defina la variable en estudio, y escriba su f.d.p. b) Interprete la E[X]. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.2 Ejercicios Propuestos 81 c) Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12.2 o más de 12.8 onzas de l´ıquido. ¿Cuál es el porcentaje de latas desechadas? d) Si la media de la operación de llenado puede ajustarse con facilidad, pero la desviación estándar sigue teniendo el mismo valor, 0.1 onzas de l´ıquido,¿Qué valor debe darse a la media para que el 95.85% de todas las latas contengan más de 12.2 onzas de l´ıquido? 13. La resistencia a la comprensión de una serie de muestras de cemento puede modelarse con una distribución normal con media 6000 kilogramos por cent´ımetro cuadrado, y una desviación estándar de 100 kilogramo por cent´ımetro cuadrado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250 kg/cm 2 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800 y 5900 kg/cm 2 c) ¿Cuál es el valor de resistencia que excede el 95% de las muestras? Resp:a)0.99379 b)0.13595 c)5835.5 kg/cm 2 14. Suponga que el diámetro de un cable eléctrico está normalmente distribuido con un promedio de 0.8 pulgadas y una varianza de 0.004 pulgadas. a) Si se elige un cable al azar, ¿cuál es la probabilidad que su diámetro sea menor que 0.85 pulgadas? b) Qué diámetro deber´ıan tener los cables de modo que el 87.7% de ellos no excedan de este valor? Resp: b)0.8232 pulgadas. 15. El tiempo X (minutos) para que un asistente de laboratorio prepare el equipo para un experimento tiene una distribución uniforme con A=25 y B=35. a) Escriba la fdp de X y trace su gráfica. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación exceda de 33 min? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación se encuentre a una distancia de 2 min del tiempo medio [Sugerencia: identifique µ de la gráfica de f(x).] d) Para cualquier a tal que 25 < a < a + 2 < 35, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación esté entre a y a + 2 min? 16. Sea X la distancia en metros que un animal se mueve desde su lugar de nacimiento hasta el primer territorio vacante que encuentra. Suponga que para las ratas canguro, X tiene una distribución exponencial con parámetro λ = 0.01386 (como lo sugiere el art´ıculo “Competition and Dispersal from Multiple Nests”, Ecology, 1997, pp.873-883) a) ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia sea a lo sumo 100 m? ¿Cuando mucho 200 m? ¿Entre 100 y 200 m? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 82 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua b) ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia sea mayor que la distancia promedio en más de 2 desviaciones estándard? c) ¿Cuál es el valor de la mediana de la distancia? 17. La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punto acerado (herramienta) la superficie del metal y después medir la profundidad de penetración del punto. Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleación está normalmente distribuida con media de 70 y desviación estándard de 3 (la dureza Rockwell se mide en escala continua). a) Si un espécimen es aceptable sólo si su dureza está entre 67 y 75, ¿cuál es la probabilidad de que un espécimen seleccionado al azar tenga una dureza aceptable ? b) Si la escala aceptable de dureza es (70-c,70+c), ¿para qué valor de c tendr´ıa una dureza aceptable 95 % de todos los espec´ımenes? c) Si la escala aceptable es como el inciso a) y la dureza de cada diez espec´ımenes es independiente, ¿cuál es el n´ umero esperado de espec´ımenes aceptables entre los diez? d) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo ocho de diez espec´ımenes seleccionados independientemente tengan una dureza menor de 73.84? (Sugerencia: Y =n´ umero entre los diez espec´ımenes con dureza menor de 73.84 es una variable binomial; ¿cuál es p?) 18. Para trasladarme al trabajo, primero debo abordar un autob´ us cerca de casa y después transbordar otro. Si el tiempo de espera (en minutos) en cada parada tiene una dis- tribución uniforme con A=0 y B=5, entonces se puede demostrar que mi tiempo total de espera Y tiene la fdp f(y) = 1 25 y 0 ≤ y < 5 2 5 − 1 25 y 5 ≤ y ≤ 10 0 y < 0 o y > 10. a) Trace la gráfica de la pdf de Y . b) Verifique que ∞ −∞ f(y)∂y = 1. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea a lo sumo de 3 min? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea a lo sumo de 8 min? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de espera esté entre 3 y 8 min? f) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea menos de 2 min o más de 6? 19. Sea X la cantidad de espacio ocupado por un art´ıculo colocado en una caja de empaque de 1 pie 3 . La fdp de X es f(x) = 90x 8 (1 −x) 0 < x < 1 0 en otro caso. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.2 Ejercicios Propuestos 83 a) Grafique la fdp. A continuaci´ on determine la función de distribución acumulada de X y graf´ıquela. b) ¿Cuánto es P(X ≤ 0.5), [es decir, F(0.5)]? c) De acuerdo con el inciso a), ¿cuánto es P(0.25 < X ≤ 0.5)? d) ¿Cuál es el 75to percentil de la distribución? e) Calcule E(X) y σ X . f) ¿Cuál es la probabilidad de que X esté a menos de 1 desviación estándard de su valor medio? Resp: a) F(x) = 0, para x ≤ 0; 90[ x 9 9 − x 10 10 ], para 0 < x < 1; 1, para x ≥ 1. b) 0.0107 c) 0.0107,0.0107 d)0.9036 e)0.818, 0.111 f)0.839 20. Sea X la temperatura en o C en la cual tiene lugar cierta reacción qu´ımica, y sea Y la temperatura en o F (esto es Y = 1.8X + 32). a) Si la mediana de la distribución de X es ˜ µ, demuestre que 1.8˜ µ+32 es la mediana de la distribución de Y . b) ¿Cómo está relacionado el 90mo percentil de la distribución de Y con el 90mo percentil de la distribución de X? Verifique su respuesta. c) Generalmente, si Y = aX + b, ¿cómo se relaciona cualquier percentil particular de la distribución de Y con el correspondiente percentil de la distribución de X? Resp: b) 1.8(90mo percentil para X)+32 c)a(Xpercentil) +b 21. Sea X=tiempo entre dos llegadas sucesivas en la ventanilla de atención de un banco local. Si X tiene una distribución exponencial con λ = 1 (que es idéntica a una distribución gamma estándard con α = 1), calcule lo siguiente: a) El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas. b) La desviación estándar del tiempo entre llegadas sucesivas. c) P(X ≤ 4). d) P(2 ≤ X ≤ 5). 22. En cada caso, determine el valor de la constante c que exprese correctamente el enunciado de la probabilidad. a) Φ(c) = 0.9838 b) P(0 ≤ Z ≤ c) = 0.291 c) P(Z ≥ c) = 0.121 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 84 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua d) P(−c ≤ Z ≤ c) = 0.668 e) P(|Z| ≥ c) = 0.016 Resp: a) 2.14 b) 0.81 c) 1.17 d) 0.97 e) 2.41 23. Suponga que el diámetro de los árboles de determinado tipo, a la altura del pecho, se distribuye normalmente con media µ = 8.8 y σ = 2.8, como se sugiere en el art´ıculo ”Simulating a Harvester-Forwarder Softwood Thinning”(Forest Products J.,mayo de 1997, pp. 36-41) a) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol, seleccionado al azar, sea a lo sumo 10 pulg? y ¿que sea mayor de 10 pulg? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol, seleccionado al azar, sea mayor de 20 pulg? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar este entre 5 y 10 pulg? d) ¿Que valor de c es tal que el intervalo (8.8-c, 8.8+c) incluya 98% de todos los valores de diámetro? Resp: a) 0.3336 b) Aproximadamente 0 c) 0.5795 d) 6.524 24. Suponga que sólo 40% de todos los automovilistas de cierto estado, usan con regularidad su cintur´ on de seguridad. Se selecciona al azar una muestra de 500 automovilistas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) entre 180 y 230 (inclusive) de los automovilistas de la muestra utilice su cinturón con regularidad? b) menos de 175 de los de la muestra utilicen su cintur´ on con regularidad? y ¿menos de 150? Resp: a) 0.9666 b) 0.0099, 0 25. Hay 40 estudiantes en un curso de estad´ıstica elemental. Con base en los a˜ nos de experiencia, el instructor sabe que el tiempo necesario para calificar un primer examen seleccionado al azar, es una variable aleatoria con valor esperado de 6 min y desviación estándar de 6 min. a) Si los tiempos para calificar son independientes y el instructor comienza a calificar a las 6:50 p.m. y lo hace en forma continua, ¿cuál es la probabilidad (aproximada) de que termine de calificar antes del inicio de las noticias de las 11:00 p.m. por TV? b) ¿Si la sección deportiva empieza a las 11:10, ¿cuál es la probabilidad de que se pierda parte de esa sección si espera hasta terminar antes de encender el televisor? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 4.2 Ejercicios Propuestos 85 Resp: a) 0.6026 b)0.2981 26. El tiempo utilizado por un solicitante seleccionado al azar, para llenar cierta forma de hipoteca, tiene una distribución normal con valor medio de 10 minutos y desviación estándar de 2 min. Si cinco individuos llenan una forma en un d´ıa y seis en otro, ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad de tiempo promedio de la muestra diaria sea a lo sumo de 11 minutos? Resp: 0.7720 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 86 Cap´ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. Cap´ıtulo 5 Estimación 5.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 1 1 Sean X 1 , X 2 , . . . , X n una m.a. de tama˜ no n de una población con la siguiente función de densidad: f(x i ) = 1 x i σ √ 2π exp − 1 2 (ln(x i )−µ) 2 σ 2 ¸ , x i > 0,i = 1, . . . , n; 0, e.o.c. a) Encontrar el EMV de µ , con σ 2 conocido. b) Si n = 3 y X 1 = e, X 2 = e 2 , X 3 = e 3 . Evaluar µ EMV encontrado en (a). SOLUCI ´ ON a) Sea f(x) = 1 xσ √ 2π exp − 1 2 ln x−µ σ 2 ¸ L = n ¸ i=1 1 x i σ √ 2π exp − 1 2 ln x i −µ σ 2 ¸ = 1 σ √ 2π n 1 n ¸ i=1 x i exp − 1 2 n ¸ i=1 ln x i −µ σ 2 ¸ Aplicando logaritmo a L se tiene la log-verosimilitud 1 I3 segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 88 Cap´ıtulo 5. Estimación ln L = −nln(σ √ 2π) −ln n ¸ i=1 x i − 1 2 n ¸ i=1 ln x i −µ σ 2 ⇒ ∂ ln L ∂µ = 1 σ n ¸ i=1 ln x i −µ σ Luego ∂ ln L ∂µ = 0 ⇒ 1 σ n ¸ i=1 ln x i −µ σ 2 = 0 ⇒ ´ µ = n ¸ i=1 ln x i n b) Como X 1 = e, X 2 = e 2 , X 3 = e 3 , entonces ln X 1 = 1, ln X 2 = 2, ln X 3 = 3 Luego ´ µ = 3 ¸ i=1 ln x i 3 = 1+2+3 3 = 2 PROBLEMA 2 2 Suponga que X sigue una distribución de Pareto, su función de densidad esta dada por: f(x|α, θ) = θα θ x −θ−1 , x ≥ α y θ ≥ 1. Asuma que α > 0 es conocido y que X 1 , . . . , X n son v.a iid . a) Encuentre un estimador de momentos para θ. b) Determine el EMV de θ. 2 I3 segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 5.1 Ejercicios Resueltos 89 SOLUCI ´ ON a) Primero obtengamos el valor esperado de la distribución de Pareto E[X] = ∞ 0 xθα θ x −θ−1 dx = ∞ 0 θα θ x −θ dx =θα θ ∞ 0 x −θ dx =θα θ x −θ+1 −θ + 1 ∞ α =θα θ −α −θ+1 −θ + 1 = −θα −θ + 1 = θα θ −1 luego el primer momento poblacional es µ 1 = E[X] = θα θ−1 . Ahora despejando θ se tiene θ = h(µ 1 ) = µ 1 µ 1 −α y además se tiene que el primer momento muestral es M 1 = 1 n ¸ x i = x, por lo tanto el estimador por momentos de θ es ´ θ = M 1 M 1 −α = x x −α b) Determine el EMV de θ La función de verosimilitud L está dado por Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 90 Cap´ıtulo 5. Estimación L(θ|x 1 , . . . , x n ) = n ¸ i=1 f(x i ) = θ n α nθ n ¸ i=1 x i −θ−1 As´ı la log −verosimilitud l = ln L(θ|x 1 , . . . , x n ) = nln θ +nθ ln α −(θ + 1) ln n ¸ i=1 x i ∂l ∂θ = n θ +nln α −ln n ¸ i=1 x i = 0 ⇒ n θ = ln α −ln n ¸ i=1 x i −nln α ⇒ ´ θ = n ln    n ¸ i=1 x i   −nlnα PROBLEMA 3 3 Represente con X la proporción de tiempo asignado que un estudiante seleccionado al azar emplea trabajando en cierta prueba de aptitud, y suponga que la función de probabilidad de X es f X (x; θ) = (θ + 1)x θ 0 ≤ x ≤ 1 0 e.o.c. donde −1 < θ. Una muestra aleatoria de diez estudiante produce la siguiente información: x 1 = 0.92, x 2 = 0.79, x 3 = 0.9, x 4 = 0.65, x 5 = 0.86, x 6 = 0.47, x 7 = 0.73, x 8 = 0.97, x 9 = 0.94 y x 10 = 0.77. Obtenga el estimador de máxima verosimilitud de θ y después calcule la estimación para los datos proporcionados. 3 I2 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 5.1 Ejercicios Resueltos 91 SOLUCI ´ ON L(θ|x 1 , . . . , x n ) = n ¸ i=1 f(x i ; θ) = n ¸ i=1 (θ + 1)x θ i = (θ + 1) n n ¸ i=1 x i θ Apliquemos logaritmo a lo anterior l(θ) = ln L(θ|x 1 , . . . , x n ) = nln(θ + 1) +θ n ¸ i=1 ln x i Ahora encontremos el máximo ⇒ ∂l ∂θ = n θ+1 + n ¸ i=1 ln x i ⇒ ∂l ∂θ θ= θ = 0 ⇒ n θ+1 + n ¸ i=1 ln x i = 0 ⇒ ´ θ = − n n ¸ i=1 ln x i −1 La estimación por los datos proporcionados ´ θ = − 10 −2.429503 −1 = 3.116 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 92 Cap´ıtulo 5. Estimación PROBLEMA 4 4 Si X tiene distribución Gamma con parámetros α > 0 y β > 0,(X ∼ G(α, β)), entonces se función de densidad es de la forma f(x) = x α−1 e −x/β β α Γ(α) , 0 < x < ∞ Considere α conocido, calcular el EMV de β. SOLUCI ´ ON L(β|x 1 , . . . , x n ) = n ¸ i=1 f(x i ; β) = n ¸ i=1 x α−1 i e −x i /β β α Γ(α) = n ¸ i=1 x α−1 i e − n i=1 x i /β 1 n ¸ i=1 β α Γ(α) = n ¸ i=1 x α−1 i e − n i=1 x i /β β nα (Γ(α)) n Apliquemos logaritmo a lo anterior l(β) = ln L(β|x 1 , . . . , x n ) = ln n ¸ i=1 x α−1 i − ¸ n i=1 x i β −nβ ln β −nln Γ(α) Ahora encontremos el máximo 4 Examen segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 5.1 Ejercicios Resueltos 93 ⇒ ∂l ∂β = n i=1 x i β 2 − nα β ⇒ ∂l ∂β β= β = 0 ⇒ n i=1 x i β 2 − nα β = 0 ⇒ ´ β = n i=1 x i nα PROBLEMA 5 Sea X 1 , X 2 una muestra aleatoria de tama˜ no 2 de X con distribución exponencial de paráme- tro λ desconocido. Consideremos a ´ θ 1 = X y a ´ θ 2 = √ X 1 X 2 estimadores de µ = 1 λ . En términos del error cuadrático medio, ¿cuál de los dos es mejor? Para este problema será util considerar Γ(α) = (α −1)Γ(α −1); Γ(1/2) = √ π y E( √ X 1 X 2 ) = E( √ X 1 )E( √ X 2 ) SOLUCI ´ ON El ECM[ ´ θ 1 ] = V [ ´ θ 1 ] +B 2 Veamos si ´ θ 1 = X es insesgado respecto µ E[X] = E ¸ X 1 +X 2 2 = 1 2 (E[X 1 ] +E[X 2 ])] = 1 2 × 2 λ = µ Esto implica que ´ θ 1 es insesgado respecto de µ,calculemos su varianza Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 94 Cap´ıtulo 5. Estimación V [X] = V ¸ X 1 +X 2 2 = 1 4 (V [X 1 ] +V [X 2 ])] = 1 4 × 2 λ 2 = 1 2λ 2 Luego ECM[ ´ θ 1 ] = V [ ´ θ 1 ] = 1 2λ 2 Vemos ahora para ´ θ 2 ECM[ ´ θ 2 ] = V [ X 1 X 2 ] + (E[ X 1 X 2 ] −µ) 2 de donde V [ X 1 X 2 ] = E[X 1 X 2 ] − E[ X 1 ]E[ X 2 ] 2 Calculemos ahora E[ √ X] con X exponencial de parámetro λ E[ √ X] = ∞ 0 x 1/2 λe λx dx = 1 2 Γ 1 2 λ 1/2 = π λ 1/2 × 1 2 Por lo tanto V [ X 1 X 2 ] = 1 λ × 1 λ − π 4λ 2 = 16 −π 2 16λ 2 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 5.1 Ejercicios Resueltos 95 y B 2 X 1 X 2 = π 4λ − 1 λ 2 = π −4 4λ 2 De aqu´ı, el Error Cuadrático Medio de ´ θ 2 está dado por ECM[ ´ θ 2 ] = 16 −π 2 16λ 2 + π −4 4λ 2 = 4 −π 2λ 2 Como 4 −π < 1 tenemos ECM[ ´ θ 2 ] < ECM[ ´ θ 1 ], y de acuerdo a este criterio, ´ θ 2 es preferido a ´ θ 1 . PROBLEMA 6 5 Sea X 1 y X 2 una muestra aleatoria de tama˜ no 2 proveniente de una población X con media µ y varianza σ 2 . a) Si disponemos de dos estimadores para ´ µ 1 = X 1 +X 2 2 y ´ µ 2 = X 1 +2X 2 3 . ¿Cuál de los dos es el mejor? b) Para un estimador de la forma ´ µ = aX 1 + (1 − a)X 2 , con 0 ≤ a ≤ 1. Determine el valor de a que conduce al mejor estimador de esta forma. c) Consideremos el estimador ´ µ = X 1 +3X 2 5 . ¿Es insesgado? . Si no lo fuera encuentre uno a partir de este estimador. SOLUCI ´ ON a) Veamos el sesgo de los 2 estimadores • E[ ´ µ 1 ] = E ¸ X 1 +X 2 2 = 1 2 (µ +µ) = µ 5 I3 segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 96 Cap´ıtulo 5. Estimación • E[ ´ µ 2 ] = E ¸ X 1 + 2X 2 3 = 1 3 (µ + 2µ) = µ Los dos estimadores son insesgado, veamos cual de ellos tiene menor varianza • V [ ´ µ 1 ] = V ¸ X 1 +X 2 2 = 1 4 (σ 2 +σ 2 ) = 1 2 σ 2 • V [ ´ µ 2 ] = V ¸ X 1 + 2X 2 3 = 1 9 (σ 2 + 4σ 2 ) = 5 9 σ 2 Aqu´ı ´ µ 1 tiene menor varianza, y de acuerdo a este criterio, ´ µ 1 es preferido a ´ µ 2 . b) Es insesgado para todo a, en efecto E[´ µ] = E[aX 1 + (1 −a)X 2 ] = aE[X 1 ] + (1 −a)E[X 2 ] = µ Veamos su varianza Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 5.1 Ejercicios Resueltos 97 V [´ µ] = V [aX 1 + (1 −a)X 2 ] = a 2 V [X 1 ] + (1 −a) 2 V [X 2 ] = a 2 σ 2 + (1 −a) 2 σ 2 = σ 2 (2a 2 −2a + 1) . .. . (∗) Determinemos el valor m´ınimo que puede tomar (∗), lo que implica que es de menor varianza f(a) = 2a 2 −2a + 1 f (a) = 4a −2 = 0 ⇒ a = 1 2 Como f (a) = 4 > 0, entonces a = 1 2 es un m´ınimo. c) E[´ µ] = E ¸ 1 5 (X 1 + 3X 2 ) = 1 5 (E[X 1 ] + 3E[X 2 ]) = 4µ 5 ´ µ no es insesgado. Ahora tenemos E[´ µ] = 4µ 5 , esto implica E 5 4 ´ µ = µ, luego ˜ µ = 5 4 ´ µ = 1 4 (X 1 + 3X 2 ) es un estimador insesgado para µ. PROBLEMA 7 6 Cierto tipo de componente electrónico tiene una duración Y (en horas)con función de densidad dada por 6 I3 recuperativa de 2001 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 98 Cap´ıtulo 5. Estimación f(y) = 1 θ 2 ye − y θ y > 0;θ > 0 0 e.o.c. Suponga que tres de tales componentes, al probarlos de manera independiente, presentan duración de 120, 128 y 130 horas. a) Obtenga el estimador por método de momentos de θ, considerando una m.a. (n) b) Analice si el estimador encontrado en a) es insesgado. ¿Cuál es la varianza de este estimador? c) Utilice los valores numéricos que se dan para obtener la estimación de θ. SOLUCI ´ ON a) • Momento muestral : x • Momento Poblaci´ on: E[X] = α β = 2 1/θ = 2θ ⇒ 2θ = x ⇒ ´ θ = x 2 b) E[ ´ θ] = E ¸ ´ x 2 = 1 2n n ¸ i=1 E[x i ] = θ Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 5.1 Ejercicios Resueltos 99 Por lo tanto ´ θ es insesgado V [ ´ θ] = V ¸ ´ x 2 = 1 4n 2 V ¸ n ¸ i=1 x i ¸ = 1 4n 2 n ¸ i=1 V [x i ] = 1 4n 2 (2nθ 2 ) = θ 2 2n c) 120; 128; 130 ⇒ x = 126 ∴ ´ θ = x 2 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 100 Cap´ıtulo 5. Estimación 5.2 Ejercicios Propuestos 1. 7 Se determina la resistencia al corte de cada una de diez soldaduras eléctricas por puntos de prueba, obteniéndose los siguientes datos (lb/pulg 2 ): 392 376 401 367 389 362 409 415 358 375 a) Si se supone que la resistencia al corte está normalmente distribuida, estime el verdadero promedio de resistencia al corte y su desviación estándar con el método de máxima verosimilitud. b) Otra vez, suponiendo una distribución normal, estime el valor de resistencia abajo del cual 95% de todas las soldaduras tendrán sus resistencias. (Sugerencia: ¿cuál es el 95to percentil en términos de µ y σ? Ahora utilice el principio de invarianza.) 2. Suponga que se tiene una muestra aleatoria de tama˜ no 2n tomada de una población X, con E[X] = µ y V ar[X] = σ 2 . Sean: X 1 = 1 2n 2n ¸ i=1 X i y X 2 = 1 n n ¸ i=1 X i dos estimadores de µ. ¿Cuál es el mejor estimador de µ? Explique su elección. 3. Sean X 1 , . . . , X 7 una muestra aleatoria de una población que tiene media µ y varianza σ 2 . Considere los siguientes estimadores de µ: ´ µ 1 = X 1 +· · · +X 7 7 ´ µ 2 = 2X 1 −X 6 +X 4 2 a) ¿Alguno de estos estimadores es insesgado? b) ¿Cuál es mejor ? ¿En que sentido es mejor? 4. Suponga que ´ Θ 1 y ´ Θ 2 son estimadores insesgados del parámetro θ. Se sabe que V ( ´ Θ 1 ) = 10 y V ( ´ Θ 2 ) = 4. ¿Cuál es mejor, en que sentido lo es? 5. Calcule la eficiencia relativa de los dos estimadores del ejercicio 2. 6. Calcule la eficiencia relativa de los dos estimadores del ejercicio 3. 7. Suponga que ´ Θ 1 y ´ Θ 2 son estimadores del parámetro θ. Se sabe que E[ ´ Θ 1 ] = θ, E[ ´ Θ 2 ] = θ 2 , V ar[ ´ Θ 1 ] = 10, V ar[ ´ Θ 2 ] = 4. ¿Qué estimador es “mejor”? ¿en qué sentido es mejor? 8. Suponga que ´ Θ 1 , ´ Θ 2 y ´ Θ 3 son estimadores del parámetro θ. Se sabe que E[ ´ Θ 1 ] = θ, E[ ´ Θ 2 ] = θ, E[ ´ Θ 3 ] = θ, V ar[ ´ Θ 1 ] = 12, V ar[ ´ Θ 2 ] = 10 y E[ ´ Θ 3 − θ] 2 = 6. Haga una comparación de estos tres estimadores. ¿Cuál prefiere? ¿Por qué? 7 I2 segundo semestre de 2002 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 5.2 Ejercicios Propuestos 101 9. De una población que tiene media µ y varianza σ 2 , se toman tres muestras aleatorias se tama˜ no n 1 = 20, n 2 = 10 y n 3 = 8. Sean S 2 1 , S 2 2 y S 2 3 las varianzas muestrales. Demuestre que S 2 = 20S 2 1 +10S 2 2 +8S 2 3 38 es un estimador insesgado de σ 2 . 10. a) Demuestre que n i=1 (X i −X) 2 n es un estimador sesgado de σ 2 . b) Determine la magnitud del sesgo del estimador. c) ¿Qué sucede con el sesgo a medida que aumenta el tama˜ no n de la muestra? 11. Sea X 1 , . . . , X n una muestra aleatoria de tama˜ no n. a) Demuestre que X 2 es un estimador sesgado de µ 2 b) Determine la magnitud del sesgo en el estimador c) ¿Qué sucede con el sesgo a medida que aumenta el tama˜ no n de la muestra? 12. Examine la siguiente muestra de observaciones de espesor de pintura de baja viscosidad (”Achieving a Target Value for a Manufacturing Process: A Case Study”, J. of Quality Technology, 1992, pp. 22-26): 0.83 0.88 0.88 1.04 1.09 1.12 1.29 1.31 1.48 1.49 1.59 1.62 1.65 1.71 1.76 1.83 Suponga que la distribución de espesores de pintura es normal (una gráfica de probabilidad normal respalda esta hipótesis). a) Calcule un estimado puntual del valor promedio del espesor de pintura y diga qué estimador usó. b) Calcule un estimado puntual de la mediana de la distribución de espesores de pintura y diga qué estimador usó. c) Calcule un estimado puntual del valor que separa 10% de los valores más altos de espesores, del restante 90%, y diga qué estimador usó. [Sugerencia: exprese lo que trata de estimar en términos de µ y de σ] d) Estime P(X < 1.5), es decir, la proporción de todos los valores de espesor menores que 1.5.[Sugerencia: si conociera los valores de µ y de σ, podr´ıa calcular esta probabilidad. Estos valores no están disponibles, pero se pueden estimar.] e) ¿Cuál es el error estándar estimado del estimador que usó en el inciso b)? Resp: a) 1.348, X ;b) 1.348, X; c) 1.781, X+1.28S ; d)0.6736; e) 0.0905 13. Represente por X 1 , X 2 , . . . , X n una muestra aleatoria de una distribución de Rayleight con pdf f(x; θ) = x θ e −x 2 2θ x > 0 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 102 Cap´ıtulo 5. Estimación a) Se puede demostrar que E(X 2 ) = 2θ. Utilice este hecho para construir un estimador insesgado de θ con base en ¸ i X 2 i (y use reglas de valor esperado para demostrar que es insesgado). b) Estime θ de las siguientes n = 10 observaciones sobre esfuerzo vibratorio de una paleta de turbina bajo condiciones espec´ıficas: 16.88 10.23 4.59 6.66 13.68 14.23 19.87 9.40 6.51 10.95 Resp: a) ´ θ = X 2 i 2n ; b) 74.505 14. Se observan dos sistemas diferentes de computadora durante un total de n semanas. Represente con X i el n´ umero de descomposturas del primer sistema durante la i-ésima semana y suponga que las X i son independientes y obtenidas de una distribución de Poisson con parámetro λ 1 . De forma similar, represente con Y i el n´ umero de descomposturas del segundo sistema durante la i-ésima semana y suponga independencia en cada Y i de Poisson, con parámetro λ 2 . Obtenga las mle de λ 1 , λ 2 y λ 1 −λ 2 . [Sugerencia: mediante el uso de independencia, escriba la pmf conjunta (verosimilitud) de las X i y Y i juntas.] Resp: ´ λ 1 = X, ´ λ 2 = Y el estimado de (λ 1 −λ 2 ) es X −Y 15. Se determina la resistencia al corte de cada una de diez soldaduras eléctricas por puntos de prueba, obteniéndose los siguientes datos (lb/pulg 2 ): 392 376 401 367 389 362 409 415 358 375 a) Si se supone que la resistencia al corte está normalmente distribuida, estime el verdadero promedio de resistencia al corte y su desviación estándar con el método de máxima verosimilitud b) Otra vez, suponiendo una distribución normal, estime el valor de resistencia abajo del cual 95% de todas las soldaduras tendrán sus resistencias. (Sugerencia: ¿cuál es el 95to percentil en términos de µ y σ? Ahora utilice el principio de invarianza.) Resp: a) 384.4, 18.86 ; b) 415.42 16. Considere una muestra aleatoria X 1 , X 2 , . . . , X n , de la fdp exponencial desplazada f(x; λ, θ) = λe −λ(x−θ) , x ≥ θ 0 en otro caso. a) Obtenga los estimadores de máxima verosimilitud de θ y λ. b) Si se hacen n = 10 observaciones del avance, que resulten en los valores 3.11, 0.64, 2.55, 2.20, 5.44, 3.42, 10.39, 8.93, 17.82 y 1.30, calcule las estimaciones de θ y λ. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 5.2 Ejercicios Propuestos 103 Resp: a) ´ θ = min(X i ), ´ λ = n (X i −min(X i )) ;b) 0.64, 0.202 17. Cuando la desviación muestral estándar S está basada en una muestra aleatoria de una distribución normal de población, se puede demostrar que E(S) = 2 n −1 · Γ( n 2 )σ Γ( n−1 2 ) Util´ıcela para obtener un estimado insesgado para σ de la forma cS. ¿Cuál es c cuando n=20? Resp: 1.0132 18. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad: f(x) = (α + 1)x α , 0 < x < 1 0, en otro caso. Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de α, basado en una muestra de tama˜ no n. 19. Considere la distribución de Poisson f(x) = e −λ λ x x! , x = 0, 1, 2, . . . Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de λ, basado en una muestra de tama˜ no n. 20. Sea X 1 , . . . , X n una muestra aleatoria de la distribución Geométrica(p) f(x) = (1 −p) x−1 p x = 0, 1, 2, . . . a) Encuentre el EMV para p b) Encuentre el EMV para p 3 + 2p 2 + 1 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 104 Cap´ıtulo 5. Estimación Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. Cap´ıtulo 6 Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis 6.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 1 1 Se realizó un experimento considerando 64 pacientes varones de similares caracter´ısticas que llegan a un servicio de urgencia con fuertes dolores producidos por cálculos renales. Se les suministró una dosis de 5 ml. De un nuevo fármaco para calcular tales dolores, mi- diéndose el tiempo transcurrido hasta que el dolor desaparece completamente. Los resultados del experimento entregaron los siguientes resultados: X = 20 minutos; S = 5minutos. Además 7 pacientes reaccionaron negativamente por la dosis. a) Mediante un intervalo de confianza del 95%, encuentre los l´ımites que permitan estimar, el tiempo que tarda el medicamento en eliminar el dolor. (Asuma que el tiempo medio transcurrido hasta que el dolor desaparezca completamente tiene una distribución normal) b) Estime mediante un intervalo de confianza del 90%, la proporción de pacientes que reaccionaran de manera negativa ante la suministración de la dosis. c) Si se toma en consideración la información recopila hasta este momento y se desea construir un intervalo con 90% de confianza para la proporción de casos que reacciona negativamente, de tal manera de lograr un error de estimación del 3% como máximo. ¿Cuál es la cantidad m´ınima de pacientes que debe constituir el grupo experimental? SOLUCI ´ ON De los datos tenemos n = 64; X = 20 min; α = 5% = 0.05; S = 5 min; t 1− α 2 ;n−1 = t 0.975;63 = 1.9983 1 I3 segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 106 Cap´ıtulo 6. Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis a) µ ∈ X ∓t 1− α 2 ;n−1 × S √ n ⇒ µ ∈ 20 ∓1.9983 × 5 √ 64 ⇒ µ ∈ [18.75106, 21.24893] b) ´ p = 7 64 ; Z 1− α 2 = Z 0.95 = 1.645 ´ p = 7 64 , ´ q = 0.89065 p ∈ ´ p ∓Z 1− α 2 × p q n ⇒ p ∈ 7 64 ∓1.645 × 7 64 × 57 64 64 ⇒ p ∈ [0.045197, 0.173552] c) = Z 1− α 2 × p q n ⇒ n = Z 2 p q 2 n = (1.645) 2 7 64 57 64 (0.03) 2 = 292.88 ≈ 293 PROBLEMA 2 2 Suponga que a partir de una muestra aleatoria de tama˜ n 25, se ha podido establecer un intervalo de confianza para la media poblacional que va desde 68 a 72 unidades de medida para un α = 0.01. Encuentre un intervalo al 95% de confianza para la media poblacional, asuma que la varianza poblacional es conocida. SOLUCI ´ ON Se sabe que n = 25, I.C(µ) = [68, 72] ⇒ X = 70, ∴ E = 2 ⇒ 2 = Z 1− 0.01 2 σ √ 25 ⇒ 2 = Z 0.995 σ 5 ⇒ σ = 2×5 2.575 ⇒ σ ≈ 3.88 2 Examen segundo semestre de 2001 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 6.1 Ejercicios Resueltos 107 Ahora para un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional se tiene I.C(µ) ∈ [70 ∓1.96 3.88 5 ] ⇒, µ ∈ [68.479; 71.520] PROBLEMA 3 3 Una empresa embotelladora lo contrata a Ud. para realizar algunos análisis estad´ısticos para su l´ınea de producción, debido a varios reclamos sobre la cantidad de l´ıquido en cada botella. Si la máquina embotelladora sigue una distribución normal con media µ y desviación estándar 10c.c. a) ¿En cuánto debe ser regulado el llenado medio para que sólo el 25% de las botellas tenga menos de 300 c.c. b) Construya un I.C. de nivel α = 0.04 para el llenado medio(µ), si en una muestra de 4 botellas se observa un promedio de 350 c.c. Este intervalo ¿Captura a µ? c) ¿Cuál deber´ıa ser el tama˜ no m´ınimo necesario para estimar µ con un error no mayor a 5 c.c. y con una confianza del 90%? Si la confianza sube al 99.9% ¿Qué sucede con el tama˜ no muestral? SOLUCI ´ ON a) P(X < 300) = 0.25 ⇒ 300−µ 10 = Z 0.25 Se tiene Z 0.25 = −Z 0.75 = −0.7734 ⇒ µ = 300 + 7.7 = 307.7 b) Los datos nos entregan la siguiente información x = 350, Z 1− 0.04 2 = Z 0.98 = 2.05, σ = 10 y n = 4 ∴ µ ∈ 350 ∓2.05 × 10 2 ⇒ µ ∈ (340, 360), no captura a µ(obtenido en a). c) Z 1− α 2 = Z 1− 0.1 2 = Z 0.95 = 1.645; σ = 10; = 5 n ≥ 1.645 ×10 5 2 = (3.29) 2 ≈ 10 Si α disminuye o la confianza aumenta, entonces n debe aumentar (o bien, como Z 0.95 = 1.645 y Z 1− 0.001 2 = Z 0.9995 ≈ 3.0 y n ≈ 36) 3 I3 Recuperativa de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 108 Cap´ıtulo 6. Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis PROBLEMA 4 4 Se investiga el grado de la dureza Brinell en dos tipos de aleaciones de magnesio, para lo cual se toman muestras aleatorias, resultando para cada aleación las siguientes durezas de Brinell: Alineación Nro 1 66.3 63.5 64.9 61.8 64.3 64.7 65.1 64.5 68.4 63.2 Alineación Nro 2 71.3 60.4 62.6 63.9 68.8 70.1 64.8 68.9 65.8 66.2 Suponiendo que los distintos tipos de aleación de magnesio de la dureza Brinell se distribuye normal. a) Calcule un intervalo de confianza para la dureza media de Brinell en aleaciones de magnesio tipo 1, asuma que la varianza poblacional coincide con la varianza muestral(use α = 10%) b) Encuentre un intervalo de confianza para la proporción de aleaciones de magnesio tipo 1, que tienen una dureza de Brinell inferior a 64.8 con un 95% de nivel de confianza. c) Determine el tama˜ no de muestra para estimar la proporción de aleaciones de magnesio tipo 2, con una dureza de Brinell inferior a 64.9, con un 95% de confianza y un error de estimación inferior a 0.20. SOLUCI ´ ON a) De la tabla se obtiene X 1 = 64.670, σ 1 = 1.787, n 1 = 10, α = 0.1 ⇒Z 0.95 = 1.645 ∴ µ ∈ [63.7404; 65.5995] b) ´ p = 6 10 = 0.6, α = 0.05 ⇒Z 0.975 = 1.96 ∴ p ∈ [0.2964; 0.9036] c) ´ p 2 = 0.4 E = Z 1− α 2 p 2 q 2 n ≤ 0.20 1.96 0.4×0.6 n ≤ 0.20 n ≥ 1.96 0.20 2 ×0.6 ×0.4 ≈ 24 ∴ n ≥ 24 PROBLEMA 5 5 Se piensa que la concentraci´ on del ingrediente activo de un detergente l´ıquido para ropa, es afectada por el tipo de catalizador utilizado en el proceso de fabricación. Se sabe que la 4 Examen segundo semestre de 2001 5 I3 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 6.1 Ejercicios Resueltos 109 desviación estándar de la concentraci´ on activa es 3 g/l sin importar el tipo de catalizador utilizado. Se realizan diez observaciones con cada catalizador, y se obtienen los siguientes resultados: Catalizador 1 57.9 66.2 65.4 65.4 65.2 62.6 67.6 63.7 67.2 71.0 Catalizador 2 66.4 71.7 70.3 69.3 64.8 69.6 68.6 69.4 65.3 68.8 a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de las concentraciones activas para los dos catalizadores. b) ¿Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones activas medias dependen del catalizador utilizado? SOLUCI ´ ON a) Los datos nos entrega x 1 = 65.22, x 2 = 68.42, σ 1 = σ 2 = 3, Z α/2 = 1.96 µ 1 −µ 2 ∈ ¸ x 1 −x 2 ∓Z α/2 σ 2 1 n 1 + σ 2 2 n 2 µ 1 −µ 2 ∈ [−5.8296, 0.5704] b) Como 0 no esta en el intervalo de confianza, las concentraciones activas medias dependen del catalizador utilizado. PROBLEMA 6 6 Una industria dedicada a la fabricación de harina, para llenar los paquetes usa dos máquinas. Se considera que el contenido de harina (kilos) en los paquetes tiene una distribución normal. Para estudiar el contenido de estos paquetes, se toma una muestra aleatoria de cada máquina obteniendo los siguientes resultados: Máquina A 1.03 1.05 1.08 0.9 1.1 1.2 1.09 1.13 Máquina B 1.04 1.08 0.9 1 1.06 1.08 1.15 0.92 1.07 a) Se considera que un paquete no cumple con las normas, si su contenido es inferior a un kilo. En base a la muestra total (17 paquetes) y usando un nivel de significancia del 8%, estime la proporción de paquetes que cumplan con la norma. ¿Qué sucede con el tama˜ no del intervalo anterior si el nivel de significancia es del 5%? b) La persona encargada de la mantención de la máquina A, sospecha que está no está fun- cionando correctamente y que existir´ıa una diferencia, respecto del contenido medio de los paquetes llenados por la máquina B. Basándose en la muestra aceptar´ıa Ud. la sospecha del encargado. Use un nivel de confianza del 99%. 6 Examen segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 110 Cap´ıtulo 6. Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis SOLUCI ´ ON a) Sea ´ p = 14 17 = 0.82, ´ q = 0.18, n = 17 p ∈ ¸ ´ p ∓Z 1− α 2 p q n = 0.82 ∓1.755 0.82×0.18 17 ∴ p ∈ [0.656; 0.983] Para α = 0.05, Z 1− α 2 = Z 0.975 = 1.96, luego el tama˜ no aumenta en 0.2 b) De la tabla se obtiene S 2 B = 0.006, S 2 A = 0.007, X A = 1.072, X B = 1.033, as´ı el I.C. I.C σ 2 B σ 2 A = 0.006 0.007 F 7,8,0.005 ; 0.006 0.007 F 7,8,0.995 donde F 7,8,0.995 = 7.6942 y F 7,8,0.005 = 1 F 8,7,0.995 = 1 8.6781 = 0.1152 ∴ I.C σ 2 B σ 2 A = [0.09874; 6.5950] Aqu´ı 1 ∈ I.C σ 2 B σ 2 A , luego podemos asumir σ 2 B = σ 2 A Ahora podemos utilizar I.C(µ A −µ B ) = (X A −X B ) ∓S p 1 n 1 + 1 n 2 t n 1 +n 2 −2,1−α/2 donde S 2 p = 7×0.007+8×0.006 8+9−2 = 0.006466 ⇒0.0804 Luego I.C(µ A −µ B ) = (1.072 −1.033) ∓0.0804 1 8 + 1 9 t 15,0.995 µ A −µ B ∈ [−0.076; 0.154] ⇒ µ A = µ B , con α = 1% PROBLEMA 7 7 Supongamos que un fabricante necesita cierta pieza que puede ser proporcionada por dos abastecedores A y B, a un mismo precio. Las piezas de A son defectuosas con probabilidad p 1 y las de B con probabilidad p 2 . Supongamos además que de 100 piezas del proveedor A se encontraron 10 piezas defectuosas, mientras que de 150 del proveedor B se encontr´ o 11 defectuosas. ¿Cuál es el provedor con menor proporción de piezas defectuosas. SOLUCI ´ ON De los datos se tiene ´ p 1 = x = 10 100 = 0.01, ´ p 2 = y = 9 150 = 0.06, Z 0.95 = 1.64 7 Examen recuperativo segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 6.1 Ejercicios Resueltos 111 As´ı, p 1 −p 2 ∈ (0.10 −0.06) ∓1.64 0.10×0.90 100 + 0.06×0.94 150 1/2 ∴ p 1 − p 2 ∈ [−0.0186; 0.986], como este intervalo contiene al cero, no podemos establecer cual es el proveedor con menor proporción de piezas defectuosas. PROBLEMA 8 8 El método usual para tratar la leucemia mieloblástica aguda es tratar al paciente intensa- mente con quimioterapia en el momento del diagnóstico. Históricamente esto ha producido una tasa de remición del 70%. Estudiando un nuevo método de tratamiento, se utilizaron 50 voluntarios.¿Cuántos de los pacientes deber´ıan haber remitido para que los investigadores pudiesen afirmar con α = 0.025, que el nuevo método produce remisiones más altas que el antiguo? SOLUCI ´ ON p = 70 100 = 0.7 histórico H 0 : p = 0.7 H 1 : p > 0.7 Se quiere rechazar H 0 , es decir T > Z 1−α , donde Z 1−α = Z 1−0.025 = Z 0.975 = 1.96 T = ´ p −p 0 p 0 q 0 50 = ´ p −0.7 0.7×0.3 50 ∴ para que T > Z 1−α ⇒ p−0.7 √ 0.7×0.3 50 > 1.96 ⇒ ´ p > 1.96 0.7×0.3 50 + 0.7 ⇒ ´ p > 0.8270 ∴ n´ p = 50 ×0.8270 = 41.35 Luego deben ser al menos 42 pacientes. PROBLEMA 9 9 Veinticuatro animales de laboratorios con deficiencia de vitamina D se dividieron en dos grupos de igual tama˜ no. El grupo 1 recibió un tratamiento consistente en una dieta que proporcionaba vitamina D. El grupo 2 no fue tratado. al término del per´ıodo experimental, se hicieron las determinaciones de calcio en el suero sangu´ıneo de estos animales, obteniéndose los siguientes resultados: Grupo 1 X 1 = 11.1mg/100cc ; S 1 = 2.0mg/100cc Grupo 2 X 2 = 7.8mg/100cc ; S 1 = 1.5mg/100cc 8 I3 Recuperativa segundo semestre de 2000 9 Examen segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 112 Cap´ıtulo 6. Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis a) Se espera que el grupo que recibe la dieta que proporciona vitamina D, se observe una cantidad promedio de calcio que supere significativamente los 10.8mg/100cc. Realice el contraste correspondiente, considerando un nivel de significación del 5%. Concluya. b) Para el contraste: H 0 : El contenido medio de calcio en ambos grupos es similar (versus) H 1 : El contenido medio de calcio del grupo 1 es significativamente mayor al del grupo 2. ¿Cuál ser´ıa la conclusión de este experimento con un α = 0.10? SOLUCI ´ ON a) H 0 : µ = 10.8 H 1 : µ > 10.8 T = x−µ 0 S/ √ n = 11.1−10.8 2/ √ 12 = 0.519615 y t 1−α;n−1 = t 1−0.05;11 = t 0.95;11 = 1.7959, con esto se puede ver que T ≯ t 1−α , por lo tanto no podemos rechazar H 0 , es decir, no evidencia estad´ıstica para pensar que supere significativamente los 10.8mg/100cc. b) Nuestra prueba de hipótesis de interés es H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 ¿Las varianzas poblacionales serán iguales? para responder a esto haremos la siguiente prueba de hipótesis H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 H 1 : σ 2 1 = σ 2 2 El estad´ıstico de prueba es F = S 2 1 S 2 2 = (2.0) 2 (1.5) 2 = 1.77 y el valor de tabla es F n 1 −1,n 2 −1,α/2 = F 11,11,0.05 = 1 2.8176 = 0.3549 o F n 1 −1,n 2 −1,1−α/2 = F 11,11,0.95 = 2.871. Como F = 1.77 ≯ F 11,11,0.95 = 2.871 o F = 1.77 ≮ F 11,11,0.05 = 0.3549, entonces no hay evidencia estad´ıstica de rechazar H 0 , luego σ 2 1 = σ 2 2 . Volvamos a nuestra prueba de hipótesis de interés, sabiendo ahora que las varianzas poblaciones son iguales y desconocidas T = x 1 −x 2 S p 1 n 1 + 1 n 2 = 11.1−7.8 1.7677 √ 1 12 + 1 12 = 4.5727, donde S p = (n 1 −1)S 2 1 +(n 2 −1)S 2 2 n 1 +n 2 −2 = 11(2 2 +1.5 2 ) 22 = 1.7677 y t 1−α;n 1 +n 2 −2 = t 0.9,22 = 1.3212, y como T = 4.5727 > t 0.9,22 = 1.3212, rechazamos H 0 , es decir, el contenido medio de calcio del grupo 1 es significativamente mayor al del grupo 2. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 6.1 Ejercicios Resueltos 113 PROBLEMA 10 10 El presidente de una empresa debe seleccionar un plan, de entre dos que se le presenta, para mejorar la seguridad de sus empleados: el plan A y el plan B. Para ayudarle a tomar una decisión, 9 expertos en seguridad examinan ambos planes y a cada uno se le pide que los clasifiquen en una escala de uno a diez(las clasificaciones altas son para los mejores planes). La compa˜ n´ıa adoptará el plan B, que es más caro, sólo si los datos respaldan la evidencia de que los expertos califican mejor el plan B que al plan A. En la tabla se presentan los resultados del estudio. ¿Aportan los datos evidencia de que al nivel α = 5% las calificaciones del plan B tienden a ser mayores que las del plan A? ¿Para qué valores de α el test es significativo? (Asuma normalidad). Juez Plan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Prom. D.E. A 10 7 8 7 6 7 9 6 7 7.4 1.3 B 9 10 9 8 10 9 8 8 10 9.0 0.8 SOLUCI ´ ON Muestras pareadas H 0 : µ d ≤ 0 H 1 : µ d ≥ 0 µ d = µ B −µ A t c = d S d / √ n = 1.6 1.8/ √ 9 ≈ 2.68, t 0.05 ; 8 = 1.86 como t c > 1.86 se rechaza H 0 valor-p=P(t 8 > 2.68) = 1 − P(t 8 ≤ 2.68) = 1 − 0.986037 = 0.14, por lo tanto, ∀ α > 1.4% el test se rechaza. PROBLEMA 11 11 Un fabricante sostiene que el modelo de auto A, tiene un rendimiento promedio de 13 kilóme- tros por litro de gasolina. Se selecciona una muestra de 9 de éstos veh´ıculos, y cada uno es conducido con un litro de gasolina en las mismas condiciones. La muestra proporciona una media de 12.34 km/lt, con una desviación estándar de 1.26 km/lt. Nos interesa lo siguiente: a) Para α = 0.05, verificar la afirmación del fabricante. b) Determinar la probabilidad de cometer error tipo II, si el verdadero valor de µ es de 11 km/lt. De acuerdo a esto, ¿qué se puede decir acerca de la decisión tomada en (a)? Sugerencia: Utilize el hecho P(T < 7.07) = 0.9999475, y P(T < 2.45) = 0.9800316 10 I3 TAV 2004 11 Control 4 segundo semestre de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 114 Cap´ıtulo 6. Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis c) Si el fabricante sostiene que la desviación estándar poblacional es de 1.20 km/lt, realizar la prueba correspondiente. d) Supongamos que otro fabricante sostiene que el rendimiento promedio del auto de marca A es mayor a lo indicado por el primer fabricante y además suponga que σ = 1.20km/lt . Si µ = 10 en la hipótesis alternativa.¿Qué tama˜ no de muestra se requiere para lograr que las probabilidades de error tipo I y II sean ambas iguales a 0.02? SOLUCI ´ ON a) Supongamos que el rendimiento por litro de gasolina del auto de tipo A es un variable con distribución normal. La prueba planteada está dada por: H 0 : µ = 13 H 1 : µ = 13 Para un α = 0.05 la región critica es RC = {|t c | < t 1−α/2 }, y el valor observado t c = (12.34−13)3 1.26 = −1.57. Luego como |t c | = 1.57 ≯ t 0.975 = 2.31, no podemos rechazar H 0 , es decir la afirmación del fabricante es correcta. b) β = P(No rechazarH 0 |µ = 11) = P(|T| < 2.31|µ = 11) = P(−2.31 < 3(¯ x−13) 1.26 < 2.31|µ = 11) = P(12.0298 < ¯ x < 13.9702|µ = 11) = P( (12.0298−11)3 1.26 < T < (13.9702−11)3 1.26 ) = P(2.45 < T < 7.07) = 0.9999475 −0.9800316 = 0.01991583 Dado que cometer error de tipo II es relativamente baja, para un rendimiento real de 11 km/lt, la decisión de no rechazar H 0 en a) es adecuada c) H 0 : σ 2 = (1.20) 2 H 1 σ 2 = (1.20) 2 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 6.1 Ejercicios Resueltos 115 El estad´ıstico de razón de verosimilitud es χ 2 = (n−1)S 2 σ 2 0 = 8(1.26) 2 1.20 2 = 8.82 Como χ 2 = 8.82 ≮ χ 2 0.025;8 = 2.18 y χ 2 = 8.82 ≯ χ 2 0.975;8 = 17.53 no podemos rechazar H 0 , es decir, lo que sostiene el fabricante es correcto. d) Para el otro fabricante la prueba de hipótesis es: H 0 : µ ≥ 13 H 1 : µ < 13 Para α se tiene α = 0.02 = P( ¯ X < c|µ = 13) 0.02 = Φ c −13 1.20/ √ n (1) Para β β = 0.02 = P( ¯ X ≥ c|µ = 10) 0.98 = Φ c −10 1.20/ √ n (2) Luego de (1) y (2) se tiene c=11.5 y n = 2.6896, as´ı el tama˜ no de muestra que se requiere para lograr que las probabilidades de error tipo I y II sean ambas iguales a 0.02 es de n = 3. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 116 Cap´ıtulo 6. Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis 6.2 Ejercicios Propuestos 1. En determinada empresa de productos qu´ımicos , durante un proceso de control de calidad , se encontró que 12 de 100 presentaban defectos a) Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la proporción de defectuosos en el proceso. b) Con un 99% de confianza, ¿cuál es el posible error si la proporción es estimada por 0.12? 2. Supongamos que la longitud de los clavos producidos por una máquina constituye una v.a con distribución normal. Una muestra de 5 clavos proporciona la siguiente información en cuanto a longitud(en pulgadas): 1.14, 1.14, 1.15, 1.12, 1.10. a) Construir un intervalo de confianza del 99% para la longitud media de los clavos producidos por esta máquina. b) Construir un intervalo de confianza del 90% para la varianza poblacional 3. La probabilidad que una plancha de Zinc fabricada por una máquina sea declarada de “segunda clase”, a causa de alg´ un defecto, es p(desconocido). a) Determine el EMV de p, basado en los valores observados de una muestra de 1000 planchas fabricadas por esta máquina. b) Si en 1000 planchas seleccionadas al azar en un d´ıa de porducción se encuentra que 30 son de segunda, determine un intervalo de confianza del 95% para p. c) Determine el n´ umero de planchas requerida para asegurar con una confianza de 0.95 que el error en la estimación de la proporción de planchas de seguna clase , no sobrepase de 0.02. 4. El banco A seleccionó una muestra al azar de 250 personas de entre sus 10000 clientes con cuenta corriente. Al mismo tiempo y en forma independiente, el banco B selec- cionó al azar 200 personas de entre sus 5000 clientes con cuenta corriente. El banco A encontró que 89 personas en esta muestra utilizaban regularmente otros srvicios del banco, mientras que el banco B encontró que 52 personas de la muestra utilizaban otros servicios del banco. Estime la diferencia en la proporción de clientes con cuentas corrientes que regularmente usan otros servicios del banco, en los bancos A y B. Use α = 0.02 5. Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con detergente para máquinas lavaplatos. Se sabe que las desviaciones estándar del volumen de llenado son σ 1 = 0.10 onzas de l´ıquido y σ 2 = 0.15 onzas de l´ıquido para las dos máquinas, respectivamente. Se toman dos muestras aleatorias de n 1 = 12 botellas de la maquina 1 y n 2 = 10 botellas de la maquina 2. Los vol´ umenes promedio de llenado son ¯ x 1 = 30.87 onzas de liquido y ¯ x 2 = 30.68 onzas de liquido. a) Construya un intervalo de confianza bilateral del 90% para la diferencia entre las medias del volumen de llenado. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 6.2 Ejercicios Propuestos 117 b) Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias del volumen de llenado. Compare el ancho de este intervalo con el ancho del calculado en el inciso a). 6. Para cada una de las siguientes aseveraciones establezca si es una hipótesis estad´ıstica leg´ıtima y por qué. a) H : σ > 100 b) H : ¯ x = 45 c) H : s ≤ .20 d) H : σ 1 /σ 2 < 1 e) H : ¯ X − ¯ Y = 5 f) H : λ ≤ 0.01, donde λ es el parámetro de una distribución exponencial empleada para un modelo de duración de componentes. 7. Se ha propuesto un nuevo dise˜ no para el sistema de frenos de cierto tipo de automóvil. Si se sabe que para el sistema actual el verdadero promedio de distancia de frenado a 40 millas por hora (mph), bajo condiciones especificadas, es 120 pies. Se propone que el nuevo dise˜ no se ponga en práctica sólo si los datos muestrales indican de manera contundente una reducción en el verdadero promedio de distancia de frenado para el nuevo dise˜ no. a) Defina el parámetro de interés y establezca las hipótesis pertinentes. b) Suponga que la distancia de frenado para el nuevo sistema está normalmente distribuida con σ = 10. Represente con ¯ X el promedio muestral de distancia de frenado para una muestra aleatoria de 36 observaciones. ¿Cuál de las siguientes regiones de rechazo es apropiada: R 1 = {¯ x : ¯ x ≥ 124.80}, R 2 = {¯ x : ¯ x ≤ 115.20}, R 3 = {¯ x : ¯ x ≥ 125.13o¯ x ≤ 114.87}? c) ¿Cuál es el nivel de significancia más adecuado para la región de la parte b)? ¿Cómo cambiar´ıa la región para obtener una prueba con α = 0.001? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo dise˜ no no se ponga en práctica cuando su verdadero promedio de distancia de frenado es en realidad 115 pies y la región apropiada de la parte (b) sea utilizada? 8. Antes de convenir en la compra de un pedido grande de hojas de polietileno, para un tipo de cables eléctricos de alta presión, llenos de aceite para submarino, una compa˜ n´ıa desea ver evidencia concluyente de que la verdadera desviación estándar de grosor del forro es menor de 0.05 mm. ¿Cuáles hipótesis deben probarse y por qué? En este contexto, ¿Cuáles son los errores tipo I y tipo II? 9. Una muestra aleatoria de 150 donaciones recientes en un banco de sangre revela que 92 eran de sangre tipo A. ¿Sugiere esto que el porcentaje real de donadores tipo A difiere del 40%,el porcentaje de la población con sangre tipo A?. Haga una prueba de hipótesis adecuada,con un nivel de signi.cancia de 0.01. ¿Ser´ıa distinta su conclusión si se usara un nivel de significancia de 0.05?. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 118 Cap´ıtulo 6. Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis 10. El art´ıculo “An Evaluation of Football Helmets Under Impact Conditions”(Amer. J. Sport Medicine, 1984, pp. 233-237) reporta que cuando se sometió a cada casco de f´ utbol, de una muestra aleatoria de 37 del tipo de suspensión, a cierta prueba de impacto, 24 mostraron da˜ nos. Sea p la proporción de todos los cascos de este tipo que muestran da˜ nos al probarse de la manera descrita. a) Calcule un intervalo de confianza de 99% para p. b) ¿Qué tama˜ no de muestra se requirir´ıa para que el ancho de un intervalo de confianza de 99% fuera 0.10 a lo sumo, independientemente de ´ p? 11. Se hicieron las siguientes observaciones de resistencia a la fractura de placas base de 18% de acero maragizado al n´ıquel [“ Fracture Testing of Weldments”, ASTM Special Publ. No. 381, 1965, pp. 328-356 (en ksi √ pulg, dadas en orden creciente)]: 69.5 71.9 72.6 73.1 73.3 73.5 75.5 75.7 75.8 76.1 76.2 76.2 77.0 77.9 78.1 79.6 79.7 79.9 80.1 82.2 83.7 93.7 Calcule un intervalo de confianza de 99% para la desviación estándar de la distribución de la resistencia a la fractura. ¿Es válido este intervalo, cualquiera que sea la naturaleza de la distribución? Explique. 12. Dos empresas distintas desean establecerse en cierta región y brindar servicios de te- levisión por cable. Denote por p la proporción de suscriptores potenciales registrados que prefieren la primera empresa sobre la segunda. Considere probar H 0 : p = 0.5 contra H a : p = 0.5, con base en una muestra aleatoria de 25 individuos. Represente con X el n´ umero de suscriptores en la muestra que está a favor de la empresa, y con x el valor observado de X. a) ¿Cuál de las siguientes regiones de rechazo es la más adecuada y por qué? R 1 = {x : x ≤ 7 o x ≥ 18} R 2 = {x : x ≤ 8} R 3 = {x : x ≥ 17} b) En el contexto de la situación de este problema, describa cuáles son los errores de tipo I y tipo II. c) ¿Cuál es la distribución de probabilidad del estad´ıstico de prueba X cuando H 0 es verdadera? Util´ıcela para calcular la probabilidad de un error tipo I. d) Calcule la probabilidad de un error de tipo II para la región seleccionada cuando p =0.3, de nuevo cuando p =0.4, p =0.6 y p =0.7 . e) Mediante el uso de la región seleccionada, ¿qué concluye si 6 de los 25 individuos favoreció a la primera empresa? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. Cap´ıtulo 7 Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste 7.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 1 1 Un investigador desea contrastar ciertas hipótesis que tiene sobre el analfabetismo en comunidades Aymarás. Básicamente, él piensa que en las comunidades rurales el analfabetismo es mayor que en comunidades semi-rurales. Para verificar su hipótesis lleva a cabo encuestas en dos comunidades, en la primera de tipo rural, entrevista aleatoriamente a 200 comuneros. Mientras que, en la comunidad semi-rural se entrevistan a 180 comuneros aleatoriamente. Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla. Rural Semi-Rural Total Analfabetos 110 115 225 Alfabetos 90 65 155 Total 200 180 380 Plantee las hipótesis correspondiente. ¿Qué dir´ıa al investigador basándose en esta informa- ción?. Use α = 5% SOLUCI ´ ON H 0 :Existe homogeniedad entre las comunidades rurales y semi-rurales con respecto a su analfabetismo H 1 :No existe homogeniedad Los valores esperados son 1 Examen Recuperativo de 2003 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 120 Cap´ıtulo 7. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste Rural Semi-Rural Total Analfabetos 118.4 106.6 225 Alfabetos 81.6 73.4 155 Total 200 180 380 Entonces el estad´ıstico del test queda de la siguiente forma χ 2 c = (110 −118.4) 2 118.4 + (115 −106.6) 2 106.6 + (90 −81.6) 2 81.6 + (65 −73.4) 2 73.4 = 3.08 El valor de tabla esta dado por χ 2 (I−1)(J−1);1−α = χ 2 1;1,0.95 = 3.84 y como, χ 2 c = 3.08 ≯ χ 2 1;1,0.95 = 3.84, podemos concluir que no existe evidencia suficiente de rechazar H 0 , es decir en las comunidades rurales el analfabetismo es similar que en comunidades semi-rurales. PROBLEMA 2 2 Se realiza un estudio sobre la asociación(dependencia) entre tipo de hospital y muerte en hospital después de una operación de alto riesgo durante el mes de julio. Fueron seleccionados para su estudio 139 pacientes de operaciones de alto riesgo en hospitales universitarios; otros 528 pacientes fueron escogidos de otro tipos de hospitales. De los pacientes tratados en hospitales universitarios, murieron 32 y de la muestra extra´ıda de los otros hospitales murieron 62. a) Contrastar la hipótesis nula de no asociación. Para ello construya una tabla adecuada al problema y plantee las hipótesis correspondiente. b) Si se sabe que a nivel nacional la proporción de personas que mueren en este tipo dee operaciones es del orden del 30%. ¿Hay diferencia significativa en relación con los datos obtenidos con los hospitales universitarios?(Recuerde que la hipótesis alternativa es en relación a lo que la muestra sugiere) (Use el valor α = 5% tanto para la parte a)como para la parte b)). SOLUCI ´ ON a) H 0 :No hay asociación; H 1 :Hay asociación Tipo de Hospital Universitario Otros Total Condición Muerte 32 62 94 operación Vive 107 466 573 Total 139 528 667 Los valores esperados son 2 I3 segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 7.1 Ejercicios Resueltos 121 Tipo de Hospital Universitario Otros Total Condición Muerte 19.59 74.41 94 operación Vive 119.41 453.59 573 Total 139 528 667 Entonces el estad´ıstico del test queda de la siguiente forma χ 2 c = (32 −19.59) 2 19.59 + (62 −74.41) 2 74.41 + (107 −119.41) 2 119.41 + (466 −453.59) 2 453.59 = 11.56 El valor de tabla esta dado por χ 2 (I−1)(J−1);1−α = χ 2 1;1,0.95 = 3.84 y como, χ 2 c = 11.56 > χ 2 1;1,0.95 = 3.84, podemos concluir que existe evidencia suficiente de rechazar H 0 , es decir hay asociación. b) H 0 : p = 0.3 H 1 : p < 0.3(lo que sugieren los datos) ´ p = 32 139 , Z c = p−p 0 √ p 0 q 0 n = 0.23−0.3 √ 0.23×0.77 n = −1.96 y Z α = −Z 1−α = −Z 1−0.05 = −Z 0.95 = −1.645, y como Z c < Z α ⇒ rechazo H 0 con α = 5%, es decir hay diferencia significativa en relación con los datos obtenidos con los hospitales universitarios. PROBLEMA 3 3 Las especificaciones en la producción de tanques de aire, utilizado en inmersión, requiere que los tanques se llenen a una presión promedio de 600 libras por pulgadas cuadradas(psi) con una desviación estándar de 10 psi. Ahora suponga que Ud. ha sido contratado por una importante fábrica de equipos de inmersión, que produce este tipo de tanques y su primera tarea es verificar si la presión de llenado se distribuye normalmente, como lo especifica la reglamentación. La muestra aleatoria de 1000 tanques que Ud. obtuvo es la siguiente Presión de llenado(psi) Menos de 580 580-590 580-590 600-610 610-620 620 y más N ◦ de Tanques 20 142 310 370 128 30 ¿Qué concluir´ıa Ud. respecto a lo especificado por la reglamentaci´ on, con un 5% de nivel de significación? 3 Examen segundo semestre de 2000 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 122 Cap´ıtulo 7. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste SOLUCI ´ ON X(psi) n i p i np i menos de 580 20 0.0228 22.8 580-590 142 0.1359 135.9 590-600 310 0.3413 341.3 600-610 370 0.3413 341.3 610-620 128 0.1359 135.9 620 y más 30 0.0228 22.8 1000 1.0 1000 H 0 : X ∼ N(600; 100) H 1 : X N(600; 100) p 1 = P(X < 580) = P Z < (580−600 10 = 0.0228 p 2 = P(580 < X < 590) = P Z < (590−600 10 −0.0228 = 0.1587 −0.028 = 0.1359 p 3 = P(590 < X < 600) = P Z < (600−600 10 −0.1587 = 0.5 −0.1587 = 0.3413 p 4 = P(600 < X < 610) = P Z < (610−600 10 −0.5 = 0.8413 −0.5 = 0.3413 p 5 = P(610 < X < 620) = P Z < (620−600 10 −0.8413 = 0.9772 −0.8413 = 0.1359 p 6 = P(X > 620) = 1 −P Z < (620−600 10 = 1 −0.9772 = 0.0228 Luego χ 2 c = k ¸ i=1 (O i −E i ) 2 E i = (20 −22.8) 2 22.8 + (142 −135.9) 2 135.9 + (310 −341.3) 2 341.3 + (370 −341.3) 2 341.3 + (128 −135.9) 2 135.9 + (30 −22.8) 2 22.8 = 8.6344 y como χ c < χ 2 1−α = 11.071 ⇒ Aceptar H 0 , con un α = 5% PROBLEMA 4 4 Se observo la duración en horas de 100 pilas de una determinada marca, obteniéndose los siguientes resultados Horas < 20 20-40 40-60 60-80 ≥ 80 Frecuencia 5 26 34 22 13 4 I3 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 7.1 Ejercicios Resueltos 123 ¿Hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que los datos siguen una distribución normal de parámetros µ = 50 y σ = 20. Use α = 0.05 SOLUCI ´ ON H 0 : X ∼ N(50; 20 2 ) H 1 : X N(50; 20 2 ) Horas <20 20-40 40-60 60-80 ≥ 80 0 i Frecuencia 5 26 34 22 13 E i 6.9 24.2 38.3 24.2 6.7 p i 0.069 0.242 0.383 0.242 0.067 χ 2 c = ¸ (O i −E i ) 2 E i = 7.26, χ 2 0.05;4 = 9.49, como χ 2 c > χ 2 se rechaza H 0 PROBLEMA 5 5 Una compa˜ n´ıa de productos qu´ımicos experimenta con cuatro mezclas distintas para un compuesto de un insecticida. Se toman cuatro muestras aleatorias independientes de 200 insectos y se someten a la acción de uno de los cuatro insecticidas, registrándose el n´ umero de insectos muertos. Los resultados son los siguientes: Resultado Insecticida 1 Insecticida 2 Insecticida 3 Insecticida 4 Muertos 124 147 141 152 Vivos, pero estériles 76 53 59 48 Lleve a cabo un test de hipótesis que permitan decidir si los insecticidas son diferentes en su eficiencia, use α = 5% SOLUCI ´ ON Prueba de homogeneidad χ 2 c = ¸¸ (O ij −E ij ) 2 E ij = 10.72, χ 2 0.05 = 7.81, como χ 2 c > χ se rechaza H 0 , por lo tanto los insecticidas son diferentes en su eficacia. 5 I3 TAV 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 124 Cap´ıtulo 7. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste FORMULARIO P(X = x) E(X) V (X) M X (t) R X (x) X ∼ B(p) p x (1 −p) 1−x p pq q +pe t 0, 1 X ∼ Bin(n, p) n x p x (1 −p) n−x np npq (q +pe t ) n 0, 1, ..., n X ∼ G(p) pq x−1 1 p q p 2 pet 1−qe t , si qe t < 1 1,2,... X ∼ Bineg(r, p) x−1 r−1 p r q x−r r p rq p [ pe t 1−qe ] r , si qe t < 1 r, r + 1, ... X ∼ H(M, N, n) ( M x )( N−M n−x ) ( N n ) np n M N ( N−M N )( N−n N−1 ) 0, 1, ..., min(M, n) X ∼ P(µ = λt) µ x e −µ x! µ µ e µ(e t −1) 0,1,... X ∼ U(a, b) 1 b−a , a < x < b 0, e.o.c. a+b 2 (b−a) 2 12 e tb −e at t(b−a) R X ∼ E(λ) λe −λx 1 λ 1 λ 2 λ λ−t ,t ≤ λ 0, 1, 2, ... X ∼ N(µ, σ 2 ) 1 √ 2πσ 2 e − (x−µ) 2 2σ 2 µ σ 2 e µt+ σ 2 t 2 2 R X ∼ Gamma(α, β) x (α−1) e −x β Γ(α)β α αβ αβ 2 (1 −βt) −α x > 0 X ∼ Erlang(r, λ) λ r x r−1 e −λx (r−1)! r λ r λ 2 ( λ λ−t ) r x > 0 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 126 Cap´ıtulo 8. Tablas de distribución Cap´ıtulo 8 Tablas de distribución 8.1 Distribución t de Student Magnitud de α en una cola gl 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005 1 1.38 1.96 3.08 6.31 12.71 31.82 63.66 636.58 2 1.06 1.39 1.89 2.92 4.30 6.96 9.92 31.60 3 0.98 1.25 1.64 2.35 3.18 4.54 5.84 12.92 4 0.94 1.19 1.53 2.13 2.78 3.75 4.60 8.61 5 0.92 1.16 1.48 2.02 2.57 3.36 4.03 6.87 6 0.91 1.13 1.44 1.94 2.45 3.14 3.71 5.96 7 0.90 1.12 1.41 1.89 2.36 3.00 3.50 5.41 8 0.89 1.11 1.40 1.86 2.31 2.90 3.36 5.04 9 0.88 1.10 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 4.78 10 0.88 1.09 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17 4.59 11 0.88 1.09 1.36 1.80 2.20 2.72 3.11 4.44 12 0.87 1.08 1.36 1.78 2.18 2.68 3.05 4.32 13 0.87 1.08 1.35 1.77 2.16 2.65 3.01 4.22 14 0.87 1.08 1.35 1.76 2.14 2.62 2.98 4.14 15 0.87 1.07 1.34 1.75 2.13 2.60 2.95 4.07 16 0.86 1.07 1.34 1.75 2.12 2.58 2.92 4.01 17 0.86 1.07 1.33 1.74 2.11 2.57 2.90 3.97 18 0.86 1.07 1.33 1.73 2.10 2.55 2.88 3.92 19 0.86 1.07 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 3.88 20 0.86 1.06 1.33 1.72 2.09 2.53 2.85 3.85 21 0.86 1.06 1.32 1.72 2.08 2.52 2.83 3.82 22 0.86 1.06 1.32 1.72 2.07 2.51 2.82 3.79 23 0.86 1.06 1.32 1.71 2.07 2.50 2.81 3.77 24 0.86 1.06 1.32 1.71 2.06 2.49 2.80 3.75 25 0.86 1.06 1.32 1.71 2.06 2.49 2.79 3.73 26 0.86 1.06 1.31 1.71 2.06 2.48 2.78 3.71 27 0.86 1.06 1.31 1.70 2.05 2.47 2.77 3.69 28 0.85 1.06 1.31 1.70 2.05 2.47 2.76 3.67 29 0.85 1.06 1.31 1.70 2.05 2.46 2.76 3.66 30 0.85 1.05 1.31 1.70 2.04 2.46 2.75 3.65 ∞ 0.84 1.04 1.28 1.64 1.96 2.33 2.58 3.29 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 8.2 Distribución χ 2 127 8.2 Distribución χ 2 Proporción del Area hasta +∞ gl 0.995 0.99 0.975 0.95 0.90 0.75 0.50 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.10 0.45 2 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 0.58 1.39 3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 1.21 2.37 4 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 1.92 3.36 5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 2.67 4.35 6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 3.45 5.35 7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 5.07 7.34 9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 5.90 8.34 10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.34 12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 8.44 11.34 13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.30 12.34 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 10.17 13.34 15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 11.04 14.34 16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.91 15.34 17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 12.79 16.34 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 13.68 17.34 19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 14.56 18.34 Proporción del Area hasta +∞ gl 0.25 0.10 0.05 0.03 0.01 0.005 0.001 1 1.32 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 10.83 2 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60 13.82 3 4.11 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 16.27 4 5.39 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 18.47 5 6.63 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 20.51 6 7.84 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 22.46 7 9.04 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 24.32 8 10.22 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95 26.12 9 11.39 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 27.88 10 12.55 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 29.59 11 13.70 17.28 19.68 21.92 24.73 26.76 31.26 12 14.85 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30 32.91 13 15.98 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 34.53 14 17.12 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 36.12 15 18.25 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80 37.70 16 19.37 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 39.25 17 20.49 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 40.79 18 21.60 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 42.31 19 22.72 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58 43.82 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 128 Cap´ıtulo 8. Tablas de distribución 8.3 Distribución F (α = 0.05) Gl Grados de libertad para el numerador den. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 161 199 216 225 230 234 237 239 241 242 2 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4 19.4 19.4 3 10.1 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 ∞ 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 8.3 Distribución F (α = 0.05) 129 Distribución F (α = 0.05) (Continuaci´ on) Gl Grados de libertad para el numerador den. 12 15 20 24 30 40 60 120 ∞ 1 244 246 248 249 250 251 252 253 254 2 19.4 19.4 19.4 19.5 19.5 19.5 19.5 19.5 19.5 3 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53 4 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63 5 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.37 6 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67 7 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23 8 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93 9 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71 10 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54 11 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40 12 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30 13 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21 14 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13 15 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07 16 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01 17 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96 18 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92 19 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88 20 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84 21 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81 22 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78 23 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76 24 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73 25 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71 30 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62 40 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51 60 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39 120 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43 1.35 1.25 ∞ 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboración por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 130 Cap´ıtulo 8. Tablas de distribución 8.4 Distribución Normal Segunda cifra decimal en z z 0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Eduardo M. Rodr´ıguez F. 2 Prefacio Con la intenciń de apoyar la labor docente que desarrolla el Departamento de Estad´ o ıstica de la Facultad de Matem´ticas de la Pontificia Universidad Cat´lica de Chile, se ha realizado a o un trabajo de recopilaciń y elaboraciń de ejercicios resueltos y propuestos, adem´s de gu´ o o a ıas con respuestas para el curso EYP2300, donde algunos de los cuales ya fueron desarrollados en ayudant´ y han sido parte de interrogaciones en semestre anteriores. ıas Queremos agradecer muy en especial a FONDEDOC, por haber confiado en este proyecto y habernos entregado todo su apoyo para poder ver realizada esta necesidad tanto para el Departamento de Estad´ ıstica, como para todos los alumnos y alumnas que son beneficiados de los cursos de servicio que ofrece el mismo. Este trabajo ha sido fruto de la labor que desarrollaron docentes y ayudantes que dictaron el curso entre los aõs 2000 y 2004. n Espec´ ıficamente deseamos agradecer a los profesores • Claudio Beltrń. a • Rolando de la Cruz. • Eduardo Rodr´ ıguez. Adem´s quisi´ramos agradecer el aporte de Patricia Jimńez, Romina Mesa, Ricardo Olea y a e e Mario Tagle, tanto por el material donado, como por la revisiń de este libro. o Atentamente. Direcciń o Departamento de Estad´ ıstica Facultad de Matem´ticas a Santiago, Diciembre 2004 Recopilaciń, Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. Rodr´ o o o ıguez F. . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.ii Recopilaciń. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F.´ Indice General 1 Estad´ ıstica Descriptiva 2 Probabilidad 3 Variable Aleatoria Discreta 4 Variable Aleatoria Continua 5 Estimaciń o 6 Intervalos de Confianza y Test de Hip´tesis o 7 Test de Homogeneidad. . Independencia y Bondad de Ajuste 8 Tablas de distribuciń o 1 23 45 59 87 105 119 125 Recopilaciń. Rodr´ o o o ıguez F. . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.iv ´ INDICE GENERAL Recopilaciń. Cap´ ıtulo 1 Estad´ ıstica Descriptiva 1.14 1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. (CON 7 INTERVALOS) calculando: marca de clase.60 1.11 0.18 1. d) Obtenga el intervalo donde se encuentra el 40% central de la distribuciń. frecuencia relativa.22 0.93 1.21 2.34 0.21 0.03 0.85 1. e c) Calcular la Media (Aritm´tica) y Mediana (Intervalar).91 0.88 3.93 0.11 1.31 0.99 1. comente las caracter´ ısticas de ´ste histograma.12 0. Rodr´ o o o ıguez F.66 0.51 1.35 2.29 0. frecuencia absoluta acumulada.36 0.71 2. o lo visto en el histograma).24 0.44 2.97 1.86 1.79 3.40 2.61 1.03 0.29 0. frecuencia relativa acumulada.23 0. Interpretar cual de las anterioe res medidas de centralizaciń representa mejor a la muestra.93 0. (Incluir en su comentario. o e) ¿En que intervalo de tiempo mueren el 90% de las ratitas? ´ SOLUCION a) La tabla de frecuencias esta dado por: 1 I1 segundo semestre de 2003 Recopilaciń.05 1. intervalo.53 a) Construir la respectiva tabla de Frecuencias.05 0.73 1. 0.07 0.33 0.22 0.86 1.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 11 Los siguientes datos corresponden a tiempos de vida (en horas) de unas ratitas de laboratorio expuestas a un cierto veneno. Se quiere ver la efectividad de dicho veneno.04 0.14 0. .20 0.06 1.47 0. b) Hacer el correspondiente Histograma para la frecuencia absoluta.96 0. frecuencia absoluta.63 0. 78 1.18 0.28 1.28 × 9 + 1.86 0.08 50 x= – Mediana: M e = Li−1 + M e = 0.9 0.12 0.56 0.03 Li 0.38 0.53 Cap´ ıtulo 1.53 2.28 × 19 + 0.53 + n 2 7 i=1 − Ni−1 × ai ni 25 − 19 × 0. .28 Li−1 0.96 1 b) En este Histograma la gran parte de los datos se encuentran en los primeros cuatro intervalos.03 1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.03 1.78 3.53 3.53 3.03 2.74 0.04 0. presenta un decaimiento de ratitas muertas a medida que el tiempo de vida aumenta c) – Media Aritm´tica: e mi ni n 0. Estad´ ıstica Descriptiva ni Ni 19 19 9 28 9 37 6 43 2 45 3 48 2 50 50 fi 0.5 = 0.28 2.38 0.78 × 9 + 1.03 0.863 9 Claramente la mediana representa mejor el centro de la distribuciń que la media.18 0.28 × 2 x= 50 54 x= = 1.04 Fi 0.53 1. o Recopilaciń.03 3.78 × 6 + 2.03 2.53 1.28 0. Rodr´ o o o ıguez F.28 × 2 + 2.53 2.2 x = mi 0.06 0.78 × 3 + 3.78 2. u – Muestreo Aleatorio Simple(m.a.53). 2 I1 segundo semestre de 2000 Recopilaciń. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.P70 ) Formula para Percentiles: Pp = Li−1 + p×n 100 3 − Ni−1 × ai ni – Intervalo ocupando la formula intervalar de percentil: (0. – Muestreo Aleatorio Estratificado(m.31.42.a. ´ SOLUCION a) El m´todo estad´ e ıstico es el que nos proporciona las tćnicas necesarias para recolectar e y analizar la informaciń requerida. Rodr´ o o o ıguez F.s. Escriba esta variable en Escala Nominal y en Escala Ordinal.1. e) En el intervalo (0. en particular la hip´tesis inicial que conlleva el o o m´todo cient´ e ıfico.): cuando el procedimiento(anterior) se aplica sin restricciones sobre toda la poblaciń y cada elemento tiene igual chance de ser o incluido en la muestra.s.03. hablamos de m. – Intervalo calculado con las respectivas posiciones: (0. c) Diga que se entiende por : “ No depende de la unidad de medida” y seãle por lo n menos dos medidas que cumplan y dos medidas que no cumplan con lo antes seãlado.35).e): cuando una poblaciń se divide(en foro ma natural) en sub-poblaciones o estratos(mas o menos homogńeos) se puede e aprovechar esta informaciń formando nuestra muestra en base a submuestras o aleatorias simples sorteadas en cada estrato. .a): indica que los elementos incluidos en esa muestra han sido seleccionados mediante algń procedimiento de sorteo o azar.1 Ejercicios Resueltos d) Intervalo (P30 . 1. b) – Muestreo Aleatorio(m. n d) Describa en que consiste el percentil-p y haga un esquema para el c´lculo en el caso de a una variable. 1.41). e) ¿Qu´ porcentaje de la muestra est´ contenido en el Rango-Intercuartil? e a f) Considere la variable:Estatura.a. 2. PROBLEMA 22 Responda brevemente: a) ¿Qu´ relaciń hay entre el m´todo cient´ e o e ıfico y el m´todo estad´ e ıstico? b) De dos definiciones de tipo de muestreo. curtosis coef. caso : cumplan coef. .4 Cap´ ıtulo 1. de la muestra f) Variable: Estatura Recopilaciń. Estad´ ıstica Descriptiva c) Veamos esto a trav´s de un ejemplo: si pensamos en medir el peso quiere decir que da e lo mismo si utilizamos kilos o libras(es decir distintas unidades de medida).1: significa que hay p% de las observaciones por debajo Pp y hay (100 − p)% de las observaciones por sobre Pp Esquema: Parte entera (i) np 100 si § ¦ Parte decimal (d) ¿d = 0? ¥ ¤ xi +xi+1 2 no Figura 1. variaciń o coef.2: xi+1 e) El 50%. as´ ımetr´ ıa media varianza caso : no cumplan d) Percentil-p (Pp ) Pp p% (100 − p)% Figura 1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. .) o 05-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Planta A 50 30 60 20 40 Planta B 40 30 0 10 20 Planta C 20 40 70 15 5 a) Indique la unidad de informaciń y clasifique las variables segń nivel de mediciń y o u o tamaõ de recorrido. n b) Entre las plantas B y C. Rodr´ o o o ıguez F. en cierta zona industrial u o Cantidad de ´xido(ton. 3 I1 segundo semestre de 2000 Recopilaciń. supera las 28 toneladas? e ´ SOLUCION a) Unidad de informaciń: La Planta de emisiń o o Variable Planta de emisiń o Cantidad de ´xido o Segń nivel de emisiń u o Nominal De razń o Segń tamaõ de recorrido u n Discreta Continua b) La siguiente tabla muestra la marca de clase (mi ) de la planta B y C y la frecuencia absoluta ni de las mismas plantas.1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. ¿Cu´l presenta mayor variabilidad relativa segń la cantidad a u de ´xido de azufre emitido? o c) ¿ Qu´ porcentaje de las emisiones producidas por la planta C.1 Ejercicios Resueltos 5 ESCALA NOMINAL = Estatura Normal Estatura No Normal   Estatura Baja Estatura Media ESCALA ORDINAL =  Estatura Alta PROBLEMA 33 Los siguientes datos corresponden a las cantidades m´ximas de emisiń diarias de ´xido de a o o azufre (en toneladas) registradas segń planta de emisiń. .66% ∴ 1 − p = (100 − 98.5 150 = 14.5)2 ×5 150 − (15..67 = 0.5 27.3941 15.67 – Varianza para las plantas B y C: S2 = 2 SB = 2 SC = 5 i=1 m2 ×ni i n − x2 − (14.+(27..5386 = 0.37 Luego el coeficiente de variaciń (CV) esta dado por o CVB = CVC = SB xB SC xC = = √ 61 14.5)2 ×20 100 (7.5+.5 12.6 Cantidad de ´xido(ton. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.5 47. Estad´ ıstica Descriptiva ni Planta B 40 30 0 10 20 nB = 100 ni Planta C 20 40 70 15 5 nC = 150 – Media Aritm´tica para la planta B y C: e x = 5 i=1 mi ×ni n xB = xC = 40×7.5)2 ×40+.+20×27.5 17.5 22.5)2 ×20+.. c) Pp = Li−1 + 28 = 25 + ⇒ p p×n −Ni−1 100 ni × ai p×150 −145 100 5 ×5 = 98.+(27.5 Cap´ ıtulo 1.) o 05-10 10-15 15-20 20-25 25-30 mi 7.66)% = 1. Rodr´ o o o ıguez F. .5 = 15.30 √ ∴ la planta B presenta mayor variabilidad segń la cantidad de ´xido de azufre emitido u o con respecto a la planta C....67)2 = 22.5 100 20×7.34% Recopilaciń..5)2 = 61 (7.5+.+5×27. Estńdar Suma a NH 32 ¿? 515 PTA 32 30.75 2 18 56.0:=No) la siguiente informaciń.5 32 100 7 Figura 1.75 14 43. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.25 32 100 Servicio cena TH Frecuencia Porcentaje Frecuencia Acumulada Porcentaje Acumulado 1 12 37. Las variables que fueron examinadas son: TH : NH : PTA : PTB : SC : TP : En base a Tipo de Hotel(Categor´ 1 y 2) ıas N´mero de habitaciones u Precio temporada alta Precio temporada baja Servicio cena (1:=S´ ı.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 44 Lo que a continuaciń se presenta corresponde a la informaciń obtenida de hoteles Internao o cionales. responda las preguntas que al final se seãlan: o n Resumen de la Informaciń o Tipo de hotel TH Frecuencia Porcentaje Frecuencia Acumulada Porcentaje Acumulado 1 14 43.99921 1868 4 M´ ınimo M´ximo Q1 a 8 40 ¿? 64 169 — 39 94 52 Q2 ¿? — 59 Q3 ¿? — 61 Moda ¿? — 59 I1 segundo semestre de 2000 y 2001 Recopilaciń.5 2 20 62.3: Gr´fico segń tipo de Hotel en relaciń a la Presencia o no de piscinas a u o Variable N Desv.1395 3208 PTB 32 9. Rodr´ o o o ıguez F.1.5 12 37. .0:=No) Si el cuenta con piscina(1:=S´ ı. llene los signos ¿? con la informaciń que se da en el diagrama o de tallo y hoja. Justifique. o o Variables TH NH PTA PTB SC TP Segń nivel de emisiń u o Nominal Razń o Razń o Razń o Nominal Nominal Segń tamaõ de recorrido u n Discreta Discreta Cont´ ınua Cont´ ınua Discreta(Dicot´mica) o Discreta(Dicot´mica) o b) Variable:PTB Moda = 59 Mediana = Q2 = 59 Media = 1868 = 58. u o n b) Indique la medida de tendencia central m´s adecuada para la variable PTB.375 32 Como “hay simetr´ ıa”la medida de tendencia central mas adecuada es el PROMEDIO (Media). Recopilaciń. c) La Moda. a c) ¿Qu´ medidas de posiciń tienen en comń las variables TH. ´ SOLUCION a) Unidad de informaciń: La planta de Emisiń. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.SC.8 Cap´ ıtulo 1.¿Cu´l de ellas presenta menor variabilidad? a f) Para la variable NH. Estad´ ıstica Descriptiva Diagrama de tallo y dos hojas para la variable: NH 4 3 3 2 2 1 1 0 0 4 5 0 5 0 8 5 1 5 0 8 5 1 6 0 9 1 7 1 9 9 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 Preguntas: a) Clasifique las variables segń nivel de mediciń y tamaõ de recorrido. Rodr´ o o o ıguez F. e o u d) Resuma en una tabla Bivariada. . las variables TH y TP. por ser del tipo Nominal.TP? Justifique. e) Para las variables PTA y PTB. 5 I1 recuperativa. 5 X8 +X9 2 X16 +X17 2 X24 +X25 2 = = = 11+11 2 11+11 2 11+11 2 = = 11 14 = 20. TH 1 2 TP 0 5 3 1 9 15 Total 14 18 9 Total 8 24 32 e) El coeficiente de variaciń (CV) para las variables PTA y PTB son: o CVP T A = CVP T B = 30. d) Si una variable es de nivel de mediciń nominal. Rodr´ o o o ıguez F.1. f) – Desviaciń Estandar:7.30064 = 0. a e) Describa en que consiste el percentil-p y haga un esquema para el c´lculo en el caso de a una variable. 14. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. b) Diga que diferencia hay entre poblaciń objetivo y poblaciń muestreada.17129 ∴ la variable PTB presenta menor variabilidad con respecto a la variable PTA.99921 (1868/32) = 0. – Los Cuartiles Q1 = Q2 = Q3 = PROBLEMA 55 Responda brevemente: a) Seãle las etapas en la aplicaciń del m´todo cient´ n o e ıfico. 25.1 Ejercicios Resueltos d) Tabla Bivariada de las variables TH y TP. 11. Justifique. o – Moda: 10. o o c) Diga cuando una variable es del tipo discreta y cuando es del tipo continua.1395 (3208/32) 9. . entonces la medida de tendencia o central m´s adecuada es la mediana. 12.segundo semestre de 2000 Recopilaciń.6474 (n=32). 21. 4: significa que hay p% de las observaciones por debajo Pp y hay (100 − p)% de las observaciones por sobre Pp . b) Poblaciń Objetivo Poblaciń Muestreada : Una fracciń de este universo a estudiar. o o – Deducciń de una consecuencia verificable. o – Verificaciń de la consecuencia. d) Falso. Nominal→ asigna nombre(no categoriza)luego no puedo calcular la mediana. e) Percentil-p (Pp ) Pp p% (100 − p)% Figura 1. o – Conclusiń. Estad´ ıstica Descriptiva f) Considere la variable:PESO. Adem´s escriba esta variable segń tamaõ de recorrido en forma dicot´mica. o – Formulaciń de una hip´tesis. Esquema:Ver figura 1. Continua : Dominio es un intervalo en los reales. o o : A quien o quienes va dirigido el estudio(Universo). Rodr´ o o o ıguez F. o o c) Discreta : Dominio finito o infinito numerable. Escriba esta variable en Escala Nominal y en Escala Ordinal.5 f) Variable: Peso Recopilaciń. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.10 Cap´ ıtulo 1. a u n o ´ SOLUCION a) – Detecciń y Enunciado del Problema. . 27 − 1.5: xi+1 ESCALA NOMINAL = Peso Normal Peso No Normal   Peso Bajo Peso Medio ESCALA ORDINAL =  Peso Alto ´ DICOTOMICA = 1 Sobre Peso 0 Bajo Peso PROBLEMA 66 En un proceso de destilaciń qu´ o ımico.1 Ejercicios Resueltos 11 Parte entera (i) np 100 si § ¦ Parte decimal (d) ¿d = 0? ¥ ¤ xi +xi+1 2 no Figura 1. presente en el condensador principal de la unidad de destilaciń.07 − 1. o Se efectuaron 55 mediciones.47 − 1.27 5 12 2 1 1.87 − 1. . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.1.67 0 1 2 1 a) ¿En qu´ porcentaje de las mediciones se observa un nivel de hidrocarburo superior e a 1. Rodr´ o o o ıguez F.47 1 4 9 2 1.07 10 5 0 0 1. en las cuales se observaron conjuntamente las variables X e Y .2 % en el condensador principal. cuando en nivel de pureza de ox´ ıgeno es por lo menos 90 %? 6 TAV 2004 Recopilaciń. cuyos resultados se incluyen en la siguiente tabla: Nivel de pureza del Ox´ ıgeno (%) Nivel de Hidrocarburo(%) 87 − 90 90 − 93 93 − 96 96 − 100 0. el porcentaje (Y ) de pureza de ox´ ıgeno producido est´ a relacionado con el porcentaje (X) de hidrocarburo. Estad´ ıstica Descriptiva b) Calcule el porcentaje de variabilidad del nivel de pureza del ox´ ıgeno para los casos en que se observa en el condensador principal un nivel de hidrocarburo inferior a 1.024 Recopilaciń.27 % .47-1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.5 98 x = 15 × 88. ´ SOLUCION a) Nivel de Hidrocarburo(%) 0.18% b) Nivel de Pureza 87-90 90-93 93-96 96-100 n 15 17 2 1 mi 88.2 = 1.5 + 2 × 94.2 ∴ 1 − p = (100 − 37.5 + 1 × 98 35 = 90.5 91.51 + 17 × 91. .97-1.07 + ⇒ p = 37.27 1.5714 m2 × ni i − x2 n = 4.82% ni n N 5 5 15 20 15 35 4 39 × ai p×n −Ni−1 100 p×39 −5 100 15 × 0.07 1.67 Pp = Li−1 + 1.5714 ≈ 0.729 90.27-1.7215 5 i=1 S2 = ∴ C.5 94.V = 2.07-1.82)% = 62.12 Cap´ ıtulo 1. Rodr´ o o o ıguez F.47 1. 69 Material: AL N Media Varianza 25 1687. Rodr´ o o o ıguez F.M. Peso en gr.1. segundo semestre de 2000 Recopilaciń. entonces longitud=2 Si Long ∈ [23. responda las preguntas que al final se seãlan: o n Resumen de la Informaciń o Variable: Precio Material: A N Media Varianza 13 4282 4254805. Variaciń Mediana Suma a o 53 307.92 93. entonces longitud=3 En base a la siguiente informaciń. entonces longitud=1 Si Long ∈ [23. respecto de alguna de las variables de inter´s e Marca : A. Aluminio(AL). 26].50 37711420.50 191406. B. Longitud 1 2 3 Total 7 A B 6 2 1 15 8 13 15 30 C 2 4 2 8 Total 10 20 23 53 I1 recuperativa. 26].50 N Media Desv.26 280 16320 Percentiles 100% 95% 590 524 90% 462 75% 25% 324 246 Kurtosis Moda 1.25 Variable: Peso 13 Material: C N Media Varianza 15 6794.31 220 Tabla de Frecuencias : Marca vs. Material : Acero(A). .18 30.(unidades monetarias) Long: Longitud Si Long ∈ [23. C. Precio en U. Estńdar Coef.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 77 Un fabricante de bicicletas de competiciń. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. 26]. ha reunido informaciń sobre los diferentes sillio o nes existentes en el mercado. Cromoly(C). 14 Preguntas: Cap´ ıtulo 1. Justifique su respuesta.92 ⇒ Asimetr´ ıa Mediana = 280 Medida de Posiciń: Me=280 gr. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. . d) Construya un gr´fico que muestre la distribuciń de los sillines marca C. segń longitud. o a c) Compare la variabilidad (coef. Rodr´ o o o ıguez F.(Varianza(precio de todos los sillines)=8157632.variaciń) del precio de todos los sillines con la variabilio dad del precio de los sillines Cromoly. u o n b) Construya un gr´fico Box-Plot que muestra la distribuciń de los sillines segń peso. o Recopilaciń. o Medida de Dispersiń: Q3-Q1= 324-246=78 gr. a o u ubique los valores correspondientes en el gr´fico e indique las medidas de posiciń y a o dispersiń m´s adecuadas.44). a o u ´ SOLUCION a) Variables Tamaõ Recorrido n Marca Discreta Material Discreta Peso Continua Precio Continua Long Discreta b) Gr´fico Boxplot a Nivel de mediciń o Nominal Nominal Razń o Razń o Ordinal 246 280 324 Figura 1. Estad´ ıstica Descriptiva a) Clasifique las variables segń nivel de mediciń y tamaõ de recorrido.6: Moda = 220 Media = 307. VT = 15 ST xT 3711420.50 = 0.VT = 2856.50 donde 4282 × 13 + 1687.264151 sillines marca Cromoly son m´s homogńeos.1.156935 = 0.VC = C. Rodr´ o o o ıguez F.1 Ejercicios Resueltos c) Los coeficientes de variaciń son: o √ C.VT lo que significa que los 3769.2835 6794.VC < C. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.7577 y por lo tanto C.7: Recopilaciń.50 × 15 53 = 3769.50 × 25 + 6794. . a e d) Long 23-26 27-30 31-30 nc 2 4 2 di 2/3 4/3 2/9 Figura 1.264151 xT = Luego C. 8: b) Proporciń cuando menos 85 = o 17 + 30 + 43 + 28 + 22 + 13 + 3 169 156 = 169 = 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.16 PROBLEMA 88 Cap´ ıtulo 1. . Estad´ ıstica Descriptiva La distribuciń adjunta son las frecuencias en mediciones de resistencia a la fractura (en o MPa) para barras de cer´micas quemadas. b) ¿Qu´ proporciń de las observaciones son cuando menos 85?¿Menores que 95? e o c) Aproximadamente. etc. a Clase 81-83 Frecuencia 6 83-85 7 85-87 17 87-89 89-91 30 43 91-93 28 93-95 22 95-97 13 97-99 3 a) Trace un histograma basando en frecuencias relativas y comente sus propiedades interesantes. Figura 1. ´ SOLUCION a) Propiedades: unimodal.¿qu´ proporciń de las mediciones fueron menores que 90? e o d) Calcule el promedio e interprete su resultado. Rodr´ o o o ıguez F.923 8 TAV 2004 Recopilaciń. un poco de asimetr´ para valores pequeõs(asimetr´ negatiıa n ıa va). .1 Ejercicios Resueltos ´ 1− o 6+7 169 17 = 0. . Rodr´ o o o ıguez F. + 98 × 3 = 169 = 90. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.5 169 c) Aproximadamente d) = 0.17. .923 Proporciń menores 95 = o 6 + 7 + 17 + 30 + 43 + 28 + 22 169 153 = 169 = 0. a Recopilaciń.905 ´ 1− o 6+7 169 = 0.923 81.1.482 x= mi × ni n 82 × 6 + 84 × 7 + .17 9 i=1 La resistencia promedio a la fractura para barras de cer´mica quemadas es de 90. La siguiente tabla representa el n´mero de personas activas dentro de una muestra de u 50 familias:. (Tomando por primer sujeto a el uno).6 750 87. (muestreo aleatorio estratificado) 5 hombres y 5 mujeres utilizando muestreo sistem´tico. 1997. El art´ ıculo “Fire Loads in Office Building”(J.8 900 93.7 150 19.0 a) Trace un histograma de frecuencia relativa y comente sus caracter´ ısticas interesantes.5 1650 99. 9 Ejercicios Propuestos La carga de fuego (Mj/m2 ) es la energ´ calor´ ıa ıfica que se puede liberar por metro cuadrado de ´rea de piso por combustiń del contenido y de la estructura misma de un a o recinto. .. (b) ¿Qu´ proporciń de cargas de fuego son menores que 600? ¿Por lo menos 1200? e o (c) ¿Qu´ proporciń de cargas estń entre 600 y 1200? e o a 2. Los siguientes datos corresponden al peso reciń nacidos en un hospital durante una e semana. de cargas a de fuego en una muestra de 388 recintos: Valor % acumulado Valor % acumulado 0 0 1050 95. le´ ıdos de una gr´fica.18 Cap´ ıtulo 1.1 450 62. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. 365368 ) presenta los siguientes porcentajes acumulados.5 600 77.2 1.¿ Se puede decir que el sexo influye en el peso de los reciń nacidos? e 3. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sexo Peso (g) M 3700 M 2600 F 3100 F 3300 F 3500 F 3400 F 3200 M 2600 M 3500 M 2500 No 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Sexo F F M F M M M F F M Peso (g) 3400 2700 3800 3500 4200 3300 2800 3600 3200 3500 a) Elegir una muestra diferenciando por sexo.3 1200 98.7 1500 99.6 1350 99. Estad´ ıstica Descriptiva 1.2 1800 99. 9 I1 segundo semestre de 2002 Recopilaciń.6 300 37. of Structural Engr.8 1950 100. b) Calcular el promedio del peso por grupo. Rodr´ o o o ıguez F. o 6. obtenińdose la u u e siguiente tabla: Recopilaciń. durante una temporada. entre otras cosas. 5. e 4. Al comenzar el curso se paso una encuesta a los alumnos del primer curso de un colegio. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. por el n´mero de hermanos que ten´ obtenińdose a u ıa. preguntńdoles. e los siguientes resultados: 3 3 2 1 3 3 3 4 3 4 8 2 2 2 3 3 2 4 3 4 4 2 3 3 4 3 3 2 3 2 2 5 4 3 A: Represente este conjunto de datos con un diagrama de barras. Fi 19 Personas Activas 1 2 3 4 a) Complete la tabla de frecuencia. acum. preguntńdoles. rel. Absoluta N o Familias ni 16 20 9 5 50 Frec. entre otras cosas. o C: La media de la distribuciń. b) ¿ Cuńtas familias tiene a lo mas 2 personas activas?. En el Consejo de Apuestas del Estado se han ido anotando. indicando su nivel de representatividad. acum. e los siguientes resultados: 60 76 65 59 Obtenga: A: La distribuciń de frecuencias agrupando por intervalos. Al comenzar el curso se paso una encuesta a los alumnos del primer curso de un colegio. relativa fi Fr. 56 85 65 67 54 92 74 49 48 66 55 90 99 62 73 58 65 73 97 63 58 66 82 96 55 59 80 100 74 52 57 54 64 70 70 53 53 53 101 67 58 67 62 65 58 57 55 60 72 96 73 55 60 54 . a c) ¿ Qu´ porcentaje de familias tiene solamente una persona activa?. abs. por el n´mero de hermanos que ten´ obtenińdose a u ıa. Ni Fr. o B: La mediana de la distribuciń. B: Calcule media. el n´mero de premiados de quinielas segń la cantidad de aciertos. Rodr´ o o o ıguez F.2 Ejercicios Propuestos Fr.1. moda y mediana. la moda y los cuartiles de la distribuciń. moda de la distribuciń. o C: Hacer el respectivo Histograma y gr´fico de Pol´ a ıgonos. 0-25 25-50 5 17 50-70 30 70-100 25 100-500 3 5 8 6 4 8 5 5 5 4 2 5 5 10 3 8 4 9 4 3 8 5 6 5 7 5 5 5 2 11 8 8 4 3 4 7 2 4 6 9 4 5 6 2 3 3 7 10 7 6 4 6 5 10 8 6 3 12 7 8 6 4 3 4 . indicando la representatividad de dicha medida. o 7. resulu tando para un cierto d´ los siguientes datos: ıa Peso (Tm. 9. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. En un puerto se controla diariamente la entrada de pesqueros segń su tonelaje. u B: La mediana. Los datos siguientes representan en cent´ ımetros las longitudes de 50 art´ ıculos producidos por una m´quina.) N o de barcos Se pide: A: El peso medio de los barcos que entran en el puerto diariamente. a Recopilaciń. o B: La media. Rodr´ o o o ıguez F. B: El intervalo donde se encuentra el 60% central de la distribuciń. o 8. Estad´ ıstica Descriptiva 11 52 12 820 13 572 14 215 15 41 Calcule: A: El n´mero medio de aciertos por temporada.20 N o de aciertos N de personas (miles) o Cap´ ıtulo 1. Los datos siguientes que aparecen a continuaciń corresponden al n´mero de tornillos o u defectuosos por caja en una muestra de 90 cajas de un lote llegado a una ferreter´ en ıa Marzo de 1997: 6 4 3 7 4 5 8 8 5 4 11 4 6 3 2 7 6 3 7 6 3 5 7 3 6 4 4 Obtenga: A: La distribuciń de frecuencias. mediana. 57 5.22 7.54 6. ¿C´mo afecta esto a la mediana de los valores n o o reportados?.5 133.85 2. 105.51 5.68 Obtenga: A: Construya una tabla de frecuencias para los datos.86 4.15 4.78 3.63 5.1 7.4 138.74 6.2 a) ¿Cu´l es la mediana de los valores reportados de la presiń sangu´ a o ınea? b) Suponga que la presiń del segundo individuo es de 127.75 7. por ejemplo. a 10.4 23.3 30.7 122.6 28. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.4 130. etc.1.6 127.0 113.75 2.5 31.33 5. Un estudio de la relaciń entre la edad y varias funciones visuales.01 a) Calcule xi y x2 i 4.68 4.14 7.15 5.66 6.92 4.56 3.3 6. Suponga que los valores reales de presiń sangu´ o ınea para nueve individuos seleccionados al azar son: 118. b) La varianza muestral S 2 de la definiciń (es decir.8 4. calcular primeramente desviao ciones con respecto a la media y luego elevarlas al cuadrado. C: Si el 25% de los art´ ıculos de menor longitud y el 10% de los art´ ıculos de mayor longitud son considerados defectuosos por el Dpto.2 Ejercicios Propuestos 4.86 6.52 2.33 3.3 33. Los valores de la presiń sangu´ o ınea se reportan a veces a los 5 mm Hg m´s cercanos a (100. .04 5.98 5.21 3.2 28. report´ las siguientes observaciones sobre el ´rea de la o o a 2 l´mina escler´tica (mm ) de cabezas de nervios ´pticos humanos: a o o 2. ¿Qu´ dice esto sobre la sensibilidad de la mediana para redondear o e agrupar los datos? 11.63 5.02 6. agudeza o y percepciń de profundidad.5 49.66 6.6 Calcule lo siguiente: a) El intervalo de la muestra.0 108.62 2. Rodr´ o o o ıguez F. El art´ ıculo Oxygen Consumption During Fire Suppression: Error of Heart Rate Estimation present´ los datos siguientes sobre consumo de ox´ o ıgeno en ml/Kg/min. 110.34 2.15 5.3 131.39 5.). o a 12.33 5. B: Construya un histograma y pol´ ıgono de frecuencias para la tabla construida en a). de control de calidad. c) La desviaciń estńdar muestral.51 5.86 6.46 4.72 21 Recopilaciń.86 6.9 29.27 5.65 2. con intervalos.98 7.27 5.92 7.33 6.0 26.43 3.27 4.74 3.45 5.88 4.74 3.1 5.22 7. etc).38 6. Indique entre que longitud los art´ ıculos serń considerados aceptables.7 6.63 5.4 (un o pequeõ cambio en un s´lo valor).62 4.93 4. para una muestra de diez bomberos que hicieron un simulacro de combate de incendio: 29.66 7.63 5.33 5.02 5.6 en lugar de 127.98 7. Rodr´ o o o ıguez F. o a c) Determine los cuartos inferior y superior. a ¿C´mo afectar´ esto a fs ?. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.22 Cap´ ıtulo 1.33 y 4. Explique. Recopilaciń. Estad´ ıstica Descriptiva b) Utilice los valores calculados en el inciso (a) para determinar la varianza muestral S 2 y la desviaciń estńdar muestral S.52. o e) Si los dos valores muestrales m´s grandes. .33 y 5.52 hubieran sido 5.60. ¿Cuńto vale e o a fs ?. o a f) Si a la muestra se agrega una dćimo octava observaciń x18 = 4. d) Calcule el valor de la cuarta dispersiń. 4. 124. detenińdose s´lo cuando selecciona e o una segunda impresiń. 4. ¿cu´les resultados estń en C? a a ´ SOLUCION a) S = {3. 24. 5. 123. 5} c) B = {5. 25. ¿cu´les resultados a estń en A? a c) Si B es el evento cuando el libro 5 es seleccionado. 4 y 5) son segundas impresiones. 125. 3. 25. Dos ejemplares(1 y 2) son primeras impresiones y las otras tres(3. 214.Cap´ ıtulo 2 Probabilidad 2. 5. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio. . 14.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 11 La biblioteca de una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto texto de reserva. 13. 125. 23. b) Si A simboliza el evento cuando exactamente un libro es examinado. 1. 23. 4. o Dos posibles resultados son 5 y 2. 24. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. 15. 213. 25} 1 TAV 2004 Recopilaciń. 4. a) Haga una lista de los resultados posibles. 15. ¿cu´les resultados estń en B? a a d) Si C es el evento cuando el libro 1 no se examina. 215} d) C = {3. 215} b) A = {3. Rodr´ o o o ıguez F. 10 a) ¿Cu´l es la probabilidad de que el sistema no tenga el defecto tipo 1? a b) ¿Cu´l es la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y 2 al mismo tiempo? a c) ¿Cu´l es la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y 2 al mismo tiempo.07 P (A1 ∪ A3 ) = 0. 2. . 3) es cuando este sistema tiene un defecto del tipo i.12 P (A1 ∪ A2 ) = 0.12 + 0.13 = 0.01 = 0.24 PROBLEMA 22 Cap´ ıtulo 2.05 P (A2 ∪ A3 ) = 0.05 2 TAV 2004 Recopilaciń. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.01 P (A2 ) = 0.06 c) P (A1 ∩ A2 ∩ Ac ) = P (A1 ∩ A2 ) − P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) 3 = 0.06 − 0.12 = 0. Rodr´ o o o ıguez F. Probabilidad Un sistema puede tener tres tipos de defectos: Ai (i = 1.14 P (A3 ) = 0. Suponga que P (A1 ) = 0.07 − 0.13 P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0.88 b) P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∪ A2 ) = 0. a pero que no tenga defectos tipo 3? d) ¿Cu´l es la probabilidad de que el sistema tenga dos de estos defectos? a ´ SOLUCION a) P (Ac ) = 1 − P (A1 ) 1 = 1 − 0. A . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. ´ SOLUCION A :“el tel´fono p´blico devuelve la moneda insertada”.2 .1. e u B :“el tel´fono p´blico hace la conexiń con el n´mero que uno marca”. e u o u Se tiene P (A) = 0. tres veces m´s probable que C y un medio veces m´s probable que su a a a c complemento. PROBLEMA 44 Se sabe que A contiene a B y que es disjunto con C.1 Luego la probabilidad que una persona haga la llamada gratis es 0. de a lo m´s dos errores = 0.3} 0.99 a 25 PROBLEMA 33 Cierto t´lefono p´blico(que usalmente falla) devuelve la moneda insertada con probabilidad e u 0.6. 3 4 I1 segundo semestre 2003 I1 y examen.2. P (B) = 0.6. Encuentre la probabilidad que o una persona haga la llamada gratis.2 + 0.1 Ejercicios Resueltos d) 1 − P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 1 − 0.01 prob. .6 − {1 − 0.2. Encuentre P (B ∪ C) y P (B ∩ C).3. P (Ac ∩ B c ) = 0. Rodr´ o o o ıguez F. segundo semestre 2003 Recopilaciń.3 Se pide encontrar P (B ∩ A) P (B ∩ A) = = = = = P (B) + P (A) − P (A ∪ B) P (B) + P (A) − P [(Ac ∩ B c )c ] P (B) + P (A) − {1 − P [(Ac ∩ B c )]} 0. se queda con la o u moneda y no da la conexiń requerida con probabilidad 0. hace la conexiń con el n´mero que uno marca con probabilidad 0. Tambiń se sabe que A es dos veces e m´s probable que B. P (A) = 2P (B) P (A) = 3P (C).26 ´ SOLUCION Se tiene B ⊂ A. . Calcule la probabilidad de que: a) Su GS sea A. P (B) = 1 . P (A) = 1 2 Cap´ ıtulo 2. ´ SOLUCION Completando la tabla con los totales se tienen: 5 segundo semestre de 2000 Recopilaciń. A ∩ C = φ. b) Su GS sea O y se presente Tromboembolismo. Probabilidad P (Ac ) 1 9 De aqu´ obtenemos P (A) = 1 . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. ya que B ⊂ A por lo tanto es disjunto con C. PROBLEMA 55 Una muestra aleatoria de 200 mujeres que toman anticonceptivo oral y se controlan en el Servicio Obst´trico y Ginecol´gico de cierto hospital fueron clasificadas segń grupo sangu´ e o u ıneo (GS) y si presentan o no tromboembolismo (T) segń se muestra en la tabla siguiente: u Grupo Sangu´ ıneo N´mero de Tromboelismo u A 32 B 8 AB 6 O 9 Total 55 Mujeres Sanas 51 19 5 70 145 Si selecciona en forma aleatoria a una mujer de esta muestra. a d) Su GS no sea A y presente Tromboebolismo. P (C) = ı 3 6 Debemos calcular P (B ∪ C) P (B ∪ C) = P (B) + P (C) − P (B ∩ C) 1 1 = + −0 6 9 5 = 18 P (B ∩ C) = 0. c) Su GS sea B dado que la mujer est´ sana. 6 I2 recuperativa.045 P (GSB |M S) = P (GSB ∩ M S) P (M S) 19/200 145/200 = = 0. b) Tenga el rasgo.115 PROBLEMA 66 Suponga que cierto rasgo oft´lmico est´ asociado con el color de ojos.2.1310 d) 2 P (GSA ∩ T ) = 8+6+9 200 = 0. Rodr´ o o o ıguez F. Se estudiaron 300 a a individuos elegidos aleatoriamente. . segundo semestre de 2000 Recopilaciń.415 9 200 b) P (GSO ∩ T ) = c) = 0. con los resultados siguientes: Rasgos Presencia Ausencia Totales Color de ojos Azul Caf´ Otro e 70 30 20 20 110 50 90 140 70 Totales 120 180 300 Calcular la probabilidad de que una persona elegida aleatoriamente: a) Tenga los ojos azules. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.1 Ejercicios Resueltos Grupo Sangu´ ıneo(GS) N´mero de Tromboelismo (T) Mujeres Sanas (MS) Total u A 32 51 83 B 8 19 27 AB 6 5 11 O 9 70 79 Total 55 145 200 a) P (GSA ) = 83 200 27 = 0. de los cuales dos son de color rojo y cinco de color azul. 366 = 20/300 70/300 P (R∩O) P (O) = 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. e d) Tenga el rasgo dado que present´ otro color de ojos. luego 6 P (A ∩ B) = P (A) × P (B|A) 5 2 = × 7 6 5 = 21 7 I1 segundo semestre de 2003 Recopilaciń. a (a) Defina los eventos involucrados (b) ¿Cu´l es la probabilidad que el primer l´piz extra´ sea azul y el segundo sea de color a a ıdo rojo? (c) ¿Cu´l es la probabilidad que el segundo l´piz extra´ sea rojo? a a ıdo ´ SOLUCION a) A:“El primer l´piz extra´ es de color azul”.2857 PROBLEMA 77 En una prueba de M´todos Estad´ e ısticos un alumno dispone de siete l´pices para realizar ´sta a e prueba. Rodr´ o o o ıguez F. a ıdo B:“El segundo l´piz extra´ es de color rojo”. . Probabilidad C O : Tenga ojos caf´ e : Tenga otro color de ojos a) P (A) = b) P (R) = = 0. o ´ SOLUCION Definamos los siguientes eventos A R : : Tenga ojos azules Tenga el rasgo 90 300 120 300 Cap´ ıtulo 2.28 c) No tenga el rasgo y presente ojos caf´. 3 = 0. El alumno selecciona un l´piz al azar y enseguida extrae el otro de los restantes. a ıdo b) Se pide calcular P (A ∩ B) y se tiene P (A) = 5 7 y P (B|A) = 2 . 4 110 300 c) P (Rc ∩ C) = d) P (R|O) = = 0. 36 8 I1 segundo semestre 2003 Recopilaciń. como A ∩ B.0345 (b) La probabilidad que se haya producido en la primera l´ ınea.2. 3 o 3 29 P (D) = j=1 P (D|Lj )P (Lj ) = 0. . i = 1.35 + 0.05 × 0.1 Ejercicios Resueltos c) Aqu´ se pide calcular P (B). Las unidades son mezcladas y enviadas a los compradores. respectivamente. son defectuosos.04 × 0. se tiene: P (B) = P (A ∩ B) + P (Ac ∩ B) 5 = + P (Ac ) × P (B|Ac ) 21 5 2 1 = + × 21 7 6 6 = 21 PROBLEMA 88 En una industria de productos Qu´ ımicos.0345 = 0. ´ SOLUCION a) Los eventos son: D :“ unidad defectuosa ” Li : “ l´ ınea de producciń i ”. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.02 × 0.25 + 0. a) Determine la probabilidad que una unidad escogida al azar sea defectuosa. Rodr´ o o o ıguez F. las unidades son producidas por tres l´ ıneas en proporciones 25:35:40. 2. en donde B = (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B) y. Un 5% un 4% y un 2% de las unidades producidas por cada l´ ınea. b) Si un cliente encuentra una unidad defectuosa.25 = 0. dado que la unidad es defectuosa. determine la probabilidad que se haya producido en la primera l´ ınea. P (L1 |D) = P (D|L1 )P (L1 ) P (D) 0.40 = 0. Ac ∩ B ı son disjuntos.05 × 0. 5. la probabilidad de que dos de los tres f´rmacos se a a inactiven es de 1/3. Se observa a a o a que cuando se utilizan simultńeamente. es diferente. ¿Cu´l es la probabilidad de que el responsable de ello a sea el f´rmaco B? a ´ SOLUCION Se tiene los eventos R :Remisiń del tumor o A :F´rmaco A a B :F´rmaco B a C :F´rmaco C a P (A) = P (B) = P (C)(= 1/3). mientras que un individuo sin la enfermea dad mostrar´ un resultado de prueba positivo s´lo en 2% de las veces.75 0.75. y el a a f´rmaco C. en un 60%.¿cu´l es la probabilidad de que a el individuo tenga la enfermedad? 9 10 TAV 2004 TAV 2004 Recopilaciń. Durante la prueba. Rodr´ o o o ıguez F. P (R|A) = 0. P (R|B) = 0.5 + 0.6 0. con respecto a producir una remisiń del tumor. . resultando que s´lo uno de ellos permanece activo frente al tumor.75 1.85 = = = 0. para la cual se ha desarrollado o a una prueba de diagn´stico. La o efectividad de cada f´rmaco. Si se hace una prueba a o a un individuo seleccionado al azar y el resultado es positivo. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. P (R|C) = 0. a La enfermedad remite en el paciente.4054 PROBLEMA 1010 S´lo 1 de 1000 adultos est´ afectado por una rara enfermedad.30 PROBLEMA 99 Cap´ ıtulo 2. a o El f´rmaco A se ha mostrado efectivo en un 50% de los casos. Probabilidad Un paciente de cńcer est´ siendo tratado con una combinaciń de tres f´rmacos. en un 75%. el f´rmaco B.6 P (B|R) = P (R|B)P (B) P (R|A)P (A) + P (R|B)P (B) + P (R|C)P (C) 0.75 + 0. cuando un individuo padece la enfermedad o presentar´ un resultado positivo 99% de las veces. B y C. Rodr´ o o o ıguez F.02097 P (IS) = 0.1 Ejercicios Resueltos ´ SOLUCION Sea IE : individuo enfermo IS : individuo sano RP : resultado positivo de la prueba Del enunciado se tiene: P (IE) = 0. El dado A es equilibrado.2.047 PROBLEMA 11 Se dispone de tres dados A. El u experimento consiste en elegir uno de los dados de acuerdo al mecanismo que se indica a continuaciń y luego lanzarlo tres veces(simpre el mismo dado). . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Sea p > 2 (resp.99 Se pide P (IE|RP ) P (IE ∩ RP ) P (RP ) P (RP |IE)P (IE) P (RP ) 0. El mecanismo de selecciń o o consiste en lanzar una moneda no equilibrada D(con probabilidad de cara α) y seleccionar el dado A si sale cara.99 × 0. q < 1 ) u a 2 la probabilidad de obtener un n´mero impar al lanzar el dado B(resp.02 31 P (IE|RP ) = = = = 0.001 0. de salir sello se elige B o C con igual probabilidad.999 P (RP |IS) = 0. a) Calcule la probabilidad de que en el primer lanzamiento del dado aparezca un n´mero u par. u c) Calcule la probabilidad de obtener un n´mero impar en el tercer lanzamiento si se ha u obtenido un n´mero impar en los dos anteriores. u Recopilaciń. el dado C). b) Calcule la probabilidad de que el dado A haya sido seleccionado en la primera etapa si los dos primeros n´meros obtenidos son impares.001 P (RP |IE) = 0. mientras que B est´ cargado a 1 a favor de los n´meros impares y C lo est´ a favor de los pares. Rodr´ o o o ıguez F. . pB y pC las probabilidades de elegir A. B y C respectivamente pA = α.32 ´ SOLUCION a) Sea A: dado equilibrado B: dado cargado P (impar) = p > 1/2 C: dado cargado P (impar) = q < 1/2 Moneda D Cap´ ıtulo 2. pB = pC = 1−α = β 2 c P (I1 ) = 1 − P (I1 ) =1− α +β×p+β×q 2 α + β × (p + q) 2 =1− Recopilaciń. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. sello −→ B ´ C o Primera forma Sean H: La moneda D mostr´ cara o Ii : En el lanzamiento i−´simo aparece un n´mero par e u P (I1 ) = P (I1 |H)P (H) + P (I1 |H c )P (H c ) = 1 × α + [P (I1 |B)P (B) + P (I1 |C)P (C)] × (1 − α) 2 α 1 1 + (1 − p) × + (1 − q) × × (1 − α) 2 2 2 α + 2 1−α 2 = =1− Segunda forma (p + q) Sean pA . Probabilidad P (cara) = α. cara −→ A. 2.1 Ejercicios Resueltos b) Sea A:el dado dado A es seleccionado Primera forma: Usando el teorema de Bayes c c P (A|I1 ∩ I2 ) = c c P (I1 ∩ I2 |A)P (A) c c c c c c P (I1 ∩ I2 |A)P (A) + P (I1 ∩ I2 |B)P (B) + P (I1 ∩ I2 |C)P (C) 1 4 1 4 33 = ×α 1−α 2 ×α+ p2 1 × + q2 × 1−α 2 = Segunda forma 1+ 2(1−α) 2 (p α + q2) c c P (A|I1 ∩ I2 ) = c c P (A ∩ I1 ∩ I2 ) ) c c P (I1 ∩ I2 = α× 1 × 1 2 2 1 1 α × 2 × 2 + β × p2 + β × q 2 1 1+ 4β (p2 α = + q2) c) c c c P (I3 |I1 ∩ I2 ) = c c c P (I3 ∩ I1 ∩ I2 ) c c P (I1 ∩ I2 ) 1 3 2 α 4 = α× + 1−α × p3 + 1−α × q 3 2 2 + 1−α (p2 + q 2 ) 2 Recopilaciń. . Rodr´ o o o ıguez F. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. si ambos sobreviven. Recopilaciń. Defina adem´s los eventos: a A: vende al menos cinco diarios.2 2. B: un n´mero impar de lanzamientos es necesario para obtener cara por primera u vez. Rodr´ o o o ıguez F. Considere el experimento aleatorio siguiente: Una moneda es lanzada hasta obtener cara por primera vez. que consisite del n´mero de ventas en un d´ u ıa cualquiera. . Considere el juego del lanzamiento de dos dados ordinarios. 3. 5.1 Ejercicios Propuestos Eventos y formas de contar 1. u C: el segundo dado muestra un n´mero par. si exactamente un animal sobrevive. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. a) Describa el espacio muestral asociado a este experimento.2. el experimento consisite en registrar el n´mero de ventas que el hace en dos d´ sucesivos. Todos los d´ un niõ dispone de 30 diarios para vender en la misma esquina. B: el segundo dado muestra el n´mero 6. B: vende exactamente cinco diarios. b) ¿Cuńtos eventos puede usted definir? a c) Describa los siguientes eventos: A: la suma de los dos dados es menor o igual a 3. B: vende al menos cinco diarios el segundo d´ ıa. Un animal muere(M) o sobrevive(S) en el curso de un experimento quir´rgico. C: vende al menos cinco diarios ambos dias. Finalmente si ambos animales mueren. Defina ıas. a uno m´s se le aplicar´ el experimena a to. u 4. El exu perimento ser´ ejecutado con dos animales. a) Determine el espacio muestral asociado.34 Cap´ ıtulo 2. C: vende a lo m´s cinco diarios. no se realizar´ ningń a a u otro ensayo. serń tratados dos adicionales. Defina un espacio muestral u ıas razonable para este experimento y describa los eventos: A: vende al menos cinco diarios el primer d´ ıa. n un espacio muestral para el experimento. a 2. Determine a el espacio muestral asociado al experimento. b) Describa los siguientes eventos: A: la primera cara ocurre en tres o menos lanzamientos. Considerando el ejercicio anterior y si ahora. Probabilidad 2. ¿De cuńtas formas puede organizar la Exposio a ciń? o Resp: 151200 13. Una Galer´ de Arte tiene que montar una exposiciń. El presidente debe ser mujer.2. Un curso de M´todos Estad´ e ıstico de 40 alumnos tiene que formar una comisiń para o organizar un congreso. si la suma es x. 3 ´ 12 ´l pierde e e o e inmediatamente.. Eduardo. ¿Cuńtos comit´s distintos se podr´ o a e ıan formar? Resp: 91390 Recopilaciń. ii. ¿Cuńtas parejas(varń y dama)se a o pueden formar? 10. u a ıdo 8. ´l continua lanzando hasta obtener e un mismo puntaje x(en cuya caso gana)u obtener un 7(en cuyo caso pierde). temperatura y tipos de catal´ o ıticos? 11. De otra manera. a) Si tiene uno s´lo para 8 cuadros. 7. e Ricardo. Determine el n´mero de elementos en los conjuntos i)-iii) y haga una lista de ellos. 35 . ´l gana inmediatamente. a) Si la comisiń debe ser de 4 alumnos. iii. En el juego del “crapito”.Se va elegir un presidente y tesorero del grupo de estudiantes de arriba. ¿De cuńtas formas distintas puede organizar o a la Exposiciń? o Resp: 1814400 b) Si tiene otro s´lo con 6 espacios. Romina y Joaqu´ ın. tres niveles para la presiń y dos tipos o de catal´ ıtico. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. ¿Cuńtos n´meros se pueden formar al arreglar los d´ a u ıgitos del n´mero 4130131(excluu yendo los que comienzan por 0? 12. Describa el evento “el jugador gana con un puntaje de 5”. Liste todos los resultados de un espacio muestral apropiado para este experimento. Rodr´ o o o ıguez F. Si obtiene una suma de 7 u 11.. Una urna contiene 5 fichas. Se lanza una moneda hasta que aparezca un total de dos sellos.2 Ejercicios Propuestos 6. Se extraen tres fichas. 9. marcadas del 1 al 5. un jugador lanza un par de dados. temperatura y el tipo o de catal´ ıtico sobre el rendimiento en un proceso de refinado. u i. liste todos los resultados que constituyen el evento “el segundo n´mero m´s grande extra´ fue 3”. para ello tiene 10 cuadrados ıa o distintos. pero no se hacen m´s a de 4 lanzamientos. Si el experimentador intenta usar tres niveles para la temperatura.Los cinco estudiantes arriba van a bailar. si ´l obtiene una suma de 2.Un comit´ de dos personas se va a formar de un grupo de 5 estudiantes: Patricia. Un experimentador investiga el efecto de tres variables: presiń.. ¿cuńtos ensayos experimentales tendr´ que realizar si quiere considerar a a todas las combinaciones de presiń. ¿En cuńtas formas a diferentes pueden sentarse?: a) Sin restricciones Resp: 40320 b) Si se sientan por parejas Resp: 384 c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres Resp: 576 17.36 Cap´ ıtulo 2. Rodr´ o o o ıguez F. Cuatro matrimonios compraron ocho lugares para un concierto. dos. a o Resp: 72 16. uno y cero por cada tarea si ella es aprendida en uno. dos. ¿D´ cuńtas maneras puede un cliente ordenar un emparedado y una bebida si hay e a cinco clases de emparedado y una bebida si hay cinco clases de emparedado y cuatro de bebidas en el men´? u Resp:20 maneras 18. . Probabilidad b) Si la comisiń debe ser de 8 alumnos. Un testigo de un accidente de trńsito en el que el causante huy´. A una rata se le asigna los valores tres. En una baraja de naipes se reparten 4 naipes a cada jugador: a) ¿Cuńtas manos distintas pueden formarse? a Resp: 316251 b) ¿Cuńtas manos de 20 Ases y 2 Queinas? a Resp: 36 c) ¿Cuńtas manos distintas de 3 Reyes y 1 Jota? a Resp: 16 d) ¿Cuńtas manos distintas con 2 Jotas y 2 cartas cualquiera? a Resp:7956 15. tres o m´s per´ a ıodos de entrenamiento. el primero de los cuales era un cinco. le indica a un a o polic´ que el n´mero de matr´ ıa u ıcula del autom´vil ten´ las letras RLH seguidas por o ıa tres d´ ıgitos. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. a) ¿Cuńtos valores totales son posibles para una rata en particular? a b) Suponiendo que no hay empates(dos ratas no puden recibir el mismo puntaje total)¿cuńtos rangos son posibles? Resp:a) 16 valores b)10! rangos a Recopilaciń. Si el testigo no puede recordar los otros dos d´ ıgitos pero est´ seguro de que los tres eran diferentes. ¿Cuńtos comit´s distintos se podr´ o a e ıan formar? Resp: 769046685 14. A diez ratas de laboratorio se le asignan rangos por su habilidad para aprender cinco diferentes tareas. encuentre el n´mero a u m´ximo de registros de autom´vil que debe verificar la policia. se pueden formar si no se permiten repaticiń? a u o b) ¿Cuńtos de los obtenidos en a) son menores de 500? a Resp:a)60 n´meros b)36 n´meros. u u 23. La enfermedad puede ser diagnosticada si el paciente muestra cuatro ´ m´s de los s´ o a ıntomas.2. o o o 22. Una empresa alimenticia desea numerar las fichas de sus clientes con n´meros de cuatro u cifras. ¿Cuńtas fichas podr´ numerar a a si a) los d´ ıgitos pueden repetirse? b) los d´ ıgitos no pueden repetirse? c) el ultimo n´mero debe ser cero y los d´ ´ u ıgitos no pueden repetirse? Resp: a)1000 fichas b)5040 fichas c)504 fichas. ¿Cuńtas seãles de tres luces distintas pueden obtenerse con cinco luces distintas? a n Resp:60 seãles n Recopilaciń. En la formaciń de un rasgo de un individuo intervienen cinco tipos de genes distintos. 24. 21. Rodr´ o o o ıguez F. Suponga que hay seis s´ ıntomas reconocidos para una cierta enfermedad. 20. b) ¿Cuńtas de ellas contienen s´lo consonantes? a o c) ¿Cuńtas empiezan y terminan con consonante? a d) ¿Cuńtas empiezan con vocal? a e) ¿Cuńtas contienen la letra B? a f) ¿Cuńtas empiezan con H y terminan con vocal? a g) ¿Cuńtas contienen ambas vocales? a Resp: a)840 palabras b) 120 palabras c) 400 palabras d)240 palabras e) 480 palabras f)40 palabras g)240 palabras. a Resp:15 genotipos. 37 . dos. a) Determine el n´mero de palabras de cuatro letras que se pueden formar con las u letras de la palabra HEMBRAS.2 Ejercicios Propuestos 19. Considere los siguientes d´ ıgitos: uno. cinco y seis a) ¿Cuńtos n´meros de tres cifras. ¿D´ cuńtas maneras pueden combinarse los s´ e a ıntomas para poder dar un diagn´stico? o Resp: 22 maneras 25. tres. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. ¿Cuńtos c´digos de cuatro letras se pueden obtener con las primeras diez letras del a o alfabeto si a) ninguna letra se puede repetir? b) se pueden repetir las letras las veces que se desee? c) en b) las letras abyacentes no pueden ser iguales? Resp:a)5040 c´digos b)10000 c´digos c)7290 c´digos. Para ello dispone de los d´ ıgitos del cero al nueve. o ¿Cuńtos genotipos distintos se pueden obtener?. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. var´ el orden de las visitas. Con el objeto de impedir a los pacientes que sepan cuando los visitar´. 33. Se desea formar un ramo de seis flores. Se dispone de doce claveles de colores distintos y cinco rosas de colores distintos. si dos de ellos estń enojados y no asisten juntos? e a a Resp:a) 462 maneras b)378 maneras. a) ¿D´ cuńtas maneras puede invitar a cinco de ellos? e a b) ¿D´ cuńtas maneras. 28.38 Cap´ ıtulo 2. Un estudiante debe contestar ocho de diez preguntas de un examen. 30. ¿De a ıa cuńtas maneras distintas puede realizar sus visitas el m´dico? a e Resp:720 maneras. 29. 27. En un laboratorio se dispone de cinco ratas blancas y ocho grises. a) ¿Cuńtas maneras de escoger tiene? a b) ¿Cuńtas si las tres primeras preguntas son obligatoria? a c) ¿Cuńtas si tiene que contestar por lo menos cuatro de las cinco primeras prea guntas? Resp:a)45 maneras b)21 maneras c)35 maneras. Probabilidad 26. tres farmacúticos y cuatro a e e bi´logos. De un grupo de ocho farmacúticos. En un experimento deben participar cuatro ratas de las cuales una debe ser blanca. Rodr´ o o o ıguez F. o o a) ¿Cuńtas comisiones distintas se pueden formar? a b) ¿Cuńtas comisiones distintas se pueden formar a i) si el presidente y el secretario del grupo van por derecho propio? ii) si asiste por lo menos un farmacútico? e c) si asiste dos m´dicos. Un estudiante tiene once amigos. 31. Un m´dico visita seis salas diferentes de un hospital todos los d´ e ıas. Un grupo de profesionales est´ formado por seis m´dicos. ¿Cuńtas maneras a distintas tiene el investigador de elegir las ratas? Resp:280 maneras. . Se nombra una comisiń de cinco personas para asistir a un congreso. a) ¿Cuńtas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra a ESTADISTICA? b) ¿Cuńtas de ellas empiezan y terminan con S? a Resp:a)249480 palabras b)45360 palabras. 32. dos bi´logos y un farmacútico? e o e Resp:a)1287 comisiones b) i) 165 comisiones ii)1035 comisiones c)270 comisiones. tres bi´logos y cuatro m´dicos se elige una comisiń e o e o de cinco personas. ¿Cuńtas comisiones a Recopilaciń. ¿Cuńtos ramos distintos se pueden formar si se a desea que el ramo contenga al menos tres rosas? Resp:11110 ramos. Un sic´logo est´ tratando a catorce pacientes. seis hombres y ocho mujeres. 39 Recopilaciń. a) ¿Cuńtos grupos puede formar el sic´logo? a o b) ¿Cuńtos grupos puede formar que a i) contengan cuatro hombres? ii) incluyan a lo m´s dos mujeres? a Resp:a)2002 grupos b)i)840 grupos ii)0 grupo. . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. 34. Rodr´ o o o ıguez F. Debe o a seleccionar nueve pacientes para un experimento en grupo.2.2 Ejercicios Propuestos a) distintas se pueden formar? b) tiene exactamente dos m´dicos? e c) tiene por lo menos tres farmacúticos? e d) tiene a un farmacútico determinado? e e) tiene a lo m´s un bi´logo? a o Resp: a)3003 comisiones b)990 comisiones c) 1722 comisiones d)1001 comisiones e)2277 comisiones. tres veces m´s probable que C y un medio m´s probable a a a que su complemento.40 Cap´ ıtulo 2. Suponga queP (A) = 0.6.A. Se sabe que: El 5% aprob´ las o o tres asignaturas. el 25% aprob´ A y C. el o o o o 40% aprob´ A y el 35% aprob´ C. neum´ticos panteros(B) o a a y radio(C). P (C) = 0. 11 Probabilidad Condicional.P) tales que P (A) = 0. Un grupo de alumnos sigui´ tres asignaturas: A.2 1. Probabilidad 2. o o e Calcule la probabilidad de que: a) Haya aprobado s´lo A. P (A ∩ B ∩ C) = φ a) Calcular la probabilidad de que no ocurre ninguno. el 85% requieren A o C. Ac . Independencia y Teorema de Bayes Los eventos A y B son disjuntos y uno de ellos debe ocurrir.2.1. o o d) El pr´ximo cliente no solicite ningń extra especial. el 80% solicitan C .4. Calcular la probabilidad que: a) El pr´ximo cliente solicite las tres opciones. o c) Haya reprobado B. pero no C. o u 11 Examen recuperativo 2003 Recopilaciń. 3. P (A ∩ B c ) = 0. el 80% no aprob´ B. Encuentre P (B ∪ C) y P (B ∩ C). Resp:P (B ∪ C) = 5/18 y P (B ∩ C) = 0 4.5 b) 0. Si se elige al azar un alumno de ´ste grupo.1. Rodr´ o o o ıguez F. Encuentre P (A ∪ B c ). Tambiń se sabe que A es dos e veces m´s probable que B. o o c) El pr´ximo cliente solicite s´lo una de las tres opciones. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. e o Resp:a)0.4. b) Determine la probabilidad de que ocurren A y B. B y C tres sucesos de un espacio probabil´ ıstico (Ω. Encuentre p. . By C. Si el 70% de los clientes solicitan A. el 75% solicitan B. P (A ∪ B) = 0. o b) El pr´ximo cliente solicite s´lo una radio. Un vendedor de autos nuevos ha comprobado que los clientes solicitan en especial algunos de los siguientes extras: transmiciń autom´tica (A).2 b)0. Resp: a)0.3 c)0. sabiendo que aprob´ A y B. o b) Haya aprobado todas las asignaturas. el 80% requieren A o B.167 5.1 6. √ Resp:p = (−1 + 5)/2 2. P (A ∩ B) = 0. sabiendo que tambiń reprob´ A. P (B c ) = 0. el 45% aprob´ A ´ B.3. Se sabe que A contiene a B y que es disjunto con C. Sus probabilidades son p y p2 respectivamente. el 90% requieren B o C y el 95% requieren A o B o C.5. Sean A. 35 y P (B ∩ C) =P (B) + P (C) − P (B ∪ C) =0. P (B ∪ C) = 0.A. P (A ∩ B) = 2/5. P (B ∩ C) = 1/5.55 Volviendo a (*) y por lo anterior se tiene P (A ∩ B ∩ C) = 0. B y C tres sucesos de un espacio probabil´ ıstico (Ω.8 =0. P (C) = 0.8 − 0. .8 + P (A ∩ B) + P (A ∩ C) + P (B ∩ C) (∗) Primero calculemos P (A ∩ B) =P (A) + P (B) − P (A ∪ B) =0. P (A ∪ B ∪ C) = 0.9 b)0. e Resp:a)0.8 − 0. P (A ∪ C) = 0.05 Respuesta parte a) Se sabe P (A) = 0.9 =0.2 Ejercicios Propuestos Resp: a) 0.3 d)0.25 b)0. P (A ∩ B ∩ C) = 1/10 a) Calcular la probabilidad de que ocurra al menos uno de los sucesos anteriores.85.4. P (C) = 3/5. P (B) = 0. Rodr´ o o o ıguez F. b) ¿Cu´l es la probabilidad de que no ocurra ninguno de los sucesos anteriores? a c) Determinar la probabilidad de que ocurran exactamente dos de ´stos sucesos.P (B) = 7/10.8. Sean A.65. P (A ∩ C) = 2/5.4 + 0.95 − 0.9.85 =0.65 − 0.P) tales que P (A) = 5/10.1 c)0.4 + 0.8 c)0.65 − 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. P (A ∪ B) = 0.8.25 7.25 y P (A ∩ C) =P (A) + P (C) − P (A ∪ C) =0.4 − 0. .65 + 0.2.95 Nos interesa P (A ∩ B ∩ C) 41 P (A ∩ B ∩ C) =P (A ∪ B ∪ C) − P (A) − P (B) − P (C) + P (A ∩ B) + P (A ∩ C) + P (B ∩ C) =0.8 Recopilaciń. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que las dos fichas extra´ a ıdas sean blancas? b) ¿Cu´l es la probabilidad de obtener una ficha negra en la primera extracciń y a o una blanca en la segunda extracciń? o n1 Resp: a) ( n1n1 2 ) × ( n1n1 −1 ) b)( n1n2 2 ) × ( n1 +n2 −1 ) +n +n2 −1 +n Recopilaciń. se extraen al azar dos fichas sin reemplazo. Rodr´ o o o ıguez F. e) Obtener una ficha que tenga una A sabiendo que es negra. ¿cu´l es la probabilidad a que el tercero extra´ sea bueno? ıdo c) Si los dos primeros estaban buenos. Probabilidad P (A ∪ B ∪ C) =P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) =5/10 + 7/10 + 3/5 − 2/5 − 2/5 − 1/5 + 1/10 =0. de los cuales 5 son defectuosas. o a) ¿Cu´l es la probabilidad que los tres sean defectuosos? a b) Si cada una de las dos primeras se extrajo un defectuoso. la composiciń de la caja es: o N B 5 3 1 2 6 5 Total 8 3 11 A C Total Calcular la probabilidad de: a) Obtener una ficha negra.15 9. . c) Obtener una ficha que tenga una A. ¿cu´l es la probabilidad que el tercero extra´ a ıdo sea defectuoso? d) ¿Cu´l es la probabilidad que los dos primeros sean buenos y el tercero defectuoso? a Resp:a)0. Un caja contiene fichas blancas y negras cada una de las cuales tiene grabadas una letra A o C.0087 b)0. b) Que una ficha sea negra si se sabemos que tiene una A.277 d)0. en sucesiń y sin remplazo. Suponga que una una caja con n1 fichas blancas y n2 fichas negras. Si tres de estos fusibles son tomados al azar.83 c)0.42 Respuesta a) Se pide P (A ∪ B ∪ C) Cap´ ıtulo 2. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. d) Obtener una ficha negra con una A. Resp: a)6/11 b)5/8 c)8/11 d)5/11 e)5/11 10.9 8. Una caja de fusibles contiene 20 unidades. ¿Cu´l es la probabilidad que: a a) el primero sea f´ ısico y el segundo qu´ ımico? b) el segundo es qu´ ımico? c) los dos sean f´ ısicos? d) Si se eligen cuatro alumnos.20. Los interruptores trabajan en forma independiente.34 14. a) ¿Cu´l es la confiabilidad de la combinaciń de los interruptores? a o b) ¿Cu´l es la probabilidad.9. Dos m´quinas de una planta elaboran el 10% y el 90% de la producciń total de cierto a o art´ ıculo. 43 . o a) ¿Cu´l es la probabilidad que dicho estudiante apruebe su examen final?.2.7.27 c)0. que solo trabaje el primer interruptor? a c) ¿Cu´l es la probabilidad que s´lo uno de los interruptores trabaje? a o Resp:a)0. a) ¿Son A y B eventos mutuamente excluyentes? b) ¿Es A ⊂ B? c) ¿Son A y B eventos independientes? d) Determine P (Ac |B c ) Recopilaciń. Se usa un interruptor para cortar un flujo cuando este alcanza un cierto nivel de profundidad en un estanque. Un segundo tipo de interruptor es puesto en paralelo y su confiabilidad es 0. ¿cu´l es la probabilidad que ´l haya estudiado? o a e Resp:a) 0.01 y 0. ¿Cu´l es la probabilidad que un art´ a ıculo tomado al azar de la producciń de un d´ haya sido producido con la primera m´quina. uno a continuaciń del otro.97 b)0.2 Ejercicios Propuestos 11. Rodr´ o o o ıguez F. La probabilidad de producir un art´ ıculo defectuoso con dichas m´quinas es a 0.56 b)0.50. Se eligen al azar dos de ellos. tales que: P (A) = 1/4. sabiendo que o ıa a es defectuoso? 15. ¿Cu´l es la probabilidad o a que los primeros sean f´ ısicos y los dos ultimos qu´ ´ ımicos? e) ¿Cu´l es la probabilidad que sean alternados las carreras? a Resp:a)5/18 b)4/9 c)5/18 d)5/63 e)10/63 12. Si estudia . a b) Dado que aprob´ su examen. P (B|A) = 1/2 y P (A|B) = 1/4.286 13. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Un grupo de alumnos est´ compuesto de cuatro Qu´ a ımicos y cinco F´ ısicos. La confiabilidad del interruptor(probabilidad que trabaje cuando debe) se supone de 0. La probabilidad que un estudiante estudie para un examen final es 0. la probabilidad de que apruebe el examen es 0.05 respectivamente. la probabilidad es de s´lo 0. Sean A y B dos eventos asociados a un espacio muestral Ω.8 en tanto que si no estudia. Recopilaciń. Calcular: a) Probabilidad de que ambos se titulen en cinco aõs m´s. c) Probabilidad de que el alumno no se titule y la alumna s´ ı. Probabilidad 16.44 Cap´ ıtulo 2. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. n La probabilidad que una alumna de dicho curso tenga su t´ ıtulo en cinco aõs m´s es n a 5/8. Rodr´ o o o ıguez F. La probabilidad que un alumno de un curso determinado se titule en cinco aõs es 3/5. . n a b) Probabilidad de que al menos uno de ellos lo haga. dos de cinco pesos y una de diez pesos. 11. Encuentre: a) La funciń de distribuciń acumulada de probabilidades de X.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 11 Usted tiene cinco monedas en su bolsillo. Rodr´ o o o ıguez F. donde las monedas de igual valor son distinguibles. o o b) P (X ≤ 10|X ≤ 15). c) La funciń generadora de momentos y calcule mediante ´sta la esperanza y la desviao e ciń estńdar de X e interprete. . 12.Cap´ ıtulo 3 Variable Aleatoria Discreta 3. 20} MX (t) = E[etx ] = x∈RX etx P (X = x) luego la funciń generadora esta dado por: o 1 I2 segundo semestre 2003 Recopilaciń. dos de un peso. Tres monedas son extra´ ıdas al azar.X≤15) P (X≤15) = = 2 5 c) Sabemos de a) que el recorrido de X esta dado por RX = {7. Sea X la cantidad extra´ ıda(en pesos). o a ´ SOLUCION X P (X = x) 7 2 10 a) 11 12 2 10 1 10 16 20 4 10 1 10 2 10 5 10 b) P (X ≤ 10|X ≤ 15) = P (X≤10. 16. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. ii) Calcule E[X] y V [X].4 De aqu´ se obtiene la funciń de probabilidad para Y ı o 2 I2 Segundo semestre 2001 Recopilaciń. o o b) Defina Y = X 2 + 1 i) Determine la funciń de distribuciń acumulada de la variable aleatoria asociada o o a Y.2 + 0.3 0.46 MX (t) = 1 (2e7t 10 Cap´ ıtulo 3. . ´ SOLUCION a) X -2 P (X = x) 0.2 V [X] = M X (0) − {M X (0)}2 = 190. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.1 0.3 i) P (Y = 1) = P (X = 0) = 0.56 PROBLEMA 22 Considere la v.1 = 0.2 1 0.2 = 0.5 1 2 0.2 2 0. Rodr´ o o o ıguez F. Variable Aleatoria Discreta + 2e11t + e12t + 4e16t + e20t ) calculemos ahora el primer y el segundo momento M X (t) M X (t) = = 1 (14e7t 10 1 (14 10 + 22e11t + 12e12t + 64e16t + 20e20t ) × 7e7t + 22 × 11e11t + 12 × 12e12t + 64 × 16e16t + 20 × 20e20t ) evaluando ahora en cero obtenemos la esperanza y varianza E[X] = = M X (0) 13. X con funciń de distribuciń acumulada F (x) dada por: o o -2 -1 0 X F (x) 0.7 1 a) Determine la funciń de distribuciń de la variable alatoria X.2)2 = 16. P (Y = 5) = P (X = 2) + P (X = −2) = 0.3 + 0.2 0.4.8 − (13. P (Y = 2) = P (X = −1) + P (X = 1) = 0.a.2.1 b) -1 0 0. Cualquiera persona que compre un helado y le salga “vale otroobtiene uno gratis. Estos helados cuestan 100 pesos cada uno. decide comprar estos helados hasta obtener uno gratis.8 PROBLEMA 33 Para promocionar sus helados de paleta. una f´brica pone cada 15 helados una etiqueta que a dice “vale otro”.4 = 3 y 2 p(y) = 12 × 0. ¿Cuńto esperar´ gastar? a ıa ´ SOLUCION Sea X : n´mero de helados hasta obtener uno gratis.3. Si Ud.8 y E[Y 2 ] = V [Y ] = E[Y 2 ] − (E[Y ])2 = 11. a) ¿Cu´l es la probabilidad que le tome menos de cinco lanzamientos para efectuar un a segundo acierto? b) ¿Cu´l es la probabilidad que le tome menos de cinco lanzamientos para efectuar su a primer acierto? 3 4 I2 segundo semestre de 2003 I2 segundo semestre de 2003 Recopilaciń. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.2 ii) E[Y ] = y 2 0.8 − 32 = 2. se esperar´ gastar $1500.4 + 5 × 0. Suponga que sus lanzamientos son ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de acertar de 0. Rodr´ o o o ıguez F.4 = 11.4 + 52 × 0.4 5 0.1 Ejercicios Resueltos 47 Y 1 P (Y = y) 0.7. ıa PROBLEMA 44 Un basquetbolista efectá repetidos lanzamientos desde una l´ u ınea de tiros libres.6 1 yp(y) = 1 × 0.2 La funciń de distribuciń es: o o Y 1 F (y) 0. .4 2 5 0.2 + 22 × 0. X ∼ G(p = u E[X] = 1 p 1 ) 15 = 15 helados pero como cada helado cuesta $100.2 + 2 × 0. 7) u E[Z] = PROBLEMA 55 En cierta ´rea rural.0001 × 0. una extraã enfermedad est´ afectando a uno de cada 100 niõs.2244 TAV 2004 Recopilaciń. p = 0. . X ∼ P (λ = np = 300 × 0. p = 0. a) Se tiene la informaciń que en el sector existen un total de 300 niõs. X ∼ G(p = 0.012 0.72 0. Rodr´ o o o ıguez F. Z ∼ Bineg(r = 4. aparece un caso cada 30 d´ ıas. Adem´s a n a n a se observa que en promedio. Variable Aleatoria Discreta c) ¿Cu´l es el n´mero esperado de lanzamientos para lograr su cuarto acierto? a u ´ SOLUCION a) Y :“n´mero de lanzamientos hasta el segundo acierto”.9919 c) Z :“n´mero de lanzamientos hasta el cuarto acierto”.7 = 5. determine la o n probabilidad que la extraã enfermedad afecte tan s´lo a 2 de ellos.3y−2 = 0.7) u P (X < 5) = 1 − P (X ≥ 5) = 1 − P (X = 5) = 1 − 0. Y ∼ Bineg(r = 2.0500 = 0.99298 = 44850 × 0.7143 = 0.9163 1 b) X :“n´mero de lanzamientos hasta el primer acierto”. p = 0. Hacerlo de dos n o formas diferentes.34 = 0.48 Cap´ ıtulo 3. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.01) P (X = 2) = 5 300 2 0. ´ SOLUCION a) Primera Forma X :“n´mero de casos afectados en 30 d´ u ıas”.01 = 3) P (X = 2) = 32 e−3 2! 4 0. b) Determine la probabilidad que en un per´ ıodo de 15 d´ se observe 2 casos como m´ ıas ınimo.22404 Segunda Forma X ∼ Bin(n = 300.7) u 4 y=2 y−1 0. 3. 2.00004 X : n´mero de mutuaciones. X ∼ Bin(n. . segundo semestre de 2000 I2 segundo semestre de 2001 Recopilaciń. entonces X ∼ P (λ) con λ = n × p) ´ SOLUCION P (presenta mutuaciń) = o 4 105 = 0. p) con n > 30 y p ≈ 0. p).00004) ⇒ X ∼ P (λ = 8) k e−8 ⇒ P (X = k) = 8 k! . 1. Luego P (6 ≤ X ≤ 10) = e−8 PROBLEMA 77 Seãle si es verdadero(V) o falso(F). o viceversa. . Rodr´ o o o ıguez F. . justifique cuando sea falso dando a conocer el verdadero n significado o valor n´merico segń corresponda: u u 6 7 86 6! + 87 7! + 88 8! + 89 9! + 810 10! = 0.00004 a) n = 200000 y p = 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. .1 Ejercicios Resueltos b) λ = 1/2 λ = 1 casos 30dias 49 = 1 2 casos 15dias 10 2 11 2 ∴ P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − e−1/2 PROBLEMA 66 0! + 0! = 0. k = 0. p = 0. u Luego E(X) = n × p = 8 b) P (6 ≤ X ≤ 10) = P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) Nota: X ∼ Bin(n = 200000. cuatro de cada 105 espermatozoide presentan una mutuaciń del o color rojo de los ojos a blanco.0902 En las moscas de la fruta.6246 I2. ambas inclusive para el caso a de 200000 espermatozoide? (Nota: Si X ∼ Bin(n. a) ¿Cuńtas mutuaciones esperar´ usted que se produjesen en 200000 espermatozoide? a ıa Justifique b) ¿Cu´l es la probabilidad de que se produzcan entre 6 y 10. d) Ser´ cierto que: a E[g(x)] = x g(x)P (X = x) e) En el modelo Hipergeom´trico el tipo de muestreo es con restituciń(esto es. entonces P (X ≥ 6) = 0. y P (X = 7) = P (X = 6) + P (X = 7) = 0. f) Si X ∼ P oisson(4). Rodr´ o o o ıguez F.a. p).10. −4) donde P (X = 6) = 4 e6! = 0. entran en contacto con un portador de la enfermedad. P (X ≥ 6) = P (X = 6) + P (X = 7) + . entonces X es el n´mero de la repeticiń en la cual se obtiene ´xiste u o e por 3 vez.1042 6 ( 47 e( −4) 7! = 0. c) Verdadero. . o f) Falso. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que por lo menos dos personas contraigan la enfermedad? a b) ¿Cuńtos se espera que contraigan la enfermedad? a 8 I2 segundo semestre de 2001 Recopilaciń. . o e b) Falso. ´ SOLUCION a) Falso. cada uno de ellos propenso a la tuberculosis.05954 lo que implica PROBLEMA 88 Diez individuos. Variable Aleatoria Discreta a) Si X ∼ Geo(p).1042. X: n◦ de la repeticiń en la cual se obtiene ´xito por primera vez. La probabilidad de que la persona se contagie del portador a un sujeto cualquiera es 0. n es conocido. b) Si X ∼ Bin(n. X : n´mero de ocurrencias en el intervalo o regiń tiene una distribuciń de u o o P oisson con tasa λ.104195. es sin reposiciń. entonces X es el n´mero de veces que ocurre ´xito en una cantidad u e n(n : indefinida). c) La v. se toman e o elementos uno a uno y cada vez que se saca uno de ellos se devuelve).1637 > 0. . d) Verdadero.50 Cap´ ıtulo 3. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. e) Falso. .4 E[X 2 ] = x 9 I2 segundo semestre de 2001 Recopilaciń.6 1 2 0. 0.910 + 0.2 xp(x) = 1 × 0.2639 ≈ 3 PROBLEMA 99 Un comit´ de 3 integrantes se forma aleatoriamente seleccionado de entre 4 doctores y dos e enfermeras.1 Ejercicios Resueltos ´ SOLUCION a) X:“n◦ de personas que contraen la enfermedad.10 0.2 0. 3}) e P (X = 1) = Luego X P (X = x) b) E[X] = x 4 1 6 3 2 2 = 0.3. e b) Encuentre P (X ≤ 4σ). (se eligen uno a uno las personas y estas no se vuelve a considerar en el siguiente paso) a) Escriba la funciń de probabilidad para la variable aleatoria X que representa el n´mero o u de doctores en el comit´.2639 b) E[X] = n × p = 10 × 0.2 P (X = 2) = 4 2 6 3 2 1 = 0.2 + 2 × 0.2 + 22 × 0.2 = 2 x2 p(x) = 12 × 0. 2.2 = 4.6 + 32 × 0.6 + 3 × 0. Rodr´ o o o ıguez F.6 3 0. (X ∼ (10.99 0 1 =0.1)) 51 P (X ≥ 2) =1 − P (X < 2) =1 − [P (X = 0) + P (X = 1)] 10 10 =1 − 0. ´ SOLUCION a) X : n◦ de doctores en el comit´ (X ∈ {1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.11 0. 52 Cap´ ıtulo 3. Variable Aleatoria Discreta V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 = 4.4 − 22 = 0.4 ⇒ σ = 0.6324555 Luego P (X ≤ 4σ) = = = = PROBLEMA 1010 El n´mero de infracciones expedidas por un lector de parqu´ u ımetro puede modelarse mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante a una hora en particular? b) ¿Cu´l es la probabilidad de que por lo menos cuatro se expidan durante una hora en a particular? c) ¿Cuńtas infracciones se espera expedir durante un per´ a ıodo de 45 minutos? ´ SOLUCION X : n´mero de infracciones expedidas por un lector de parqu´ u ımetro X ∼ P oisson(λ = 5) a) P (X = 4) = b) P (X ≥ 4) =1 − P (X < 4) =1 − P (X ≥ 3) =1 − [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] =1 − 0.265 =0.735 c) λ = 5 × 45 60 e−5 ×54 4! P (X ≤ 2.5298) P (X = 1) + P (X = 2) 0.2 + 0.6 0.8 = 3.75 10 TAV 2004 Recopilaciń, Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. 3.2 Problemas Propuestos 53 3.2 1. 11 Problemas Propuestos Una gran empresa qu´ ımica compra varios componentes de laboratorio cada aõ, cuya n cantidad depende de la frecuencia de reparaciones en el aõ anterior. Suponga que el n n´mero de componentes de laboratorio, X, que se compran cada aõ tiene la siguiente u n distribuciń de probabilidad. o x p(x) a) Calcular E[X], E[X 2 ] y V ar[X]. b) Si el costo del modelo que se desea adquirir permanece sin cambio en $1200 durante un aõ y se ofrece un descuento de 50X 2 en cualquier compra, ¿Cuńto n a dinero espera esta firma invertir en componentes de laboratorio para fin de aõ? n 0 1 10 1 3 10 2 3 2 5 1 5 2. 12 Cierta empresa env´ 40% de sus paquetes de correo nocturnos por servicio de correo ıa expreso E1 . De estos paquetes, 2% llega despu´s de la hora garantizada de entrega e (seãlar con L el evento de entregado tarde). n a) Si se selecciona al azar un registro de env´ nocturnos de los archivos de la ıos compa˜´ ¿Cu´l es la probabilidad de que el paquete sea enviado v´ E1 y llegue nıa, a ıa tarde? Suponga ahora que el 50% de los paquetes nocturnos son enviados por servicio de correo expreso E2 y el restante 10% son enviados por E3 . De los enviados por E2 s´lo o el 1% llega tarde, mientras que 5% de los paquetes manejados por E3 llega tarde. b) ¿Cu´l es la probabilidad de que un paquete seleccionado al azar llegue tarde? a c) Si un paquete seleccionado al azar llega a tiempo, ¿cu´l es la probabilidad de que a no haya sido enviado por E1 ? 13 3. En cierto servicio telefńico, la probabilidad de que una llamada sea contestada en o menos de 30 segundos es 0.75. Suponga que las llamadas son independientes. a) Si una persona llama 10 veces, ¿cu´l es la probabilidad de que exactamente nueve a de las llamadas sean contestadas en un espacio de 30 segundos? b) Si una persona llama 20 veces, ¿cu´l es la probabilidad de que al menos 16 de las a llamadas sean contestadas en menos de 30 segundos? c) Si una persona llama 20 veces, ¿cu´l es el n´mero promedio de llamadas que serń a u a contestadas en menos de 30 segundos? 11 12 I1 segundo semestre de 2002 I1 segundo semestre de 2002 13 I1 segundo semestre de 2002 Recopilaciń, Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. 54 Cap´ ıtulo 3. Variable Aleatoria Discreta d) ¿Cu´l es la probabilidad de tener que llamar cuatro veces para obtener la primera a respuesta en menos de 30 segundos? e) ¿Cu´l es el n´mero promedio de llamadas necesario para obtener dos respuestas a u en menos de 30 segundos? 4. Un Asociaciń de qu´ o ımicos comienza una campaã telefńica con el prop´sito de aun o o mentar el n´mero de socios. Con base en experiencia previa, se sabe que una de cada u 20 personas que reciben la llamada se une al club. Si en un d´ 25 personas reciben la ıa llamada telefńica. o a) ¿Cu´l es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas se inscriben en el a Asociaciń? o b) ¿Cu´l es el n´mero esperado de personas? a u Resp. a)0.3576 b)aprox 1. 5. La probabilidad de que una persona tenga una mala reacciń a la inyecciń de detero o minado suero es 0.001, determine la probabilidad de que 20 individuos, a) exactamente tres tengan una reacciń mala. o b) M´s de dos individuos tengan una reacciń mala. a o c) ¿Cu´l es el n´mero de individuos que se espera que tengan una mala reacciń? a u o Resp: a)0.000001120 b)1.125 × 10−6 c)0.02 6. La Colorado Power Company proporciona tarifas m´s bajas a los clientes que prefieran a las horas de menos consumo, el 30% de sus clientes aprovecha estos ahorros. El departamento de servicios a clientes ha elegido a 12 clientes al azar para que participen en un grupo de inter´s para discutir a qu´ horas se produce el mayor consumo de energ´ Al e e ıa. departamento de supervisiń le preocupa que el grupo contenga una gran proporciń o o de usuarios que prefieran la tarifa baja. a) ¿Cu´l es la probabilidad de obtener menos de tres usarios de tarifa baja en el a grupo de inter´s? e b) ¿Cu´l es la probabilidad de obtener m´s de cuatro usuarios de tarifa baja en el a a grupo de inter´s? e c) ¿Cu´l es la probabilidad de obtener menos de ocho clientes normales en el grupo a de inter´s? e d) calcule la media y la desviaciń estńdar para los usuarios de tarifa baja en el o a grupo de inter´s. e Resp: a)0.253 b)0.276 c)0.275 d)3.6 y 1.59. 7. El 60% de los residentes de la regiń metropolitana se registraron para votar. Si se o elige al azar 10 personas con edad para votar, encuentre la probabilidad de obtener: a) diez electores registrados Recopilaciń, Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. la aerol´ ınea vende 125 boletos para un vuelo de 120 pasajeros.3. se incurre en un costo adicional de $300 debido a ciertos cambios que deben efectuarse antes de que se intente un nuevo experimento.9984 c)0. a)0.989 9.008 11.2 Problemas Propuestos b) exactamente cinco electores registrados c) ningń elector registrado u Resp: a)0. La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molćula rara es 0. ¿cu´l es la e o a probabilidad de que ocurran menos de cinco reacciones negativas antes de la primera Recopilaciń. La probabilidad de que un pasajero no aborde el vuelo es 0. ¿cu´l es el u a costo esperado del procedimiento completo? Resp: $6200 12.0029 10.8. Suponiendo independencia de un d´ con otro.2.0064 b)0.01. Rodr´ o o o ıguez F. Si la probabilidad de que cierto examen d´ una reacciń positiva igual a 0. Dado que no todos los pasajeros de una aerol´ ınea abordan el vuelo para el que han reservado un lugar. La probabilidad de un alineamiento ´ptico exitoso en el ensamblado de un producto de o almacenamiento ´ptico de datos es 0. Si la probabilidad de ´xito e en cualquiera de los ensayos es 0.10. Suponga que los ensayos son independientes. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. ¿cu´l es la probabilidad de que la primera tormenta con truenos del ıa a verano ocurra el d´ 3 del segundo mes?(considere 1 mes=31 d´ ıa ıas) Resp:0. Supńgase que el costo de efectuar en experimento qu´ o ımco es $1000. Si el experimento falla. o a) ¿Cu´l es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera exactaa mente cuatro ensayos? b) ¿Cu´l es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera como a m´ximo cuatro ensayos? a c) ¿Cu´l es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera al menos a cuatro ensayos? Resp.006 b)0. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que todos los pasajeros aborden el vuelo? a b) ¿Cu´l es la probabilidad de que el vuelo parta vac´ a ıo? Resp: a)0.1. ¿cu´l es la probabilidad de que sea necesario analizar exactamente 125 muestras a antes de detectar una molćula rara? e Resp: 0.996 b)0. Si se e supone que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molćula e rara. la probabilidad de que ocurra una tormenta con truenos en un d´ o ıa cualquier durante dos meses de verano es igual a 0. y el comportamiento de los pasajeros es independiente.4. si los ensayos aislados son independientes y si los experimentos continán hasta que se obtiene el primer resultado exitoso.003 13. En cierta regiń. 55 .201 c)0 8. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que las tres computadoras fallen durante un vuelo de a cinco horas? b) ¿Cu´l es el tiempo promedio de las tres computadoras fallen? a Resp:a)1. Un lote de piezas contiene 100 de un proveedor local de tuber´ y 200 de un proveedor ıa.Suponga que el lote contiene 4 defectuosos.De otra manera el lote rechazado. Un lote de 25 tubos de ensayo se someten a inspecciń. Si menos de 2 tubos fallan. Un auditor elige tres cuentas al azar de un grupo de 10 para examinarlas con todo cuidado. Durante una hora de operaciń. 15. La compa˜´ a la que se le hace la auditor´ sabe que cuatro de las cuentas nıa ıa de impuestos tiene errores. a) ¿Cu´l es la probabilidad que todas provengan del proveedor local? a b) ¿Cu´l es la probabilidad de que 2 o mas piezas de la muestra sean del proveedor a local? Recopilaciń. sin reemplazo y someterlos a prueba. La escala electrńica de un proceso de llenado autom´tico detiene la l´ o a ınea de producciń despu´s de haber detectado tres paquetes con un peso menor de lo especificado. .0005. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Si se eligen cuatro piezas al azar y sin reemplazo. o a) ¿Cu´l es el n´mero promedio de operaciones de llenado antes de que detenga la a u l´ ınea de producciń? o b) ¿Cu´l es la desviaciń estńdar del n´mero de operaciones de llenado antes que a o a u se detenga la l´ ınea de producci´? o Resp:a)3000 b)1731. del mismo material. S´lo una de e o ellas se utiliza para controlar la nave. la probabilidad de falla o en el computador primario(o en cualquiera de los sistemas de reserva que se encuentre activo) es 0. Si se supone que cada hora representa un ensayo independiente.001 y que cada operaciń de llenado es independiente.8335 b)1 18. Rodr´ o o o ıguez F. ¿Cu´l es la probabilidad de que las tres cuentas elegidas a no tengan errores? Resp: 0. pero de otro estado.92 Cap´ ıtulo 3.18 16. o e Suponga que la probabilidad de llenar un paquete con un peso menor es de 0. El procedimiento consiste en o extraer 5 al azar. las otras dos son reservas que se activan en caso de falla en el sistema primario. Una aeronave de alto rendimiento contiene tres computadoras idńticas. el lote es aceptado. a) ¿Cu´l es la probabilidad que el lote sea aceptado? a b ¿Cu´l es el n´mero esperados de tubos defectuosos en la muestra? a u Resp: a)0.167 17.249 × 10−9 b)6000 horas.56 positiva? Resp:0. Variable Aleatoria Discreta 14. Determine la probabilidad de: a) Tener exactamente dos fallas en un mil´ ımetro de alambre. Un comprador observa que son cinco las que fallan antes de las 1000 horas. Si el n´mero de componentes que fallan es una v. b) Determine la probabilidad de tener 10 fallas en dos mil´ ımetros de alambre. c) Determine la probabilidad de tener al menos una falla en dos metros de alambre.0361 21. El inspector de calidad en unos de los controles habituales determin´ que el n´mero de fallas est´ descrito por una distribucciń de o u a o Poisson con una media de 2. Resp:a)0.2 Problemas Propuestos c) ¿Cu´l es la probabilidad de que al menos una pieza sea del proveedor local? a Resp: a)0.908 22. . a) Determine la probabilidad de tener exactamente dos fallas en un mil´ ımetro de alambre.3 fallas por mil´ o ımetros.9899 57 Recopilaciń. ¿exista u suficiente evidencia para dudar de la conclusiń del fabricante? o Resp:0.01175 c)0.3. Suponga que en un cruce transitado ocurren de manera aleatoria e independiente dos accidentes por semana.0119 b)0.989948 20. Una industria acerera fabrica una muestra reducida de alambre delgado de cobre para ser ofertado a los clientes preferenciales. Rodr´ o o o ıguez F.265 b)0.2652 b)0.113 c)0. s´lo fallarń dos componentes antes de tener o a 1000 horas de prueba.196 19. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. a) Determinar la probabilidad de que ocurra un accidente en la pr´xima semana. b) Tener 10 fallas en cinco mil´ ımetros de alambre. o b) ¿Cu´l es la probabilidad que en per´ a ıodo de dos semanas ocurran al menos dos accidentes? Resp: a)0. Suponga que el n´mero de fallas en un alambre delgado esta descrito por una distriu buciń de Poisson con una media de 2. c) Tener al menos una falla en dos mil´ ımetro de alambre.3 fallas por mil´ ımetro.2707 b)0. de Poisson.a. el fabricante determina que en promedio. Resp:a)0. Despu´s de una prueba de laboratorio muy rigurosa con cierto componente qu´ e ımico.408 c)0. Variable Aleatoria Discreta Recopilaciń. .58 Cap´ ıtulo 3. Rodr´ o o o ıguez F. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. el objetivo no se ha logrado.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 11 Un estudio realizado por investigadores.1%. demostr´ que una dieta de 12 d´ basada en alimentos sin colesterol junto con un poco de o ıas ejercicio moderado.1% y 12. en cambio si la disminuciń o es por debajo del 10. determine la cantidad de personas que caerń en cada a categor´ ıa. con pacientes con altos niveles de colesterol. desencadena una baja en tales niveles en la sangre.5%. Demostr´ adem´s o a que la p´rdida representa un comportamiento de tipo normal con una media del 15% y una e desviaciń estńdar del 2.Cap´ ıtulo 4 Variable Aleatoria Continua 4. Rodr´ o o o ıguez F. . o a a) Para los investigadores. la disminuciń de los niveles de colesterol por sobre el 12. b) Para un grupo de 5 pacientes que realiza la dieta. Si la disminuciń se ubica entre o el 10.1 muestra la disminuciń de los niveles de colesterol o n = 5400 pacientes. Suponga que se someterń a este a tipo de dieta 5400 pacientes.5% o se considera como un objetivo logrado en su totalidad. X ∼ N (15%. (2. el objetivo se ha logrado medianamente.5%)2 ) Definamos L:logrado. NL: no logrado. X :“perdida en los niveles de colesterol”. determine la probabilidad que 3 de ellos logren el objetivo en su totalidad ´ SOLUCION a) La figura 4.5%. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. ML: medianamente logrado 1 I2 recuperativa segundo semestre de 2000 Recopilaciń. Rodr´ o o o ıguez F. Variable Aleatoria Continua L ML NL 10.1337 Luego la cantidad de personas que caerń en cada categor´ es a ıa N1 : n´mero de personas en al categor´ L=5400 × 0.5) =Φ(−1) − Φ(−1.025=135 u ıa N3 : n´mero de personas en al categor´ ML=5400×0.8413 – P (N L) =P (X < 10.5 − 15 =1 − P (Z ≤ ) 2.1 < X < 12.5) 12.1337=722 u ıa Recopilaciń.5% µ = 15% Figura 4. .1% 12.1: – P (L) =P (X > 12. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.5 =Φ(−1.96) =0.5 =1 − Φ(−1) =0.025 – P (M L) =P (10.5) =1 − P (X ≤ 12.1 − 15 =1 − P (Z ≤ ) 2.1) 10.96) =0.8413=4543 u ıa N2 : n´mero de personas en al categor´ NL=5400 ×0.60 Cap´ ıtulo 4. y encuentre µY y σY . u Y ∼ Bin(n = 5. Rodr´ o o o ıguez F. ı a 2 σP = 4000000 Segunda forma P = 1000X + 500 lo que es equivalente 2 P −500 1000 =x I2 segundo semestre 2003 Recopilaciń.5955 × 0. p = 0.3489796 b) Primera forma Como X ∼ N (5. 4) P (X ≥ x) = 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.1 Ejercicios Resueltos b) n = 5.15872 = 10 × 0. 10002 × 4 = 4000000) .0252 = 0. aqu´ sus par´metros son µP = 5500.4. dedica diariamente a estudiar el curso de M´todos Estad´ e ısticos.84133 0.25 1 − P (X ≤ x) = 0. a Supongamos que cada padre le paga a un hijo por estudiar estas horas diarias y adem´s a definamos este pago mediante la funciń P (X) = 1000X + 500. Encuentre el valor de x. es una variable aleatoria normal con media de 5 horas y desviaciń estńdar de 2 horas. donde X ∼ N (5.75 2 luego x = 6. . o a a) Si el 25% de los alumnos estudian m´s de x horas diarias. Y : n´mero de personas que logran el objetivo en su totalidad.15 c) ¿Calcular la probabilidad de que un estudiante gane entre $3500 y $6200 ? ´ SOLUCION a) X : “tiempo que un alumno dedica en estudiar”. o 2 b) Verificar que P (X) es una distribuciń normal. entonces por teorema visto en clase P (X) = 1000X + 500 ∼ N (1000 × 5 + 500 = 5500.25 P (Z ≤ x−5 ) = 0. o 5 3 61 0. 4).8413) ∴ P (Y = 3) = PROBLEMA 22 El tiempo que un alumno de la carrera de Qu´ ımica y Farmacia. o.6368 − 0.5 onzas.9% de los zapatos tiene un peso menor que 13 onzas? ´ SOLUCION Sea X :“peso del zapato”.999 = 3. o c) P (3500 ≤ p ≤ 6200) = = = = = P (− 3500−5500 ≤ z ≤ 2000 P (−1 ≤ z ≤ 0. Rodr´ o o o ıguez F. 3 4 Examen segundo semestre de 2001 I2 segundo semestre de 2003 Recopilaciń.999 ⇒ P (Z < Luego 1 σ = 0.4781 6200−5500 ) 2000 La probabilidad de que un estudiante gane entre $3500 y $6200 es de 0.62 Cap´ ıtulo 4.5 = P (Z > 2) = P (Z < −2) = 0. entonces σ = 0.σ 2 = 4000000). .c.1.322 PROBLEMA 44 Se tiene la siguiente funciń o  0≤x≤1  cx c(2 − x)/2 1 < x ≤ 2 f (x) =  0 e.0228 13−12 ) σ b) P (X < 13) = 0.35) − Φ(−1) 0.35) Φ(0.5)2 ) a) P (X > 13) = P (Z > 13−12 ) 0. X ∼ N (12. o a a) ¿Cu´l es la probabilidad de que el zapato pese m´s de 13 onzas? a a b) ¿Cu´l debe ser la desviaciń estńdar del peso para que la compa˜´ que los produce a o a nıa pueda garantizar que el 99. PROBLEMA 33 El peso de un moderno zapato deportivo para correr tiene una distribuciń normal con media o 12 onzas y desviaciń estńdar de 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Variable Aleatoria Continua fP (p) = fX = √ p−500 1000 1 1000 (p−5500)2 4×10002 −1 1 e 2 (2×π×4×10002 ) Luego la funciń de densidad se distribuye X ∼ N (µP = 5500.4781. (0.1587 0. entonces FX (t) = 0 • Si 0 ≤ t < 1.1 Ejercicios Resueltos 63 Encuentre el valor de c de modo que la funciń f sea de densidad.4. entonces FX (t) = = • Si t ≥ 2.o.c. P (X = 1) y P (0. entonces FX (t) = • Si 1 ≤ t < 2. Obtengamos la funciń de distribuciń acumulada o o • Si 0 ≤ t.5) o ´ SOLUCION Se debe cumplir que f (x)dx = 1 y f (x) ≥ 0 1 0 cxdx + 2 c(2−x) dx 2 1 c( 1 + 1 ) 2 4 = = c = 1 1 4 3 Luego  0≤x≤1  4x/3 2(2 − x)/2 1 < x ≤ 2 f (x) =  0 e. Rodr´ o o o ıguez F.5). entonces FX (t) = 1 4 xdx 0 3 1 4 xdx + 0 3 2 1 − (2−t) 3 t 2 (2 1 3 t 4 xdx 0 3 = 2 t2 3 − x)dx + 2 2 (2 1 3 − x)dx + t 2 0dx = 1 Luego se tiene la funciń de distribuciń acumulada o o   0  2  2t /3 FX (t) =  1 − (2 − t)2 /3   1 t≤0 0≤t<1 1≤t<2 t≥2 De aqu´ podemos obtener las probabilidades que se piden ı Recopilaciń. obtenga la funciń de o o distribuciń acumulada y calcular P (X ≤ 1.5 ≤ X ≤ 1. . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. 75 5 PROBLEMA 5 Una amplia experiencia en ventiladores de cierto tipo. ha sugerido que la distribuciń exponencial es una buen modelo para el tiempo hasta que se o presente una falla. Suponga que el tiempo medio hasta una falla es de 25 000 horas. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos a 20 000 horas? ¿a lo sumo 30 000 horas? y ¿entre 20 000 y 30 000 horas? b) ¿Cu´l es la probabilidad de que la duraciń de un ventilador exceda el valor medio en a o m´s de 2 desviaciones estńdar? y ¿en m´s de 3 desviaciones estńdar? a a a a ´ SOLUCION T :“tiempo hasta que se presenta una falla” µ = E[T ] = 1 λ T ∼ Exp(λ) = 25000 ⇒ λ = 1 25000 FT (x) = 1 − e−λx 1 V [T ] = λ2 = (25000)2 ⇒ σ = 25000 a) – P (T > 20000) = 1 − P (T ≤ 20000) = 1 − FT (20000) = 1 − 1 − e− 25000 = e− 25 = 0.9166667 • P (X = 1) = 0.64 • P (X ≤ 1.5) − P (X ≤ 0.5) = 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.5 ≤ X ≤ 1.5) = P (X ≤ 1.5) = P (0.449 20 20000 5 TAV 2004 Recopilaciń.5) = FX (1. . Rodr´ o o o ıguez F. Variable Aleatoria Continua = 0. empleados en motores diesel.5 ≤ X ≤ 1.5) − FX (0.5) = 11 12 Cap´ ıtulo 4.5) = FX (1. ya que F es continua en X = 1 • P (0. a. X con funciń de densidad o  0≤x<2  x/4. e. 6 examen segundo semestre de 2003 Recopilaciń. o b) Determinar la funciń de distribuciń acumulada de X y calcular P (X = 2).449] =0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. .5). 2 ≤ x < 4 f (x) =  0. P (1.05 – P (T > µ + 3σ) =P (T > 25000 + 3(25000)) =P (T > 100000) =1 − P (T ≤ 100000) =1 − FT (100000) =0.699 Luego −30000 65 P (20000 < T < 30000) =P (T ≤ 30000) − P (T ≤ 20000) =0.5 ≤ o o X ≤ 3. la venta mensual de cierto producto.o. Rodr´ o o o ıguez F.148 b) – P (T > µ + 2σ) =P (T > 25000 + 2(25000)) =P (T > 75000) =1 − P (T ≤ 75000) =1 − FT (75000) =0.699 − [1 − 0.c. a) Comprobar que la funciń es de densidad.018 PROBLEMA 66 En una industria qu´ ımica.1 Ejercicios Resueltos – P (T ≤ 30000) =FT (30000) =1 − e 25000 =0. en miles de libras. est´ a representado por una v.4. (4 − x)/4. ∀x 2 0 x dx + 4 4 2 x2 (4 − x) dx = 4 8 2 0 + x− x2 8 4 2 1 3 = + 2− 2 2 =1 b) Obtengamos la funciń de distribuciń acumulada o o – Si 0 ≤ t. ¿cu´l es la probabilidad a que se haya tenido una venta de a lo menos 1500 libras? d) Sea Y = 2X − 3. . entonces t FX (t) = 0 x dx 4 t 0 = x2 8 t2 = 8 – Si 2 ≤ t < 4.66 Cap´ ıtulo 4. ´ SOLUCION a) Se debe cumplir que f (x)dx = 1 y f (x) ≥ 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. entonces Recopilaciń. entonces FX (t) = 0 – Si 0 ≤ t < 2. Variable Aleatoria Continua c) Si se sabe que la venta en un mes dado no alcanza a 3000 libras. Rodr´ o o o ıguez F. Determine P (Y > 2). ya que F es continua en X = 2 Recopilaciń. . entonces 2 FX (t) = 0 x dx + 4 4 2 4−x dx 4 =1 Luego se tiene la funciń de distribuciń acumulada o o   0  2  t /8 FX (t) =  t − t2 /8 − 1   1 t≤0 0≤t<2 2≤t<4 t≥4 De aqu´ podemos obtener las probabilidades que se piden ı – P (1. 5 ≤ X ≤ 3.1 Ejercicios Resueltos 67 2 FX (t) = 0 x dx + 4 2 t 2 4−x dx 4 t 2 x2 = 8 x2 + x− 8 0 = 1 t2 1 +t− −2+ 2 8 2 t2 −1 8 =t− – Si t ≥ 4. Rodr´ o o o ıguez F.97 − 0.28 = 0.69 – P (X = 2) = 0.5) = 0.4.5) − FX (1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.5) = FX (3. 5) FX (3) 0. .28 0.68 c) Cap´ ıtulo 4. sea a 0.0204 kg.1984 kg. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que el comerciante compre la partida si es llenado de la a envasadora se distribuye aproximadamente normal? b) Si elige bolsas uno a uno de la producciń diaria ¿cu´l es la probabilidad de que o a encuentre la primera bolsa que pese menos de 6 kg. en la segunda elecciń? o ´ SOLUCION 7 TAV 2004 Recopilaciń.5 < X < 3) P (X < 3) FX (3) − FX (1. sea 0. Variable Aleatoria Continua P (X > 1. es ajustada de tal manera que la probabilidad de que llene una bolsa con menos de 6.68 La probabilidad que haya tenido una venta de a lo menos 1500 libras. Rodr´ o o o ıguez F.08 kg.68 d) P (Y > 2) = P (2X − 3 > 2) = P (X > 5/2) = 1 − FX (5/2) = 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.875 = = = 0.5|X < 3) = P (1. dado que la venta en un mes no alcanza a 3000 libras es de 0.875 − 0. si a lo m´s una de estas bolsas pesan menos de ıa a 6. Un comerciante que desea comprar este producto elige 10 bolsas de la producciń de o un d´ y decide comprar una gran partida.008.102 y que la llene con m´s de 6.28125 PROBLEMA 77 Una envasadora de harina de trigo. 41 Luego µ = 6. p = P (X < 6) = 0.0204−µ σ 6.1984−µ σ 69 = −1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.1984) = 0.04524 PROBLEMA 8 El tiempo de reparaciń en (en horas) T de un art´ o ıculo sigue aproximadamente una distribuciń de probabilidad con densidad o f (t) = te−t .102 P (X ≤ 6.4. donde la constante c es un costo por unidad de tiempo y la variable aleatoria S toma los valores s1 y s2 con probabilidad p y 1 − p respectivamente.0475) =0.27 = 2. Calcule el costo esperado. Calcular su media y varianza.08) = 0.5 a) Y : “n◦ de bolsas que pesan a lo m´s 6.51 0 0 1 =0. X ∼ N (µ. Rodr´ o o o ıguez F. ´ SOLUCION Sea T : tiempo de reparaciń de un art´ o ıculo (en horas). σ = 0.08 kg”Y ∼ Bin(10. P (X < 6. Recopilaciń.51 0 + 0.0475 × (1 − 0.0204) = 0.0475 P (W = 2) =0.992 ⇒ 6. o b) El costo de reparaciń de un art´ o ıculo es S + cT . W ∼ Geom(p).08 (kg). t > 0 a) El factor de depreciaciń Z se define por Z = e−αT . 0. .1 Ejercicios Resueltos X :Contenido de harina de trigo en cada bolas (kg).0107 b) W :“n◦ de bolsas revisadas hasta encontrar la primera que pese menos de 6(kg)”.5) a P (Y ≤ 1) = 10 10 0. σ 2 ) De los datos podemos obtener P (X ≤ 6.048 (kg). Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Recopilaciń. Variable Aleatoria Continua ∞ E[Z] = 0 ∞ e−αt te−t dt = 0 te−(α+1)t dt sea s = (α + 1)t ∞ E[Z] = 0 s e−s ds (α + 1)2 ∞ 0 = 1 (α + 1)2 1 (α + 1)2 se−s ds = ∴ E[Z] = 1 (α+1)2 V [Z] = E[Z 2 ] − (E[Z])2 ∞ 0 ∞ E[Z ] = 2 e−2αt te−t dt = 0 ∞ te−(2α+1)t dt s e−s ds 2 (2α + 1) = 0 = Luego V [Z] = 1 (2α+1)2 1 (2α + 1)2 − 1 (α+1)4 b) Costo de reparaciń de un art´ o ıculo=S + cT S= s1 . . P (S = s1 ) = p s2 . P (S = s2 ) = 1 − p. Rodr´ o o o ıguez F.70 a) Sea Z = e−αT “factor de depreciaciń” o Cap´ ıtulo 4. 4.1 Ejercicios Resueltos Costo esperado=E(S + cT ) = E(S) + cE[T ] E[s] = s1 P (S = s1 ) + s2 P (S = s2 ) = s1 p + s2 (1 − p) 71 ∞ E[T ] = 0 t2 e−t dt ∞ = −t e 2 −t ∞ 0 +2 0 te−t dt = 2 −te−t ∞ 0 ∞ 0 ∞ + 0 e−t dt = −2e−t =2 Luego E[S + cT ] = s1 p + s2 (1 − p) + 2c. PROBLEMA 9 Considere los tiempos de reparaciń T1 , . . . , Tn de n art´ o ıculos como los descritos en el Problema 1. Estos tiempos se suponen independientes entre s´ ı. a) Verifique que el valor esperado del tiempo promedio de reparaciń de 32 items es 2 y o que su desviaciń estńdar es 0.25. o a Aproxime la distribuciń del tiempo promedio de reparaciń por una distribuciń noro o o mal de media 2 y desviaciń estńdar 0.25 y en base a esto: o a b) Calcule P (U32 < 1.8). c) Encuentre una cota superior c tal que P (U32 > c) = 0.90. d) Encuentre la probabilidad de que dos o m´s de estos 32 art´ a ıculos tengan un tiempo de reparaciń inferior a una hora. o Recopilaciń, Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. 72 Cap´ ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua e) Sea Φ la funciń de distribuciń acumulada de la distribuciń N (0.1). En t´rminos de o o o e Φ encuentre una expresiń aproximada para la probabilidad de que la mitad o menos o de los 32 art´ ıculos tengan un tiempo de reparaciń inferior a 1.8 horas. (no se requiere o valuar num´ricamente esta expresiń) e o ´ SOLUCION Sea T1 , . . . , Tn tiempos de recuperaciń de n art´ o ıculos; los Ti son independientes entre s´ ı; i = 1, . . . , n a) n E[T ] = E i=1 n Ti /n 1 = n E[Ti ] i=1 = E[T ] = E[Tj ], ∀j ∞ 2 −t t e dt 0 ∞ 2 −t t te dt 0 E[T1 ] = E[T2 ] = As´ V [T1 ] = 6 − 4 = 2 ı n = 2! = 2 = 3! = 6 V [T ] = V i=1 n Ti /n = 1 n2 2 n V [Ti ], por independencia de losTi i=1 = Para n = 32 V [T ] = 2 32 = 1 16 ⇒ σT = √1 16 = 0.25 Recopilaciń, Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. 4.1 Ejercicios Resueltos b) Sea U32 : “tiempo promedio de reparaciń de 32 items”U32 ∼ N (2; (0.25)2 ) o 73 P (U32 < 1.8) = P U32 − µ 1.8 − 2 < σ 0.25 = Φ(−0.8) = 0.2119 c) P (U32 > c) = 0.90 P U32 − µ c−2 > σ 0.25 c−2 0.25 = 0.90 Φ = 0.1 c = 2 − 0.25 × 1.28 d) Sea Y :“n´mero de art´ u ıculos con tiempo de reparaciń inferior a una hora Y ∼ o Bin(32, p) p = P (T1 ≤ 1) = 0 1 0 1 0 1te−t dt = −te−t − e−t = −e−1 − e−1 + 1 = 1 − 2e−1 Recopilaciń, Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. o a Suponga que en el momento en que la m´quina comienza a funcionar Ud.8 La distribuciń aproximada de Y es: o Y ∼ N (32p. a Recopilaciń.8e−1. Si vuelve despu´s o o e de que la m´quina haya fallado.8 hrs”Y ∼ Bin(32. Si el vuelve antes de que la m´quina falle. o donde p = P (T1 < 1. .8) = 1 − e−1. se a a ocasiona un costo de a d´lares por haber desperdiciado una inspecciń. se ocasiona un costo de b d´lares por el no funcionamiento a o de la m´quina.8 = 1 − 2. Variable Aleatoria Continua P (Y ≥ 2) = 1 − P (Y = 0) − P (y = 1) 32 0 2 e 32 =1− 1− 2 e 0 2 e 32 − 32 1 31 1− 2 e 2 e 31 =1− 2 − 32 1 − e 2 e e) Sea Y :“n´mero de art´ u ıculos con tiempo de reparaciń inferior a 1. 32p(1 − p)) P (Y ≤ 16) = P Z≤ 16 − 32p 32p(1 − p) =Φ 16 − 32p 32p(1 − p) PROBLEMA 10 Suponga que el n´mero de horas X que funcionar´ una m´quina antes de fallar es una u a a variable aleatoria con distribuciń Normal de par´metros µ = 720 y σ 2 = 482 . debe decidir a cuando el inspector regresar´ a revisarla.74 Entonces Cap´ ıtulo 4. p). Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.8 − 1.8e−1. Rodr´ o o o ıguez F. . c) Se observa este proceso durante 15 per´ ıodos. 0. la m´quina ya o a ha dejado de funcionar.4. a b) Suponga que el inspector decide volver en un tiempo de t = 816 hrs. a ´ SOLUCION X :“tiempo de funcionamiento de una m´quina hasta que falla”. X ∼ Bin(15. considerando que el tiempo hasta que o el inspector vuelve a inspeccionar la m´quina es t horas. Rodr´ o o o ıguez F. 482 ) a a) Costo = a x>t b x<t 75 E(Costo) = aP (X > t) + bP (X < t) = a − aP (X < t) + bP (X < t) t − 720 48 = a + (b − a)FZ b) P (X < 816) = P X − 720 816 − 720 < 48 48 = P (Z < 2) = 0. X ∼ N (720.9772 c) X :n´mero de veces que el inspector llega tarde. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.1 Ejercicios Resueltos a) Determine una expresiń para el costo esperado.9772)x (0.9772) u 15 P (X > 12) = 13 15 (0. Determine la probabilidad de que el inspector llegue tarde m´s de 12 veces. Calcule la probabilidad de que el inspector llegue tarde a la inspecciń.0228)15−x x Recopilaciń. es decir. Calcular P (Y > 0. . Cada Yi Tiene una funciń de o densidad de probabilidad dada por fY (y) = 3y 2 0 ≤ y ≤ 1 0 e. .7−µ σ/n 0.7−µ σ/n = 1−P Z ≤ = 1−Φ Nos falta calcular µ y σ 2 • 0.o. . Variable Aleatoria Continua Suponga que Y1 .7. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. .7) = 1 − P (Y ≤ 0.76 PROBLEMA 118 Cap´ ıtulo 4. .c.7) = 1−P Y −µ σ/n ≤ 0.7) a para un tamaõ de muestra igual a 40. Y40 es una muestra aleatoria de mediciones con respecto a las proporciones de impurezas en unas muestras de minerales de hierro. n ´ SOLUCION P (Y > 0. Un comprador potencial rechazar´ el mineral si Y es mayor que 0.7−µ σ/n (∗) µ = E[Y ] = = = 1 0 3y 4 4 3 4 y3y 2 dy 1 0 • σ 2 = E[Y 2 ] − (E[Y ])2 = = = = 1 0 3y 5 5 3 5 y 2 3y 2 dy − 1 0 3 2 4 − 9 16 − 9 16 3 80 8 TAV 2004 Recopilaciń. .7) = 1 − Φ √0.4. y utilizando el T. . 2) . . n.1) = Φ 1.63) = 0.1). i = 1. n 48 Xi = 1 • V [X 48 ] = = = = 1 2 48 48 V i=1 Xi 48 V 482 1 48 [Xi ] 1 3 × 1 144 Se nos pide P (0. n ´ SOLUCION Se tiene que Xi ∼ U (0. Rodr´ o o o ıguez F. de aqu´ obtenemos ı E[Xi ] = Luego • E[X 48 ] = 1 E 48 i=1 2 2 =1 V [Xi ] = 1 3 . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.4) = 0.2) − Φ(−2. i = 1. . si el tamaõ de muestra es 48.1 Ejercicios Resueltos Volviendo a (∗) tenemos P (Y > 0.8 y 1.L.C. .8 ≤ X 48 ≤ 1. .8−1 1/12 = Φ(1.1−1 1/12 −Φ 0. . Encontrar aproximadamente la probabilidad de que la media u muestral se encuentre entre 0.8 ≤ X 48 ≤ 1. .1. .7−3/4 √ 77 3/80/ 40 = 1 − Φ(−1.8767 9 Examen segundo semestre de 2003 Recopilaciń. tenemos P (0.9484 PROBLEMA 12 9 Supongamos que extraemos una muestra simple(aleatoria) de una poblaciń que se distribuo ye segń una uniforme U (0. 2). Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. −1 ≤ x ≤ 1 0. o o a c) ¿Es 0 la temperatura mediana en la cual tiene lugar la reacciń? Si no es as´ ¿es o ı. 22-25) sugiere una distribuciń normal. e a − x2 ). El contenido establecido era 135 onzas.¿Cu´l es el valor de µ? o a ˜ 10 11 I2 segundo semestre de 2002 I2 segundo semestre de 2002 12 I2 segundo semestre de 2002 Recopilaciń. . Rodr´ o o o ıguez F.2.2 1. ¿a qu´ valor tendr´ que haberse e ıa cambiado la desviaciń estńdard para que 95% de todos los frascos contengan o a m´s de lo establecido? a 3. ¿cu´l es la probabilidad de que por lo a menos ocho contengan m´s del contenido establecido? a c) Si se supone que la media permanece en 137. 11 El art´ ıculo ” Computer Assisted Net Weight Control”(Quality Progress. 1983.78 Cap´ ıtulo 4. en otro caso.2 onza y desviaciń estńdard o o a de 1. 1≤x≤2 en otro caso. 12 La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una distribuciń en o particular es una v.a. o o b) Obtenga una expresiń para el (100p)mo percentil. Variable Aleatoria Continua 4. X con densidad f (x) = 2 1− 0. 1 (4 9 Distribuciones Continuas 2. a) Calcule la funciń de distribuciń acumulada de X. Sea Y =n´mero entre los diez laboratorios y que la pdf del tiempo u de reacciń en cada laboratorio es la de arriba. pp. la temperatura mediana menor o mayor que 0? d) Suponga que est´ reacciń se realiza independientemente una vez en cada uno de a o los diferentes laboratorios y que la pdf del tiempo de reacciń en cada laboratorio o es la de arriba. Sea Y =n´mero entre los diez o u laboratorios en los que la temperatura rebasa 1. con media de 137. para el contenido real de frascos de cierto tipo. ¿Qu´ clase de distribuciń tiene e o Y ? (D´ el nombre y valores de cualesquiera par´metros). 1 x2 .6 onzas. a b) Determine la funciń de distribuciń acumulada y trćela. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que un solo frasco contenga m´s que el contenido a a establecido? b) Entre diez frascos seleccionados al azar. 10 Ejercicios Propuestos Considere que X es la temperatura a la que tiene lugar cierta reacciń qu´ o ımica y suponga que X tiene densidad f (x) = a) Construya la gr´fica de f (x). de modo tal que la probabilidad o de recibir al menos una llamada en ese per´ ıodo sea 0. El tiempo que transcurre entre llamadas a una empresa de art´ ıculos computacionales tiene una distribuciń exponencial con un tiempo promedio entre llamadas en un lapso o de 15 minutos.2050 y 0.2150 micr´metros.25 b)0.214 c)0.1353 b)0. o b) ¿Qu´ espesor exceden el 10% de las obleas? e c) Calcule la media y la varianza del espesor de la sustancia fotoprotectora.5 d)0. 7.33 × 10−6 .9. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 30 minutos? a b) ¿Cu´l es la probabilidad de recibir la primera llamada entre 5 y 10 minutos despu´s a e de haber abierto la empresa? c) Calcule la dimensiń de un intervalo de tiempo. El tiempo (en horas) requeridas para reparar una m´quina es una distribuciń expoa o nencial λ = 1/2 : a) ¿Cu´l es la probabilidad que el tiempo de reparaciń exceda 2 horas? a o Recopilaciń.2031 c)34. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.2.2 Ejercicios Propuestos c) Calcule E(X) y V (X).2125 micr´metros. 8. 6. Obtenga la funciń de distribuciń acuo o o mulada del espesor de la sustancia fotoprotectora. tiene una distribuciń o a o uniforme entre 0. El espesor de la capa de sustancia fotoprotectora que se aplica a las obleas en el proceso de fabricaciń de semiconductores en cierta ´rea de la oblea. ¿cuńto de los 1500 galones se espera que queden a al fin de semana? [Sugerencia: sea h(x)=cantidad que queda cuando la demanda es = x. Resp:a)0.54 min. Resp: a)0.21. 5.4. Rodr´ o o o ıguez F.] 4. a) Calcule la proporciń de obleas en las que el espesor de la sustancia es mayor que o 0. d) Si 1500 galones estń en existencia al principio de semana y no se recibe nuevo a suministro durante la semana. 79 . o a) ¿Cuńto vino se produce al d´ en promedio? a ıa b) ¿Cu´l es la cantidad de variabilidad en el n´mero de galones de vino producidos a u de un d´ a otro? ıa c) ¿En qu´ porcentaje de los d´ puede esperarse que la producciń caiga entre 220 e ıas o y 270 galones? d) ¿Cu´l es la probabilidad de que la producciń de maãna sea mayor que 280 a o n galones? Resp: a)250 b)28.9 c)0. La destiladora Los Vascos produce entre 200 y 300 galones de vino diarios. La distribuciń uniforme es la que mejor describe este proceso. Una persona compra un o n autom´vil que tiene una antigëdad de seis aõs. o o a a) Si el nivel se ajusta a 501 cc. Recopilaciń. sea 0. La m´quina puede regularse de modo que la cantidad media de cerveza por a vaso sea la que se desee. sin embargo. o u n y planea tenerlo por espacio de seis aõs. segń un proceso de Poisson a una tasa de 10 por hora.4 onzas de l´ o ıquido y desviaciń estńdar de 0. En el Restaurante Los Buenos Muchachos. Se pide: a) Defina la variable en estudio.5128 b)0. 10.p.5 b)0.5 c)1.9cc. con un regulador en funcionamiento. Determinar la probau bilidad que el segundo accidente ocurra despu´s de una hora.1 o a onzas de l´ ıquido.6065 8. Los accidentes de autom´viles ocurren en Santiago. Suponga que los conteos registrados por un contador Gieger siguen un proceso Poisson con un promedio de dos conteos por minuto.¿que porcentaje de los vasos contendr´ menos de 487 a cc? b) ¿A que nivel medio debe ajustarse la m´quina para el 83.5 12. . Si el volumen de una m´quina autom´tica en latas de una bebida gaseosa tiene una a a distribuciń normal con media de 12.d.¿cu´l es el tiempo promedio que transcurrir´ hasta que el o a a regulador vuelva a fallar? 9.15% de los vasos contenga a m´s de 490 cc? a Resp:a)0. n a) ¿Cu´l es la probabilidad de que el regulador de voltaje falle en el lapso de seis a aõs? n b) Si el regulador falla despu´s de tres aõs de haber efectuado la compra del aue n tom´vil y se reemplaza. y escriba su f. Variable Aleatoria Continua b) ¿Cu´l es la probabilidad que una reparaciń tome al menos 10 horas dado que su a o duraciń exceda en 9 horas? o Resp: a)0.89% b)496 11. se ha instalado una m´quina para la venta a de cervezas. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F.95 Resp:a)0. durante un fin de semana largo(72 o horas). en cualquier caso esta cantidad es una variable aleatoria con una distribuciń normal con una desviaciń estńdar de 5. de modo tal que la probabilidad de que ocurra por lo menos un conteo antes de x minutos.80 Cap´ ıtulo 4. a) ¿Cu´l es el tiempo promedio entre conteos? a b) ¿Cu´l es la desviaciń estńdar del tiempo entre conteos? a o a c) Calcule x. e Resp: 11 exp(−10). b) Interprete la E[X]. El tiempo de vida de los reguladores de voltaje de los autom´viles tiene una distribuo ciń exponencial con un tiempo de vida medio de seis aõs. 873-883) a) ¿Cu´l es la probabilidad de que la distancia sea a lo sumo 100 m? ¿Cuando mucho a 200 m? ¿Entre 100 y 200 m? Recopilaciń.4. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250 a kg/cm2 b) ¿Cu´l es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre a 5800 y 5900 kg/cm2 c) ¿Cu´l es el valor de resistencia que excede el 95% de las muestras? a Resp:a)0. y una desviaciń estńdar de 100 kilogramo por cent´ o a ımetro cuadrado.85 pulgadas? b) Qu´ di´metro deber´ tener los cables de modo que el 87.8232 pulgadas.5 kg/cm2 14. pp. ¿cu´l es la probabilidad de que el a tiempo de preparaciń est´ entre a y a + 2 min? o e 16.2 o m´s de 12. a) Si se elige un cable al azar. Sea X la distancia en metros que un animal se mueve desde su lugar de nacimiento hasta el primer territorio vacante que encuentra. Suponga que para las ratas canguro.004 pulgadas. La resistencia a la comprensiń de una serie de muestras de cemento puede modelarse o con una distribuciń normal con media 6000 kilogramos por cent´ o ımetro cuadrado.7% de ellos no excedan e a ıan de este valor? Resp: b)0. X tiene una distribuciń exponencial con par´metro λ = 0.8 onzas de a l´ ıquido. 0. pero la o desviaciń estńdar sigue teniendo el mismo valor.8 pulgadas y una varianza de 0. Ecology.99379 b)0. El tiempo X (minutos) para que un asistente de laboratorio prepare el equipo para un experimento tiene una distribuciń uniforme con A=25 y B=35.01386 (como lo sugiere el o a art´ ıculo “Competition and Dispersal from Multiple Nests”. Suponga que el di´metro de un cable elćtrico est´ normalmente distribuido con un a e a promedio de 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. 81 . o a) Escriba la fdp de X y trace su gr´fica. ¿cu´l es la probabilidad que su di´metro sea menor a a que 0. Rodr´ o o o ıguez F.2 onzas de l´ ıquido? 13.13595 c)5835. 1997.¿Qu´ valor e debe darse a la media para que el 95.] d) Para cualquier a tal que 25 < a < a + 2 < 35.85% de todas las latas contengan m´s de a 12. 15. ¿Cu´l es el porcentaje de latas desechadas? a d) Si la media de la operaciń de llenado puede ajustarse con facilidad.2 Ejercicios Propuestos c) Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12. a b) ¿Cu´l es la probabilidad de que el tiempo de preparaciń exceda de 33 min? a o c) ¿Cu´l es la probabilidad de que el tiempo de preparaciń se encuentre a una a o distancia de 2 min del tiempo medio [Sugerencia: identifique µ de la gr´fica de a f (x).1 onzas de l´ o a ıquido. a) Si un espćimen es aceptable s´lo si su dureza est´ entre 67 y 75. entonces se puede demostrar que mi tiempo total o de espera Y tiene la fdp  1  25 y 0≤y<5  1 f (y) = 2 − 25 y 5 ≤ y ≤ 10 5  0 y < 0 o y > 10. ¿para qu´ valor de c tendr´ una e ıa dureza aceptable 95 % de todos los espec´ ımenes? c) Si la escala aceptable es como el inciso a) y la dureza de cada diez espec´ ımenes es independiente. ¿cu´l es la e o a a probabilidad de que un espćimen seleccionado al azar tenga una dureza aceptable e ? b) Si la escala aceptable de dureza es (70-c. ¿cu´l es el n´mero esperado de espec´ a u ımenes aceptables entre los diez? d) ¿Cu´l es la probabilidad de que a lo sumo ocho de diez espec´ a ımenes seleccionados independientemente tengan una dureza menor de 73.70+c). Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punto acerado (herramienta) la superficie del metal y despu´s medir la profundidad de penetraciń del e o punto. a) b) c) d) e) f) Trace la gr´fica de la pdf de Y . ¿cu´l es p?) a 18. primero debo abordar un autob´s cerca de casa y despu´s u e transbordar otro.82 Cap´ ıtulo 4.84 es una variable binomial. La fdp de X es f (x) = 90x8 (1 − x) 0 < x < 1 0 en otro caso. ¿Cu´l es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea a lo sumo de 3 min? a ¿Cu´l es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea a lo sumo de 8 min? a ¿Cu´l es la probabilidad de que el tiempo total de espera est´ entre 3 y 8 min? a e ¿Cu´l es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea menos de 2 min o a m´s de 6? a 19. Variable Aleatoria Continua b) ¿Cu´l es la probabilidad de que la distancia sea mayor que la distancia promedio a en m´s de 2 desviaciones estńdard? a a c) ¿Cu´l es el valor de la mediana de la distancia? a 17. Rodr´ o o o ıguez F. Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleaciń est´ normalmente distribuio a da con media de 70 y desviaciń estńdard de 3 (la dureza Rockwell se mide en escala o a continua). Sea X la cantidad de espacio ocupado por un art´ ıculo colocado en una caja de empaque 3 de 1 pie . Recopilaciń. .84? (Sugerencia: Y =n´mero u entre los diez espec´ ımenes con dureza menor de 73. Si el tiempo de espera (en minutos) en cada parada tiene una distribuciń uniforme con A=0 y B=5. Para trasladarme al trabajo. a ∞ Verifique que −∞ f (y)∂y = 1. Si X tiene una distribuciń exponencial con λ = 1 (que es idńtica a una o e distribuciń gamma estńdard con α = 1).5)? a d) ¿Cu´l es el 75to percentil de la distribuciń? a o e) Calcule E(X) y σX .25 < X ≤ 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.9838 b) P (0 ≤ Z ≤ c) = 0. 0.4. para 0 < x < 1. En cada caso.0107 d)0. a) Si la mediana de la distribuciń de X es µ.291 c) P (Z ≥ c) = 0. d) P (2 ≤ X ≤ 5). Sea X=tiempo entre dos llegadas sucesivas en la ventanilla de atenciń de un banco o local.818.9036 e)0.839 20. y sea Y la o temperatura en F (esto es Y = 1. [es decir.5)]? a c) De acuerdo con el inciso a). b) 0.5). 22. f) ¿Cu´l es la probabilidad de que X est´ a menos de 1 desviaciń estńdard de su a e o a valor medio?  para x ≤ 0. ¿cuńto es P (0.2 Ejercicios Propuestos a) Grafique la fdp. Rodr´ o o o ıguez F.8(90mo percentil para X)+32 c)a(Xpercentil) + b 21. A continuaciń determine la funciń de distribuciń acumulada o o o de X y graf´ ıquela. b) ¿Cuńto es P (X ≤ 0. si Y = aX + b. calcule lo siguiente: o a a) El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas. b) La desviaciń estńdar del tiempo entre llegadas sucesivas.121 Recopilaciń.8˜+32 es la mediana o ˜ µ de la distribuciń de Y . o a c) P (X ≤ 4). x9 x10 Resp: a) F (x) = 90[ 9 − 10 ]. o b) ¿C´mo est´ relacionado el 90mo percentil de la distribuciń de Y con el 90mo o a o percentil de la distribuciń de X? Verifique su respuesta. o c) Generalmente. determine el valor de la constante c que exprese correctamente el enunciado de la probabilidad.  0. Sea X la temperatura en o C en la cual tiene lugar cierta reacciń qu´ o ımica.8X + 32).0.111 f)0. a) Φ(c) = 0.0107. para x ≥ 1.  1. F (0. ¿c´mo se relaciona cualquier percentil particular o de la distribuciń de Y con el correspondiente percentil de la distribuciń de X? o o Resp: b) 1. 83 .0107 c) 0. demuestre que 1. sea a a a a lo sumo 10 pulg? y ¿que sea mayor de 10 pulg? b) ¿Cu´l es la probabilidad de que el di´metro de un ´rbol.8. Suponga que el di´metro de los ´rboles de determinado tipo. 0 25. Hay 40 estudiantes en un curso de estad´ ıstica elemental. o ¿Cu´l es la probabilidad de que: a a) entre 180 y 230 (inclusive) de los automovilistas de la muestra utilice su cinturń o con regularidad? b) menos de 175 de los de la muestra utilicen su cinturń con regularidad? y ¿menos o de 150? Resp: a) 0.84 d) P (−c ≤ Z ≤ c) = 0.524 24.97 e) 2. el instructor sabe que el tiempo necesario para calificar un primer examen seleccionado al azar. Variable Aleatoria Continua Resp: a) 2. es una variable aleatoria con valor esperado de 6 min y desviaciń o estńdar de 6 min.m.14 b) 0. usan con regularidad o su cinturń de seguridad.8-c. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.668 e) P (|Z| ≥ c) = 0. . ¿cu´l es la probabilidad (aproximada) a de que termine de calificar antes del inicio de las noticias de las 11:00 p. Suponga que s´lo 40% de todos los automovilistas de cierto estado.8 y σ = 2.9666 b) 0. seleccionado al azar. 8.17 d) 0.. sea a a a mayor de 20 pulg? c) ¿Cu´l es la probabilidad de que el di´metro de un ´rbol seleccionado al azar este a a a entre 5 y 10 pulg? d) ¿Que valor de c es tal que el intervalo (8. Se selecciona al azar una muestra de 500 automovilistas. pp. a la altura del pecho. 36-41) a) ¿Cu´l es la probabilidad de que el di´metro de un ´rbol. Rodr´ o o o ıguez F.5795 d) 6.3336 b) Aproximadamente 0 c) 0.8+c) incluya 98% de todos los valores de di´metro? a Resp: a) 0. se a a distribuye normalmente con media µ = 8.81 c) 1. a a) Si los tiempos para calificar son independientes y el instructor comienza a calificar a las 6:50 p. seleccionado al azar. como se sugiere en el art´ ıculo ”Simulating a Harvester-Forwarder Softwood Thinning”(Forest Products J. por TV? b) ¿Si la secciń deportiva empieza a las 11:10.0099.41 23.m.016 Cap´ ıtulo 4. Con base en los aõs de n experiencia. y lo hace en forma continua.mayo de 1997. ¿cu´l es la probabilidad de que se o a pierda parte de esa secciń si espera hasta terminar antes de encender el televisor? o Recopilaciń. 2981 26. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. El tiempo utilizado por un solicitante seleccionado al azar. ¿cu´l a ıa a es la probabilidad de que la cantidad de tiempo promedio de la muestra diaria sea a lo sumo de 11 minutos? Resp: 0.6026 b)0. tiene una distribuciń normal con valor medio de 10 minutos y desviaciń o o estńdar de 2 min.4. para llenar cierta forma de hipoteca. Si cinco individuos llenan una forma en un d´ y seis en otro.2 Ejercicios Propuestos Resp: a) 0. Rodr´ o o o ıguez F. .7720 85 Recopilaciń. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. .86 Cap´ ıtulo 4. Variable Aleatoria Continua Recopilaciń. . Evaluar µEM V encontrado en (a).1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 11 Sean X1 . xi > 0. X2 = e2 . . a) Encontrar el EM V de µ . . b) Si n = 3 y X1 = e. e. .a. de tamaõ n de una poblaciń con la siguiente funciń de n o o densidad: 2 1 1 i √ exp − 2 (ln(xσ)−µ) . . . Rodr´ o o o ıguez F.o.i = 1. con σ 2 conocido.Cap´ ıtulo 5 Estimaciń o 5. Xn una m. . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. X2 . n. X3 = e3 . . 2 xi σ 2π f (xi ) = 0.c. ´ SOLUCION a) Sea f (x) = 1 √ xσ 2π n exp − 1 2 1 √ ln x−µ 2 σ L = i=1 xi σ 2π n n exp − 1 2 ln xi − µ σ n 2 = 1 √ σ 2π 1 exp xi −1 2 i=1 ln xi − µ σ 2 i=1 Aplicando logaritmo a L se tiene la log-verosimilitud 1 I3 segundo semestre de 2000 Recopilaciń. . X2 = e2 . . a) Encuentre un estimador de momentos para θ. Xn son v.a iid . . Rodr´ o o o ıguez F. ln X2 = 2. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. ln X3 = 3 Luego 3 ln xi µ = = i=1 3 1+2+3 3 = 2 PROBLEMA 22 Suponga que X sigue una distribuciń de Pareto. su funciń de densidad esta dada por: o o f (x|α. X3 = e3 . . Asuma que α > 0 es conocido y que X1 . 2 I3 segundo semestre de 2003 Recopilaciń. . x ≥ α y θ ≥ 1. b) Determine el EM V de θ. entonces ln X1 = 1. Estimaciń o ln L = −n ln(σ 2π) − ln i=1 n √ n n xi − 1 2 i=1 ln xi − µ σ 2 ⇒ Luego ∂ ln L ∂µ = 1 σ i=1 ln xi − µ σ ∂ ln L ∂µ n = 0 = 0 n ⇒ 1 σ i=1 ln xi − µ σ 2 ln xi ⇒ µ = i=1 n b) Como X1 = e. .88 Cap´ ıtulo 5. θ) = θαθ x−θ−1 . Rodr´ o o o ıguez F. Ahora despejando θ µ1 se tiene θ = h(µ1 ) = µ1 −α y adem´s se tiene que el primer momento muestral es a 1 M1 = n xi = x. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. .1 Ejercicios Resueltos ´ SOLUCION a) Primero obtengamos el valor esperado de la distribuciń de Pareto o 89 ∞ E[X] = 0 ∞ xθαθ x−θ−1 dx = 0 θαθ x−θ dx ∞ 0 =θαθ x−θ dx =θαθ x−θ+1 −θ + 1 −α−θ+1 −θ + 1 ∞ α =θαθ = −θα −θ + 1 θα θ−1 = θα luego el primer momento poblacional es µ1 = E[X] = θ−1 .5. por lo tanto el estimador por momentos de θ es θ= M1 M1 − α x x−α = b) Determine el EM V de θ La funciń de verosimilitud L est´ dado por o a Recopilaciń. x5 = 0. . donde −1 < θ. xn ) = n ln θ + nθ ln α − (θ + 1) ln i=1 xi n ∂l ∂θ = n θ + n ln α − ln i=1 n xi = 0 ⇒ ⇒ n θ = ln α − ln i=1 xi − n ln α θ =  n  ln i=1 n xi −n ln α  PROBLEMA 33 Represente con X la proporciń de tiempo asignado que un estudiante seleccionado al azar o emplea trabajando en cierta prueba de aptitud. x3 = 0. . x7 = 0.9.79. x8 = 0.c. x9 = 0. θ) = 0 e. . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.94 y x10 = 0. x6 = 0. y suponga que la funciń de probabilidad o de X es (θ + 1)xθ 0 ≤ x ≤ 1 fX (x.o. o 3 I2 TAV 2004 Recopilaciń. x2 = 0.90 Cap´ ıtulo 5. .86. . x4 = 0.92. Una muestra aleatoria de diez estudiante produce la siguiente informaciń: o x1 = 0.47. .77. .65.97.73. Rodr´ o o o ıguez F. xn ) = i=1 f (xi ) n −θ−1 = θn αnθ i=1 xi As´ la log −verosimilitud ı n l = ln L(θ|x1 . Obtenga el estimador de m´xima verosimilitud de θ y despu´s a e calcule la estimaciń para los datos proporcionados. Estimaciń o n L(θ|x1 . . . . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.5. .429503 − 1 = 3. xn ) n = n ln(θ + 1) + θ i=1 ln xi Ahora encontremos el m´ximo a n ⇒ ⇒ n ∂l ∂θ = n θ+1 + i=1 ln xi ∂l ∂θ θ=θ = 0 ⇒ ⇒ n θ+1 + i=1 ln xi = 0 θ = − n n −1 ln xi i=1 10 La estimaciń por los datos proporcionados θ = − −2.116 o Recopilaciń. xn ) = i=1 n f (xi .1 Ejercicios Resueltos ´ SOLUCION n 91 L(θ|x1 . . θ) = i=1 (θ + 1)xθ i n θ = (θ + 1) n i=1 xi Apliquemos logaritmo a lo anterior l(θ) = ln L(θ|x1 . Rodr´ o o o ıguez F. . . . . . . Rodr´ o o o ıguez F. . . .92 PROBLEMA 44 Cap´ ıtulo 5. xn ) = i=1 n f (xi . xn ) n n i=1 = ln i=1 xα−1 i − xi β − nβ ln β − n ln Γ(α) Ahora encontremos el m´ximo a 4 Examen segundo semestre de 2003 Recopilaciń. entonces se o a funciń de densidad es de la forma o f (x) = xα−1 e−x/β .(X ∼ G(α. Estimaciń o Si X tiene distribuciń Gamma con par´metros α > 0 y β > 0. . calcular el EM V de β. . β α Γ(α) 0<x<∞ Considere α conocido. . . . β)). ´ SOLUCION n L(β|x1 . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. β) = i=1 xα−1 e−xi /β i β α Γ(α) n = i=1 xα−1 i e− n i=1 xi /β 1 n β α Γ(α) i=1 n = i=1 xα−1 i e− i=1 xi /β β nα (Γ(α))n n Apliquemos logaritmo a lo anterior l(β) = ln L(β|x1 . . 5. Rodr´ o o o ıguez F.1 Ejercicios Resueltos 93 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ PROBLEMA 5 n i=1 β2 ∂l ∂β ∂l ∂β β=β xi = = 0 = 0 n i=1 β2 xi − nα β − nα β β = n i=1 xi nα Sea X1 . Consideremos a θ1 = X y a θ2 = X1 X2 estimadores de µ = λ . ser´ √ y E( X1 X2 ) = E( X1 )E( X2 ) ´ SOLUCION El ECM [θ1 ] = V [θ1 ] + B 2 Veamos si θ1 = X es insesgado respecto µ Γ(1/2) = √ π E[X] = E X1 + X2 2 = 1 (E[X1 ] + E[X2 ])] 2 1 2 × 2 λ = =µ Esto implica que θ1 es insesgado respecto de µ. ¿cu´l de los dos es mejor? e a a Para√ este problema√ a util considerar Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1). Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. En t´rminos del error cuadr´tico medio. . X2 una muestra aleatoria de tamaõ 2 de X con √ n distribuciń exponencial de par´meo a 1 tro λ desconocido.calculemos su varianza Recopilaciń. Rodr´ o o o ıguez F.94 Cap´ ıtulo 5. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Estimaciń o V [X] = V X1 + X2 2 = 1 (V [X1 ] + V [X2 ])] 4 1 2 × 2 4 λ 1 2λ2 = = Luego ECM [θ1 ] = V [θ1 ] = Vemos ahora para θ2 1 2λ2 ECM [θ2 ] = V [ de donde X1 X2 ] + (E[ X1 X2 ] − µ)2 2 V [ X1 X2 ] = E[X1 X2 ] − E[ X1 ]E[ X2 ] √ a Calculemos ahora E[ X] con X exponencial de par´metro λ √ E[ X] = 0 1 Γ 1 2 2 λ1/2 ∞ x1/2 λeλx dx = = Por lo tanto V[ X1 X2 ] = π λ 1/2 × 1 2 1 1 π × − λ λ 4λ 16 − π 2 16λ2 2 = Recopilaciń. . Si no lo fuera encuentre uno 1 = (µ + µ) 2 =µ 5 I3 segundo semestre de 2003 Recopilaciń. ´ SOLUCION a) Veamos el sesgo de los 2 estimadores • E[µ1 ] = E X1 + X2 2 X1 +3X2 .5. 5 ¿Es insesgado? . . 3 ¿Cu´l de los dos a b) Para un estimador de la forma µ = aX1 + (1 − a)X2 .1 Ejercicios Resueltos y B 2 95 X1 X2 = π 1 − 4λ λ π−4 4λ 2 2 = De aqu´ el Error Cuadr´tico Medio de θ2 est´ dado por ı. con 0 ≤ a ≤ 1. y de acuerdo a este criterio. Determine el valor de a que conduce al mejor estimador de esta forma. θ2 es preferido a θ1 . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. c) Consideremos el estimador µ = a partir de este estimador. a a ECM [θ2 ] = 16 − π 2 + 16λ2 4−π 2λ2 π−4 4λ 2 = Como 4 − π < 1 tenemos ECM [θ2 ] < ECM [θ1 ]. PROBLEMA 65 Sea X1 y X2 una muestra aleatoria de tamaõ 2 proveniente de una poblaciń X con media n o µ y varianza σ 2 . Rodr´ o o o ıguez F. a) Si disponemos de dos estimadores para µ1 = es el mejor? X1 +X2 2 y µ2 = X1 +2X2 . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. . en efecto E[µ] = E[aX1 + (1 − a)X2 ] = aE[X1 ] + (1 − a)E[X2 ] =µ Veamos su varianza Recopilaciń. ı b) Es insesgado para todo a. Rodr´ o o o ıguez F. Estimaciń o 1 = (µ + 2µ) 3 =µ Los dos estimadores son insesgado. veamos cual de ellos tiene menor varianza • V [µ1 ] = V X1 + X2 2 1 = (σ 2 + σ 2 ) 4 1 = σ2 2 • V [µ2 ] = V X1 + 2X2 3 1 = (σ 2 + 4σ 2 ) 9 5 = σ2 9 Aqu´ µ1 tiene menor varianza. y de acuerdo a este criterio. µ1 es preferido a µ2 .96 • E[µ2 ] = E X1 + 2X2 3 Cap´ ıtulo 5. ˜ 5 4 PROBLEMA 76 = µ. lo que implica que es de menor varianza f (a) = 2a2 − 2a + 1 f (a) = ⇒ a = 1 2 1 2 4a − 2 = 0 Como f (a) = 4 > 0.5. entonces a = c) es un m´ ınimo. esto implica E 5 µ = 4 µ = 1 (X1 + 3X2 ) es un estimador insesgado para µ. Rodr´ o o o ıguez F.1 Ejercicios Resueltos 97 V [µ] = V [aX1 + (1 − a)X2 ] = a2 V [X1 ] + (1 − a)2 V [X2 ] = a2 σ 2 + (1 − a)2 σ 2 = σ 2 (2a2 − 2a + 1) (∗) Determinemos el valor m´ ınimo que puede tomar (∗). . luego Cierto tipo de componente electrńico tiene una duraciń Y (en horas)con funciń de densio o o dad dada por 6 I3 recuperativa de 2001 Recopilaciń. Ahora tenemos E[µ] = 4µ . E[µ] = E 1 (X1 + 3X2 ) 5 1 = (E[X1 ] + 3E[X2 ]) 5 = 4µ 5 5 µ 4 µ no es insesgado. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. 98 Cap´ ıtulo 5. considerando una m. ¿Cu´l es la varianza de este a estimador? c) Utilice los valores num´ricos que se dan para obtener la estimaciń de θ.o.a. 128 y 130 horas.θ > 0 e. e o ´ SOLUCION a) • Momento muestral : x • Momento Poblaciń: E[X] = o α β = 2 1/θ = 2θ ⇒ 2θ = x ⇒ θ = x 2 b) x 2 n E[θ] = E 1 = 2n =θ E[xi ] i=1 Recopilaciń. presentan duraciń de 120. al probarlos de manera independiente. . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.c. o a) Obtenga el estimador por m´todo de momentos de θ. (n) e b) Analice si el estimador encontrado en a) es insesgado. Estimaciń o f (y) = 0 y 1 ye− θ θ2 y > 0. Rodr´ o o o ıguez F. Suponga que tres de tales componentes. 5. 128. Rodr´ o o o ıguez F. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. .1 Ejercicios Resueltos Por lo tanto θ es insesgado V [θ] = V x 2 n 99 1 = 2V 4n 1 4n2 n xi i=1 = V [xi ] i=1 = 1 (2nθ2 ) 2 4n θ2 = 2n c) 120. 130 ⇒ x = 126 ∴ θ = x 2 Recopilaciń. Suponga que Θ1 . Se sabe que E[Θ1 ] = θ. Suponga que Θ1 y Θ2 son estimadores del par´metro θ. V ar[Θ1 ] = 12. Calcule la eficiencia relativa de los dos estimadores del ejercicio 2. ¿Cu´l prefiere? ¿Por qu´? o a e 7 I2 segundo semestre de 2002 Recopilaciń. suponiendo una distribuciń normal. V ar[Θ2 ] = 10 y E[Θ3 − θ]2 = 6. Θ2 y Θ3 son estimadores del par´metro θ. Se sabe que E[Θ1 ] = θ. Calcule la eficiencia relativa de los dos estimadores del ejercicio 3. V ar[Θ2 ] = 4. . en que sentido lo es? a 5. ¿Cu´l es el mejor estimador de µ? Explique su elecciń. Suponga que Θ1 y Θ2 son estimadores insesgados del par´metro θ. Haga una comparaciń de estos tres estimadores. Considere los siguientes estimadores de µ: µ1 = X1 + · · · + X7 7 µ2 = 2X1 − X6 + X4 2 a) ¿Alguno de estos estimadores es insesgado? b) ¿Cu´l es mejor ? ¿En que sentido es mejor? a 4.100 Cap´ ıtulo 5.) e 2.2 Ejercicios Propuestos 1. ¿Cu´l es mejor. con E[X] = µ y V ar[X] = σ 2 . a θ E[Θ2 ] = 2 . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. . Se sabe que V (Θ1 ) = a 10 y V (Θ2 ) = 4. Rodr´ o o o ıguez F. obtenińdose los siguientes datos (lb/pulg2 ): e 392 376 401 367 389 362 409 415 358 375 a) Si se supone que la resistencia al corte est´ normalmente distribuida. estime el valor de resistencia abajo o del cual 95% de todas las soldaduras tendrń sus resistencias. Sean X1 . estime el a verdadero promedio de resistencia al corte y su desviaciń estńdar con el m´todo o a e de m´xima verosimilitud. V ar[Θ1 ] = 10. 6. a b) Otra vez. . a o 3. X7 una muestra aleatoria de una poblaciń que tiene media µ y varianza o 2 σ . . ¿Qu´ estimador es “mejor”? ¿en qu´ sentido e e es mejor? 8. . Sean: 1 X1 = 2n 2n Xi i=1 y 1 X2 = n n Xi i=1 dos estimadores de µ. 7. Estimaciń o 5. Suponga que se tiene una muestra aleatoria de tamaõ 2n tomada de una poblaciń n o X. a E[Θ2 ] = θ. 7 Se determina la resistencia al corte de cada una de diez soldaduras elćtricas por e puntos de prueba. E[Θ3 ] = θ. (Sugerencia: ¿cu´l a a es el 95to percentil en t´rminos de µ y σ? Ahora utilice el principio de invarianza. 28S . S2 y S3 las varianzas muestrales.] a e) ¿Cu´l es el error estńdar estimado del estimador que us´ en el inciso b)? a a o Resp: a) 1. Sean S1 . pp. Represente por X1 . a) Demuestre que n 2 i=1 (Xi −X) 101 n es un estimador sesgado de σ 2 . b) Determine la magnitud del sesgo del estimador. la proporciń de todos los valores de espesor menores o que 1. c) 1. 38 10. Examine la siguiente muestra de observaciones de espesor de pintura de baja viscosidad (”Achieving a Target Value for a Manufacturing Process: A Case Study”. . n2 = 10 y n3 = 8. Rodr´ o o o ıguez F. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. . . e o b) Calcule un estimado puntual de la mediana de la distribuciń de espesores de o pintura y diga qu´ estimador us´. .12 1.65 1. X2 .48 1. Xn una muestra aleatoria de una distribuciń de Rayleight o con pdf x −x2 f (x.5).76 1.88 1.348. es decir. .83 0.0905 13.29 1. n a) Demuestre que X es un estimador sesgado de µ2 b) Determine la magnitud del sesgo en el estimador c) ¿Qu´ sucede con el sesgo a medida que aumenta el tamaõ n de la muestra? e n 12.49 1.09 1. n 2 2 2 20S1 +10S2 +8S3 Demuestre que S 2 = es un estimador insesgado de σ 2 .62 1.83 2 Suponga que la distribuciń de espesores de pintura es normal (una gr´fica de probao a bilidad normal respalda esta hip´tesis).5. J. X .5. del restante 90%. se toman tres muestras aleatorias o 2 2 2 se tamaõ n1 = 20. y diga qu´ estimador us´.04 1. e) 0. e o c) Calcule un estimado puntual del valor que separa 10% de los valores m´s altos a de espesores. Estos valores no estń disponibles. Sea X1 . θ) = e 2θ x > 0 θ Recopilaciń. .2 Ejercicios Propuestos 9.781. c) ¿Qu´ sucede con el sesgo a medida que aumenta el tamaõ n de la muestra? e n 11. X.[Sugerencia: si conociera los valores de µ y de σ. 1992. X+1. d)0. [Sugerencia: exprese lo e o que trata de estimar en t´rminos de µ y de σ] e d) Estime P (X < 1. .71 1. De una poblaciń que tiene media µ y varianza σ 2 . Xn una muestra aleatoria de tamaõ n. podr´ calcular esta ıa probabilidad. pero se pueden estimar. 22-26): 0. .b) 1.348. of Quality Technology.59 1.31 1.6736. .88 0. o a) Calcule un estimado puntual del valor promedio del espesor de pintura y diga qu´ estimador us´. 20. .64. b) Estime θ de las siguientes n = 10 observaciones sobre esfuerzo vibratorio de una paleta de turbina bajo condiciones espec´ ıficas: 16.68 10. 17.102 Cap´ ıtulo 5.42 16. λ. 10. .] Resp: λ1 = X. 0. a b) Si se hacen n = 10 observaciones del avance.23 4. Rodr´ o o o ıguez F. 2.505 14.30.11. obtenińdose los siguientes datos (lb/pulg2 ): e 392 376 401 367 389 362 409 415 358 375 a) Si se supone que la resistencia al corte est´ normalmente distribuida.93.88 10. Obtenga las mle de λ1 . de la fdp exponencial desplazada f (x.66 6.95 . Considere una muestra aleatoria X1 .23 19.87 9. Estimaciń o a) Se puede demostrar que E(X 2 ) = 2θ. b) 74. [Sugerencia: a mediante el uso de independencia.86 .59 14. . x ≥ θ 0 en otro caso.51 13. suponiendo una distribuciń normal. con par´metro λ2 . (Sugerencia: ¿cu´l a a es el 95to percentil en t´rminos de µ y σ? Ahora utilice el principio de invarianza. Se observan dos sistemas diferentes de computadora durante un total de n semanas. λ2 = Y el estimado de (λ1 − λ2 ) es X − Y 15. Recopilaciń. Xn . 3. estime el a verdadero promedio de resistencia al corte y su desviaciń estńdar con el m´todo o a e de m´xima verosimilitud a b) Otra vez.4. θ) = λe−λ(x−θ) . . 8.82 y 1. Represente con Xi el n´mero de descomposturas del primer sistema durante la i-´sima u e semana y suponga que las Xi son independientes y obtenidas de una distribuciń de o Poisson con par´metro λ1 . calcule las estimaciones de θ y λ. De forma similar. a) Obtenga los estimadores de m´xima verosimilitud de θ y λ.55.40 Resp: a)θ = 2 Xi 2n 6. .44. escriba la pmf conjunta (verosimilitud) de las Xi y Yi juntas. 5.39.) e Resp: a) 384. represente con Yi el n´mero de descoma u posturas del segundo sistema durante la i-´sima semana y suponga independencia en e cada Yi de Poisson. Utilice este hecho para construir un estimador insesgado de θ con base en i Xi2 (y use reglas de valor esperado para demostrar que es insesgado). que resulten en los valores 3. estime el valor de resistencia abajo o del cual 95% de todas las soldaduras tendrń sus resistencias. Se determina la resistencia al corte de cada una de diez soldaduras elćtricas por puntos e de prueba. 18. b) 415. 2. λ2 y λ1 −λ2 . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. X2 .42. . . . 1. . Rodr´ o o o ıguez F. λ = n (Xi −min(Xi )) 103 . . x! x = 0.2 Ejercicios Propuestos Resp: a) θ = min(Xi ). Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.b) 0. en otro caso. .202 17. . n 19.0132 18. Sea X1 . 2. 0 < x < 1 0. basado en una muestra de a tamaõ n. Cuando la desviaciń muestral estńdar S est´ basada en una muestra aleatoria de o a a una distribuciń normal de poblaciń. 1. . . ¿Cu´l es c a cuando n=20? Resp: 1. . basado en una muestra de a tamaõ n. 2. 0. Considere la distribuciń de Poisson o f (x) = e−λ λx . Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribuciń de probabilidad: o f (x) = (α + 1)xα . Xn una muestra aleatoria de la distribuciń Geom´trica(p) o e f (x) = (1 − p)x−1 p x = 0. a) Encuentre el EMV para p b) Encuentre el EMV para p3 + 2p2 + 1 Recopilaciń. Encuentre el estimador de m´xima verosimilitud de λ. .64. n 20. Encuentre el estimador de m´xima verosimilitud de α.5. se puede demostrar que o o E(S) = Γ( n )σ 2 2 · n−1 n − 1 Γ( 2 ) Util´ ıcela para obtener un estimado insesgado para σ de la forma cS. Rodr´ o o o ıguez F. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Estimaciń o Recopilaciń. .104 Cap´ ıtulo 5. encuentre los l´ ımites que permitan estimar. de tal manera de lograr un error de estimaciń del 3% como m´ximo. (Asuma que el tiempo medio transcurrido hasta que el dolor desaparezca completamente tiene una distribuciń normal) o b) Estime mediante un intervalo de confianza del 90%. a Se les suministr´ una dosis de 5 ml. X = 20 min.Cap´ ıtulo 6 Intervalos de Confianza y Test de Hip´tesis o 6. α = 5% = 0. t1− α .n−1 = t0.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 11 Se realiz´ un experimento considerando 64 pacientes varones de similares caracter´ o ısticas que llegan a un servicio de urgencia con fuertes dolores producidos por c´lculos renales. Rodr´ o o o ıguez F. Adem´s 7 pacientes reaccionaron negativamente por la a dosis.9983 1 I3 segundo semestre de 2000 Recopilaciń. Los resultados e del experimento entregaron los siguientes resultados: X = 20 minutos.63 = 2 1. S = 5 min. o c) Si se toma en consideraciń la informaciń recopila hasta este momento y se desea o o construir un intervalo con 90% de confianza para la proporciń de casos que reacciona o negativamente. la proporciń de pacientes que o reaccionaran de manera negativa ante la suministraciń de la dosis. . o a ¿Cu´l es la cantidad m´ a ınima de pacientes que debe constituir el grupo experimental? ´ SOLUCION De los datos tenemos n = 64. mio a dińdose el tiempo transcurrido hasta que el dolor desaparece completamente. S = 5minutos. De un nuevo f´rmaco para calcular tales dolores. a) Mediante un intervalo de confianza del 95%. el tiempo que tarda el medicamento en eliminar el dolor.05. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.975. q 64 = 0.645 × pq n 7 × 57 64 64 p ∈ p ⇒ p ∈ 7 64 64 ⇒ p ∈ [0. ´ SOLUCION Se sabe que n = 25.01 √σ 25 2 = Z0.88 ≈ 293 PROBLEMA 22 Suponga que a partir de una muestra aleatoria de tama˜ 25.24893] b) p = 7 .C(µ) = [68.645 p = 2 7 . I.045197.645)2 64 57 64 (0.n−1 × 2 1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. 64 Z1− α = Z0. Encuentre un intervalo al 95% de confianza para la media poblacional.01.88 Examen segundo semestre de 2001 Recopilaciń. 21.995 σ 5 2×5 = 2.03)2 pq n = 292. Rodr´ o o o ıguez F.173552] c) = Z1− α × 2 ⇒ n = n = Z 2 pq 2 7 (1.9983 × S √ n √5 64 ⇒ µ ∈ [18.106 a) Cap´ ıtulo 6. asuma que la varianza poblacional es conocida. se ha podido establecer un n intervalo de confianza para la media poblacional que va desde 68 a 72 unidades de medida para un α = 0.575 ≈ 3. Intervalos de Confianza y Test de Hip´tesis o µ ∈ ⇒ µ ∈ X 20 t1− α .89065 Z1− α × 2 1. . 0. ∴ E = 2 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2 2 2 σ σ = Z1− 0. 72] ⇒ X = 70.95 = 1.75106. 520] 5 107 PROBLEMA 33 Una empresa embotelladora lo contrata a Ud.0 y n ≈ 36) 2 3 I3 Recuperativa de 2000 Recopilaciń.1 = Z0.25 ⇒ 300−µ 10 = Z0.C(µ) ∈ [70 1.c. µ ∈ [68. de nivel α = 0.645 × 10 5 2 = (3. si en una muestra de 4 botellas se observa un promedio de 350 c.7734 ⇒ µ = 300 + 7.88 ] ⇒.25 Se tiene Z0. Z1− 0.c.001 = Z0.9995 ≈ 3.C.645.9% ¿Qu´ sucede con e el tamaõ muestral? n ´ SOLUCION a) P (X < 300) = 0. 360).c. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. debido a varios reclamos sobre la cantidad de l´ o ıquido en cada botella.04 para el llenado medio(µ).98 = 2. σ = 10 o 2 yn=4 ∴ µ ∈ 350 2. a) ¿En cuńto debe ser regulado el llenado medio para que s´lo el 25% de las botellas a o tenga menos de 300 c. entonces n debe aumentar (o bien.95 = 1. Rodr´ o o o ıguez F. b) Construya un I.95 = 1. y con una confianza del 90%? Si la confianza sube al 99. Este intervalo ¿Captura a µ? c) ¿Cu´l deber´ ser el tamaõ m´ a ıa n ınimo necesario para estimar µ con un error no mayor a 5 c. 71.1 Ejercicios Resueltos Ahora para un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional se tiene I.04 = Z0. no captura a µ(obtenido en a).c. como Z0. = 5 2 n≥ 1.7 = 307.479.05 × 2 10 2 ⇒ µ ∈ (340.29)2 ≈ 10 Si α disminuye o la confianza aumenta.6. para realizar algunos an´lisis estad´ a ısticos para su l´ ınea de producciń.05.96 3.7 b) Los datos nos entregan la siguiente informaciń x = 350.25 = −Z0. σ = 10.645 y Z1− 0. .75 = −0. c) Z1− α = Z1− 0. Si la m´quina embotelladora sigue una distribuciń normal con media µ y desviaciń estńdar a o o a 10c. 4×0.9 65. α = 0.7404. α = 0.3 63.7 68.8 63.8 64. o ´ SOLUCION a) De la tabla se obtiene X1 = 64. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F.20 ≤ 0.96 2 0.20.1 ⇒ Z0.9 64. con un 95% de confianza y un error de estimaciń inferior a 0.8 70.6. 65.5 68. .108 PROBLEMA 44 Cap´ ıtulo 6.4 62. Se sabe que la o 4 5 Examen segundo semestre de 2001 I3 TAV 2004 Recopilaciń.95 = 1.20 1.05 ⇒ Z0.1 64. n1 = 10.9036] c) p2 = 0.975 = 1.3 64.5995] b) p = 6 10 = 0.2964. σ1 = 1. para lo cual se toman muestras aleatorias.3 71. c) Determine el tamaõ de muestra para estimar la proporciń de aleaciones de magnesio n o tipo 2. a) Calcule un intervalo de confianza para la dureza media de Brinell en aleaciones de magnesio tipo 1. asuma que la varianza poblacional coincide con la varianza muestral(use α = 10%) b) Encuentre un intervalo de confianza para la proporciń de aleaciones de magnesio tipo o 1. que tienen una dureza de Brinell inferior a 64.787.6 61.4 68.8 con un 95% de nivel de confianza.8 63. Intervalos de Confianza y Test de Hip´tesis o Se investiga el grado de la dureza Brinell en dos tipos de aleaciones de magnesio.96 p2 q2 n 0.1 65.2 Suponiendo que los distintos tipos de aleaciń de magnesio de la dureza Brinell se distribuye o normal.2 66. es afectada por el tipo de catalizador utilizado en el proceso de fabricaciń. resultando para cada aleaciń las siguientes durezas de Brinell: o Alineaciń Nro 1 o Alineaciń Nro 2 o 66.6 n ≤ 0.645 ∴ µ ∈ [63.5 64.4 ≈ 24 Se piensa que la concentraciń del ingrediente activo de un detergente l´ o ıquido para ropa. 0.96 ∴ p ∈ [0.9 60.20 n ≥ ∴ n ≥ 24 PROBLEMA 55 × 0.670.9. con una dureza de Brinell inferior a 64.4 E = Z1− α 2 1.6 × 0. si su contenido es inferior a un kilo.4 70. para llenar los paquetes usa dos m´quinas.3 71. o a Se considera que el contenido de harina (kilos) en los paquetes tiene una distribuciń normal.3 65.8296. PROBLEMA 66 Una industria dedicada a la fabricaciń de harina.08 0. Basńdose en la muestra aceptar´ Ud.8 62.1 Ejercicios Resueltos desviaciń estńdar de la concentraciń activa es 3 g/l sin importar el tipo de catalizador o a o utilizado.5704] b) Como 0 no esta en el intervalo de confianza.04 1.2 1.6. . 6 Examen segundo semestre de 2003 Recopilaciń.0 68. Rodr´ o o o ıguez F. 0.1 1.9 1 1. Use un nivel de confianza del 99%.06 1.7 68. sospecha que est´ no est´ funo a a a cionando correctamente y que existir´ una diferencia.15 0.09 1.6 63.6 67.9 1.22. En base a la muestra total (17 paquetes) y usando un nivel de significancia del 8%. las concentraciones activas medias dependen del catalizador utilizado.07 a) Se considera que un paquete no cumple con las normas. σ1 = σ2 = 3.4 67. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. ¿Qu´ sucede con el o e tamaõ del intervalo anterior si el nivel de significancia es del 5%? n b) La persona encargada de la mantenciń de la m´quina A.6 69.2 64.3 69.4 65. se toma una muestra aleatoria de cada m´quina a obteniendo los siguientes resultados: M´quina A a M´quina B a 1.6 69.42.92 1. y se obtienen los siguientes resultados: Catalizador 1 Catalizador 2 57. respecto del contenido medio ıa de los paquetes llenados por la m´quina B.08 0.2 65. b) ¿Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones activas medias dependen del catalizador utilizado? ´ SOLUCION a) Los datos nos entrega x1 = 65. o Para estudiar el contenido de estos paquetes. estime la proporciń de paquetes que cumplan con la norma.13 1. la a a ıa sospecha del encargado.2 71. x2 = 68.03 1.8 109 a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de las concentraciones activas para los dos catalizadores.08 1. Zα/2 = 1.05 1.4 66.7 65.9 66. Se realizan diez observaciones con cada catalizador.96 µ1 − µ2 ∈ x1 − x2 Zα/2 2 σ1 n1 + 2 σ2 n2 µ1 − µ2 ∈ [−5. 0.0. Las piezas de A son defectuosas con probabilidad p1 y las de B con probabilidad p2 .C ı 2 2 .1−α/2 Ahora podemos utilizar I.01.072 − 1.033) + 1 t15.96.09874.007 7.5950] 2 σB 2 σA Aqu´ 1 ∈ I.8.006 F 0.82.18 17 ∴ p ∈ [0. con α = 1% PROBLEMA 77 Supongamos que un fabricante necesita cierta pieza que puede ser proporcionada por dos abastecedores A y B.983] Para α = 0.006 8+9−2 Sp + = 0. n = 17 pq n Z1− α 2 = 0.0.95 = 1. Z0.0.C 2 σB 2 σA = 1 8.0.8.006 F .995 9 µA − µB ∈ [−0.0. as´ el I. 6.110 ´ SOLUCION a) Sea p = p∈ p 14 17 Cap´ ıtulo 6.072. q = 0. a un mismo precio. ¿Cu´l es el provedor con menor proporciń de piezas defectuosas.0804 0. XA = 1.995 1 F8.C(µA − µB ) = (1. luego podemos asumir σB = σA 1 n1 1 t n2 n1 +n2 −2.007. SA = 0.C.18. Rodr´ o o o ıguez F. luego el tamaõ aumenta en 0.005 = ∴ I.154] ⇒ µA = µB .1152 = [0.05.2 n 2 2 2 b) De la tabla se obtiene SB = 0.076.656.006.007 7.06.975 = 1.033.0804 1 8 Luego I. Intervalos de Confianza y Test de Hip´tesis o = 0.0. 0.82×0.C(µA − µB ) = (XA − XB ) 2 donde Sp = 7×0.995 = 7.007+8×0. Supongamos adem´s que de 100 piezas del proveedor A a se encontraron 10 piezas defectuosas. .64 Examen recuperativo segundo semestre de 2003 Recopilaciń.C 2 σB 2 σA = 0.8. 0. Z1− α = Z0.755 0.82 1.7. p2 = y = 9 150 = 0. XB = 1.005 0.6942 y F7.6781 = 0. ı I. a o ´ SOLUCION De los datos se tiene p1 = x = 7 10 100 = 0.995 donde F7.8. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.006466 ⇒ 0. mientras que de 150 del proveedor B se encontr´ 11 o defectuosas. 3 50 + 0. se hicieron las determinaciones de calcio en el suero sangu´ ıneo de estos animales.1mg/100cc .¿Cuńtos de los pacientes deber´ haber remitido para que los investigadores a ıan pudiesen afirmar con α = 0.7 hist´rico o H0 : p = 0. no podemos establecer cual es el proveedor con menor proporciń de piezas defectuosas.06) 1.025 = Z0.8mg/100cc . Estudiando un nuevo m´todo de tratamiento.96 ⇒ p > 1.7×0.90 100 111 + 0. Hist´ricamente esto ha producido o o una tasa de remiciń del 70%.7×0.1 Ejercicios Resueltos As´ ı.6. . S1 = 2.8270 = 41. p1 − p2 ∈ (0. se utilizaron 50 o e voluntarios.06×0. o PROBLEMA 88 El m´todo usual para tratar la leucemia mielobl´stica aguda es tratar al paciente intensae a mente con quimioterapia en el momento del diagn´stico.3 50 ∴ para que T > Z1−α ⇒ √p−0. PROBLEMA 99 Veinticuatro animales de laboratorios con deficiencia de vitamina D se dividieron en dos grupos de igual tamaõ. S1 = 1.3 50 0.986].96 0. donde Z1−α = Z1−0.64 0.025.10 − 0. como este intervalo contiene al cero. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.0mg/100cc Grupo 2 X2 = 7. El grupo 1 recibi´ un tratamiento consistente en una dieta que n o proporcionaba vitamina D.10×0.94 1/2 150 ∴ p1 − p2 ∈ [−0. obtenińdose e los siguientes resultados: Grupo 1 X1 = 11.7 > 1.96 T = p − p0 p0 q0 50 = p − 0.35 Luego deben ser al menos 42 pacientes.7 0.7 Se quiere rechazar H0 .5mg/100cc 8 9 I3 Recuperativa segundo semestre de 2000 Examen segundo semestre de 2000 Recopilaciń. 0. al t´rmino del per´ e ıodo experimental. El grupo 2 no fue tratado. es decir T > Z1−α .7 H1 : p > 0.0186. Rodr´ o o o ıguez F.8270 ∴ np = 50 × 0.975 = 1.7×0. que el nuevo m´todo produce remisiones m´s altas que el e a antiguo? ´ SOLUCION p= 70 100 = 0.7 ⇒ p > 0. n2 −1.95 = 2.8 H1 : µ > 10.1−10.0)2 = 1.05. Volvamos a nuestra prueba de hip´tesis de inter´s. Concluya.0. es decir. Rodr´ o o o ıguez F.9. entonces no hay evidencia es2 2 tad´ ıstica de rechazar H0 . Intervalos de Confianza y Test de Hip´tesis o a) Se espera que el grupo que recibe la dieta que proporciona vitamina D.77 F11.05 = 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.1−α/2 = F11.0.7677 y t1−α.5727.8 = 0.0. Realice el contraste correspondiente.3549 o Fn1 −1.3212.8176 = 0.3549. ¿Cu´l ser´ la conclusiń de este experimento con un α = 0.7959. b) Nuestra prueba de hip´tesis de inter´s es o e H 0 : µ1 = µ 2 H 1 : µ1 > µ 2 ¿Las varianzas poblacionales serń iguales? para responder a esto haremos la siguiente a prueba de hip´tesis o 2 2 H0 : σ1 = σ2 2 2 H1 : σ1 = σ2 El estad´ ıstico de prueba es F = S1 = (2.5727 > t0.n1 +n2 −2 = t0. y como T = 4.22 = 1. 2 11.α/2 = 2 (1.n−1 = t1−0.77 y el valor de tabla es Fn1 −1.8 √1 1 1.11 = 1. por lo tanto no podemos rechazar H0 .95 = 2.11 = t0.77 F11.95. no evidencia estad´ ıstica para pensar que supere significativamente los 10. el contenido medio de calcio del grupo 1 es significativamente mayor al del grupo 2. Como F = 1.3212.8mg/100cc. donde Sp = 2 2 (n1 −1)S1 +(n2 −1)S2 n1 +n2 −2 = 11(22 +1. se observe una cantidad promedio de calcio que supere significativamente los 10.1−7.0.11.11.8mg/100cc.22 = 1.519615 y t1−α. .5) 2 1 F11.n2 −1.7677 12 + 12 = 4. es decir.05 = 2.10? a ıa o ´ SOLUCION a) H0 : µ = 10. luego σ1 = σ2 .871.52 ) 22 = Recopilaciń.11. considerando un nivel de significaciń del 5%.9. o b) Para el contraste: H0 : El contenido medio de calcio en ambos grupos es similar (versus) H1 : El contenido medio de calcio del grupo 1 es significativamente mayor al del grupo 2.871 o F = 1.11.8 x−µ0 √ T = S/√n = 11. con esto se 2/ 12 puede ver que T t1−α .112 Cap´ ıtulo 6. rechazamos H0 . sabiendo ahora que las varianzas o e poblaciones son iguales y desconocidas T = x1 −x2 1 1 Sp n + n 1 S2 2 = 1. 1. ¿Aportan los datos evidencia de que al nivel α = 5% las calificaciones del plan B tienden a ser mayores que las del plan A? ¿Para qu´ valores de α el test es e significativo? (Asuma normalidad).986037 = 0. En la tabla se presentan los resultados del estudio. Nos interesa lo siguiente: o a a) Para α = 0. t0.86 se rechaza H0 valor-p=P (t8 > 2. y P (T < 2.14.8/ 9 ≈ 2. 8 = 1. ¿qu´ se puede decir acerca de la decisiń tomada en (a)? e o Sugerencia: Utilize el hecho P (T < 7.6 √ 1. para mejorar la seguridad de sus empleados: el plan A y el plan B. La muestra proporciona una media de 12.0 D.9999475. Plan A B ´ SOLUCION Muestras pareadas H 0 : µd ≤ 0 H 1 : µd ≥ 0 tc = d√ Sd / n 113 Juez 1 2 3 4 5 6 7 8 10 7 8 7 6 7 9 6 9 10 9 8 10 9 8 8 9 7 10 Prom. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.E.05 . s´lo si los datos respaldan la evidencia nıa a a o de que los expertos califican mejor el plan B que al plan A. con una desviaciń estńdar de 1.68. o b) Determinar la probabilidad de cometer error tipo II. y cada uno es conducido con un litro de gasolina en las mismas condiciones. verificar la afirmaciń del fabricante.68) = 1 − 0. . PROBLEMA 1111 Un fabricante sostiene que el modelo de auto A. Rodr´ o o o ıguez F.45) = 0.68) = 1 − P (t8 ≤ 2.86 como tc > 1.34 km/lt. que es m´s caro.8 µ d = µB − µA = 1.26 km/lt.05.4% el test se rechaza. Para ayudarle a tomar una decisiń.4 9.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 1010 El presidente de una empresa debe seleccionar un plan.07) = 0. De acuerdo a esto.3 0. si el verdadero valor de µ es de 11 km/lt. Se selecciona una muestra de 9 de ´stos veh´ e ıculos. ∀ α > 1. La compa˜´ adoptar´ el plan B. 7.6. tiene un rendimiento promedio de 13 kil´meo tros por litro de gasolina. de entre dos que se le presenta. por lo tanto.9800316 10 11 I3 TAV 2004 Control 4 segundo semestre de 2003 Recopilaciń. 9 expertos en seguridad examinan ambos planes y a cada uno se le pide que los o clasifiquen en una escala de uno a diez(las clasificaciones altas son para los mejores planes). 20km/lt . es decir la afirmaciń o del fabricante es correcta.31|µ = 11) = P (12.57.20)2 . 1.31. realizar o a la prueba correspondiente.07) = 0.26 H1 σ 2 = (1.0298 < x < 13.9702|µ = 11) ¯ = P ( (12.¿Qu´ tamaõ de muestra se requiere o e n para lograr que las probabilidades de error tipo I y II sean ambas iguales a 0. no podemos rechazar H0 .05 la regiń critica es RC = {|tc | < t1−α/2 }.9999475 − 0.02? ´ SOLUCION a) Supongamos que el rendimiento por litro de gasolina del auto de tipo A es un variable con distribuciń normal.45 < T < 7. Si µ = 10 en la hip´tesis alternativa.34−13)3 tc = = −1. Intervalos de Confianza y Test de Hip´tesis o c) Si el fabricante sostiene que la desviaciń estńdar poblacional es de 1.26 Luego como |tc | = 1.20)2 Recopilaciń. b) β = P (No rechazarH0 |µ = 11) = P (|T | < 2.57 t0. para un rendimiento real de 11 km/lt.31 < 3(¯−13) x 1. d) Supongamos que otro fabricante sostiene que el rendimiento promedio del auto de marca A es mayor a lo indicado por el primer fabricante y adem´s suponga que σ = a 1.20 km/lt.26 < 2. o La prueba planteada est´ dada por: a H0 : µ = 13 H1 : µ = 13 Para un α = 0.01991583 Dado que cometer error de tipo II es relativamente baja.114 Cap´ ıtulo 6.31|µ = 11) = P (−2. (13.975 = 2.9702−11)3 ) 1.9800316 = 0.26 = P (2. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.0298−11)3 < T < 1. y el valor observado o (12. la decisiń de no rechazar H0 en a) es adecuada o c) H0 : σ 2 = (1. Rodr´ o o o ıguez F. as´ el tamaõ de muestra que se ı n requiere para lograr que las probabilidades de error tipo I y II sean ambas iguales a 0. Rodr´ o o o ıguez F.202 = 8. lo que sostiene el fabricante es correcto.02 = P (X ¯ c|µ = 10) ≥ c − 10 √ 1.82 χ2 χ2 0.975.5 y n = 2.02 = P (X < c|µ = 13) c − 13 √ 1.02 = Φ (1) Para β β = 0.20/ n H1 : µ < 13 0.1 Ejercicios Resueltos El estad´ ıstico de razń de verosimilitud es χ2 = o (n−1)S 2 2 σ0 115 = 8(1.82 0.98 = Φ (2) Luego de (1) y (2) se tiene c=11.02 es de n = 3.8 = 17.53 no podemos rechazar H0 .8 = 2.26)2 1. es decir.6896. d) Para el otro fabricante la prueba de hip´tesis es: o H0 : µ ≥ 13 Para α se tiene ¯ α = 0.6.025. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Recopilaciń.20/ n 0. .18 y χ = 8.82 2 Como χ2 = 8. Rodr´ o o o ıguez F. Al mismo tiempo y en forma independiente.a con distribuciń normal. ¯ a) Construya un intervalo de confianza bilateral del 90% para la diferencia entre las medias del volumen de llenado. el banco B seleccion´ al azar 200 personas de entre sus 5000 clientes con cuenta corriente. u a) Determine el EMV de p. Supongamos que la longitud de los clavos producidos por una m´quina constituye a una v. en los bancos A y B.10.2 Ejercicios Propuestos 1. a causa de algń defecto. . respectivamente.116 Cap´ ıtulo 6. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. En determinada empresa de productos qu´ ımicos . Estime la diferencia en la proporciń de clientes con cuentas o corrientes que regularmente usan otros servicios del banco. c) Determine el n´mero de planchas requerida para asegurar con una confianza de u 0. o a) Construir un intervalo de confianza del 99% para la longitud media de los clavos producidos por esta m´quina. 1.87 onzas de u ¯ liquido y x2 = 30. a Se toman dos muestras aleatorias de n1 = 12 botellas de la maquina 1 y n2 = 10 botellas de la maquina 2.14. 1. Los vol´menes promedio de llenado son x1 = 30. es p(desconocido). 1. El banco o A encontr´ que 89 personas en esta muestra utilizaban regularmente otros srvicios del o banco. basado en los valores observados de una muestra de 1000 planchas fabricadas por esta m´quina. se encontr´ que 12 de 100 presentaban defectos o a) Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la proporciń de defectuosos en o el proceso. Se sabe que las desviaciones estńdar del volumen de llenado son σ1 = 0.14.15 onzas de l´ ıquido para las dos m´quinas. Use α = 0. a b) Construir un intervalo de confianza del 90% para la varianza poblacional 3. Recopilaciń. determine un intervalo de confianza del 95% para p. Se utilizan dos m´quinas para llenar botellas de pl´stico con detergente para m´quinas a a a lavaplatos. ¿cu´l es el posible error si la proporciń es estimada a o por 0.95 que el error en la estimaciń de la proporciń de planchas de seguna clase . b) Con un 99% de confianza. 4. Intervalos de Confianza y Test de Hip´tesis o 6.02. durante un proceso de control de calidad .12? 2. La probabilidad que una plancha de Zinc fabricada por una m´quina sea declarada de a “segunda clase”.12. El banco A seleccion´ una muestra al azar de 250 personas de entre sus 10000 clientes o con cuenta corriente.02 5. 1.68 onzas de liquido.10 a onzas de l´ ıquido y σ2 = 0. a b) Si en 1000 planchas seleccionadas al azar en un d´ de porducciń se encuentra ıa o que 30 son de segunda. mientras que el banco B encontr´ que 52 personas de la muestra utilizaban o otros servicios del banco. o o no sobrepase de 0.15. Una muestra de 5 clavos proporciona la siguiente o informaciń en cuanto a longitud(en pulgadas): 1. 6.2 Ejercicios Propuestos b) Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias del volumen de llenado. Compare el ancho de este intervalo con el ancho del calculado en el inciso a). 6. Para cada una de las siguientes aseveraciones establezca si es una hip´tesis estad´ o ıstica leg´ ıtima y por qu´. e a) H : σ > 100 b) H : x = 45 ¯ c) H : s ≤ .20 d) H : σ1 /σ2 < 1 ¯ ¯ e) H : X − Y = 5 f) H : λ ≤ 0.01, donde λ es el par´metro de una distribuciń exponencial empleada a o para un modelo de duraciń de componentes. o 7. Se ha propuesto un nuevo diseõ para el sistema de frenos de cierto tipo de autom´vil. n o Si se sabe que para el sistema actual el verdadero promedio de distancia de frenado a 40 millas por hora (mph), bajo condiciones especificadas, es 120 pies. Se propone que el nuevo diseõ se ponga en prćtica s´lo si los datos muestrales indican de manera n a o contundente una reducciń en el verdadero promedio de distancia de frenado para el o nuevo diseõ. n a) Defina el par´metro de inter´s y establezca las hip´tesis pertinentes. a e o b) Suponga que la distancia de frenado para el nuevo sistema est´ normalmente a ¯ el promedio muestral de distancia de distribuida con σ = 10. Represente con X frenado para una muestra aleatoria de 36 observaciones. ¿Cu´l de las siguientes a regiones de rechazo es apropiada: R1 = {¯ : x ≥ 124.80}, R2 = {¯ : x ≤ 115.20}, x ¯ x ¯ R3 = {¯ : x ≥ 125.13o¯ ≤ 114.87}? x ¯ x c) ¿Cu´l es el nivel de significancia m´s adecuado para la regiń de la parte b)? a a o ¿C´mo cambiar´ la regiń para obtener una prueba con α = 0.001? o ıa o d) ¿Cu´l es la probabilidad de que el nuevo diseõ no se ponga en prćtica cuando a n a su verdadero promedio de distancia de frenado es en realidad 115 pies y la regiń o apropiada de la parte (b) sea utilizada? 8. Antes de convenir en la compra de un pedido grande de hojas de polietileno, para un tipo de cables elćtricos de alta presiń, llenos de aceite para submarino, una compa˜´ e o nıa desea ver evidencia concluyente de que la verdadera desviaciń estńdar de grosor del o a forro es menor de 0.05 mm. ¿Cu´les hip´tesis deben probarse y por qu´? En este a o e contexto, ¿Cu´les son los errores tipo I y tipo II? a 9. Una muestra aleatoria de 150 donaciones recientes en un banco de sangre revela que 92 eran de sangre tipo A. ¿Sugiere esto que el porcentaje real de donadores tipo A difiere del 40%,el porcentaje de la poblaciń con sangre tipo A?. Haga una prueba de o hip´tesis adecuada,con un nivel de signi.cancia de 0.01. ¿Ser´ distinta su conclusiń o ıa o si se usara un nivel de significancia de 0.05?. Recopilaciń, Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. 117 118 Cap´ ıtulo 6. Intervalos de Confianza y Test de Hip´tesis o 10. El art´ ıculo “An Evaluation of Football Helmets Under Impact Conditions”(Amer. J. Sport Medicine, 1984, pp. 233-237) reporta que cuando se someti´ a cada casco de o f´tbol, de una muestra aleatoria de 37 del tipo de suspensiń, a cierta prueba de u o impacto, 24 mostraron daõs. Sea p la proporciń de todos los cascos de este tipo que n o muestran daõs al probarse de la manera descrita. n a) Calcule un intervalo de confianza de 99% para p. b) ¿Qu´ tamaõ de muestra se requirir´ para que el ancho de un intervalo de cone n ıa fianza de 99% fuera 0.10 a lo sumo, independientemente de p? 11. Se hicieron las siguientes observaciones de resistencia a la fractura de placas base de 18% de acero maragizado al n´ ıquel [“ Fracture Testing of Weldments”, ASTM Special √ Publ. No. 381, 1965, pp. 328-356 (en ksi pulg, dadas en orden creciente)]: 69.5 71.9 75.8 76.1 79.7 79.9 72.6 76.2 80.1 73.1 73.3 76.2 77.0 82.2 83.7 73.5 77.9 93.7 75.5 78.1 75.7 79.6 Calcule un intervalo de confianza de 99% para la desviaciń estńdar de la distribuciń o a o de la resistencia a la fractura. ¿Es v´lido este intervalo, cualquiera que sea la naturaleza a de la distribuciń? Explique. o 12. Dos empresas distintas desean establecerse en cierta regiń y brindar servicios de teo levisiń por cable. Denote por p la proporciń de suscriptores potenciales registrados o o que prefieren la primera empresa sobre la segunda. Considere probar H0 : p = 0.5 contra Ha : p = 0.5, con base en una muestra aleatoria de 25 individuos. Represente con X el n´mero de suscriptores en la muestra que est´ a favor de la empresa, y con u a x el valor observado de X. a) ¿Cu´l de las siguientes regiones de rechazo es la m´s adecuada y por qu´? a a e R1 = {x : x ≤ 7 o x ≥ 18} R2 = {x : x ≤ 8} R3 = {x : x ≥ 17} b) En el contexto de la situaciń de este problema, describa cu´les son los errores de o a tipo I y tipo II. c) ¿Cu´l es la distribuciń de probabilidad del estad´ a o ıstico de prueba X cuando H0 es verdadera? Util´ ıcela para calcular la probabilidad de un error tipo I. d) Calcule la probabilidad de un error de tipo II para la regiń seleccionada cuando o p =0.3, de nuevo cuando p =0.4, p =0.6 y p =0.7 . e) Mediante el uso de la regiń seleccionada, ¿qu´ concluye si 6 de los 25 individuos o e favoreci´ a la primera empresa? o Recopilaciń, Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. Cap´ ıtulo 7 Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste 7.1 Ejercicios Resueltos PROBLEMA 11 Un investigador desea contrastar ciertas hip´tesis que tiene sobre el analfabetismo en comuo nidades Aymar´s. B´sicamente, ´l piensa que en las comunidades rurales el analfabetismo a a e es mayor que en comunidades semi-rurales. Para verificar su hip´tesis lleva a cabo encuestas o en dos comunidades, en la primera de tipo rural, entrevista aleatoriamente a 200 comuneros. Mientras que, en la comunidad semi-rural se entrevistan a 180 comuneros aleatoriamente. Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla. Rural Semi-Rural 110 115 90 65 200 180 Total 225 155 380 Analfabetos Alfabetos Total Plantee las hip´tesis correspondiente. ¿Qu´ dir´ al investigador basńdose en esta informao e ıa a ciń?. Use α = 5% o ´ SOLUCION H0 :Existe homogeniedad entre las comunidades rurales y semi-rurales con respecto a su analfabetismo H1 :No existe homogeniedad Los valores esperados son 1 Examen Recuperativo de 2003 Recopilaciń, Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. 6 73.08 118.08 χ2 1.4 2 2 El valor de tabla esta dado por χ2 (I−1)(J−1).0.95 = 3. o b) Si se sabe que a nivel nacional la proporciń de personas que mueren en este tipo dee o operaciones es del orden del 30%.4 200 180 Total 225 155 380 Analfabetos Alfabetos Total Entonces el estad´ ıstico del test queda de la siguiente forma (110 − 118.84 y como. podemos concluir que no existe evidencia suficiente de rechazar H0 . χc = 3.0.4)2 (115 − 106. Test de Homogeneidad. .95 = 3. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.4)2 + + + = 3. ¿Hay diferencia significativa en relaciń con los datos o obtenidos con los hospitales universitarios?(Recuerde que la hip´tesis alternativa es en o relaciń a lo que la muestra sugiere) o (Use el valor α = 5% tanto para la parte a)como para la parte b)). es decir en las comunidades rurales el analfabetismo es similar que en comunidades semi-rurales. Fueron seleccionados e o para su estudio 139 pacientes de operaciones de alto riesgo en hospitales universitarios.6 81. murieron 32 y de la muestra extra´ de los otros hospitales ıda murieron 62. a) Contrastar la hip´tesis nula de no asociaciń.6 73.1. otros 528 pacientes fueron escogidos de otro tipos de hospitales. De los pacientes tratados en hospitales universitarios. χ2 = c PROBLEMA 22 Se realiza un estudio sobre la asociaciń(dependencia) entre tipo de hospital y muerte en o hospital despu´s de una operaciń de alto riesgo durante el mes de julio.6)2 (65 − 73. Independencia y Bondad de Ajuste Rural Semi-Rural 118. ´ SOLUCION a) H0 :No hay asociaciń.4 106.1−α = χ1.84.1. Rodr´ o o o ıguez F. Para ello construya una tabla adecuada o o al problema y plantee las hip´tesis correspondiente.6)2 (90 − 81.120 Cap´ ıtulo 7. H1 :Hay asociaciń o o Tipo de Hospital Universitario Otros 32 62 107 466 139 528 Condiciń Muerte o operaciń o Vive Total Los valores esperados son 2 Total 94 573 667 I3 segundo semestre de 2000 Recopilaciń.4 106.6 81. 645.41)2 (107 − 119.95 = 3.96 n n y Zα = −Z1−α = −Z1−0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.41 119. respecto a lo especificado por la reglamentaciń. χc = 11. como lo especifica la o reglamentaciń.3 H1 : p < 0.59 χ2 c 2 2 El valor de tabla esta dado por χ2 (I−1)(J−1).1.23×0. utilizado en inmersiń.41 119. o b) H0 : p = 0. PROBLEMA 33 Las especificaciones en la producciń de tanques de aire.95 = −1.77 = −1. requiere o o que los tanques se llenen a una presiń promedio de 600 libras por pulgadas cuadradas(psi) o con una desviaciń estńdar de 10 psi.59 139 528 121 Condiciń Muerte o operaciń o Vive Total Total 94 573 667 Entonces el estad´ ıstico del test queda de la siguiente forma (32 − 19.56 > χ2 1.3(lo que sugieren los datos) p= 32 . o La muestra aleatoria de 1000 tanques que Ud. .3 Zc = √ p0 q0 = √ 0. es decir hay diferencia significativa en relaciń con los datos obtenidos con o los hospitales universitarios.0. con un 5% de nivel de e ıa o significaciń? o 3 Examen segundo semestre de 2000 Recopilaciń.23−0.41 453.1−α = χ1.59)2 = + + + = 11. 139 p−p0 0. obtuvo es la siguiente Presiń de o llenado(psi) Menos de 580 580-590 580-590 600-610 610-620 620 y m´s a N◦ de Tanques 20 142 310 370 128 30 ¿Qu´ concluir´ Ud. ha sido contratado por una o a importante f´brica de equipos de inmersiń. Rodr´ o o o ıguez F.84 y como.05 = −Z0. y como Zc < Zα ⇒ rechazo H0 con α = 5%.59 74.41 453.95 = 3. que produce este tipo de tanques y su primera a o tarea es verificar si la presiń de llenado se distribuye normalmente. es decir hay asociaciń.84.7.41)2 (466 − 453. Ahora suponga que Ud. podemos concluir que existe evidencia suficiente de rechazar H0 .56 19.59)2 (62 − 74.1.0.1 Ejercicios Resueltos Tipo de Hospital Universitario Otros 19.59 74. 3413 0.9 341.3413 0. .3 341. con un 1−α 135.122 Cap´ ıtulo 7.028 − 0.8 135.8413 = 0.3)2 (370 − 341.8 1000 H0 : X ∼ N (600.0228 − 0.9)2 (30 − 22. Test de Homogeneidad.0228 1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.6344 y como χc < χ2 = 11.1587 − 0.9 22. obtenińdose los o e siguientes resultados Horas Frecuencia 4 < 20 5 20-40 40-60 26 34 60-80 22 ≥ 80 13 I3 TAV 2004 Recopilaciń.0 npi 22.0228 0.3413 p2 = P (580 < X < 590) = P Z < p3 = P (590 < X < 600) = P Z < p4 = P (600 < X < 610) = P Z < p5 = P (610 < X < 620) = P Z < p6 = P (X > 620) k − 0.5 = 0.9 341.3413 = 0.5 = 0.1359 = 0.3 341.0228 = 1−P Z < (620−600 10 Luego (Oi − Ei )2 (20 − 22. Independencia y Bondad de Ajuste ´ SOLUCION X(psi) menos de 580 580-590 590-600 600-610 610-620 620 y m´s a ni 20 142 310 370 128 30 1000 pi 0. 100) p1 = P (X < 580) = P Z< (580−600 10 (590−600 10 (600−600 10 (610−600 10 (620−600 10 = 0.8413 − 0.3 i=1 (128 − 135.1359 0.8413 = 0.5 − 0.3 135. 100) H1 : X N (600.8 135.9772 − 0.9772 = 0. Rodr´ o o o ıguez F.8)2 (142 − 135.8 α = 5% χ2 c = PROBLEMA 44 Se observo la duraciń en horas de 100 pilas de una determinada marca.8)2 + = 8.3)2 = + + + + Ei 22.071 ⇒ Aceptar H0 .1587 = 0.0228 = 0.9 22.1359 = 1 − 0.1359 0.9)2 (310 − 341.1587 − 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.2 38. (O −E )2 5 I3 TAV 2004 Recopilaciń. Rodr´ o o o ıguez F.72.81. χ2 = 7. 202 ) H1 : X N (50.4 = 9. .3 0.383 60-80 22 24. Use α = 0. Los resultados son los siguientes: Resultado Muertos Vivos.069 20-40 40-60 26 34 24. por lo tanto los c 0.9 0.26.7 0.242 ≥ 80 13 6. 202 ) Horas 0i Frecuencia Ei pi χ2 = c (Oi −Ei )2 Ei 123 <20 5 6.242 0. χ2 0. como χ2 > χ se rechaza H0 .05. use α = 5% ´ SOLUCION Prueba de homogeneidad ij ij χ2 = = 10.7. Se toman cuatro muestras aleatorias independientes de 200 insectos y se someten a la acciń de uno de los cuatro insecticidas.1 Ejercicios Resueltos ¿Hay evidencia suficiente para rechazar la hip´tesis de que los datos siguen una distribuciń o o normal de par´metros µ = 50 y σ = 20. registrńdose el n´mero o a u de insectos muertos.05 c Eij insecticidas son diferentes en su eficacia.49. pero est´riles e Insecticida 1 124 76 Insecticida 2 147 53 Insecticida 3 141 59 Insecticida 4 152 48 Lleve a cabo un test de hip´tesis que permitan decidir si los insecticidas son diferentes en su o eficiencia.05 a ´ SOLUCION H0 : X ∼ N (50.2 0. como χc > χ se rechaza H0 PROBLEMA 55 Una compa˜´ de productos qu´ nıa ımicos experimenta con cuatro mezclas distintas para un compuesto de un insecticida.067 2 2 = 7. 1. X ∼ N (µ.. . . si qet < 1 t r. β) x(α−1) e β Γ(α)β α −x αβ αβ 2 (1 − βt)−α x>0 X ∼ Erlang(r. . N. . p) x−1 r−1 pr q x−r r p rq p pe [ 1−qe ]r .. Rodr´ o o o ıguez F.c... n) X ∼ P (µ = λt) 1 b−a .. b) 0. .. X ∼ Bineg(r. X ∼ U (a. r + 1. si qet < 1 1.2. a<x<b e... 2. Test de Homogeneidad. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. µ µ eµ(e t −1) 0..1. 1 X ∼ Bin(n. σ 2 ) √ 1 e− 2πσ 2 (x−µ)2 2σ 2 µ σ2 eµt+ σ 2 t2 2 R X ∼ Gamma(α. min(M.... a+b 2 (b−a)2 12 etb −eat t(b−a) R X ∼ E(λ) λe−λx 1 λ 1 λ2 λ λ−t . n X ∼ G(p) pq x−1 . Independencia y Bondad de Ajuste FORMULARIO P (X = x) px (1 − p)1−x n x E(X) V (X) MX (t) q + pet (q + pet )n pet 1−qet RX (x) X ∼ B(p) p pq 0. 1..124 Cap´ ıtulo 7... p) px (1 − p)n−x np 1 p npq q p2 0.t ≤ λ 0.o. 1. λ) λr xr−1 e−λx (r−1)! r λ r λ2 λ ( λ−t )r x>0 Recopilaciń. X ∼ H(M. n) (M )(N −M ) x n−x (N ) n µx e−µ x! np n M ( N −M )( N −n ) N N N −1 0.. Recopilaciń. . Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M. Rodr´ o o o ıguez F. 60 2.71 1.72 2.33 1.76 3.005 3.86 0. Tablas de distribuciń o Cap´ ıtulo 8 Tablas de distribuciń o 8.53 2.69 3.96 9.04 Magnitud de α en una cola 0.60 12.72 3.65 3.35 1.23 2.09 2.08 1.50 2.79 3.05 1.96 2.57 3.75 4.86 0.07 1.02 2.59 4.31 1.85 0. Rodr´ o o o ıguez F. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.55 2.14 2.86 0.77 2.03 1.38 1.94 2.89 2.71 31.10 1.75 3.01 1.13 1.73 2.85 3.49 2.33 1.33 2.16 2.05 0.78 1.06 1.35 3.71 2.96 1.82 1.54 2.15 1.92 4.58 2.58 0.88 0.86 0.40 1.89 2.41 5.64 2.72 2.95 1.92 1.90 3.18 4.22 4.41 1.01 3.88 3.31 1.01 0.04 2.85 0.88 0.07 2.86 0.29 Recopilaciń.87 5.82 63.94 0.11 1.06 2.78 2.06 1.17 1.07 1.19 1.90 1.32 1.71 3.53 2.85 0.09 1.47 2.85 1.86 0.46 2.86 0.06 2.06 1.28 1.36 1.84 0.126 Cap´ ıtulo 8.76 1.07 1.34 1.78 3.11 1.06 1.20 1.48 2.98 1.36 1.87 0.31 1.47 2.12 1.70 2.86 0.88 0.13 2.32 1.72 2.87 0.88 1.18 2.51 2.82 3.06 1.36 4.26 2.08 2.11 2.06 1.92 1.82 3.31 12.10 2.08 6.35 1.67 3.16 1.39 1.87 0.92 0.38 1.37 1. .49 2.08 1.79 1.66 1.36 3.86 1.54 5.86 0.45 3.33 1.65 3.1 Distribuciń t de Student o gl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ∞ 0.14 3.71 2.32 1.86 0.32 1.57 2.06 0.06 2.05 2.31 1.70 2.10 0.75 2.36 1.87 0.05 1.76 1.07 1.62 2.06 1.68 3.74 2.83 1.07 1.07 4.66 3.25 1.81 2.64 1.70 2.86 0.06 1.31 2.00 3.07 2.0005 636.80 2.09 2.09 1.97 3.83 2.91 0.33 1.52 2.14 4.78 4.89 0.58 31.90 0.50 1.48 2.31 1.75 1.92 3.84 1.76 2.04 4.61 6.77 1.05 2.86 2.30 6.32 1.77 3.05 2.25 1.71 2.73 2.44 4.025 0.75 2.70 2.44 1.98 0.92 8.80 1.73 3.86 0.13 2.60 1.06 1.71 2.46 2.20 2.06 1.96 5.34 1.32 4.81 1.08 1.12 2. 45 16.68 16.34 12.95 19.17 2.73 26.12 11.10 0.34 14. Rodr´ o o o ıguez F.09 16.99 1.001 10.30 0.09 12.02 0.49 9.99 18.25 19.01 0.63 8.48 0.41 0.04 5.22 28.86 12.65 14.39 12.34 18.31 11.32 27.36 21.55 21.20 30.35 11.21 0.02 14.07 13.8.71 3.12 37.45 0.01 5.35 0.75 0.27 30.54 26.85 32.63 6.73 2.44 3.83 4.36 4.03 19. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.71 1.57 4.91 10.59 25.23 6.58 1.06 1.68 18.81 6.74 27.09 21.82 16.35 5.82 4.16 32.20 3.34 gl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0.02 6.30 8.34 26.69 29.60 9.82 26.70 39.18 2.68 6.09 2.14 del Area hasta +∞ 0.58 0.30 24.61 2.22 11.91 7.63 7.39 2.92 0.70 3.88 29.19 38.32 2.77 27.81 7.85 36.16 2.79 42.45 1.11 5.53 34.91 34.49 21.05 2.92 15.73 3.00 0.58 7.84 9.35 7.51 22.63 7.25 3.995 0.39 10.00 0.005 5.34 16.81 22.28 14.14 31.67 0.21 0.01 0.28 19.24 1.14 13.86 13.07 10.84 11.21 25.48 20.32 26.57 7.92 24.06 23.31 43.53 20.89 7.07 1.23 6.39 6.23 9.87 27.90 2.25 1.68 22.60 5.83 15.17 4.04 9.25 7.77 4.96 9.34 1.11 5.27 18.21 0.68 0.50 0.83 1.05 3.34 8.64 2.10 0.83 13.15 1.78 9.87 6.19 21.99 28.49 5.48 23.59 12.34 9.70 6.56 3.40 5.88 7.51 14.74 2.12 29.975 0.17 5.02 21.07 3.98 17.24 11.00 0.79 6.22 0.91 5.58 3.34 12.87 1.25 40.2 Distribuciń χ2 o gl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Proporciń del Area hasta +∞ o 0.26 32.80 28.26 8.34 10.28 17.31 17.34 11.01 18.41 35.99 6.81 37.59 20.10 0.41 7.2 Distribuciń χ2 o 127 8.47 20.72 31.57 4.64 12.81 18.58 0.56 8.30 4.94 4.95 0.07 4.00 34.34 15.21 10.00 0.84 7.35 6.37 3.85 15.31 25.60 3.57 5.33 4.01 8.60 22.12 27.84 4.70 14.07 0.66 5.30 24.67 10.90 0.04 10.11 0.00 23.26 7.69 2.79 10.49 30.05 0.03 0.55 0.72 0.67 23.56 Proporciń o 0.34 13.65 2.59 31.25 1.53 36.76 23.58 32.02 0.55 16.61 5.55 13.37 20.55 11.36 15.82 Recopilaciń.19 33.24 1.99 0.12 18.75 14.26 7.34 17. .46 24.14 5.38 9. 32 2.12 4.79 5.14 4.76 3.21 4.13 3.69 2.92 2.51 2.55 2.68 2.33 2.99 3.80 2.53 2.71 6.81 3.21 2.03 3.07 2.63 3.44 3.01 6.69 3.59 5.59 2.08 4.53 2. .70 2.74 2.41 4.48 3.60 de libertad 4 5 225 230 19.44 2.3 9.74 2.21 para 6 234 19.67 4.46 2.83 Recopilaciń.41 3.00 4.49 3. Tablas de distribuciń o 8.49 2.95 2.41 2.35 2.34 2.24 2.60 2.16 4.23 2.66 2.07 3.46 2.53 4.81 2.94 1.39 6.25 2.27 2.45 2.94 6.11 2.92 3.37 2.45 2.65 2.49 3.4 8.84 3.45 2.08 1.23 3.96 4.4 19.84 2.28 3.79 2.78 2.40 2.37 2.15 4.90 2.62 2.02 1.17 2.90 3.99 1.26 4.0 19.5 10.77 4.54 2.36 3.66 2.10 3.2 9.64 2.04 6.51 2.59 2.25 2.30 2.39 2.28 2.49 2.82 2.35 3.48 3.42 2.28 6.71 2.32 2.28 4.49 2.85 2.59 3.32 4.63 2.29 3.1 7.35 4.85 8.98 3.34 2.57 2.17 4.89 3.07 3.60 2. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.19 5.67 2.45 2.59 3.70 2.68 3.03 3.10 3.20 3.34 3.32 2.10 3.84 3.30 4.06 3.98 2.01 2.12 3.90 2.68 3.10 el numerador 7 8 9 237 239 241 19.2 19.41 5.54 2. Rodr´ o o o ıguez F.42 3.02 3.84 Grados 2 3 199 216 19.87 2.51 2.89 8.77 2.35 4.05) o Gl den.71 2.55 2.16 3.96 4.54 4.61 5.85 2.76 2.91 2.61 2.81 6.10 2.92 3.00 3.50 3.36 2.29 3.71 2.53 2.68 3.79 5.63 3.39 2.20 3.64 2.15 2.42 2.09 2.05 4.80 2.22 3.00 2.86 4.96 2.60 2.01 2.37 2.54 2.88 4.55 3.88 10 242 19.26 5.37 2.09 3.05 3.55 9.24 3.71 3.74 4.77 2.33 3.12 9.96 2.39 4.85 2.46 4.34 2.79 3.4 8.75 2.11 3.49 4.128 Cap´ ıtulo 8.18 3.09 6.38 4.76 2.58 2.12 2.58 3.47 3.27 2.01 3.76 4.14 2.45 4.38 2.32 5.42 2.26 3.97 3.18 2.74 3.29 2.61 2.25 2.4 19.39 3.49 2.96 3.52 3.95 4.73 3.44 3.83 2.30 2.18 3.18 2.24 4.16 2.87 3.75 4.40 2.93 2.64 3.06 2.26 3.14 3.42 2.85 2.74 4.99 5.84 4.59 5.3 8.04 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 60 120 ∞ 1 161 18.82 4.91 1.3 Distribuciń F (α = 0.01 1.60 4.07 4.37 3.00 2.48 2.40 3.66 2.94 6. 39 numerador 60 120 252 253 19.01 1.12 2.02 1.76 1.94 3.70 2.71 1.61 2.22 2.61 1.05 2.48 2.07 2.43 2.89 1.07 2.35 2.15 2.00 1.93 2.72 4.40 2.94 2.23 2.16 2.91 1. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.93 1.70 3.46 3.67 3.25 2.84 1.75 5.37 3.33 2.60 2.16 2.67 1.62 4.00 Recopilaciń.38 2.66 1.23 2.86 5.96 1.13 2.34 2.87 3.39 1.25 2.01 1.56 3.5 8.92 1.55 1.79 1.92 1.20 2.00 3.38 3.57 libertad para el 24 30 40 249 250 251 19.74 1.38 2.20 2.54 2.23 2.06 2.66 2.84 1.19 2.90 2.70 8.11 2.27 3.04 2.53 5.58 1.62 1.52 1.77 1.84 1.40 3.85 2.95 1.21 2.77 5.65 2.34 3.68 4.4 8.58 2.79 1.27 2.65 1.97 2.5 19.27 2.49 2.43 4.22 ∞ 254 19.30 2.40 2.74 3.13 2.07 2.09 2.84 1.51 1.30 2.09 2.79 1.18 2.01 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 60 120 ∞ 12 244 19.53 4.53 2.62 8.69 2.06 2.74 1. Rodr´ o o o ıguez F.30 3.99 2.87 1.71 2.51 2.88 1.20 2.87 1.42 2.05) o 129 Distribuciń F o (α = 0.82 1.54 2.46 1.63 4.81 1.90 1.75 1.50 1.45 2.84 3.03 1.19 2.93 1.31 2.92 1.15 2.39 2.46 2.5 8.01 2.94 2.11 2.92 1.77 3.74 5.19 2.84 1.64 1.01 2.69 5.89 1.41 3.5 19.15 3.47 2.01 2.53 1.01 2.28 2.4 19.08 3.5 8.47 1.55 5.91 4.08 2.06 2.05 2. .07 2.34 2.11 2.04 1.81 1.5 19.25 1.89 1.57 3.11 2.78 1.51 3.15 2.96 1.70 1.12 3.18 2.53 2.43 1.75 Grados de 15 20 246 248 19.73 1.22 3.98 1.79 2.69 1.57 2.28 3.16 2.44 3.62 2.34 2.96 2.3 Distribuciń F (α = 0.8.62 2.05) (Continuaciń) o Gl den.35 2.18 2.83 2.92 1.4 8.59 1.50 4.77 2.03 2.72 2.57 8.29 2.68 1.59 5.64 8.66 5.32 1.98 1.97 1.10 2.86 2.35 1.03 2.74 2.28 2.80 4.46 2.66 4.38 2.84 1.01 1.10 2.11 2.96 1.42 2.31 2.86 1.53 2.31 2.25 2.94 1.79 2.15 2.83 1.75 1.98 1.75 2.24 2.91 2.81 3.23 2. 0 3.9992 0.9990 0.9972 0.9625 0.9896 0.9793 0.04 0.5478 0.9987 0.7454 0.9177 0.7764 0.9306 0.9981 0.9916 0.9997 0.3 3.9992 0. .9995 0.9066 0.7324 0.9236 0.5120 0.8413 0.4 Distribuciń Normal o z 0.9887 0.9997 0.9429 0.9970 0.8 1.9798 0.9998 0.5199 0.9996 0.130 Cap´ ıtulo 8.9925 0.8508 0.9641 0.9032 0.7967 0.9998 Segunda cifra 0.9946 0.7642 0.6772 0.9994 0.8962 0.9821 0.7549 0.9846 0.9997 0.9726 0.7 1.9115 0.8438 0.7190 0.9099 0.4 3.6293 0.9998 0.9991 0.9573 0.7019 0.6915 0.9945 0.9965 0.9964 0.9871 0.7 2.7881 0.9995 0.9192 0.7995 0.9893 0.9452 0.7422 0.6664 0.5517 0.7054 0.9989 0.9131 0.8997 0.9997 0.9959 0.7 0.9948 0.9997 0.9292 0.3 2.9994 0.9996 0.9868 0.9279 0.6368 0. Tablas de distribuciń o 8.9998 decimal en z 0.9981 0.9961 0.4 0.09 0.5239 0.07 0.9998 0.6406 0.9996 0.9713 0.6700 0.7224 0.7704 0.9015 0. Organizaciń y Elaboraciń por Eduardo M.8 0.9664 0.9968 0.9998 0.9803 0.9977 0.9582 0.9998 0.03 0.9992 0.6 1.9608 0.9901 0.9966 0.7673 0.0 0.8531 0.5 1.9 3.6879 0.7734 0.7486 0.9998 Recopilaciń.5160 0.9332 0.5319 0.2 0.7852 0.9671 0.9940 0.8729 0.9345 0.9963 0.9952 0.6217 0.01 0.9960 0.9441 0.9878 0.9564 0.7794 0.7517 0.9911 0.9993 0.9995 0.9918 0.9974 0.9998 0.8980 0.9996 0.7580 0.6591 0.6331 0.9997 0.9991 0.5 0.8749 0.8264 0.9890 0.9934 0.7389 0.5987 0.9750 0.1 0.9082 0.9406 0.9591 0.9991 0.9884 0.9941 0.8186 0.8888 0.9812 0.9693 0.2 2.9993 0.8051 0.9996 0.9993 0.9772 0.9995 0.8708 0.8869 0.9463 0.9474 0.9920 0.7088 0.9778 0.8485 0.5398 0.7823 0.8907 0.9898 0.9989 0.8289 0.8830 0.9861 0.9973 0.9656 0.9985 0.9834 0.9989 0.9975 0.9922 0.9997 0.9967 0.9744 0.9599 0.5596 0.5871 0.9962 0.9909 0.9394 0.9633 0.9265 0.5753 0.2 1.6517 0.5000 0.2 3.9986 0.9738 0.9974 0.5080 0.9370 0.4 2.9979 0.9854 0.6 0.1 3.0 0.9484 0.9767 0.9505 0.9525 0.9979 0.9995 0.08 0.9971 0.9984 0.8770 0.9881 0.9904 0.9984 0.5359 0.9826 0.9990 0.8212 0.7910 0.8340 0.9222 0.5910 0.6736 0.8078 0.05 0.9732 0.9931 0.6844 0.9996 0.8133 0.3 0.9857 0.9932 0.9988 0.6950 0.5675 0.9049 0.9988 0.9957 0.9838 0.9985 0.5040 0.9808 0.5 0.5832 0.8554 0.9382 0.6480 0.8159 0.8925 0.9842 0.9997 0.9969 0.8686 0.7257 0.4 1.6179 0.7611 0.1 2.8810 0.6443 0.7357 0.6628 0.9993 0.9864 0.9995 0.9953 0.8621 0.9998 0.9554 0.9976 0.9678 0.9977 0.9 2.9 1.8599 0.8643 0.8944 0.8577 0.9207 0.3 1.5793 0.9997 0.8389 0.9686 0.9936 0.9756 0.6255 0.9830 0.5636 0.6808 0.0 2.8 2.9992 0.9719 0.9982 0.7123 0.5 2.8238 0.9951 0.9913 0.9994 0.9949 0.6103 0.9788 0.9938 0.6026 0.8790 0.6064 0.9319 0.9994 0.7939 0.8665 0.8315 0.6141 0.8849 0.9875 0.9906 0.7291 0.9817 0.9929 0.5279 0.6 2.9418 0.9706 0.02 0.8023 0.9998 0.9761 0.9986 0.9994 0.9983 0.9997 0.9978 0.1 1.7157 0.9649 0.9980 0.9147 0.9956 0.5557 0.9987 0.8106 0.9251 0.9162 0.0 1.9990 0.9850 0.8365 0.9987 0.9357 0.9699 0.9535 0.5714 0.9545 0.06 0.9515 0.9783 0.8461 0.9616 0.6554 0.9982 0.5438 0.9927 0.6985 0.9943 0. Rodr´ o o o ıguez F.9955 0.9495 0.5948 0.

ejercicios de probabilidad resueltos y propuestos

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