PROBABILIDAD CONDICIONAL4.41.- se lanza un dado equilibrado. Considere los eventos A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5}, C = {1, 2, 3, 4}. Encuentre: a) P(A∩B) y P (AUC), b) c) P (A/C) y P (C/A), d) P (B/C) y P (C/B). 4.42. Se selecciona un digito al azar del 1 al 9. Considere los eventos A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}, C = {6, 7, 8, 9}. Encuentre: a) P(A∩B) y P (AUC), b) P(A/B) y P (B/A), c) P (A/C) y P (C/A), d) P (B/C) y P (C/B). 4.43. Se lanza un par de dados equilibrados. Si las caras que aparecen son diferentes, halle la probabilidad de que: a) la suma sea par, b) la suma exceda nueve. 4.44. Sean A y B eventos con P(A) = 0.6, P (B) = 0.3, y P(A∩B) = 0.2. Encuentre: a) P (AUB); b) P (A/B) y P (B/A). 4.45. Con referencia al problema 4.44, halle: a) P(A∩Bc), b) P(A/Bc ). 4.46. Sean A y B eventos donde P(A) = 1/3, P (B) =1/4, y la P (AUB) = ½. a) Encuentre P(A/B) y P (B/A), b) ¿Sean A y B independientes? 4.47. Le reparten a una mujer 3 cartas de picas de un naipe ordinario de 52 cartas. (Véase la Fig. 3- 4.). Si se le entregan dos cartas más, halle la probabilidad de que ambas cartas sean también picas. 4.48. Se seleccionan dos canicas, una después de otra, sin reposición de una caja que contiene 3 canicas blancas y dos canicas rojas. Encuentre la probabilidad p de que: a) Las dos canicas sean blancas. b) Las dos canicas sean rojas. c) La segunda sea blanca si la primera es blanca . d) La segunda sea roja si la primera es roja. 4.49. Se seleccionan dos canicas, una después de otra, sin reposición de una caja que contiene 3 canicas blancas y dos canicas rojas. Encuentre la probabilidad p de que: a) Las dos canicas sean blancas. b) Las dos canicas sean rojas. c) La segunda sea blanca si la primera es blanca . d) La segunda sea roja si la primera es roja. 4.50. Se seleccionan dos dígitos diferentes al azar entre los dígitos de 1 hasta 5. a) Si la suma es impar ¿Cuál es la probabilidad de que el 2 sea uno de los números seleccionados? b) Si 2 es uno de los dígitos seleccionados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea impar? 4.51. Se Sacan tres cartas consecutivamente (sin reposición) de un naipe de 2 cartas. Halla la probabilidad de que: a) Salgan tres ases, b) Si el primero es un as, que los otros dos sean también ases, c) Si los dos primeros son ases, que el tercero sea un as. 4.52. Un dado es altero para producir la siguiente distribución de probabilidad: Número 1 2 3 4 5 6 Probabilidad 0.2 0.1 0.1 0.3 0.1 0.2 Sea A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5}, C = {2, 4, 6}. Encuentre: a) P(A), P(B), P(C), b) P(Ac), P(Bc), P(Cc), c) P(A/B) y P (B/A), d) P (A/C) y P (C/A), e) P (B/C) y P (C/B). 4.53. En un club campestre, el 65% de los miembros juegan tenis, el 40% juegan golf y el 20% juegan tenis y golf. Se escoge un miembro al azar. Encuentre la probabilidad de que el miembro: a) Juegue tenis o golf, b) No juegue tenis ni golf, c) juegue golf si él o ella juegan tenis, d) Juegue tenis si él o ella juegan golf. 4.54 suponga que el 60% de la clase de primer año de una pequeña universidad son mujeres. Además, suponga que el 25% de los hombres y el 10% de las mujeres de la clase están estudiando matemáticas. Se elige al azar un estudiante de primer año. Halle la probabilidad de que: a) E l estudiante esté estudiando matemáticas b) Si el estudiante está estudiando matemáticas, determine la probabilidad de que el estudiante sea mujer. 4.55. Se seleccionan tres estudiantes al azar, uno después de oro de una clase con 10 niños y 5 niñas. Encuentre la probabilidad de que: a) los primeros dos sean niños y el tercero sea niña. b) El primero y el tercero sean niños y el segundo sea niña. c) Los tres sean del mismo sexo d) Solamente el primero y el tercero sean del mismo sexo. PROCESOS ESTOCÁSTICOS FINITOS 4.56. Se tienen dos cajas de la siguiente manera: La caja A contiene 5 canicas rojas, 3 canicas blancas y 8canicas azules. La caja B contiene 3 canicas rojas y 5 canicas blancas. Se selecciona una caja al azar y se escoge aleatoriamente una canica. Encuentre la probabilidad de que la canica sea a) roja, b) blanca, c) azul. 4.57. Refiérase al problema 4.56. Encuentre la probabilidad de seleccionar la caja A si la canica es: a) roja, b) blanca, c) azul. 4.58. Considere la caja A y la caja B en el Problema 4.56. Un dado equilibrado es lanzado; si aparece 3 0 6 se selecciona una canica de aleatoriamente de A, de lo contrario seleccione una canica de B. Encuentre la probabilidad de que la canica sea: a) roja, b) blanca, c) azul. 4.59. Refiérase al Problema 4.58. Encuentre la probabilidad de seleccionar la caja A si la canica es: a) roja, b) blanca, c) azul. 4.60. Una caja contiene tres monedas, dos de ellas corrientes y una de dos caras. Se selecciona una moneda al azar y se lanza dos veces. Si aparece cara ambas veces, ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda tenga dos caras? 4.61. Una caja contiene una moneda corriente y una moneda de dos caras. Se selecciona una moneda al azar y se lanza. Si cae cara, entonces la otra moneda es lanzada; si aparece sello, entonces la misma moneda se lanza una segunda vez. Encuentre la probabilidad de que: a) aparece cara en el segundo lanzamiento. b) si aparece cara en el segundo lanzamiento, ¿Cuál es la probabilidad de que esta apareció también en el primer lanzamiento?. 4.62. Tenemos dos cajas en la siguiente distribución: La caja A contiene x canicas rojas y y canicas blancas. La caja B contiene z canicas rojas y t canicas blancas. a) Se selecciona una caja al azar y se saca una canica. Encuentre la probabilidad de que la canica sea roja. b) Una canica se selecciona de A y se pone en B, luego se saca una canica de B. Encuentre la probabilidad de que la segunda canica sea roja. PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES 4.63. Una ciudad se divide en Distritos A, B, C con el 20%, el 40% y 40% de los votantes registrados respectivamente. Los votantes registrados que aparecen como demócratas son el 50% en A, el 25% en B y el 75% en C. Se escoge un votante registrado aleatoriamente de la ciudad. a) Encuentre la probabilidad de que el votante esté inscrito como demócrata. b) Si el votante registrado está inscrito como demócrata, encuentre la probabilidad de que el votante proviniera del Distrito B. 6.64. Refiérase al Problema 4.63. Suponga que se selecciona un Distrito al azar y luego se selecciona aleatoriamente un votante registrado del Distrito. a) Encuentre la probabilidad de que el votante esté inscrito como demócrata. b) Si el votante registrado está inscrito como demócrata, encuentre la probabilidad de que el votante proviniera del Distrito A. á inscrito como demócrata, encuentre la probabilidad de que el votante proviniera del Distrito A. 4.66. Las mujeres en la ciudad universitaria constituye el 60% de los estudiantes de primer año, el 40% de los estudiante de segundo año, el 40% de los estudiantes de tercer año y el 45% de los estudiantes de último año. El 30% de la población escolar son estudiantes de primer año, el 25% son estudiante de segundo año, el 25 % son estudiantes de tercer año y el 20% son estudiantes de último año. Se selecciona al azar un estudiante de la ciudad universitaria. a) Encuentre la probabilidad de que el estudiante sea mujer. b) Si el estudiante es mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que sea estudiante de segundo año? 4.66. Refiérase al Problema 6.65. Suponga que una de las cuatro clases se escoge aleatoriamente y luego se selecciona aleatoriamente un estudiante de la clase. a) Encuentre la probabilidad de que el estudiante sea mujer. b) Si el estudiante es mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que sea una estudiante de segundo año? 4.67. Una compañía produce bombillos en tres fábricas A, B, C. La fábrica A produce el 40% del número total de bombillos, de los cuales el 2% son defectuosos. La fábrica B produce el 35% del número total de bombillos, de los cuales el 4% son defectuosos. La fábrica B produce el 25% del número total de bombillos, de los cuales el 3% son defectuosos. Se encuentre un bombillo defectuoso en la producción total. Encuentre la probabilidad de que este provenga de: a) la fábrica A, b) la fábrica B, c) la fábrica C. 4.68. Refiera al Problema 4.67. Suponga que se escoge una fábrica aleatoriamente y uno de los bombillos es seleccionado aleatoriamente. Si el bombillo es defectuoso, encuentre la probabilidad de que este provenga de a) la fábrica A, b) la fábrica B, c) la fábrica C. EVENTOS INDEPENDIENTES 4.69. Sean A y B eventos independientes con P(A) = 0.3 y P(B) = 0.4. Encuentre: a) P(A∩ 𝐵) y P(AUB), b) P(A/B) y P (B/A). 4.70. Una caja A contiene 5 canicas rojas y 3 canicas azules y la caja B contiene 2 rojas y 3 azules. Se saca una canica aleatoriamente de cada caja. Encuentre la probabilidad p de que: a) Ambas canicas sean rojas, b) Una sea roja y una sea azul. 4.71. Ana caja A contiene 5 canicas rojas y 3 canicas azules y la caja B contiene 2 rojas y 3 azules. Se saca dos canicas aleatoriamente de cada caja. Encuentre la probabilidad p de que: a) Todas sean rojas, b) Todas sean del mismo color. 4.72. Sean A y B eventos independientes con P(A) = 0.2 y P(B) = 0.3. Encuentre: a) P(A𝑈𝐵) y P(BUA), b) P(A∩Bc) y P(AUBc), c) P(A/B) y P (B/A), d) P(A/Bc) y P (Bc/A) . 4.73. Sea A y B eventos con P(A) = 0.3 y P(AUB) = 0.5 y P(B) =p. Encuentre p si: a) Ay B son mutuamente excluyentes, b) A y B son independientes, c) A es subconjunto de B. 4.74.- la probabilidad de que A dé en el blanco es ¼ y la probabilidad de que B de en el blanco es 1/3. Cada uno de ellos dispara una vez al blanco. Encuentre la probabilidad de que: a) Ambos den en el blanco. b) El blanco sea alcanzado exactamente una vez. c) Si el blanco sea alcanzado solamente una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que A logre dar en el blanco? 4.75. La probabilidad de que A dé en el blanco es ¼ y al probabilidad de que B de en el blanco es 1/3. Cada uno de ellos dispara dos veces. Encuentre la probabilidad de que el blanco sea alcanzado: a) al menos una vez, b) exactamente una vez. 4.76. Las probabilidades de que tres hombres den en el blanco son, 0.3, 0.5 y 0.4 respectivamente. Cada uno de ellos dispara una vez. (Como es usual, suponga que los tres eventos en que cada uno alcanza el objetivo sean independientes). a) Encuentre la probabilidad de que todos: i) den en el blanco una vez, ii) no den en el blanco. b) Halle la probabilidad de que el blanco se alcanzado: i) al menos una vez, ii) exactamente una vez. c) Si solamente uno da en el blanco, ¿Cuál es la probabilidad de que sea el primer hombre? 4.77. Se lanza tres monedas equilibradas. Considere los eventos: A = {todas cara o todos sellos}, B = {al menos dos caras}, C = {máximo dos caras} De los pares (A, B), (A, C), y (B, C), ¿cuáles son independientes?. 4.78. Suponga que A y B son eventos independientes. Muestre que A y Bc son independientes y que Ac y B son independientes. 4.79. Suponga que A, B, C son eventos independientes. Muestre que: a) Ac, B, C son independientes. b) Ac, Bc, C son independientes, c) Ac, Bc, Cc son independientes. 4.80. Suponga que A, B, C son eventos independientes. Muestre que A y B U C son independientes. ENSAYOS REPETIDOS INDEPENDIENTES 4.81 Siempre que los caballos a,b, c compiten, sus probabilidades respectivas de ganar son 0.3, 0.5, 0.2. Ellos compiten tres veces. a) Encuentre la probabilidad de que el mismo caballo gane las tres carreras. b) Encuentre la probabilidad de que a, b, c cada uno gane una carrera. 4.82 Un equipo gane (W) con probabilidad de 0.5, pierda (L) con probabilidad de 0.3, y empate (T) con probabilidad de 0.2. El equipo juega dos veces. a) Determine el espacio muestral S y la probabilidad de cada evento elemental. b) Halle la probabilidad de que el equipo gane por lo menos una vez. 4.83. Cierto tipo de misil logre su objetivo con probabilidad p = 1/3. a) si se dispara 3 misiles, encuentre la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado al menos una vez. b) encuentre el número mínimo n de misiles que debe ser disparado de manera que de manera que exista al menos un 90% de probabilidad de lograr el objetivo. 4.84. En un juego, la probabilidad de que el equipo de Honda (H) venza al equipo las Rocas (R) es 0.6. Encuentre la probabilidad que Honda gane como el mejor de las tres series. 4.85. El promedio de bateo para un jugador de béisbol es 0.30. Ël batea 4 veces. Encuentre la probabilidad de que: a) dé a la bola exactamente dos veces. B) dé a la bola exactamente una vez.