Investigación Operativa IUNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN 2 0 Universidad del Perú “Decana de América” FACULTAD: Ingeniería Industrial CURSO : ALUMNO Investigación operativa I : 1 4 Alfaro Gutiérrez ,Milton 1 10170016 Investigación Operativa I 1. Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las inecuaciones: x 2 ; x - 2 ; y 1 Solución X1 – 2 <= 0 0 <= X1+2 X2 – 1 <= 0 La region sombreada nos muestra los puntos que satisfacen las restricciones. 2 Investigación Operativa I 2. Describir mediante un sistema de desigualdades la región interior del polígono convexo con vértices en los puntos: O(0,0) , A(0,4), B(4,0), C(3,3) Solución Definimos las inecuaciones que describen la región interior del polígono: X1 > 0 X2 > 0 X1 + 3X2 < 12 3X1 + X2 < 12 3 Solución La región en al cual se excluyen los puntos (0.2) no pertenezcan.1) pertenezcan a dicha región.0) y (2.Investigación Operativa I 3.0) y (0. 2) queda definida con las siguientes inecuaciones. Haz una representación gráfica de la región que elijas. X 1≥0 X 2≥0 X 1+ X 2≤2 X 1+ X 2≥1 4 . Escribe inecuaciones que definan una región plana cerrada de modo que los puntos (1. y que los puntos (0. 0) y (2. Investigación Operativa I 4. Escribe un conjunto de inecuaciones que tengan como solución común el interior de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente y se apoyan en los ejes coordenados X e Y. (Puedes elegir cualquiera de las posibles colocaciones) Solución Las ecuaciones de la región comprendida en el triángulo son X 1>0 X 2>0 X 1+2 X 2≤2 5 . 2) y es de 19. Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x+ y−1 0 0 x3 0 y 2. 6 . ¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y? Solución Escribiendo las inecuaciones: X1 + X2 >=1 X1 <= 3 X2 <= 2 0 <= X2 0 <= X1 La función a maximizar es Max Z = 5X1 +2X2 La función alcanza su valor máximo en el vértice (3.Investigación Operativa I 5. Solución: Definiendo las inecuaciones: 2 X 1+1 X 2≥0 3 X 2−X 1=¿1 0=¿ X 1≤2 La función a maximizar es : Max Z=3 X 1+2 X 2 El valor máximo de la función se encuentra en el vértice superior (2 . 1) y es de 8.Investigación Operativa I 6. 3y .x 1 . 7. Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices de las rectas asociadas a las desigualdades 7 . y 0 0 .y) = 3x + 2y en el dominio y + 2x 2 x 0. Maximizar la función F(x. 3) = -9 . Solución: Definiendo el eje de las abscisas como X1 y al eje de las ordenadas como X2 el recinto viene definido por las siguientes desigualdades. X 2≤3 1 X 2 – 1 X 1≥0 1 X 2 – 3 X 1≤0 La función a maximizar es Max Z=3 X 1−6 X 2 Analizando cada vértice del polígono tenemos: En Z(1 .0) = 0 La función es máxima en el vertice (0. Z(3 . b) Maximizar la función Z = 3x .Investigación Operativa I a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto.6y sujeta a las restricciones del recinto.0) y toma un valor de 0 8 . 3) =-15 . Z(0 . Investigación Operativa I 9 . 2) El mínimo valor de la función se encuentra en el vértice (0 .0). y calcular sus vértices.8) .4) y E(2. x + y 4 . C(0. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x. Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: x + y 8 . B(8.4) y toma un valor de 8 10 . x + 2y 6 a) Dibujar la región del plano que definen.0) . D(0.Investigación Operativa I 8. Solución: Definiendo las inecuaciones: 1 X 1+1 X 2≤8 1 X 1+1 X 2≥4 1 X 1+2 X 2≥6 La función a minimizar es: Min Z=3 X 1+2 X 2 Los vértices del polígono son: A(6.y) = 3x + 2y alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor. a) Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales: x + 2y 10 . x + y 2 . x 8 11 .Investigación Operativa I 9. 0)=2 . sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones del apartado anterior. Z (8. Z (0 . X 2≥0 La función es Z =X 1−3 X 2 Evaluando la función en cada vértice del polígono : Z ( 0 .Investigación Operativa I x 0. Solución : Definiendo las inecuaciones: X 1+2 X 2≤10 X 1+ X 2≥2 X 1≤8 X 1≥0 . 5)=−15 .3y.1)=5 El máximo valor se encuentra en el vértice (8 . Z (2 .y) = x . Z ( 8 . 0) y es de 8 12 .2)=−6 . 0)=8 .y 0 b) Hallar el máximo y el mínimo de F(x. Investigación Operativa I El mínimo es de -15 y se encuentra en el vértice (0.5) 13 . Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x. x 3. x .y + 2 0. y 1.y) = x + 2y 2. sometida a las restricciones: x + y .1) con un valor de 3 14 .Investigación Operativa I 10. 3) con un valor de 9 Minimo valor en el vertice (1 . y 3 Solución: Maximizar Z = X1 + 2X2 – 2 Sujeto a: X 1+ X 2≥2 X 2− X 1≤2 X 1≤3 X 2≥1 X 2≤3 Maximo valor en el vertice (3 .2 0 . Investigación Operativa I 11. Resolver gráficamente el siguiente problema de programación lineal: Maximizar Z = 0.75x + y Sujeto a : x + 3y 15 5x + y 20 3x + 4y 24 15 . 4 0.40. y 0 Se pide: a) Dibujarlo y hallar sus vértices. y 0 ¿Es única la solución? Solución: Maximizamos la función Max Z = 0. x + 2y .53).4y . 12. 3. Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones: x . X 2≥0 La función se maximiza a lo largo de todo un segmento y toma un valor de 6 por lo tanto la solución no es única.4 .29 . 4.20) o (3. 16 . Las posibles soluciones seria el punto (2. x 0 .75 X1 + 1 X2 Teniendo como restricciones las siguientes inecuaciones: 1 X 1+3 X 2≤15 5 X 1+ 1 X 2≤20 3 X 1+ 4 X 2≤24 X 1≥ 0 .Investigación Operativa I x 0. 13. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. en la que caben 120. Ha calculado que cada día es 17 .33 . El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A. con folletos más grandes. y otra para los impresos B. La empresa A le paga 5 ptas. Solución: Maximizar Z = X2+ 2X2 Sujeto a : 4X2 . le paga 7 pesetas por impreso. Una de las posibles soluciones seria el punto (1. calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se alcanza. c) En caso afirmativo.1. por cada impreso repartido y la empresa B.y)= x + 2y . X2 >=0 La función se maximiza a lo largo de todo un segmento tomando el mismo valor para cualquier punto que se tome y siempre el valor será de 4. en la que caben 100.33) o el punto (4.Investigación Operativa I b) Razonar si es posible maximizar en él la función f(x.0).X1 <=4 1X1 + 2X2 <=4 1X1 >=0. Investigación Operativa I capaz de repartir 150 impresos como máximo.N. X2: cantidad de impresos repartido de la empresa B.Identificar las variables de decisión X1: cantidad de impresos repartido de la empresa A. C. Restricción de la Bolsa para impresos de B 1X1+1X2 <=150 …… Restricción de la capacidad máxima que puede repartir. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Solución Paso 1 . 18 .N.. X1 >= 0.Determinar las restricciones 1X1 <=120 …… Restricción de la Bolsa para impresos de A 1X2 <=100 …. Paso 2 – Formular función objetivo. Max Z = 5X1+7X2 Paso 3 .. X2 >= 0 El beneficio maximo diario se alcanza repartiendo 50 impresos de A y 100 impresos de B. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación? 19 . las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas.Investigación Operativa I 14. Si se vende en toda la producción. N.Determinar las restricciones X1 <=400 Restricción fabricación de la bombilla normal X2 <=300 Restricción fabricación de la bombilla halógena X1+X2 <=500 Restricción fabricación Total. Paso 2 – Formular función objetivo. C. X2 >= 0 La máxima facturación se logra alcanzar al producir 200 bombillas normales y 300 bombillas halógenas.Investigación Operativa I Solución Paso 1 .Identificar las variables de decisión X1 : cantidad de bombillas del tipo Normal. Max Z = 450X1+600X2 Paso 3 .N. X2 : cantidad de bombillas del tipo halógena. X1 >= 0. 20 . Por limitaciones de mano de obra y maquinaria. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A. En la nave B se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. y la nave B de 270 días-operario. para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. se invierten 7 díasoperario. la nave A dispone de 300 días operario. para hacer la carrocería de un camión.Investigación Operativa I 15. 16. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesetas y por cada automóvil 21 . X2 >= 0 Las maximas ganancias se obtienen al producir 24 camiones y 66 automóviles. X1 >= 0. 3X1+3X2 <=270 …. C.Determinar las restricciones 7X1+2X2 <=300 ….Identificar las variables de decisión X1: Producción de camiones X2: Producción de automóviles Paso 2 – Formular función objetivo. Max Z =6 000 000 X1 + 2 000 000 X2 Paso 3 .Investigación Operativa I 2 millones de pesetas. Restricción días/operario de Nave B. 22 .N. Restricción días/operario de Nave A. ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias? Solución Paso 1 .N. utilizando las técnicas de programación lineal. Halla. 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina.Investigación Operativa I 17. Un pastelero tiene 150 kg de harina. el número 23 . El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. 22 kg de azúcar y 27’5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. 0’5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. 5 docenas de pasteles del tipo Q.Determinar las restricciones 3X1+6X2 <=150 ….Restricción Kg de mantequilla.5 …. 24 . X2 >= 0 El beneficio será máximo si se producen 5 docenas de pasteles del tipo P y 22. 1X1+1X2 <=27.N. Max Z =20X1 + 30X2 Paso 3 . X1 >= 0. C.Restricción Kg de azúcar. 1X1+0.Investigación Operativa I de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo Solución Paso 1 .Identificar las variables de decisión X1: Docenas pastel del tipo P X2: Docenas pastel del tipo Q Paso 2 – Formular función objetivo. Restricción Kg de Harina.5 X2 <=22 ….N. Investigación Operativa I 18. la unidad y de la clase B a 150 ptas. de la clase A a 200 ptas. Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores. En la producción diaria se sabe que el número de rotuladores de la clase B no supera en 1000 unidades a los de la 25 . Identificar las variables de decisión X1 : Rotuladores del tipo A X2 : Rotuladores del Tipo B Paso 2 – Formular función objetivo.1X1 <= 1000 Restricción producción B con respecto a A 1X1+ 1X2 <=3000 Restricción de producción diaria total 1X2 >=1000 Restricción producción rotulador del tipo B C. X2 >= 0 El costo mínimo se logra al producir 1000 rotuladores de clase B y ninguno de la clase A.Determinar las restricciones 1X2 .Investigación Operativa I A. Max Z =200 X1 + 150 X2 Paso 3 . siendo el costo de 150000 pesetas. además.N. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria. 26 . X1 >= 0. Solución Paso 1 .N. entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 1000 unidades por día. siendo el costo de 550000 pesetas.Investigación Operativa I El costo máximo se logra al producir 2000 rotuladores de la clase A y 1000 de la clase B. La fabricación del modelo Viz 27 . Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado. 19. pintura y montaje. 3 de pintura y una de montaje. Determinar las restricciones 2X1+3X2 <= 1500 Restricción Horas de moldeado.Investigación Operativa I requiere tres horas de moldeado. 3X1+ 2X2 <=1500 Restricción Horas de pintura. Max Z =10000 X1 + 12 000 X2 Paso 3 . 1X1 +1X2 >=600 Restricción Horas de montaje. cada una. C.500 horas cada mes. 28 . X2 >= 0 El máximo beneficio mensual se obtiene al producir 300 sombreros del tipo Bae y 300 sombreros del tipo Viz.N.N.000 pesetas y el modelo Viz a 12.Si el modelo Bae se vende a 10. 2 de pintura y una de montaje. ¿qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual? Solución Paso 1 . de un máximo de 1.000 pesetas.Identificar las variables de decisión X1: Unidades del sombrero del tipo Bae X2: Unidades del sombrero del tipo Viz Paso 2 – Formular función objetivo. y la de montaje de 600. X1 >= 0. Las secciones de moldeado y pintura disponen. 1.000.000 ptas. Como máximo. en energía (electricidad y 29 .Investigación Operativa I 20. Cada mes una empresa puede gastar.000 ptas. en salarios y 1.800. La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Max Z = 80 X1 + 50 X2 Paso 3 .Determinar las restricciones 200 X1 + 100 X2 <= 1000000 Restricción gasto en salarios.N.Helvetica 200 100 Coste energético 100 300 Solución Paso 1 . X2 >= 0 30 .Identificar las variables de decisión X1: Número de unidades del Producto A X2: Número de unidades del Producto B Paso 2 – Formular función objetivo. C.N.MS Sans Serif. 100 X1 + 300 X2 <=1800000 Restricción gasto en energía. El coste salArial.Helvetica y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla: Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo A B Coste salArial.Investigación Operativa I gasoil). X1 >= 0.MS Sans Serif. Por cada unidad de A que elabora gana 80 ptas. por cada unidad de B. y 50 ptas. 000 pesetas en A y como mínimo 31 . Una persona tiene 500. El tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%.Investigación Operativa I Se lograra el máximo beneficio al producir 2400 unidades del producto A y 5200 del producto B 21.000 pesetas para invertir en dos tipos de acciones A y B. Decide invertir como máximo 300. Determinar las restricciones 1X1 <= 300000 …. Restricción inversión acciones tipo B. 1X2 >=100000 ….000 pesetas en B.07 X2 Paso 3 . 1X2 – 1X1<= 0 1X1 + 1X2 <=500 C. ¿Cómo deberá invertir sus 500.N.Restricción inversión acciones tipo A.1 X1 + 0. Max Z = 0.Identificar las variables de decisión X1: cantidad invertida en acciones tipo A X2: cantidad invertida en acciones tipo B Paso 2 – Formular función objetivo.Investigación Operativa I 100. X1 >= 0. e invertir en A por lo menos tanto como en B. X2 >= 0 Para maximizar sus intereses anuales debe de invertir 300000 pesetas en acciones del tipo A y 200000 pesetas en acciones del tipo B.N.000 pesetas para maximizar sus intereses anuales? Solución Paso 1 . 32 . Investigación Operativa I 22. el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Por otra parte. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. 33 . Solución Paso 1 . sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas.1X2 <= 4 …Restricción producción de vino 4X1 + 3 X2 <=18 … Restricción producción total. X1 >= 0. Max Z = 800X1 + 200X2 Paso 3 . X2 >= 0 Para obtener el máximo beneficio se deben producir 3 unidades de vino y 2 de vinagre. 34 .N.Investigación Operativa I Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo. C.N.Identificar las variables de decisión X1: número unidades de vino X2: número unidades de vinagre Paso 2 – Formular función objetivo. y cada unidad de vinagre de 200 ptas.Determinar las restricciones 2X1 . pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A 35 . se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades. Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino. 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas. A y B.Investigación Operativa I 23. 1 y 7 cajas respectivamente.000 pesetas cada uno. mientras que los del mayorista B cuestan 300.N.Determinar las restricciones 8X1 + 2X2 >= 16 …..Restricción cajas de langostino.N. X1 + X2 >= 5 …. X1 >= 0. Restricción cajas de nécora. C. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible? Solución Paso 1 . 1 de nécoras y 2 de percebes.. Por su parte. Min Z = 210000X1 + 300000X2 Paso 3 .Restricción cajas de percebes. 2X1 + 7X2 >= 20 …. B envía en cada contenedor 2. X2 >= 0 36 .Identificar las variables de decisión X1: número de contenedores del Mayorista A X2: número de contenedores del mayorista B Paso 2 – Formular función objetivo.Investigación Operativa I envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 ptas. Investigación Operativa I Para satisfacer las necesidades mínimas al menor costo posible se deben de pedir 3 contenedores al mayorista A y 2 al mayorista B. 9 37 . 12. 24. Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas. hidratos de carbono y grasas son 8. Identificar las variables de decisión X1: kilogramos del producto A X2: kilogramos del producto B Paso 2 – Formular función objetivo... Restricción hidratos. X2 >= 0 El costo de la dieta será mínimo si se mezclan 3 kg del producto A y 2 kg del producto B. 38 .N.N. 1X1 + 3X2 >= 9 ….Determinar las restricciones 2X1 + 1X2 >= 8 …. X1 >= 0. Restricción cajas de grasas.Investigación Operativa I unidades respectivamente. Restricción proteínas. 6X1 + X2 >= 12 …. Min Z = 600X1 + 400X2 Paso 3 .. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla: Proteínas Hidratos Grasas Coste(kg) Producto A 2 6 1 600 Producto B 1 1 3 400 ¿Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo? Solución Paso 1 . C. Investigación Operativa I 25. Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete. Marca K P N Precio A 4 6 1 15 39 Investigación Operativa I B 1 10 6 24 ¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N? Solución Paso 1 - Identificar las variables de decisión X1: cantidad de abono de tipo A X2: cantidad de abono de tipo B Paso 2 – Formular función objetivo. Min Z = 15X1 + 24X2 Paso 3 - Determinar las restricciones 4X1 + 1X2 >= 4 ….Restricción potasio. 6X1 + 10X2 >= 23 ….Restricción fosforo. 1X1 + 6X2 >= 6 .…Restricción nitrógeno. C.N.N. X1 >= 0; X2 >= 0 El precio del abono se minimiza mezclando 0.5 de A y 2 de B 40 Investigación Operativa I 26. Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes de 41 12 Min Z = 2X2 .Identificar las variables de decisión X1: cantidad de toneladas de carne a R X2: cantidad de toneladas de carne a S Paso 2 – Formular función objetivo. X1 <= 20 22-X2 >= 0. Solución Paso 1 .Investigación Operativa I transporte.1X1 + 76 Paso 3 . desde cada matadero de a cada ciudad. son los reflejados en la siguiente tabla: R S T P 1 3 1 Q 2 1 1 Determinar cuál es la distribución de transporte que supone un coste mínimo.X1 .X2 + X1 + X2 . por tonelada de carne.Determinar las restricciones 20-X1 >= 0. P Q R X1 20-X1 S X2 22-X2 T 26-X1-X2 X1+X2-12 Min Z = X1+2(20-X1) + 3X2 + (22-X2) + 26 . X2 <=22 42 . N. que se reparten en su totalidad. X2 >= 0 La distribucion para obtener un costo minimo en transporte se muestra en el siguiente cuadro . 12 <=X1+X2<=26 C. X1 >= 0. Desde dos almacenes A y B. 43 . 8 toneladas de fruta.Investigación Operativa I 26-X1-X2 >=0 X1+X2-12 >= 0 . El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas. Los dos primeros mercados necesitan. mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. diariamente.N. P Q R 20 0 S 0 22 T 6 8 27. se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. Identificar las variables de decisión X1: cantidad de toneladas de mercado 1.N.Determinar las restricciones X1 <= 8 X2 <= 8 1 <= X1 + X2 <=10 C. X1 >= 0. .N. X2: cantidad de toneladas de mercado 2. X2 >= 0 44 .Investigación Operativa I El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro: Almacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3 A 10 15 20 B 15 10 10 Planificar el transporte para que el coste sea mínimo. Paso 2 – Formular función objetivo. A B R X1 8-X1 S X2 8-X2 T 10-X1-X2 X1+X2-1 Min Z = 10X1 + 15(8-X1) + 15X2 + 10(8-X2)+ 20(10-X1-X2)+10(X1+X2-1) Min Z = 390. Solución Paso 1 . .15X1-5X2 Paso 3 . por necesidades de mercado. es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 20 electricistas y 30 mecánicos. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada 45 . La distribución se muestra en el siguiente cuadro: Almacén A B M1 8 0 M2 2 6 M3 0 9 28.Investigación Operativa I Se deben de transportar 8 toneladas de fruta al mercado 1 y 2 toneladas de fruta al mercado 2. N. 1X1 <=20 Restricción cantidad de electricistas.Identificar las variables de decisión X1: número de electricistas X2: número de mecánicos. 46 .Investigación Operativa I es 25. por electricista y 20.000 ptas. X1 >= 0. MAX Z = 25000X1 + 20000X2 Paso 3 . X2 >= 0 Deben elegirse 20 electricistas y 30 mecánicos para obtener el máximo beneficio. Paso 2 – Formular función objetivo. 1X2 <=30 Restricción cantidad de mecánicos.N.Determinar las restricciones 1X1 -1X2 <= 0 Restricción mecánicos. 1X2 -2X1<= 0 Restricción mecánicos.000 por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? Solución Paso 1 . C. Diariamente se dispone de 60 47 . Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín. un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín. un 15% de alcohol y el resto es agua.Investigación Operativa I 29. 000 pesetas.N.Identificar las variables de decisión X1: Litros de Colonia tipo A X2: Litros de Colonia tipo B Paso 2 – Formular función objetivo.20 X1 + 0. X2 <=150 Restricción producción de colonia B C.30X2 <= 60 Restricción litros de jazmín 0.15 X2 <= 50 Restricción litros de alcohol. Solución Paso 1 . Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B.Determinar las restricciones 0. X1 >= 0. X2 >= 0 Para obtener el máximo beneficio se debe de mezclar 100 litros de colonia del tipo A y 150 litros de colonia del tipo B. Max Z = 500X1 + 2000X2 Paso 3 . Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo.Investigación Operativa I litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. 48 .N. El precio de venta por litro de la colonia A es de 500 pesetas y el de la colonia B es 2.15 X1 + 0. Investigación Operativa I 30. pero sólo de 9 conductores para ese día. y el de cada uno de los pequeños. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas. el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 ptas. Dada la diferente capacidad y calidad. 49 . X2 >= 0 Para obtener el mínimo costo se debe alquilar 5 autobuses de 40 plazas y 4 de 50 plazas. 50 . C. X2: Número de Autobuses pequeño. El costo mínimo que se obtiene es de 62000 pesetas. X1 >= 0.N.Determinar las restricciones X1 <= 10 restricción autobuses grandes. 50X1 + 40X2 >= 400 restricción alumnos. X2 <= 8 pequeños. ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? Solución Paso 1 . Min Z = 8000X1 + 6000X2 Paso 3 .Investigación Operativa I 6000 ptas.Identificar las variables de decisión X1: Número de Autobuses grande. Paso 2 – Formular función objetivo. restricción autobuses 1X2 + 1X1 <= 9 restricción conductores.N. La casa X fabrica helados A y B. hasta un máximo diario de 1000 kg. 51 . sabiendo que la casa dispone de 270000 ptas.Investigación Operativa I 31. 150. ./día y que un kg de A deja un margen igual al 90% del que deja uno de B. La fabricación de un kg de A cuesta 180 ptas. y uno de B. Calcule cuántos kg de A y B deben fabricarse. C. Max Z = 0.9 X1 + 1 X2 Paso 3 .N. X2 >= 0 Se deben fabricar 1000 kg del helado tipo B y nada de tipo A. X2: Kg de helado B. Paso 2 – Formular función objetivo. X1 >= 0. 52 .Investigación Operativa I Solución Paso 1 . 180 X1 + 150 X2 <= 270000 Restricción costo en ptas.Identificar las variables de decisión X1: Kg de helado A.N.Determinar las restricciones X1 + X2 <= 1000 Restricción producción total de helado. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No debe tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g.Investigación Operativa I 32. No debe incluir más de 100 g de A Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 calorías: 53 . N. X2 >= 0 Para obtener el preparado más rico en vitaminas se deben mezclar 100 g de A y 50 g de B 54 . X2-X1 <=0 restricción cantidad de A y B. X1 <= 100 restricción cantidad de A. C. X1 + X2 <= 150 restricción consumo de la mezcla.20 X2 Paso 3 .Identificar las variables de decisión X1: gramos producto A.30 X1 + 0. X2: gramos producto B. Paso 2 – Formular función objetivo.Investigación Operativa I ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas? ¿Y el más pobre en calorías? Solución Paso 1 . Max Z = 0.Determinar las restricciones X1 + X2 >= 50 restricción consumo de la mezcla.N. X1 >= 0. 1 gramo del segundo y 2 del tercero. 55 . 33. Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B.Investigación Operativa I Para obtener el más pobre en calorías se deben de mezclar 25 gr del producto A y 25 gr del producto B. 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento. un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento. Investigación Operativa I Si se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos respectivamente y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B. X1 + X2 <= 5 ….Determinar las restricciones 2X1 + X2 >= 4 …. 2X1 + 2X2 <= 20 …. Paso 2 – Formular función objetivo. Podemos eliminar esta restricción debido a que X1 +X2 <= 5 nos garantiza que X1 + X2 <=10 X1 – 2X2 <= 0 restricción cantidad de A 56 . Kilos X1 X2 Elemento 1 8X1 gr 4X2 gr Elemento 2 X1 gr X2 gr Elemento 3 2X1 gr 2X2 gr Min Z = 200X1 + 1000X2 Paso 3 .restricción tercer elemento. X2: Kilos de la sustancia B. y uno de B 1000 ptas. ¿Puede eliminarse alguna restricción? Solución Paso 1 .restricción primer elemento. calcule los kilos de A y y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 200 ptas.Identificar las variables de decisión X1: Kilos de la sustancia A.restricción segundo elemento. Investigación Operativa I El coste será mínimo si se utilizan 1.6 kg de A y 0. La producción de estos está definida por las 57 .8 kg de B. 34. Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. Dar la función objetivo de la venta de ambos productos.2X2 <=30 Restricción producción total. Max Z = 7X1 + 6X2 Paso 3 .Identificar las variables de decisión X1: Kilos del producto A X2: Kilos del producto B Paso 2 – Formular función objetivo. 58 . 3X1. Y si se producen conjuntamente. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.Investigación Operativa I siguientes condiciones: La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. Determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio. Solución Paso 1 . 1X1 -2X2 <=0 Restricción producción de A. La producción total es tal que si sólo se produce A. se producen 15 kg. y si sólo se produce B. se producen 10 kg. la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores.Determinar las restricciones 1X2/2 –1X1<= 0 X2 .2X1 >= 0 Restricción producción de A. 29 Kg del producto A y 8.57 Kg del producto B 59 .Investigación Operativa I El máximo beneficio se obtiene cuando se producen 4. N.Investigación Operativa I 35.Identificar las variables de decisión X1: Lado menor del rectángulo X2: Lado mayor del rectángulo Paso 2 – Formular función objetivo. ¿Cuál es el máximo valor del perímetro de dichas mesas? Solución Paso 1 . . Min Z = 2X1 + 2X2 Paso 3 . X1 >= 0.N. X2 >= 0 60 Restricción lados. Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 2 metros y tales que la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sobrepase 4 metros. Restricción suma de los lados.Determinar las restricciones X2 <= 2 . X1 <= 2 2X1 + X2 <= 4 C. Investigación Operativa I Los lados del rectángulo que maximizan el perímetro del rectángulo son 1 y 2 metros y el valor máximo es de 6 metros. 61 .