Ejercicios de Matemática Aplicada a La Administración y Economía.

1Problemas de matemática aplicada a la administración y economía César A. Yépez Diciembre 2013 Ejercicios y problemas resueltos del texto: Matemática para la Administración y Economía – HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edición. 2 3 Presentación El presente trabajo tiene por objeto proporcionar métodos de solución de problemas aplicados a diversas áreas, en especial a la administración y economía. Está dirigido a estudiantes del bachillerato ya que cubre gran parte de las destrezas y contenidos que propone el Ministerio de Educación, para estudiantes de primeros años de educación superior en las carreras de Administración, Economía, Marketing, etc. Y especialmente para estudiantes y docentes de modalidades a distancia. Comprende ejercicios y problemas de algebra, funciones, rectas, parábolas, matrices, funciones logarítmicas y exponenciales, límites, derivadas e integración y, sus aplicaciones correspondientes al texto: Matemática para la Administración y Economía – HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edición. César A. Yépez 4 Índice de contenidos CAPÍTULO 0 REPASO DE ALGEBRA 0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales. 0.8 Ecuaciones Cuadráticas 7 CAPÍTULO 1 APLICACIONES Y MÁS ALGEBRA 1.1 Aplicaciones de ecuaciones 1.2 Desigualdades lineales 1.3 Aplicaciones de las desigualdades 10 CAPÍTULO 2 FUNCIONES Y GRÁFICAS 2.1 Funciones 2.2 Funciones especiales 2.3 Combinaciones de funciones 2.5 Gráficas en coordenadas rectangulares 17 CAPITULO 3 RECTAS PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES 3.1 Rectas 3.2 Aplicaciones y funciones lineales 3.3 Funciones cuadráticas 3.6 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones 27 CAPITULO 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 4.1 Funciones exponenciales 4.2 Funciones logarítmicas 4.3 Propiedades de los logaritmos 4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 36 CAPÍTULO 6 ÁLGEBRA MATRICIAL 6.1 Matrices 6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar 6.3 Multiplicación de matrices 6.4 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices 6.5 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices (continuación) 45 5 Índice de contenidos CAPÍTULO 7 PROGRAMACIÓN LINEAL 7.1 Desigualdades lineales en dos variables 7.2 Programación lineal 51 CAPÍTULO 10 LÍMITES Y CONTINUIDAD 10.1 Límites 10.2 Límites (continuación) 10.4 Continuidad aplicada a desigualdades 59 CAPÍTULO 11 DIFERENCIACIÓN 11.1 La derivada 11.3 La derivada como una razón de cambio 11.4 La regla del producto y la regla del cociente 11.5 La regla de la cadena y la regla de la potencia 63 CAPÍTULO 12 TEMAS ADICIONALES DE INTEGRACIÓN 12.1 Derivada de funciones logarítmicas 12.2 Derivada de funciones exponenciales 12.4 Diferenciación implícita 12.5 Diferenciación logarítmica 12.7 Derivadas de orden superior 69 CAPÍTULO 13 TRAZADO DE CURVAS 13.1 Extremos relativos 13.3 Concavidad 13.4 Prueba de la segunda derivada 13.6 Aplicación de Máximos y mínimos 79 CAPÍTULO 14 INTEGRACIÓN 14.1 Diferenciales 14.2 La integral indefinida 14.3 Integración con condiciones iniciales 14.4 Más fórmulas de integración 14.7 Teorema fundamental del cálculo integral 14.9 Área 14.10 Área entre curvas 14.11 Excedente de los consumidores y de los productores 90 6 7 CAPÍTULO 0 REPASO DE ALGEBRA 0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales. Problemas 0.7 Páginas: 34 – 35. Ejercicios: 10, 15,25, 89,96 En los problemas 7 a 16 determine qué operaciones se aplican a la primera ecuación para obtener la segunda. Establezca si las operaciones garantizan o no que las ecuaciones sean equivalentes. No resuelva las ecuaciones 10. 2x 2 +4 = 5x -7 ; x 2 +2 = 5 2 x - 7 2 Se divide ambos lados para dos, la equivalencia si se garantiza ya que se divide por un valor constante. 15. 2x(3x+1) 2x-3 = 2x(x +4) ; 3x +1 = (x +4)(2x -3) Se multiplican ambos lado por 2x-3 2x ; la equivalencia no se garantiza debido a que no sabemos el valor de x. Resuelva las ecuaciones 17 a 80 25. 7x +7 = 2(x +1) 7x +7 = 2x +2 =7x -2x = 2 -7 = Sx = -S x = -5 5 = x = -1 En los problemas 81 a 92, exprese el símbolo indicado en términos de los símbolos restantes 89. r = d 1-dt ; t r(1 -Jt) = J r -rJt = J r -J = rJt = ¡-d ¡d = t = t = ¡-d ¡d 96. Ingreso. El ingreso mensual total de una guardería por concepto del cuidad de x niños está dado por r = 45ûx, y sus costos mensuales totales son c = 38ûx +35ûû. ¿Cuántos niños necesitan inscribirse mensualmente para alcanzar el punto de equilibrio? En otras palabras ¿Cuándo los ingresos igualan a los costos? 8 Ingreso: r = 4Sux Costos: c = S8ux +SSuu Equilibrio: r = c 4Sux = S8ux +SSuu 4Sux -S8ux = SSuu 7ux = SSuu x = 3500 70 = x = Su Se necesitan 50 niños para alcanzar el punto de equilibrio. 0.8 Ecuaciones Cuadráticas Problemas 0.8 Páginas: 42 – 43 Ejercicios: 23, 31, 37, 73, 79 Resuelva por factorización los problemas 1 a 30. 23. t 3 -49t = û t(t 2 -49) = u t(t -7)(t +7) = u t = u t -7 = u = t = -7 t +7 = u = t = 7 En los problemas 31 a 44, encuentre todas las raices reales con el uso de la fórmula cuadrática 31. x 2 +2x -24 = û o = 1 b =2 c = -24 x = -b _√b 2 -4oc 2o = -2 _√2 2 -4(1)(-24) 2(1) = -2 _√4 +96 2 = -2 _1u 2 x = -2+10 2 = 8 2 =x = 4 x = -2-10 2 = -12 2 =x = -ó 37. 4 -2n +n 2 = û Si n 2 -2n +4 = u = o = 1 b = -2 c = 4 Luego, n = -b_√b 2 -4uc 2u = -(-2)_√(-2) 2 -4(1)(4) 2(1) n = 2_√4-16 2 = n = 2_√-12 2 = No existen raíces reales Resuelva por cualquier método los problemas 55 a 76 73. √x -√2x +1 +1 =0 9 (√x +1) 2 = √2x +1 2 = √x 2 +2√x +1 = 2x +1 x +2√x +1 = 2x +1 2√x = 2x -x +1 -S (2√x) 2 = (x) 2 4x = x 2 = x 2 -4x = u x(x -4) = u ⟺ x = û , x -4 = u = x = 4 79. Geometría. El área de un dibujo rectangular, que tiene un ancho de 2 pulgadas menor que el largo, es de 48 pulgadas cuadradas. ¿Cuál son las dimensiones del dibujo? a = x -2 | = x A = 48m 2 A = l. o l = x 48 = x (x -2) = x 2 -2x o = x -2 u = x 2 -2x -48 = (x -8)(x +6) El largo es l = x = 8 y el ancho es 6 10 CAPÍTULO 1 APLICACIONES Y MÁS ALGEBRA 1.1 Aplicaciones de ecuaciones Problemas 1.1 Páginas: 51- 52 – 53 Ejercicios 1, 5, 7, 9, 16, 31, 35, 41 1. Cercado. Se colocará una cerca alrededor de un terreno rectangular de modo que el área cercada sea de 800 pies cuadrados y el largo del terreno sea el doble de su ancho. ¿Cuántos pies de cerca se utilizarán? Arco = 8uu oncbo = o = x lorgo = l = 2x Arco = lorgo - Ancbo = 2x(x) = 2x 2 8uu = 2x 2 800 2 = x 2 = x 2 = 4uu = √x 2 = √4uu x = 2u v x = -2u Luego, las dimensiones son: o = 2upics l = 4upics Pcrimctro = 2o +2l = 4u +8u = 12u pics 5. Acabado de muebles. De acuerdo con The Consumer’s Hand book [Paul Fargis, ed. (Nueva York: Hawthoun, 1974)], un buen aceite para el acabado de muebles de madera contiene dos partes de aceite de linaza hervido y una parte de aguarrás. Si debe prepararse una pinta (16 onzas líquidas) de este producto. ¿Cuántas onzas líquidas de aguarrás se necesitan? Cantidad de Aguarrás: x Cantidad de Linaza: 2x Contenido de una pinta: 2x +x = 16 = Sx = 16 x = 16 3 7. Vereda de jardín. Se va usar un terreno rectangular de 4m. por 8m. para plantar un jardín. Se decide construir un corredor pavimentado en todo el borde, de manera que queden 12 metros cuadrados del terreno para cultivar flores. ¿Cuál debe ser el ancho del corredor? A = l. o 12 = (8 -2x)(4 -2x) 12 = S2 -16x -8x +4x 2 4x 2 -24x +S2 -12 = u 4x 2 -24x +2u = u 4x 2 -6x +S = u (x -S)(x -1) = u = x = S v x = 1 El ancho del corredor debe ser x = 1m . El valor x = S se descarta debido a que el ancho del terreno es apenas de 4 metros. 11 9. Utilidad. Una compañía de refinación de maíz produce gluten para alimento de ganado, con un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son $120 000 al mes y el alimento se vende a $ 134 la tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse al mes para que la compañía obtenga una utilidad mensual de $560000? Sea : Costo por tonelada: Cu = 82 Costos Fijos: C¡ = 12uuuu Precio de venta: P: = 1S4 Utilidad: u = S6uuuu Número de toneladas: q =. Costo total: CI Costo de venta: C: = Cu · q u = I - CI u = P:. q - (C¡ + C:) u = P:. q - (C¡ + Cu. q) S6uuuu = 1S4q - (12uuuu +82. q) S6uuuu = 1S4q - 12uuuu - 82q S6uuuu - 12uuuu = 1S4q- 82q 68uuuu = S2q 68uuuu S2 = q = q = 1Su76.9 q = 1Su77 IoncloJos 16. Negocio. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso total por las ventas, en dólares, será 100 √q. Si el costo variable por unidad es de $2 y el costo fijo de $1200, encuentre los valores de q para los que ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo C: = 2 C¡ = 12uu ingrcso = Costos :orioblcs + Costos Fi]o 1uu √q = 2q +12uu (1uu √q) 2 = (2q +12uu) 2 1uuuuq = 4q 2 +48uuq +144uuuu 4q 2 +48uuq -1uuuuq +144uuuu = u 4q 2 -S2uuq +144uuuu u = q 2 -1Suuq +S6uuuu q = 1Suu _√(-1Suu) 2 -4(1)(S6uuuu) 2(1) = q = 1Suu _√169uuuu -144uuuu 2 q = 1Suu _√2Suuuu 2 = q = 1Suu _Suu 2 q 1 = 1Suu +Suu 2 =q 1 = 18uu 2 =q 1 = 9uu q 2 = 1Suu -Suu 2 =q 2 = 8uu 2 =q 2 = 4uu Solucion: q 1 = 9uu q 2 = 4uu 31. Ingreso. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por R=800p-7p 2 , donde p es el precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será de $10000, si el precio debe ser mayor de $50? Ingreso mensual: R = 8uup -7p 2 Condición: R = 1uuuu si p > Su p =. 12 De los datos se tiene: 1uuuu = 8uup -7p 2 7p 2 -8uup +1uuuu = u Resolviendo la ecuación cuadrática tenemos: (7p-700)(7p-100) 7 = u (7p-700)(7p-100) 7 = u p -1uu = u = p = 1uu 7p -1uu = u = p = 100 7 = 14.S El ingreso mayor que 50 es p = 1uu 35. Cerca de seguridad. Por razones de seguridad, una compañía cercará un área rectangular de 11200 pies cuadrados en la parte posterior de su planta. Un lado estará delimitado por el edificio y los otros tres lados por la barda (vea la figura 1.4). Si se van a utilizar 300 pies de cerca, ¿cuáles serán las dimensiones del área rectangular? Arco = A = l · o = 112uu Pcrimctro = Suu = l +2o Del área se obtiene: l = 112uu o Reemplazando en la fórmula del perímetro tenemos: Suu = 112uu o +2o = 112uu +2o 2 o Suuo = 112uu +2o 2 o 2 -1Suo +S6uu = u (o -8u)(o -7u) = u o = 8u; o = 7u 41. Bienes raíces. Una compañía fraccionadora compra un terreno en $ 7200. Después de vender todo, excepto 20 acres, con una ganancia de $30 por acre sobre su costo original, recuperó el costo total de la parcela. ¿Cuántos acres se vendieron?. Sea x el número de acres comprados, p el precio por acre comprado, entonces: Compra de x acres al precio p: 1) 72uu = xp = p = 7200 x Venta de (x -2u) acres: 2) 72uu = (x -2u)(p +Su) 1) en 2) 72uu = (x -2u) [ 7200 x +Su¸ = 72uu = 72uu +Sux - 144000 x -6uu 6uu = 30x 2 -144000 x = 6uux = Sux 2 -144uuu 13 Sux 2 -6uux -144uuu = u = x 2 -2u x -48uu = u (x -8u)(x +6u) = u = x = 8u v x = -6u El número de acres debe ser un valor positivo, por lo tato: Número de acres comprados: x = 8u acres. Número de acres vendidos: x -2u = 8u -2u = 6u acres. 1.2 Desigualdades lineales Problemas 1.2 página 58 Ejercicios 7, 19, 21,35, 38 Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de intervalo y represéntela en forma geométrica sobre la recta de los números reales 7. 5 -7s > S S -7s > S -7s > -2 s < 2 7 Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de intervalo y represéntela en forma geométrica sobre la recta de lo s números reales: 19. 5 ó x < 4u S 6 x < 4u Sx < 24u x < 48 21. 9y+1 4 ¸ 2y -1 14 9y +1 4 ¸ 2y -1 9y +1 ¸ 8y -4 y ¸ -S = (-«. -S] 35. Ahorros: Cada mes del año pasado, Brittany ahorro más de $50 pero menos de $150. Si S representa sus ahorros totales del año, describa S con el uso de desigualdades. 12(Su) < s < 12(1Su) 6uu < s < 18uu 38. Gasto. Una estudiante tiene $360 para gastar en un sistema estereofónico y algunos discos compactos. Si compra un estéreo que cuesta $219 y el costo de los discos es de $18,95 cada uno, determine el mayor número de discos que puede comprar. Sea x el número de discos entonces: 219 +18,9Sx ¸ S6u 18,9Sx ¸ S6u -219 = 18,9Sx ¸ 141 = x ¸ 141 18,95 = x ¸ 7,44 Luego x = 7 discos 1.3 Aplicaciones de las desigualdades Problemas 1.3 páginas 60 – 61 Ejercicios 1, 3, 5, 8, 11 1 . La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el número de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. Número de unidades: q Ingresos: r = 2uq Costo de producción: c: = 1Sq Costos fijos: c¡ = 6uuuuu Utilidad: u = Ingrcsos -costos = 2uq -(1Sq +6uuuuu) = Sq -6uuuuu Existen utilidades cuando u > u, entonces: Sq -6uuuuu > u = q > 12uuu. Luego, el número de unidades que deben venderse es 12001 o más 3. Arrendamiento versus compra. Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de comprar un automóvil y el de arrendarlo con opción a compra. Puede rentar un automóvil por $420 al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es $0.06. Si comprara el automóvil, el gasto fijo anual sería $4700, y los otros costos 15 ascenderían a $0.08 por milla. ¿Cuál es el mínimo de millas que tendría que conducir por año para que el arrendamiento no fuese más caro que la compra? Sean: x = número de millas recorridas por año Costo anual por rentar el automóvil: Co = 12(42u) +u.u6x = Su4u +u.u6x Costo anual por comprar el automóvil: Cc = 47uu +u.u8x Condición: Co ¸ Cc Su4u +u.u6x ¸ 47uu +u.u8x S4u ¸ u.u2x x ¸ 17uuu 5. El costo unitario de publicación de una revista es de $0.55. Cada revista se vende al distribuidor en $0.60, y la cantidad que se recibe por publicidad es 10% de la cantidad recibida por todas las revistas vendidas por arriba de las 30000. Encuentre el número mínimo de revistas que pueden publicarse sin pérdida –esto es, tal que la utilidad ≥0 - suponiendo que se venderán 90%de los ejemplares. Utilidad = ingresos – costos ≥0  Para los ingresos menores de 30000 unidades Utilidad= ingresos –costos ≥0 u.6 (u9)q -u.SSq ¸ u u.S4q -u.SSq ¸ u -u.u1q ¸ u q ¸ u  Para los ingresos mayores de 30000 Utilidad= ingresos –costos ≥0 u.6 (u.9)q +u.1(u.6)(u.9q -Su,uuu) -u.SSq ¸ u u.S94q -18uu -u.SSq ¸ u u.u44q -18uu ¸ u u.u44q ¸ 18uu q ¸ 4u91u Se deben imprimir más de 40910 revistas para no obtener pérdidas. 8. Razón de circulante. La razón de circulante de Precisión Machine Products es 3.8. Si sus activos circulantes son de $570 000. ¿Cuáles son sus pasivos circulantes? Para elevar sus fondos 16 de reserva, ¿Cuál es la cantidad máxima que puede pedir prestada a corto plazo si quiere que su razón de circulante no sea menor que 2.6? Sea L= Pasivo circulante R=razón de circulante=3.8 rozon Jc circulontc = octi:o circulontc posi:o circulontc S.8 = 570000 L = S.8 I = S7uuuu = I = $1Su,uuu Sea x= la cantidad de dinero que puede pedir prestado, donde x ¸ u 570000+x 150000+x ¸ 2.6 =S7uuuu +x ¸ S9uuuu +2.6x 112.Suu ¸ x los posi:os corricntcs son $1Su,uuu y lo máximo quc pucJc pcJir prcstoJo cs $112Suu 11. Sueldo por hora. Con frecuencia se paga a los pintores por hora, o bien por trabajo terminado. El tipo de pago que reciben puede hacer variar la velocidad a la que trabajan. Por ejemplo, suponga que pueden trabajar por $9 la hora, o bien, por $320 más $3 por cada hora trabajada por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t horas. Si t≥40, resulta claro que el sueldo por hora es mejor. Si t<40, ¿para qué valores de t el salario por hora es mejor? Sea t < 4u = 9t > S2u +S (4u - t) 9t > 44u -St 12t > 44u t > S6.7 17 CAPÍTULO 2 FUNCIONES Y GRÁFICAS 2.1 Funciones Problemas 2.1 Páginas 81, 82. Ejercicios: 7, 21, 43, 46, 48 En los problemas 5 a16, obtenga el dominio de cada función. 7. h(x) = √x -3 Para que b(x) = √x -S exista, se necesita que x -S ¸ u, por lo que x ¸ S Ðom(b) = |S, «) Determinar los valores de la función para cada una de las funciones de los problemas 17 a 28 21. y(u) = 2u 2 -u; y(-2); y(2u); y(x +a) y(u) = 2u 2 -u y(-2) = 2(-2) 2 -2 = 8 +2 = 1u y(2:) = 2(2:) 2 -(2:) = 8: 2 -2: y(x +o) = 2(x +o) 2 -(x +o) y(x +o) = 2x 2 +4ox +2o 2 -x -o En los problemas 29 a36 encuentre (a) ¡(x +h) y (b) ¡(x+h)-¡(h) h ; simplifique sus respuestas 35. ¡(x) = 1 x a.) ¡(x +b) = 1 x+h b.) ](x+h)-](x) h = 1 x+h - 1 x h = x-(x+h) x(x+h) h = -h hx(x+h) = -1 x(x+h) 43. La fórmula para el área de un circulo de radio r es A = ar 2 ¿Es el área una función del radio? Si debido a que para cada valor de r corresponde un único valor A(r) = ar 2 46. DEPRECIACION. Si una máquina de $ 30.000 se deprecia 2% de su valor original cada año, determine una función “f” que exprese el valor “v” de la maquina después que han transcurrido “t” años. La depreciación al final del año es de 0.02 × t ×(30.000), por lo que el valor de la máquina es: : = ¡(t) = Su.uuu -u,u2 × t × (Su.uuu), o 18 , : = ¡(t) = Su.uuu(1 -u,u2 × t) 48. FUNCION DE DEMANDA. Suponga que la función de demanda anual para que cierto actor protagonice una película es p = 1 | 2ûû.ûûû g , donde “g” es el número de películas que protagoniza durante el año 1. Si el artista actualmente cobra $ 6’000.000 por película ¿Cuántas protagonistas cada año? Si quiere protagonizar cuantas cintas por año ¿Cuánto cobra por esto? Carga de 6’000.000 dólares por película corresponde a: p = 6'uuu.uuu 6uu.uuu = 1'2uu.uuu g g = 1'2uu.uuu 6uu.uuu = 2 Para protagonizar cuatro películas por año el actor debería cobrar: p = 1i200.000 4 = $ Suu.uuu por película. 2.2 Funciones especiales Problemas 2.2 Páginas: 85 – 86 Ejercicios: 3,15, 29, 30, 31, 33 En los problemas 1 a 4 determine si la función dada es una función polinomial 3. g(x) = 1 2x 2 +2x+1 No es una función polinomial Establezca (a) el grado y (b) el coeficiente principal de la función polinomial dada en los problemas 13 a 16 15. g(x) = 1 a -3x 5 +2x ó +x 7 Grado: 7 Coeficiente: 1 29. Viaje en Tren. Un boleto de viaje redondo en tren a la ciudad cuesta $ 4.50. Escriba su costo como función del ingreso del pasajero ¿Qué tipo de función es? i = ingrcso Jcl poso]cro c(i) = costo Jcl bolcto 19 c(i) = 4,Su Esta es una función constante. 30. Geometría. Un prima rectangular tiene una longitud tres veces mayor que su ancho y altura; una unidad menor que el doble del ancho. Escriba el volumen del prisma rectangular como una función del ancho. ¿Qué clase de función es? w = oncbo Jcl prismo w +S = longituJ Jcl prismo 2w -1 = olturo Jcl prismo Formula del volumen del prisma rectangular: :(w) = (w +S)(w)(2w -1) :(w) = 2w 3 +Sw 2 -Sw Es una función cúbica. 31. Función de costo. En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial de un dado es de $ 850, y todos los otros costos adicionales son de $ 3 por unidad producida (a) exprese el costo total c (en dólares) como una función lineal del número q de unidades producidas (b) ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de $ 1.600? a) c = 8Su +Sq b) 1.6uu = 8Su +Sq 7Su = Sq q = 2Su 33. Ventas. Para estimular las ventas A grupos grandes, un teatro cobra dos precios si su grupo es menor de 12 cada boleto cuesta $ 9,50. Si un grupo es de 120 o más, cada boleto cuesta $ 8,75. Escriba una función definida para presentar el costo de comprar n boletos. El costo de la compra de n por entrada es: c(n) = _ 9,Sun u ¸ n < 12 8,7Sn 12 ¸ n 2.3 Combinaciones de funciones Problemas 2.3 Páginas: 90 -91 Ejercicios: 1, 3, 7, 17, 18, 19 1. Si ¡(x) = x +S y g(x) = x +S encuentre 20 a) (¡ +g)(x) (¡ +g)(x) = ¡(x) +g(x) (¡ +g)(x) = (x +S) +(x +S) (¡ +g)(x) = 2x +8 b) (¡ +g)(û) (¡ +g)(x) = 2x +8 (¡ +g)(u) = 2(u) +8 (¡ +g)(x) = 8 c) (¡ -g)(x) (¡ -g)(x) = ¡(x) -g(x) (¡ +g)(x) = (x +S) -(x +S) (¡ -g)(x) = -2 d) (¡g)(x) (¡g)(x) = ¡(x)g(x) (¡g)(x) = (x +S)(x +S) (¡g)(x) = x 2 +8x +1S e) (¡g)(-2) (¡g)(x) = x 2 +8x +1S (¡g)(-2) = (-2) 2 +8(-2) +1S (¡g)(-2) = S f) [ ¡ g ¸ (x) _ ¡ g ] (x) = _ x +S x +S ] g) (¡ug)(x) (¡og)(x) = ¡(g(x)) (¡og)(x) = ¡(x +S) (¡og)(x) = (x +S) +S (¡og)(x) = x +8 h) (¡ug)(3) 21 (¡og)(x) = x +8 (¡og)(S) = S +8 (¡og)(S) = 11 i) (gu¡)(x) (go¡)(x) = g(¡(x)) (go¡)(x) = g(x +S) (go¡)(x) = (x +S) +S (go¡)(x) = x +8 j) (gu¡)(3) (go¡)(x) = x +8 (go¡)(S) = S +8 (go¡)(S) = 11 3. Si ¡(x) = x 2 +1 y g(x) = x 2 -x, encuentre lo siguiente: a) (¡ +g)(x) (¡ +g)(x) = ¡(x) +g(x) (¡ +g)(x) = (x 2 +1 ) +(x 2 -x) (¡ +g)(x) = 2x 2 -x +1 b) (¡ -g)(x) (¡ -g)(x) = ¡(x) -g(x) (¡ -g)(x) = (x 2 +1 ) -(x 2 -x) (¡ -g)(x) = x +1 c) (¡ -g) [- 1 2 ¸ (¡ -g)(x) = x +1 (¡ -g) _- 1 2 ] = x +1 (¡ -g) _- 1 2 ] = _- 1 2 ] +1 (¡ +g)(x) = 1 2 d) (¡g)(x) (¡g)(x) = ¡(x)g(x) 22 (¡ +g)(x) = (x 2 +1 )(x 2 -x) (¡ +g)(x) = x 4 -x 3 +x 2 +x e) [ ¡ g ¸ (x) _ ¡ g ] (x) = (x 2 +1 ) (x 2 -x) f) [ ¡ g ¸ [- 1 2 ¸ _ ¡ g ] (x) = (x 2 +1 ) (x 2 -x) _ ¡ g ] (x) = _[- 1 2 ¸ 2 +1 _ _[- 1 2 ¸ 2 -[- 1 2 ¸_ _ ¡ g ] (x) = _ S S ] g) (¡ug)(x) (¡og)(x) = ¡(g(x)) (¡og)(x) = ¡(x 2 -x) (¡og)(x) = ((x 2 -x) 2 +1) (¡og)(x) = x 4 -2x 3 +x 2 +1 h) (gu¡)(x) (go¡)(x) = g(¡(x)) (go¡)(x) = g(x 2 +1) (go¡)(x) = ((x 2 +1) - (x 2 +1) (go¡)(x) = x 4 +x 2 i) (gu¡)(-3) (go¡)(-S) = x 4 +x 2 (go¡)(-S) = (-S) 4 +(-S) 2 (go¡)(-S) = 9u 7. Si F(t) = t 2 +7t +1 y C(t) = 2 t-1 , encuentre (FuC)(t) y (CuF)(t) 23 (Fou)(t) = F(u(t)) (Fou)(t) = F_ 2 t -1 ] (Fou)(t) = _ 2 t -1 ] 2 +7_ 2 t -1 ] +1 (Fou)(t) = _ 2 t -1 ] 2 +7_ 2 t -1 ] +1 (uoF)(t) = u(F(t)) (uoF)(t) = u(t 2 +7t +1 ) (uoF)(t) = 2 t 2 +7t +1 -1 (uoF)(t) = 2 t 2 +7t 17. Utilidad. Cierto expendio de café vende una libra de café por $ 9,75. Los gastos mensuales son $ 4.500 más $ 4,25 por cada libra vendida. a) Escriba una función r(x) para el ingreso mensual total como una función del número de libras vendidas. b) Escriba una función c(x) para los gastos mensuales totales como una función del número de libras de café vendidas. c) Escriba una función (r – c)(x) para la utilidad mensual total como una función del número de libras vendidas. a) El ingreso es de $ 9,75 por libra de café vendida r(x) = 9,75 x b) Los gastos son e(x) = 4.500 + 4,25 x c) Los beneficios son: (r-c)(x) = 9,75 x – (4.500 + 4,25 x) (r-c)(x) = 5,50 x –4.500 18. Geometría. Suponga que el volumen de un cubo es: u(x) = (4x -2) 3 , exprese v como una composición de dos funciones y explique que representa cada función. :(x) = (4x -2) 3 , puede escribirse como: :(x) = (¡(l(x)) = (¡og)(x) Donde ¡(x) = (x) 3 , y l(x) = 4x -2 24 Entonces l(x) representa la longitud de los lados del cubo, mientras que ¡(x) es el volumen de un cubo. 19. Negocio. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día q, es una función del número de empleados m, donde q = ¡(m) = 4ûm-m 2 4 . El ingreso total , r, que se recibe por la venta de q unidades, está dado por la función g, donde r = g(q) = 4ûq. Determine (gu¡)(m). ¿Qué es lo que describe esta función compuesta? (go¡)(m) = g(¡(m)) = (go¡)(m) = g_ 4um-m 2 4 _ = 4u_ 4um-m 2 4 _ = 1u(4um-m 2 ) = 4uum-1um 2 Esta función representa los ingresos totales recibidos por la venta de q unidades producidas por m empleados. 2.5 Gráficas en coordenadas rectangulares Problemas 2.5 Páginas: 101 – 102 Ejercicios: 1, 4, 29, 31 En los problemas 1 y 2, localice y marque cada uno de los puntos dados y, si es posible, indique al que pertenece cada punto. 1. (-2, 7), (8, -S), [- 1 2 , -2¸, (u, u) 2. En la Figura 2.27 (b) se muestra la gráfica de y = f(x) 25 a) Estime f(0) y f(2) f (0) = 2, f (2) = 0 b) ¿Cuál es el dominio de f ? Dominio: todo x ≥ 0 c) ¿Cuál es el rango de f ? Rango: todo y ≥ 2 d) ¿Cuál es una raíz real de f ? f (x) = 0, para x = 2. Así que un cero real es 2. En los problemas 21 a 34, grafique cada función y determine su dominio y rango. También determine las intersecciones 29. Si ¡(t) = √t 2 -9  Graficando la función se tiene  Calculamos el dominio La función existe si t 2 -9 ¸ u, entonces: Si t 2 ¸ 9 = |t| ¸ S |t| ¸ S ⟺ t ¸ -S v t ¸ S Así se tiene: Ðom(¡) = (-«, -S] U |S, +«)  Calculamos el recorrido A partir del dominio se tiene: t ¸ -S t 2 ¸ 9 t 2 -9 ¸ u ¡(t) ¸ u t ¸ S t 2 ¸ 9 t 2 -9 ¸ u ¡(t) ¸ u En consecuencia el recorrido es: Rcc(¡) = |u. +«) 26  Calculamos las intersecciones Las intersecciones se presentan cuando y = ¡(t) = u u = √t 2 -9, u = t 2 -9 t = _S = Las intersecciones son: (-3,0), (3,0) 31. ¡(x) = |2x -1|  Graficando la función se tiene:  Calculamos el dominio: No existe restricción para los valores que puede tomar x, entonces: Ðom(¡) = R  Calculamos el recorrido Los valores que puede tomar y son solo positivos, entonces: Rcc(¡) = R + U {u]  Calculamos las intersecciones Si x = u = ¡(u) = |2(u) -1| = 1 Si ¡(x) = u = |2x -1| = u = x = 1 2 Los puntos de intersección son : [ 1 2 , u¸, (u,1) 27 CAPITULO 3 RECTAS PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES 3.1 Rectas Problemas 3.1 Páginas: 123 -124 Ejercicios: 9, 17,55, 69, 71 En los problemas 9 a24, encuentre una ecuación lineal general (Ax + By + C = 0) de la recta que tiene las propiedades indicadas, y haga el bosquejo de cada recta. 9. Pasa por (-1,7) y tiene pendiente -5 Ecuación punto-pendiente: y -y 1 = m(x -yx 1 ) y -7 = -S(x -(-1)) y -7 = -S(x +1) y -7 = -Sx -S Sx +y -2 = u 17. Tiene pendiente 2 y su intersección y es 4. Ecuación pendiente y ordenada al origen (función lineal) y = mx +b y = 2x +4 u = 2x -y +4 En los problemas 51 a 60 encuentre una ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas. Si es posible, dé la respuesta en la forma pendiente-intersección. 55. Es perpendicular a y = 3x – 5 y pasa por (3,4). L1: y = Sx -S m 1 = S la pendiente m = L2: y = m 2 x +b 2 m 2 = - 1 m 1 = - 1 3 y -y 1 = m(x -x 1 ) y -4 = - 1 S (x -S) S(y -4) = -(x -S) = Sy -12 = -x +S Sy = -x +S +12 = Sy = -x +1S Sy = -x +S +12 = Sy = -x +1S y = - x 3 + 15 3 28 y = - x 3 +S 69. Geometría. Muestre que los puntos A(0,0), B(0,4), C(2,3) y D(2,7) son los vértices de un paralelogramo (los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos) m = ¡ 2 -¡ 1 x 2 -x 1 m = 3-7 2-2 = -4 0 Indeterminada m = 0-4 0-0 = -4 0 Indeterminada m = 7-4 7-0 = 3 2 m = 3-0 2-0 = 3 2 m ÐC = m BA m BÐ = m AC Porolclos Porolclos 71. Ecuación de costo. El costo diario promedio, C, de un cuarto en un hospital de la ciudad se elevó $59.82 por año, durante la década de 1990 a 2000. Si el costo promedio en 1996 fue $1128.50. ¿cuál es una ecuación que describe el costo promedio durante esta década como una función del número de años, T, desde 1990? (6,1128.50) m = S9.82 y -1128.Su = S9.82(t -6) y-1128.Su = S9.82t-SS8.92) y = S9.82t-SS8.92-1128.Su y = S9.82t +769.S8 3.2 Aplicaciones y funciones lineales Problemas 3.2 Páginas: 129-130 Ejercicios: 15, 16, 17, 21, 25, 34 15. Ecuación de demanda Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12.75 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18.75 cada una. Encuentre la ecuación de la demanda, suponga que es lineal. Determine el precio unitario cuando se demandan 37 unidades. Sea (x, y) = (Númcro Jc uniJoJcs, prccio), entonces se tienen los puntos. (4u,12.7S) (2S,18.7S)  Calculamos la pendiente m = 18.75-12.75 25-40 = m = 6 -15 = m = - 2 5  Utilizamos la ecuación de la recta y -y 1 = m(x -x 1 ) 29 y -12.7S = - 2 5 (x -4u) y = - 2 5 x +28.7S Ecuación de demanda  Calculamos el precio cuando se demandan 37 unidades y = - 2 5 (S7) +28.7S y = - 74 5 +28.7S y = -74 +143.75 5 = 62.75 5 = y = 1S.9S 16. Ecuación de demanda. La demanda semanal para un CD es de 26000 unidades cuando el precio es $12 cada una, y de 10000 cuando el precio unitario es de $18. Encuentre una ecuación de demanda para el CD, suponga que es lineal. Se tienen los puntos: (26uuu, 12) y (1uuuu, 18)  Calculamos la pendiente que une los puntos m = 18-12 10000-26000 = m = 6 -16000 = m = - 3 8000  Calculamos la ecuación de la recta y -y 1 = m(x -x 1 ) y -12 = - 3 8000 (x -26uuu) y -12 = - 3 8000 x +9.7S) y = - 3 8000 x +9.7S +12 = y = - 3 8000 x +21.7S Ecuación de demanda 17. Ecuación de oferta. Un fabricante de refrigeradores producirá 3000 unidades cuando el precio sea de $940 y 2200 unidades cuando el precio sea $740. Suponga que el precio, p, y la cantidad producida, q, están relacionadas de manera lineal Encuentre la ecuación de oferta.  Se tienen los puntos correspondientes (Suuu, 94u) y (22uu, 740)  Calculamos la pendiente de la recta que une esos puntos m = 740-940 2200-3000 = m = 200 800 = m = 1 4  Calculamos la ecuación de la recta y -y 1 = m(x -x 1 ) y -94u = 1 4 (x -Suuu) y = 1 4 x - 3000 4 +94u = y = 1 4 x +19u Ecuación de la oferta 21. Tarifa de electricidad. Una compañía de electricidad cobra 12.5 centavos por kilowatt-hora más un cargo base mensual a los clientes residenciales. La factura mensual de un cliente es 30 de $51.65 por 380 kilowatt-hora. Encuentre una función lineal que de describa el monto total por concepto de electricidad, si x es el número de kilowatt-hora utilizados en un mes.  Para la función lineal y -y 1 = m(x -x 1 ) se tiene la pendiente m y el punto P 1 m = u.12S P 1 = (S8u,S1.62)  Reemplazando tenemos: y -y 1 = m(x -x 1 ) y -S1.6S = u.12S(x -S8u) y -S1.6S = u.12Sx -47.S) y = u.12Sx -47.S +S1.6S Luego, y = u.12Sx +4.1S es la función de monto por concepto de consumo. 25. Apreciación. Un nuevo edificio de departamentos se vendió por $960000 cinco años después de que se compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $45000 por año, mientras ellos fueron los propietarios. Encuentre una función que describa la apreciación del inmueble, si x es el número de años desde la compra original. Para la función lineal y -y 1 = m(x -x 1 ) se tiene m = 4Suuu y el punto (S,96uuuu) luego: y -y 1 = m(x -x 1 ) y -96uuu = 4Suuu(x -S) y -96uuu = 4Suuux -22Suuu y = 4Suuux -22Suuu +96uuu = y = 4Suuux +7SSuuu Función de apreciación 34. Dieta para cerdos. Tras las pruebas realizadas con una dieta experimental para cerdos, se determinó que el peso (promedio) w (en kilogramos) de un cerdo, de acuerdo con las estadísticas, era una función lineal del número de días, d, después de haber iniciado la dieta, donde 0¸d¸100. Si el peso del cerdo al inicio del régimen fue de 21 kg, y a partir de entonces ganó 6.3 kg cada 10 días, determine w como una función de d y calcule el peso de un cerdo 55 días después de que inició la dieta. Sea el peso (w) y el número de días (d), entonces se tiene la relación (u,21) La pendiente sería m = 6.3 10 = m = u.6S Luego la función lineal será w -w 1 = m(J -J 1 ) w -21 = u.6S(J -u) w -21 = u.6SJ w = u.6SJ +21 El peso a los 55 días será: w = ¡(J) = u.6SJ +21 w = u.6S × SS +21 w = SS.6S kg 31 3.3 Funciones cuadráticas Problemas 3.3 Páginas: 136-137. Ejercicios: 13, 17, 29, 33, 37 Grafique cada función de los problemas 13 a 22. Obtenga el vértice y las intersecciones y determine el rango. 13. y = ¡(x) = x 2 -óx +5 Se tienen los valores o = 1 b = -6 c = S  Calculamos el vértice [- b 2u , ¡(- b 2u )¸ = (S,4) x = - b 2o x = - -6 2(1) x = S y = ¡ _- b 2o ] y = ¡(S) = (S) 2 -6(S) +S y = 9 -18 +S y = -4  Calculamos la intersecciones Intersección con el Eje X Si y = u = x 2 -6x +S = u (x -S)(x -1) = u x = S v x = 1 P 1 = (S,u) P 2 = (1,u) Intersección con el Eje Y Si x = u =y = x 2 -6x +S y = u 2 -6(u) +S y = S P 3 (u,S)  Calculamos el recorrido ; a partir del vértice se tiene: Rcc(¡) = |-4, +«) 17. x = h(t) = t 2 +ót +9 Se tienen los valores o = 1 b = 6 c = 9  Calculamos el vértice [- b 2u , ¡(- b 2u )¸ = (-S,u) x = - b 2o x = - 6 2(1) x = -S y = ¡ _- b 2o ] y = ¡(-S) = (-S) 2 +6(S) +9 y = -9 +18 +9 y = u 32  Calculamos la intersecciones Intersección con el Eje X Si y = u = t 2 +ót +9 = û (t +S)(t +S) = u P 1 = P 2 = (-S,u) Intersección con el Eje Y Si t = u = x = h(t) = t 2 +ót +9 x = h(û) = û 2 +ó(û) +9 = 9 P 2 = (u,9)  Calculamos el recorrido ; a partir del vértice se tiene: Rcc(b) = |u, +«) 29. Ingreso. La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 200-5q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso. El valor máximo o mínimo en una función cuadrática, lo determina el vértice, entonces: Si p = 2uu -Sq Ingrcso: r = p. q = (2uu -Sq). q r = 2uuq -Sq 2 = -Sq 2 +2uuq o = -S b = 2uu  Calculando el vértice se tiene: :crticc = _- b 2o , ¡(- b 2o )] = (q, r) =q = - b 2o = -2uu 2(-S) = q = 2u r = ¡ [- b 2u ¸ = ¡(2u) = -S(2u) 2 +2uu(2u) = 2uuu Así se tiene: Icrticc(2u, -2uuu). Lo cual significa que el nivel de producción que maximiza los ingresos es 20 unidades, y el ingreso máximo es 2000. 33. Utilidad. La utilidad diaria proveniente de la venta de árboles en el departamento de jardinería de una tienda está dada por P(x) = -x 2 + 18x + 144, donde x es el número de árboles vendidos. Determine el vértice y las intersecciones de la función y grafique la función. utiliJoJ = P(x) = -x 2 +18x +144 33 :crticc = [- b 2u , ¡(- b 2u )¸ = (9,22S) x = - b 2u = -18 2(-1) x = 9 y = ¡ [- b 2u ¸ = ¡(9) = -S(9) 2 +18(9) +144 y = -81 +162 +177 = 22S Intersección con el Eje Y Si x = u = y = -(u) 2 +18(u) +144 = 144 = P 1 = (u,144) Intersección con el Eje X Si y = u = -x 2 +18x +144 = u = (x -24)(x +6) = u P 2 = (24,u) P 3 = (-6,u) 37. Tiro con arco. Un muchacho que está parado en una colina, tira una flecha directamente hacia arriba a una velocidad inicial de 85 pies por segundo. La altura, h, de la flecha en pies, t segundos después de que se lanzó, se describe mediante la función h(t) = —16t 2 + 85t + 22. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha? ¿Después de cuántos segundos de ser disparada alcanza esta altura? b(t) = -16t 2 +8St +22 El vértice nos da el valor máximo de la altura, entonces: :crticc = [- b 2u , ¡(- b 2u )¸ = (tmox, bmox) tmox = - b 2u = -85 2(-16) = -85 -32 = 2.6S = 2.7 segundos ymox = ¡ [- b 2u ¸ = ¡(2.7) = -16(2.7) 2 +8S(2.7) +22 ymox = -116.64 +229.S +22 = 1S4.86 pies. 34 3.6 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones Problemas 3.6 Páginas: 156-157 Ejercicios: 15, 16, 18,20, 23 15. Negocios. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3q -2ûûp +18ûû = û (1) y 3q +1ûûp -18ûû = û (2) respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo. (a) Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo mediante una gráfica. (b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un de impuesto de 27 centavos por unidad al proveedor. a) El precio de equilibrio se calcula igualando las funciones de oferta y de demanda Oferta = demanda Sq -2uup +18uu = Sq +1uup -18uu Sq -2uup -Sq -1uup = -18uu -18uu -2uup -1uup = -S6uu -Suup = -S6uu p = -3600 -300 = 12 El precio para que se mantenga el equilibrio es de 12. Reemplazando p = 12 en la ecuación (1) se tiene: Sq -2uu(12) +18uu = u Sq -24uu +18uu = u Sq = 6uu = q = 600 3 = 2uu b)  Establecemos la función de oferta cuando se carga el impuesto: Sq -2uup +18uu = u Sq +18uu = 2uup = 3q+1800 200 = p = La función de oferta sin impuesto es: p = 3 200 q +9 35 Luego, la función de oferta con impuesto será: p = S 2uu q +9 +u.27 = p = 3 2ûû q +9. 27  Calculamos la función de demanda: Sq +1uup -18uu = u p = -Sq +18uu 1uu = - +  Igualamos la oferta y la demanda: 3 2ûû q +9. 27 = - + 3 2ûû q +9. 27 = - + u.u1Sq +u.uSq = 18 -9.27 u.u4Sq = 8.7S = q = 8.73 0.045 = 194 Reemplazando se tiene: p = 3 200 (194) +9.27 => 12.18 p = 12.18 36 CAPITULO 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 4.1 Funciones exponenciales Problemas 4.1 Páginas: 173 – 174 Ejercicios: 7, 15, 19, 27, 29, 35 En los problemas 1 a 12 grafique la función 7. y = ¡(x) = 3 x+2 A partir de la función ¡(x) = S x se obtiene la función ¡(x) = S x+2 . La función tiene la forma ¡(x +c) donde c = 2 . La gráfica de ¡(x) = S x+2 se obtiene desplazando la gráfica de ¡(x) = S x , c = 2 unidades hacia la izquierda. 15. Población La población proyectada de una ciudad está dada por p = 125ûûû(1. 11) t 2û ⁄ donde t es el número de años a partir de 1995. ¿Cuál es la población que se pronostica para el año 2015? Número de años transcurridos: t = 2u1S -199S = 2u oños La población para t = 2u es: P = 12S,uuu(1.11) 20 20 = 12S,uuu(1.11) 1 = P = 1S8,7Su En los problema 19 a 27 encuentre (a) el monto compuesto y (b) el interés compuesto para la inversión y la tasa anual dadas. 19. $4000 durante 7 años al 6% compuesto anualmente 37 El monto compuesto S del capital P al final de n años a una tasa de r compuesta anualmente está dado por: S = P(1 +r) n a) Si P = 4uuu n = 7 r = u.u6 entonces: S = 4uu(1 +u.u6) 7 = 6u14.S2 b) Interés compuesto: 6u14.S2 -4uuu = 2u14.S2 27. $ 8000 durante 3 años a ó 1 4 % compuesto diariamente (suponga que hay 365 das en un año). El monto acumulado S de un capital P al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r está dada por: S = P(1 +r) n a) Si r = ó 1 4 % 3ó5 = 0.0625 365 n = S(S6S) entonces: S = 8uuu_1 + u.u62S S6S ] 3(365) = $9649,69 b) Interés compuesto 9649,69 -8uuu = $1649,69 29.- Inversión: se copra un certificado de depósito por $ 6.500 y se conserva durante seis meses. Si gana 4% compuesto trimestralmente ¿Cuál es el valor del certificado al cabo de seis meses años? El monto acumulado S de un capital P al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r está dada por: S = P(1 +r) n Si n=6años por 4 trimestres =24 r = 4% 4 t¡ìmcst¡cs = 0.04 4 P = 6Suu Entonces: S= 6Suu[1 + 0.04 4 ¸ 24 = 82SS.28 Los problemas 35 y 36 involucran una población que declina. Si una población disminuye a una tasa de r por período, entonces la población P después de t períodos está dada por P = P û (1 -r) t donde P û es la población inicial (la población cuando t=0). 35. Población A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminuye a razón de 1,5% anual. Al inicio había 350000 habitantes ¿Cuántos habrá después de tres años? De su respuesta al entero más cerrado. Si P 0 = SSuuuu r = u.u1S t = S entonces: P = P 0 (1 -r) t 38 P = SSuuuu(1 -u,u1S) 3 P = SSuuuu(u,98S)^S P = SS448S 4.2 Funciones logarítmicas Problemas 4.2 Página 180. Ejercicios: 1, 11, 29, 49, 57, 59 En los problemas 1 a 8, exprese cada forma logarítmica de manera exponencial y cada forma exponencial de manera logarítmica. 1. 1û 4 = 1ûûûû Por definición se tiene: o x = b ⟺log u b = x Luego, 1u 4 = 1uuuu ⟺log 10 1uuuu = 4 En los problemas 9 a 16 grafique las funciones 11. y = ¡(x) = lug 1¡4 x  Transformamos la función a la forma exponencial equivalente y = ¡(x) = log 1¡4 x ⟺ ( 1 4 ) ¡ = x Luego, haciendo un cambio de variable se tiene: y = ( 1 4 ) x  Graficamos la función y = ( 1 4 ) x x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2 y 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,0625 ⇒ 39  Graficamos la función y = ¡(x) = log 1¡4 x intercambiando los valores correspondientes a la función y = ( 1 4 ) x , así: x 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,0625 y -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2 Se observa que las dos gráficas se reflejan respecto al la recta y=x Encuentre x en los problemas 29 a 48 29. |ug 3 x = 4 Aplicando la definición se tiene: log 3 x = 4 ⟺ S 4 = x entonces x = 81 Encuentre x en los problemas 49 a 52 además exprese su respuesta en términos logaritmos de logaritmos naturales. 49. e 3x = 2 Aplicando la definición se tiene c 3x = 2 ⟺ log c 2 = Sx El logaritmo natural es: ln = log c = Sx = ln 2 = x = In 2 3 57. Apreciación. Suponga que una antigüedad incrementa su valor en 10% cada año. Haga una gráfica del número de años que cierto propietario la conserva como una función del aumento multiplicativo de su valor original. Marque la gráfica con el nombre de la función. Sean: o = valor inicial de de alguna antigüedad 1+10%=1.1 = Factor de incremento y = valor de la antigüedad al final de t años  Calculamos el valor de la antigüedad para 1,2,3,….t años. Tiempo (años) valor 1 y = o(1.1) 2 y = o(1.1))1.1 = o(1.1) 2 3 y = o(1.1) 2 )1.1 = o(1.1) 3 t y = o(1.1) t  Establecemos la función del valor de la antigüedad en función del número de años: y = o(1.1) t 40 El valor inicial puede ser cualquier valor, supongamos que vale 1 unidad, entonces la función será: y = (1.1) t  Graficamos esta función dando valores a t y se obtiene la gráfica siguiente:  Graficamos la función inversa, intercambiando los valores que están el EjeX por los valores del EjeY. Se obtiene la gráfica de color rojo siguiente: 59. Ecuación oferta. La ecuación de oferta de un fabricante es p = lug[1û + q 2 ¸ Donde q es el número de unidades al precio unitario p. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 1980 unidades?  Reemplazamos el valor de q=1980 unidades en la función de oferta: p = log [1u + q 2 ¸ = log [1u + 1980 2 ¸ = log(1u +99u) = log(1uuu) = S 41 4.3 Propiedades de los logaritmos Problemas 4.3 Páginas 185 – 186. Ejercicios: 5, 20, 31, 32, 42, 45 En los problemas 1 a 10 se establece que |ug2 = a, |ug3 = h y |ug5 = c. Exprese el logaritmo indicado en términos de a , b y c. 5. log 8 3 log 8 S = log 8 -log S = log 2 3 -log S = Slog 2 -log S = So -b En los problemas 1 a 20 exprese el valor de la expresión sin el uso de calculadora 20. c Inn c Inn = c Iog c n = c Inn = n En los problemas 21 a 32, escriba la expresión en términos del |nx, ln (x +1), ln (x +2). 31. ln_ 1 x+2 √ x 2 x+1 5 _ ln_ 1 x +2 √ x 2 x +1 S _ = ln_ 1 x +2 _ x 2 x +1 _ 1 5 _ = ln x 2 5 (x +2)(x +1) 1 5 = lnx 2 5 -ln _(x +2)(x +1) 1 5 _ = 1 S ln x -ln(x +2) - 1 S ln (x +1) 32. ln √ x 3 (x+2) 2 (x+1) 3 3 ln √ x 3 (x +2) 2 (x +1) 3 3 = 1 S ln x 3 (x +2) 2 (x +1) 3 = 1 S {ln|x 3 (x +2) 2 ] -ln(x +1) 3 ] 42 = 1 S |lnx 3 +ln(x +2) 2 -ln(x +1) 3 ] = 1 S |Sln x +2 ln(x +2) -Sln(x +1)] = ln x + 2 S ln(x +2) -ln(x +1) En los problemas 41 a 44 determine los valores de las expresiones sin utilizar calculadora. 42. |ug 2 jln( √ 5+e 2 + √5) +ln( √ 5+e 2 - √5)[ log 2 jln(√S+c 2 + √S) +ln(√S+c 2 - √S)[ = log 2 jln(√S+c 2 + √S)(√S+c 2 -√S)[ = log 2 |ln(S +c 2 -S)] = log 2 |lnc 2 ] = log 2 (2) = 1 Encuentre x en los problemas 45 a 48. 45. e ln(2x) = 5 c In(2x) = S = 2x = S= x = 5 2 4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Problemas 4.4 Páginas 190 – 191 Ejercicios: 1, 7, 32, 33, 35, 45 Encuentre x en los problemas 1 a 36. Redondee sus respuestas a tres decimales 1. lug(3x +2) = lug (2x +5) log(Sx +2) = log (2x +S) ⟺ Sx +2 = 2x +S = x = S 7. e 2x · e 5x = e 14 c 2x · c 5x = c 14 ⟺ c 7x = c 14 ⟺ 7x = 14 = x = 2 32. lug(x -3) +lug(x -5) = 1 Por la definición de logaritmos se tiene: log |(x -S)(x -S)] = 1⟺ 1u 1 = |(x -S)(x -S)] x 2 -8x +1S = 1u = x 2 -8x +S = u x = 8_√(-8) 2 -4(1)(5) 2(1) = x = 4 _√11 == x = 7,S17 x = 7,S17 es el úmico valor que satisface la ecuación log(x -S) +log(x -S) = 1 43 33. |ug 2 (5x +1) = 4 -|ug 2 (3x -2) log 2 (Sx +1) +log 2 (Sx -2) = 4 log 2 (Sx +1)(Sx -2) = 4 log 2 (Sx +1)(Sx -2) = 4 ⟺ 2 4 = (Sx +1)(Sx -2) = 1Sx 2 -7x -2 = 1Sx 2 -7x -18 = u x = 7 -√1129 Su = -u.887 x = √1129 +7 Su = 1.SSS Luego, x = √1129+7 30 = 1.SSS es la solución ya que safisface la ecuación. 35. |ug 2 [ 2 x ¸ = 3 +|ug 2 x log 2 _ 2 x ] = S +log 2 x log 2 _ 2 x ] -log 2 x = S log 2 2 x 2 = S ⟺ 2 3 = 2 x 2 ; x 2 = 2 8 = 1 4 = x = _ 1 2 45. Ventas. Después de t años el numero de unidades de un producto vendidas en un año está dada por q = 1ûûû( 1 2 ) û.8 t . Tal ecuación se llama ecuación de Gompertz, y describe el crecimiento natural en muchas áreas de estudio. Resuelva esta ecuación para t de la misma manera que en el ejemplo 4 y muestre que t = lug_ 3 -|ugq |ug2 ] lugû, 8 También para cualquier A y para las b y a apropiadas, resuelva y = Ah a x para x y explique porque la solucion previa es un caso especial. Aplicando las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales se tiene: q = 1uuu[ 1 2 ¸ 0,8 t = logq = log1uuu +log[ 1 2 ¸ 0,8 t = logq = S +u,8 t log 1 2 =logq = S +u,8 t (-log2) = log(q) -S = u,8 t (-log2) 44 u,8 t = Iog(q)-3 -Iog2 = 3-Iogq Iog2 = tlog(u,8) = log 3-Iogq Iog2 = t = |ug(3-|ugq) |ug2 |ug(û,8) Si y = Ab u x = logy = logA +logb u x = logy = logA +o x logb = logy -logA = o x logb = o x = Iog¡-IogA Iogb = logo x = log Iog¡-IogA Iogb = xlogo = log Iog¡-IogA Iogb = x = ( |ug[ (|ugy-|ugA) |ugh ¸ |uga La solución previa es un caso especial en el que y = q, A = 1uuu, b = 1 2 , o = u,8, x = t 45 CAPÍTULO 6 ÁLGEBRA MATRICIAL 6.1 Matrices Problemas 6.1 Páginas 231-232. Ejercicios: 14, 19, 25 14. Lista la diagonal principal de (a) _ 1 7 -6 2 4 u 6 1 -2 4 -S 7 u -1 1 2 _ (b) _ x 1 y 9 y 7 y u z _ La diagonal principal es la diagonal que se extiende desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha. a. 1,u, -S,2 b. x, y, z En los problemas 17 a 20 encuentre A T 19) A= _ 1 3 7 3 2 -2 -4 5 û 3 û 1 _ A T = _ 1 S 7 S 2 -2 -4 S u S u 1 _ T = _ 1 S -4 S 2 S 7 -2 u S u 1 _ En los problemas 24 a 27 resuelva la ecuación matricial 25) _ ó 2 x 7 3y 2z _ = _ ó 2 ó 7 2 7 _ 6=6 2=2 x = 6 7= 7 Sy = 2 - y = 2 3 2z = 7 - z = 7 2 46 6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar Problemas 6.2 Páginas 237-238. Ejercicios: 21, 37, 42 En los problemas 13 a 24 calcule las matrices requeridas si: A = j 2 1 3 -3 [ B = j -ó -5 2 -3 [ C = j -2 -1 -3 3 [ û = j û û û û [ 21. 2B - 3A + 2C 2B - SA + 2C = 2j -6 -S 2 -S [ -Sj 2 1 S -S [ +2j -2 -1 -S S [ = j -12 -1u 4 -6 [ -j 6 S 9 -9 [ +j -4 -2 -6 6 [ = j -12 -1u 4 -6 [ +j -6 -S -9 9 [ +j -4 -2 -6 6 [ = _ -12 +(-6) +(-4) -1u +(-S) +(-2) 4 +(-9) +(-6) -6 +9 +6 _ = j -22 -1S -11 9 [ En los problemas 37 a 40 resuelva las ecuaciones matriciales 37. 3j x y [ -3j -2 4 [ = 4j ó -2 [ _ Sx Sy _ +j 6 -12 [ = j 24 -8 [ ⇒ _ Sx +6 Sy -12 _ = j 24 -8 [ ⇒ Sx +6 = 24 Sy -12 = -18 ⇒ x = 6 y = -2 42. Sea A la matriz que representa las ventas (en miles de dólares) de una compañía de juguetes para tres ciudades en 2003 y sea B la matriz que representa las ventas para las mismas ciudades en el 2005, donde A y B están dadas por: A = A¢¢ton Edu¢attvu j 4ûû 35û 15û 45û 28û 85û [ B = A¢¢ton Edu¢attvu j 38û 33û 22û 4óû 32û 75û [ Si la compañía compra un competidor, y en 2006 duplica las ventas conseguidas en el año 2005, Cuál es el cambio de las ventas entre 2003 y 2006? 2B -A = 2j S8u SSu 22u 46u S2u 7Su [ -j 4uu SSu 1Su 4Su 28u 8Su [ = j 2 S8u 2 SSu 2 22u 2 46u 2 S2u 2 7Su [ -j 4uu SSu 1Su 4Su 28u 8Su [ = j 76u 66u 44u 92u 64u 1Suu [ -j 4uu SSu 1Su 4Su 28u 8Su [ = j S6u S1u 29u 47u S6u 6Su [ 47 6.3 Multiplicación de matrices Problemas 6.3 Páginas 248-249. Ejercicios: 24, 39, 63 Realice las operaciones indicadas en los problemas 19 a 36 24. _ 4 2 -2 S 1u u 1 u 2 _ _ S 1 1 u u u u u u 1 u 1 _ _ 4 2 -2 S 1u u 1 u 2 _ _ S 1 1 u u u u u u 1 u 1 _ = _ 12 2 4 -2 9 S S u S S 1 2 _ En los problemas 37 a 44 encuentre las matrices indicadas si: A = j 1 -2 u S [ B = j -2 S u 1 -4 1 [ C = _ -1 1 u S 2 4 _ 39. 3A - 2BC SA -2BC = Sj 1 -2 u S [ -2j -2 S u 1 -4 1 [ _ -1 1 u S 2 4 _ = j S -6 u 9 [ -2j 2 +u +u -2 +9 +u -1 +u +2 1 -12 +4 [ = j S -6 u 9 [ -j 4 14 2 -14 [ = j -1 -2u -2 2S [ 63. Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibición. Si el valor de un gatito es de $55, el de cada perrito es de $150 y el de cada loro es de $35, por medio de la multiplicación de matrices, encuentre el valor total del inventario de mascotas. H = |6 1u 7] C = _ SS 1Su SS _ ⇒ M x C=|6 1u 7] _ SS 1Su SS _ = 6(SS) +1u(1Su) +7(SS) = $2u7S 48 6.4 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices Problemas 6.4 Páginas 257-259. Ejercicios: 13, 22, 27, 31 Resuelva los sistemas de los problemas 13 al 26 mediante el método de reducción 13. _ 2x -7y = 5û x +3y = 1û j 2 1 -7 S ¡ Su 1u [ = F1 - F2 j 1 2 S -7 ¡ 1u Su [ = -2F1 +F2 j 1 u S -1S ¡ 1u Su [ = - 1 1S F2 _ 1 u S 1 ¡ 1u -Su 1S ⁄ _ = -SF2 +F1 _ 1 u u 1 ¡ 22u 1S ⁄ -Su 1S ⁄ _ x = 22u 1S y y = -Su 1S 22. _ x +y -z = 7 2x -3y -2z = 4 x -y -5z = 23 A partir del sistema de ecuaciones construimos la matriz aumentada _ 1 1 -1 2 -S -2 1 -1 - S _ 7 4 2S _ - _ 1 1 -1 u - S u u -2 - 4 _ 7 -1u 16 _ - _ 1 1 - 1 u 1 u u -2 -4 _ 7 2 16 _ - _ 1 u -1 u 1 u u u -4 _ S 2 2u _ _ 1 u -1 u 1 u u u 1 _ S 2 -S _ -_ 1 u u u 1 u u u 1 _ u 2 -S _ luego, x = u, y = 2 y z = -S Resuelva los problemas 27 al 33 con el uso de reducción de matrices 27. IMPUESTOS. Una compañía tiene ingresos gravables por $3120000. El impuesto federal es 25% de la parte que queda después de pagar el impuesto estatal. El impuesto estatal es 10% de la parte que queda después de pagar el impuesto federal. Encuentre el monto el impuesto federal y estatal. Sea x el impuesto federal, y el impuesto estatal, luego: Impuesto federal x = u,2S(S12,uuu -y) Impuesto estatal y = u,1u(S12,uuu -x) = _ x +u,2Sy = 78,uuu u.1ux -y = S1,2uu 49 j 1 u,2S u,1u 1 ¡ 78,uuu S1,2uu [ ⇒ _ 1 u,2S u u,97S _ 78,uuu 2S,4uu _ ⇒ j 1 u,2S u 1 ¡ 78,uuu 24,uuu [ ⇒ j 1 u u 1 ¡ 72,uuu 24,uuu [ Luego, x = 72,uuu y = 24,uuu 31. VITAMINAS. Por prescripción del doctor, cierta persona debe tomar diariamente 10 unidades de vitamina A, y 9 unidades de vitamina D y 19 de vitamina E; y puede elegir entre tres marcas de píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 de vitamina D y 5 de vitamina E, la Y tiene 1,3y4 unidades respectivamente; y la marca Z tiene 1 unidad de vitamina A, ninguna de vitamina D y 1 de vitamina E. (a) Encuentre todas las combinaciones posibles de píldoras que proporcionen de manera exacta las cantidades requeridas. (b) Si cada píldora de la marca X cuesta 1 centavo, de la marca Y, 6 centavos y de la marca Z 3 centavos ¿existe alguna combinación del inciso (a) que cueste exactamente 15 centavos por día? (c) ¿Cuál es la combinación menos cara del inciso (a)? ¿Y la más cara? La cantidad de unidades de vitaminas A, D y E se representa en el sistema de ecuaciones siguiente: _ 2x +1y +1z = 1u Sx +Sy +uz = 9 Sx +4y +1z = 19 IIIAHINA A IIIAHINA B IIIAHINA C Resolviendo el sistema de ecuaciones mediante el método de reducción de matrices se tiene: _ 2 S S 1 S 4 1 u 1 _ 1u 9 19 _ ⇒ 1 2 F1 - _ 1 S S 1 2 ⁄ S 4 1 2 ⁄ u 1 _ S 9 19 _ ⇒ -SF1 +F2 - -SF1 +FS - _ 1 u u 1 2 ⁄ S 2 ⁄ S 2 ⁄ 1 2 ⁄ -S 2 ⁄ -S 2 ⁄ _ S -6 -6 _ ⇒ 2 3 F2 -_ 1 u u 1 2 ⁄ 1 S¡2 1 2 ⁄ -1 -S¡2 _ S -4 -6 _ ⇒ - 1 2 F2 +F1 - - 3 2 F2 +FS - _ 1 u u u 1 u 1 -1 u _ 7 -4 u _ x +z = 7 y -z = -4 z = r ⇒ x = 7 - r y = r - 4 z = r a) La solución es posible únicamente para los valores de r = 4,S,6,7. 50 Reemplazando en la solución tenemos: Si r = 4 ⇒ x = S, y = u, z = 4 Si r = S ⇒ x = 2, y = 1, z = S Si r = 6 ⇒ x = 1, y = 2, z = 6 Si r = 7 ⇒ x = u, y = S, z = 7 b) 3 unidades de la marca x más 4 unidades de la marca z cuestan 15 centavos c) La combinación más barata es 3 unidades de X y 4 unidades de Z (15 centavos), mientras la más cara es 3 unidades de Y y 7 unidades de z (39 centavos). 6.5 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices (continuación) Problemas 6.5 Páginas 231-232. Ejercicio 21 Resuelva cada uno de los siguientes sistemas 21. _ x + y + z = û -7y -14z = û -2y -4z = û -5y -1ûz = û _ 1 u u 1 -7 -2 1 -14 -4 u -S -1u _ u u u u _ ⇒ -1 7 F2 - _ 1 u u 1 1 -2 1 2 -4 u -S -1u _ u u u u _ ⇒ -F2 +F1 - 2F2 +FS - SF2 +F4 - _ 1 u u u 1 u -1 2 u u u u _ u u u u _ ⇒ Entonces z = r, y = -2r x = r 51 CAPÍTULO 7 PROGRAMACIÓN LINEAL 7.1 Desigualdades lineales en dos variables Problemas 7.1 Página 284. Ejercicios: 19, 23, 27 Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 24. 19. _ y < 2x +4 x ¸ -2 y < 1 Primer paso: Graficamos las rectas relacionadas al sistema de desigualdades es decir las rectas 1) 2) S) _ y = 2x +4 x = -2 y = 1 Rccto inclinoJo o lo Jcrccbo rccto :crticol rccto borizontol Segundo paso: Ubicamos la región que forma la solución de cada desigualdad, a un lado o a otro de las rectas, comprobando con el punto (0,0) en cada desigualdad. Por ejemplo para la desigualdad 1) y < 2x +4 ⇒ u <2(0)+4 u < 4 (:crJoJcro) por lo tanto el lado derecho de la recta y = 2x +4 es la solución de la desigualdad. La solución de la desigualdad 2) x ¸ -2 es el lado derecho de la recta x = -2 La solución de la desigualdad 3) y < 1 es hacia abajo de la recta y = 1 Tercer paso: Ubicamos la región general de la solución que es la intersección de las soluciones de las desigualdades. En este caso la solución es la parte marcada de color. 23. _ 3x +y > -6 x -y > -S x ¸ û Primer paso: Graficamos las rectas relacionadas al sistema de desigualdades es decir las rectas: 1) 2) S) _ Sx +y = -6 x -y = -S x = u Rccto inclinoJo o lo izquicrJo rccto inclinoJo o lo Jcrccbo rccto :crticol (E]c ¥) Segundo paso: Ubicamos la región que forma la solución de cada desigualdad, a un lado o a otro de las rectas, comprobando con el punto (0,0) en cada desigualdad. 52 Por ejemplo para la desigualdad 1) Sx +y > -6 ⇒ S(u) +u > -S u > -S (:crJoJcro) por lo tanto el lado derecho de la recta Sx +y = -6 es la solución de la desigualdad. La solución de la desigualdad 2) x -y > -S es el lado derecho de la recta x -y = -S La solución de la desigualdad 3) x ¸ u es la región hacia la derecha de la recta x = u Tercer paso: Ubicamos la región general de la solución que es la intersección de las soluciones de las desigualdades. En este caso la solución es la parte marcada con color 27. Si un fabricante desea comprar un total de no más de 100 libras de producto Z de los proveedores A y B, establezca un sistema de desigualdades que describa las combinaciones posibles de las cantidades que pueden comprarse a cada proveedor. Haga el bosquejo de la solución en el plano. Sea "x" la cantidad comprada a un proveedor A, y "y" la cantidad comprada a B. El sistema de desigualdades es: 1) 2) S) _ x +y ¸ 1uu x ¸ u y ¸ u Luego resolviendo el sistema de desigualdades se tiene la siguiente gráfica. La región que representa todas las combinaciones posibles se encuentra entre los ejes y la recta inclinada y que tiene como vértices a los puntos (0,100), (0,0), (100, 0). 53 7.2 Programación lineal Problemas 7.2 Páginas 291-293. Ejercicios: 2, 7, 13, 17 2. Maximizar P = 2x +Sy Sujeta a: _ x +y ¸ 9u 4x +Sy ¸ 2Su x +2y ¸ 22S x, y ¸ u Resolviendo el sistema de desigualdades se tiene la región que se indica en la figura. Esta región esta limitada por los dos ejes y la recta 4x +Sy = 2Su. Los vértices de esta región son (0,0) [u,8S 1 3 ¸ [62 1 2 , u¸ Luego analizamos el valor que toma la función objetivo P = 2x +Sy en cada uno de los puntos: Punto Función objetivo P = 2x +Sy (0,0) P = 2(u) +S(u) = u _u,8S 1 S ] P = 2(u) +S_8S 1 S ] = 416 2 S Valor Máximo _62 1 2 , u] P = 2_62 1 2 ] +S(u) = 12S Se observa que P = 2x +Sy alcanza un máximo valor P = 416 2 3 cuando x = u y y = 8S 1 3 . 54 7. Maximizar Z = 7x +Sy Sujeta a Sx -y ¸ -2 x +y ¸ 9 x -y = -1 x, y ¸ u Al resolver gráficamente el sistema de se tienen algunas consideraciones:  Las desigualdades x, y ¸ u (x ¸ u, y ¸ u) indican que la región que cumple estas condiciones es el primer cuadrante.  La solución de las desigualdades Sx -y ¸ -2 , x +y ¸ 9 junto con la recta x -y = -1 se indica en las siguientes figuras: Sx -y ¸ -2 x +y ¸ 9 x -y = -1  La intersección de las cuatro desigualdades y la recta es el segmento de recta que une los puntos (u,1) y (4,S), los cuales se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones: ] x -y = -1 x = u ⇒(0,1) _ x +y = 9 x -y = -1 ⇒(4,5) Luego analizamos el valor que toma la función objetivo Z = 7x +Sy en cada uno de los puntos: Punto Función objetivo Z = 7x +Sy (0,1) Z = 7(u) +S(1) = S Valor mínimo (4,S) P = 7(4) +S(S) = 4S Se observa que Z= 7x +Sy alcanza un mínimo valor Z=3 cuando x = u y y = 1. 55 13. Producción para utilidad máxima. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevo artículos, camiones y perinolas, con base en la información concerniente a sus tiempos de ensamblado dados en la tabla que sigue: Maquina A Maquina B Acabado Camión 2h 3h 5h Perinola 1h 1h 1h Por ejemplo, cada camión requiere de 2 horas en la maquina A. Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la maquina A, 80 horas; para la B, 50horas; para acabado, 70 horas. Si las utilidades en cada camión y cada perinola son de $7 y $2, respectivamente, ¿Cuántos juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la unidad?¿ Cuál es la utilidad máxima? Sean x el número de camiones, y sea “y” el número de perinolas. Entonces la utilidad que se obtiene por la venta de estos juguetes es: P = 7x +2y. Se requiere: Maximizar P = 7x +2y ` 1 1 1 1 x ¸ u y ¸ u 2x +y ¸ 8u Sx +y ¸ Su Sx +y ¸ 7u Hoquino A Háquino B AcoboJo Resolvemos el sistema de desigualdades mediante las siguientes consideraciones.  Las rectas asociadas al sistema de desigualdades son: ` 1 1 1 1 x = u y = u 2x +y = 8u Sx +y = Su Sx +y = 7u E]c ¥ E]cX 2x +y = 8u Sx +y = Su Sx +y = 7u  Las regiones que cumplen con las desigualdades son: 56 2x +y ¸ 8u Sx +y ¸ Su Sx +y ¸ 7u  Las desigualdades x, y ¸ u (x ¸ u, y ¸ u) indican que la región que cumple estas condiciones es el primer cuadrante.  La región factible es la que se indica en la figura, acotada por los puntos (0.0), (0,50), (10,20) y (14,0)  Luego analizamos el valor que toma la función objetivo P = 7x +2y en cada uno de los puntos: Punto Función objetivo P = 7x +2y (0,50) P = 7(u) +2(Su) = 1uu (1u,2u) P = 7(1u) +2(2u) = 11u Valor máximo (14,u) P = 7(14) +2(u) = 98 Se observa que 10 camiones y 20 trompos generan la utilidad máxima de $110 17. Extracción de minerales. Una compañía extrae minerales de una mina. En la tabla siguiente se indica el número de libras de los minerales Ay B que pueden obtenerse de cada tonelada de la mina I y II, junto por los costos por tonelada: Mina I Mina II Mineral A 100lb 200lb Mineral B 200lb 50lb Costo por tonelada $50 $60 57 Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿Cuántas toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo? Sean x el número de toneladas de la mina I y sea y el número de toneladas de la mina II. La función de costo es C = Sux +6uy. Luego se tiene el siguiente problema: Minimizar C = Sux +6uy Sujeta a las condiciones: _ x ¸ u y ¸ u 1uux +2uuy ¸ Suuu (A) 2uux +Suy ¸ 2Suu (B) Resolvemos el sistema de desigualdades mediante las siguientes consideraciones.  Las rectas asociadas al sistema de desigualdades son: ` 1 1 1 1 x = u y = u 1uux +2uuy = Suuu 2uux +Suy = 2Suu E]c ¥ E]cX 1uux +2uuy = Suuu 2uux +Suy = 2Suu  Las regiones que cumplen con las desigualdades son: 58 1uux +2uuy ¸ Suuu 2uux +Suy ¸ 2Suu  Las desigualdades x, y ¸ u (x ¸ u, y ¸ u) indican que la región que cumple estas condiciones es el primer cuadrante.  La región factible es la que se indica en la figura, acotada por los puntos (0.50), (10,10), (30,0).  Luego analizamos el valor que toma la función objetivo P = 7x +2y en cada uno de los puntos: Punto Función objetivo C = Sux +6uy (0,50) C = Su(u) +6u(Su) = Suuu (1u,1u) C = Su(1u) +6u(1u) = 11uu Valor mínimo (Su,u) C = Su(Su) +6u(u) = 1Suu Se observa que 10 toneladas de la mina I y 10 toneladas de la mina II minimiza el costo, el cual alcanza $1100. 59 CAPÍTULO 10 LÍMITES Y CONTINUIDAD 10.1 Límites Problemas 10.1 Página 457-458. Ejercicios: 6, 21, 34 En los problemas 5 a 8 utilice su calculadora para completar la tabla, y use los resultados para estimar el límite dado. 6. ltm x--3 x 2 -9 x+3 x -3.1 -3.01 -3.001 -2.999 -2.99 -2.9 I(x) -6.1 -6.01 -6.001 -5.9 -5.99 -5.999 Si f(−3.1) = −6.1 f(−2.9) = −5.9 S f(−3.01) = −6.01 f(−2.99) = −5.99 Si f(−3.001) = −6.001 f(−2.999) = −5.999 El límite estimado es -6 Encuentre los límites en los problemas 9 a 34. 21. ltm x--2 x 2 +2x x+2 lim x--2 x 2 +2x x+2 = lim x--2 x(x+2) x+2 = lim x--2 x = -2 34. lim x-0 [ (x+2) 2 -4 x ¸ lim x-0 [ (x+2) 2 -4 x ¸ =lim x-0 [ (x 2 +4x+4)-4 x ¸ =lim x-0 (x 2 +4x) x =lim x-0 [ x(x+4) x ¸=lim x-0 x +4 = 0+4 = 4 60 10.2 Límites (continuación) Problemas 10.2 Páginas 465-466. Ejercicios: 25, 37,46 En los problemas 3 a 54 encuentre el límite. Si no existe, especifique, o utilice el símbolo ∞ 0 - ∞ donde sea apropiado 25. ltm t-« 3t 3 +2t 2 +9t-1 5t 2 -5 - lim t-« St 3 +2t 2 +9t -1 St 2 -S = lim t-« St 3 St 2 = lim t-« St S = S S lim t-« t = « 37. ltm x--3 - 5x 2 +14x-3 x 2 +3x lim x--3 - Sx 2 +14x -S x 2 +Sx = lim x--3 - (Sx -1). (x +S) x(x +S) = lim x--3 - (Sx -1) x ; x = u = (S(-S) -1) -S = 16 S 46. lim x-« [x + 1 x ¸ Para el límite: lim x-« [x + 1 x ¸ como: x - «, entonces 1 x - u. Así: lim x-« [x + 1 x ¸ = « 10.4 Continuidad aplicada a desigualdades Problemas 10.4 Páginas 475. Ejercicios: 11, 22, 27 En los problemas 1 al 26 resuelva las desigualdades por medio de la técnica estudiada en esta sección. 11. -x(x -5)(x +4) > û  Establecemos ¡(x) = -x(x -5)(x +4)  Encontramos los extremos de cada intervalo haciendo ¡(x) = u, asi: -x(x -5)(x +4) = û ⇒ -x = û x -5 = û x +4 = û = x = û x = 5 x = -4 61  Ubicamos estos números en la recta numérica y encontramos los intervalos correspondientes  Comprobamos el signo de ¡ en cada intervalo. La solución son los intervalos donde ¡(x) > u, así: Intervalo Un valor del intervalo Signo de ¡(x) = -x(x -5)(x +4) (-«, -4) -5 ¡(-S) = -(-S)(-S -S)(-S +4) = +(-)(-) > 0 (-4,u) -1 ¡(-1) = -(-1)(-1 -S)(-1 +4) = +(-)(+) < 0 (u,S) 1 ¡(1) = -1(1 -S)(1 +4) = -(-)(+) >0 (S,u) 6 ¡(6) = -6(6 -S)(6 +4) = -(+)(+) <0 Solución (-«, -4) U (u,S) 22. x 2 +4x -S x 2 +Sx +2 ¸ u f(x) = x 2 +4x -S x 2 +Sx +2 = (x +S)(x -1) (x +2)(x +1)  Establecemos ¡(x) = x 2 +4x-5 x 2 +3x+2 = (x+5)(x-1) (x+2)(x+1)  Encontramos los extremos de cada intervalo haciendo ¡(x) = u, asi: (x+5)(x-1) (x+2)(x+1) = u ⇒ x = -S , x = 1 , x = -2 , x = -1  Ubicamos estos números en la recta numérica y encontramos los intervalos correspondientes  Comprobamos el signo de ¡ en cada intervalo. La solución son los intervalos donde ¡(x) < u, así: Intervalo Un valor del intervalo Signo de ¡(x) = (x+5)(x-1) (x+2)(x+1) (-«, -S] -6 ¡(-6) = (-6+5)(-6-1) (-6+2)(-6+1) = (-)(-) (-)(-) > 0 (-«,- 4) (-4,0) (0,5) (5,+«) -4 0 5 (-«,-5) (-5,-2) (--2,-1) (-1,1) -5 -2 -1 (1,+«) 1 62 |-S, -2) -3 ¡(-S) = (-3+5)(-3-1) (-3+2)(-3+1) = (+)(-) (-)(-) < 0 (-2, -1) -1.5 ¡(-6) = (-1.5+5)(-1.5-1) (-1.5+2)(-1.5+1) = (+)(-) (+)(-) >0 (-1, 1] 0 ¡(-6) = (0+5)(0-1) (0+2)(0+1) = (+)(-) (+)(+) < 0 |1, +«) 2 ¡(-6) = (2+5)(2-1) (2+2)(2+1) = (+)(+) (+)(+) > 0 Solución |-S, -2) U (-1,1] 27. Ingresos: Suponga que los consumidores compran q unidades de un producto cuando el precio de cada uno es de 28 -û. 2q dólares ¿Cuántas unidades deben venderse para que el ingreso sea al menos de $750? Datos: Número de unidades: q Precio unitario: 28 -u.2q Ingreso: R = q(28-0.2q) R ¸ 7Su q(28 -u.2q) ¸ 7Su 28q -u.2q 2 -7Su ¸ u u.2q 2 -28q +7Su ¸ u q 2 -14uq +S7Su ¸ u f(q) = q 2 -14uq +S7Su = u Se tiene una ecuación cuadrática respecto q, luego: q = -b _ √b 2 -4ac 2a si a = 1 ; b = -14u; c = S7Su ⇒ q = 140_√(-140) 2 -4(1)(3750) 2(1) =q 2 -14uq +S7Su ¸ u cuanuo S6.u9 ¸ q ¸ 1uS.4 Deben venderse entre 37 y 104 unidades para tener un ingreso de al menos $750 q 2 = 14u -√196uu -1Suuu 2 q 2 = 14u -67,82 2 q 2 = S6.u9 q 1 = 14u +√196uu -1Suuu 2 q 1 = 14u +67,82 2 q 1 = 1uS.4 63 CAPÍTULO 11 DIFERENCIACIÓN 11.1 La derivada Problemas 11.1 Páginas 488-489. Ejercicios: 12, 21, 28 En los problemas 3 a18 emplee la definición de la derivada para encontrarla en cada caso. 12. y i si y = x 2 +Sx +1 f ´(x) = lim h-0 f(x +h) -f(x) h = lim h-0 |(x +h) 2 +S(x +h) +1] -|x 2 +Sx +1] h = lim h-0 x 2 +2xh +h 2 +Sx +Sh +1 -x 2 -Sx -1 h = lim h-0 2xh +h 2 +Sh h = lim h-0 (2x +h +S) = 2x +u +S = 2x +S 21. Encuentre la pendiente de la curva y = 4x 2 -5 ¢uandu x = û. Si y = f(x) = 4x 2 -S entonces la pendiente m es m = y i = ¡'(x) y´ = lim h-0 f(x +h) -f(x) h = lim h-0 |4(x +h) 2 -S] -|4x 2 -S] h = lim h-0 4(x 2 +2xh +h 2 ) -4x 2 +u h = lim h-0 8xh +4h 2 h = lim h-0 h(8x+4h) h = lim h-0 (8x +4h) = 8x Si x = u ⇒ m = y i (u) = 8(u) = u 64 En los problemas del 23 al 28 encuentre la ecuación de a recta tangente a la curva del punto dado 28. y = 5 1-3x ; (2, -1) y i = lim h-0 S 1 -S (x +h) - S 1 -Sx h = lim h-u S(1 - Sx) - S|1 - S(x + h)] h|1 - S(x + h)](1 - Sx) = lim h-u 1Sh h|1 - S(x + h)](1 - Sx) = lim h-u 1S |1 - S(x + h)](1 - Sx) = 1S |1 - S(x + u)](1 - Sx) = 1S |1 - S(x)](1 - Sx) = 1S (1 - Sx)(1 - Sx) = 1S (1 - Sx) 2 = m Si x = 2 = m = 15 (1-3(2)) 2 = 15 25 = 3 5 La ecuación de la recta tangente es: y -y 1 = m(x -x 1 ) = y +1 = 3 5 (x -2) 11.3 La derivada como una razón de cambio Problemas 11.3 Páginas 504-505. Ejercicios: 16, 21, 26, 39 En los problemas 13 a 18 se dan funciones de costo, donde c es el costo de producir q unidades de un producto. Para cada caso encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal para el valor o valores dados de q? 16. c = u.1q 2 +Sq +2 ; q = S Si c(q) = u.1q 2 +Sq +2 = el costo marginal es c i (q) = dc dq c'(q) = u uq (u.1q 2 +Sq +2) = (2)u.1 q +S +u = u.2q +S Si q = S =c'(q) = u.2(S) +S = S.6 En los problemas 19 a 22, ¢̅ representa el costo promedio por unidad, que es una función del número q de unidades producidas. Encuentre la función de costo marginal y el costo marginal para los valores indicados de q. 65 21. ¢̅ = û. ûûûû2q 2 -û. û1q +ó + 2ûûûû q q = 1ûû ; q = 5ûû Si c̅ es el costo promedio entonces el costo c es: c = c̅q c = c̅q = u.uuuu2q 3 -u.u1q 2 +6q +2uuuu = dc dq = u.uuuu6q 2 -u.u2q +6 Si q = 1uu ⇒ dc dq = 4.6 Si q = Suu = dc dq = 11 En los problemas 23 a 26, r representa el ingreso total y es una función del número q de unidades vendidas. Encuentre la función de ingreso marginal para los valores indicados de q. 26. i = 2q(Su -u.1q); q = 1u, q = 2u Si r(q) es la función de ingreso, entonces el ingreso marginal es: r i (q) = d¡ dq i = 2q(Su -u.1q) = d¡ dq = d dq (2q(Su -u.1)) = d dq (6uq -u.2q 2 ) = 6u -u.4q Si q=10; i' = 6u -u.4q = 6u -u.4(1u) = S6 Si q=20; i' = 6u -u.4q = 6u -u.4(2u) = S2 39. Función de costo Para la función de costo ¢ = û. 3q 2 +3. 5q +9 ¿Qué tan rápido cambia c con respecto a q cuando q=10? Determine la razón de cambio porcentual de c con respecto a q cuando q=10. Si c = u.Sq 2 +S.Sq +9 es la función de costo, entonces la derivada c i = dc dq indica qué tan rápido cambia c con respecto a q. uc uq = u.6q +S.S si q = 1u, entonces uc uq = u.6(1u) +S.S = 9.S si q = 1u, entonces c = 74 La razón de cambio porcentual es: dc dq c (1uu) = 9.5 74 (1uu) = 12.8%. 66 11.4 La regla del producto y la regla del cociente Problemas 11.4 Páginas 513-515. Ejercicios: 13, 30, 51, 71 Diferencie las funciones de los problemas 1 a 48 13.y = (x 2 -1)(Sx 3 -6x +S) -4(4x 2 +2x +1) y = (x 2 -1)(Sx 3 -6x +S) -4(4x 2 +2x +1) y = (x 2 -1)(Sx 3 -6x +S) -(16x 2 +8x +4) Utilizando la fórmula de la derivada del producto F i (x) = f i (x)g(x) +f(x)g'(x) se tiene: y i = (x 2 -1) i (Sx 3 -6x +S) +(Sx 3 -6x +S) i (x 2 -1) -S2x 2 +8x y i = 2x(Sx 3 -6x +S) +(9x 2 -6) i (x 2 -1) -S2x 2 +8x y i = 2x(Sx 3 -6x +S) +(9x 2 -6) i (x 2 -1) -S2x 2 +8x y i = 6x 4 -12x 7 +1ux +9x 4 -9x 2 -6x 2 -6 -S2x 2 +8x y i = 1Sx 4 -27x 2 -22x +14 30. f(x) = x 3 -x 2 +1 x 2 +1 ¡ i (x) = (x 2 +1)(Sx 2 -2x) -(x 3 -x 2 +1)(2x) (x 2 +1) 2 = Sx 2 -2x 3 +2x -2x 4 +2x 3 -2x (x 2 +1) 2 = x(x 3 +Sx -4) (x 2 +1) 2 En el siguiente problema encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado: 51. y = ó x-1 ; (3, 3) La pendiente de la recta es y' = (x -1)(u) -6(1) (x -1) 2 = - 6 (x -1) 2 si x=3 =y i (S) = - 6 2 2 = - 3 2 La recta tangene es y -S = - 3 2 (x -S), o y = - 3 2 x + 15 2 67 71. Costo marginal. Si la función de costo total de un fabricante está dada por c = 6q 2 q+2 +6uu0 Encuentre la función de costo marginal. El costo marginal es la derivada c i = dc dq c i = (q +2)12q -6q 2 (1) (q +2) 2 = 12q 2 +24q -6q 2 (q +2) 2 = 6q 2 +24q (q +2) 2 = 6q(q +4) (q +2) 2 11.5 La regla de la cadena y la regla de la potencia Problemas 11.5 Páginas 521-522. Ejercicios: 10, 29, 61, 71 En los problemas 9 a 52, encuentre y’. 10. y = (x 2 -4) 4 y i = 4(x 2 -4) 3 · d dx (x 2 -4) = 4(x 2 -4) 3 (2x) = 8x(x 2 -4) 3 29. y = 4 √ 9x 2 +1 y = 4 √9x 2 +1 = 4(9x 2 +1) -1¡2 = y i = 4[- 1 2 ¸ (9x 2 +1) - 3 2(18x) = y' = -S6x(9x 2 +1) -3¡2 En los problemas 59 a 62, encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado 61) y = √7x+2 x+1 ; [1, 3 2 ¸ y = (7x +2) 1 2 x +1 =y i = (x +1) [ 1 2 ¸ (7x +2) - 1 2(7) - √7x +2 (1) (x +1) 2 = (x +1) 7 2 1 √7x +2 - √7x +2 (x +1) 2 Si x = 1 - m = y i 2[ 7 2 ¸ [ 1 S ¸ -S 4 = - 1 6 y - y 1 = m (y - y 1 ) = y - 3 2 = - 1 6 (y -1) 68 y - S 2 = - 1 6 x + 1 6 1 6 x +y - S S = u 71.- Función de costo. El costo de producir q unidades de un producto está dado por ¢ = 55ûû +12q +û. 2q 2 Si el precio de p unidades está dado por la ecuación q = 9ûû -1. 5p Utilice la regla de la cadena para encontrar la razón de cambio del costo con respecto al precio unitario cuando p = 85 Regla de la cadena: dy dx = dy du · du dx = dc dp = dc dq · dq dp Si c = SSuu +12q +u.2q 2 = dc dq = u +12 +2(u.2q 2-1 ) = 12 +u.4q Si q = 9uu -1.Sp = dq dp = u -1.S = -1.S uc up = uc uq · uq up = (12 +u.4q)(-1.S) Luego cuando p = 8S =q = 9uu -1.S(8S) = 772.S Así: dc dp ¡ p = 8S = (12 +u.4(8S))(-1.S) = -481.S 69 CAPÍTULO 12 TEMAS ADICIONALES DE INTEGRACIÓN 12.1 Derivada de funciones logarítmicas Problemas 12.1 Páginas 533-534. Ejercicios: 12,13, 17,20, 28,30, 49,50 Diferencie las funciones en los problemas 1 a 44. Si considera adecuado, utilice primero las propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación dada. 12. y = x 2 lnx uy ux = x 2 _ 1 x ] +(lnx)(2x) = x +2x lnx = x(1 +2lnx) 13. y = x 3 ln (2x +5) y = x 3 ln (2x +S) y´ = Sx 2 |ln(2x +S)] +x 3 _ 1 2x +S (2)_ y´ = Sx 2 |ln(2x +S)] + 2x 3 2x +S 17.- y = x 2 +lug 2 (x 2 +4) y = x 2 + ln (x 2 +4) ln2 uy ux = 2x + 1 ln2 _ 1 (x 2 +4) (2x)_ = 2x _1 + 1 (ln2)(x 2 +4) _ 20. y = x 2 |nx y´ = |ln(x)](2x) -x 2 [ 1 x ¸ (ln (x)) 2 y´ = 2xln(x) -x |ln (x)] 2 70 28 . y = ln[ 2x+3 3x-4 ¸ y = ln(2x +S) -ln(Sx -4) uy ux = 2 2x +S - S Sx -4 = 2(Sx -4) -S(2x +S) (2x +S)(Sx -4) = - 17 (2x -S)(Sx -4) 30. y = ln √ x 3 -1 x 3 +1 3 y = 1 S |ln(x 3 -1) -ln(x 3 +1)] Jy Jx = 1 S _ Sx 2 x 3 -1 - Sx 2 x 3 +1 _ Jy Jx = 1 S _ Sx 2 (x 3 +1) -Sx 2 (x 3 -1) (x 3 -1)(x 3 +1) _ Jy Jx = 2x 2 x 6 -1 49. Costo marginal. La función de costo total está dada por ¢ = 25ln(q +1) +12. Encuentre el costo marginal cuando q=6. uc uq = 2S q +1 Si q = 6 = dc dq = 25 7 50. Costo marginal. La función en dólares del costo promedio de un fabricante, está dado por c̅ = 5ûû ln (q+2û) . Encuentre el costo marginal (redondeado a dos decimales) cuando q = 5û.  Calculamos el costo total C = c̅q = Suuq In(q +2u) = Suu q In(q +2u)  Calculamos la función de costo marginal JC Jq = Suu · |In(q +2u)](1) -q( 1 q +2u ) |In(q +2u)] 2  Calculamos el costo marginal cuando q=50 71 Jc Jq _ q = Su = Suu · |In(7u)] -( Su 7u ) |In(7u)] 2 = $ 97.9u 12.2 Derivada de funciones exponenciales Problemas 12.2 Páginas 537-538. Ejercicios: 14,23, 24, 32, 35, 36 Diferencie las funciones en los problemas 1 a 28 14. y = e x -e -x e x +e -x y = c x -c -x c x +c -x Jy Jx = (c x +c -x )|c x -c -x (-1)] -(c x -c -x )|c x +c -x (-1)] (c x +c -x ) 2 = (c x +c -x ) 2 -(c x -c -x ) 2 (c x +c -x ) 2 = c 2x +2c x c -x +c -2x -c 2x +2c x c -x -c -2x (c x +c -x ) 2 = 4 (c x +c -x ) 2 23. y = e x -1 e x +1 y = e x -1 e x +1 uy ux = (e x +1)|e x ] -(e x -1)|e x ] (e x +1) 2 uy ux = 2e x (e x +1) 2 24. y = e 2x (x +ó) 72 y = c 2x (x +6) y i = c 2x |1] +(x +6)|c 2x (2)] y´ = c 2x +2xc 2x +12c 2x y´ = 2xc 2x +1Sc 2x y i = c 2x (2x +1S) 32. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = e x en el punto (1, e) y´ = e x Cuando x = 1, m = y´ = e. entonces, aplicando la ecuación punto pendiente se tiene: y -y 1 = m(x -x 1 ) y -c = c(x -1) Luego, y = cx es la ecuación de la recta tangente. En los problemas 35 y 36, c̅ es el costo promedio de producir q unidades de un producto. Encuentre la función de costo marginal para los valores dados de q. Interprete su respuesta. 35. ¢̅ = 7ûûûe q¡7ûû q ; q = 35û, q = 7ûû El costo total es: c = c̅q = 7uuue q¡700 La función de costo marginal es: dc dq = 7uuue q ¨00 [ 1 700 ¸ = 1ue q ¨00 El costo de producir q=350 unidades es: dc dq ¡ q=350 = 1ue 3S0 ¨00 = 1ue 0.5 El costo de producir q=700 unidades es: dc dq ¡ q=700 = 1ue ¨00 ¨00 = 1ue En los problemas 35 y 36, c̅ es el costo promedio de producir q unidades de un producto. Encuentre la función de costo marginal y el costo marginal para los valores dados de q. interprete su respuesta. 36. c̅ = 85û q +4ûûû e 2q+ó 8ûû q ; q = 97. q = 197  Calculamos la función de costo: C = c̅. q = 8Su +4uuuc 2q+6 800 = 8Su +4uuuc q+3 400  Calculamos la función de costo marginal 73 Jc Jq = J Jq _8Su +4uuuc q+3 400 ] Jc Jq = 1uc q+3 400  Calculamos el costo marginal para los valores de q=97 y q=197 Si q = 97 - Jc Jq = 1uc q+3 400 = 1uc 97+3 400 = 1uc 0.25 Si q = 197 - Jc Jq = 1uc q+3 400 = 1uc 197+3 400 = 1uc 0.5 12.4 Diferenciación implícita Problemas 12.4 Páginas 548-549. Ejercicios: 12, 17, 28, 29 En los problemas 1 a 24 ,encuentre dy/dx mediante diferenciación implícita. 12. x 3 -y 3 = 3x 2 y -3xy 2 x 3 -y 3 = Sx 2 y -Sxy 2 u ux (x 3 ) - u ux (y 3 ) = u ux (Sx 2 y) - u ux (Sxy 2 ) Sx 2 -Sy 2 y´ = (Sx 2 y i +6xy) -(Sx(2yy´) +Sy 2 ) Sx 2 -Sy 2 y´ = Sx 2 y i +6xy -6xyy´ -Sy 2 -Sy 2 y´ -Sx 2 y i +6xyy´ = 6xy -Sy 2 -Sx 2 y i (6xy -Sy 2 -Sx 2 ) = 6xy -Sy 2 -Sx 2 y i = 1 17. 5x 3 y 4 -x +y 2 = 25  Se considera constante a la variable x, calculando la derivada de “y”. J Jx (Sx 3 y 4 -x +y 2 ) = J Jx (2S) Sx 3 (4y 3 y') +1Sx 2 y 4 -1 +2yy i = u y i ( 2ux 3 y 3 +2y) = 1 -1Sx 2 y 4 74 y' = 1 -1Sx 2 y 4 2ux 3 y 3 + 2y 28. Encuentre la pendiente de la curva (x 2 +y 2 ) 2 = 4y 2 en el punto (0,2) La pendiente de una curva en un punto dado es la derivada de la ecuación de la curva, así la derivada de la función implícita (x 2 +y 2 ) 2 = 4y 2 es: 2(x 2 +y 2 )(2x +2yy i ) = 8yy i (x 2 +y 2 )(x +yy i ) = 2yy i x 3 +x 2 yy i +xy 2 +y 3 y i = 2yy i (x 2 y +y 3 -2y)y i = -x 3 -xy 2 y i = -x(x 2 +y 2 ) y(x 2 +y 2 -2) = m = PcnJicntc Luego, en el punto (0,2) la pendiente es: y i -0(0 2 +2 2 ) 2(0 2 +2 2 -2) = u 29. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva x 3 +xy +y 2 = -1, en el punto (-1,1)  Calculamos la derivada, la cual es la pendiente de la tangente en el punto considerado. x 3 +xy +y 2 = -1 Sx 2 +xy i +y +2y i = u y i = - Sx 2 +y x +2y = m  Calculamos el valor de la pendiente, reemplazando el punto (-1,1) m = - S(-1) 2 +1 -1 +2(1) = 4 1 = 4  Calculamos la ecuación de la recta mediante la ecuación Punto-pendiente. y -y 1 = m(x -x 1 ) y -1 = -4|x -(-1)] y = -4x -S 75 12.5 Diferenciación logarítmica Problemas 12.5 Páginas 552-553. Ejercicios: 11, 12, 18, 19, 23, 24 En los problemas 1 a 12, encuentre y´ por medio de la diferenciación logarítmica. 11. y = √ (x+3)(x-2) 2x-1 y = √ (x +S)(x -2) 2x -1 = _ (x +S)(x -2) 2x -1 ] 1¡2 lny = ln_ (x +S)(x -2) 2x -1 ] 1¡2 ln y = 1 2 ln(x +S) + 1 2 ln(x -2) - 1 2 ln(2x -1) y´ y = 1 2 · 1 x +S + 1 2 · 1 x -2 - 1 2 · 1 2x -1 y´ = y 2 · _ 1 x +S + 1 x -2 - 1 2x -1 _ = 1 2 √ (x +S)(x -2) 2x -1 _ 1 x +S + 1 x -2 - 1 2x -1 _ 12. y = √ ó(x 3 +1) 2 x ó e -4x 3 En primer lugar aplicamos las propiedades de los logaritmos In y = In √ 6(x 3 +1) 2 x 6 c -4x 3 = 1 S ln _ 6(x 3 +1) 2 x 6 c -4x _ = 1 S {ln|6(x 3 +1) 2 ] -ln|x 6 c -4x ]] In y = 1 S |ln 6 +2ln(x 3 +1) -6ln(x) -(-4x) ln c] In y = 1 S |ln 6 +2ln(x 3 +1) -6ln(x) +4x] Ahora calculamos la derivada 76 y i y = 1 S _2 Sx 2 x 3 +1 - 6 x +4_ y i = y S _ 6x 2 x 3 +1 - 6 x +4_ =y' = 1 S √ 6(x 3 +1) 2 x 6 c -4x 3 _ 6x 2 x 3 +1 - 6 x +4_ En los problemas del 13 a 20, determine y’. 18. y = (x 2 +1) x+1 lny = ln(x 2 +1) x+1 = (x +1) ln(x 2 +1) y i y = (x +1) 2x x 2 +1 +ln(x 2 +1) (1) y i = y _ 2x(x +1) x 2 +1 +ln(x 2 +1)_ y i = (x 2 +1) x+1 _ 2x(x +1) x 2 +1 +ln (x 2 +1)_ 19. y = 4e x x 3x Aplicando las propiedades de los logaritmos se tiene: lny = ln 4 +ln(c x x 3x ) = ln 4 +lnc x +ln x 3x lny = ln 4 +x +Sx ln x. Calculamos la derivada de la función logarítmica ¡´ ¡ = 1 +S jx [ 1 x ¸ +(ln x)(1)[ = y i = y(4 +S In x ) =y i = 4c x x 3x (4 +S ln x) 23. Encuentre una ecuación de la recta tangente a y = (x +1)(x +2) 2 (x +3) 2 en el punto donde x=0. Aplicando las propiedades de los logaritmos a la función y = (x +1)(x +2) 2 (x +S) 2 se tiene: ln y = ln (x +1) +2 ln(x +2) +2 ln (x +S). Calculando la derivada de las funciones logarítmicas tenemos: ¡´ ¡ = 1 x+1 + 2 x+2 + 2 x+3 = y i = y j 1 x+1 + 2 x+2 + 2 x+3 [ = m = pcnJicntc Calculamos el punto por donde pasa la recta: Si x = u =y = (u +1)(u +2) 2 (u +S) 2 = S6 = P 1 (x 1 , y 1 ) = (u,S6) 77 Calculamos la pendiente m: Si x = u =y i = S6 j 1 0+1 + 2 0+2 + 2 0+3 [ = 96 = m = pcnJicntc Por último aplicando la ecuación punto-pendiente se tiene: y -y 1 = m(x -x 1 ) y - S6 = 96(x -u) = y = 96x +S6. 24. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = x x . En el punto en donde x = 1  Calculamos la derivada y = x x lny = x ln x y i y = x. 1 x +(ln x)(1) = 1 +ln x y i = y(1 +lnx) = x x (1 +lnx)  Calculamos la pendiente m = y i Si x = 1 y y = 1 ⇒ m = 1 1 (1 +ln1) m = 1(1 +u) = 1  Calculamos la ecuación de la recta mediante la forma Punto- pendiente Ecuación punto-pendiente y -y 1 = m(x -x 1 ) y -1 = 1(x -1) y -1 = x -1 y = x 12.7 Derivadas de orden superior Problemas 12.7 Página 560. Ejercicios:7, 14 En los problemas de 1 a 20, encuentre las derivadas indicadas. 7. ¡(x) = x 2 |nx , ¡´ ´(x) ¡(x) = x 2 ln x = ¡´ = x 2 [ 1 x ¸ +(ln x)(2x) ¡´ = x(1 +2 ln x ) 78 ¡´´(x) = x _ 1 x ] +(1 +2ln x )(1) ¡´´(x) = S +2ln x 14. y = (3x +7) 5 , y ´´ y = (Sx +7) 5 = y' = S (Sx +7) 4 (S) = 1S(Sx +7) 4 y´´ = 1S(4)(Sx +7) 3 (S) = 18u(Sx +7) 3 79 CAPÍTULO 13 TRAZADO DE CURVAS 13.1 Extremos relativos Problemas 13.1 Páginas 576-578. Ejercicios: 15, 38, 68 En los problemas 9 a 52, determine cuando la función es creciente o decreciente, y determine la posición de los máximos y mínimos relativos. No trace la gráfica. 15. y = x 4 - 2x 2  Calculamos la derivada y´ = ¡´(x) = 4x 3 - 4x = 4x (x 2 - 1) = 4x (x +1)(x -1)  Calculamos los valores extremos de los intervalos con ¡´(x) = u. ¡´(x) = 4x (x +1)(x -1) = u = x = u, x = 1, x = -1  Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos  Establecemos los signos de la función para cada intervalo. -1 0 1 4x - - + + (x +1) - + + + (x -1) - - - + ¡'(x) - + - + ¡(x)  Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores: - ¡ es decreciente en (-«, -1) y (u,1) - ¡ es creciente en (-1,u) y (1, «). - ¡ tiene máximo relativo en x = u y mínimo relativo en x = 1 y x = -1. 38. y = 2x 2 4x 2 -25 Calculamos la derivada (-«,- 1) (-1,0) (0,1) (1,+«) 0 1 80 y i = ¡'(x) = (4x 2 -2S)(4x) -(2x 2 )(8x) (4x 2 -2S) 2 = -1uux (4x 2 -2S) 2 = -1uux (2x -S) 2 (2x +S) 2  Calculamos los valores extremos de los intervalos con ¡´(x) = u. ¡´(x) = -1uux (2x-S) 2 (2x-S) 2 = u = x = u, x = - 5 2 , x = 5 2  Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos  Establecemos los signos de la función para cada intervalo. - 5 2 0 5 2 -1uux + + - - (2x -S) 2 + + + + (2x +S) 2 + + + + ¡'(x) + + - - ¡(x)  Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores: - ¡ es decreciente en (u, 5 2 ) y ( 5 2 , «) - ¡ es creciente en (-∞,- 5 2 ) y (- 5 2 , u) - ¡ tiene máximo relativo en x = u 68. Costo marginal. Si c = 3q -3q 2 +q 3 es una función de costo. ¿Cuándo es creciente el costo marginal?  Calculamos la función de costo marginal: dc dq = S -6q +Sq 2  Calculamos la derivada de la función de costo marginal: d[ dc dq ¸ dq = -6 +6q  El costo marginal es creciente si : d( dc dq ) dq > u esto es cuando = -6 +6q =q > 1. (-«,- 5 2 ) (- 5 2 , 0) (0, 5 2 ) _ S 2 , «] - 5 2 0 S 2 81 13.3 Concavidad Problemas 13.3 Páginas 586-587. Ejercicios: 17, 25, 28, 55, 56 En los problemas 7 a 34, determine la concavidad de f y los valores de x en los que se presentan puntos de inflexión. No trace la gráfica. 17. y = x 4 2 + 19x 3 ó - 7x 2 2 +x +5  Calculamos los posibles puntos de inflexión mediante la segunda derivada y = x 4 2 + 19x 3 6 - 7x 2 2 +x +S y´ = 2 x 3 + 19 x 2 2 -7 x +1 y´´ = 6 x 2 +19 x -7 Se encuentra la concavidad y los posibles punto de inflexión cuando ¡´´(x) = u 6 x 2 +19 x -7 = u (S x -1) (2 x +7) = u x = - 7 2 o x = 1 S  Comprobamos la concavidad en los intervalos correspondientes - ∞ - 7 2 1 3 ∞ (S x -1) - - + (2 x +7) - + + ¡´´(x) + - + ¡(x) U ∩ U ¡´´(x) > u = La función es Cóncava hacia arriba en j-«, - 7 2 [ y j 1 3 , «[ ¡´´(x) < u = La función es Cóncava hacia abajo en j- 7 2 , 1 3 [ ¡ cambia de concavidad en x = - 7 2 y x = 1 3 entonces existe punto de inflexión cuando x toma estos valores. 25. y = x 2 x 2 +1  Calculamos la segunda derivada : y´ = (x 2 +1)(2x)-x 2 (2x) (x 2 +1) 2 = 2x (x 2 +1 ) 2 y´´ = (x 2 +1) 2 (2)-2x (2) (x 2 +1)(2x) (x 2 +1) 4 = (x 2 +1) (2)-8x 2 (x 2 +1) 3 = 2(1-3x 2 ) (x 2 +1) 3 = 2(1+ √3x) (1-√3x) (x 2 +1) 3  Establecemos los posibles puntos de inflexión, sus intervalos y la concavidad : x = - 1 √3 , x = + 1 √3 82 - 1 √3 1 √3 (1 + √3x) - + + (1 -√3x) + + - (x 2 +1) 3 + + + ¡''(x) - + - ¡(x) ⋂ ⋃ ⋂  Observando los resultados de la tabla anterior se concluye: f es cóncava hacia abajo en los intervalos (-«, - 1 √3 ) y ( 1 √3 , «) f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( - 1 √3 , 1 √3 ). Luego, por los cambios de concavidad, existen puntos de inflexión cuando x = _ 1 √3 28. y = 3(x 2 -2) 2  Calculamos los posibles puntos de inflexión mediante la segunda derivada y = S(x 2 -2) 2 y´ = 12x(x 2 -2) y´ = 12(x 3 -2x) y´´ = 12(Sx 2 -2) y´´ = S6_x 2 - 2 S ] y ´´ = S6_x - √6 S _ _x + √6 S _ Se encuentra la concavidad y los posibles punto de inflexión cuando ¡´´(x) = u S6_x - √6 S _ _x + √6 S _ = u x = - √6 S o x = √6 S  Comprobamos la concavidad en los intervalos correspondientes - ∞ - √6 3 √6 3 ∞ _x - √6 S _ - - + _x + √6 S _ - + + ¡´´(x) + - + ¡(x) U ∩ U ¡´´(x) > u = La función es Cóncava hacia arriba en j-«, - √6 3 [ y j √6 3 , «[ ¡´´(x) < u = La función es Cóncava hacia abajo en j- √6 3 , √6 3 [ ¡ cambia de concavidad en x = - √6 3 y x = √6 3 entonces existe punto de inflexión cuando x toma estos valores. 83 En los problemas 35 a 62 determine los intervalos en los que la función crece, decrece, es cóncava hacia arriba, es cóncava hacia abajo; máximos y mínimos relativos; puntos de inflexión; simetría y aquellas intersecciones que puedan obtenerse de manera conveniente. Después bosqueje la gráfica. 55. y = 4x 2 - x 4  Calculamos la primera y segunda derivada y i = ¡ i (x) = 8x -4x 3 = 4x (2 - x 2 ) = 4x(√2 -x)(√2 +x) y´´ = 8 -12x 2 = 12 j 2 3 - x 2 [ = 12 _√ 2 3 - x__√ 2 3 + x_  Calculamos los valores extremos de los intervalos con ¡´(x) = u. ¡´(x) = 4x(√2 - x)(√2 + x) = u = x = u, x = -√2, x = √2  Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos  Establecemos los signos de la función para cada intervalo. -√2 0 √2 4x - - + + (√2 -x) + + + - (√2 +x) - + + + ¡'(x) + - + - ¡(x) ( 5 2 , «) « (- «, -√2 (- «, -√2 (-√2, u) -√2 0 84  Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores: - ¡ es creciente en (-«, -√2) y (u, √2) - ¡ es decreciente en (-√2, u) y (√2, «) - ¡ tiene máximo relativo en x = -√2 y x = √2 - f tiene mínimo relativo en x = u  Calculamos los posibles puntos de inflexión, intervalos y concavidad con ¡ ii (x) = u ¡ ii = 12 _√ 2 3 - x__√ 2 3 + x_ = u = x = -√ 2 3 , x = √ 2 3 - √ 2 3 √ 2 3 _ √ 2 S - x_ + + - _ √ 2 S + x_ - + + ¡''(x) - + - ¡(x) ⋂ ⋃ ⋂  Observando los resultados de la tabla anterior se concluye: f es cóncava hacia abajo en los intervalos (-«, -√ 2 3 ) y ( √ 2 3 , «) f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( -√ 2 3 , √ 2 3 ). Luego, por los cambios de concavidad, existen puntos de inflexión cuando x = _√ 2 3  Calculamos los puntos de intersección: Si x = u = y = 4(û) 2 - (û) 4 = û = P 1 (û, û) Si y = û = y = 4x 2 - x 4 = û = x 2 (4 -x 2 ) = û = x = û, x = 2, x = -2 = P 2 (û, û) P 1 (-2, û) P 3 (2, û)  Comprobamos la simetría: ¡(x) = 4x 2 - x 4 ¡(-x) = 4(-x) 2 -(-x) 4 = 4x 2 - x 4 ; como ¡(x) = ¡(-x) = f es función par, por lo tanto es simétrica respecto al eje Y.  Construimos la gráfica 85 56. y = x 4 -x 2  Puntos de intersección Si y = u = x 4 -x 2 = u x 4 -x 2 (x -1) (x +1) x 2 = u x = u, x = -1, x = 1 Si x = u= y = u P 2= (-1,u) P 3 = (1,u) P 1 = (u,u)  Valores y Puntos críticos y = x 4 -x 2 y´ = 4x 3 -2x = 2x(2x 2 -1) y´ = 2x(√2x +1)(√2x -1) Los valores críticos se calculan con ¡´(x) = u 2x(√2x +1)(√2x -1) = u = x = u, x = - 1 √2 x = 1 √2  Intervalos donde la función es creciente o decreciente - ∞ - 1 √2 0 1 √2 ∞ 2x - - + + (√2x +1) - + + + (√2x -1) - - - + ¡´(x) - + - + ¡(x) La función es decreciente en j-«, - 1 √2 [y ju, 1 √2 [ La función es creciente en j- 1 √2 , u[y j 1 √2 , «[  Valores máximos y mínimos Existe valores mínimos relativos en x = - 1 √2 x = 1 √2 Existe un valor máximo relativo en x = u 86  Concavidad y puntos de inflexión y´ = 4x 3 -2x y´´ = 12x 2 -2 = 2(6x 2 -1) y´´ = 2(√6x -1)(√6x -1) Se encuentra la concavidad y un posible punto de inflexión cuando ¡´´(x) = u 2(√6x -1)(√6x +1) = u x = - 1 √6 x = 1 √6 - ∞ - 1 √6 1 √6 ∞ (√6x -1) - - + (√6x +1) - + + ¡´´(x) + - + ¡(x) U ∩ U ¡´´(x) > u = La función es Cóncava hacia arriba en j-«, - 1 √6 [ y j 1 √6 , «[ ¡´´(x) < u = La función es Cóncava hacia abajo en j- 1 √6 , 1 √6 [ ¡ cambia de concavidad en x = - 1 √6 y x = 1 √6 entonces existe punto de inflexión cuando x toma estos valores.  Puntos de inflexión Si x = - 1 √6 ¡ [- 1 √6 ¸ = (- 1 √6 ) 4 -[- 1 √6 ¸ 2 = - 5 36 = [- 1 √6 , - 5 36 ¸ Si x = 1 √6 ¡ [ 1 √6 ¸ = ( 1 √6 ) 4 -[ 1 √6 ¸ 2 = - 5 36 = [ 1 √6 , - 5 36 ¸ 87 13.4 Prueba de la segunda derivada Problemas 13.4 Página 589. Ejercicios: 12, 14 Realice la prueba para máximos y mínimos en los problemas 1 a 14. En caso de ser posible, use la prueba de la segunda derivada. En los problemas 1 a 4, establezca si los extremos relativos son también extremos absolutos 12. y = 55 2 x 3 -x 2 -21x -3  Calculamos la primera derivada y´ = SSx 2 -2x -21 = (Sx +S)(11x -7)  Calculamos los valores extremos mediante ¡´(x) = u (Sx +S)(11x -7) = u = x = - 3 5 x = 7 11  Calculamos la segunda derivada y´´ = 11ux -2  Comprobamos el signo de ¡´´ en los valores extremos. y´´ [- S S ¸ = 11u [- S S ¸ 2 = -68 < u = Existe un máximo relativo cuando x = - 3 5 y´´ [ 7 11 ¸ = 11u[ 7 11 ¸ -2 = 68 > u = Existe un mínimo relativo cuando x = - 3 5 14. y = -x 3 +Sx 2 +9x -2  Calculamos la primera derivada: y = -x 3 +Sx 2 +9x -2 = y´ = f´(x) = -Sx 2 +6x +9 = -S(x 2 -2x -S)y´ = -S(x -S)(x +1)  Hallamos valores extremos: ¡´(x) = u = -S(x -S)(x +1) = x = S, x = -1  Calculamos la segunda derivada: y´ = -Sx 2 +6x +9 = y´ = -6x +6  Aplicamos el criterio de la segunda derivada: y´´(-1) = 12 > u = Mínimo relativo cuando x = -1 y´´(S) = -12 < u = Máximo relativo cuando x = S 13.6 Aplicación de Máximos y mínimos Problemas 13.6 Páginas 607-611. Ejercicios: 5, 13, 16, 20 En esta serie de problemas, a menos que se especifique otra cosa, p es el precio por unidad y q la producción por unidad de tiempo. Los costos fijos se refieren a costos que permanecen constantes bajo todo nivel de producción en un período dado (un ejemplo es la renta) 88 5. Costo promedio. Un fabricante determina que el costo total, c, de producir un artículo está dado por la función de costo C = û. û5q 2 +5q +5ûû. ¿Para qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad?  Determinamos el costo promedio por unidad: c̅ = C q = u.uSq +S + 500 q  Calculamos la derivada del costo por unidad para determinar valores extremos: c̅´ = u.uS - 500 q 2 = c̅´ = u = u.uS - 500 q 2 = q = -1uu, q = 1uu El único valor será q = 1uu ya que el número de unidades producidas no puede ser negativo.  Calculamos la segunda derivada para determinar valores máximos o mínimos. c̅´ = u.uS - 500 q 2 = c̅´´ = 1000 q 3 Si q = 1uu = c̅´´(q) = 1000 q 3 > u = c̅ es mínimo cuando se producen 100 unidades. 13. Utilidad. Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es p = 42 -4q y la función de costo promedio es c̅ = 2 + 8û q . Encuentre el precio que maximiza la utilidad.  Calculamos el costo total: C = c̅(q) = [2 + 80 q ¸ q = 2q +8u  Calculamos la función de utilidad: Utilidad = ingreso total- costo total = u = pq -C = (42 -q)q -(2q +8u) = -(4q 2 - 4uq +8u)  Calculamos la derivada de la utilidad: u´ = -(8q -4u)  Los valores extremos se presentan cuando u´(q) = u = -(8q -4u) = u = q = S  Mediante la segunda derivada establecemos si se trata de valor máximo o mínimo. u´ = -(8q -4u) = u´´ = -8 < u = q = S es un valor máximo.  Calculamos el precio que maximiza la utilidad: p = 42 -4(q) = 42 -4(S) = $22 16. Costo: Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por unidad) está dado por c̅ = 2q 2 -42q +228 + 21û q . Donde 3 ¸ q ¸ 12. (a) ¿A que nivel dentro del intervalo |3, 12] debe fijarse la producción para minimizar el costo total? ¿Cuál es el costo total mínimo?  Calculamos el costo total y su derivada para encontrar valores extremos: C = (c̅)q = [2q 2 -42q +228 + 210 q ¸ q = 2q 3 -42q 2 +228q +21u C´ = 6q 2 -84q +228 = 6(q 2 -14q +S8) = u luego, aplicando la fórmula cuadrática: 89 q = 7 -√11 = S, 68 o tambien q = 7 +√11q = 1u, S2  Evaluamos C(q) para los valores calculados de q, dentro del intervalo |S, 12] C(S ) = 2(S) 3 -42(S ) 2 +228(S ) +21u = S7u C(1u ) = 2(1u) 3 -42(1u ) 2 +228(1u ) +21u = 29u C(11 ) = 2(11) 3 -42(11 ) 2 +228(11 ) +21u = S7u C(12 ) = 2(12) 3 -42(12 ) 2 +228(12 ) +21u = SS4 Se observa que el costo mínimo ocurre cuando q = 7 +√11 = 1u uniuaues (b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo |7, 12], ¿Qué valor de q minimizara el costo total?  Comprobamos para los valores dentro del intervalo |7, 12], por ejemplo: C(7 ) = 2(7) 3 -42(7) 2 +228(7 ) +21u = 4S4 La producción sigue siendo mínima cuando la producción es de 10 unidades. 20. Utilidad. Un fabricante de un producto encuentra que para las primeras 600 unidades que produce y vende, la utilidad es de $40 por unidad. La utilidad por cada unidad producida más allá de 600 disminuye en $0.05 por cada unidad adicional producida. Por ejemplo, la utilidad total cuando produce y vende 602 unidades es 600(40)+2(39.90).¿qué nivel de producción maximizara la utilidad?  Establecemos la utilidad(U) como función del número de unidades producidas(q): Utilidad por los 600 unidades: 600(40)=24000 Utilidad adicional: (40-0.5q)q = u(q) = 6uu(4u) +(4u -u.Sq)q = 24uu +4uq -u.Sq 2  Calculamos la primera derivada para calcular valores extremos: u i (q) = 4u -u.1q = u = q = 4uu  Utilizamos el criterio de la segunda derivada para verificar si el valor obtenido es máximo o mínimo: u i (q) = 4u -u.1q = u''(q) = -u.1 < u = se tiene una utilidad máxima cuando q = 4uu Por último, el número total de unidades será 600+400=1000 90 CAPÍTULO 14 INTEGRACIÓN 14.1 Diferenciales Problemas 14.1 Páginas 622-623. Ejercicios: 4, 10, 37, 38 En los problemas 1 a 10, encuentre la diferencial de la función en términos de x y dx. 4. ¡(x) = (4x 2 -5x +2) 3 Jy = ¡´(x)Jx Jy = (24 x -1S) (4 x 2 -S x +2) 2 Jx 10. y = |n √ x 2 +12  Expresamos la función en forma más conveniente: y = 1 2 ln(x 2 +12)  Calculamos la derivada: y´ = d¡ dx = 1 2 1 (x 2 +12) (2x) = x x 2 +12 = Jy = x x 2 +12 Jx 37. Utilidad Suponga que la utilidad (en dólares) al producir q unidades de un producto es P = 397q -2. 3q 2 -4ûû. Por medio de diferenciales, encuentre el cambio aproximado en la utilidad, si el nivel de producción cambia de q = 9û a q = 91. Encuentre el cambio verdadero.  Calculamos el cambio aproximado si P = S97q -2.Sq 2 -4uu, q = 9u, Jq = 1 Por definición se tiene: AP = JP = P i Jq = (S97 -4.6 q )Jq Luego, para q = 9u, Jq = 1 = Jp = (S97 -4.6(9u))(1) = -17  Calculamos el cambio verdadero AP = P(91) -P(9u) = 1668u.7 -167uu.u = -19.S 38. Ingreso. Dada la función de ingreso r = 25ûq +45q 2 -q 3 . Use diferenciales para encontrar el cambio aproximado en el ingreso, si el número de unidades se incrementa de q=40 a q=41. Encuentre el cambio verdadero.  Cambio aproximado Si r = 2Suq +4Sq 2 -q 3 r´ = 2Su -9uq +Sq 2 Jr = r´(q). Jq Jr = (2Su +9uq -Sq 2 )Jq Aq = 41 -4u = 1 = Jq 91 Cuando q = 4u , Jq = 1 Jr = (2Su +9u(4u) -S(4u) 2 )(1) = -9Su  Cambio verdadero r(41) = 2Su(41) +4S(41) 2 -(41) 3 = 16974 r(4u) = 2Su(4u) +4S(4u) 2 -(4u) 3 = 18uuu r(41) -r(4u) = 16974 -18uuu = -1u26 14.2 La integral indefinida Problemas 14.2 Páginas 628-629. Ejercicios: 9, 15, 22, 33, 37, 39, 41, 49. En los problemas 1 a 52, encuentre las integrales indefinidas. 9. ∫ 1 t 7¡4 dt ∫t - 7 4 Jt = t - 3 4 - S 4 +c = - 4 St 3 4 +c 15. ∫(3t 2 -4t +5)dt ∫(3t 2 -4t +5)dt = S∫t 2 Jt -4∫tJt +∫SJt = S. t 3 S -4 t 2 2 +St +c = t 3 -2t 2 +St +c 22. ∫ [ e x 3 + 2x¸ dx ∫ [ e x 3 + 2x¸ dx = 1 3 ∫ e x dx +2 ∫ x dx = 1 3 e x + 2 . x 2 2 + C = e x 3 + x 2 + C 33. ∫ 3u-4 5 du 92 ∫ 3u-4 5 Ju = 1 5 ∫SuJu - 1 5 ∫4Ju = 1 5 [ 3u 2 2 ¸ - 1 5 (4u) +C = 3 10 u 2 - 4 5 u +C 37. ∫(2√x -3√x 4 )dx ∫(2√x -S√x 4 )Jx = ∫ (2x 1 2 -Sx 1 4 ) Jx = 2∫x 1 2 Jx -S∫x 1 4 Jx = 2. x 3 2 S 2 -S. x 5 4 S 4 +C = 4x 3 2 S - 12x 5 4 S +C 39. ∫_- √ x 2 3 5 - 7 2√x +óx] dx ∫_- √x 2 3 5 - 7 2√x +6x] Jx = ∫_- x 2 3 5 - 7x - 1 2 2 +6x_Jx = - 1 5 ∫x 2 3 Jx - 7 2 ∫x - 1 2 Jx +6∫x Jx = - 1 5 . x S 3 S 3 - 7 2 . x 1 2 1 2 +6. x 2 2 +C = - 3x S 3 25 -7x 1 2 +Sx 2 +C 41. ∫(x 2 +5)(X -3)dx ∫(x 2 +S)(x -S)Jx= ∫ (x 3 - Sx 2 + Sx -1S)Jx = x 4 4 -S · x 3 3 +S · x 2 2 -1Sx +C = x 4 4 -x 3 + 5x 2 2 -1Sx +C 49. ∫ z 4 +1ûz 3 2z 2 dz ∫ z 4 +1uz 3 2z 2 Jz = 1 2 ∫_ z 4 z 2 + 1uz 3 z 2 _Jz = 1 2 ∫(z 2 +1uz) Jz = 1 2 _ z 3 S +1u. z 2 2 _ +C = z 3 6 + Sz 2 2 +C 93 14.3 Integración con condiciones iniciales Problemas 14.3 Página 633. Ejercicios: 5, 7, 10, 12, 14, 15 En los problemas 5 a 8, encuentre y sujeta a las condiciones dadas 5. y ii = -3x 2 +4x y i (1) = 2 y(1) = 3  Calculamos la primera derivada integrando la función y'' = -Sx 2 +4x, así: ∫y ii = y' = y i = ∫(-Sx 2 +4x) Jx = -x 3 +2x 2 +C 1  Calculamos el valor de la constante C 1 : Si y i (1) = 2 = 2 = -1 +2 +C 1 = C 1 = 1 Luego, y' = -x 3 +2x 2 +1  Calculamos la función y integrando la función y' = -x 3 +2x 2 +1: ∫y i = y = y = ∫(-x 3 +2x 2 +1) Jx) = - x 4 4 + 2x 3 3 +x +C 2  Calculamos el valor de la constante C 2 : Si y(1) = S = S = - 1 4 + 2 3 +1 +C 2 = C 2 = 19 12 Luego, y = - x 4 4 + 2x 3 3 +x + 19 12 7. y´´´ = 2x, y´´(-1) = 3, y´(3) = 1û, y(û) = 13 ∫y´´´ = y´´ = y´´ = ∫2xJx = x 2 +c1 Como y´´(-1) = S = S = (-1) 2 +c1 = c1 = 2 Luego se tiene: y´´ = x 2 +2 ∫y´´ = y´ = y´ = ∫(x 2 +2)Jx = x 3 3 +2 x +c2 Como y´(S) = 1u = 1u = 3 3 3 +2(S) +c2 = c2 = -S Luego se tiene: y´ = x 3 3 +2 x -S ∫y´ = y = y = ∫( x 3 3 +2 x -S)Jx = x 4 12 +x 2 -S x +cS 94 Como y(u) = 1S = 1S = 0 4 12 +u 2 -S (u) +cS = cS = 1S Así resulta y = x 4 12 +x 2 -S x +1S En los problemas 9 a 12 , dr/dq es una función de ingreso marginal, encuentre la función de demanda. 10. dr dq = 1û - 1 1ó q  Función de ingreso r = ∫ Jr Jq = ∫(1u - 1 16 q)Jq = 1uq - 1 S2 q 2 +C Si q = u = C = u luego, la función de ingreso es: r = 1uq - 1 S2 q 2  Función de demanda Si r = pq = p = ¡ q = 10q- 1 32 q 2 q = 1u - 1 32 q 12. d¡ dq = Suuu -S(2q +2q 3 )  Calculamos la función de ingreso a partir del ingreso marginal d¡ dq = Suuu -S(2q +2q 3 ) ∫ d¡ dq = r = r = ∫(Suuu -6q -6q 3 )Jq = r = Suuuq -Sq 2 - 3q 4 2 +C  Calculamos el valor de la constante C, asignando la condición inicial r(u) = u, es decir el ingreso de q = u unidades es r = u. Si r(u) = u = u = Suuu(u) -S(u) 2 - 3(0) 4 2 = C = u  Calculamos la función de demanda a partir de la función de ingreso, así: r = pq = p = ¡ q = Suuu -Sq 2 - 3q 3 2 En los problemas 13 a 16, dc dq es una función de costo marginal y los costos fijos están indicados entre llaves. Para los problemas 13 y 14, encuentre la función de costo total. En los problemas 15 y 16 encuentre el costo total para el valor indicado de q. 14. dc dq = 2q +75; {2ûûû] 95  Función de Costo marginal Jc Jq = 2q +7S  Función de costo total c = ∫ Jc Jq c = ∫(2q +7S)Jq = q 2 +7Sq +C Si q = u entonces C = 2uuu poi lo tanto la funcion costo es: c = q 2 +7Sq +2uuu. 15. dc dq = û. û8q 2 -1, óq +ó, 5; |8ûûû]; q = 25  Calculamos la función de costo a partir del costo marginal : dc dq = u.u8q 2 -1,6q +6,S ∫ dc dq = c = c = ∫(u.u8q 2 -1,6q +6,S)Jq = c = 0,08 3 q 3 -u,8q 2 +6,Sq +C1  Calculamos el valor de la constante C1 con la condición inicial c(u) = 8uuu (costo fijo) c(u) = 0,08 3 (u) 3 -u,8(u) 2 +6,S(u) +C1 = 8uuu = C1 = 8uuu Luego, c = 0,08 3 q 3 -u,8q 2 +6,Sq +8uuu  Calculamos el costo total si q = 2S c(2S) = 0,08 3 (2S) 3 -u,8(2S) 2 +6,S(2S) +8uuu c(2S) = 8u79 1 6 = $8u79,17 14.4 Más fórmulas de integración Problemas 14.4 Páginas 639-640. Ejercicios: 14, 26, 34, 44, 49, 52, 57 68 En los problemas 1 a 80, encuentre las integrales indefinidas 14. ∫9x√1 +2x 2 Jx ∫9x√1 +2x 2 Jx = 9 4 ∫(1 +2x 2 ) 1 2 |4xJx] 96 = 9 4 . (1 +2x 2 ) 1 2 S 2 +C = S(1 +2x 2 ) 3 2 2 +C 26. ∫ 12x 2 +4x+2 x+x 2 +2x 3 dx ∫ 12x 2 +4x +2 x +x 2 +2x 3 Jx = ∫ 2 x +x 2 +2x 3 |(1 +2x +6x 2 )Jx] = 2ln|x +x 2 +2x 3 | +C = ln|(x +x 2 +2x 3 ) 2 ] +C 34. ∫ 2x 2 3-4x 3 dx ∫ 2x 2 S -4x 3 Jx = 2_- 1 12 ] ∫ 1 S -4x 3 |-12x 2 Jx] = - 1 6 ln|S -4x 3 | +C 44. ∫ x 2 √ 2x 3 +9 3 dx ∫ x 2 √2x 3 +9 3 Jx = ∫(2x 3 +9) 1 3 (x 2 Jx) = 1 6 ∫(2x 3 +9) 1 3 (6x 2 Jx) = 1 6 - (2x 3 +9) 2 3 2 S +c = 1 4 (2x 3 +9) 2 3 +c 49. ∫ x+2 x 3 +óx dx ∫ x 2 +2 x 3 +6x Jx = 1 S ∫ 1 x 3 +6x |(Sx 2 +6)Jx] = 1 S ln|x 3 +6x| +C 52. ∫(ót 2 +4t)(t 3 +t 2 +1) ó dt ∫(6t 2 +4t)(t 3 +t 2 +1) 6 Jt = 2∫(t 3 +t 2 +1) 6 |(St 2 +2t)Jt] = 2 (t 3 +t 2 +1) 7 7 +C = 2 7 (t 3 +t 2 +1) 7 +C 57. ∫(2x 3 +x)(x 4 +x 2 )dx ∫(2x 3 +x)(x 4 +x 2 )dx = 1 2 ∫(x 4 +x 2 ) 1 |(4x 3 +2x)Jx] 97 = 1 2 . (x 4 +x 2 ) 2 2 +c = 1 4 (x 4 +x 2 ) 2 +c 68 ∫|x(x 2 -1ó) 2 - 1 2x+5 ] dx ∫|x(x 2 -16) 2 - 1 2x+5 ] Jx = 1 2 ∫(x 2 -16) 2 (2xJx) -∫ 1 2x+5 Jx = 1 2 (x 2 -16) 3 3 - 1 2 ln|2x +S| +c = 1 6 (x 2 -16) 3 - 1 2 ln|2x +S| +c 14.7 Teorema fundamental del cálculo integral Problemas 14.7 Páginas 657-658. Ejercicios: 13, 15, 20, 25, 31, 37 En los problemas 1 a 43, evalúe la integral definida. 13. ∫ √x 4 dx 3 8 -8 ∫ √x 4 dx 3 8 -8 = ∫ x 4 3 dx 8 -8 = x 7 3 7 3 _ 8 -8 = 3x 7 3 7 _ 8 -8 = = 3(128) 7 - 3 (-128) 7 = 7ó8 7 15. ∫ [ 1 x 2 ¸ 3 1 2 ⁄ dx ∫ 1 x 2 3 1 2 ⁄ dx = - 1 x | 1 2 ⁄ S = - 1 S ÷2 = S S 20. ∫ (x +2) 3 dx 3 2 ∫ (x +2) 3 Jx 3 2 = (x +2) 4 4 _ 2 3 = 62S 4 -64 = S69 4 25. ∫ Sx 2 c x 3 1 0 Jx ∫Sx 2 c x 3 1 0 Jx = S S ∫c x S (Sx 2 1 u Jx) = S S jc x S [ 1 u = S S jc 1 S -c u S [ = S S |c -1] 98 31. ∫ x 2 √7x 3 +1dx 1 û Expresando en forma exponencial: ∫ x 2 √ 7x 3 +1 3 Jx 1 0 = ∫ (7x 3 +1) 1 3 (x 2 Jx) 1 0 Sea u = 7x 3 +1 = Ju = (21x 2 )Jx = Jx = du 21x 2 ∫ (7x 3 +1) 1 3 (x 2 Jx) 1 0 = ∫ (u) 1 3 _x 2 Ju 21x 2 ] 1 0 = 1 21 ∫ (u) 1 3 Ju 1 0 = 1 21 _ u 1 3 +1 1 S +1 _ 1 u = 1 21 _ u 4 3 4 S _ 1 u = 1 28 _u 4 3 _ 1 u Reemplazando u = 7x 3 +1 1 28 _(7x 3 + 1) 4 3 _ 1 u 37. ∫ 3(x -2 +x -3 -x -4 )dx e a ∫ S(x -2 +x -3 -x -4 )Jx c n = S_ x -1 -1 + x -2 -2 - x -3 -S _¡ c n = S_- 1 c + 1 2c 2 - x 1-3 Sc 3 _ -S_- 1 n + 1 2n 2 - 1 Sn 3 ] = 1 c 3 + S c - S 2c 2 + S n + S 2n 2 - 1 n 3 99 14.9 Área Problemas 14.9 Páginas 667-668. Ejercicios: 7, 10, 12, 18, 24, 26 En los problemas 1 a 34, use una integral definida para encontrar el área de la región limitada por la curva, el eje x y las líneas dadas. En cada caso, primero haga el bosquejo de la región. Tenga cuidado con las áreas de las regiones que están debajo del eje x. 7. y = x 2 , x = 2, x = 3 Arco = ∫ x 2 3 2 Jx = x 3 S _ S 2 = 9 - 8 S = 19 7 10. y = x +x 2 +x 3 , x = 1 Arco = ∫ (x +x 2 +x 3 ) 1 0 Jx = _ x 2 2 x 3 S x 4 4 __ 0 1 = 1S 12 -u = 1S 12 12. y = 3x 2 -4x, x = -2, x = -1 A = ∫ (Sx 2 -4x)Jx -1 -2 = |x 3 -2 x 2 ] -1 -2 = |((-1) 3 -2 (-1) 2 ) -((-2) 3 -2 (-2) 2 )] = |(-1 -2) -(-8 -8)] = |-S +16] = 1S 100 18.y = 1 (x-1) 2 , x = 2 , x = S y = 1 (x -1) 2 , x = 2 , x = S Arco = ∫ 1 (x -1) 2 3 2 Jx = ∫ (x -1) -2 3 2 Jx = (x -1) -1 -1 _ S 2 = _- 1 x -1 ] _ S 2 = - 1 2 ÷1 = 1 2 24. y = x 3 +3x 2 , x = -2, x = 2 y = x 3 +Sx 2 , x = 2, x = 2 Área = ∫ (x 3 +Sx 2 )Jx 2 -2 = [ x 4 4 +x 3 ¸¡ -2 2 = 12 -(-4) = 16 26. y = x 2 +4x -5 , x = -5 , x = 1 y = x 2 +4x -S , x = -S , x = 1 Arco = ∫ -(x 2 +4x -S)Jx 1 -5 = -_ x 3 S +2x 2 -Sx__ -5 1 = -_- 8 S - 1uu S ] = S6 101 14.10 Área entre curvas Problemas 14.10 Páginas 673-675. Ejercicios: 9, 10, 13, 14, 21, 24, 29 En los problemas 9 a 32, encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar los puntos de intersección requeridos. Considere si el uso de franjas horizontales hace más sencilla la integral que el uso de franjas verticales 9. y = x 2 y = 2x  Calculamos los puntos de intersección: x 2 = 2x = x 2 -2x = x(x -2) = u ⟺ x = u, x = 2  Realizamos un bosquejo de la gráfica y calculamos el área Arco = ∫ (2x - x 2 ) 2 0 Jx = _x 2 - x 3 S __ 0 2 = [4 - 8 3 ¸ - u = 4 3 10. y = x, y = -x +3, y = û  Graficamos las ecuaciones: 102  Calculamos la intersección de las dos rectas x = -x +S, 2x = S x = S 2  Calculamos el área mediante franjas verticales: Arco = ∫ x 3 2 0 Jx +∫ (-x +S) 3 3 2 Jx = x 2 2 _ S¡2 u + _- x 2 2 +Sx__ S S¡2 = _ 9 8 -u_ +__- 9 2 +9] ÷ 9 8 + 9 2 ] = 9 4 13. y = 1û -x 2 , y = 4  Calculamos las intersecciones: 1u -x 2 = 4 = x 2 = 6 = x = _√6  Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área: Área = ∫ √6 -√6 |(1u -x`) -4]Jx = ∫ √6 -√6 (6 -x 2 )Jx = _6x - x° S __ √6 -√6 = _6√6 - 6√6 S _ -_-6√6 + 6√6 S _ = 8√6 103 14. y 2 = x +1, x = 1  Graficamos las ecuaciones  Calculamos las intersecciones Si y 2 = x +1, x = 1 entonces y 2 = 2 Luego: y = -√2 y = √2  Calculamos el área Arco = ∫ |1 -(y 2 -1)] √2 -√2 Jy = _2y - y 3 S __ -√2 √2 = _2√2 - 2√2 S _ -_-2√2 - 2√2 S _ = 8√2 S 21. 2y = 4x -x 2 , 2y = x -4  Calculamos las intersecciones: x -4 = 4x -x 2 = x 2 -Sx -4 = u = (x +1)(x -4) = u ⟺x = -1 , x = 4  Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área Sean: y = 4x -x 2 2 y = x -4 2 Aiea = ∫ __ 4x -x 2 2 _ -_ x -4 2 ]_ Jx 4 -1 104 = ∫ [ 3 2 x - x 2 2 +2¸ Jx 4 -1 = [ 3x 2 4 - x 3 6 +2x¸ ¡ 4 -1 = _ Sx 2 4 - x 3 6 +2x_¡ 4 -1 = [12 - 64 6 +8¸ -[ 3 4 - 1 6 +2¸ = 125 12 24. y = 2 -x 2 , y = x  Graficamos las funciones ¡(x) = 2 -x 2 y g(x) = x  Calculamos las intersecciones igualando las dos funciones, así: y = 2 -x 2 y = x x = 2 -x 2 x 2 +x -2 = u (x +2)(x -1) = u ⇒ x = -2 v x = 1  Calculamos el Área mediante la fórmula: A = ∫ |¡(x) -g(x)]Jx x2 x1 Área ∫ |(2 -x 2 ) -x] 1 -2 Jx = ∫ |(2 -x 2 ) -x] 1 -2 Jx = [2x - x 3 3 - x 2 2 ¸ _ 1 2 = _2 - 1 S - 1 2 ] ÷4 + 8 S -2 = 9 2 29. y = x 3 -1 , y = x -1  Calculamos los puntos de intersección: x 3 -1 = x -1 = x 3 -x = u = x(x 2 -1) = u ⟺ x = u, x = -1, x = 1  Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área: 105 Arco = ∫ |x 3 -1 -(x -1)]Jx +∫ |x -1 -(x 3 -1)]Jx 0 -1 0 -1 = ∫ |(x 3 -x)]Jx +∫ |x -x 3 ]Jx 0 -1 0 -1 _ x 4 4 + x 2 2 __ -1 0 +_ x 2 2 + x 4 4 __ 0 1 = ju -[ 1 4 - 1 2 ¸[ +j[ 1 4 - 1 2 ¸ -u[ = 1 2 14.11 Excedente de los consumidores y de los productores Problemas 14.11 Páginas 677- 678. Ejercicios: 4, 5, 8, 10 En los problemas 1 a 6, la primera ecuación es una ecuación de demanda y la segunda es una ecuación de oferta de un producto. En cada caso, determine el excedente de los consumidores y de los productores, bajo equilibrio del mercado. 4. p = 4ûû -q 2 p = 2ûq +1ûû Ecuación de demanda: p = ¡(q) = 4uu -q 2 Ecuación de oferta: p = g(q) = 2uq +1uu  Calculamos el punto de equilibrio (q 0 , p 0 ): 2uq +1uu = 4uu -q 2 q 2 +2uq -Suu = u = (q +Su)(q -1u) = u ⟺ q = 1u ya que el número de unidades debe ser positivo. Luego, si q = 1u = p = 2u(1u) +1uu = Suu Así tenemos (q 0 , p 0 ) = (1u,Suu)  Calculamos el excedente de consumidores 106 EC = ∫ |¡(q) -p 0 ]Jq q 0 0 = ∫ |(4uu -q 2 ) -Suu]Jq 10 0 = _1uuq - q 3 S __ 1u u = _1uuu - 1uuu S ] -u = 2uuu S  Calculamos el excedente de productores EP = ∫ |p 0 -g(q)]Jq q 0 0 = ∫ |Suu -(2uq +1uu)]uq 10 0 = (2uuq -1uq 2 ) ¡ 1u u = (2uuu -1uuu) -u = 1uuu 5. q = 1ûû(1û -2p) q = 5û(2p -1)  Establecemos la funciones de demanda y de oferta respectivamente como: q = ¡(p) = 1ûû(1û -2p) q = g(p) = 5û(2p -1)  Graficamos las funciones 107  Calculamos el punto de equilibrio Función de demanda = Función de oferta 1uu(1u -2p) = Su(2p -1) = p = 7 2 Luego: q = 1uu[1u -2( 7 2 )¸ = Suu = (p 0 , q o ) = (S.S,Suu )  Calculamos el excedente de productores con la fórmula alterna EP = ∫ |g(p)]Jp p 0 p 1 = ∫ S.S u.S |Su(2p -1)]Jp = Su(p 2 -p) ¡ S.S u.S = Su|(12.2S -S.S) -(u.2S -u.S)] = 4Su  Calculamos el excedente de consumidores con la fórmula alterna EC = ∫ |¡(p)]Jp p 2 p 0 = ∫ S S.S 1uu(1u -2p)Jp = 1uu(1up -p 2 ) ¡ S S.S = 1uu|(Su -2S) -(SS -12.2S)] = 22S 108 8. La ecuación de demanda de un producto es q = 4ûû -p 2 . Y la ecuación de oferta es p = q óû +5. Encuentre el excedente de los productores y de los consumidores bajo equilibrio del mercado. Función de demanda: q = 4uu -p 2 = p = ¡(q) = √4uu -q Función de oferta: p = g(q) = q 60 +S = q = 6up -Suu  Calculamos el punto de equilibrio o¡crto = JcmonJo 6up -Suu = 4uu -p 2 p 2 +6up -7uu = u (p +7u)(p -1u) = u El precio por artículo es siempre positivo entonces: p = 1u q = 4uu -1u 2 = Suu Así es punto de equilibrio es: q 0 , p 0 = (Suu,1u)  Calculamos el excedente de consumidores EC = ∫ |¡(q) -p 0 )]Jq q 0 0 = ∫ |√4uu -q -1u)]Jq 300 0 = ∫ (4uu -q) 1¡2 Jq - 300 0 ∫ 1uJq 300 0 = - 2 S |(4uu -q) 3¡2 ] Suu u -|1uq] Suu u = - 2 S |1uu 3¡2 -4uu 3¡2 ] - |Suuu] = - 2 S |-7uuu] - |Suuu] = 1666,67  Calculamos el excedente de los productores EP = ∫ |p 0 -g(q)]Jq q 0 0 = ∫ j1u -[ q 6u +S¸[ 300 0 Jq = ∫ jS - q 6u [ 300 0 Jq = _Sq - q 2 12u _ Suu u = (1Suu -7Su) -u = 7Su 109 10. La ecuación de demanda para un producto es (p +1û)(q +2û) = 1ûûû Y la ecuación de oferta es q -4p +1û = û a) Verifique, por sustitución, que el equilibrio del mercado ocurre cuando p = 1û y q = 3û.  Reemplazamos los valores de p = 1u y q = Su en la ecuación de demanda y la ecuación de oferta, así: (p +1u)(q +2u) = 1uuu (1u +1u)(Su +2u) = 1uuu (2u)(Su) = 1uuu 1uuu = 1uuu q -4p +1u = u Su -4(1u) +1u = u Su -4u +1u = u u = u b) Determine el excedente de los consumidores bajo equilibrio del mercado.  Despejamos P de la ecuación de demanda: (p +1u)(q +2u) = 1uuu p = f(q) = 1uuu q +2u -1u  Calculamos el excedente de consumidores: EC = ∫ |¡(q) -p 0 ]Jq q 0 0 = ∫ __ 1uuu q +2u -1u] -1u_ uq 30 0 = |1uuuln(q +2u) -2uq]| 0 30 = 1uuuln(Su) -6uu -|1uuuln(2u)] = 1uuuln_ Su 2u ] -6uu = 1uuuln_ S 2 ] -6uu Documents Similar To Ejercicios de Matemática Aplicada a La Administración y Economía.Skip carouselcarousel previouscarousel nextMatematicas Para Administracion y Economia 12 Ed - Haeussler-Paul.pdfCONTABILIDAD GENERAL PROBLEMA DE MATRICES APLICADO A LA ADMINISTRACIÓNsolucion sexta guia. mercadeoTrabajo Final de Matematica Ejercicios (25)APLICACIONES DE LAS INECUACIONES A LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIAFunciones (lineal, cuadratica, exponencial, logaritmica) aplicadas en economiaSolucionario Matemáticas Aplicadas a La Administración y a La EconomíaEJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA E INTEGRAL A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓNCapítulo 1 Aplicaciones y Más AlgebraAPLICACIÓN FUNCIÓN CUADRÁTICA A LA ECONOMÍAFunciones as en La EconomiaTRABAJO FINAL MATEMÁTICAS . 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