Elaborado por: Ing. Roger J.Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El radio atómico del níquel CCC es 1.243 Å. Calcular: a) el parámetro de red y b) la densidad del níquel, si se sabe que la masa atómica del níquel es de 58.71 g/mol. Datos: a0 1.243 Å 4 átomos (por teoría) M 58.71g/mol Átomos/celda N. de Avogadro 6.02x1023 átomos / mol Solución: a) Parámetro de red. En la celda CCC los átomos se contactan entre si a través de la diagonal de las caras del cubo, de forma que la relación entre la longitud del lado de cubo a0 y el radio atómico r es: 2a 0 4r o bien a 0 4r 2 (1) Entonces, sustituyendo los datos en la relación anterior a0 a0 b) 4(1.243x10 8 cm) 2 3.5157x10-8 cm Densidad. Para determinar la densidad del níquel, basta con calcular el volumen de celda y sustituir su valor con los datos en la relación: (número de átomos/cel da)(masa atómica) ( volumen de celda)(núm ero de Avogadro) (2) 1 Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por: Volumen de celda a0 3 Volumen de celda (3.5157x10 8 )3 Volumen de celda 4.3455x10-23 cm3 Ahora bien, sustituyendo en (2) ( 4 átomos)(58.71g/mol) ( 4.3455x10 23 cm3 )(6.02x1023 átomos / mol) 8.977g / cm3 2. La densidad del potasio, que tiene una estructura CC y un átomo por punto de red es 0.855 g/cm3. La masa atómica del potasio es 39.09 g/mol. Calcule: a) b) Solución: Datos: el parámetro de red y el radio atómico del potasio 0.855 g/cm3 Masa atómica 39.09 g/mol Átomos/celda 2 átomos (por teoría) N. de Avogadro 6.02 x 1023 átomos / mol a) Parámetro de red. Como el potasio tiene una estructura cúbica, su 3 volumen de celda a0 , el cual puede obtenerse a través de la relación: 2 por lo que el radio atómico puede calcularse despejando dicha relación 3a 0 4 3 (5.13 Å.855 g/cm3 )(6.5189 x 10-22 cm3 a0 5.Elaborado por: Ing.5189 x 10-22 cm3 y como volumen de celda a0 .3355 Å b) Radio atómico.09 g/mol) (0. la relación entre la longitud de la diagonal de cubo a0 y el radio atómico r es: 3a0 4r . Como en la celda CC los átomos se contactan entre si a través de la diagonal del cubo. Un 3 . Un metal con una estructura cúbica tiene una densidad de 1.3103 x 10-8 cm ó 2. sustituyendo los valores: volumen de celda (2 átomos)(39.3355 x 10-8 cm) 4 2.3103 Å r r r 3.91 g/mol y un parámetro de red de 6. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 (átomos/ce lda)(masa atómica) (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) donde: volumen de celda (átomos/ce lda)(masa atómica) (número de Avogadro) Entonces. Roger J. despejando se obtiene el parámetro de red 3 a0 a0 a0 3 3 volumen de celda 1.892 g/cm3.02 x 1023 átomos/mol) volumen de celda 1.3355 x 10-8 cm 5. un peso atómico de 132. De la formula de densidad. de Avogadro 6.02x1023 átomos / mol Para determinar la estructura cristalina y en base a los datos obtenidos. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 átomo asociado a cada punto de la red.13 x 10-8 cm)3 volumen de celda 2. el volumen de celda a0 .892 g/cm3 Masa atómica 132.3035 x 10-22 cm3 Una vez determinado el volumen de celda y con los datos obtenidos. se tiene (átomos/ce lda)(masa atómica) (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) átomos/cel da masa atómica (1) Cálculo de volumen de celda. entonces: 3 volumen de celda (6. Determinar la estructura cristalina del metal. Como el metal tienen una estructura cúbica. Roger J. Solución: Datos: 1. basta con calcular el número de átomos por celda.91g/mol a0 6. determinamos el tipo de estructura sustituyendo en la relación (1) 4 .Elaborado por: Ing.13 Å N. 45186nm 0. El radio atómico es 0.72 g/mol. La densidad es de 5. Determine a) b) Solución: Datos: a0 b0 c0 0.45258 nm. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) masa atómica 3 (1.72 g/mol N.904 g/cm3 y la masa atómica es de 69.45258 nm 0. b0=0. en base al resultado. Se determinan despejándolos de la relación de densidad (átomos/ce lda)(masa atómica) (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) átomos/cel da masa atómica (1) 5 . El galio tiene una estructura ortorrómbica. con a 0=0.Elaborado por: Ing.76570nm el número de átomos en cada celda unitaria y el factor de empaquetamiento de la celda unitaria 5.76570 nm. Roger J. se puede decir que el metal tiene una estructura CC 4.45186 nm y c0=0.02 x 1023 átomos / mol) átomos/celda (132.3035 x 10-22 cm·3 )(6.02 x 1023 átomos/mol a) Número de átomos por celda. de Avogadro 6.974 átomos 2 átomos átomos/celda Finalmente.1218 nm.904 g/cm3 Masa atómica 69.91g/mol) átomos / celda 1.892 g/cm )(2. 5875 x 10 -24 cm3 volumen de átomo volumen de átomo volumen de átomo Ahora bien. Se calcula por medio de la relación FE (átomos / celda )( volumen de átomo) (2) (volumen de celda) Cálculo del volumen de átomo. sustituyendo los valores en (1) (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) masa atómica 3 (5.5659 x 10 -22 cm3 ) 0. se obtiene a través de la expresión 4 3 r 3 4 (0. Para determinar el volumen se multiplican cada uno de los parámetros de red. Roger J.904 g/cm )(1. es decir volumen de celda a 0 x b 0 x c 0 volumen de celda (0.98 átomos 8 átomos átomos/celda b) Factor de empaquetamiento.Elaborado por: Ing.5875 x 10 -24 cm3 ) (1.76570 x 10-7 cm) volumen de celda 1.45258 x 10-7 cm)(0. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Cálculo del volumen de celda.5659 x 10-22 cm3 ahora. Considerando a los átomos como esferas rígidas.3876 FE FE 6 .72 g/mol átomos / celda 7.02 x 1023 átomos/mol) átomos/celda 69. sustituyendo los datos en la ecuación (2) (8)( 7.1219 x 10 -7 cm)3 3 7.45186 x 10-7 cm)(0.5659 x 10-22 cm3 )(6. Una de las formas del manganeso tiene un radio atómico de 1.12 Å.931x 10 -8 cm) 3 volumen de celda 7.12 Å 1.931 x 10 -8 cm Solución: En base a los datos suministrados.479. ¿Cuántos átomos hay en la celda unitaria? Datos: r a0 FE 1. un parámetro de red de 8. y un factor de empaquetamiento de 0.Elaborado por: Ing.931 Å 0.1236 x 10 -22 cm 3 7 . Roger J.12 x 10. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 5.931 Å.8849 x 10.8 cm)3 3 volumen de átomo 5. se determinan el volumen de átomos y el volumen de celda Cálculo del volumen de átomo: Considerando a los átomos como esferas sólidas volumen de átomo volumen de átomo 4 3 r 3 4 (1. el número de átomos por celda unitaria se puede obtener mediante un simple despeje de la expresión: FE (átomos / celda)(volumen de átomo) volumen de celda (FE)(volum en de celda) átomo/celda (1) volumen de átomo Para ello.479 8.12 x 10 -8 cm 8.24 cm3 Cálculo del volumen de celda: volumen de celda a 0 3 volumen de celda (8. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Sustituyendo en (1) átomo/celda (0.98 átomos/celda 58 átomos Determine los índices de Miller correspondientes a las direcciones de la celda cúbica que aparece en la figura z 3/4 C B A 1/2 y x Solución: Dirección A 1) (0. Roger J.0.0.0) y coordenadas finales (0.1. 1 3) 4) No hay fracciones por simplificar o enteros por reducir [1 0 1] 8 .0. 0.1) (1 . 1236 x 10-22 cm3 ) 5.0) .0.1) 2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales: Se determinan coordenadas iniciales (1.Elaborado por: Ing.8849 x 10-24 cm3 átomo/celda 57.479)(7. 1. 1 3) 4) . .0.0.1) Se simplifican fracciones: 4( 1 [ 4 3 4] 4.0) restan las coordenadas finales menos las iniciales: (1 .1 .1/2. 1 [1 2 2] 1 .0. 2 Dirección C 1) finales 2) Se Se determinan coordenadas iniciales (0.3/4.3.0.1. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Dirección B 1) Se determinan coordenadas iniciales (1/2.0) y coordenadas finales (1.1) 2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales: (1 . 3 4 .3 4. 1) Se simplifican fracciones: 2( 1 2. .-1 3) 4) 6. . .Elaborado por: Ing.0) (0.1) 1. Roger J.4 Determine los índices para los planos de la celda unitaria cúbica z 1/3 que aparece en la figura A B y x 9 . . . 3 4 .2. .1) y coordenadas (1.0) .1) (1/ 2. ya que el plano pasa a través de 0.Elaborado por: Ing. 1 z .0. Se mueve también el origen un parámetro de red en la dirección “y” (ver figura). z determinan 0 los recíprocos de las intersecciones: 3) 4) No hay fracciones que simplificar (0 3 0) 10 . z 1 Z y Y X 2) 1 x 1. y 1 3. 0. 1 y Se determinan las intersecciones: x Se 3.y -1. Entonces x 1 . 1 y Se 1. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Solución: Plano A 1) Se deberá mover el origen. 1 z determinan 1 los recíprocos de las intersecciones: 3) 4) No hay fracciones que simplificar (111) Plano B 1) 2) 1 x 0. 3. 3 4 4 0. 1 ) a la ( 1 . Se simplifican fracciones: 4 0. 3 2) 3) 8. 0.1. 0. b) [121] y c) [1 Solución: Para [111] : Las coordenadas de posición para la dirección son (1.1 4 4 Se restan 1 .Elaborado por: Ing. Para su representación tendrá que llevarse el origen del vector dirección al vértice inferior izquierdo de la parte trasera del cubo. 1) . Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 7.-1). 3 . 3 4 4 [0 3 3] Dibuje los vectores dirección en celdas unitarias para las 10] siguientes direcciones cúbicas: a) [111] . 3 . 3 . 1 4 4 las coordenadas finales menos las iniciales: 0. Un vector dirección pasa a través de cubo unidad (o celda unitaria) desde la posición ( 1 . ¿Cuáles son los índices de 4 4 4 4 dirección? Solución: Se sigue el mismo procedimiento que el presentado en el ejercicio 5 1) 1 . Roger J. z O Nuevo origen y x 11 . 3 . 1. . Determine los índices de Miller del plano cristalino cúbico que cortan las siguientes coordenadas de posición: (0.1 2 2 z celda unitaria. se localiza como A.0. z O Nuevo origen y x 9.0.0) Solución: Primero. B y C las tres coordenadas de posición tal como se indica en la figura 12 . Para la dirección [1 son (1.0). (1.-1. ( 12 . El origen del vector dirección tiene que llevarse al vértice inferior izquierda de la parte trasera del cubo.Elaborado por: Ing. Son. Roger J. 14 .0). 12 ). se obtienen dividiendo los índices de dirección por 2 de modo que puedan estar dentro de la por tanto 1 . 1/2 y 1/2 x 10] : La coordenadas posición para la dirección. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Para la dirección [121] : Las coordenadas posición para la dirección. Calcular el cambio de volumen asociado con el cambio de estructura de CC a CCC si a 912 ºC la celda unitaria CC tiene un parámetro de red de 0. 2. se unen B y C y se prolonga BC hasta D. que da las intersecciones . Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Z A D B C Y X A continuación. z 1 2 .363 nm. Por último. los índices de Miller para el plano dado: (12 2) 10. y se unen A y B.293 nm Átomos/celda Para CCC a0 0.363 nm Átomos/celda 4 átomos (teoría) 2 átomos (teoría) 13 .293 nm y la celda unitaria CCC 0. Los recíprocos de estas axiales con el plano ABD en x 1 intersecciones axiales son: 1. se unen A y D hasta completar el plano ABD. No hay fracciones que eliminar y finalmente. 2. Datos: Para CC a0 0. y 1 2. El hierro puro experimenta un cambio polimórfico de CC a CCC calentándolo al pasar los 912 ºC. El origen para este plano en el cubo puede ser elegido en E.Elaborado por: Ing. Roger J. después de la transformación .01258nm3 0. viene dado por: V V VCC V VCC V. antes de la transformación x 100% V.9% x 100% Esto indica que el hierro se contrae al calentarse 4.363 nm)3 4 0. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Solución: El cambio volumétrico durante la transformación puede calcularse a partir de datos cristalográficos. Calcular el 14 . Roger J.01196nm3 0.V. El volumen por átomo para la red cristalina del hierro CC antes de transformarse es: VCC Vcc VCC a0 3 2 (0.01196 nm3 El cambio porcentual en volumen durante la transformación CC a CCC.Elaborado por: Ing.0251 nm 3 El volumen por átomo para la red cristalina CCC que tiene cuatro átomos por celda unitaria es VCCC Vccc VCC a0 3 4 (0.01258nm3 . antes de la transformación 0.9% 11.293 nm )3 2 0. Un cristal único de un metal CCC está orientado de tal forma que la dirección [001] es paralela a un esfuerzo aplicado de 5000 psi.4. Esto produce un ángulo con la dirección de deslizamiento [110] y un ángulo en la dirección de 90º (por inspección) con la normal al plano (111) (dirección [111] por ser celda cúbica). Roger J.Elaborado por: Ing. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 esfuerzo cortante resultante que actúa sobre el plano de deslizamiento (111) en las direcciones de deslizamiento [110] y [011].76º 15 . Solución: Para (111)/ [110]: Se aplica un esfuerzo normal [001] de la celda unitaria. En la gráfica se muestra lo planteado anteriormente z [111] y x [110] Cálculo de : Aplicando identidades geométricas [111] a0 3a0 [110] 2a0 a0 3a 0 1 3 Cos Ar cos 54. Roger J.76º ) 0 cos . Esto produce un ángulo deslizamiento [011] y un ángulo en la dirección con la dirección de con la normal al plano (111) (dirección [111] por ser celda cúbica).Elaborado por: Ing. cos y Para (111)/ [011]: Se aplica un esfuerzo normal [001] de la celda unitaria. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Cálculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relación sustituyendo los valores obtenidos 5000psi(cos90º )(cos54. En la gráfica se muestra lo planteado anteriormente z [011] [111] y x Cálculo de : Aplicando identidades geométricas [011] a0 2a0 a0 Cos 45º a0 a0 Ar cos(1) 16 . 5089 x 10 -8 cm 1 200 Masa atómica 6. Determinar la distancia entre los planos adyacentes (121) en el cobre.94 g/mol (Por tabla) Vacancias .615Å. Roger J. Solución: Sustituyendo los valores dados en la ecuación general d(h.02 x 10 23 átomos / mol Solución: 17 . de Avogadro 6.l ) d 121 d(121) a0 h2 k 2 l2 3. El litio CC tiene un parámetro de red de 3.615 Å 12 2 2 1. Calcule: a) b) Datos: el número de vacancias por centímetro cúbico la densidad del litio a0 3.Elaborado por: Ing. el cual tiene un parámetro de red de 3. cos y 12.76 º ) 2040 psi cos .5089 x 10 -8 cm y contiene una vacancia por cada 200 celdas unitarias.k. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Cálculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relación sustituyendo los valores obtenidos 5000 psi(cos 45 º )(cos 54 .476 Å 12 13. se emplea la siguiente relación: Vacancias cm 3 Número de vacancias (1) Volumen de celda Cálculo del volumen de celda volumen de celda a 0 3 volumen de celda (3. Roger J. mediante la definición de vacancias y asumiendo que la celda en condiciones normales presenta 2 átomos Vacancias Átomos en condiciones normales . Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 a) Vacancias por centímetro cúbico: Para determinarlas.5089 x 10 -8 cm) 3 volumen de celda Sustituyendo 4. Considerando que la celda presenta defectos.Elaborado por: Ing.32029 x 10 -23 cm 3 Vacancias cm 3 Vacancias cm b) 3 1 200 4.Vacancias 1 Átomos calculados 2 200 Átomos calculados 1. es necesario obtener el número de átomos (átomos calculados).Átomos calculados Átomos calculados Átomos en condiciones normales .995 átomos Ahora sustituyendo en la relación de densidad 18 .157 x 10 20 Vacancias/ cm 3 Densidad del litio.32029 x 10 -23 cm3 1. Cálculo del número de átomos por celda. Se obtiene aplicando la relación de densidad. Elaborado por: Ing. se sustituye en (1) 19 .32029 x 10 -23 cm 3 )(6.95 g/mol Masa atómica del niobio 92.44995 x 10 -23 cm 3 Una vez determinado el volumen de celda. Calcular la fracción de átomos de tungsteno dentro de la aleación.95 g/mol. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 (átomos/celda)(masa atómica) (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) (1. se debe obtener primeramente el número de átomos por celda unitaria de la aleación.94g/mol) (4.32554 x 10 -7 cm) 3 volumen de celda 3.91 g/mol 0.995 átomos)(6.32554 nm y una densidad de 11.32554 nm 11. Una aleación de niobio se produce al introducir átomos sustitucionales de tungsteno en la estructura CC.02 x 10 23 átomos / mol) 0.5323 g/cm3 14. (átomos/celda)(masa atómica) (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) átomos / celda (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) (1) masa atómica del niobio Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores de lados son iguales. finalmente se produce una aleación con un parámetro de red de 0. Roger J. Datos: a0 0. de manera que el volumen viene dado por: volumen de celda a 0 3 volumen de celda (0. el cual se calcula a partir de la relación de densidad.32554 x 10-7 cm Solución: Para determinar la fracción de átomos de tungsteno dentro de la aleación. De ahí que el número de átomos por celda de tungsteno se calcula a través de un simple despeje de la expresión (2) átomos de tungsteno átomos sustitucionales .2 átomos átomos de tungsteno 0.335 Fracciónde átomos 20 .91g/mol átomos/celda 2.671átomos Cálculo de la fracción de átomos de tungsteno: Se miden por medio de la relación siguiente átomos de tungsteno átomos en condiciones normales 0.95 g/mol)(3. Roger J.Elaborado por: Ing.671átomos .átomos en condiciones normales átomos de tungsteno 2. que los átomos sustitucionales representa el número de átomos por celda en la aleación y los átomos en condiciones normales son el número de átomos por red cristalina en una celda CC (2 átomos). el número de átomos de tungsteno introducido en la aleación átomos sustitucionales átomos en condicione s normales átomos de tungsteno (2) Es importante destacar.02 x 10 23 átomos/mol) 92.671átomos Fracciónde átomos 2 átomos Fracciónde átomos 0. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 átomos / celda (11. se emplea la definición de átomos sustitucionales para determinar así.44995 x 10 -23 cm3 )(6.671átomos Una vez conseguidos el número de átomos por celda unitaria de la aleación. 02 x 10 23 átomos/mol) 195.0379 x 10 -23 cm 3 )(6. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 15. En promedio ¿qué porcentaje de los puntos de red contiene vacantes? (asúmase un átomo por punto de red) Datos: 21.9231 Å.Elaborado por: Ing.09 g/mol (tabla) N.9964529 átomos 21 .0379 x 10 -23 cm 3 Sustituyendo en (1) (21.9231x 10 -8 cm) 3 volumen de celda 6.02 x 10 23 átomos / mol Puntos de red 4 (teoría) Solución: Para saber el número de vacancias. Roger J. de manera que el volumen viene dado por: volumen de celda a 0 3 volumen de celda (3.45 g/cm3 )(6. es necesario determinar el número de átomos por celda.45 g/cm3 y un parámetro de red de 3.09 g/mol átomos / celda átomos/celda 3.9232 x 10 -8 cm Masa atómica 195.45 g/cm3 a0 3.9232 Å 3. de Avogadro 6. El platino CCC tiene una densidad de 21. el cual se determina despejándolo de la expresión de densidad (átomos/celda)(masa atómica) (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) átomos / celda (volumen de celda)(núm ero de Avogadro) (1) masa atómica Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores de lados son iguales. 0035471 Ptos de red 4 Vacantes 0. Para obtener el número de vacantes se aplica la definición Vacancias Átomos en condicione s normales . El vector de Burgers en el cobre CCC es [110]. de aquí la diferencia se debe a la presencia de vacantes. de manera que la longitud del vector de Burgers es de d110 (distancia interplanar) 22 .0035471 Cálculo del porcentaje de vacantes por puntos de red: Se obtienen a través de: Vacantes 0. de haber 4 átomos/celda sería un cristal perfecto de platino.615 Å. El parámetro de red del cobre es de 3. Roger J. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Como puede observarse. Datos: a0 3.Átomos calculados Vacancias 4 .615 Å D 1000 Å Direccióncompacta [110] (Teoría) Solución: Los granos se encuentran inclinados un vector de Burgers en cada dirección cada 1000 Å.000886 Ptos de red 16.Elaborado por: Ing. Determinar el ángulo de un borde de grano de ángulo pequeño en el cobre CCC cuando las dislocaciones están separadas 1000 Å.9964529 Vacancias 0.3. 557 Å 02 d110 Cálculo del ángulo : Aplicando identidades trigonométricas Sen Sen Sen 2 2 b D 2.Elaborado por: Ing.557 Å 1000 Å 0. Roger J.615 Å 12 12 2.002557 2 0. Chirinos Tomados de los libros de Askeland y Smith Primero de 2012 Cálculo de la longitud del vector de Burgers: Se determina mediante la relación b d (h.k.l) d110 D a0 h2 k 2 l2 3.293º 23 .
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